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1POLÍGONOS REGULARES

DEFINICIÓN DE POLÍGONO REGULARSon los polígonos cerrados y convexos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales.

ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES

apotema radio.

C. Circunscrita:C. Inscrita:Apotema:Radio:Ángulo central:Ángulo interior:

Como el resto de polígonos, tienen vértices, lados, ángulos y diagonales. Pero los regulares tienenademás otras propiedades y elementos. Todos los polígonos regulares tienen centro, circunferenciainscrita, circunferencia circunscrita, y

La que pasa por todos los vértices del polígono.La que es tangente a todos los lados del polígono.Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado.Es el segmento que une el centro con un vértice.El que forman dos radios consecutivos.El que forman dos lados consecutivos, por el interior del polígono.

PROPIEDADES

polígonos estrellados.

El centro del polígono es a su vez centro de ambas circunferencias. El radio del polígono es el radio dela C. Circunscrita, y la apotema del polígono es el radio de la C. Inscrita.

Todos los polígonos regulares pueden construirse a partir de uno solo de sus datos: radio, apotema,lado, ángulo, diagonal...

El polígono regular de tres lados es el triángulo equilátero, el de cuatro es el cuadrado. El triángulo notiene diagonales, el cuadrado y el pentágono tienen las diagonales iguales; a partir del hexágono(incluído) las diagonales pueden tener diferentes medidas.

Apartir del pentágono (incluído) todos tienen los llamados

apotema

ángulo central

ángulo interiorM

circunferencia circunscrita

circunferencia inscrita

radio

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cita

rau

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a.Se

pro

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resa

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r.

MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓNmétodos generales

métodos específicoslado radio

Existen varios métodos, unos son los llamados , que en algunos casos sonúnicamente aproximados y no son recomendables si se requiere exactitud y precisión. Sirven paradibujar cualquier polígono regular.

Los son exactos y existe uno para cada polígono regular hasta once ladosaproximadamente. Existen métodos a partir del y a partir del .

Por los ángulos centralesConsiste en calcular la medida del ángulo central del polígono regular a construir y después, medianteun transportador de ángulos, ir sumando ángulos iguales al calculado. Veamos un ejemplo:

Construir un regular de 3 cm.eneágono radio

Marcamos el centro de la circunferencia

con un punto; trazamos un radio con la

medida pedida y luego una circunferencia

con el mismo radio del polígono.

Pasar medidas repetidamente con un transportador puede dar mucho error de dibujo. Para que ese error sea mínimo procedemos

de la siguiente forma: En lugar de situar el transportador cada vez que marquemos un ángulo central, lo dejamos fijo y vamos

marcando las sumas de los ángulos sucesivamente: 40º, 80º, 120º, 160º, 200º...

Un eneágono es un polígono de nueve

lados, por lo tanto tiene también nueve

ángulos centrales. Hacemos el cálculo del

valor de cada ángulo central, dividiendo el

ángulo completo de la circunferencia entre

nueve:

360º : 9 = 40º

Con el transportador construimos un

ángulo de 40º y trazamos el segundo radio.

Sobre este nuevo radio construimos otro

ángulo de 40º, así sucesivamente hasta

completar el polígono.

40º

NO SÍ40º

0º

40º

40º40º

40º

80º120º

160º

40º

40º40º


MÉTODOS GENERALES

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r.

A PARTIR DEL RADIO

Recordemos primero que el radio del polígono y el de la circunferencia circunscrita miden lo mismo. Lacircunferencia tiene infinitos radios y el polígono regular tiene tantos radios como vértices, peromiden lo mismo. Esto quiere decir que el problema es el mismo en estos casos:

- Cuando se da el radio del polígono- Cuando se da el radio de la circunferencia circunscrita- Cuando se da la circunferencia circunscrita ya dibujada- Cuando se pide un polígono en una circunferencia

En cualquiera de los casos y para cualquier polígono empezaremos a partir de lacircunferencia con el radio dado. Para hacerlo correctamente reduciendo en lo posible el error dedibujo, seguiremos estos pasos:

inscrito

siempre

Podemos conseguir también los polígonos de número de lados trazando la mediatriz de un lado ola bisectriz de un ángulo central. Por ejemplo, el dodecágono a partir del hexágono:

doble

Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y

cartabón.

Mediante una bisectriz o una mediatriz

encontramos un vértice intermedio del

dodecágono.

Medimos el radio que nos dan y trazamos una

circunferencia, que será la circunscrita al polígono

pedido.

Con la medida del lado del hexágono

hacemos centro en el nuevo vértice y

“pasamos” la medida por el resto de la

circunferencia.

PUnimos todos los vertices, los anteriores

y l o s n u e v o s , o b t e n i e n d o e l

dodecágono.


radio

P P P

ladohexágono

MÉTODOS ESPECÍFICOS

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r.


cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio.

Unimos los puntos de corte de los ejes con la

circunferencia.

radio

CUADRADO a partir del radioEs el polígono regular de cuatro lados. El radio es la mitad de la diagonal.

OCTÓGONO a partir del radioSi estudiamos el cuadrado veremos que con dos pares de ejes perpendiculares y a 45º, uniendo todoslos puntos de corte obtenemos el octógono.

Si queremos que el cuadrado quede “derecho” trazamos otros dos ejes a 45º con los anteriores, biencon escuadra y cartabón o mediante la bisectriz del de 90º.

A

A

C

C

D

D

B

B


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HEXÁGONO o EXÁGONO a partir del radioEs el polígono regular de seis lados. Propiedad importante: el radio y el lado miden lo mismo. De estapropiedad se deduce la forma de construirlo, “pasando” la medida del radio por la circunferenciacircunscrita.

Si observamos el hexágono ya construido vemos que podemos simplificar el trazado con dos únicoarcos desde los extremos de un diámetro. Puede hacerse cuando se tienen los diámetrosperpendiculares; si no se tienen hay que realizar el trazado anterior.


cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio.

Repetimos la operación esta vez con centro en , para

obtener el punto .

BC

Con el compás y la medida del radio, hacemos centro en

un punto de la circunferencia, por ejemplo el .

Trazamos un arco que corte a la circunferencia y

obtenemos el punto el punto .

A

B

Hacemos lo mismo sucesivamente desde cada nuevo

punto. Si se traza correctamente, el último punto debe

coincidir con el primero, el . Uniendo los vértices

en el mismo orden en que se hicieron obtenemos el

hexágono.

A A, B,C...

radio

5

A

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

E

E

F

F

B

POLÍGONOS REGULARES

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TRIÁNGULO EQUILÁTERO a partir del radioEs el polígono regular de tres lados. Si observamos el hexágono regular veremos que uniendo vérticesalternos obtenemos nos queda un triángulo equilátero, por lo que el método es el mismo pero tomandosólo tres vértices. Si queremos que el triángulo tenga la base horizontal empezaremos haciendo centroen el vértice inferior.

HEPTÁGONO a partir del radioEs el polígono regular de siete lados.


A

A A

GG

FF

BB

CC

DD EE

A

B

P P

P

r=M2

1 1

1

2 2

2

M

M

O O

O O

BC C

Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la

medida del radio, hacemos centro en el punto de la

circunferencia, y trazamos un arco que corte a la

circunferencia en los puntos y .

P

1 2

El segmento (o el 2-M ya que son iguales), es la

medida del del heptágono. Tomamos esta medida

con el compás y, al igual que con el hexágono, la

“pasamos” por la circunferencia.

1-Mlado

Trazamos el segmento , que corta al radio en el

punto medio .

1-2 OPM

Para que el polígono tenga la base horizontal

empezamos a pasar los lados desde el vértice superior

no confundir el vértice con el punto .A. Atención: E 1

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r.

POLÍGONOS REGULARES 7PENTÁGONO a partir del radio

Es el polígono regular de cinco lados. Parece el más complicado pero es el mismo que el heptágono y unpaso más.





P

1 2

Tomamos como centro el punto y abrimos el compás

hasta el punto . Trazamos el arco desde hasta cortar

en el punto .

MA A

3


punto medio .

1-2 OPM

La distancia es la medida del del pentágono.

Como en el heptágono “pasamos” esta medida por la

circunferencia, comenzando en el vértice para que la

base quede horizontal.

A-3

A

lado

P P

P P

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

M

M M

O O

O O

O

A A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

r=A3

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r.





P

1 2

Tomamos como centro el punto y abrimos el compás

hasta el punto . Trazamos el arco desde hasta cortar

en el punto .

MA A

3


punto medio .

1-2 OPM

La distancia es la medida del del decágono.

Como en los anteriores “pasamos” esta medida por la

circunferencia. Si queremos que un lado quede

horizontal comenzamos a pasar el lado desde

O-3

A.

lado

P P

PA

A

1 1

1 1

r=0-

3

2 2

2 2

3 3

M

M M

O O

O O

O

A

DECÁGONO

O-3

a partir del radioEs el polígono regular de diez lados. El método es exactamente el mismo que el del pentágono.Únicamente hay que tomar como medida del lado el segmento .

POLÍGONOS REGULARES 8

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ENEÁGONO a partir del radioEs el polígono regular de nueve lados. Es algo diferente al resto de polígonos regulares.




circunferencia el punto .

A

1

Haciendo centro ahora en el punto y abriendo el

compás hasta , trazamos un arco hasta encontrar el

punto sobre el eje horizontal.

2A

3

Con centro en el punto y radio , trazamos un arco

que corte a la prolongación del eje horizontal de la

circunferencia en le punto .

P P-1

2

El segmento es la medida del lado del eneágono.

Como en los otros, pasaremos esta medida por la

circunferencia con el compás. Si comenzamos en A

quedará la base horizontal.

Q-3

O O

O O

O

A A

A A

A

P

P P

Q

2

2 2

3 3

1 1

1 1


r=Q-3

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ESQUEMARESUMENExcepto para el eneágono, podemos reunir todos los polígonos en un único esquema, con lo cual no esnecesario memorizar ocho métodos, sino recordar sólo un trazado. Realizando los trazados delpentágono marcamos sobre el mismo dibujo los segmentos correspondientes a cada polígono.

Como se puede comprobar con solo dos operaciones (una mediatriz más un arco) se consiguen los máscomplicados. Para el heptágono y el triángulo equilátero solo hace falta la mediatriz y para el cuadradoy el hexágono bastan los ejes perpendiculares. Lógicamente no hay que realizar todos los trazadossiempre, sino únicamente los necesarios para cada polígono.

ERRORES DE DIBUJOEl error de dibujo se nota especialmente en trazados en los que hay que repetir muchas veces ciertasoperaciones, como en los polígonos regulares, en los que hay que pasar la medida de los ladosrepetidamente. Un error de dibujo de 0,2 mm (que es poco a simple vista) repetido doce veces en undodecágono se convierte en un error visible.

Para minimizar o al menos reducir a la mitad el error de dibujo, cuando hayamos obtenido la medidadel lado, deberemos pasar la mitad de los lados en un sentido y la otra mitad en el otro alrededor de lacircunferencia.

10

PQ

N1

2

3

MO

A1-2 = lado delQ-N = lado delA-3 = lado delO-A = lado delM-2 = lado delO-3 = lado del

triángulo equiláterocuadradopentágonohexágonoheptágonodecágono

Los lados del octógono y deldodecágono se obtienen, como seindicó en la 1ª página, a partir delc u a d r a d o y d e l h e x á g o n orespect ivamente, trazando lamediatriz de un lado o la bisectriz de unángulo central.

O

A


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11

A PARTIR DEL LADO

El dato de partida será el lado del polígono, bien por su medida o bien por un segmento ya dibujado enel papel. Los métodos a partir del lado son, en general, algo más complicados, por el número deoperaciones y porque son bastante diferentes entre sí, a diferencia de los métodos por el radio.

ANTES DE EMPEZARAlgunas cosas de interés comunes a casi todos los trazados:

MEDIATRIZ de un segmento:Recta perpendicular al segmento y que pasapor su punto medio.

BISECTRIZ de un ángulo:Recta que divide al ángulo en dos ángulosiguales, pasando por el vértice.

1. Los métodos están relacionados en cierta forma, lo que facilita sumemorización. Como se verá el polígono de 6 está relacionado con el de 3, el de 8con el de 4, el de 9 con el de 3, el de 10 con el de 5, el de 12 con el de 6. Es decir,están relacionados los que son múltiplos unos de otros.

2. En casi todos los métodos el objetivo de los trazados es obtener ely una vez dibujada ésta, “pasar” la medida del lado

por ella, como en los métodos del radio.

3. Los trazados deben hacerse muy minuciosamente ya que es fácil confundircentros, puntos, etc. fijándose bien en los dibujos explicativos.

4. El error de dibujo es mayor que en los métodos del radio por el número detrazados. Hay que cuidar la precisión en los trazados desde el primer paso.

5. Se usan frecuentemente los trazados de la mediatriz de un segmento y labisectriz de un ángulo, que recordamos debajo. También las perpendiculares yparalelas, que realizaremos con escuadra y cartabón.

centro de lacircunferencia circunscrita,

A B

V

2

2

1

1

Se toma con el compás una medida claramente

mayor que la mitad del segmento. Haciendo

centro en los extremos y del segmento

trazamos dos arcos que se cortan en los puntos

y . La recta que pasa por ellos es la mediatriz.

A B1

2

Se toma con el compás una medida cualquiera y

se traza un arco con centro en el vértide del

ángulo, obteniendo los puntos y . Se traza la

mediatriz del segmento que resulta ser la

bisectriz.

1 21-2

MÉTODOS ESPECÍFICOS


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CUADRADO a partir del ladoEs el polígono regular de cuatro lados.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO a partir del ladoEs el polígono regular de tres lados.

También puede trazarse un ángulo de 45º con escuadra y cartabón, desde uno de los extremos dellado hasta encontrar el vértice C.


Trazamos dos perpendiculares por los

extremos del lado, suficientemente

largas.

Con centro en un extremo y la medida

del lado trazamos un arco que

sobrepase el centro del segmento por

arriba.

Con centro en un extremo y con el

radio igual al lado, trazamos un arco

hasta encontrar el punto .C

Con la misma medida y centro en en

otro extremo trazamos un arco

similar que se cortará en el vértice .C

Por C trazamos una paralela hasta

encontrar .D

Unimos el vértice con los otros dos.C

A

A

A A A

45º

A

A AB

B

B B B

B

B

C

C

C C

C

C

B

12

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POLÍGONOS REGULARES 13HEXÁGONO O EXÁGONO a partir del lado

Es el polígono regular de seis lados. Para comprender el trazado veremos primero la relación entre elhexágono y el triángulo equilátero.

Si observamos un hexágono regular comprobaremos que está compuesto de seis triángulos equiláteros.

Además todos los triángulos tienen uno de sus vértices en el centro de la circunferencia circunscrita delhexágono. Por lo tanto, para construir un hexágono a partir del lado primero construiremos el triánguloequilátero inferior. Con centro en el vértice superior del triángulo haremos una circunferencia quepase por y , que es la circunferencia circunscrita del hexágono.A B

A

O

B

A

A

A

A

B

B

B

B

OO

Con la medida del lado del hexágono hacemos el trazado de un triángulo equilátero.

(No es necesario dibujar el triángulo, aquí se representa por facilitar la comprensión).

Con centro en el vértice superior

trazamos una circunferencia que pase por

y , que será la circunferencia

circunscrita del hexágono.

O

A B

Tomando la medida del lado AB con el

c o m p á s , l a “ p a s a m o s ” p o r l a

circunferencia, como en el método del

radio.

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A

A

A A

A

A A AB

B

P P

QB B

M

MB

B B B

C CDD D

E E E E

PENTÁGONO a partir del ladoEs el polígono regular de cinco lados. Para entender mejor el proceso observemos antes el esquemainferior. Si tomamos un lado y dos diagonales convenientemente veremos que se forman tres triángulosisósceles, uno de vérticesABD y otros dos iguales de vértices BCD yADE.

El proceso es dibujar primero el triángulo ABE y luego añadir los otros dos. Si conociéramos la medidade la diagonal el problema se reduce a construir triángulos a partir de los tres lados. El método queveremos a continuación sirve para encontrar la medida de la diagonal a partir del lado.

1º

2º 3º


Trazamos una perpendicular por el extremo ,

con escuadra y cartabón.

B

Con centro en el extremo y radio , trazamos

un arco hasta la perpendicular, encontrando el

punto .

B BA

P

Trazamos la mediatriz del lado encontrando

el punto

AB,M.

Con centro en y radio trazamos un arco

hasta encontrar el punto , en la prolongación

del lado hacia la derecha.

M MPQ

AB

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r.

POLÍGONOS REGULARES 15PENTÁGONO

AQ diagonalContinuación a partir del lado

El segmento resultante es la medida de la del pentágono que estábamos buscando.

Ahora construimos los triángulos isósceles que se indicaban al principio: primero elABD, luego los BDC yADC.

Únicamente queda tener en cuenta que no es necesario dibujar el triángulo interior y que NO debemosborrar los trazados anteriores, eliminados arriba para facilitar la comprensión. El conjunto quedarácomo en el dibujo inferior.

A A

E

E

C

C

B B

D D

D

rad

io A

Q

radi

oA

B

A

P

QBM

A

P

QBM

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Construimos un pentágono a partir del lado

lado del decágono.AB

Pasamos la medida del lado por la

circunferencia, la mitad en un sentido y la otra

mitad en el contrario, para reducir el error.

AB

Con centro en el vértice superior trazamos una

circunferencia por y , que es la circunscrita al

decágono.

A B

Uniendo los puntos de corte obtenemos el

decágono.

AA

A A

BB

B B

C

D

E

FG

H

I

J

O

O O

DECÁGONO a partir del ladoEs el polígono regular de diez lados. Como se indicó en la página 11 el decágono y el pentágono estánrelacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el decágono inferior veremos que, alconstruir un pentágono con el mismo lado, el vértice superior coincide con el centro del decágono, aligual que ocurría con el hexágono y el triángulo equilátero.

De aquí deducimos el método: primero construimos un pentágono regular con el lado AB del decágono.El vértice superior será el centro de la circunferencia circunscrita del decágono, por la que“pasaremos” el ladoAB.

radio AB

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POLÍGONOS REGULARES 17OCTÓGONO

O

a partir del ladoEs el polígono regular de ocho lados. Como se indicó en la página 11 el octógono y el cuadrado estánrelacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el octógono inferior veremos que, alconstruir un cuadrado con el mismo lado y trazar su circunferencia circunscrita, ésta pasa por el centro

del octógono.

O

O

O O

De aquí deducimos el método: primero construimos un cuadrado con el lado AB del octógono.Trazaremos el centro de la circunferencia circunscrita del cuadrado y hallaremos O, centro de lacircunferencia circunscrita del octógono, por la que “pasaremos” el ladoAB.

Construimos un cuadrado a partir

del lado lado del octógono.AB

Con centro en trazamos una circunferencia por y ,

que es la circunscrita del octógono.

O A B

Con escuadra y cartabón trazamos la

mediatriz del lado , que debe

pasar por el centro del cuadrado. La

prolongamos hacia arriba hasta

cortar en a la circunferencia.

AB

O

Trazamos las diagonales del

cuadrado para hallar su centro y su

circunferencia circunscrita.

Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en

ambos sentidos. Uniendo construimos el octógono.

AB

A

A A A

AB

B B B

B

C

D

EF

G

H

radio AB

PR

OF

ESO

R:

Alf

red

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Cin

os.

Sepro

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a.Se

pro

híb

ela

venta

sin

auto

riza

ción

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resa

del

auto

r.

POLÍGONOS REGULARES 18DODECÁGONO a partir del lado

Es el polígono regular de doce lados. Está relacionado con el hexágono y a su vez éste con el triánguloequilátero. El dodecágono tiene su centro en la circunferencia circunscrita del hexágono.

O

V V

O

O O

Método: Con el lado AB del dodecágono construimos un hexágono y su circunferencia circunscrita. Conella hallamos O. centro de la circunferencia circunscrita del dodecágono.

C o n st r u i m o s u n t r i á n g u l o

equilátero a partir del lado lado

del dodecágono.AB

Con escuadra y cartabón trazamos la

mediatriz del lado , que debe

pasar por el vértice del triángulo.

La prolongamos hacia arriba hasta

cortar en a la circunferencia.

ABV

O

Con centro en el vértice superior

t ra za m o s l a c i rc u n fe re n c i a

circunscrita del hexágono, que no es

necesario dibujar.

V


que es la circunscrita del dodecágono.

O A B Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en

ambos sentidos. Uniendo construimos el dodecágono.

AB

V

radio ABA

A A A

AB

B B B

B

C

D

E

F

GH

I

J

K

L

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OF

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r.

POLÍGONOS REGULARES 19ENEÁGONO a partir del lado

Es el polígono regular de nueve lados. Está relacionado con el triángulo equilátero.

Método: Partimos del lado AB del eneágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de lacircunferencia circunscrita del eneágono.

C o n st r u i m o s u n t r i á n g u l o

equilátero a partir del lado del

eneágono.

AB

Prolongamos los lados del

triángulo hasta cortar a la

circunferencia en y .M N

Con centro en , vértice superior del

t r i á n g u l o , t r a z a m o s u n a

circunferencia que pase por .

V

P

ATENCIÓN: OMN

No confundir el punto

en con el punto de corte en la

circunferencia.

Hallamos el centro del triángulo

mediante dos alturas, con escuadra

y cartabón.

P

Unimos los puntos y y

prolongamos la altura del triángulo,

que corta a en el punto .

M N

MN O


que es la circunscrita del eneágono.

O A B Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en

ambos sentidos. Uniendo construimos el eneágono.

AB

NO

SÍ

O O

O

A A A

A A A

A A

B B B

B B B

B B

radio AB

C

D

E

F

G

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del

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POLÍGONOS REGULARES 20HEPTÁGONO a partir del lado

Es el polígono regular de siete lados.

Método: Partimos del lado AB del heptágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de lacircunferencia circunscrita del heptágono.

Construimos un triángulo rectángulo tomando como

el lado del heptágono, y con un ángulo de

Obtenemos el tercer vértice .

cateto AB 30º.P

Con centro en el extremo , (el vértice del ángulo de 30º

siempre) trazamos un arco que pasae por , hasta cortar

a la mediatriz en .

AP

O

Trazamos la mediatriz del lado .AB

El punto es el centro de la circunferencia

circunscrita del heptágono.

O

A30º

A

A

A

A

B

P P

P P

P

O

O

O

B

B

B

B

Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en

ambos sentidos. Uniendo construimos el heptágono.

AB

radio AB

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Polígonos con número de lados:

Tienen siempre lados opuestos paralelos.Tienen siempre un vértice opuesto a otro.Las diagonales que unen vértices opuestosse cortan en el centro.

par Polígonos con número de lados:

Tienen un vértice opuesto a un lado,pero no otro lado opuesto.No hay diagonales que pasen por el centro.

impar

OTRAS PROPIEDADES QUE AYUDAN A MEJORAR LOS TRAZADOS

CENTRO DEL POLÍGONO REGULAREl centro del polígono es también el de sus circunferencias inscrita y circunscrita.Las mediatrices de los lados se cortan en el centro.Las bisectrices de los ángulos interiores se cortan en el centro.Las diagonales que unen vértices opuestos (número par) se cortan en el centro.

POLÍGONOS CON NÚMERO PAR O IMPAR DE LADOS

circunferencia circunscrita

circunferencia inscrita

Para hallar el centro de un polígono regular dado podemos hacer cualquiera de estas cosas:

Las mediatrices de dos

lados que no sean opuestos.

Dos diagonales entre

vért ices opuestos

(polígonos pares).

Una combinación de las

anteriores.

Las bisectrices de dos ángulos

que no sean opuestos.

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MEDIATRICES de los ladosLas mediatrices de los lados en un polígono regular coinciden con las bisectrices de los ánguloscentrales. Si se dibuja bien y se dispone de un buen material, pueden hacerse con escuadra y cartabón,trazando una perpendicuar al lado pasando por el centro.

ALTURA DE UN POLÍGONO REGULARimpar

parEn un polígono la altura se mide desde el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto.En uno se mide desde el punto medio de un lado hasta el punto medio del lado opuesto.

Impares: La altura es la suma de una radio más una apotema. Pares: La altura es la suma dos apotemas.

r

=

=

M

altu

ra

altu

ra

a a

a

POLÍGONOS de número doble de ladosdoblePodemos conseguir los polígonos de número de lados trazando la mediatriz de un lado o la

bisectriz de un ángulo central.

Se halla el centro del polígono y se

traza su circunferencia circunscrita.

Trazamos una mediatriz o bisectriz

hasta cortar a la circunferencia

circunscrita en , que será un vértice

intermedio del polígono doble.

V

El vértice nuevo unido a uno del

anterior nos da el lado del polígono

doble.

V V

A

O

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polígonos regulares 1 · pdf filetodos los polígonos regulares tienen centro,...

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