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POLIGONOSUN MUNDO IMPRESIONANTE DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

SEP SEMSDGETI

CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS, INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS N° 114

AUTORES:

Omar Jacobo García (Introducción y Todo Tema 2).N° de lista: 22

Mauricio Alejandro Miramontes Márquez (Todo Tema 4). N° de lista: 28

Cristian Flores Bermúdez (Todo Tema 1). N° de lista: 4

Edgar Mauricio Murillo Félix (Todo Tema 3). N° de lista: 32

Susan Karina Orquíz García (Todo Tema 6 y parte del 5). N° de lista: 35

Saúl Morales Ávila (Todo Tema 7 y parte del 5). N° de lista: 30

MATERIA: Geometría y Trigonometría GRUPO: II “D”

PROFESOR:Rodolfo Ayala Esquivel

PAGINAS: 50

FEHA DE ENTREGA: Lunes 19 de Abril de 2010

POLIGONOS

ÍndiceÍndice……………………………………………………………………………………………………………2

Introducción…………………………………………………………………………………………………...4

Contenido

1. Historia de los POLIGONOS

1.1. La historia y la geometría (I)………………………………………………………………...……5

1.1.1. Los Babilonios……………………………………………………………………….………..6

1.1.2. Los Griegos…………………………………………………………………………………….7

1.2. La historia y la geometría (II)…………………………………………………….…………….10

1.1.3. El sistematizador –EUCLIDES-………………………………………..………………10

2. Clasificación de polígonos

2.1. Clasificación de los polígonos según la medida de sus ángulos………………………..….11

2.1.1. Cóncavos……………………………………………………………………………………….11

2.1.2. Convexos………………………………………………………………………………………11

2.2. Clasificación de los polígonos regulares o no regulares………………………..………….12

2.2.1. Regulares……………………………………………………………………………………...12

2.2.2. No Regulares ó Irregulares……………………………………………………….………12

2.3. Clasificación de los polígonos según el número de lados…………………………….…….13

2.3.1. Triángulo……………………………………………………………………………….……..13

2.3.1.1. Clasificación de Triángulos…………………………………….…………….……13

2.3.1.2. Igualdad de Triángulos…………………………………….………………….……14

2.3.1.3. Criterios de Igualdad de Triángulos……………………………………….…….15

2.3.1.4. Propiedades de los Ángulos en un Triángulo…………………………….…….16

2.3.1.5. Rectas y Puntos Notables del Triángulo…………………………………..….…17

2.3.1.6. Teoremas Importantes para el Triángulo………………………………….…..20

2.3.2. Cuadrilátero……………………………………………………………………………….....21

2.3.2.1. Clasificación de cuadriláteros, puntos y rectas de los cuadriláteros….….22

2.3.3. Pentágono………………………………………………………………………………….....24

2.3.4. Hexágono…………………………………………………………………………………..…24

2.3.5. Heptágono…………………………………………………………………………………….24

2.3.6. Octógono…………………………………………………………………………………….....24

2.3.7. Nonágono ó Eneágono………………………………………………………………...…….24

2.3.8. Decágono…………………………………………………………………………………..…..24

2.3.9. Endecágono……………………………………………………………………………...…….24

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2.3.10. Dodecágono…………………………………………………………………………...……..24

2.3.11. Tridecágono…………………………………………………………………………..………24

2.3.12. Tetradecágono……………………………………………………………………..……..…25

2.3.13. Pentadecágono………………………………………………………………………………25

2.3.14. Hexadecágono……………………………………………………………………………….25

2.3.15. Heptadecágono……………………………………………………………………………...25

2.3.16. Octadecágono………………………………………………………………………………..25

2.3.17. Eneadecágono………………………………………………………………………………..25

2.3.18. Icoságono……………………………………………………………………………………...25

2.3.19. Circunferencia……………………………………………………………………………....25

3. Circunferencia………………………………………………………………………………………………..26

3.1. Elementos de una circunferencia……………………………………………………….…….…..26

3.2. Ángulos en una circunferencia……………………………………………………………………29

3.3. Círculo…………………………………………………………………………………………………..31

3.3.1. Elementos de un círculo…………………………………………………………………….31

4. Ángulos…………………………………………………………………………………………………………34

4.1. Ángulos den los polígonos……………………………………………………………………..……34

4.2. Ángulos internos de un polígono……………………………………………………………..….36

4.3. Ángulos externos de un polígono…………………………………………………………………38

4.4. Formulas para sacar la medida de algunos ángulos en los polígonos regulares………38

5. Ejercicios

5.1. Problemas……………………………………………………………………………………..………40

5.2. Soluciones…………………………………………………………………………………….………41

5.3. Más problemas con soluciones y fórmulas……………………………………………….……45

6. Conclusión……………………………………………………………………………………………………49

7. Bibliografía……………………………………………………………………………………………………50

IntroducciónLa geometría fue, primero, la ciencia de la medida de las extensiones (geo = tierra; metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con los geómetras griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la expresión medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de "establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos clases:

Relaciones de posición que se enuncian por proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta D’", " la recta D es tangente al círculo C", etc.

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Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es triple del segmento AC", "la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número que ninguna fracción puede definir", etc.

Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de la antigüedad pusieron a punto un método que se convertiría más adelante en el método matemático por excelencia: la demostración.

Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - como dijo Descartes- a algunos principios primeros. Este "corpus" es la geometría euclidiana.

Precisamente, el valor estético de la construcción euclídea y la trascendencia intelectual de su programa consiste en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.

La geometría de Euclides, la geometría de Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas teorías deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y podemos dar de ellas diversas imágenes que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas imágenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones, etc.

La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es válido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de Euclides).

La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea en la cual el postulado de las paralelas se sustituye por otro según el cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que no tienen puntos comunes con esa recta.

La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.

La Geometría proyectiva: Geometría cuyos objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades.

1. Historia de los POLIGONOS

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1.1 LA HISTORIA Y LA GEOMETRÍA (I)

Todo comenzó en Egipto.El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.

La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas. Pero el verdadero motivo era que las clases altas conocían de esta manera cuánto sembraban sus súbditos para luego... saber cuánto debían cobrarles de impuestos.

Para medir las tierras los egipcios aprendieron a calcular el área de los El río Nilo rectángulos y de los triángulos. Para medir los triángulos usaban cuerdas.

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1.1.1.LOS BABILONIOS

Los babilonios también conocían las áreas delos triángulos y los rectángulos, sobre todo para resolver problemas de herencia ¿cómo repartir las tierras entre los herederos? También conocieron las áreas de los pentágonos, hexágonos y heptágono. Pero en especial estudiaron mucho los círculos.

Eran unos excelentes geometras ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes. Recordemos que ellos crearo el sistema de numeración sexagesimal (de base 60). ESte zodíaco les serviría para elaborar calendarioa y almanaque: muy útiles para el cultivo de los cereales. Es decir que junto a la geometría nace la astronomía.

De ellos hemos heredado la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Y la patente de nuestra manera de contar el tiempo también es suya.

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1.1.2.LOS GRIEGOS

Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.

Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes. Se crtee que nació en Mileto, actual Grecia, (624 a.C.-?, 548 a.C.)

En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con

el nombre de astrosofía. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de Anaximandro.

Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad,

pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito.

En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.

Fue el famoso sabio de la historia que cayó a un pozo por miarar las estrellas y una anciana le dijo: "Prertendes observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienens a tus pies". También se le atribuye a Tales la historia del mulo que cargaba sal y que se metía en el río para disolverlas y aligerar su peso; Tales le quito esa mala costumbre cargándolo con esponjas.

Cuando le preguntaron la recompensa que quería por sus descubrimientos contestó: "Me consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que reconocieran que son mios".

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Pitágoras (582-496 a.C)Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa.

Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad.

En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas: Teano.

El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). En esta Escuela se entraba luego de prestarle juramento al número diez, todos los documentos se mantenían de manera oral y nadie podía divulgarlos. Jugaban con piedritas y formaban los números cuadrados y los números rectangulares.

Pitágoras conoció a Tales de Mileto y fueron amigos.

Para los Pitagóricos, no sólo la tierra era esférica, sino que no ocupaba el centro del universo. La tierra y los planetas giraban -a la vez que el sol- en torno al fuego central o “corazón del Cosmos”(identificado con el número uno). El mundo aspira el aire de la masa sin límites que lo envuelve y habla del aire como lo ilimitado.

Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto.

Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días. La base de su filosofía fue la ciencia de los números así como el estudio de la geometría. Pero Pitágoras es famoso por haber descubierto el Teorema que lleva su nombre: el teorema de Pitágoras. ¿En qué consiste este teorema? Simple: los lados de un

triángulo rectángulo formana cuadrados.

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Y si sumamos los cuadrados de los lados menores obtendremos los cuadrados del lado mayor (también conocido como hipotenusa).

Demostraciones del Teorema de Pitágoras en:

http://www.pajarita.org/aep/articulos/ARTIC6-2.PDF

Platón (427-348/347 a.n.e.) Arístocles de Atenas, apodado Platón (Plátwn = «el de anchas espaldas»), nace, probablemente, el año 428-427 a.n.e. en Atenas, o quizás en Aegina. Pertenecía a una familia noble. El año 399 tiene lugar la condena y muerte de Sócrates. Temiendo ser molestado por su condición de amigo y discípulo de Sócrates, Platón se refugia en Megara Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio.

En el 387 regresa a Atenas y funda la Academia, primera escuela de filosofía organizada, origen de las actuales universidades. Allí permanecerá durante veinte años dedicado al estudio y a la enseñanza. Hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “No entres aquí el que no conoce geometría”. Esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”.

Según Platón, el estudio de la Geometría debía empezarse en el orden siguiente:1.-Definiciones2.-Axiomas3.-Postulados4.-TeoremasA esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente Euclides.

Los sólidos platónicos, cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos o poliedros de Platón (que todos estos nombres reciben) son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son

polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.Existen cinco sólidos platónicos diferentes:El tetraedro, de cuatro caras triangulares;El hexaedro, o cubo, de seis caras cuadradas;El octaedro, de ocho caras triangulares;El dodecaedro, de doce caras pentagonales; yEl icosaedro, de veinte caras triangulares.

Los cinco sólidos platónicos representan la composición y armonía de las cosas. En el Timeo se dice que la Tierra está formada por átomos agrupados en forma de hexaedros; el fuego, de tetraedros, el aire, de octaedros, y el agua, de icosaedros. El universo en su totalidad está figurado en el dodecaedro.

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1.1. LA HISTORIAY LA GEOMETRÍA (II)

1.2.1.EL SISTEMATIZADOR

- EUCLIDES -

Poco se sabe de este matemático griego, incluso hay quien opina que en realidad nunca existió, sino que sus obras pertenecen a un grupo de matemáticos griegos que se hacía llamar por ese nombre. Se cree que vivió entre los siglos IV y III de

antes de nuestra era (330-275 A.c) y que trabajó en la Biblioteca de Alejandría. Su gran mérito consistió en recopilar y sintetizar los conocimientos geométricos de

su época.

Su libro clave es el llamado Elementos, y constaba originalmente de trece volúmenes en los que se exponía la geometría clásica. Este libro tiene tanta

importancia para las matemáticas como el Principia de Newton para la Física o el Origen de las Especies de Darwin para la Biología.

Una página de su primera

edición impresa Para sentar las bases de la Geometría, Euclides utilizó lo que se llama axiomas, que no son otra cosa que principios fundamentales indemostrables pero que se consideran evidentes, y a partir de los cuales se construye una teoría. Él los llamó postulados y formuló cinco primordiales que se pueden exponer de varias maneras equivalentes, una de las cuales es:

1. Si tenemos dos puntos, entonces podemos dibujar una recta que los une2. Cualquier recta se puede hacer todo lo larga que se quiera3. Se puede trazar una circunferencia de cualquier tamaño alrededor de cualquier punto4. Todos los ángulos rectos son iguales5. Si tenemos una recta y un punto externo a ella, podremos dibujar todas las rectas que queramos qe pasen por ese punto, pero sólo una de ellas será paralela a la que

ya teníamos.

Todo esto parece evidente, pero el gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana.

El quinto postulado siempre fue polémico, Muchos pensaban que no era un axioma sino un teorema, es decir, parecía que no era tan primordial como los otros y que se podía deducir a partir de los otros 4, y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo, resultó que no era posible

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2. CLASIFICACION DE POLIGONOS

2.1 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS.

2.1.1 CONCAVOS.DEFINICIÓN: Tienen a menos un ángulo interior de más de 180°. Observa que, en los ángulos que son mayores de 180°, el vértice apunta hacia dentro de la figura.

2.1.2. CONVEXOS.

DEFINICIÓN: Sus ángulos interiores son todos ellos menores de 180°. Observa como todos los vértices de los ángulos apuntan hacia fuera.

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2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS REGULARES O NO REGULARES

2.2.1 REGULARES

DEFINICIÓN: Son aquellos polígonos que tienen sus misma lados todos iguales. De la manera todos sus ángulos deberán ser iguales. Triangulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Regular Regular Regular Regular

Heptágono Octágono Eneágono Decágono Regular Regular Regular Regular

2.2.2. NO REGULARES O IRREGULARES

DEFINICIÓN: Son los polígonos que a menos uno de sus lados es distinto a los demás.

Triangulo Cuadrilátero Pentágono Irregular Irregular Irregular

Hexágono Heptágono Octágono Irregular Irregular Irregular

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2.3. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS

2.3.1 TRIÁNGULO

DEFINICIÓN: Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos , y

.

2.3.1.1. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Según sus lados

Equilátero: Los tres lados de ese triángulo son iguales.

Isósceles: Dos de sus lados son iguales.

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Escaleno: Ninguno de sus lados son iguales.

Según sus ángulos

Acutángulo: todos sus ángulos son menores a 180°

Rectángulo: Un ángulo que mide 90°

El lado mayor es la hipotenusa.Los lados menores son los catetos.

Obtusángulo: Un ángulo mayor a 90°Igualdad de triángulos.

2.3.1.2. IGUALDAD DE TRIANGULOS

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Dos triángulos son congruentes cuando tienen todos sus lados y ángulos respectivamente congruentes.

Sólo es necesario verificar que ciertos elementos sean congruentes para que dos triángulos sean iguales, por lo que se definen 4 criterios de igualdad de triángulos. A partir de los criterios de igualdad anteriores derivan los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.

La igualdad de triángulos cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Propiedades de la igualdad de triángulos

Carácter reflexivo: Todo triángulo es igual a si mismo.

Carácter simétrico: Si un triángulo es igual a otro, éste es igual a primero.

Carácter transitivo: Si un triángulo es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.

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2.3.1.3. CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales.

Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado

respectivamente iguales, son iguales.

Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales.

Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

2.3.1.4. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS EN UN TRIANGULO

Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo

Teorema:

---La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.

Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.

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Corolarios:

---En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de los otros dos ángulos.

---Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos.

---Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Propiedad del ángulo exterior

Teorema:

---Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

Corolario:

---En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores.

2.3.1.5 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULOAlturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

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Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.

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Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.

Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

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El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir; pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

1- - - - - - - - - -C ircuncentro - - - - - - - - - - - - - - - - - -Mediatr ices

2-- - - - - - - - - Ortocentro - - - - - - - - - - - - - - - - - -Alturas

3-- - - - - - - - - Bar icentro - - - - - - - - - - - - - - - - - -Medianas

4-- - - - - - - -RECTA DE EULER

2.3.1.6. TEOREMAS IMPORTANTES PARA EL TRIANGULOTeorema del cateto

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

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Teorema de la altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

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Ejemplo:

2.3.2. CUADRILATERO

DEFINICIÓN: Es un tipo de polígono (o figura plana cerrada) que tiene cuatro lados.

Vértices : A, B, C, D

Lados : a, b, c, d

Ángulos :

Diagonales : e, f

2.3.2.1. CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS, PUNTOS Y RECTAS DE LOS CUADRILÁTEROS

PARALELOGRAMOS: Son los que tienen dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d)

CUADRADO

e f (diagonales del cuadrado)

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e = f = a Las diagonales son bisectrices. Los cuatro triángulos internos son rectángulos isósceles y tienen igual área y perímetro (iguales)

RECTANGULO

e no es perpendicular con f

e = f = Las diagonales no son bisectrices. Posee dos pares de triángulos iguales.

ROMBO

e f e ≠ f Las diagonales son bisectrices

Los cuatro triángulos internos son iguales en área y perímetro

ROMBOIDE

e no es perpendicular con f e ≠ f Las diagonalesno son bisectrices.

Posee dos pares de triángulos iguales. TIENE DOS PARES DE LADOS CONSECUTIVOS IGUALES.

TRAPECIOS: Son los que tienen un par de lados paralelos (a y d)

TRAPECIO ESCALENO

Distintos medidas en los lados no paralelos (b≠c)

TRAPECIO ISOSCELES

Igual medida en los lados no paralelos (b = c)

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e no es perpendicular con f e = f Las diagonales no son bisectrices.

AE = EB, ED = EC, EG = 2EF El trazo FG (perpendicular a las bases divide a cada base en

la mitad)

TRAPECIO RECTANGULAR

Un lado no paralelo perpendicular a la base

e ≠ f

Las diagonales no son bisectrices ni perpendiculares.

TRAPEZOIDES: Sin lados paralelos.

No posee paralelismo. Tiene dos diagonales. La suma de los ángulos internos es 360°

TRAPEZOIDE ASIMETRICO

Cuatro lados desiguales

TRAPEZOIDE (DELTOIDE)

Posee dos pares de lados iguales pero no paralelos.

2.3.3. PENTAGONO 2.3.4. HEXAGONO 2.3.5. HEPTAGONO

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Tiene cinco lados Tiene seis lados Tiene siete lados

2.3.6. OCTAGONO 2.3.7. NONAGONOS O ENEAGONOS 2.3.8. DECAGONOS

Tiene ocho lados Tiene nueve lados Tiene diez lados

2.3.9. ENDECAGONO 2.3.10. DODECAGONO 2.3.11. TRIDECAGONO

Tiene once lados Tiene doce lados Tiene trece lados

2.3.12. TETRADECAGONO 2.3.13. PENTADECAGONO 2.3.14. HEXADECAGONO

Tiene catorce lados Tiene quince lados Tiene dieciséis lados

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2.3.15. HEPTADECAGONO 2.3.16 OCTADECAGONO 2.3.17. ENEADECAGONO

Tiene diecisiete lados Tiene dieciocho lados Tiene diecinueve lados

2.3.18. ICOSAGONO 2. 3.19. CIRCUNFERENCIA

Tiene veinte lados Su numero de lados es indefinido

3. CIRCUNFERENCIAEs una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Su numero de lados es indefinido.

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3.1. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIACENTRO

Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

RADIO

Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

CUERDA

Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

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DIÁMETRO

Cuerda que pasa por el centro.

ARCO

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

SECANTE

Es la recta que corta en dos puntos. Se podría decir que una cuerda esta contenida en una secante.

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TANGENTE

Es la recta que toca en un punto a la circunferencia.Ese punto se llama punto de tangencia. La tangente es perpedicular al radio que va al punto de tangencia.

FLECHA O SÁGITA

Perpendicular que une el punto medio de una cuerda con un punto de la ccircunferencia.

SEMICIRCUNFERENCIA

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

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3.2.ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIAÁNGULO CENTRAL

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.Los lados de este son dos radios de la circunferencia.

ÁNGULO INSCRITO

Mide la mitad del arco que abarca.Los lados deeste angulo son dos cuerdas que tiene un punto en comun en la circunferencia.

ÁNGULO SEMIINSCRITO

Mide la mitad del arco que abarca.Los lados de este angulo son una tangente y una cuerda o secante que tienen el punto de tangencia como punto en comun.

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ÁNGULO INTERIOR

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.Los lados de este angulo pueden ser dos cuerdas o dos secantes que se cruzan dentro del circunferencia.

ÁNGULO EXTERIOR

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.Los lados de este angulo son dos secantes que se cruzan en el exterior de la cicunferencia.

3.3.CIRCULO

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

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3.3.1. ELEMENTOS DE UN CIRCULOSegmento c ircular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Para calcular su area se utiliza la siguiente fórmula

A=πr ²n360

−c (r−h)2

Para calcular su perimetro se utiliza la siguiente fórmula

P= π 2rn360

+c

Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

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Para sacar su area se utiliza la siguiente fórmula A=πr ²2

Para sacar el perimetro se utiliza la siguiente fórmula P=πr+2 r

Zona c ircular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

Sector c i rcular

Porción de círculo limitada por dos radios.

Para sacar el área de se utiliza la siguiente formula

A=πr ²n360

Para sacar el perímetro se utiliza la siguiente fórmula

P= π 2rn360

+2 r

Corona c ircular

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

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Para calcular su area se utiliza lasiguiente fórmula

A=π4

(D2−d2) ó A=π (R2−r (2ࡩ

Para calcular su perímetro se utiliza la siguiente fórmula

P=π (d+D)

Trapecio c i rcular

Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

Para sacar su area se utiliza la siguiente fórmula

A=πn(R2−r2)360

Para calcular su perimetro se utilia la siguiente fórmula

P=2πn (R+r )360

+2(R−r )

4. Ángulos

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Aquí veremos varios ejemplos de en donde se encuentran los ángulos interiores y exteriores en los polígonos, como sacar los ángulos en grados y radianes y los diferentes tipos de polígonos.

4.1. Ángulos en polígonos

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y losexteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios.

Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º

Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares. Por ejemplo, el polígono que tiene ocho ángulos y ocho lados iguales se llama octágono regular.

Otra vez, el triángulo y el cuadrilátero regulares son excepciones.

¿Cómo le llamamos normalmente a un triángulo regular?

¿Y a un cuadrilátero regular?

Como los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales, es muy fácil calcular cuánto miden sus ángulos internos y sus ángulos externos. En general, cuando se habla de los ángulos internos de un polígono, se le refiere en singular, es decir se dice el ángulo interno del polígono, porque es el mismo valor para todos los ángulos.

Para verificar que hablamos en los mismos términos, establezcamos que el ángulo interno de un polígono es el ángulo que forman dos lados que se tocan,

y el ángulo externo es aquel que forman un lado y la prolongación de otro que lo toca.

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Una cosa más antes de empezar a calcular cuánto miden el ángulo interno y el ángulo externo de un polígono. Hace más de dos mil años, el matemático griego Euclides demostró que la suma de los tres ángulos internos de cualquier triángulo es exactamente 180º.

Ahora sí, empecemos... Tomemos como ejemplo un octágono. Lo primero que hacemos es dividir al octágono en triángulos trazando líneas desde uno de los vértices.

Fíjate que con estas líneas que trazamos hemos distribuido a los ángulos del octágono en diferentes triángulos. Por lo tanto, podemos decir que los ángulos de los triángulos forman los ángulos del octágono. Como hemos formado seis triángulos y como los ángulos de cada uno de ellos suman 180º, sabemos que la suma total de todos los ángulos del octágono es igual a lo que vale la suma de los ángulos en cada triángulo, es decir, 6 x 180º o sea 1080º.

Por lo tanto, la suma de los ocho ángulos del octágono regular es de 1080º. Ahora, como sabemos que todos los ángulos del octágono regular miden lo mismo, para saber cuánto mide cada uno de ellos, hay que dividir 1080º entre ocho. Luego, cada uno de los ángulos internos de un octágono regular mide 135º.

El ángulo interno y el ángulo externo son suplementarios, es decir, suman 180°. Así que para saber cuánto mide el ángulo exterior del octágono, sólo hay que restar 135° de 180°. El ángulo externo de un octágono mide 45°.

Para poder sacar un fórmula, necesitamos hacer un generalización: saber cuántos triángulos se forman cuando trazamos diagonales desde un solo vértice.

En el caso del cuadrado, podemos trazar una única diagonal y obtenemos dos triángulos.

En el caso de un pentágono, podemos trazar dos diagonales y obtener tres triángulos.

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Traza las diagonales de estos polígonos para que puedas llenar la siguiente tabla. Recuerda que sólo hay que trazar las diagonales desde uno de los vértices.

4.2.Ángulos interiores de polígonos

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Son los determinados por dos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígono

Si n es el número de lados de un polígono:

Suma de ángulos de un polígono = (n − 2) · 180°.

Suma de ángulos de un triángulo = (3 − 2) · 180° = 180º.

Suma de ángulos de un cuadrilátero = (4 − 2) · 180° = 360º.

Suma de ángulos de un pentágono = (5 − 2) · 180° = 540º.

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Suma de ángulos de un hexágono = (5 − 2) · 180° = 720º.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del hexágono regular= 360° : 6 = 60º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del hexágono regular = 180° − 60º = 120º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del hexágono regular = 60º

4.3.Ángulos exteriores de polígonosPágina 38 de 51

Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el lado siguiente.

Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°.

4.4. Formulas para sacar la medida de algunos ángulos en los polígonos regulares.

Entre los ángulos existentes en un polígono regular, podemos ver: el Ángulo central, Ángulo interior y Ángulo exterior.

Ángulos centrales

Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono

En grados

En radianes

Ángulos interiores

El Ángulo interior, β, de un polígono regular mide:

En grados

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En radianes

La suma de los ángulos interiores, , de un polígono regular es de:

En grados

En radián

Ángulos exteriores

El Ángulo exterior, , de un polígono regular es de:

En grados

En radianes

La suma de los ángulos exteriores, , de un polígono regular es:

En grados

En radianes

Como puede verse la suma de los ángulos exteriores de un polígono, y de un polígono regular en particular, mide una circunferencia completa, independientemente del número de lados.

A esta conclusión se podía llegar percatándose de que:

Dado que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, que resulta:

Por otro lado al ser ángulos suplementarios tenemos:

Por tanto, en un polígono regular el ángulo central y el exterior miden lo mismo:

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Y habiendo el mismo número de ángulos centrales y exteriores en un polígono, su suma también es la misma:

Que es una circunferencia completa, independientemente del número de lados, esta conclusión es valida también para los polígonos no REGULARES.

5. Ejercicios5.1. Problemas

1. Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular:

1. Las hectáreas que tiene.

2. El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €.

2. Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.

3. Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno.

4. El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 dm y la altura mide 25.95 cm. Calcula el área del triángulo.

5. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m².

6. El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base?

7. Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura.

8. Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor.

9. En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.

10. Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.

11. Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm².

12. Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.

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13. Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.

14. Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento BC, con el vértice D. Calcular el área del trapecio formado.

15. Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m2.

16. Hallar el perímetro y el área de la figura:

5.2. Soluciones

1.Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular:

1.Las hectáreas que tiene.

A = 170 · 28 = 4 760 m²

4 760 : 10 000 = 0. 476 ha

2.El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €.

4 760 · 15 = 71 400 €

2. Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura.

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AS = 4 · 3 = 12 m2 = 120 000 cm² AB = 10 · 10 = 100 cm² 120 000 : 100 = 1 200 baldosas

3.Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno.

A = (10 · 10) / 2 = 50 cm²

4. El perímetro de un triángulo equilátero mide 0.9 dm y la altura mide 25.95 cm. Calcula el área del triángulo.

P = 0.9 dm = 90 cm

l = 90 : 3 = 30 cm

A = (30 · 25.95) : 2 = 389.25 cm²

5. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m².

A = 32 · 30 = 960 m² 960 : 4 = 240 árboles

6. El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base?

7. Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura.

h = 2 cm b = 2 · 3 = 6 cm A = 2 · 6 = 12 cm²

8. Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor.

D = 10 cm d = 10 : 2 = 5 cm A = (10 · 5) : 2 = 25 cm²

9. En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.

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En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.

AP = 252 = 625 m²

AJ = 1502 − 625 = 21 875 m²

10. Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm.

Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm².

96 / 6 = 16 cm²

16 · 2 = 32 cm²

11. Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm².

96/ 6 = 16 cm² 16 · 2 = 32 cm²

12. Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.

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AZ = A Trapecio − A Camino

13.Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.

8 dm = 0.8 m h = 20 - 0.8 = 19.2 m

7 dm = 0.7 m b = 30 - 0.7 = 29.3m AJ = 19.2 · 29.3 = 562.56 m²

14. Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento BC, con el vértice D. Calcular el área del trapecio formado.

15. Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m2.

16. Hallar el perímetro y el área de la figura:

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AD = BC; AB = DC Romboide P = 13 + 11 + 12 + 5 + 11= 52 cm

A = A R + A T A = 11 · 12 + (12 · 5 ) : 2 = 162 cm2

5.3 Más problemas con soluciones y fórmulas

Área del triángulo

Ejemplo

Hallar el área y el perímetro del siguiente triángulo:

P = 2 · 11 + 7.5 = 29.5 cm

Cuadrado

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado.

A = 52 = 25 cm2

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Rectángulo

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

P = 2 · (10 + 6) = 32 cm

A = 10 · 6 = 60 cm2

Rombo

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm.

P = 4 · 17 = 68 cm

Área del romboide

P = 2 · (a + b) A = b · h

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Ejemplo

Calcular el área y el perímetro de un romboide de 4 y 4.5 cm de lados y 4 cm de altura.

P = 2 · (4.5 + 4) = 17 cm

A = 4 · 4 = 16 cm2

Área del trapecio

Ejemplo

Calcular el área y el perímetro del siguiente trapecio:

Área de un polígono regular

n es el número de lados

Ejemplos

Calcular el área y el perímetro de un pentágono regular de 6 cm de lado.

P = 5 · 6 = 30 cm

Calcular el área y el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

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P = 6 · 4 = 24 cm

Área de un polígono

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

Ejemplo

Calcular el área del siguiente polígono:

P = 11 · 2 + 5 + 13 + 12 = 52 cm

AD = BC; AB = DC Romboide

A = A R + A T

A = 11 · 12 + (12 · 5)/ 2 = 162 cm2

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6. CONCLUSIONES- La geometría en sus diversos campos, aprendida durante la elaboración de este trabajo se convierte en una habilidad más para resolver problemas cotidianos.

- Se debe conocer y aprender mas a fondo por medio de investigaciones y otros recursos para lograr obtener uso del tema, por lo tanto es de suma importancia el profundizar en esta área.

- Es un tema no complicado de aprender, e interesante cuando se trata de su aplicación, ya que no encontramos mayores obstáculos o dificultades para su ejecución.

- Se ha logrado con este trabajo conocer a fondo el área de la geometría aunque todavía sea necesario más de su práctica y del conocimiento de su teoría.

-La geometría debe enseñarse a partir de experiencias vivenciales de todo tipo.

-La geometría debe enseñarse “aprendiendo a aprender geometría”

-La geometría se debe enseñar constructivamente, partiendo desde las mismas experiencias de los niños, sus zonas próximas

-La geometría debe enseñarse con un lenguaje familiar de los niños, para luego enseñarles los lenguajes pertinentes.

-La geometría debe enseñarse de tal manera que los niños puedan responder a las siguientes preguntas: ¿qué es?, ¿para qué sirve?, ¿por qué la crearon?, qué abstracción puedo hacer de la geometría? ¿Qué asociaciones puedo hacer entre la geometría y las otras ciencias?, ¿qué asociación puedo hacer entre la geometría y mi vida diaria? E inventar nuevos tipos de asociaciones y preguntas a resolver o a cuestionarme.

-El material con que se enseña la geometría es muy importante, debe ser manejable, entendible, atractivo, etc.

-El aprendizaje de la geometría debe ser sin error, es decir, que los alumnos sientan que pueden comprender de manera fácil, si se equivocan no hay que recalcárselos, hay que volver a explicárselos hasta que lo comprendan, no existe el error, si existe la esperanza.

-Mas que una ciencia, la geometría es un arte, arte de pensar con un pensamiento lógico-matemático-artístico-humanista-corporal-renovado y renovable. El maravilloso mundo de las figuras que Dios creó para que interactuaran entre ellos.

-Seamos alegres y ayudemos a que los niños sean adultos equilibrados, sin traumas hacia las matemáticas.

-Tengamos siempre presente que el pensamiento lógico-matemático que desarrollamos nosotros en nuestras clases es la base de un porvenir de cada alumno que algún día será un adulto.

-Es indispensable enseñar la matemática asociada a una filosofía de vida holística en busca de la verdad.

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7. BIBLIOGRAFÍAhttp://poligonos1.blogspot.com/

www.toodoc.com/geometría-euclidiana-word.html

www.elrincondelvago.com

www.geoka.net/geometría/área

www.monografías.com/trabajo18/geometria/geometria.shtml

www.salonhogar.com/matemat/geometria/ref_rapida.htm

www.maixmail.com/curso-geometria-mediacion-aprendizaje-3-3/aprendizaje-geometria-conclusiones-generales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Icosaedro

http://es.wikipedia.org/wiki/Polà gono

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