Preparatoria Clazani Segundo Trimestre Matemáticas II

Guía de Estudios

De Matemáticas II

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CONTENIDO TEMÁTICO

UNIDAD 1 GEOMETRÍA.

1.1 POLIGONOS 1.1.1 DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE

POLÍGONO. 1.1.2 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS 1.1.3 SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES. 1.1.4 SUMA DE ÁNGULOS EXTERIORES (Se) 1.1.5 TRIANGULACIÓN DE UN POLIGONO. 1.1.6 CÁLCULO DE PERÍMETROS Y ÁREAS.

1.2 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

1.2.1 ELEMENTOS 1.2.2 ÁNGULOS 1.2.3 TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS 1.2.4 ANGULARES

1.3 SÓLIDOS

1.3.1 PRISMA 1.3.2 PARALELEPIPEDOS 1.3.3 CILINDRO 1.3.4 CONO 1.3.5 ESFERA

2 UNIDAD 2. TRIGONOMETRÍA

2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 2.1.1 SENO, COSENO Y TANGENTE 2.1.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS

NOTABLES 30º, 45º,60º 2.1.3 OPERACIONES CON FUNCIONES 2.1.4 CÁLCULO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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2.2.1 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS, ETC

2.2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE LOS ÁNGULOS

2.2.3 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

INTRODUCCIÓN.

En este cuaderno de estudio se utiliza un lenguaje claro y preciso que propicie la generación de conocimientos que generalmente resultan difíciles de entender y aprender, ya que va de acuerdo a las nuevas y variadas formas metodológicas que favorecen el proceso de enseñanza-aprendizaje.

La didáctica utilizada en este cuaderno se fundamenta en la exposición de conceptos de introducción, motivos, ejemplos demostrativos, diferentes modelos de planteamiento de problemas, ejercicios que permitan llevar una evaluación continua.

El éxito de la enseñanza y del aprendizaje de las Matemáticas consiste en verlas como una disciplina que se interrelaciona con las otras materias y su aplicación con el medio cotidiano en que nos desenvolvemos.

El propósito de esta guía es entonces, facilitar el estudio de las Matemáticas para que el alumno logre una preparación y una enseñanza para toda su vida.

OBJETIVO GENERAL

Que el alumno comprenda la utilidad de la Geometría y Trigonometría en la Resolución de problemas prácticos

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RECOMENDACIONES

El presente texto ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que caracterizan

el plan de estudios del Bachillerato no Escolarizado (abierto y a distancia).

Este texto ha sido estructurado de tal forma que facilite al máximo el aprovechamiento del alumno y que sea una fuente de información suficiente para el logro de los objetivos académicos que el sistema requiere.

Este material esta dividido en capítulos, cada uno de ellos contiene objetivos generales, vocabulario, ejercicios de autoevaluación y actividades de aprendizaje. Al final se incluye la bibliografía utilizada para la elaboración de este material y algunos textos sugeridos que pueden ser de gran utilidad al alumno si desea complementar sus estudios y ampliar su horizonte cultural.

Para la correcta utilización de este material es necesario tomar en cuenta los siguientes factores: Este libro es una recopilación de hechos históricos que contiene los elementos más importantes y significativos del plan de estudios del Bachillerato no escolarizado (Abierto y a Distancia); este material puede ser complementado por el alumno con otras lecturas sugeridas que le proporcione información adicional a la aquí presentada y que podrá ayudarlo a ampliar su conocimiento acerca del tema tratado.

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UNIDAD 1. GEOMETRÍA

OBJETIVOS GENERALES Determinar perímetros, áreas y volúmenes a través de la aplicación de conceptos, postulados y teoremas de polígonos, círculo, circunferencia y sólidos, para la resolución de problemas de la vida cotidiana.

GLOSARIO

• ÁNGULOS: Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice.

• VÉRTICE: Es el punto de unión de dos semirrectas que forman un ángulo. • TEOREMA: Es una proposición que puede ser demostrada. En el enunciado de un teorema

se distinguen dos partes; la hipótesis, que es lo que se supone, y la tesis, que es lo que se quiere demostrar.

• COROLARIO: Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del

mismo. • PROBLEMA: Es una proposición en la que se pide construir una figura que reúna ciertas

condiciones o bien, calcular el valor de alguna magnitud geométrica. • SUPERFICIE: Son límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea. • SEMIRRECTA: Si sobre una recta se señala un punto, la semirrecta es el conjunto de puntos

formado por ese punto y todos los que le siguen. • SEGMENTO: Si sobre la recta se señalan dos puntos, el segmento es el conjunto de puntos

comprendidos entre esos dos puntos. • SECANTE: Cuando una recta y la circunferencia tiene dos puntos comunes.

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• TANGENTE: Cuando una recta y la circunferencia tienen un solo punto en común.

CONTENIDO TEMATICO

1.1 POLIGONOS

1.1.1 DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE POLÍGONO. 1.1.2 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS 1.1.3 SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES. 1.1.4 SUMA DE ÁNGULOS EXTERIORES (Se) 1.1.5 TRIANGULACIÓN DE UN POLIGONO. 1.1.6 CÁLCULO DE PERÍMETROS Y ÁREAS.

1.1 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

1.2.1 ELEMENTOS 1.2.2 ÁNGULOS 1.2.3 TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS

ANGULARES

1.2 SÓLIDOS 1.3.1 PRISMA 1.3.2 PARALELEPIPEDOS 1.3.3 CILINDRO 1.3.4 CONO 1.3.5 ESFERA

1. GEOMETRÍA 1.1 Polígonos.

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1.1.1 Definición, notación y clasificación de polígono POLÍGONO: Etimológicamente "polígono" proviene de las raíces griegas "POLI"- muchos y "GONOS" - ángulos, por lo tanto es un trazo que tiene muchos ángulos.

También se define como la figura plana limitada por una curva cerrada, llamada línea

poligonal o contorno. NOTACIÓN: Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices del mismo. Estas letras se escriben después de la palabra "polígono" o nombre específico del polígono o también por sus símbolos gráficos. Polígono ABCDE Notación Pentágono ABCDE ABCDE E A D En un polígono se consideran: A) LADOS: Segmentos que limitan los polígonos. B) ANGULOS INTERNOS: Son los que se forman por dos lados consecutivos.

B C

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C) ANGULOS EXTERNOS: Son los que se forman por un lado y la prolongación del lado

adyacente. D) VÉRTICE: Son los extremos comunes de cada dos segmentos consecutivos, o sea, son los

vértices de los ángulos internos del polígono. E) DIAGONALES: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

En la figura

Lados: AB, BC, CD, DE, EF y FA Ángulos Internos: A, B, C, D, E y F

Ángulos Externos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 Vértices: A, B, C, D, E y F

Diagonales: AC, AD y AE

A 2 B

1.1.2 Clasificación de los polígonos Existen tres diferentes clasificaciones de los polígonos que son: SEGÚN EL CARÁCTER ENTRANTE O SALIENTE DE LOS ÁNGULOS DEL POLIGONO. A) POLÍGONOS CONVEXOS: Cuando todos sus ángulos son salientes, es decir, todos sus

ángulos son menores a 180º. C E

F

6

E 5

D

4

C

1

3

9

B) C) POLIGONOS CÓNCAVOS: Cuando alguno de sus ángulos es entrante, es decir, uno o más

de sus ángulos internos son mayores a 180º. C E D SEGÚN LA REGULARIDAD DE SUS ELEMENTOS. A) POLÍGONOS REGULARES: Son polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales, es

decir, son equiláteros y equiángulos. C E D C A A B A B B C

B

C

A

A B

A

B

C

D

A B

G

F

A E

D

B

C

D

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AB = BC= CD = DA AB = BC = CA AB =BC = CD = DE = EA B) POLÍGONOS IRREGULARES: Son polígonos que no tienen sus lados y ángulos iguales. D

F B E A G C C D H A B F E SEGÚN EL NÚMERO DE SUS LADOS:

Nombre del Polígono Número de Lados Triángulo 3 Cuadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octágono 8 Eneágono 9 Decágono 10 Endecágono 11 Dodecágono 12

Más de 12 lados, al polígono se le llama de "n" lados.

1.1.3 Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono

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• SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES (Si )

TEOREMA: La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a tantas veces dos ángulos rectos, como lados menos dos tiene el polígono.

HIPÓTESIS TESIS < A, < B,< C… Si < A+ < B+…2R(n-2) son los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados.

CONSTRUCCIÓN AUXILIAR. Desde un vértice cualquiera se trazan las diagonales. El polígono queda descompuesto en n-2 triángulos. E D F C A B Demostración: 1. La suma de los ángulos interiores de n-2 triángulos es igual a los ángulos interiores del

polígono. 2. La suma de los ángulos interiores de cada triángulo es igual a dos rectos es decir 2R.

Como el número de triángulos en que se descompone el polígono es n-2.

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3. Si = 2R (n-2) Aplicando la fórmula en la figura: Donde Si = 2R (6-2) Si = suma de ángulos interiores = 2R (4) R = radio = 8R Valor de un ángulo interior de un polígono regular. Como el polígono regular tiene todos sus ángulos interiores iguales, el valor, "i" se encuentra dividiendo la suma entre el número "n" de ángulos. i= Si ; pero como Si = 2R (n-2), nos queda n i = 2R (n-2) n

1.1.4 Suma de los ángulos exteriores de un polígono (Se) TEOREMA: La suma de los ángulos exteriores (Se) de un polígono convexo es igual a cuatro ángulos rectos. D 3 E HIPOTESIS TESIS C < 1,< 2…. Son ángulos Se = 1+ 2+. =4R 5 externos de un polígono Donde 2 convexo de n lados. Se = suma de ángulos exteriores. A 1 B R = radio Demostración: El ángulo exterior y el ángulo interior en cada vértice suman dos rectos (por ser adyacentes). Si este valor se multiplica por "n" vértices, se tiene la suma de todos los ángulos interiores más la suma de todos los ángulos exteriores, o sea:

4

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Si + Se = 2R · n De donde Se = 2Rn-Si ; pero como Si = 2R(n-2), entonces Se = 2Rn- 2R(n-2) Se = 2Rn- 2Rn+4R Se = 4R

Valor de un ángulo exterior de un polígono regular. Como los ángulos interiores de un polígono regular son iguales, los exteriores también serán iguales. Para encontrar el valor de "e" de un ángulo exterior, se divide la suma de todos ellos entre el número de ángulos que existen: e = Se ; pero como Se = 4R, tenemos que n

e = 4R n

1.1.5 Triangulación de un polígono Triangulación de un polígono significa trazar sus diagonales para determinar cuántos triángulos lo dividen; se busca la relación con el triángulo, ya que es el polígono que tiene menos lados y que sus ángulos interiores suman dos rectos (180º). TEOREMA: El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es igual al número de lados del polígono menos tres. HIPÓTESIS TESIS ABC… es un polígono de d = n-3 ABC….. es un polígono de n lados n lados; d = número d= número de diagonales desde un vértice Demostración: Si desde un vértice cualquiera se trazan todas las diagonales posibles, siempre habrá tres vértices a los que no se les puede trazar diagonal: el vértice desde donde parten las diagonales y los vértices contiguos. Como el número de vértices es igual al número de lados, tenemos que:

d= n-3

La relación que existe entre el número de lados y los triángulos que se forman por sus diagonales en un polígono es:

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Número de triángulos de un polígono es igual al número de lados disminuidos en dos unidades. Triángulos = lados - 2 = n - 2 donde n es el número de lados de cualquier polígono.

1 2 1 2 3 3 4 4 Lados 5 Lados 6 Lados 2 Triángulos 3 Triángulos 4 Triángulos Ejemplos: 1. - Hallar la suma de los ángulos interiores de un cuadrado. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN n= 4 Si = 2R (n-2) Si = 2(90º) (4-2) Si =? Si = 180 (2) Si = 360º 2. - ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores es de 1260º? DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Si = 1260º Si = 2R(n-2) n=1260º + 2 n =? n-2 = Si 2(90º) 2R n=1260º + 2 n= Si + 2 180º 2R n= 7+2 n= 9 (Eneágono) 3. - Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN

2

1

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n=6 i=2R (n-2) i=2(90º) (6-2) i=? n 6 i=180º (4) 6 i=720º 6 i=120º 4. - ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo inferior vale 135º? DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN i=135º i=2R (n-2) n= 360 n=? n 2(90º)-135º ni=2R n-360º n= 360 2Rn-ni=306º 180º-135º n(2R-i)=360º n= 360 n= 360º 45º 2R-i n=8 (octágono) 5. - ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un heptágono? DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Se =? Se = 4R Se = 4(90º) n=7 Se = 360º 6. - Hallar el valor de un ángulo exterior de un decágono DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN n =10 e = Se e = 360º Se =360º n 10 e= 36º 7. - ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde el vértice de un octágono?

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DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN n= 8 d= n-3 d= 8-3 d= ? d= 5 diagonales Ejercicios: 1. Hallar la suma de los ángulos internos de los siguientes polígonos a) Triángulo b) Trece lados c) Heptágono d) 17 lados e) Decágono 2. Cuáles son los polígonos regulares cuya suma de ángulos interiores es: a) 720º b) 70 20º c) 1800º d)1980º e) 880º 3. Hallar el valor de un ángulo interior de los siguientes polígonos regulares: a) 18 lados b) Pentágono c) Octágono d) 30 lados e) Dodecágono 4. Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide: a)120º b)108º c)165º d)60º e)157.5º 5. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a cuatro veces la suma de los

ángulos exteriores de dicho polígono regular, ¿de qué polígono se trata?

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6. Hallar el valor de un ángulo exterior de los siguientes polígonos regulares a)9 lados b)11 lados c)21 lados d)32 lados e)17 lados 7. Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice en los siguientes polígonos a) Un decágono b) Pentadecágono c) Octágono d) Heptágono e) Triángulo 8. Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior es de: a)90º b)150º c)75º d)45º e)135º

1.1.6 Cálculo de perímetros y áreas Un polígono es una figura que divide al plano en tres regiones: Interior, exterior y límite o frontera. Interior Límite o Frontera Exterior PERÍMETRO: Es la medida del límite o frontera de un polígono; se obtiene sumando la longitud de todos sus lados o desarrollando la fórmula correspondiente. Obtención de fórmulas de perímetros y áreas de polígonos.

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• Perímetro y área del cuadrilongo.

El perímetro se obtiene mediante la suma de sus cuatro lados. b P= a+b+a+b P= 2 a +2 b a a P= 2 (a+b) b El área se obtiene multiplicando la base por la altura o el lado por el ancho. A = bh donde A = área b = base h = altura EJEMPLO: Obtener el perímetro y el área de un cuadrilongo de 5u de base y 3u de altura. FORMULAS ECUACIONES Polígono P= 2 (a+b) P=2(3u+5u) A= bh P=2(8u) 3u 5u A=bh A=(5u)(3u)

P=16u

A= 15u2

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Comprobación: Si suponemos al cuadrilongo en el plano cartesiano se observa que su perímetro es igual a 16 unidades lineales y su área es de 15 unidades cuadradas.

0 1 2 3 4 5

• Perímetro y área del cuadrado El perímetro se obtiene sumando sus cuatro lados. P= a+a+a+a P= 4a El área se obtiene multiplicando la base por la altura A= b a como el cuadrado tiene sus lados b= a iguales: A= a a A= a2

Ejemplo:

a

a

a

a a

a

5 4 3 2 1

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Obtener el perímetro y el área de un Cuadrado de 3u de lado Polígono

FORMULAS ECUACIONES P= 4 a P= 4(3 a) A= a2

A= a2 P = 12u A= (3u)2 A = 9u2

Comprobación: Si suponemos al cuadrado en el plano cartesiano se observa que su perímetro es igual a 12 unidades lineales y su área es igual a 9 unidades cuadradas. 0 1 2 3 • Perímetro y Área del Rombo. El perímetro se obtiene sumando sus cuatro lados. P= a+a+a+a P= 4a a a a a El Área: Dado un rombo con diagonal mayor D y diagonal menor d, inscrito en un cuadrilongo de base b y altura h, se observa que D= b y d= h

3 u

3 2 1

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El área del cuadrilongo es A= bh Si se sustituye A= Dd

Como el rombo es la mitad del cuadrilongo, su área será A= Dd 2 Ejemplo: Obtener el perímetro y el área de un rombo que mide 5u de lado, 8u en su diagonal mayor y 6 unidades en su diagonal menor. POLÍGONO FÓRMULAS ECUACIONES P= 4 a P= 4(5u) A= Dd

A= Dd P= 20u 2 2 A= (8u) (6u) 2 A= 48u2 2 A= 24 u2 • Perímetro y Área del Romboide El perímetro se obtiene sumando sus cuatro lados. b P= a+b+a+b P= 2a + 2b a P= 2 (a+b) a b Para obtener el área, dado un romboide de base b y altura h, el triángulo que se forma del lado izquierdo de la altura h se traslada y superpone del lado derecho. Al hacer la superposición, el área del romboide es equivalente a la del cuadrilongo con la misma base y la misma altura.

h D

d

b

8u

6u

5u

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h h b b

A= bh Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un romboide que mide 10u de base, 4u de altura y 5u en su lado menor. POLÍGONO FÓRMULAS SUSTITUCIÓN P= 2 (a+b) P= 2(5u+10u) A= (10u)(4u) A= b h P= 2(15u) A= 40u2

4u P= 30u 5u 10u • Perímetro y Área del Triángulo El perímetro se obtiene sumando sus tres lados. A b P= a+b+c c El área se calcula a partir de un cuadrilongo de base b y altura h, y al trazar su diagonal que divide al cuadrilongo en dos triángulos iguales.

El área de uno de los triángulos es la mitad del área del paralelogramo. h A = b h 2 b

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Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un triángulo isósceles que mide 7u de base, 5u de altura y 9u en cada uno de sus lados iguales. POLÍGONO FÓRMULAS ECUACIONES P= a+b+c P= 9u+ 9u+ 7u A= (7u) (5u) A= b h P= 25u 2 9u 9u 2 A= 35u2

2 A= 17.5 u2

7u • Perímetro y Área del Trapecio. El perímetro se obtiene sumando sus cuatro lados. d a c P= a +b +c +d b El área se calcula a partir de un trapecio rectangular de base mayor B, base menor b y una altura h, se traza la base media: B + b que lo divide en 2 trapecios y se multiplica por la altura 2 b B + b 2 h B + b 2 B A este trapecio se le traza una paralela a la altura h, a partir de la base media, quedando un triángulo en el lado derecho.

5u

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b B + b h 2 B + b 2 B Este triángulo se traslada y se superpone en el trapecio de arriba, de modo que el trapecio original se transforma en un cuadrilongo de base B + b con la misma altura h 2 h B + b 2 Por tanto el área de cualquier trapecio rectangular, se obtiene con la formula: A= B + b h 2 Dado un trapecio no rectangular de base mayor B, base menor b y altura h, se traza la base media B + b, que lo divide en dos trapecios. 2 b B + b 2 h B Enseguida a partir de la base media, se trazan paralelas a la altura, quedando un triángulo del lado izquierdo y otro del lado derecho. b B + b 2

B

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Estos triángulos se trasladan y se superponen en el trapecio de arriba, de modo que el trapecio original se transforma en un cuadrilongo de base B + b y altura h. 2 h B + b 2 Por lo que el área de cualquier trapecio se obtiene con la formula: A= B + b h 2 Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un trapecio rectangular que mide 9u de base mayor, 6u de base menor, 5u en su cuarto lado y 4u de altura. POLIGONO FORMULAS ECUACIONES P= a+ b+ c+ d P= 4u+ 6u+ 5u+ 9u

A= B + b h P= 24 u

2 6 u A= B + b h 2 4 u 5 u A= 9u+ 6u 4u 2 A= 15 u 4u 9 u 2 A= (7.5u) 4u A= 30u2

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• Perímetro y Área del Trapezoide. El perímetro se obtiene sumando sus cuatro lados. c P= a+ b+ c+ d d b a El área de un trapezoide se calcula trazando su diagonal, obteniendo así dos triángulos. Esto significa que el área del trapezoide será c igual a la suma de las áreas de los dos triángulos. d 1 b 2 a A= A1 + A2 • Perímetro y Área de un Polígono Irregular. El perímetro se obtiene sumando todos sus lados. d c P= a+ b+ c+ d+ e+… e b

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a El área se calcula trazando sus diagonales, obteniendo así varios triángulos. De aquí se desprende que el área de un polígono irregular es equivalente a la suma de las áreas de los triángulos que resulten.

d 1 c A= A1 + A2 + A3 …

e 3 2 b • Perímetro y Área de un Polígono Regular El perímetro se obtiene sumando todos sus lados.

P= a+a+a+a+a Pentágono: P= 5 a Hexágono: P= 6 a P= na Octágono: P=8 a

a

El área se calcula, dado un polígono regular de lado b y apotema a, al unir su centro con cada uno de sus vértices, se divide en triángulos iguales. Esto significa que el área sería 4 3 igual a la suma de las áreas de a sus triángulos iguales. 5 a 1 2

A= A1+A2+A3+A4… b Pero como la apotema del polígono es igual a la altura de cada triángulo y cada uno de los lados es igual a cada una de las bases de los triángulos, tenemos que: A= b a + b a + b a + ….. 2 2 2

a

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Y además el perímetro del polígono regular es igual a la suma de todas las bases de los triángulos, el área será entonces: A= P a 2 Ejercicios: 1. Obtén el perímetro de cada uno de los polígonos que se indican.

POLÍGONOS FÓRMULAS OPERACIONES a= 9.25 m

a= 2.15 m b = 3.75 m a = 6.14 m b=12 m a=10 m c=10 m B= 24 m

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a= 5.42 m a=5.42m 2. Obtén las áreas de los polígonos que se indican.

POLÍGONOS FÓRMULAS OPERACIONES h=9.25 m b=17.3 m h=8.75m b=20.4 m b=13.5 h=12m

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B= 25.5m h=18m b=13.5m

1.2 CÍRCULOS Y CIRCUNFERENCIA Definición de Circunferencia: Es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

El centro de la circunferencia se representa por el punto O; el segmento r que es la distancia del centro a cada uno de los puntos de la circunferencia se llama radio. x O = centro de la circunferencia OX = r radio de la circunferencia Definición de Círculo: Es la porción interior del plano separado por la circunferencia, que sirve de límite o frontera con la región exterior.

CIRCUNFERENCIA

0

r

CIRCULO

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1.2.1. Elementos • Puntos Interiores y Exteriores de la Circunferencia. La Circunferencia Divide al Plano en Dos Regiones: Una exterior y otra interior. Los puntos que se ubican a distancias menores que el radio, se llaman PUNTOS INTERIORES y están contenidos en el círculo. Los puntos que se ubican a distancias mayores que el radio se les llama PUNTOS EXTERIORES.

OP = radio de la circunferencia P OR < r R es un punto interior

OQ > r Q es un punto exterior Q

NOTACIÓN: Una circunferencia o un círculo se denota por las letras del centro O y del radio r escritas en la forma c (O,r).

ARCO:Es una porción de circunferencia determinada por dos de sus puntos llamados extremos del arco.

A AB = arco de la circunferencia B CUERDA: Es el segmento que esta limitado por dos puntos de la circunferencia; una cuerda subtiende al arco que termina en sus extremos. De los dos arcos que determina una cuerda en la circunferencia, al menor se le llama arco correspondiente a la cuerda.

O

R

O

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AB = cuerda de la circunferencia B AB < BA A

AB = arco correspondiente a la cuerda

DIÁMETRO: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro es la cuerda de mayor longitud que se puede trazar en la circunferencia; los arcos que se forman son iguales.

El diámetro es igual a la suma de dos radios. AB = diámetro de la circunferencia OA y OB = radios de la circunferencia

AB = OA + OB

A B AB = BA

FLECHA O SÁGITA: Es la perpendicular de la parte de un radio que va del punto medio de una cuerda al arco suspendido por ella.

B AB = cuerda C AB = arco de la circunferencia D = A B punto medio de la cuerda

A 2 DC ⊥ AB

DC = flecha o ságita

Ejercicios:

Contesta las Siguientes Preguntas: (coteja las respuestas con tu asesor) 1. Explica la diferencia entre la circunferencia y el círculo.

O

O

D

O

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2. ¿Qué son los puntos interiores y exteriores de la circunferencia? 3. Nombra los elementos del círculo. 4. ¿Qué es el arco de la circunferencia? 5. Explica la diferencia entre el radio y el diámetro de la circunferencia.

6. Identifica los elementos de la circunferencia en la siguiente figura. F C D A B 7. Gráfica un punto exterior y un punto interior en una circunferencia. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

A) SECANTE: Cuando la recta y la circunferencia tiene dos puntos comunes, la distancia de la recta al centro de la circunferencia es menor que su radio.

Sea la recta llamada secante A y B puntos comunes de la recta y la circunferencia. OP distancia del centro a la recta OP r

B

E

O

r

P O

A

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B) TANGENTE: Cuando la recta y la circunferencia tienen un solo punto en común. La

distancia entre la recta y el centro de la circunferencia es igual a la longitud de su radio.

Sea la recta llamada tangente P= el punto común de la tangente y la circunferencia. OP = distancia del centro a la recta OP = r

P C) EXTERIOR: Cuando la recta y la circunferencia tienen un solo punto en común. La distancia de la recta al centro es mayor que la longitud del radio. Sea la recta llamada exterior. OP = distancia del centro a la recta OP r

P

r

O

O

r

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FIGURAS EN EL CÍRCULO A) SEGMENTO CIRCULAR: Es la parte del círculo limitado por una cuerda y su arco. B) SEMICÍRCULO: Es la parte del círculo limitada por un diámetro y su arco de circunferencia

C) SECTOR CIRCULAR: Es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco. D) CUADRANTE CIRCULAR: Es la parte circular determinada por dos radio que forman un

ángulo recto (90º).

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E) CORONA CIRCULAR: Es el espacio del círculo que se forma por dos circunferencias

concéntricas. F) TRAPECIO CIRCULAR: Es la porción de "corona" limitada por dos radios.

1.2.2 Ángulos ÁNGULO CENTRAL: Es el ángulo trazado en el círculo y cuyo vértice coincide con su centro. A

37

B ÁNGULO INSCRITO: Es el ángulo cuyo vértice coincide con cualquiera de los puntos de la circunferencia y sus lados pasan por dos puntos de la misma. A C

ÁNGULO EXCÉNTRICO: Es el ángulo cuyo vértice está adentro del círculo, pero no coincide con el centro. A C ÁNGULO EXTERIOR: Es el ángulo cuyo vértice está en el exterior del círculo, pero sus lados son secantes o tangentes a la circunferencia. A A

O

B

38

B B C C Ejercicios: 1. ¿Qué es la secante en una circunferencia? 2. Identifica la posición de la recta con respecto a la circunferencia en la siguiente figura A B C 3. Cita las principales figuras en el círculo 3. ¿Qué ángulos se pueden trazar en un círculo? 5. ¿Qué es un ángulo inscrito? • MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL

Si tomamos como unidad de ángulos, al arco central correspondiente al arco unidad, la medida de un ángulo central es igual a la de su arco correspondiente.

A M

N B

< AOB = AB < MON MN

r r

O

39

La medida de los ángulos es indirecta y se efectúa comparando arcos mediante los transportadores o semicírculos graduados. • MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO

TEOREMA: La medida de todo ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

1°. CASO. El centro está en uno de los lados del ángulo. HIPOTESIS TESIS CONSTRUCCIÓN AUXILIAR El < ABC es inscrito Medida del < B = AC Se traza el radio formándose o es el centro de la 2 el BOC

circunferencia. (Isósceles). C B B A

Demostración:

En BOC, < B= < C (1) Se oponen a radios iguales < B+ < C= < AOC (2) Por ser < AOC un ángulo exterior. Sustituyendo (1) en (2) < B+ < B= < AOC 2 < B= < AOC < B= < AOC (3) Despejando 2 Pero AC es la medida de (4) Ángulo central

O

40

< AOC sustituyendo (4) en (3) < B= AC 2 2° CASO. El centro está en el interior del ángulo. HIPÓTESIS TESIS CONSTRUCCIÓN AUXILIAR El < ABC es inscrito Medida de Se traza de un diámetro BD O es interior de < ABC < B= AC formándose dos ángulos inscritos 2 < ABD y < CBD

A B D C

Demostración: < B= < ABD < CBD (1) Suma de ángulos Pero < ABD = AD (2) 2 Por el primer caso y < CBD = DC (3) 2 Sustituyendo (2) y (3) en (1) < ABC = CD - AD = AC Diferencia de Arcos 2 2 2

O

41

COROLARIO 1: Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales. B D A C < ABC = < ADC = AEC 2 COROLARIO 2: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. D C A B ACB = ADB = AC = 180º = 90º

2 2 • MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSCRITO: TEOREMA: La medida del ángulo SEMI-INSCRITO es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. 1° CASO. El centro está en uno de los lados del ángulo.

O

O

42

B C A HIPÓTESIS TESIS El < ABC es semi inscrito Medida del O es el centro de la < ABC = BC circunferencia 2 Demostración: < ABC = 90º BC = 180º (1) La tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto. (2) Por ser BC una semicircunferencia. Comparando (1) y (2) Medida de < ABC = BC 2

2° CASO. El centro está en el interior del ángulo HIPOTESIS TESIS CONSTRUCCIÓN AUXILIAR El < ABC es semi < ABC = BC Se traza por B el diámetro BD, Inscrito O es interior 2 quedando < ABC dividido en Del < ABC < ABD y < DBC < ABC = < ABD + < DBC Demostración: < ABD = BD (1) 2 primer caso < DBC = DC (2)

O

43

2 Sumando (1) y (2) < ABD + < DBC = BD + DC 2 2 Efectuando operaciones tenemos medida del < ABC = BC 2 C B D 3° CASO. El centro es exterior al ángulo. HIPÓTESIS TESIS CONSTRUCCIÓN AUXILIAR El < ABC es semi-inscrito La medida del Se traza el diámetro BD y se forma O es exterior al ABC = BC < CBD semi-inscrito. ángulo 2 Demostración: < ABC = < ABD - < CBD (1) Resta de ángulos Pero: medida del < ABD = BD (2) 2 Primer caso. y medida del < CBD = DC (3) 2

A

O

44

Sustituyendo (2) y (3) en (1): Medida de < ABC = BD - DC = BC 2 2 B D A C • MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO TEOREMA: La medida del ángulo ex-inscrito es igual a la semisuma de los arcos que tienen su origen en el vértice y sus extremos en uno de los lados y en la prolongación del otro. HIPÓTESIS TESIS CONSTRUCCIÓN AUXILIAR El < ABC es ex-inscrito Medida del Se une C con D y se forma el < ABC = BC + BD BDC.

2 Demostración: < ABC = < C + < D (1) Ángulo externo Pero: medida del < C= BD (2) Inscrito 2 y medida del < D= BC (3) Inscrito 2 sustituyendo (2) y (3) en (1) medida del < ABC = BD + BC = BD + BC 2 2 2

O

45

A B D D C • MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR TEOREMA: La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones. HIPÓTESIS TESIS CONSTRUCCIÓN AUXILIAR El < AED es un Medida del Se une A con C y se forma el ángulo interior < E= BC + AD AEC.

AD y BC son los arcos 2 comprendidos por los lados y las prolongaciones. Demostración:

En el AEC, tenemos: < E= < A+ < C (1) Por ser < E un ángulo exterior

Del ABC.

Pero: medida del < A= BC (2) Inscrito 2 y medida del < C= AD (3) Inscrito 2 Sustituyendo (2) y (3) en (1)

O

46

Medida del < E= BC + AD = BC + AD 2 2 2 C B A D • MEDIDA DEL ÁNGULO EXTERIOR TEOREMA: La medida del ángulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados. HIPÓTESIS TESIS CONSTRUCCIÓN AUXILIAR Él < A es exterior Medida del Se une C con E y se forma el < A= CD - BE ACE

2 Demostración:

En el ACE tenemos:

< E= < A + < C Ángulo exterior del ACE

Despejando < A < A= < E - < C (1) pero: medida de < E= CD (2) Inscrito 2 y medida de < C= BE (3) Inscrito 2 Sustituyendo (2) y (3) en (1) Medida de < A= CD - BE = CD - BE 2 2 2

E O

47

C B A E D Ejemplos:

1. Si AC = 100º hallar el < ABC. < ABC = A C A 2 < ABC = 100º B 2 C < ABC = 50º

2. Si PQ = 10º y < QSP =40º hallar el MN

< QSP = MN - PQ 2 M 2 < QSP = MN - PQ Q 2 < QSP + PQ = MN S P 2 (40º) + 10º = MN N 80º + 10º = MN 90º = MN

40º

O

O

x

48

Ejercicios: 1. Si < AOB = 80º, hallar el < ACB B A 2. Si DC = 40º y AE = 80º, hallar el < ABE. D C E 3. Si BD = 10º y < ABE = 40º hallar el < BCD A B C D E

1.2.3 Transformación de medidas angulares Sistemas empleados en la medida de ángulos. MEDIDA DE ÁNGULOS: la magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o separación que hay entre ellos, es decir, la medida de un ángulo se obtiene

B

40º O

A

C

O

49

comparando la amplitud del ángulo con la amplitud de otro considerando como unidad patrón. Para medir un ángulo se conocen tres sistemas diferentes de unidades angulares. A) Sistema Sexagésimal: Es el más utilizado. Fue creado por los sumerios quienes debido a

su conocimiento del círculo y la circunferencia los dividieron en 360 partes iguales que corresponden a cada uno de los días del año. A cada división se le llama grado y un ángulo de grado es aquel cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas.

Entonces, cada grado es igual a 1/362 del ángulo de la vuelta de la circunferencia. Un grado es 1/90 del ángulo recto. Un grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y un minuto se divide en 60 partes iguales que se denominan segundos. Se simbolizan de la siguiente manera:

Grado (º) 1º = 60' = 3600" Minuto (') 1' = 60" Segundo (")

B) Sistema Circular: Su unidad fundamental es el radian que se define como "un radian es el

ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia" A longitud del arco AB = radio (r) R < AOB = 1 radian B

La longitud de la circunferencia es 2 ,por tanto para un ángulo de 360º= 2 ( =3.1416) 360º = 6.2832 radianes.

De la relación radián = 360º/2 1 radián = 57.295777º C) Sistema Centesimal: En este sistema se considera a la circunferencia dividida en 400

partes iguales llamadas grados centesimales. Cada grado centesimal se divide en 100 partes iguales: minutos centesimales, y un minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales. Se simbolizan como sigue:

r 0 r

50

Grado Centesimal (g) 1g = 100 m = 10 000 s Minuto Centesimal (m) 1m = 100 s Segundo Centesimal (s)

Ejercicios: 1. Un grado sexagesimal es igual a 60', 15º ¿Cuántos minutos son? 2. Un minuto sexagesimal es igual a 60 segundos, 29' ¿Cuántos segundos son? 3. 48º 37' = __________________________________segundos sexagesimales 4. 97353" = __________________________________grados y minutos 5. Longitud de la circunferencia = _____________________________radianes 6. La relación 360º =

2

• Conversiones: 1. Radianes a grados sexagesimales.

2 rad ________________ 360º

1 rad _________________xº

Despejando: xº = (360º) (1 rad) 2 rad

Simplificando: xº = 180º (rad)

2. Grados sexagesimales a radianes:

51

360º ____________________ 2 rad

1º ____________________ x rad Despejando:

X rad = (2) (1º)

360º Simplificando: x rad = rad (º sexagesimales)

180º Ejemplos: 1. Convertir 3.25 rad a grados sexagesimales

xº = 180º (R) = 180º (3.25) = 186º 12' 39"

3.1416

2. Convertir 3 rad en grados sexagesimales 8

xº =180º (3/8) = (180º) (3) = 540 = 67º 30'

8 8

3. Convertir 115º en radianes

x rad = rad (115º) = (3.1416 rad) (115º) = 2.0071 rad 180º 180º 3. Convertir 64º 37' en rad

primero los minutos se convierten a grados 47' ----x 37' = 0.61666 60' ----1º 60 64.666 x rad = rad (64.6166º) = 1.12777 rad

52

180º Ejercicios:

1. Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos

a) 3.75 rad ___________________ c) 5.63 rad __________________ b) 5.49 rad ___________________ d) 7.4346 rad ________________

2. Convertir los siguientes ángulos en radianes

a) 39º ______________________ c) 239º ___________________ b) 128º _____________________ d) 548º ___________________

3. Convertir, expresando grados, minutos y segundos

a) 0.79483 rad ____________________ b) 2.28563 rad ____________________

4. Convertir a radianes

a) 219º05'36" = ________________________ b) 171º27'42" = ________________________ • Conteste las siguientes preguntas. 1. Nombra los sistemas que se usan para medir ángulos. 2. Da el nombre y el símbolo del sistema sexagesimal. 3. Explica el sistema sexagesimal. 4. ¿Cómo se define el radian?

53

1.3 SÓLIDOS Los cuerpos o sólidos geométricos son aquellos que ocupan un lugar en el espacio y tienen superficies completamente planas o curvas. Tienen tres dimensiones: largo, ancho y altura. Los sólidos geométricos dividen el espacio en tres regiones: interior, exterior y límite o frontera. Interior Exterior Límite o frontera Área Total: Es la medida del límite o frontera entre el interior y exterior del sólido geométrico; se obtiene desarrollando la fórmula correspondiente. Volumen: Es la medida del espacio que se localiza en el interior del sólido geométrico; se obtiene desarrollando la fórmula correspondiente. Unidades de Área: Son las que se utilizan para expresar el área de cualquier figura (m2). Unidades de Volumen: Son las que se utilizan para exponer figuras con tres dimensiones o sólidos (m3).

CLASIFICACIÓN DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

54

TETRAEDRO Tiene 4 caras iguales en forma de triángulo equilátero.

HEXAEDRO O Tiene 6 caras iguales en CUBO forma de cuadrado. OCTAEDRO Tiene 8 caras iguales que son triángulos equiláteros. DODECAEDRO Tiene 12 caras iguales en forma de pentágono. ICOSAEDRO Tiene 20 caras en forma de triángulo equilátero PRISMA Tiene 2 bases iguales y sus caras laterales son rectangulares. PIRAMIDE Tiene una sola base y sus caras laterales son triangulares. CILINDRO Tiene dos bases circulares. CONO Tiene una sola base circular Cuerpo redondo que se ESFERA forma por la revolución de un círculo que gira entorno

1.3.1. Prisma

a su diámetro.

55

Área y volumen del prisma. Área Total: Se obtiene calculando las áreas de sus caras laterales (Ph), es decir, calculando el perímetro de la base del prisma y multiplicándolo por su altura, después se suma con las áreas de sus dos bases iguales. A = Ph + 2B Volumen: Se obtiene el área de la base (B) y se multiplica por la altura (h): V = Bh Ejemplos: Calcular el área total y el volumen del siguiente prisma cuadrangular. Área Total Volumen A= Ph+2B V= Bh A= 4(a)h+2 a2 V= (a2) (h)

6u A= 4(a)(6u)+2(3u)2 V= (3u)2 (6u) A= 4(3u)(6u)+2(9u 2) V= (9u2)(6u) A= (12u)(6u)+18u2 V= 54u3

3u A= 72u2 +18u2

A= 90u2

3u

1.3.2 Paralelepipedos Son prismas cuyas bases son paralelogramos El área y el volumen se obtienen utilizando las fórmulas.

A= Ph + 2B V= Bh Considerando que su base es un cuadrilongo. Ejemplo: Obtener el área total y el volumen del siguiente Paralelepípedo. Área Total Volumen

56

A= Ph + 2B V= Bh A= 2(a+b) V= (ba) h

9u A= ba V= (4u)(2u)(9u) A= 2(a+b)h+2(ba) V= 72u3

A= 2(4u+2u)(9u)+2(4u)(2u) A= 2(6u)(9u)+16u2

2u A= 108u2 + 16u2

4u A= 124u2

1.3.3 Cilindro Se llama cilindro de revolución o cilindro circular recto a la porción de espacio limitado por una superficie cilíndrica de revolución y dos planos perpendiculares al eje. Las secciones producidas por dichos planos, son dos círculos llamados bases del cilindro. La distancia entre las bases se llama altura. Para calcular el área de un cilindro, se suma el área lateral con el área de las bases. A= d h + 2 r2

como d= 2r A= 2 r h + 2 r2

H A= 2 r ( h +r) Volumen del Cilindro: Dado un cilindro de base B= r2 y la altura h, el volumen se puede

calcular a partir de la fórmula de los prismas. V= B h Pero B= r2

Entonces V= ( r2) h

h

r2

r2

d

r2

57

Ejemplo: Calcular el área y volumen de un cilindro que mide 6u de altura y 3 u de radio en su base. ÁREA TOTAL VOLUMEN A= 2 r (h+r) V= ( r2 )H

A= 2(3.14)3u(6u+3u) V= (3.14)(3u)2 (6u) A= (6.28)(27u2 ) V= (3.14)(18u) 6u A= 169.56u2 V= 56.52u3

1.3.4 Cono Si una semirrecta AV que tiene su origen en un punto de la recta VO que es perpendicular al plano de un círculo en su centro gira alrededor de VD. pasando sucesivamente por los puntos de la circunferencia, genera una superficie cónica de revolución. La recta VO es el eje de la superficie cónica; la semirrecta VA la GENERATRIZ y la circunferencia se llama DIRECTRIZ. V

3u

58

OO A D Área Total: Se calcula sumando el área lateral (el semi producto de por el diámetro por la

generatriz) con el área de su base. A= d g + r2

2 g como d= 2r A= 2 r g + r2 A= r (g+r)

2

d A= r g+ r2 r2

Volumen del Cono: Al construir un cilindro y un cono con bases y alturas iguales, se puede observar que el volumen del cilindro es el triple del volumen del cono. =

r2

59

3V = r2 h V = r h

3 Ejemplo: Calcular el área y volumen de un cono que mide 4u de altura, 5u en su generatriz y 3u en el radio de la base. ÁREA TOTAL VOLUMEN A= r (g + r) V= r2 h

A= (3.14)(3u)(5u+3u) 3 5u A= (3.14)(3u)(8u) V= (3.14)(3u)2 (4u) 4u 3 A= 75.36 u2 V= (3.14)(9u2 )(4u) 3 V= 37.68 u3 3u

1.3.5 Esfera La superficie esférica es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto interior llamado centro. La distancia del centro a un punto de la superficie se llama radio. Se llama esfera al conjunto formado por todos los puntos de una superficie esférica y los interiores a la misma.

60

Una superficie esférica es la superficie de revolución engendrada por la rotación de una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros. d

Volumen de la Esfera: Arquímedes, físico y matemático griego, determina que el volumen de la esfera es igual a 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe. V= 2 ( r2 h) como la altura del cilindro.

3

es igual a dos radios de la esfera V= 2 ( r2 2 r) 3

V= 4 r3

3 Área de la Esfera: La obtención por métodos elementales de la fórmula del área de una esfera es algo laboriosa, por lo que solo daremos la fórmula.

A= 4 r2

Ejemplo: Calcular el área y volumen de una esfera que mide 0.40u de radio. A= 4 r2 V= 4 r3

A= 4(3.14)(0.40)2 3 A= 4(3.14)(0.16u2) V= 4 (3.14)(0.40u)3

A= 2.0096 u2 3 V= 4 (3.14)(0.064u3 ) A= 4 r2 3

A = 4(3.14)(0.40u)2 V= 0.80384 u3

A= 4(3.14)(0.16u2) 3

d

61

A= 2.0096 u2 V= 0.2679u3

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

Subraya la respuesta correcta 1. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1260º?

A) ENEÁGONO B) OCTÁGONO C) DECÁGONO

2. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1800º?

A) ENEÁGONO B) DECÁGONO C) POLÍGONO DE 12 LADOS

3. Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular.

62

A) 150º B) 130º C) 120º 4. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 9 diagonales?

A) 9 LADOS B) 11 LADOS C) 13 LADOS

5. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrilongo cuyo lado más largo mide 7.3 cm y su lado más

pequeño mide 4.8 cm? A) 24.2 cm B) 12.2 cm C) 25 cm

6. ¿Cuál es el perímetro de un trapecio cuya base mayor mide 12.5 cm, su base menor 7.9 m

y sus lados iguales miden 9.7 m cada uno? A) 38.8 m B) 40 m C) 39.8 m

7. El área de un rectángulo es de 216m2 y su base es 6m mayor que su altura. Hallar sus

dimensiones. A) b = 17 m B) b = 18 m C) b = 19 m

h = 11 m h = 12 m h = 13 m 8. Hallar el radio de una circunferencia cuya longitud es 628 cm.

A) 1 m B) 3 m C) 2 m

9. Hallar el área total de un cono que mide 5 cm de altura, 6 cm en su generatriz y 4 cm en el

radio de su base. A) A= 135.66 cm2 B) A= 125.66 cm2 C) A = 115.66 cm2

10. Hallar el volumen de un prisma pentagonal donde uno de sus lados de su base mide 7 cm,

su apotema vale 6.2 cm y la altura del prisma es de 9.5 cm. A) 1029.75 cm3 B) 1031.75 cm3 C) 1030.75 cm3

RESULTADOS DE AUTOEVALUACIÓN.

1. A 2. C

63

3. C 4. B 5. A 6. C 7. B 8. A 9. B 10. C

UNIDAD 2 TRIGONOMETRÍA

OBJETIVO GENERAL Determinar las medidas de los lados y ángulos de triángulos rectángulos y oblicuángulos, a través de la aplicación de las razones e identidades trigonométricas, leyes de senos y cosenos. Resolución de problemas.

64

GLOSARIO

• CATETOS: Son los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. • HIPOTENUSA: Es el lado del triángulo rectángulo que se opone al ángulo recto. • TEOREMA DE PITÁGORAS: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado

de los catetos". • ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuya suma vale 90º. • ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son dos ángulos cuya suma vale 180º.

• ÁNGULOS EXPLEMENTARIOS: Son ángulos que suman 360º.

65

CONTENIDO TEMATICO

2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 2.1.1 SENO, COSENO Y TANGENTE 2.1.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS

NOTABLES 30º, 45º,60º 2.1.3 OPERACIONES CON FUNCIONES 2.1.4 CÁLCULO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

2.2.1 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Y FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, SUPLEMENTARIOS, ETC

2.2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE LOS ÁNGULOS

2.2.3 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

66

2. TRIGONOMETRÍA

2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS La Trigonometría se fundamenta en algunas relaciones que se llaman funciones trigonométricas y que se definen como: Funciones Trigonométricas: Son las razones entre elementos rectilíneos de un triángulo, ligados a un ángulo, cuya variación depende de la variación del ángulo.

2.1.1. Seno, coseno y tangente Considerando el Triángulo Rectángulo ABC las funciones trigonométricas de los ángulos agudos B y C son las siguientes: C a b B c A

67

• SENO: Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

sen B = b sen C = c a a • COSENO: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

cos B = c sen C = b a a • TANGENTE: Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

tan B = b tan C = c c b • COTANGENTE: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto

cot B = c cot C = b b c • SECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente

sen B = a sec = a c b • COSECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto

csc B = a csc = a b c TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los dos catetos, tenemos que: BC2 = AB2 + AC2

Ejemplo: C 10 8

68

B 6 A Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8cm, calcular las funciones trigonométricas del ángulo agudo mayor. BC2 = AB2 + AC2 BC = 100

BC2 = 62 + 82 BC = 10 BC2 = 36 + 64 BC2 = 100 A mayor lado se opone mayor ángulo. sen B = 8 = .08 cot B = 6 = 0.75 10 8 cos B = 6 = .60 sec B = 10 = 1.67 10 6 tan B = 8 = 1.33 csc B = 10 = 1.25

6 8 Ejercicios: En el triángulo ABC (A = 90º), calcular las funciones trigonométricas del ángulo B y C, si b=2cm y c=4cm. C a b= 2cm

a2 = b2 + c2 a = (4) (5)

a2 = 22 + 42

B c= 4cm A

69

a2 = 4 + 16 a = 2 5 a2 = 20

a2 = 20

sen B = 2 5 = 5 cot B = 4 = 2

2 5 5 2

cos B = 4 · 5 = 2 5 sec B = 2 5 = 5

25 5 5 4 2

tan B = 2 = 1 csc B = 2 5 = 5

4 2 2 Ejemplo: 1. Por el Teorema de Pitágoras se tiene:

C

AB = BC - AC = 13 - 5

= 169 - 25 = 144 = 12

b =5 a=13 A c= 12 B Calcular las funciones trigonométricas del ángulo C. A c=12 B 2. Dada la sec B = 3/2, calcular las demás funciones trigonométricas de ese ángulo.

C

4.25

12

3846.013

5cos

9231.013

12sen

===

===

===

b

ctanC

a

bC

a

cC

083.112

13csc

6.25

13sec

4166.012

5cot

==

==

==

C

C

C

70

a=3 b = 5

B c=2 A

Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) 3. El seno de un triángulo vale 7 ¿Cuánto vale la secante del ángulo complementario?

8

4. Dados los lados del triángulo ABC a=5, b=4, c=3, calcular las funciones del ángulo mayor.

2.1.2. Funciones trigonométricas para los ángulos notables 30º, 45º y 60º.

C

Sea un triángulo equilátero, en donde la longitud de cada uno de sus lados sea 2 unidades; trazando su altura, se obtienen dos triángulos rectángulos.

co

hipB ==

2

3sec

4923 2322 −=−=−= cab

5=b

2

5

3

2cos

3

5sen

=

=

=

tanB

B

B

5

53

5

5

5

3csc

2

3sec

5

52

5

5

5

2cot

==

=

==

B

B

B

60º 60º

30º 30º

71

A 1 D 1 B A

AC = Hipotenusa = 2 AB = Cateto opuesto = 1 BC = Cateto Adyacente = ?

1 2 B C Por el Teorema de Pitagoras Funciones Trigonométricas de 30º

Si tomamos como referencia el triángulo ACD y el ángulo 60º, tenemos que C Hipotenusa = 2 Cateto Opuesto 3

Cateto Adyacente = 1

3

14

12 22

22

=

−=

−=

−=

BC

BC

BC

ABACBC

3

3

3

3

3

1º30

2

3º30

2

1º30

==

=

=

Tan

Cos

Sen

30º

2º30

3

32

3

52·

3

2º30

3º30

=

==

=

Csc

Sec

Cot

72

2 3

Para determinar las funciones de un ángulo de 45º se considera el triángulo ABC que se

forma al trazar la diagonal AB en un cuadrado cuyos lados miden la unidad. B D Por el Teorema de Pitágoras AB = BC2 + AC2

1 1 AB = 12 + 12

AB = 2 C A Hipotenusa = ? C. Opuesto = 1 C. Adyacente = 1

3º60

2

1º60

3º60

=

=

=

Tan

Cos

Sen

3

32

3

3

3

2º60

21

2º60

3

3

3

3

3

1º60

==

==

=

Csc

Sec

Cot

45º

45º

A 1 D

73

Funciones trigonométricas de 45º

Resumen de los valores de las funciones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.

FUNCIÓN 30º 45º 60º

Sen 1/2 2/2 3

Cos 3 / 2 2 /2 1/2

Tan 3/3 1 3

Cot 3 1 3/3

Sec 23/3 2 2

Csc 2 2 2 3/3

2.1.3 Operaciones con funciones

11

1º45

2

2

2

2

2

1º45

2

2

2

2

2

1º45

==

==

==

Tan

Cos

Sen

21

2º45

21

2º45

11

1º45

==

==

==

Csc

Sec

Cot

( ) ( )945

2215

º45sec2º455)3

2

14

4

24

4

18

4

126

4

12

2

3

2

26

2

13

º45cos6º30sen3)2

2

18

4

28

4

34

4

24

4

1043(8)42(5

)23(8)22(5

º30cos8º455)1

22

22

2

2

22

22

=+

=+

=+

===+

=+=

+

=+

===+=+=

+=

+

tan

Sen

74

Ejercicios: 1) 4 cos 60º + 5 csc 30º= 2) 4 cos 30º + 6 sen 45º= 3) 6 tan 30º + 2 csc 45º= 4) sen2 30º + sec2 45º = 5) cos2 60º + sen2 45º = 6)

2.1.4 Cálculo de triángulos rectángulos Como hemos visto, un triángulo rectángulo consta de seis elementos, 3 ángulos y 3 lados; si se conocen 3 de ellos, siempre uno de los datos sea un lado, podemos determinar un triángulo. En el caso de los triángulos rectángulos, como tienen un ángulo recto, se puede determinar si se conocen dos de sus otros elementos, siempre uno de ellos sea un lado. Esto nos conduce a los siguientes casos para la resolución de triángulos rectángulos. 1er.. Caso. Dados los dos catetos. C Datos Incógnitas b=50m a=?

=+

+

=+

+

º60cosº45sen

º30º30cos)8

º45senº45cos

º30senº45sen)7

22

22

22

22

tan

54

20

4

22

5

4

22

41

2

1

2

1

22

1

º60cosº30sen

º30cscº30sen2222

===

+

=

+

+=

+

+

75

c=64m B=? a b A=90º C=? B c A Cálculo de A Cálculo de B

Cálculo de C C= 90º - B C = 90º - 38º Ejemplos: b= 50º a=? c= 40º B=? A=90º C=?

C = 90º - B C = 90º - 51º 20' 25"

6596

40962500

6450 22

22

=

+=

+=

+=

a

a

a

cba

a=81.21m

7812.0

64

50

=

==

tanB

c

btanB

B= 38º

C = 52º

4100

16002500

4050 22

22

=

+=

+=

+=

a

a

a

cba

25.1

40

50

=

==

tanB

c

btanB

76

C= 38º 39' 35" 2) b=14 c=18 A = 90º

C= 90º - 37º52'20" Ejercicios: b=22 b=30 b=60 c=45 c=40 c=80

a= 64.03

520

324196

1814 22

22

=

+=

+=

+=

a

a

a

cba

7777.0

18

14

=

==

tanB

c

btanB

a=22.80

B= 37º 52' 20"

C= 52º 07' 40"

77

2º. Caso. Dados un cateto y la hipotenusa. C Datos Incógnitas a=60cm b=? c=28cm B=? b a A=90º C=? A c B Calculo de b Cálculo de B

Calculo de C C= 90º - 62º 11' 10" C = 27º 48' 50"

2816

7843600

282602

22

=

−=

−=

−=

b

b

b

cab

4666.0cos

60

28cos

=

==

B

a

cB

B= 53.07

B=62º 11' 10"

78

Ejercicios: 1) a = 30 2) a=7.50 3) a=5.3 b=25 b=5.25 b=4.7 4) a=11.8 5) a=9.3 b=3.8 c=6.2 3er. Caso. Dados un cateto y un ángulo agudo. C Datos Incógnitas B =1.4 a=? C=37º c=? a b A=90º B=? B c A

B= 90º - C tan C = c c = b tan C

c = 60 C = 28º 30' b = 30 C = 40º 30' c = 45 B = 65º 50'

B

ba

a

bB

sensen ==

79

4º. Caso. Dados la hipotenusa y un ángulo agudo. C Datos Incógnitas a =20.1 b =? C = 38º 16' c=? a b A = 90º B = ? B c A Calculo de B Cálculo de b Cálculo de C B= 90º - C sen B= b sen C = c = 90º- 38'16" a a = 51º44' b = a sen B c = a Sen C b = 20.1 sen 51º44' c = 20.1 sen 38º16' b = 20.1 (0.7851) c = 20.1 (0.6193) b = 15.78 c = 12.45 Ejercicios: a = 4 a = 43.5 a = 57.7 B = 62º30' B = 38º C = 29º a = 90 C = 20º a = 175.5 C = 27º15' Ejercicios de aplicación: (coteja las respuestas con tu asesor)

80

1. ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada de un edificio de 180m de altura, cuando el Sol

se ha elevado 25º sobre el horizonte? ? 2. Una escalera de mano está apoyada contra la pared de una casa, de modo que del pie de la

escalera al edificio hay 8m; ¿a que altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 75º con el suelo?

? 3. Un hombre recorre 600m a lo largo de un camino que tiene una inclinación de 20º respecto

al horizonte ¿qué altura alcanza con relación al punto de partida?

180º

25º

?

75º

81

600m

? 4. Un árbol derribado por el viento forma un triángulo rectángulo con el suelo. ¿Qué altura tenía

el árbol si la parte que ha caído forma con el suelo un ángulo de 60º y si la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 12m?

12m 60º 5. Una escalera de mano, cuyo pie está sobre la calle, forma un ángulo de 30º con el suelo

cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y forma un ángulo de 40º si se apoya en el edificio situado en el otro lado de la calle, si la longitud de la escalera es de 50m, ¿cuál es el ancho de la calle?

50m 50m 40º 30º

2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

2.2.1 Círculo trigonométrico y funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, etc.

20º

82

• Círculo Trigonométrico Es aquel cuyo radio vale la unidad. Y R M A T B x' x y' En cada uno de los otros cuadrantes la representación se obtiene de manera análoga.

Aplicando las funciones trigonométricas.

r=1

r=1

0

D C S

OXRSOXAM

OXTCOXBD

⊥

⊥⊥

83

A y A R e T B

C x' D 0 C D T B y'

y'

D C 0 x' x B T Los ángulos que se relacionan en estas reducciones son los complementarios y suplementarios por defecto y por exceso y los explementarios por defecto.

y

OROR

OA

OR

RS

OR

BD

OB

OTOT

r

OT

OC

OT

OD

OB

=====

=====

1csc

1sec

x

R

y A

x O

ARAR

OA

AR

OR

OS

OB

OD

TCTC

r

TC

OC

TC

OD

BDtan

ODOD

r

OD

OB

OD

BDBD

r

BD

OB

BD

=====

=====

====

====

1cot

1

1cos

1sen

84

a) Dos ángulos son complementarios por defecto cuando se suma vale 90º y son complementarios por exceso cuando su diferencia vale 90º.

b) Dos ángulos son suplementarios por defecto cuando su suma vale 180º y suplementarios

por exceso cuando su diferencia vale 180º. c) Dos ángulos son explementarios por defecto cuando su suma vale 360º Función Directa: Es aquella que se obtiene dada la función y el ángulo y se halla el valor natural, para lo cual utilizan las tablas o la calculadora científica. Ejemplos: 1) Hallar el valor de sen 35º

En la tabla se busca la función "seno natural". En la columna "N" se localiza el valor 35º y sobre el mismo renglón en la columna "0" se encuentra el valor 0.5736. Sen 35º = 0.5736 2) Hallar el valor del cos 73º 40'

En la tabla se busca la función "coseno natural", se localiza en la columna "N" el valor 73º y en el mismo renglón, en la columna de 40', se encuentra el valor 0.2812 Cos 73º 40' = 0.2812 Función Reciproca: Dos cantidades son recíprocas, si al multiplicarlas por su inverso dan como resultado la unidad. 2 es recíproco de 5 porque 5 2 2 · 5 = 10 = 1 5 2 10 De lo cual podemos decir que dos funciones trigonométricas son reciprocas si un producto es igual a la unidad. y

85

hip = a P co = b ca = c a b

O c M Sen = b sen = b es recíproca de Csc= a

a a b

Cos = c b · a = ab =1 a a b ab

Tan = b cos= c es recíproca de Sec= a c a c

Cot = c c · a = ac = 1

b a a ac Sec = a tan= b es recíproca de Cot= c

c c b Csc = a b · c = bc =1

b c b bc Función Inversa: la expresión sen x, se denomina "seno inverso de", "anti-seno de x" y también "arco de seno de x", que significa "el ángulo cuyo seno es x". Si establecemos que el seno del ángulo x es igual a "y", es decir sen x=4 y ó x= sen y. Las Funciones Trigonométricas son: Sen x ó arc. Sen x Cos x ó arc. Cos x Tan x ó arc. Tan x Cot x ó arc. Cot x Sec x ó arc. Sec x Csc x ó arc. Csc x Las funciones trigonométricas inversas se aplican en la determinación del valor del ángulo de una función trigonométrica, cuando se conoce su valor natural. Ejemplo: Dada la tan C= 1.854, se escribe basándose en las funciones trigonométricas inversas como < C= arc. Tan 1.854

86

< C= 61º 39'

2.2.2 Identidades trigonométricas suma y diferencia Identidad Trigonométrica: es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se cumple para cualquier valor asignado al ángulo. Si trazamos un triángulo rectángulo, en el cual, a partir de un ángulo agudo , el cateto opuesto

se relaciona con el seno y el cateto adyacente con el coseno y a la hipotenusa le damos el valor de la unidad, se tiene lo siguiente: C Identidades Fundamentales a) Identidades Pitagóricas Aplicando el Teorema de Pitágoras

sen2 + cos2 = 1

sen2 = 1 - cos2

Seno 1 1 + tan2 = sec2

1 + cot2 = csc2

A coseno B b) De cocientes c) Recíprocas

tan = sen cot = 1

cos tan

cot = cos sec = 1

sen cos

csc = 1

sen

Ejemplo: 1. Dado el coseno de un ángulo, calcular las demás funciones trigonométricas. Seno: Sen2 + Cos2 = 1

Sen2 = 1 - Cos2

2cos1sen +=

87

Tangente: tan = Sen

Cos

Pero como Sen =

Cotangente: Cot = Cos , pero sen = 1 -cos2

Sen

Secante:

Cosecante:

RESUMEN DE FUNCIONES:

sen Cos tan cot Sec csc

Sen 1 - cos2

tan _

1+tan2

1____ 1+cot2

sec2-1

sec

1___ csc

Cos 1 - sen2

1____

1+tan2 cot __

1+cot2

1___

sec csc2 - 1

csc

Tan sen __

1 – sen2

1 - cos2_

cos

1__

cot sec2 - 1

1 ___

csc2 - 1

Cot 1 - sen2

sen

cos _

1 - cos2

1___

tan

1_ __

sec2 - 1 csc2 - 1

Sec 1__ _ 1 - sen2

1___ cos

1 + tan2 1 + cot2

cot

csc _

csc2 - 1

Csc 1__ 1____ 1 + tan2 1 + cot2 Sec _

2cos1−

cos

cos1 2−=tan

2cos1

coscot

−=

2cos

1sec =

2cos1sensen

1csc −== pero

2cos1

1csc

−=

88

sen 1 - cos2 tan sec2 - 1

Comprobación de identidades trigonométricas.

Para comprobar una identidad trigonométrica se tienen varios métodos, el más común nos dice que en el primer miembro de la identidad se realizan todas las sustituciones y operaciones necesarias, sin efectuar cambios en el segundo miembro de la identidad hasta lograr la igualdad de ambos miembros.

Se recomienda sustituir lo más posible en función de seno y coseno.

Ejemplos: 1. Demostrar que (1+cot2 x) cos2 x= cot2 x (1+cot2 x)cos2 x= cot2 x ; pero 1+cot2 x= Csc2 x (Csc2 x) cos2 x= cot2 x ; pero Csc2 x= 1 Sen2 x 1 Cos2 x= cot2 x sen2 x

Cos2 x = cot2 x ; pero Cos2 x = Cot2 x Sen2 x Sen2 x

cot2 x = cot2 x

2. Demostrar que Csc a · Sec a = cot a + tan a Csc a = 1 1 · 1 = Cos a + Sen a Sen a Sen a Cosa Sen a Cos a Sec a = 1 1 = Cos2 a + Sen2 a; pero sen2 a + cos2 a =1 Cos a Sen a Cos a Sen a Cos a Cot a= Cot a

89

Sen a Tan a= Sen a Cos a 1 = 1

Sen a Cos a Sen a Cos a 3. Demostrar que Sec4 b (1-Sen4 b) -2 Tan2 b = 1

Multiplicando: Sec4 b- Sec4 b Sen4 b- 2 Tan2 b =1 Factorizando el primer miembro y sustituyendo sec4 b = 1, tenemos que Cos4 b

Sustituyendo sec2 b = tan2 b + 1 y operando

Desarrollando el binomio al cuadrado y sustituyendo tan4 b = Sen4 b Cos4 b tan4 b + 2 tan2 b + 1 - tan4 b - 2 tan2 b = 1

1 = 1 Ejercicios: Comprobar las siguientes identidades trigonométricas. (Coteja las respuestas con tu asesor) A) sen2 x = (1+cos x) (1-cos x) B) sen x + cos x = tan x +1 cos x

12sencos

1)(sec 24

4

22 =−

− btanb

bb

12cos

sen)1( 2

4

422 =−−+ btan

b

bbtan

90

C) 1-tan2 A = 2-sec2 A D) 1- sen A = cos A

cos A 1+sen A

E) sec x(1-sen2 x)= cos x F) 1-tan4 B= 2 sec2 B - sec4 B G) tan2 A - sec2 A = tan2 A

cot2 A - cos2 A

H) cot2 x - cos2 x = cos4 x sen2 x I) csc4 A (1-cos4 A) - 2 cot2 A = 1 J) sen4 x = 1-cos2 x csc2 x

2.2.3 Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de los ángulos Para sumar y restar los ángulos tenemos las siguientes formulas.

Sen (a b) = Sen a · Cos b Sen b · Cos