Título: Triángulos

Autores: Asinari, Marianela – Rodes, Celeste

Profesores: Delgado, Erika - Fregona, Dilma – Parnisari, Marta

Carrera: Profesorado en Matemática

Fecha: 23 de Diciembre de 2010

CLASIFICACIÓN

97 Mathematical education – 51 Geometry

PALABRAS CLAVES

Triángulos

Construcción, clasificación y propiedades

Teorema de Pitágoras

Resumen

En este informe se presentan datos generales de la institución donde se llevaron a cabo las prácticas, la planificación y el desarrollo de las mismas, los resultados y conclusiones sobre las evaluaciones y el análisis de una de las experiencias llevadas a cabo.

Información general

Nombre de la Institución: Instituto Obispo Caixal

Dirección: Ana María Janer 1250. Barrio Pueyrredón. Córdoba Capital. Argentina.

Cursos en los cuales se realizaron las prácticas: segundo año “A” y “B”

Profesora a cargo: Mónica García.

Distribución de las practicantes:

Practicante: Asinari, Marianela.

Curso: 2º año “B”.

Cantidad de alumnos: 43

Horarios de clase: Lunes de 10:40 a 12:00.

Martes de 8:20 a 9:00.

Miércoles de 12:15 a 13:35.

Practicante: Rodes, Celeste.

Curso: 2º año “A”.

Cantidad de alumnos: 41

Horarios de clase: Lunes de 7:40 a 9:00.

Martes de 7:40 a 8:20.

Miércoles de 7:40 a 9:00.

Período de observaciones: Desde el 14 de Junio al 16 de Agosto de 2010.

Período de prácticas: Desde el 17 de Agosto al 5 de Octubre de 2010.

Acerca de la institución y de los cursos observados

El edificio cuenta con tres pisos: planta baja, primer piso y segundo piso, en los cuales se encuentran las aulas, una biblioteca, una sala de profesores, una capilla, una cantina con fotocopiadora, una sala de video. También hay dos patios: uno donde los alumnos forman y otro donde realizan las actividades de gimnasia, un laboratorio, baños para los alumnos y baños para los profesores.

Esta institución cuenta con Nivel Inicial y Primario, que desarrolla sus actividades en el turno tarde, y Nivel Secundario, que desarrolla sus actividades en el turno mañana.

En el turno de la mañana el timbre de entrada suena a las 7:30 hs, se cierra la puerta y los alumnos que llegan más tarde son anotados en un cuaderno que tiene una preceptora y luego se los sanciona en relación a la asistencia. Una vez que los alumnos están en el colegio pueden elegir entre formar en el patio para izar la bandera o concurrir a la capilla. Durante el recreo los alumnos no se pueden quedar en el aula porque el preceptor cierra sus puertas.

Las aulas son amplias, adecuadas a la cantidad de alumnos y tienen buena iluminación. Cuentan con dos pizarrones grandes, uno de frente a los bancos y otro detrás, en este último se colocan los trabajos realizados por los alumnos en las distintas asignaturas.

Los bancos son dobles y están organizados en cuatro filas, algunas con cinco bancos y otras con seis.

De acuerdo a lo que observamos en las clases de matemática, la metodología de trabajo es la siguiente: el tema a desarrollar se introduce mediante un debate entre la docente y los alumnos obteniendo conclusiones válidas acerca de dicho tema. Los aspectos teóricos (definiciones, propiedades que justifican las técnicas de resolución, etc.) se escriben en el pizarrón y las actividades posteriores (ejercicios y problemas) son dadas a través de fotocopias. Cada alumno dispone de ese material (elaborado por la profesora) y es resuelto en clase a medida que lo indica la docente, el alumno que no termina debe hacerlo de tarea.

El modo de corrección es el mismo para todas las actividades: un alumno resuelve un ejercicio en el pizarrón y explica el procedimiento a sus compañeros tratando siempre de fundamentarlo teóricamente.

Los alumnos son evaluados durante el transcurso del año lectivo mediante mini evaluaciones y evaluaciones, algunas veces de manera individual y otras en grupos de a dos. También la docente lleva un seguimiento de los cuadernos de cada alumno, suma o resta puntos en las evaluaciones de acuerdo a si están completos o incompletos. Esto es muy importante ya que al no utilizar libros de texto, el material de estudio de cada alumno es su cuaderno.

Los temas desarrollados en el período de observaciones son: operaciones con números enteros y ecuaciones, que corresponden a la unidad nº 1 de la planificación anual.

Planificación y desarrollo de la práctica

Tema: triángulos.

Este contenido corresponde a la unidad dos del programa de la profesora que específicamente propone:

Unidad Nº 2: Triángulo.

Polígono: Concepto y clasificación según sus lados. Triángulo: concepto y elementos. Clasificación de los triángulos según sus lados y según sus ángulos. Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo. Propiedad de los lados de un triángulo. Construcción de triángulos. Teorema de Pitágoras. Resolución de situaciones problemáticas.

La secuenciación de esos contenidos en el desarrollo de la práctica es la siguiente: Polígono: Caracterización y clasificación según sus lados.

Triángulo: Concepto y elementos. Clasificación según sus lados y sus ángulos. Construcción de triángulos. Propiedad de los ángulos interiores. Propiedad de los ángulos exteriores. Propiedad de los lados. Teorema de Pitágoras. Resolución de situaciones problemáticas.

La modalidad de trabajo en el aula es similar a la utilizada por la profesora titular y los materiales que utilizan los alumnos son: el cuaderno de matemática, fotocopias de actividades y elementos de geometría (regla, compás y transportador).

Objetivos generales:

Lograr que los alumnos sean capaces de:

Trabajar cooperativa y activamente, respetando el pensamiento ajeno desde una actitud crítica y constructiva, por el desarrollo personal y social.

Dar significado al concepto de clasificación en matemática.

Interpretar y utilizar las definiciones en su quehacer matemático.

Trabajar en grupo y comunicar sus ideas con confianza.

Aceptar el error como un mecanismo para el aprendizaje.

Organizar su tarea, sus registros, sus formas de estudio, etc.

Objetivos específicos:

Lograr que los alumnos sean capaces de:

Caracterizar polígonos a través del juego de clasificación de figuras.

Clasificar polígonos teniendo en cuenta la cantidad de lados.

Reconocer y clasificar triángulos según sus lados y sus ángulos.

Explorar a través de construcciones los datos que permiten construir un único triángulo, ninguno o infinitos.

Distinguir qué datos son necesarios y suficientes para construir un triangulo.

Utilizar los elementos de geometría convenientes para la construcción de triángulos.

Conocer las características de los triángulos y las propiedades de sus ángulos interiores y exteriores, de sus lados y utilizarlas para resolver problemas.

Interpretar la demostración de la propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo planteada desde un punto de vista algebraico.

Valorar la importancia de una demostración como herramienta de generalización.

Interpretar la relación enunciada en el Teorema de Pitágoras y modelizar situaciones reales.

POLÍGONOS

En grupos de a dos (por banco), los alumnos reciben diferentes figuras de cartulina recortadas1, con una letra que identifica a cada una, que deben agrupar de acuerdo al criterio que les parece conveniente (todas las figuras son del mismo color).

Observación: a partir de aquí, destacamos con color azul las actividades que entregamos a los alumnos en fotocopias, y con letra cursiva las definiciones y propiedades que los alumnos copian del pizarrón.

Actividad: Agrupar las figuras que tengan alguna característica en común y escribir por qué las

agruparon de esa manera. (No es válido utilizar las letras como criterio de agrupamiento).

1 Ver anexo.

Una vez que todos terminan esta actividad, preguntamos a varios grupos cuál es el criterio elegido, lo escriben en el pizarrón y luego preguntamos a toda la clase si están de acuerdo o no, promoviendo un debate entre todos.

Si no surge un criterio de clasificación conveniente para llegar a la conclusión deseada (figuras con todos sus lados rectos y figuras que no tienen todos sus lados rectos), proponemos, entre otros, los siguientes:

Poner juntas las figuras que tienen por lo menos un ángulo recto.

Poner juntas las figuras que tienen todos los lados rectos.

Luego discutimos las soluciones en el pizarrón, y llegamos a la conclusión de que los polígonos tienen todos sus lados rectos.

Actividades: 1) Dibujar en el cuadro las figuras de la actividad anterior.

POLIGONOS NO POLIGONOS

2) Completa con los números que corresponda: Llamamos:

3) Escribe en el cuadro anterior el nombre de cada polígono según el número de lados.

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

Undecágono

Dodecágono

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

al polígono que tiene………..lados.

Recordar que el

prefijo

correspondiente

te ayudará a no

olvidar su

nombre.

Luego de clasificar las figuras en polígonos y no polígonos, pegamos en el pizarrón un afiche con el cuadro anterior completo y los alumnos dibujan en la fotocopia las figuras correspondientes.

El cuadro queda completo de la siguiente manera:

TRIÁNGULOS

Elementos

Proponemos a los alumnos que dibujen en el pizarrón varios triángulos y que marquen en ellos sus elementos: vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.

En el pizarrón acordamos cómo vamos a nombrar los elementos y los alumnos copian en sus cuadernos lo siguiente:

Para definir ángulos exteriores introducimos el concepto de ángulos adyacentes:

POLIGONOS NO POLIGONOS

c

b a

Vértices: puntos a, b, c

Lados: segmentos , , .

Ángulos interiores: , , ó c b, a c, b a.

Ángulos exteriores: , , .

Definición: Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y los otros dos lados son semirrectas opuestas.

Discutimos esta definición analizando qué entienden por “lado en común” y “semirrectas opuestas”.

Luego, retomamos la definición de ángulos exteriores utilizando el concepto de ángulos adyacentes.

Angulo exterior: es el ángulo adyacente al ángulo interior.

Clasificación según sus lados y sus ángulos.

Discutimos entre todos si se acuerdan de estas clasificaciones.

Según sus lados:

Triángulo escaleno: tiene todos sus lados distintos.

Triángulo isósceles: tiene al menos dos lados congruentes.

Triángulo equilátero: tiene sus tres lados congruentes.

Según sus ángulos:

Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto.

Triángulo acutángulo: tiene sus tres ángulos agudos.

Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

Actividades:

1) Clasifica los siguientes triángulos teniendo en cuenta sus lados y sus ángulos.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

a)

………………………………

b)

………………………………

c)

.........…………………………

d)

…………………………………

e)

..…..…………………………

f)

…….…………………………

2) Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta.

a) Todo triángulo isósceles es equilátero.

b) Un triángulo escaleno puede ser isósceles.

c) Todo triángulo isósceles es un triángulo acutángulo.

d) Todo triángulo rectángulo es escaleno.

e) Todo triángulo acutángulo es isósceles o es equilátero.

f) Todo triangulo equilátero es isósceles.

Construcción de triángulos

Damos la siguiente actividad para que los alumnos construyan triángulos con los elementos de geometría que ellos prefieran.

1) a) Dados dos segmentos de 6 cm y 4 cm. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos?

¿Cuántos distintos puede haber?

Pasan algunos chicos al pizarrón a dibujar uno de los triángulos que construyeron en sus cuadernos (los que pusieron como base el lado de 6 cm) y comprobamos que cumplen las hipótesis del ejercicio, vemos que sí se pueden dibujar dos triángulos distintos y que existen infinitos.

Como la mayoría de los alumnos utilizó únicamente la regla para hacer esta construcción, consideramos necesario explicar el uso del compás.

Suponiendo que los siguientes triángulos son los que están dibujados en el pizarrón:

Tomamos el triángulo abc, y trasladamos los segmentos y sobre el vértice a

(extremo común de los segmentos y ) y vemos que los extremos de , y forman

un arco de circunferencia con centro en a y radio ≈ ≈ .

A continuación se muestra gráficamente la explicación anterior:

a b

c

6 cm 6 cm 6 cm

b) Dados tres segmentos de 5 cm, 3 cm y 4 cm. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos distintos puede haber?

Pasamos por los bancos y vemos si el ejercicio está bien hecho, superponiendo el triángulo construido por nosotras (en una hoja de calcar) con el que dibujó cada alumno en su cuaderno.

c) Dados tres segmentos de 8 cm, 4 cm y 4 cm. ¿Puedes dibujar un triángulo con estos datos? ¿Por qué?

Algunos chicos construyen triángulos “achatados” y otros dicen que no existe un triángulo que tenga como lados esos segmentos.

Para aclarar la idea, en el pizarrón mostramos que la unión de los dos segmentos de 4 cm forma el lado de 8 cm.

d) Dados tres segmentos de 7 cm, 3 cm y 2 cm. ¿Puedes dibujar un triángulo con

estos datos? ¿Por qué? Sugerimos a los chicos que tengan en cuenta lo que explicamos en el inciso a)

respecto del uso del compás, para ver que las circunferencias no se cortan, es decir que no se puede construir un triángulo con esos datos.

2) Construye un triángulo dados los siguientes segmentos:

a) 5 cm, 6 cm y 4 cm.

b) 4 cm, 4 cm y 7 cm.

3) a) Dados dos segmentos de 4 cm y 5 cm, y el ángulo comprendido entre ellos de

. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos distintos puede haber?

Para corregir este ejercicio, entregamos a los chicos varios ejemplares del triángulo construido en papel de calcar para que ellos mismos lo superpongan con el suyo, de esta manera se dan cuenta que a veces hay que rotar o dar vuelta el papel y que si se superponen entonces son congruentes.

b) Dado un segmento de 5 cm, y los ángulos adyacentes de 50° y de 60°. ¿Puedes

dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos distintos puede haber? Al momento de plantear el ejercicio, verificamos si los chicos tienen clara la idea de

cuándo un ángulo es adyacente a un lado. (Hacemos notar la diferencia entre dos ángulos adyacentes y un ángulo adyacente a un lado).

4) Construye un triángulo, sabiendo que:

a) dos lados miden 4 cm y 2 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 60°.

b) dos lados miden 6 cm y el ángulo comprendido entre ellos es de 75°.

c) un lado mide 8 cm y los ángulos adyacentes a él son de 45° y 65°.

d) un lado mide 4 cm y los ángulos adyacentes a él son de 120° y 55°.

5) a) Dados dos ángulos de 45° y 60°. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos?

¿Cuántos distintos puede haber?

b) Dados tres ángulos de 100°, 30° y 50°. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos distintos puede haber?

6) Construye un triángulo dados los siguientes ángulos:

a) 50°,60° y 70°

b) 30°, 120° y 30°

Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo

Entregamos a cada alumno dos rectángulos de cartulina de aproximadamente 10 x 11cm (uno por vez) para que en cada uno de ellos dibujen y recorten un triángulo distinto (un acutángulo y un obtusángulo).

La siguiente consigna fue copiada en el pizarrón:

En el cuadrado de cartulina:

- Construye un triángulo acutángulo (obtusángulo).

- Luego recórtalo.

- Nombra sus ángulos interiores.

- En tu cuaderno marca el contorno del triángulo.

Una vez que todos terminan, proponemos que corten los ángulos del triángulo y hacemos la siguiente pregunta:

¿Cómo puedo hacer para ver que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°? Utilicen los ángulos que recortaron para ayudarse.

A continuación mostramos la secuencia del trabajo que realizaron los alumnos con respecto a esta actividad:

Paso 1:

Paso 2:

δ

δ

α

β δ

α

β

β α

Una vez que finalizamos esta actividad, enunciamos la siguiente propiedad en el pizarrón:

Aclaración: la propuesta era entregar tres rectángulos de cartulina para que verifiquen la propiedad en los tres tipos de triángulos (acutángulo, obtusángulo y rectángulo) pero como los alumnos ya conocían esta propiedad decidimos no darles el tercer rectángulo, pero explicitamos que la propiedad se cumple en todos los triángulos.

Actividades:

1) Calcula la medida de α en los siguientes triángulos:

(a) (b)

2) Clasifica los triángulos del inciso 1) según sus ángulos.

3) Sabiendo que aec es un triángulo rectángulo en â (es decir que â es recto) y que ê mide 35°, calcula el valor de ĉ.

β α

PROPIEDAD: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es

igual a 180°”

……..0e los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°”

45° 45°

α

α

30°

120°

δ

50° α

30°

30°

α

80°

(d) (c)

Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo

Para dar esta propiedad, retomamos la actividad del triángulo de cartulina de la propiedad anterior.

La consigna es que los alumnos dibujen un ángulo exterior al triángulo pegado en sus cuadernos, la actividad consiste en que ellos descubran cuánto mide ese ángulo. Nosotras pasamos por los bancos guiándolos para que lleguen a “descubrir” la propiedad.

Se realiza una puesta en común sobre las conclusiones obtenidas y escribimos en el pizarrón la siguiente propiedad y luego una demostración de la misma:

Demostración:

Dado el siguiente triángulo:

Por la propiedad de los ángulos interiores sabemos que â + ĉ + ê = 180°

Como α y ĉ son adyacentes, entonces α + ĉ = 180°

Entonces, me queda

â + ĉ + ê = α + ĉ

Aplicando la ley cancelativa de la adición tenemos que

â + ĉ + ê = α + ĉ

entonces â + ê = α.

α

β δ

β

α

PROPIEDAD: “En todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de

los ángulos interiores no adyacentes a él”

a c

e

α

Actividades:

1) Calcula el valor de los ángulos marcados en los siguientes triángulos.

(A) (B)

2) En el triangulo AGC, α= 108° es exterior a  y δ= 132° es exterior a ^C. ¿Cuánto mide el ángulo interior G?

3) ¿Cuáles de estas ternas de ángulos no se pueden utilizar para construir un triángulo?

¿Por qué?

a) â = 100° b) α = 45° c) ê = 60° d) δ = 72°

ĉ = 35° β = 45° ĉ = 28° ε = 43°

ŷ = 50° γ = 90° ŝ = 30° π = 65°

Actividades:

1) Calcula el valor de los ángulos marcados en los siguientes triángulos:

a) â = 3x+15 b) π = 5x-10

ĉ = 2x+10° α = 2x+16°

2) En el triángulo aec, α =110° es exterior a ĉ y β =140° es exterior a â. ¿Cuánto mide el ángulo interior ê? ¿Y cuanto el ángulo π exterior a ê?

3) En el triángulo mno, α =110° es exterior m y β =140° es exterior a ô. ¿Cuánto mide el ángulo interior n?

α 148°

β

π

ε

52° α

105°

35°

â

ĉ

π

α

Propiedad de los lados de un triángulo

Actividad:

Elijan tres números a, b y c naturales mayores que 2 y menores que 10 y los anotan; elijan otros tres y anótenlos. Repitan esto hasta obtener cinco ternas diferentes de números. Consideren que cada una de esas ternas son las medidas en cm de los lados de un triángulo y construyan la figura que corresponde.

a) ¿Es siempre posible construir un triángulo cuyos lados midan los tres números elegidos? b) ¿Con qué ternas pudieron construir los triángulos y con cuáles no? c) ¿Qué diferencia encuentran entre las ternas con las que construyeron los triángulos y con las que no?

La finalidad de esta actividad es que los alumnos puedan deducir la propiedad a través de la comparación de los lados con los que pudieron construir el triángulo y con los que no pudieron.

Actividad:

1) Indica con cuáles de las siguientes ternas es posible construir un triángulo. (Sin realizar la construcción)

a) a= 2 cm; b= 6 cm; c= 7 cm b) a= 3 cm; b= 4 cm; c= 8 cm

c) a= 4 cm; b= 4 cm; c= 2 cm d) a= 4 cm; b= 4 cm; c= 7 cm

e) a= 4 cm; b= 4 cm; c= 8 cm

Teorema de Pitágoras

Actividad: 1) Dadas las siguientes ternas de segmentos, construye el triángulo correspondiente.

¿Qué triángulos resultan ser según sus ángulos? Realiza la construcción con regla y compás. a) a=3 cm, b=2 cm, c=4 cm b) a=3 cm, b=4 cm, c=5 cm

c) a=6 cm, b=6 cm, c=6 cm d) a=6 cm, b=8 cm, c=10 cm

2) Determina en cuáles de las ternas anteriores se cumple la siguiente relación:

“El cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados”.

3) ¿Qué tipos de triángulos de la actividad 1) cumplen la relación del inciso 2)?

Definición: En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (a y b) y el tercer lado hipotenusa (c).

PROPIEDAD: “En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos.”

Actividades:

1) Calcula la medida del lado desconocido en cada triángulo rectángulo.

a) b) c)

2) Calcula la medida de la diagonal del siguiente rectángulo.

3) Un árbol de 12 m de altura proyecta una sombra de 9 m. ¿Cuál es la distancia que hay entre el extremo superior de la copa del árbol y el extremo de la sombra?

4) Una muralla tiene una altura de 12 m y al pie del muro hay un foso de 4 m de ancho. ¿A qué distancia del foso está apoyada una escalera de 13 m que llega hasta el borde superior de la muralla?

5) Sea el trapecio rectángulo de vértices M, N, P, Q. Calcula el perímetro del área sombreada.

a

b

c

TEOREMA DE PITÁGORAS: “En todo

triángulo rectángulo, la suma de los

cuadrados de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa.

En símbolos: a² + b² = c².”

9 cm 15 cm

a

b

8 cm

10 cm 12 cm

5 cm

c

7 cm

24 cm

d

M

N

R Q

P

4 cm

5 cm

8 cm

6) Cuando se dice que un televisor es de 14 pulgadas, es porque la diagonal de la pantalla mide 14 pulgadas (1 pulgada = 2,54 cm).

¿Cuántas pulgadas mide, aproximadamente, el lado horizontal de la pantalla de un televisor de 29 pulgadas si el lado vertical mide aproximadamente 16 pulgadas?

7) Una antena, de 45 m de altura, se encuentra sujeta por un cable de 53 m. Calcula la distancia que existe entre la base de la antena y el extremo del cable que está en el piso.

Evaluaciones

En el transcurso de nuestras prácticas tuvimos dos instancias de evaluación, la primera fue dada antes de que culminara el segundo trimestre porque la profesora titular necesitaba una nota más para cerrar el promedio, por eso evaluamos los temas que habíamos dado hasta ese momento: polígonos y triángulos: elementos, construcción y la propiedad de los ángulos interiores.

La segunda evaluación fue tomada al finalizar la unidad y los alumnos pudieron utilizar los machetes elaborados en las clases anteriores. En la misma se evaluaron todos los temas de la unidad.

Al lado de cada consigna detallamos el puntaje correspondiente.

Aspectos que tuvimos en cuenta para acreditar las evaluaciones

Al momento de corregir tuvimos en cuenta que el alumno:

reconozca los distintos tipos de triángulos de acuerdo a las clasificaciones estudiadas e identifique sus elementos,

utilice los elementos de geometría necesarios para construir los triángulos,

aplique correctamente las propiedades,

utilice el teorema de Pitágoras para la resolución de problemas.

A continuación se muestran los dos modelos de evaluación.

EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA 2º AÑO

8 de Septiembre de 2010 Nombre y Apellido:………………………………………………………

(0.5p) 1) Escribe la definición de triángulo.

(1.5p) 2) Dibuja un triángulo rectángulo escaleno, señala y nombra: los vértices, los lados, los

ángulos interiores (de color azul) y los ángulos exteriores (de color rojo).

(3p) 3) Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones, justificando la

respuesta.

a) Todo triángulo equilátero es isósceles.

b) Todo triángulo isósceles es escaleno. c) Los lados de un triángulo equilátero de 42 cm de perímetro miden 13 cm. d) Existen triángulos isósceles obtusángulos. e) Es posible dibujar un triángulo que tenga dos ángulos interiores obtusos.

(3p) 4) Construye en cada caso el triángulo correspondiente según los datos que se indican y

utilizando los útiles de geometría apropiados:

a) tres lados que miden 5 cm, 8 cm y 11 cm. b) dos lados que miden 5 cm y 7 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 120°. c) un lado que mide 6 cm y los ángulos adyacentes a él son de 45° y 55°.

(2p) 5) Plantea la ecuación y resuelve. Escribe la respuesta.

a) En un triángulo la suma de dos ángulos interiores es de 125°, ¿cuánto mide el otro

ángulo?

b) En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide 36°, ¿cuánto mide el otro

ángulo agudo?

EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA 2º AÑO

4 de Octubre de 2010 Nombre y Apellido: …………………………………………………….

(2p) 1) Construye en cada caso el triángulo correspondiente según los datos que se indican utilizando los útiles de geometría apropiados.

a) Un lado que mide 5 cm y los ángulos adyacentes a él son de 100° y 30°.

b) Dos lados que miden 6 cm y 7 cm, y el ángulo comprendido entre ellos es de 50°.

(2p) 2) Calcula el valor de los ángulos marcados en el siguiente triángulo. Indica y enuncia qué propiedades utilizaste.

(1p) 3) Indica con cuáles de las siguientes ternas es posible construir un triángulo, sin realizar la construcción. Justifica cada respuesta.

a) a = 7 cm; b = 3 cm; c = 10 cm.

b) a = 8 cm; b = 5 cm; c = 2 cm.

c) a = 6 cm; b = 9 cm; c = 12 cm.

(2p) 4) Completa las frases con: “a veces”, “siempre” o “nunca” según corresponda en cada caso. Justifica en cada caso.

a)…………..en un triangulo cada lado es mayor que la suma de los otros dos.

b)…………..en un triángulo la suma de un ángulo interior y su respectivo ángulo exterior es 180°.

c)……………un triángulo rectángulo tiene un ángulo obtuso.

d)……………en cualquier triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados.

(1,5p) 5) Para sujetar una antena de 12 m de alto, se proyecta colocar un cable de acero. Si se desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 5 m de la base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán? Realiza el dibujo correspondiente. Plantea la ecuación y resuelve.

(1,5p) 6) En un árbol de 8 m de altura la distancia entre el extremo superior de la copa y el extremo de la sombra es de 10 m. Si la sombra que proyecta el tronco del árbol es de 4 m ¿Cuánto mide la sombra que proyecta la copa? Realiza el dibujo correspondiente. Plantea la ecuación y resuelve.

124°

ε

79°

π

α

Resultados de las evaluaciones

Análisis de un problema desde un marco teórico

Uno de los problemas que enfrentan las clases de matemática en la escuela media es el modo de estudiar de los alumnos. Por lo general estudian sólo antes de una evaluación y de manera independiente, “no siempre disponen de espacios extraescolares donde estudiar, no siempre acceden a libros de matemática, y no siempre se encuentran respaldados por algún adulto que pueda ayudarlos en esta tarea”2.

El desafío es generar espacios dentro de la clase en los cuales los alumnos estudien matemática ya que “estudiar matemática” va más allá de prepararse sólo para la prueba. Estudiar matemática supone resolver problemas, construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje3. Es decir que el alumno debe incluir todas estas acciones (repasar, reflexionar, validar, etc.) en el proceso de estudio.

Frente a esta situación una de las propuestas que presenta el documento de apoyo ya citado, es que los estudiantes aprendan a elaborar un “machete” para repasar los contenidos dados en clase. De esta manera los alumnos toman parte activa en el repaso y pueden reflexionar acerca de cuáles son los aspectos más importantes para recordar y cuáles son los errores más comunes que cada uno comete.

En nuestras prácticas decidimos implementar este método como una forma de estudio. Luego de trabajar algunos contenidos, propusimos a los alumnos elaborar en clase un glosario de los temas estudiados y un machete que les sirva de ayuda en la evaluación4.

La clase se organizó en grupos de dos alumnos cada uno, y cada grupo debía elaborar su propio glosario y su propio machete.

La finalidad de esta tarea es lograr que los alumnos exploren sus cuadernos y reconozcan los temas que se desarrollaron a lo largo de la unidad a través de la elaboración del glosario, y que seleccionen los contenidos más importantes, los que les resultaron más dificultosos, los que menos recuerden, que elijan ejemplos, desarrollos de ejercicios que consideren difíciles o que piensan que no se acordarán en el momento de la evaluación, para escribirlos en el machete.

Luego de realizar esta actividad se creó un espacio para hacer público lo producido: cada alumno comentaba lo que había elegido para escribir en su trabajo e indicaba qué ejercicio o problema creía conveniente incluir en su machete. De esta manera los demás estudiantes evaluaban si era importante o no agregar a sus trabajos lo que su compañero comentó, y así crear un momento de reflexión en el que los alumnos pudieran identificar los objetos matemáticos estudiados y el modo de tratarlos.

Esta actividad se llevó a cabo durante una clase de 80 minutos, y al concluir la misma los alumnos nos entregaron sus trabajos para que nosotras los “corrijamos”. Esta corrección consistió sólo en marcar los errores que los alumnos cometieron al copiar los temas de su cuaderno, la intención era que ellos confeccionaran el machete de acuerdo a su propio criterio.

2 Ver “El abecé de la Matemática escolar. Las prácticas de enseñanza en el aula”. (2009) Horacio

Itzcovich. Ed: Aique. 3 Ver “Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio”. (2005) Bs.As.: GCBA. Secretaría

de Educación. 4 La actividad se realizó antes de comenzar el tema Teorema de Pitágoras.

Durante las clases siguientes seguimos con la planificación de la unidad. Luego de culminar el tema Teorema de Pitágoras entregamos los machetes a cada alumno para que lo complete con lo que quisiera agregar de este tema. Otra vez recolectamos todos los trabajos, los corregimos y los devolvimos el día de la evaluación para que lo utilicen como herramienta.

En las páginas siguientes mostramos a modo de ejemplo dos machetes elaborados por los alumnos junto con sus correspondientes evaluaciones.

El primer trabajo es de Evelyn, alumna de 2º B. Los dos primeros escaneos corresponden a su machete y los otros tres son de su evaluación.

En este machete la alumna reprodujo el desarrollo de uno de los ejercicios que les dimos en una clase (calcular la medida de algunos ángulos de un triángulo) y que ella aseguraba que no lo entendía y que no le salía. Se puede observar en la evaluación que esto le ayudó a resolver el ejercicio 2). Además transcribió una de las propiedades de los triángulos y un ejercicio (de las actividades realizadas en clase) para aplicar dicha propiedad, el cual le sirvió de modelo para hacer el ejercicio 3) de la prueba.

También escribió el teorema de Pitágoras y un ejemplo de su aplicación.

Podemos ver en el ejercicio 2) de la evaluación, que la alumna lo resolvió sin inconvenientes pero a la hora de escribir las propiedades utilizadas no las enunció, y éstas no están escritas en el machete.

El segundo trabajo es de Luis, alumno de 2º A. Los dos primeros escaneos corresponden a su machete y los otros tres son de su evaluación.

En este caso el alumno en su machete escribió solo algunas cosas “teóricas”, según su criterio las más importantes. Además agregó algunas aclaraciones respecto de lo que tenía escrito y de algunos temas que mencionamos en clase (lo podemos ver en la clasificación de los triángulos y en el enunciado del teorema de Pitágoras).

Si miramos en la evaluación el ejercicio 2), a simple vista apreciamos que en el mismo el machete no se utilizó pues encontró bien la amplitud de los ángulos pero no

enunció las propiedades, que eran las que aparecían en su machete. Podemos suponer que no entendió el enunciado del ejercicio, que se olvidó de hacer esa parte o que quizás no entiende la relación entre la definición de la propiedad y la aplicación.

Conclusión

Cuando analizamos los machetes de ambos cursos encontramos una diferencia importante; en segundo “A” la mayoría de los machetes contenía teoría y ejercicios prácticos, en cambio en segundo “B” la mayoría de los alumnos escribió sólo teórico.

De los resultados de la evaluación es evidente que la utilización del machete no favoreció a los estudiantes. Si bien fue logrado el desafío de generar un espacio en el aula para ayudar a los alumnos a repasar los contenidos, a reflexionar acerca de cuáles son los aspectos más importantes para destacar o cuáles los errores más comunes que se pueden cometer, no resultó tan efectivo como esperábamos.

Desde nuestro punto de vista los machetes no fueron utilizados como tales, es decir, si bien la mayoría de los chicos lograron distinguir cuáles eran los temas que tenían que poner no supieron cómo usarlos en la evaluación. Pensamos que esto sucede porque no tienen totalmente incorporado la relación que existe entre el enunciado de una propiedad y su respectiva aplicación.

Pero no debemos hacer únicos responsables a los alumnos. Ellos deben saber cuáles son los errores más comunes que cometen o qué temas son más importantes que otros, pero esto no pueden hacerlo solos. Es aquí cuando entra en juego el rol del docente para ayudarlos a identificar estas cuestiones. Esto pudimos comprobarlo cuando, al momento de hacer la devolución de los resultados de las evaluaciones, algunos alumnos nos manifestaron que no supieron cómo ni cuándo utilizar el machete.

Por último, concluimos en que hay que tener en cuenta los resultados de la evaluación, no solo para evaluar al alumno sino también al curriculum y a la eficacia de la acción del docente. En “El ABC de la tarea docente: curriculum y enseñanza.” (Gvirzt y Palamidessi, 1998: cap. 8) leemos que “la evaluación sirve para retroalimentar la tarea de enseñanza, ejerce una influencia formativa muy importante sobre la labor del desarrollo, tanto de la planificación inicial como de las revisiones que se van haciendo sobre la marcha”.

Pensamos que sería útil repetir la experiencia con este curso, con otros temas y hacerla extensiva a todos los cursos del Nivel Secundario, profundizando la relación entre el alumno y un texto, siempre con la colaboración del docente para favorecer la formación matemática y personal de los estudiantes.

Reflexión final

Consideramos que la planificación fue una herramienta fundamental para realizar las prácticas, pues fue la guía que utilizamos para llevar a cabo las clases, prácticamente no hicimos modificaciones. Nos ayudó el hecho de haber observado a los alumnos un tiempo prolongado y poder ver cómo se desempeñaban en el aula. Pudimos concretar la mayoría de los objetivos que nos propusimos, los alumnos respondieron ante todas las propuestas de trabajo que planteamos: el juego de clasificación de figuras, las exposiciones orales, los trabajos en grupo, el desafío de introducir la demostración como herramienta matemática.

En las prácticas pudimos ver que muchas veces los tiempos con que cuenta el docente en el aula condicionan su tarea pues debe dar todos los temas que aparecen en el curriculum y además plantear estrategias y actividades que puedan orientar el estudio personal de los alumnos.

Con las actividades que propusimos en las prácticas pretendimos hacer del aula un espacio en el que los alumnos puedan trabajar en grupo, comunicar sus ideas con confianza y familiarizarse con conceptos que ya aprendieron.

Queremos agradecer a la profesora del curso Mónica García por el apoyo y los consejos brindados, la predisposición que tuvo en todo momento y por compartir su conocimiento con nosotras e inspirarnos mucha admiración. A las profesoras de práctica Dilma Fregona, Marta Parnisari y Erika Delgado quienes nos asesoraron a lo largo de las prácticas y acompañaron en este camino que hoy culmina en el presente trabajo. Finalmente al Instituto Obispo Caixal por abrirnos sus puertas y hacernos sentir parte de él.

Anexo Aquí se presentan las figuras entregadas a los alumnos en la actividad de clasificación

de figuras.

A

E

F

D C

B

H

G

I

K

J

L

Q

P

N O

M

L

Bibliografía

Itzcovich, Horacio; R. de Moreno, Beatriz; Novembre, Andrea y Becerril, María M (2009). El abece de la Matemática escolar. Bs. As.: Aique. Gvirzt, Sivina y Palamidessi, Mariano (1998). El ABC de la tarea docente: curriculum y enseñanza. Bs. As.: Aique. Documentos y textos escolares Documento N.º 2 Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio. (2005): Bs. As.: Dirección general de planeamiento. Programa de Matemática. Primer año (2002). Bs. As.: GCBA. Secretaría de Educación. Dirección General de planeamiento. De Larotonda, Julia S; Wykowski, Ana R y Ferrarini, Graciela (1996). Matemática 7. Bs. As.: Kapelusz. De Cortés, Graciela D. (1994). Matemática 1. Primer año Ciclo Básico Común y Escuelas Nacionales de Comercio. Bs. As.: Stella. Sadovsky, Patricia; Melguizo, María P y Rubinstein de Waldman, Clara L (1988). Matemática 1. Bs. As.: Santillana. Latorre, María L; Spivak, Laura; Kaczor, Pablo J y L. de Elizondo, María C (1997). Matemática 8. Bs. As.: Santillana. Amenedo, Mariana B; Carranza, Susana G; Diñeiro, María T; Grau, Jorge E y Latorre, María L (1995). Matemática 1. Bs. As.: Santillana. Canteros, Laura I; Felissia, Ana M y Fregona, Dilma (1997). El libro de la Matemática 7. Bs. As.: Estrada. Chorny, Fernando; Krimker, Gustavo y Salpeter, Claudia (2003). Pitágoras 7. Bs. As.: sm.