capÍtulo 8 Ángulos y polÍgonos en la circunferencia
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CAPÍTULO 8
ÁNGULOS Y POLÍGONOS EN LA CIRCUNFERENCIA
8.1 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN 8.1
En una misma circunferencia:
1) Un ángulo central es el ángulo de vértice en el centro de la circunferencia.
Fig.8.1
2) Un ángulo inscrito es el ángulo de vértice en la circunferencia y lados secantes a ella;
y semiinscrito es el ángulo de vértice en la circunferencia y uno de sus lados es secante y
el otro tangente.
3) Un ángulo interior es el ángulo de vértice en el interior de la circunferencia; y exterior,
si su vértice es exterior y sus lados son secantes o tangentes a ella. Ver figura 8.1.
150
Si un arco de circunferencia, contenido en una región angular, tiene sus extremos en los
lados del ángulo correspondiente, se dice que el ángulo abarca al arco.
Puesto que en una circunferencia o en circunferencias congruentes, a ángulos centrales
congruentes corresponden arcos congruentes, utilizaremos este hecho para definir la
medida de un arco en términos angulares.
4) La medida angular de un arco de circunferencia, es la medida del ángulo central que
abarca a este arco.
Así, por ejemplo, diremos que la medida de un arco de circunferencia es 45º cuando el
ángulo central que lo abarca mida 45º. 1
5) Un arco de circunferencia es mayor que otro arco si la medida angular del primero es
mayor que la medida angular del segundo.
TEOREMA 8.1
Los ángulos inscritos y semiinscritos, en una circunferencia, tienen como medida la mitad
de la medida angular de los arcos que abarcan.
Demostración Ilustremos la demostración para el caso del ángulo inscrito. Se presentan
tres casos: un lado del ángulo es un diámetro, el diámetro es interior al ángulo, el diámetro
es exterior al ángulo; ver Fig. 8.2.
Fig. 8.2
En el primer caso, BC es un diámetro. Al trazar el segmento OA, se tiene que AOB es
isósceles, pues OB OA por ser éstos radios de la circunferencia. En consecuencia,
B A. De otra parte, por ser AOC un ángulo exterior a OAB, se tiene que AOC =
A + B = 2.B; por tanto, B = ½.AOC. O sea, m (B) = ½.m (AOC). Mas, la
medida de AOC es por definición la medida del arco AC, abarcado por B = ABC. De
1 Es claro, de lo que precede, que esta medida es independiente del tamaño de la circunferencia.
151
las otras figuras se deduce, también, la prueba para los otros casos. De manera semejante,
se procede cuando el ángulo es semiinscrito.
Otro teorema, cuya demostración usa técnicas parecidas a las empleadas en la demostración
del teorema 8.1, es el siguiente:
TEOREMA 8.2
1) Un ángulo exterior a una circunferencia tiene como medida la semidiferencia de las
medidas angulares de los arcos que abarca, el mayor menos el menor.
2) Un ángulo interior a la circunferencia tiene como medida la semisuma de las medidas
angulares de los arcos que abarcan él y su opuesto por el vértice.
El teorema anterior, aplicado a la Fig. 8.3, nos dice, en el primer caso, que
m (B) = ½[m (AOC) – m (DOE)], o en términos de medida angular de arcos:2
m(B) = ½ [m(arc.AC) - m(arc.DE)],
Fig. 8.3
en el segundo:
m (B) = ½[m(arc.AC) + m(arc.DE)]
2 m (arc.AC): significa medida del arco AC.
152
8.2 POLÍGONOS CONVEXOS EN LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN 8.2
En una circunferencia:
1) Un polígono inscrito es aquél que tiene todos sus vértices en ella, y se dice que la
circunferencia está circunscrita al polígono.
2) Un polígono circunscrito es aquél que tiene todos sus lados tangentes a la
circunferencia, y se dice que ella está inscrita en el polígono.
3) Un polígono regular es aquél que tiene congruentes sus lados y sus ángulos.3 (Fig. 8.4).
Inscrito Circunscrito Regular
Fig. 8.4
TEOREMA 8.3
Si una circunferencia se divide en n arcos congruentes (n > 2), el polígono que se obtiene al
trazar sus n cuerdas correspondientes es un polígono regular inscrito de n lados.
Demostración Sea O el centro de la circunferencia, ver Fig. 8.5, y A1 un punto arbitrario
de ésta.
Fig. 8.5
3 La existencia de estos polígonos, se garantiza en los teoremas siguientes 8.3 y 8.4.
153
Aplicando al punto A1 una rotación de centro O y ángulo de medida 360º/n en sentido
negativo, por ejemplo, obtenemos un punto A2 sobre la circunferencia, ya que el
movimiento conserva las distancias. Lo mismo hacemos con A2 para obtener un punto
A3. Después de n pasos generamos n puntos A1,..., An sobre la circunferencia,
coincidiendo de nuevo con A1. ¿Por qué? Como el movimiento preserva las distancias, las
cuerdas que resultan al unir dos puntos consecutivos son congruentes; igualmente, lo serán
los arcos correspondientes, pues son abarcados por ángulos centrales congruentes de
medida 360º/n. De otro lado, los ángulos A1,..., An son congruentes, porque los triángulos
de la forma OAiAi+1 son isósceles y congruentes. Por tanto, el polígono A1... An es un
polígono regular.
Supongamos, verbigracia, que queremos construir un octógono regular inscrito. Dada una
circunferencia de centro O, aplicamos una rotación de centro O y ángulo de medida
360º/8 = 45º a un punto A1 de la circunferencia, y seguimos el proceso anotado
anteriormente (ver Fig. 8.6).
Fig. 8.6
TEOREMA 8.4
Si una circunferencia se divide en n arcos congruentes (n > 2), de extremos consecutivos
A1,..., An, al trazar por ellos las tangentes, se obtiene un polígono regular circunscrito de n
lados.
Demostración Sea O el centro de la circunferencia, ver Fig. 8.7. Las tangentes por Aj y
Aj+1, para j = 1, 2,..., (n – 1), se cortan en un punto Bj, donde AjBj = Aj+1 Bj . De esta manera
generamos los puntos B1, B2,..., Bn-1. Denotemos con Bn el punto de corte de las tangentes
por An y A1. Entonces, A1Bn = AnBn. En la rotación de centro O y ángulo de medida
360º/n en el sentido de los Aj, aplicada a A1, se tiene que Aj+1 es la imagen de Aj, ¿por qué?
Como el movimiento preserva distancias y perpendicularidad (las tangentes son
perpendiculares a los radios trazados en los puntos de tangencia), concluimos que Bj + 1 es
154
imagen de Bj. Por tanto, Bj Bj + 1 y, así, el polígono B1B2... Bn es regular y
circunscrito.
COROLARIO 8.1 Todo polígono regular se inscribe en alguna circunferencia y
circunscribe en otra, ambas del mismo centro.
Fig. 8.7
En efecto, si A1... An es un polígono regular, sabemos que por no ser A1, A2, A3 colineales,
existe sólo una circunferencia, de centro O, que contiene estos puntos. En la rotación de
centro O y ángulo A1O A2, cada Ai es imagen de Ai - 1 para i = 2, ... , n, pues por hipótesis los
lados y los ángulos del polígono, son congruentes. En resumen, existe una circunferencia
de centro O y radio OA1 en la cual el polígono A1... An está inscrito. La prueba de la otra
parte es análoga.
En vista de lo anterior, damos la siguiente definición:
DEFINICIÓN 8.3
1) Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita al
polígono. El centro de esta circunferencia se denomina centro del polígono.
2) Una apotema de un polígono regular es cualquier segmento de perpendicular, trazado
del centro de éste a un lado. Por extensión, a la longitud de la apotema se le da el mismo
nombre.
COROLARIO 8.2 1) En un polígono regular, una apotema va del centro del polígono al
punto medio de uno de sus lados. (Ver Fig. 8.8).
2) En un hexágono regular, un lado y un radio son congruentes.
155
Fig.8.8
COROLARIO 8.3 La razón entre los lados homólogos de dos polígonos regulares, de
igual número de lados, es igual a la razón respectiva entre sus radios homólogos, entre sus
apotemas homólogas y entre sus perímetros.
Ejercicio. Construir un polígono regular dado el lado.
Solución Ilustremos el método con la construcción de un hexágono regular de lado AB ,
ver Fig. 8.9. En una circunferencia de radio r > AB y centro O, inscribimos un hexágono
regular de lado A B' ' . En el interior del segmento A B' ' trazamos el punto C, con A’C =
AB. Por C trazamos una paralela a la recta A’O hasta cortar OB ' en D. Por D trazamos una
paralela a A B' ' , que cortará a OA' en E. Con radio OE trazamos una circunferencia de
centro O e inscribimos el hexágono pedido.
Resolver ejercicios 8.1, 8.2, 8.5, 8.6.
Fig. 8.9
156
8.3 PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
TEOREMA 8.5
Las tres mediatrices, de los lados de un triángulo, se cortan en un punto O, que se llama
circuncentro. (La demostración de este teorema se basa en que por tres puntos no
colineales pasa sólo una circunferencia, ver Fig. 8.10.)
Fig. 8.10
TEOREMA 8.6
Las tres alturas de un triángulo, prolongadas, se cortan en un punto H, llamado ortocentro.
Demostración Dado ABC, tracemos por sus vértices paralelas a los lados opuestos, ver
Fig. 8.11. Por construcción, los cuadriláteros BCAC’ y BCB’A son paralelogramos, por
tanto, AB’ = BC = C’A. O sea, A es punto medio de B’C’. De la misma manera, se prueba
que C es punto medio de A’B’ y B de A’C’. De esto se desprende que las alturas de ABC
están contenidas en las mediatrices de los segmentos B’C’, A’B’ y A’C’. Por el teorema
anterior, ellas o sus prolongaciones deberán cortarse en un punto, digamos H.
Fig. 8.11
TEOREMA 8.7
Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto interior , llamado incentro.
157
Demostración En ABC tracemos las bisectrices de A y B, Fig. 8.12. Como estas
bisectrices forman siempre con AB dos ángulos, cuya suma es menor que un llano, se
deduce que se cortan en un punto . Este punto es interior a ABC, pues es interior a A y
a B. Por tanto, equidista de los lados de A y B. Es decir, el rayo CI es bisectriz de
C.
Fig. 8.12
COROLARIO 8.4 En todo triángulo puede inscribirse una circunferencia, cuyo centro es
el incentro del triángulo.
TEOREMA 8.8
Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto G, interior al triángulo, que se
llama baricentro. Además, el segmento de cada mediana, comprendido entre el lado que
toca y el baricentro, es un tercio de toda la mediana.
Demostración En ABC sean Ma, Mb, Mc los puntos donde las medianas tocan los lados
opuestos a los vértices A, B, y C, respectivamente, ver Fig. 8.13.
Fig. 8.13
Sea G el punto donde se intersecan las medianas AMa y AMa. Es claro que este punto
siempre existe y es interior a ABC (¿por qué?). Sean P, Q los puntos medios de AG y BG
, respectivamente. Entonces, el cuadrilátero PQMaMb es un paralelogramo, pues M Mb a
une puntos medios en ABC, con MaMb = ½AB, y PQ es une puntos medios en ABG, con
158
PQ = ½AB. De ahí que G es un punto medio de las diagonales PMa y QMb
. O sea, P, G
y Q, dividen las medianas AMa y BMb en tres segmentos congruentes, respectivamente.
Al intersecar las medianas AMa y CMc o BMb y CMc , se obtienen puntos de cortes G’
y G”, que trisecan de nuevo las medianas. Esto hace que G = G’ = G”. Además, MaG =
1/3MaA, MbG = 1/3MbB , McG = 1/3McC.
TEOREMA 8.9
En todo triángulo, el baricentro, el ortocentro y el circuncentro están alineados. Además, si
G, H, M son el baricentro, el ortocentro y el circuncentro, respectivamente, se tiene que
GH = 2GM. 4
Demostración Dado ABC tracemos por A y B las alturas del triángulo, las cuales se
cortarán en el ortocentro H; ver Fig. 8.14. Tracemos, también, las medianas AMa
y BMb
para encontrar el baricentro G. Sean P, Q puntos medios de AG y BG , respectivamente.
Por P y Q tracemos paralelas a AH
y BH
, que se cortarán en un mismo punto M’ de GH
(¿por qué?). Los segmentos simétricos a PM ' y QM ' , respecto al punto G, son los
segmentos MMa y MMb, los cuales por las propiedades de la simetría serán paralelos a PM '
y QM '
y, por tanto, a AH
y BH
.
Fig. 8.14
Como la recta AH es perpendicular a la recta BC y la recta BH es perpendicular a la recta
AC, se deduce que M es el circuncentro del triángulo. Como M y M’ son simétricos, se
tiene que M, G, M’ están alineados, así mismo, M, G y H. Además, por las propiedades de
simetría, GM = GM’ = ½GH.
4 La recta que contiene estos puntos se llama recta de Euler.
159
8.4 RELACIONES MÉTRICAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES
TEOREMA 8.10 Si ℓ2n es el lado de un polígono regular inscrito, de 2n lados, en una circunferencia de radio
r, y ℓn es el lado del polígono regular inscrito en ella, de n lados, entonces:
ℓ2n = √ √
.
Demostración En Fig. 8.15, AB = ℓ2n y O el centro del polígono de n lados. Construimos
el segmento OD perpendicular al segmento AB. Así, AC = BC, puesto que ADC BDC
por el criterio LAL; luego, AC = ℓ2n. Ahora, para cualquier n 3, el segmento AD es
interior a AOC, pues el mayor valor de la medida de AOC es 60º y, por tanto, los
ángulos de AOC son agudos. En ADC, AC² = AD² + CD², es decir:
ℓ2n² = ¼ ℓn ² + (r - OD)²,
Pero, en ODA, OD ² = r ² - AD ². O sea,
ℓ2n = √ √
,
después de algunas sustituciones y simplificaciones.
Fig. 8.15
Ejemplo Calcular el lado del octógono regular inscrito, en función del radio r de la
circunferencia circunscrita.
Solución Para aplicar el teorema anterior, debemos calcular el lado del polígono
regular de 4 lados en función de r; ver Fig. 8.16.
160
Fig. 8.16
ℓ4 = r ² + r ² = 2r ²,
ℓ4 = r 2 , por tanto,
ℓ8 = √ √
.
Así,
ℓ8 = r 2 2 .
TEOREMA 8.11
En una circunferencia de radio r, si ℓi es el lado del polígono regular inscrito y ℓc es lado del
polígono regular circunscrito, ambos de igual número de lados, entonces:
ℓc =
√
.
Demostración En la Fig. 8.17, el segmento AB es el lado del polígono regular inscrito de
n lados (ℓi = AB). Trazamos una perpendicular OM
al segmento AB. Por el punto E,
donde la recta OM corta la circunferencia de centro O, trazamos una tangente que cortará a
las rectas OA y OB en los puntos C y D, respectivamente. Entonces, el segmento CD es el
lado del polígono regular circunscrito de n lados. Como las rectas CD y AB son paralelas,
se deduce que AOB COD. Por tanto:
r
r
ℓ4
161
CD
AB
OE
OM ; o sea,
c
i
r
OM , pero
OM r i 22
4
, en AOM.
Además, de la penúltima igualdad, ℓc = r. ℓi /OM. Luego,
ℓc =
√
.
Fig. 8.17
Ejemplo Calcular el lado del hexágono regular circunscrito, en función del radio r de la
circunferencia inscrita.
Solución Sabemos que en el hexágono regular inscrito ℓi = r. De ahí que el lado del
hexágono regular circunscrito venga dado por:
c
r r
r r
r
r
r
2
4
2
3
2 3
32 2
2
TEOREMA 8.12
El lado del decágono regular inscrito, en una circunferencia de radio r, viene dado por:
ℓ10 =
r [√ ] .
162
Demostración En Fig. 8.18, AB = x es el lado del decágono regular inscrito en la
circunferencia de centro O y radio r. De esto se deduce que m (AOB) = 36º y m (A) =
m (B) = 72º. Con centro en A y radio AB, cortamos el segmento OB en el punto C.
Fig. 8.18
Por tanto, ABC es isósceles y, así, m (ACB) = 72º y m (CAB) = m (OAC) = 36º. Es
decir, OCA es isósceles, siendo la semirrecta AC bisectriz de A y OC = x. Aplicando el
segundo teorema de la bisectriz, obtenemos:
OC
r
BC
x , o sea:
x
r
r x
x
, es decir:
x =
r [√ ] .
El procedimiento anterior nos permite prever la construcción del decágono regular, usando
sólo regla y compás. En efecto, la proporción:
x
r
r x
x
nos dice que el lado del decágono regular inscrito, es media proporcional entre el radio y el
segmento que resulta después de colocar el lado del decágono sobre el radio, ver Fig. 8.19.
En primer lugar, trazamos el punto medio del segmento OB, OM = MB. Después, con
centro en M y radio MC, trazamos un arco que corte al segmento OA en el punto E. De ahí
se puede probar que OE es el lado del decágono. Para este fin, basta deducir de Fig. 8.19
que:
OE =
r [√ ] .
según teorema anterior.
,
163
También, haciendo uso de lo visto para el decágono, podremos proponer la construcción
con regla y compás del pentágono regular después del siguiente análisis, ver Fig. 8.20.
Fig. 8.19
En ésta el segmento AB es el lado del decágono regular inscrito, ¿por qué? Como el
ángulo central que corresponde a un lado del pentágono regular inscrito mide 72º, con
centro en A y radio OA trazamos un arco que corte la recta AB en C, resultando que OC es
el lado del pentágono regular inscrito.
Desde C trazamos la tangente CD a la circunferencia. En seguida procedemos al cálculo
del lado, en función del radio r de la circunferencia circunscrita. En vista del teorema 8.1,
y de que DCB es común a los triángulos ADC y BCD, se deriva que ADC BCD. Por
tanto, CD/AC = CB/CD, ¿por qué? Es decir,
CD² = AC CB (1)
De otro lado, si x es el lado del decágono, vimos que:
x
r
r x
x
, luego:
AB
AC
BC
AB (2)
De (1) y (2) se deduce CD = AB. Pero ODC es rectángulo en D. O sea:
OC ² = CD ² + OD ²
OC2 = [
(√ )]
+ r2.
Después de cálculos algebraicos y simplificaciones, se obtiene:
164
OCr
2
10 2 5 ,
que es el lado del pentágono regular inscrito.
El procedimiento anterior, muestra que el lado del pentágono regular es la hipotenusa de un
triángulo rectángulo de catetos el lado del decágono y el radio de la circunferencia. En
consecuencia, en Fig. 8.19, CE es el lado del pentágono regular inscrito.
Fig. 8.20
Resolver ejercicios 8.3, 8.7, 8.10, 8.11.
8.5 SUCESIONES
DEFINICIÓN 8.4 1) Una sucesión de números reales es cualquier subconjunto de
números reales de la forma {a1, a2,..., an,...}. Se dice que an es el término enésimo de la
sucesión.
Ejemplo 1. {2, 4, 6, 8,...} es una sucesión, donde a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6,..., an = 2n,... Aquí
an = 2n es el término enésimo de la sucesión.
Ejemplo 2. {1, 4, 9, 16, 25,...} es una sucesión, donde a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9,..., an = n2.
Ejemplo 3. {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} es una sucesión con an = 1/n.
A veces, por brevedad, escribimos “{an} es una sucesión” para referirnos al conjunto
{a1, a2,..., an,...}. Una sucesión se puede interpretar como una función ƒ: con ƒ(n) =
an, para cada n . Así, en el ejemplo 1, ƒ(n) = 2n; en el 2, ƒ(n) = n2 y en el 3, ƒ(n) = 1/n.
La sucesión {an} es creciente, si a1 a 2 a3 ... an ... Es decir, {an} es una sucesión
creciente si an an + 1, para todo n . La sucesión es decreciente si a1 a2 a3 ...
an ... O sea, {an} es una sucesión decreciente si an an + 1, para todo n . Por ejemplo,
165
la sucesión {2n} es creciente; {1/n} es decreciente, ¿por qué?; pero la sucesión {(-1)n} no
es creciente, ni decreciente.
3) La sucesión {an} es acotada inferiormente, si existe una número real L, tal que L an,
para todo n . Así, {2n} es acotada inferiormente, pues para L = 2 se tiene 2 2n, para
todo n ; {1/n} es acotada inferiormente, ya que 0 < 1/n, para todo n ; {-2n} no es
acotada inferiormente, pues no existe un real L que satisfaga L -2n, para todo n .
4) La sucesión {an} es acotada superiormente, si existe un número real M, tal que an M,
para todo n . Así, {1/n} es acotada superiormente, pues para M = 1 es 1/n 1, para
todo n ; {2n} no es acotada superiormente, pues no existe un real M que satisfaga 2n
M, para todo n .
5) La sucesión {an} es acotada, si es acotada inferior y superiormente. Por ejemplo,
{1/n} es acotada, pues para L = 0 y M = 1, se tiene 0 1/n 1.
Existen sucesiones que se aproximan a un número real fijo L cuando n crece, llamadas
sucesiones convergentes5. Si {an} se aproxima a L cuando n crece, se dice que {an}
converge a L o que el límite de {an} es L. Así, por ejemplo, la sucesión {1/n} converge a
cero y la sucesión {n/(n+1)} converge a uno. Para decir que el límite de {an} es L,
escribimos Lím an
n
= L, lo cual se lee: “límite cuando n tiende a infinito de an es igual a
L”. Si una sucesión {an} no es acotada superiormente, se dice que el límite de la sucesión
{an} es infinito, y se simboliza por Lím an
n
.
TEOREMA 8.13
1) Toda sucesión, creciente y acotada superiormente, es convergente.
2) Toda sucesión, decreciente y acotada inferiormente, es convergente.
COROLARIO 8.5
1) Si Lím an
n
, entonces Líman n
1
0 .
2) Toda sucesión convergente es acotada.
3) Si {an} es una sucesión que converge a cero y {bn} es una sucesión acotada, entonces
Lím a bn
n n
( ) 0 .
4) Si r < 1, entonces Lím rn
n
0 . Si r > 1, Lím r
n
n
.
5) Si t es un número irracional, existen sucesiones {rn} y {sn} de números racionales que
convergen a t y satisfacen rn < t < sn , para todo n.
6) Si {an} y {bn} son sucesiones convergentes y an < bn, para todo n, entonces
Lím a Lím bn
nn
n
.
5 En éstas se cumple, para todo real pequeño y positivo existe un elemento an para el cual an - L| <
166
7) Si an cn bn, para todo n y Lím a Lím b Ln
nn
n
, entonces, Lím c Ln
n
.
TEOREMA 8.14
Si L, M, r son números reales y Lím a L Lím b Mn
nn
n
, , entonces:
1) Lím r a r Lím a r Ln
nn
n
,
2) Lím a b Lím a Lím b L Mn
n nn
nn
n
( ) ,
3) Lím a b Lím a Lím b L Mn
n nn
nn
n
( ) ,
4) Además, si bn 0, para todo n, y M 0, se tiene:
Lím a b Lím a Lím b L Mn
n nn
nn
n
( ) .
8.6 LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA 8.14
En una circunferencia, si {pn} es la sucesión de los perímetros de todos los polígonos
regulares inscritos de n lados y {Pn} es la sucesión de los perímetros de todos los
polígonos regulares de n lados circunscritos, entonces para toda n existe sólo una longitud
λ que satisface:
1) pn < < Pn.
2) lím pn
n
, lím Pn
n
.
Esta longitud se llama longitud de la circunferencia.
El Teorema anterior nos dice que la longitud de una circunferencia es mayor que el
perímetro de cualquiera de sus polígonos regulares inscritos y menor que el perímetro
de cualquiera de sus polígonos regulares circunscritos, y las sucesiones de estos
perímetros convergen ambas a la longitud de la circunferencia6. La demostración de este
teorema hace uso del axioma de continuidad y de las propiedades de las sucesiones, que por
su complejidad omitimos.
6 Las sucesiones están definidas a partir de n = 3.
167
COROLARIO 8.6
En una circunferencia de radio r, si an es la sucesión de las apotemas de todos los
polígonos regulares inscritos, entonces Lím an
n
= r. Es decir, las apotemas de los polígonos
regulares inscritos se aproximan al radio de la circunferencia cuando n tiende a infinito.
Demostración. Ver figura 8.21. En ella, O es el centro de la circunferencia, AB es el lado
del polígono regular inscrito de n lados y AD es la mitad del lado del polígono regular
circunscrito de n lados. Para probar el teorema, basta con demostrar que r – an tiene límite
cero.
Fig. 8.21
Por el teorema de la mediatriz, ya que AD = BD, los segmentos AB y OD son
perpendiculares. Por otro lado, r – an = CM < DM. Como DAM es semiinscrito, se tiene
m (DAM) = ½ m (AOB) = ½ (360/n) = 180/n, cuyo límite es cero. Luego, el límite de
m (DAM) es cero. Así, el límite de DM es también cero. Por tanto, el límite de r – an es
cero.
TEOREMA 8.15
Si ’ son dos circunferencias de diámetros d y d’ y longitudes y ’, respectivamente,
entonces λ/d = λ’/d’. Es decir, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro
es constante7.
Demostración. Inscribamos en ’ polígonos regulares de n lados y perímetros
respectivos pn, pn’. La semejanza, entre dos polígonos regulares de igual número de
lados, nos permite escribir:
pn /r = pn’/r’ ó pn /2r = pn’/2r’.
De lo cual, p
d
p
d
n n'
'. Aplicando límites a ambos lados de la igualdad se obtiene:
d d
'
'
7 Constante que se denota con la letra griega π; más adelante se da un método para calcular su valor.
168
Corolario 8.7 La longitud , de una circunferencia de radio r, viene dada por = 2 r.
Encararemos, ahora, el problema de encontrar el valor de la constante . A la luz de
nuestros resultados, procedemos como sigue: consideremos los perímetros de los polígonos
regulares de n y 2n lados, inscritos y circunscritos en una circunferencia de radio r.
Cuando la diferencia de los perímetros Pn - pn sea muy pequeña para nuestros fines de
precisión, cualquiera de estos perímetros nos proporcionará un valor aproximado de la
longitud de la circunferencia, que dividido por el diámetro de ésta dará un valor muy
cercano a , ¿por qué?
Ejemplo. En una circunferencia unitaria inscribamos un hexágono regular. Vale decir,
ℓ6 = 1, ¿por qué? De ahí:
p6 = 1 x 6 = 6
p
r
6
2
6
23 , pero
p
r r
6 6
2 2
Luego, 3 < . En seguida procedemos con el hexágono regular circunscrito. Por el
teorema 8.11:
c
i
ir
2 1
4
2 3
32 2, y
P6 = 6 x c = 4 3 , por tanto:
P
r
6
22 3 = 3.464101..., entonces:
3 < < 3.464101...
Fig. 8.22
169
La desigualdad anterior nos garantiza que la primera cifra exacta de es 3. Con ayuda de
los teoremas 8.10 y 8.11, siguiendo el método anterior, se obtienen para n = 12 y n = 16,
respectivamente: 3.105828...< π < 3.2153897...y 3.1214452...< π < 3.1825975..., lo cual
nos dice que las dos primeras cifras exactas de π son, en su orden, 3 y 1. Existen métodos
más eficientes para calcular un número exacto de cifras de π. Por estos métodos, el valor de
con quince cifras decimales exactas es = 3.141592653589793...
A continuación damos un método gráfico para construir un segmento de longitud,
aproximadamente, igual a la de una circunferencia dada, ver Fig. 8.22. Se traza OD
formando 30º con OC ; D está sobre la tangente a la circunferencia por C. A partir de D, en
el sentido de DC
, se toma DP igual a 3 veces el radio. Entonces, AP es, aproximadamente,
igual a la longitud de la semicircunferencia. En efecto, DC es la mitad del lado del
triángulo equilátero de altura OC, ¿por qué? Si se escoge a OC como unidad, es decir, la
circunferencia unitaria, se tiene:
DC 1
3, CP 3
1
3
AP2 2
2
2 31
3
AP = 3.14153..., con cinco cifras exactas. Como la longitud de la circunferencia de radio
unitario es 2, se deduce que AP es, aproximadamente, igual a la longitud de la
semicircunferencia o que 2AP es igual, aproximadamente, a la longitud de la
circunferencia.
La longitud de un arco de un grado es la 360-ava parte de la longitud de la
circunferencia. Es decir, en una circunferencia de radio r un arco de nº tiene por
longitud (π r n)/180. Si se escoge como unidad de medida angular el ángulo central, que
interseca la circunferencia en un arco de longitud igual al radio, esta unidad se llama
radián. Por consiguiente, para encontrar la medida en grados de un radián se resuelve para
n la ecuación:
r nr
180,
esto es, longitud de arco igual al radio. De esto se deduce que un radián = 180/ grados.
O sea, un radián = 57.29578... grados o un radián = 57º 17’ 45”, aproximadamente. La
relación 180 grados = π radianes, que se deriva de lo anterior, permite reducir grados a
radianes y viceversa. Ahora, es fácil probar que la longitud de un arco de medida angular
radianes es r unidades de longitud.
Resolver ejercicios 8.4, 8.8, 8.12, 8.13, 8.14.
170
8.7 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS CON REGLA Y COMPÁS
INTRODUCCIÓN:
Antes de abordar esta sección recomendamos al lector revisar, cuidadosamente, la
introducción a la sección 6.2, cap.6. Ahora bien, veremos que el problema geométrico de la
construcción de polígonos regulares de n lados es equivalente al problema algebraico de
encontrar las soluciones de la ecuación xn - 1 = 0. En efecto, las raíces enésimas de la
unidad están dadas por los números complejos
xk
ni
k
n
cos sen
2 2
k = 0, 1,..., n-1
i 1 .
En el plano complejo, cada una de estas raíces tiene longitud uno, es decir, están sobre una
circunferencia de radio uno con centro en el origen. Ahora, sea la medida, en radianes,
del ángulo de vértice en el origen del plano complejo y que contiene dos raíces
consecutivas de la unidad, entonces:
2 1 2 2 ( )k
n
k
n n.
Esto significa que la distancia entre dos raíces consecutivas de la unidad, en el plano
complejo, es igual al lado del polígono regular inscrito de n lados. Por tanto, las soluciones
de xn
- 1 = 0 se encuentran en los vértices de este polígono. Recíprocamente, los vértices
del polígono regular inscrito de n lados son las soluciones de xn - 1 = 0, como puede
verificarse. Claro es, ahora, que el polígono regular inscrito de n lados es construible si, y
sólo si, cos (2/n) es construible.
Además, si el polígono regular inscrito de n lados es construible, entonces es
construible el polígono regular de 2r.n lados, para todo entero r 0. En efecto, si el
polígono regular inscrito de n lados es construible, también es construible el ángulo de
medida 2/n radianes. Tracemos la bisectriz, con regla y compás, de este ángulo para
obtener el ángulo de medida /n radianes, que es la medida del ángulo central
correspondiente al lado del polígono de 2n lados. Repitiendo este proceso, un número
finito de pasos, obtenemos el resultado de la proposición inicial.
El teorema fundamental sobre la construcción de polígonos fue dado por el matemático
alemán Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855). La demostración de este teorema requiere
conceptos de álgebra moderna, razón por la cual damos el teorema sin demostración.
171
TEOREMA 8.16 (Teorema de Gauss)
Un polígono regular de n lados puede ser construido mediante regla y compás si, y sólo si,
n = 2 ó n = 2
.p1.p2... pr,
donde p1, p2,..., pr son números primos diferentes y de la forma para algunos
enteros , k 0.
Gauss, en su obra Disquisiciones aritméticas, de 1801,8 estudia la ecuación de la división de
la circunferencia, xn - 1 = 0, con n primo, y demuestra que las raíces de esta ecuación
pueden expresarse en términos de las raíces de una sucesión de ecuaciones de la forma w1 =
0, w2 = 0..., donde los grados de los wi son los factores primos de (n – 1). De esta manera,
convierte el problema de la división de la circunferencia en n partes en el de la solución de
tantas ecuaciones wi = 0, como factores primos halla en ( n – 1). Si (n –1) es una potencia
de dos, por ejemplo, para n = 3, 5, 17, 65, 257, 512, etc., el problema de dividir la
circunferencia se reduce a resolver ecuaciones del tipo wi = 0 de grado dos. Con esto, a
manera de ejemplo, construyó el polígono regular de 17 lados encontrando que:
cos2
17
1
16
1
1617
1
1634 2 17
1
817 3 17 34 2 17 2 34 2 17
Los wi que Gauss encontró para la construcción del polígono regular de 17 lados fueron:
w1: x² + x - 4
w2: x² - 1 x - 1, donde 1 = 1/2(-1 + 17 )
w3: x² - 2 x - 1, donde 2 = 1/2(-1 - 17 )
w4: x² - 1 x + 1’, donde =
[ √
] y
1’ =
[ √
] .
En Fig. 8.23, presentamos la construcción del polígono de 17 lados, dada por Gauss9. La
circunferencia tiene radio uno y ME = 1/4. La circunferencia de centro en E y radio ED nos
da F y G, de lo cual obtenemos MF = (1/2) 1 y MG = -(1/2) 2. Puede verificarse que 1,
2 son raíces de x² + x - 4. La circunferencia de centro en F y radio FD nos da H.
8 Collette J.P., Historia de las matemáticas, siglo XXI, México, 1986, Vol. 2, Pág. 300.
9 Karlson P., La magia de los números, Labor, S.A. Barcelona, 1966, pág. 699.
172
Fig. 8.23
De ahí resulta MH = 1. Puede verificarse que 1 es raíz de x² - 1x - 1 = 0. La
circunferencia de centro G y radio GD, nos da J. De esto se deriva que MJ = 1’. Se
verifica que 1’ es raíz de x² - 2 x - 1 = 0. La circunferencia de diámetro BJ, nos da K.
Por tanto, MK es media proporcional entre MJ y MB = 1. Es decir, MK = 1 ' . La
circunferencia de centro en K y radio MK, nos da L. O sea, ML = 2MK. La circunferencia
de centro L y radio MH = 1, nos da N y así,
MN = 12
14 ' . Sea =
[ √
] .
Puede verificarse que 1 es raíz de x² - 1x + 1’ = 0. Entonces: 1 = (1/2) (MH + MN) =
(1/2) HN y (1/4) HN = (1/2) 1. Gauss afirma que (1/2) 1 = cos (2/17), lo que permite la
construcción del polígono de 17 lados. En efecto, en Fig. 8.23, sea P un punto de MB que
satisface MP HN ( ) cos( )14
217
. Se construye con regla y compás una semirrecta de
origen P, perpendicular a MB , que cortará la circunferencia en un punto Q. De ahí resulta
m PMQ( ) 2
17
radianes, ¿por qué? Luego, BQ es el lado del polígono regular de 17
lados.
Ejemplo 1. El hexágono regular es construible con regla y compás, pues:
6 = 2 x 3 = 21 x ( 220
+ 1).
Ejemplo 2. El polígono de 15 lados es construible con regla y compás, ya que:
15 = 20 x 3 x 5 = 2
0 x ( 220
+ 1) x ( 221
+ 1).
Resolver ejercicio 8.9.
173
EJERCICIOS 8.1 Demostrar:
a) Si A, B y C son puntos de una circunferencia con B entre A y C y los arcos AB y BC
miden, respectivamente, 106 y 100 grados, ¿cuánto miden los ángulos de ABC ?
b) Un ángulo inscrito mide ½ de ángulo recto. ¿Qué fracción de ángulo llano medirá el
ángulo central que abarca el mismo arco?
c) Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes.
d) Si dos rectas paralelas intersecan una circunferencia, entonces los arcos
comprendidos entre ellas son congruentes.
e) En un cuadrilátero, circunscrito convexo, son iguales las sumas de las longitudes de
los lados opuestos.
f) Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son ángulos rectos.
8.2 Desde cada vértice de un cuadrado, con radio igual a la mitad de su diagonal se traza
un cuarto de circunferencia, que corta los lados que concurren en el vértice; probar que
el polígono que resulta al unir estos puntos es un octógono regular.
8.3 En un triángulo equilátero, la circunferencia inscrita tiene radio r y la circunscrita
tiene radio R . ¿Qué relación existe entre r y R que permita conocer uno de los radios
conocido el otro?
8.4 En un rombo de lado ℓ uno de sus ángulos mide 60 grados. Calcule el radio de la
circunferencia inscrita al rombo en términos de ℓ. No use trigonometría.
8.5 C y A son los extremos de un diámetro de una semicircunferencia de centro O y radio
r; desde un punto E, que satisface E-C-A, se traza una secante a ella, que la corta en los
puntos D y B, donde E-D-B. Si ED = r, demostrar que AOB 3.AEB (NOTA: de
esta manera es posible construir un instrumento para trisecar un ángulo dado,
¿cómo lo haría?
8.6 Dos circunferencias son tangentes exteriormente en el punto A. Si una de las tangentes
exteriores a ambas las corta en los puntos B y C, demostrar que ABC es rectángulo
en A. Calcular la altura sobre el lado BC, en función de los radios.
8.7 Sobre cada lado de un hexágono regular, de radio r, se construye un cuadrado exterior.
Al unir los vértices libres de los cuadrados se forma un dodecágono.
a) Probar que se forma un dodecágono regular.
b) Si R es el radio del dodecágono y a su apotema, probar que:
R r 2 3 , a =
(√ ).
8.8 a) El diámetro de las ruedas de una locomotora es 1.80 m. Por cada vuelta
que dan las ruedas se oye un golpe. Un viajero contó 1500 golpes entre
dos estaciones ¿Cuál es la distancia que separa a las dos estaciones?
b) Junto a una mesa circular de 2 m de radio se sientan tres personas a igual distancia
una de la otra. Calcule esta distancia y la longitud de arco que las separa.
c) Reducir a grados 3π/4 radianes y a radianes 315 grados.
8.9 De los siguientes polígonos, cuáles pueden ser construibles con regla y compás?; el de
a) 48 lados b) 7 lados c) 257 lados d) 60 lados
e) 23 lados f) 816 lados g) 32 lados.
174
8.10 Para polígonos regulares inscritos, en una circunferencia de radio r, denotemos por an
la apotema del eneágono y por ℓn su lado. Demostrar las siguientes fórmulas:
a) 3 3 r b) ℓ12 = r√ √ =
(√ √ ).
c) ar
8 22 2 d) a
r12
46 2 ( )
e) 52
10 2 5 r
, a partir del teorema 8.10.
8.11 Calcular el lado del:
a) Octógono regular circunscrito.
b) Triángulo regular circunscrito
c) Dodecágono regular circunscrito.
8.12 Se quiere rodear una circunferencia de radio r con cinco circunferencias tangentes a
ella y, además, cada una con la anterior. Construir y calcular el radio de éstas y el
radio de la circunferencia circunscrita a ellas.
8.13 Interior a una circunferencia de radio R se trazan tres circunferencias de igual radio r,
tangentes entre sí y tangentes a aquélla. Calcular r en función de R.
8.14 Obtener una aproximación de , usando los perímetros de los polígonos regulares de
48 lados, inscritos y circunscritos. ¿Cuántas cifras exactas da la aproximación?
175
CANCIÓN DE OTOÑO EN PRIMAVERA
Juventud, divino tesoro, ¡ya te vas para no volver!
Cuando quiero llorar, no lloro... y a veces lloro sin querer...
Plural ha sido la celeste historia de mi corazón.
Era una dulce niña, en este mundo de duelo y de aflicción.
Miraba como el alba pura; sonreía como una flor.
Era su cabellera obscura hecha de noche y de dolor.
Yo era tímido como un niño. Ella, naturalmente, fue,
para mi amor hecho de armiño, Herodías y Salomé...
Juventud, divino tesoro, ¡ya te vas para no volver!
Cuando quiero llorar, no lloro... y a veces lloro sin querer...
Y más consoladora y más halagadora y expresiva, la otra fue más sensitiva
cual no pensé encontrar jamás.
Pues a su continua ternura una pasión violenta unía. En un peplo de gasa pura una bacante se envolvía...
En sus brazos tomó mi ensueño y lo arrulló como a un bebé... Y te mató, triste y pequeño,
falto de luz, falto de fe...
Juventud, divino tesoro, ¡te fuiste para no volver!
Cuando quiero llorar, no lloro... y a veces lloro sin querer...
176
Otra juzgó que era mi boca el estuche de su pasión;
y que me roería, loca, con sus dientes el corazón.
Poniendo en un amor de exceso la mira de su voluntad,
mientras eran abrazo y beso síntesis de la eternidad;
y de nuestra carne ligera imaginar siempre un Edén, sin pensar que la Primavera y la carne acaban también...
Juventud, divino tesoro, ¡ya te vas para no volver!
Cuando quiero llorar, no lloro... y a veces lloro sin querer.
¡Y las demás! En tantos climas, en tantas tierras siempre son, si no pretextos de mis rimas
fantasmas de mi corazón.
En vano busqué a la princesa que estaba triste de esperar.
La vida es dura. Amarga y pesa. ¡Ya no hay princesa que cantar!
Mas a pesar del tiempo terco, mi sed de amor no tiene fin; con el cabello gris, me acerco
a los rosales del jardín...
Juventud, divino tesoro, ¡ya te vas para no volver!
Cuando quiero llorar, no lloro... y a veces lloro sin querer... ¡Mas es mía el Alba de oro!
Rubén Darío Poeta nicaragüense
177
NADA PERMANECE TANTO COMO EL LLANTO
(Fragmento)
¿En qué preciso momento se separó la vida de nosotros, en qué lugar, en qué recodo del camino? ¿En cuál de nuestras travesías se detuvo el amor para decirnos adiós?
Nada ha sido tan duro como permanecer de rodillas. Nada ha dolido tanto a nuestro corazón como colgar de nuestros labios la palabra amargura. ¿Por qué anduvimos este trecho desprovisto de abrigo? ¿En cuál de nuestras manos se detuvo el viento para romper nuestras venas y saborear nuestra sangre?
Caminar… ¿Hacia dónde? ¿Con qué motivo? Andar con el corazón atado, llagadas las espaldas donde la noche se acumula, ¿para qué?, ¿hacia dónde?, ¿Qué ha sido de nosotros? Hemos recorrido largos caminos. Hemos sembrado nuestra angustia en el lugar más profundo de nuestro corazón.
Conquistar nuevos continentes, ¿quién lo pretende? Amar nuevos rostros, ¿quién lo desea? Todo ha sido arrastrado por las rigolas. No supimos dialogar con el viento y partir, sentarnos sobre los árboles intuyendo próxima la partida. Nos depositamos sobre nuestra sangre sin acordarnos de que en otros corazones el mismo líquido ardía o se derramaba combatido y combatiendo.
¿Qué silencios nos quedan por recorrer? ¿Qué senderos aguardan nuestro paso? Cualquier camino nos inspira la misma angustia, el mismo temor por la vida. Nos mutilamos al recogernos en nosotros, nos hicimos menos humanidad. Y ahora, solos, combatidos, comprendemos que el hombre que somos es porque otros han sido.
178
Ya no es necesario atar al hombre para matarlo. Basta con apretar un botón, Y se disuelve como montaña de sal bajo la lluvia. Ni es necesario argüir que desprecia al amo. Basta con proclamar –ceñuda la frente— que comprometía la existencia de 20 siglos. Veinte siglos, dos mil años de combatida pureza, dos mil años de sonrisas clandestinas, dos mil años de hartura para los príncipes. Ya no es necesario atar al hombre para matarlo. (…)
Hemos ido acumulando corazones en nuestro corazón, palabras en nuestra voz quebrantada por azadones. Hemos dejado huellas por todos los caminos y algunos de nosotros ya no estamos. Hemos ido de manos con las sombras. Nuestro andar es un grito estacionado. Por cada paso, un día que transcurre. Por cada palabra, mil palabras que vocifera la prole. ¿Qué será de nosotros después de esta larga travesía? Poco importan si el mármol o la piedra eternizan nuestro corazón de húmedo barro. Nos basta con que nuestra voz perdure en la voz del amigo, en la del compañero de rutas que nos tendió la mano cuando se aproximaba la caída. Hemos llenado muchos de los vacíos que nos legaran. A otros toca llenar los que nosotros dejamos. Apenas tuvimos tiempo para remendar la herencia. ¿En qué corazón irá nuestro corazón a depositarse? ¿A qué silbido irá nuestro silbo a renovarse? Nada sabemos, cumplimos una jornada que empezó antes que nosotros y que no concluirá con nosotros. Jacques Viau Renaud Poeta haitiano (De la web de Pedro Guillermo)
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TRES POEMAS CHINOS:
Primavera cautiva En la destrozada tierra Montaña y río perduran; En la ciudad primaveral Brotan árboles y plantas. El tiempo fugitivo Provoca el llanto de las flores; Hieren al pájaro libre Los corazones separados. Las llamas de la guerra crecen Desde hace ya tres meses. ¡Una carta de la familia Vale mil onzas de oro! Los canos cabellos ralean Al dolor del exilio; ¡Bien pronto la horquilla No habrá de sujetarlos! Du Fu (Tu Fu)
Noche en barco Débil viento entre juncos y espadañas. ¿Llueve? Abro la escotilla: la luna ha inundado al lago. Marineros y pájaros acuáticos sueñan el mismo sueño. Como un zorro sorprendido salta un gran pez. Hombres y bestias: unos a otros se olvidan. Ya es tarde. Yo juego a solas con mi sombra. Olas negras contra los bordos: dibujos de gusanos. Araña colgante - es la luna atrapada en un sauce. Pasa la vida rápida - no la deja la pena. Veo este instante que se desvanece. Canta un gallo. Campanas y tambores en la orilla. Un grito y otro y otro. Cien pájaros de pronto. Su Tung-P´O (Su Shih)
Canción para navegar
Un barco de sándalo y remos de magnolia, en ambas puntas se sientan "flautas de jade y pífanos de oro". Bellas cantantes, incontables cascos de vino dulce, oh, déjenme seguir las olas, dondequiera que me lleven. Soy como el inmortal que se fue montado en la grulla amarilla, sin meta vagabundeo siguiendo a las gaviotas blancas. Las canciones de Chu-ping aún brillan como el sol y la luna. De los palacios y torres de los reyes de Ch'u no quedan rastros en las montañas. Con un solo golpe de mi pincel sacudo las cinco montañas, El poema terminado; río, mi deleite es más vasto que el océano. Si la fama y las riquezas pudieran durar para siempre, El río Han fluiría hacia el Noroeste volviendo a su fuente. Li Po