unidad12 poligonos regulares y circunferencia

8/3/2019 Unidad12 Poligonos Regulares y Circunferencia

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PGINA 255

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Construcciones y ejes de simetra

1 a) Halla el ngulo central de un octgono regular.

b) Dibuja un octgono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm de ra-dio, construyendo el ngulo central con ayuda del transportador. Traza to-dos sus ejes de simetra.

c) Con regla y comps, traza dos rectas perpendicu-lares y sus dos bisectrices.

Traza una circunferencia de radio 5 cm con centroen el punto donde se cortan las cuatro rectas.

Dibuja de nuevo un octgono regular. Justifica laconstruccin.

a) El ngulo pedido mide 36

8

045.

b)

c) El octgono es regular porque estamos trabajando con bisectrices de ngulosiguales, por lo que las distancias son las mismas.

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

DE LA UNIDAD

Unidad 13. Polgonos regulares y circunferencia

13

5cm


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2 Averigua cunto vale el ngulo de un oct-gono regular. Obtendrs A135. Para dibujarun octgono regular de lado l4 cm, procededel siguiente modo:

Traza un segmento de 4 cm de longitud y, encada uno de sus extremos, construye un n-gulo de 135 (1359045).

Despus, traza los dos lados adyacentes.

Prosigue as hasta cerrar los 8 lados del polgono.

El ngulo es 180

8

6135.

3 Procediendo de forma anloga a la del ejercicio anterior, construye unpentgono regular de 4 cm de lado y traza, en rojo, todos sus ejes de simetra.

Primero tendrs que calcular el ngulo de un pentgono regular.

El ngulo es 180

5

3108


DE LA UNIDAD


13

5cm

4 cm

4 cm135 135

135

4 cm

108


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4 Dibuja dos polgonos regulares que cada uno de ellos tenga sus lados

paralelos dos a dos.En general, cules son los polgonos regulares cuyos lados son paralelos dosa dos?

En general, cumplen esa propiedad los polgonos regulares con un nmero parde lados.

5 Dibuja en tu cuaderno y comprueba:

a) Construye un hexgono regular de 1 cm de lado y un tringulo equilterode 2 cm de lado.

b) Comprueba que las dos figuras anteriores tienen el mismo permetro.

c) Divide el hexgono y el tringulo en tringulos equilteros de 1 cm de lado.

Cuntos de estos tringulos tiene cada una de las dos figuras?

Qu relacin hay entre sus reas?

a)

b)P

HEXGONO

16

6 cmPTRINGULO2 36 cm

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DE LA UNIDAD


13

1 cm 2 cm


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c)

El rea del hexgono es 6

4

3

21,5 veces la del tringulo.

6 Un tringulo equiltero y un hexgono regular tienen el mismo per-metro. Si el rea del hexgono es 60 cm2, cul es el rea del tringulo?

Ten en cuenta el apartado c) del ejercicio anterior.

Por el ejercicio 5, el rea del tringulo es 60 cm2 : 1,540 cm2.

Polgonos estrellados

7 Calca en tu cuaderno este pentgono regular.

Une cada vrtice con el que est dos lugares msall. Obtendrs el pentgono estrellado.

Recuerdas? Era el smbolo de los pitagricos.

8 El octgono estrellado se obtiene uniendo cadavrtice del octgono con los que estn tres lugares msall.

Hazlo en tu cuaderno.


DE LA UNIDAD


13

6 tringulos 4 tringulos


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9 Existen dos heptgonos estrellados:

I. Se une cada vrtice con los que estn dos lugaresms all.

II. Se une cada vrtice con los que estn tres lugaresms all.

Hazlos en tu cuaderno.

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DE LA UNIDAD


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I II


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Lado, apotema y radio

10 Cmo es la longitud de la apotema de un cuadra-do con relacin a su lado?

Halla el radio de un cuadrado cuyo lado mida 10 cm,con dos cifras decimales.

La apotema es la mitad del lado.

r52527,07 cm

11 Recuerda que en el hexgono regular el lado esigual al radio. Calcula la longitud de la apotema de unhexgono regular de lado 4 cm, con una cifra decimal.

a42223,4 cm

12 El lado de un pentgono regular mide l= 6 cm y su radio, r= 5,1 cm.Halla su apotema con una cifra decimal.

a5,12324,1 cm

13 El radio de un pentgono regular mide r10 cm y su apotema,a8,1 cm. Halla la longitud de su lado (con una cifra decimal).

1

21028,125,8 cm

l2 5,811,6 cm


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13

ar

l

5

5 r

2

4a

5,1

3

a

108,1

l


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14 El lado de un octgono regular mide 4 cm y su apotema, 4,8 cm. Halla

el radio de la circunferencia circunscrita al polgono.r4,82225,2 cm

15 Halla, con una cifra decimal, la altura de un trin-

gulo equiltero de 8 cm de lado.

Cunto miden su apotema y su radio?

h82426,9 cm

a6,9 : 32,3 cm

r22,34,6 cm

16 El lado del hexgono exterior mide 4 cm.

Halla el radio, la apotema y el lado del tringulo azul.

La altura del tringulo es 4 26 cm.

El radio del tringulo, r4 cm.

Su apotema, a2 cm.

La mitad del lado mide:

2

l

4

2

2

23,46 cm

Por tanto: l2 3,466,92 cm

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DE LA UNIDAD


13

2

4,8 r

8

4

hr

a

4 cm


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Circunferencias y rectas

17 Dibuja una circunferencia de 4 cm de radio y un tringulo cuyos ladossean: uno secante a la circunferencia, otro tangente y otro exterior.

18 Una recta pasa a 6 cm del centro de una circunferen-cia de radio 6,5 cm. Corta la recta a la circunferencia?

Halla la longitud de la cuerda que determina en ella.

La recta corta a la circunferencia porque su distancia al cen-tro es menor que el radio de la circunferencia.

2

l6,5262 2,5 cm

Luego la cuerda mide 5 cm.

19 Una circunferencia de 17 cm de radio corta a una recta. La cuerda co-rrespondiente mide 16 cm. A qu distancia de la recta est el centro de lacircunferencia?

d17282 15 cm

20 Dibuja dos circunferencias, Cy C', de radios 5 cm y 3 cm que seantangentes interiores. Traza tres circunferencias distintas, de 2 cm de radio, ta-les que cada una de ellas sea tangente a Cy a C'.


DE LA UNIDAD


13

4 cm

817

d

6,5cm6cm


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21 Traza dos rectas que se corten. Dibuja una circunferencia, de radio el

que t quieras, tangente a ambas rectas.

Completa la frase: Si una circunferencia es tangente a dos rectas que se cor-

tan, su centro estar en la .

Si una circunferencia es tangente a dos rectas que se cortan, su centro estar enla bisectriz del ngulo que forman.

22 Traza en tu cuaderno dos rectas paralelas,ry s, y otra recta secante a ambas. Localiza el

centro de una circunferencia que sea tangente

a las tres rectas. Podras encontrar otra?

S; basta hallar la bisectriz del otro ngulo para localizar el segundo centro.

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DE LA UNIDAD


13

C

C'

r

s


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PGINA 257

PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

23 Sobre cada uno de los lados de un hexgono regular construimos un cuadra-do. Unimos los vrtices sueltos mediante segmentos. Se obtiene as un dode-cgono (polgono de 12 lados).

Crees que es regular? Justifica la respuesta. En caso afirmativo, halla la apo-tema para l20.

Es regular porque todos sus lados son iguales (e iguales a los del hexgono regu-lar) y todos sus ngulos son iguales a la suma del ngulo de un cuadrado (90) yel de un tringulo equiltero (60): 9060150. Veamos que es correcto:

El ngulo del dodecgono regular debe ser180

1

(1

2

22)150.

La apotema, a', es igual a la suma del apotema, a, del hexgono interior msel lado del cuadrado (que es el lado del hexgono).

a2021

02 17,3 cm

Apotema del dodecgono: a'17,32037,3 cm


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13

a'

a

a

10

20


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25 Podemos embaldosar el suelo con losetas cuadradas o triangulares regulares.

Tambin encajan bien unas con otras las losetas hexagonales regulares.

Sin embargo, los pentgonos regulares no sirven para embaldosar el suelo.

Explica qu tiene que ver esto con el ngulo de estos polgonos regulares.

El ngulo de un tringulo regular es 60, divisor de 360 (360 : 606). Por

eso coinciden 6 tringulos en cada vrtice del embaldosado.360 : 904. Coinciden 4 cuadrados en cada vrtice.

El ngulo del hexgono regular es 120:

360 : 1203. Coinciden 3 hexgonos en cada vrtice.

Sin embargo, el ngulo del pentgono regular, 108, no es divisor de 360. Poreso no encajan los pentgonos unos con otros para embaldosar el suelo.

Lo mismo les ocurre a los dems polgonos regulares.


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13

6090

120108

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