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Colegio Vizcaya Polgonos y Circunferencia - 93

EN ESTA UNIDAD VAS A APRENDER

POLGONOS Y CIRCUNFERENCIA5.

POLGONOS

RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO

LNEA POLIGONAL

POLGONOS

CUADRILTEROS

- Clasificacin. - Puntos notables.- Recta de Euler.- Teorema de

Pitgoras.

TRINGULOS

- Clasificacin.

- Elementos.- Clasificacin.- Permetro.- Medida de los ngulos.- Nmero de diagonales.

CIRCUNFERENCIA Y CRCULO

- Elementos de la circunferencia.- Longitud de la circunferencia.- Posiciones relativas de la recta y la

circunferencia y de dos circunferencias.

- Elementos del crculo.

Polgonos y Circunferencia - 94 Colegio Vizcaya

PARA EMPEZAR

1. Dos ngulos de un tringulo miden, respectivamente, 50 y 80. Cunto medir el tercero?

2. Una compaera me dice que ha dibujado un tringulo obtusngulo y que dos de sus ngulos miden42 y 71. Pienso que eso no es posible. Aydame a razonarle el por qu.

3. Qu longitud tiene una circunferencia de 2 cm de radio?

4. La medida de dos lados de un tringulo es 6 cm y 7 cm. Sabiendo que su permetro es 17 cm, cunto medir el lado que falta?

PARA RECORDAR

Recta: Es la lnea ms corta que se puede imaginar entre dos puntos.

Semirrecta: Es cada una de las dos porciones en que queda divididauna recta por cualquiera de sus puntos.

Segmento: Es la parte de la recta comprendida entre dos puntos.

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Dos rectas en el plano pueden tener las siguientes posiciones relativas:

Paralelas: No tiene ningn punto en comn.Secantes: Tienen un solo punto en comn.

Si forman un ngulo de 90 entonces se les llama perpendiculares.Coincidentes: Tienen todos sus puntos comunes.

* Indica qu posicin relativa tienen las siguientes rectas:


Lnea poligonal: Unin de varios segmentos por sus extremos.

Lnea poligonal abierta: Es una lnea poligonal en la que el princi-pio no coincide con el final.

Lnea poligonal cerrada: Es una lnea poligonal en la que el princi-pio coincide con el final.

Polgono: Es la porcin del plano contenida en una lnea poligonalcerrada.

Polgono regular: Es el que tiene todos sus lados y ngulos iguales.

Polgono irregular: Es el que tiene sus lados y/o sus ngulos des-iguales.

Permetro: Suma de las longitudes de los lados de un polgono.

* En el siguiente esquema faltan las definiciones y los ejemplos. Coloca las definiciones y los dibujos de la pgina siguiente en su lugar correspondiente.

Elementos Lados ( _____ , _____ )Vrtices ( _____ , _____ )ngulos ( ___ , ___ ) ngulo central ( ___ , ___ )

ngulo interior ( ___ , ___ )ngulo exterior ( ___ , ___ )

Diagonales ( _____ , _____ )

Adems si es regular Radio ( _____ , _____ )Apotema ( _____ , _____ )

Clasificacin Cncavo ( _____ , _____ )Convexo ( _____ , _____ )

POLGONOSSegn el nmero de lados Tringulos ( _____ , _____ )

Cuadrilteros ( _____ , _____ )Pentgonos ( _____ , _____ )Hexgonos ( _____ , _____ )Heptgonos ( _____ , _____ )Octgonos ( _____ , _____ )Enegono ( _____ , _____ )Decgono ( _____ , _____ )Undecgono ( _____ , _____ )Dodecgono ( _____ , _____ )Pentadecgono ( _____ , _____ )Icosgono ( _____ , _____ )etc.


Definiciones:

a) Cada uno de los segmentos que lo limitan.b) Segmento que une el centro del polgono con uno de sus vrtices.c) Todas sus diagonales quedan dentro de l.d) Polgono de 4 lados.e) El formado por dos radios consecutivos.f) Polgono de 7 lados.g) Segmento que une dos vrtices no consecutivos. Dibujos:h) Polgono de 20 lados.i) Segmento que une el centro del

polgono con el punto medio de un lado.

j) Polgono de 3 lados.k) Polgono de 12 lados.l) Alguna de sus diagonales queda

fuera de l.m) Polgono de 9 lados.n) El formado por dos lados

consecutivos.o) Polgono de 5 lados.p) Puntos en comn de dos lados

contiguos.q) Polgono de 8 lados.r) Polgono de 6 lados.s) Porcin del plano limitada por dos lados consecutivos.t) Polgono de 11 lados.u) El formado por un lado y la prolongacin del lado contiguo.v) Polgono de 15 lados.w) Polgono de 10 lados.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23

PARA APRENDER

MEDIDA DE LOS NGULOS DE UN POLGONO

Observa el siguiente polgono y contesta a las siguientes preguntas:

1) Cuntos lados tiene este polgono?

2) Cuntos ngulos centrales, interiores y exteriores?

3) Cunto miden todos los ngulos centrales juntos? Y cada uno de ellos por separado?

4) Cunto miden juntos un ngulo interior junto con su correspondiente exterior?

5) Cunto miden cada uno de los ngulos exteriores?

6) Cunto miden cada uno de los ngulos interiores?


CLCULO DEL NMERO DE DIAGONALES DE UN POLGONO

1) Cuntas diagonales tiene un tringulo? 2) Cuntas diagonales tiene un cuadrado?

Cuntas diagonales salen de cada vrtice? Cuntas diagonales salen de cada vrtice?

3) Cuntas diagonales tiene un pentgono? 4) Cuntas diagonales tiene un hexgono?

Cuntas diagonales salen de cada vrtice? Cuntas diagonales salen de cada vrtice?

Deduce una frmula con la que se pueda calcular el nmero de diagonales de un polgono den lados.

PARA PRACTICAR5. Cunto suman los ngulos interiores de un tringulo?

6. Cuntas diagonales tiene un enegono? Y un icosgono?

7. Cunto mide la apotema de un cuadrado de 10 cm de lado?

8. Si tres ngulos de un cuadriltero miden 95, 100 y 105, cunto mide el cuarto?

9. Construye un tringulo equiltero y traza en l un radio, una apotema, un ngulo central y un ngulo exterior.

10. Si el ngulo interior de un polgono regular mide 120, cunto mide su ngulo exterior? De qu polgono se trata?


PARA RECORDAR

Mediatriz de un segmento: Lnea recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.

Bisectriz de un ngulo: Lnea rectaque pasa por su vrtice y lo divide en dos ngulos iguales.

PARA PRACTICAR11. Traza las mediatrices

de los siguientes segmentos:

12. Traza las bisectrices de los siguientes ngulos:

PARA RECORDAR

Altura de un tringulo: Es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el vrtice opuesto. Un tringulo tiene tres alturas que se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO.

Dibuja el ortocentro de los tringulos siguientes:

Equiltero Rectngulo Obtusngulo


PARA RECORDAR

Mediana de un tringulo: Es el segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto. Un tringulo tiene tres medianas que se cortan en un punto llamado BARICENTRO.

* Dibuja el baricentro de los tringulos siguientes:

PARA RECORDAR

Mediatriz de un tringulo: Es la mediatriz de uno de sus lados.Un tringulo tiene tres mediatrices que se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO.

* Dibuja el circuncentro de los tringulos siguientes:

Traza para cada uno de los tringulos anteriores una circunferencia de centro el circuncentro y quepase por los vrtices de cada tringulo.

A las circunferencias que has dibujado se les llama circunferencias circunscritas.


PARA RECORDAR

Bisectriz de un tringulo: Es la bisectriz de uno de sus ngulos.Un tringulo tiene tres bisectrices que se cortan en un punto llamado INCENTRO.

* Dibuja el incentro de los tringulos siguientes:

Traza para cada uno de los tringulos anteriores una circunferencia de centro el incentro y que seatangente a los lados del tringulo.

A las circunferencias que has dibujado se les llama circunferencias inscritas.

Dibuja en el tringulo siguiente el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Despus nelos conuna lnea recta. Como ves los tres puntos estn alineados. A la recta que une estos tres puntos se lellama Recta de Euler, en honor a su descubridor.

PARA RECORDAR

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS

Dibuja un dibujo que est de acuerdo con cada definicin:

Equilteros: Tiene sus tres lados igualesSegn sus lados Issceles: Tiene dos lados iguales

Clasificacin Escalenos: Tiene sus tres lados desigualesde lostringulos Segn sus Rectngulo: Tiene un ngulo recto y 2 agudos

ngulosObtusngulo: Tiene un ngulo obtuso y 2 agudos

Acutngulo: Tiene los tres ngulos agudos


CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS

Dibuja un dibujo que est de acuerdo con cada definicin:

- Paralelogramos: tiene sus lados opuestos iguales y paralelos.

Cuadrado: Tiene sus 4 lados y ngulos iguales.

Rectngulo: Tiene sus lados iguales dos a dos y sus 4 ngulos iguales.

Rombo: Tiene sus 4 lados iguales y sus ngulos iguales dos a dos.

Romboide: Tiene sus lados y ngulos iguales dos a dos.

- Trapecio: tiene dos de sus lados opuestos paralelos.

Issceles: Los lados no paralelos son iguales.

Rectngulo: Uno de los lados no paralelo es perpendicular a la base.

Escaleno: Los lados no paralelos son desiguales.

Trapezoides: Cuadriltero que no tiene ningn lado paralelo.

PARA PRACTICAR13. Puede un tringulo ser equiltero y rectngulo a la vez? Y rectngulo e issceles a la vez?

Y rectngulo y escaleno a la vez? Razona tu respuesta.

14. Cmo se le llama al cuadriltero que es un polgono regular?

15. Un rectngulo, es un polgono regular?, y un rombo?

16. Un cuadriltero cuyos lados miden 8, 12, 8 y 12 cm, qu clase de cuadriltero es?

17. Un ngulo de un rombo mide 48. Cunto miden los restantes ngulos?

18. Qu clase de trapecio es el que tiene por lados 12, 8, 8 y 8 m?


PARA APRENDER

TEOREMA DE PITGORAS

Imagnate un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm respectivamente y su hipotenusa 5 cm.

Sobre cada lado del tringulo vamos a construir un cuadrado formado por baldosas de 1 cm de lado.

Cuntas baldosas tiene el cuadrado correspondiente a la hipotenusa? ............................................

Cuntas baldosas tienen cada uno de los cuadrados correspondientes a los catetos? .....................

Encuentras alguna relacin entre las tres cantidades anteriores? ....................................................

Existe alguna relacin entre el nmero de baldosas y la longitud de los lados del tringulo?....................................................................................................................................................................

Este hecho experimental que acabamos de ver nos demuestra que el rea del cuadrado construidosobre la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Dicho de otro modo, el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la sumade los cuadrados de los catetos. A esta relacin se la conoce como el Teorema de Pitgoras.

5 cm 4 cm

3 cm

Teorema de Pitgoras

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cua-drados de los catetos.

2 2 2h =a +ba h

b


PARA PRACTICAR

19. Comprueba que un tringulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es un tringulo rectngulo.

20. Realiza la misma actividad en el caso de que los lados midan 5 cm, 12 cm y 13 cm.

21. Busca informacin sobre Pitgoras y los Pitagricos.

PARA APRENDER

Aplicando el Teorema de Pitgoras:

El Teorema de Pitgoras no sirve slo para averiguar qu tringulos son rectngulos sino que pode-mos aplicar este Teorema a la resolucin de muchos problemas.

Veamos algunos ejemplos en los que se puede aplicar este teorema:

Problema 1:

En un tringulo rectngulo los catetos miden 5 y 12 cm respectivamente. Cunto midela hipotenusa?

- Teorema de Pitgoras:

- Se sustituyen los datos conocidos:

- Se opera:

- Se extrae la raz cuadrada:

Problema 2:

En un tringulo rectngulo un cateto miden 16 cm y la hipotenusa 20 cm. Cunto mideel otro cateto?

- Teorema de Pitgoras:

- Se sustituyen los datos conocidos:

- Se opera:

- Se extrae la raz cuadrada:

- O puedes usar la frmula:

2 2 2h =a +b

2 2 2h 5 12= +

2h =25+144=169

h= 169=13 cm mide la hipotenusa.

2 2 2h =a +b

2 2 220 =a +16

2 2400 a 256 a 400 256 144== ++ == ==

h= 144=12 cm mide el otro cateto.

5 h

12

a 20

16

2 2 2 2a h b 20 16 400 256 144 12 cm== == == == ==


PARA PRACTICAR22. La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 8 cm y uno de los catetos 6 cm.

Calcula el otro cateto.

23. Los catetos de un tringulo rectngulo miden 10 cm y 24 cm. Cunto medir la hipotenusa?

24. El aita de Ander quiere arreglar el tejado de su casa que se encuentra situado a una altura de 8 m. Para ello coge una escalera de 9 m. Sabras averiguar a que distancia de la pared tendra que colocarla?

PARA RECORDAR

LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS

Circunferencia: Lnea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan del centro.

En la circunferencia de la derecha estn dibujados los elementos de una circunferencia.

A continuacin aparecen las definiciones de cada uno de los elementos de la circunferencia. Localzalos en el dibujo poniendo su nombre.

Centro: Es un punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia.

Radio: Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

Cuerda: Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Dimetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cualesquiera.Semicircunferencia: Es un arco igual a la mitad de la circunferencia.Flecha o Sagita: Es el segmento perpendicular a la cuerda en su punto medio y comprendido entre

ste y la circunferencia.ngulo central: Es el ngulo que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia y cuyos lados

estn sobre dos radios.


LOGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

Imagnate que mides la longitud de varias circunferencias y sus dimetros.

Si divides la longitud (L) de cada circunferencia por su dimetro (d) correspondiente, te darscuenta de que siempre se obtiene el mismo valor: , que tiene un valor aproximado de 3'14.

= 3'14

La longitud de una circunferencia es veces su dimetro.

Entonces,

Ld

L d 2 r

==

== ==

PARA PRACTICAR25. Calcula la longitud de una circunferencia de 12 cm de dimetro.

26. Calcula la longitud de una circunferencia de 8 cm de radio.

27. Un aro tiene 12 cm de radio. Cul es su longitud? Qu espacio recorre si da 7 vueltas?

28. La rueda delantera de una bicicleta tiene 60 cm de dimetro. Cuntas vueltas tiene que dar para recorrer 1 km?

29. Calcula el radio de una circunferencia de 628 cm de longitud.

30. En 10 vueltas, una motocicleta ha recorrido 22 m. Cul es el radio de sus ruedas?


PARA RECORDAR

Posiciones relativas de recta y circunferencia

Recta exterior: Si la recta y la circunferencia no tienen ningn punto en comn. (Imagen 1.)

Recta tangente: Si la recta y la circunferencia tienen un nico punto en comn. (Imagen 2.)

Recta Secante: Si la recta y la circunferencia tienen 2 puntos comunes. (Imagen 3.)

Posiciones relativas de dos circunferencias

Exteriores: Si ambas no tienen ningn punto en comn.(Imagen 4.)

Interiores: Si ambas no tienen ningn punto en comn y una est dentro de la otra. (Imagen 5.)

Tangentes: Si ambas tienen un punto en comn.(Imagen 6.)

Concntricas: Si ambas tienen el mismo centro, pero distinto radio. (Imagen 7.)

Secantes: Si ambas tienen 2 puntos en comn. (Imagen 8.)

EL CRCULO Y SUS ELEMENTOS

Crculo: Es la porcin del plano contenida en una circunferencia.

Observa los dibujos y relacinalos con las siguientes definiciones:

Semicrculo: Es cada mitad del crculo limitada por un dimetro.Sector circular: Es la parte del crculo comprendida entre dos radios y su arco.Segmento circular: Es la porcin de un crculo comprendida entre una cuerda y un arco.Corona circular: Es la figura comprendida entre dos circunferencias concntricas.

Imagen 1. Imagen 2.

Imagen 3. Imagen 4.

Imagen 5. Imagen 6.

Imagen 7. Imagen 8.


PARA ENTRENAR31. Calcula el valor de la letra en los siguientes tringulos rectngulos:

a) 5 cm, 12 cm, a cm b) b cm, 6 cm, 8 cm c) 9 cm, h cm, 15 cm

32. Construye un cuadrado y traza en l un radio, una apotema, un ngulo interior, un ngulo central y un ngulo exterior. Cunto miden cada uno de estos ngulos?

33. Cunto mide el radio de una circunferencia de 100 cm de longitud?

34. La rueda de una bicicleta tiene 72 cm de dimetro. Qu distancia recorre en cada vuelta? Cuntas vueltas dar la rueda para recorrer 12 km?

35. Calcula el lado del cuadrado sabiendo que la diagonal mide:a) 20 cm b) 64 cm c) 24 cm d) 12 cm

36. Comprueba si los siguientes tringulos son rectngulos:a) 6, 8, 9 b) 1, 24, 26 c) 20, 21, 29 d) 9, 12, 15 e) 1, 1, 3

37. Halla el nmero de diagonales de un polgono de 25 lados.

38. Halla el nmero de diagonales de un polgono de 62 lados.


39. Calcula: a) La diagonal de un cuadrado de 7 cm de lado.

b) La diagonal de un rectngulo de 8 cm de base y 6 cm de altura.

c) El lado oblicuo de un trapecio rectngulo cuyas bases miden 10 y 4 cm y la altura es de 8 cm.

d) La altura de un tringulo issceles de 6 cm de base y 8 cm de lado.

e) La altura de un tringulo equiltero de 6 cm de lado.

f) La apotema de un hexgono regular de 6 cm de lado.

g) El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

h) La apotema de un hexgono inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio.

40. En 10 vueltas una bicicleta ha recorrido 942 m. Cunto mide el radio de sus ruedas en cm?

41. Siete personas se sientan alrededor de una mesa redonda de 75 cm de dimetro. Qu longitud de circunferencia de mesa le corresponde a cada uno?


42. Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden:a) 6 cm, 8 cm b) 12 cm, 16 cm c) 10 cm, 24 cm d) 12 cm, 18 cm

43. Si dos ngulos interiores de un tringulo miden 75 y 60 , cunto miden sus ngulos exteriores?

44. Cunto mide cada uno de los ngulos interiores de un tringulo equiltero? Y cada ngulo central? Y cada ngulo exterior?

45. Si un jugador de ftbol del Colegio Vizcaya recorre la diagonal de su campo de 90 m de largo y45 m de ancho, cuntos metros recorre?

46. La piscina del Colegio Vizcaya tiene 12,5 m de ancho y 25 m de largo. Calcula la mayor distancia que puedes nadar en lnea recta sin cambiar de direccin.

47. Ainhoa apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. Si el pie de la escalera se encuentra a2 m del muro, qu altura alcanzar la parte superior de la escalera?

48. Si un ngulo agudo de un tringulo rectngulo mide 40, cunto miden los otros dos ngulos? Y los ngulos exteriores?

49. Leire ha construido un rectngulo con listones de madera y ha medido sus lados y la diagonal obteniendo las siguientes medidas: 12 cm, 5 cm y 14 cm. Son correctas estas medidas? Razona la respuesta.


50. Dibuja la Recta de Euler en el siguiente tringulo:

51. En una circunferencia de 20 cm de radio, indica la posicin relativa de las rectas cuya distancia alcentro es de: a) 22 cm b) 20 cm c) 18 cm

52. Si el ngulo exterior de un polgono regular mide 45, cunto mide su ngulo interior? Qu polgono es?

53. Un lado de un rectngulo mide 24 cm y su permetro 80 cm. Calcula lo que miden los lados del rectngulo.

54. Calcula el permetro y la altura de un trapecio issceles cuyo lado no paralelo mide 12 cm y las dos bases, 10 y 14 cm.

55. Cunto mide la apotema de un cuadrado?

56. Un veldromo circular tiene 45 m de radio. Cuntas vueltas habr que dar para recorrer 3 km?

57. Un globo aerosttico cautivo est sujeto al suelo con una cuerda de 100 m de longitud. Hoy que haceun ligero viento el globo se ha desplazado 60 m de la vertical. A qu altura se encuentra el globo?

58. Un jugador de golf ha dado un golpe magnfico de 270 m desde el punto de salida, pero la bola hacado 7 m a la derecha del hoyo. Cul ser la distancia desde la salida al hoyo?


59. Cuando decimos que un televisor tiene 20 pulgadas, estamos diciendo que la diagonal del rectngulo de la pantalla mide 20 pulgadas (1 pulgada = 254 cm). De cuntas pulgadas es un televisor cuyos lados miden 528 cm y 396 cm?

60. Un carpintero tiene un tronco de rbol de 5 m de largo. La seccin es uniforme y circular de 60 cm de dimetro. Cules son las dimensiones de la mayor viga cuadrada que puede serrarse de dichotronco?

61. Calcula la distancia mxima a la que se pueden encontrar dos moscas en un folio de 28 cm de largoy 20 cm de ancho.

62. Un jugador de ftbol se encuentra perpendicularmente a 20 m del palo derecho de la portera y lanzael baln, situado en el suelo, a la escuadra del poste derecho marcando un magnfico gol. Si la portera tiene 244 m de altura. Cuntos metros aproximadamente ha recorrido el baln?

63. Una hormiga est en el vrtice de un cucurucho de papel, con forma de cono. El radio de la basemide 15 cm y la altura es de 40 cm. Cul es la mayor distancia que puede recorrer la hormiga, enlnea recta, partiendo del vrtice?

64. Para sujetar una antena de 30 m de altura, colocamos cuatro cables desde su extremo superior hastael suelo. Sabiendo que se sujetan a 15 m de la base de la antena, cuntos metros de cable necesitaremos?


65. Si el radio de una rueda de una bicicleta mide 35 cm, qu distancia recorre la rueda cuando haya dado 1000 vueltas?

66. Si el radio de la rueda de una moto mide 30 cm, cuntas vueltas tiene que dar para recorrer 1 km?

67. Si alrededor de una mesa circular de 110 cm de dimetro se sientan 6 personas, qu arco decircunferencia le corresponde a cada uno?

68. Calcula el radio de una circunferencia cuya longitud es de 178'98 cm.

69. La Luna est a 384 000 km de la Tierra. Si siguiera una rbita circular, qu distancia recorreracada vez que diera una vuelta completa alrededor de la Tierra?

70. Al rodear un tronco de un rbol con una cuerda y estirarla, se observa que mide 94'2 cm. Cul es el dimetro del tronco del rbol?

71. Halla el radio de las circunferencias cuyas longitudes son:a) 314 m b) 6'28 hm c) 31'4 cm d) 628 dam

72. Cuntos centmetros debe medir el radio de la rueda de una bicicleta para que avance 25'12 m en 10 vueltas?


73. Qu longitud ha recorrido un ciclista sabiendo que las ruedas de su bicicleta han dado 1500 vueltasy que stas tienen un dimetro de 60 cm?

74. Para construir unas ruedas de un carro, un carretero compra llantas a 20 euros el metro. Cunto ha gastado para construir 10 ruedas, sabiendo que el dimetro de stas es de 1'4 m?

75. Una rueda de un automvil da 45000 vueltas cuando el automvil ha recorrido 100 km. Halla el radio de la rueda.

76. La rueda de un coche tiene 4 dm de radio, y da 50 vueltas por minuto. Cuntos km recorrer en 2 horas?

77. Halla la altura de un tringulo issceles de 6 cm de base sabiendo que los lados iguales miden 12 cm.

78. La base de un tringulo issceles mide 8 cm y su altura 3 cm. Calcula el permetro del tringulo.

79. Una escalera de 6'5 m de longitud est apoyada sobre la pared y el pie de esta escalera est alejada 2'5 m de dicha pared. A qu altura del suelo se hallar el extremo superior de la escalera?

80. El tringulo cuyos lados miden 8, 15 y 17 cm, respectivamente, es un tringulo rectngulo?


81. Cunto mide el lado de una habitacin cuadrada que tiene una diagonal de 9 m?

82. Qu longitud ha de tener una escalera para alcanzar una altura de 12 m si la apoyamos a 4 m de la pared?

83. Una piscina mide 50 m de largo por 30 m de ancho. Cul es la mayor distancia que podemos nadar en lnea recta sin girar?

84. Calcula la altura de un trapecio issceles cuyas bases miden 10 y 16 cm respectivamente y el lado oblicuo 6 cm.

85. Calcula la apotema de un hexgono regular de 14 cm de lado.

86. Es rectngulo un tringulo cuyos lados miden 6, 7 y 12 cm?

87. Los lados iguales de un tringulo issceles miden 10 cm, y el lado desigual, 12 cm. Calcula la medida de la altura correspondiente.

88. Calcula el permetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 cm y 32 cm.


89. Cunto mide la apotema de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio?

90. Calcula la altura de un tringulo equiltero de 48 cm de permetro.

91. Aitor a construido en la clase de plstica un marco rectangular para una foto. Si las dimensiones del marco son 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 50 cm de diagonal, habr construido bien su marco?

92. Para sostener un poste de 1'5 m de altura, lo sujetamos con una cuerda situada a 2'6 m de la basedel poste. Cul es la longitud del poste?

93. La cuerda de una cometa mide 85 m, y sta se encuentra volando sobre una caseta que est a 63 m de Irene. A qu altura sobre el suelo est la cometa?

94. Una mosca est en el vrtice de un cucurucho de cartulina con forma de cono. El radio de la basemide 15 cm y la altura es de 40 cm. Cul es la mayor distancia que puede recorrer la mosca, en lnea recta, partiendo del vrtice?

95. Un globo cautivo est sujeto con una cuerda. Ayer, que no haba viento, el globo estaba a 50 m de altura. Hoy que hace viento, y la vertical del globo se ha alejado 30 m del punto de amarre. A qu altura est hoy el globo?


96. Si las bases de un trapecio issceles miden 4 cm y 10 cm, y la altura, 4 cm, cunto mide supermetro?

97. Para afianzar una antena de 24 m de altura. Se van a tender, desde su extremo superior, cuatro tirantesque se amarrarn en tierra, a 10 m de la base de la antena. Cuntos metros de cable se necesitarn para los tirantes?

98. El aro de una canasta de baloncesto se encuentra a 2'5 m del suelo. Si la lnea para lanzar triples se encuentra a 6 m de la canasta, calcula qu distancia en lnea recta hay desde la lnea de tiro al aro.


Vocabulario

Recta: Es la lnea ms corta que se puede imaginar entre dos puntos.Semirrecta: Es cada una de las dos porciones en que queda dividida una recta por cualquiera de

sus puntos.Segmento: Es la parte de la recta comprendida entre dos puntos.

Rectas paralelas: No tiene ningn punto en comn.Rectas secantes: Tienen un solo punto en comn. Si forman un ngulo de 90 entonces se les llama

perpendiculares.Rectas coincidentes: Tienen todos sus puntos comunes.

Lnea poligonal: Unin de varios segmentos por sus extremos.Lnea poligonal abierta: Es una lnea poligonal en la que el principio no coincide con el final.Lnea poligonal cerrada: Es una lnea poligonal en la que el principio coincide con el final.

Polgono: Es la porcin del plano contenida en una lnea poligonal cerrada.Polgono regular: Es el que tiene todos sus lados y ngulos iguales.Polgono irregular: Es el que tiene sus lados y/o sus ngulos desiguales.

Permetro: Suma de las longitudes de los lados de un polgono.

Lados de un polgono: Cada uno de los segmentos que lo limitan.Vrtices de un polgono: Puntos en comn de dos lados contiguos.ngulo de un polgono: El formado por dos lados consecutivos.ngulo central de un polgono: El formado por dos radios consecutivos.ngulo interior de un polgono: Porcin del plano limitada por dos lados consecutivos.ngulo exterior de un polgono: El formado por un lado y la prolongacin del lado contiguo.Diagonal de un polgono: Segmento que une dos vrtices no consecutivos.Radio de un polgono regular: Segmento que une el centro del polgono con uno de sus vrtices.Apotema de un polgono regular: Segmento que une el centro del polgono con el punto medio

de un lado.Polgono cncavo: Todas sus diagonales quedan dentro de l.Polgono convexo: Alguna de sus diagonales queda fuera de l.Tringulos: Polgono de 3 lados. Cuadrilteros: Polgono de 4 lados. Pentgonos: Polgono de 5

lados....

Nmero de diagonales de un polgono:

Mediatriz de un segmento: Lnea recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio.Bisectriz de un ngulo: Lnea recta que pasa por su vrtice y lo divide en dos ngulos iguales.

Altura de un tringulo: Es el segmento perpendicular a un lado trazado desde el vrtice opuesto. Ortocentro: punto donde se cortan las tres alturas de un tringulo.

Mediana de un tringulo: Es el segmento que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro: punto donde se cortan las tres medianas de un tringulo.

Mediatriz de un tringulo: Es la mediatriz de uno de sus lados.Circuncentro: punto donde se cortan las tres mediatrices de un tringulo.Circunferencia circunscrita a un tringulo: Si los tres vrtices del tringulo son puntos de la

circunferencia.Bisectriz de un tringulo: Es la bisectriz de uno de sus ngulos.

Incentro: punto donde se cortan las tres bisectrices de un tringulo.Circunferencia inscrita a un tringulo: Si los lados del tringulo son rectas tangentes a la

circunferencia.Recta de Euler: Recta que une el ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un tringulo.

( ) ( )n n - 3d = n = n de lados 2

Colegio VizcayaPolgonos y Circunferencia - 118

Vocabulario

Tringulo equiltero: Tiene sus tres lados iguales.Tringulo issceles: Tiene dos lados iguales.Tringulo escaleno: Tiene sus tres lados desiguales.Tringulo rectngulo: Tiene un ngulo recto y 2 agudos.Tringulo obtusngulo: Tiene un ngulo obtuso y 2 agudos.Tringulo acutngulo: Tiene los tres ngulos agudos.

Paralelogramo: Tiene sus lados opuestos iguales y paralelos.Cuadrado: Tiene sus 4 lados y ngulos iguales.Rectngulo: Tiene sus lados iguales dos a dos y sus 4 ngulos iguales.Rombo: Tiene sus 4 lados iguales y sus ngulos iguales dos a dos.Romboide: Tiene sus lados y ngulos iguales dos a dos.

Trapecio: Cuadriltero que tiene dos de sus lados opuestos paralelos.Trapecio issceles: Los lados no paralelos son iguales.Trapecio rectngulo: Uno de los lados no paralelo es perpendicular a la base.Trapecio escaleno: Los lados no paralelos son desiguales.Trapezoide: Cuadriltero que no tiene ningn lado paralelo.

Teorema de Pitgoras: En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los catetos.

Circunferencia: Lnea curva, cerrada y ana cuyos puntos equidistan del centro.Centro: Es un punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia.Radio: Es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.Cuerda: Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.Dimetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.Arco: Es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos cualesquiera.Semicircunferencia: Es un arco igual a la mitad de la circunferencia.Flecha o Sagita: Es el segmento perpendicular a la cuerda en su punto medio y comprendido

entre ste y la circunferencia.ngulo central: Es el ngulo que tiene su vrtice en el centro de la circunferencia y cuyos

lados estn sobre dos radios.

Longitud de una circunferencia: Es pi veces su dimetro.

Recta exterior: Si la recta y la circunferencia no tienen ningn punto en comn.Recta tangente: Si la recta y la circunferencia tienen un nico punto en comn.Recta Secante: Si la recta y la circunferencia tienen 2 puntos comunes.Circunferencias exteriores: Si ambas no tienen ningn punto en comn.Circunferencias interiores: Si ambas no tienen ningn punto en comn y una est dentro de la

otra.Circunferencias tangentes: Si ambas tienen un punto en comn.Circunferencias concntricas: Si ambas tienen el mismo centro, pero distinto radio.Circunferencias secantes: Si ambas tienen 2 puntos en comn.

Crculo: Es la porcin del plano contenida en una circunferencia.Semicrculo: Es cada mitad del crculo limitada por un dimetro.Sector circular: es la parte del crculo comprendida entre dos radios y su arco.Segmento circular: Es la porcin de un crculo comprendida entre una cuerda y un arco.Corona circular: Es la figura comprendida entre dos circunferencias concntricas.

2 2 2h =a +b

L d ==

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