Polígonos Regulares, Área das Figuras Planas

E Circunferência

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Instituto Federal Goiano – Campus Urutaí

Professor: Ricardo Gomes

Alunos (as): Geniffer Pereira de Souza Luz

Naysa Paula

Disciplina: Geometria Euclediana Plana 1° Semestre de Matemática

Polígonos Regulares e Área das Figuras Planas

Urutaí, Julho de2013

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Sumário

Unidade 1 1. Introdução .....................................................................4

Polígonos Regulares 2. Polígonos Inscritos e Circunscritos em uma

Circunferência ...................................................................5

3. Polígonos Regulares ......................................................6

4. Propriedades dos Polígonos Regulares .........................7

5. Elementos de um Polígono Regular ..............................8

6. Relações entre dois Polígonos semelhantes .................9

7. Relações métricas nos Polígonos Regulares ...............10

8. Polígonos regulares Circunscritos ...............................11

Unidade 2

Área das figuras planas 1. Introdução ...................................................................12

2. Superfície e Área de um Polígono ...............................12

3. O metro Quadrado .....................................................12

4. Figuras Equivalentes ...................................................14

5. Área do Retângulo ......................................................14

6. Área do Quadrado ......................................................15

7. Área do Paralelogramo ...............................................15

8. Área do triângulo ........................................................16

9. Área do Trapézio .........................................................18

10. Área do Losango ........................................................19

11. Área de um polígono Regular ....................................19

12. Área do círculo ..........................................................20

Bibliografia .........................................................................................22

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Unidade 1: Polígonos Regulares

1. Introdução

Constantemente identificados no cotidiano, os Polígonos Regulares têm aplicações nos mais diversos campos, como: na engenharia, pontes e torres no qual são responsáveis pela rigidez; na natureza, abelhas utilizam-se do hexágono regular nas colmeias; no futebol, os gomos da bola tradicional, na geologia, entre outros.

Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos. Podendo o polígono regular ser inscrito em uma circunferência.

A soma de todos os ângulos internos de um polígono é dada por:

S= (n-2) 180°/2

A soma de todos os ângulos externos de um polígono é dada por:

ae= 360/n

Todo polígono regular pode ser inscrito ou circunscrito em uma circunferência.

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2. Polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência

Dizemos que um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos os seus vértices são pontos desta circunferência.

Ex:

Figura 1: Triângulo inscrito. Figura 2: Pentágono inscrito. Figura 3: Octógono inscrito.

Dizemos que um polígono está circunscrito em uma circunferência, quando todos os seus lados são tangentes à uma circunferência.

Figura 1: Triângulo inscrito. Figura 2: pentágono inscrito. Figura 3: octógono inscrito.

Propriedades:

Todo Triângulo inscrito numa circunferência forma um ângulo reto, ou seja, o triângulo é triângulo retângulo.

Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares.

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3. Polígonos Regulares

Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruente.

Ex:

O quadrilátero da figura possui todos os seus ângulos congruentes (equiângulo) e todos os seu lados congruentes (equilátero).

Assim: AB = DC = AB= BC e o Ângulo A é congruente o Ângulo B que é congruente com o Ângulo C que é congruente com o Ângulo D.

Todo polígono equilátero e equiângulo é chamado de polígono regular.

Obs: O retângulo possui os seus ângulos congruentes, mas não possui os seus lados iguais, logo ele não é um polígono regular. E o losango possui todos os seus lados congruentes, no entanto, não possui ângulos iguais, portanto, o losango não é um polígono regular.

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4. Propriedades dos Polígonos Regulares

1ª Propriedade:

Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.

Para inscrever qualquer polígono com n > 2, basta dividi-lo em n arcos congruentes e unir os pontos consecutivos obtidos nessa divisão, determinando, assim, os lados do polígono.

2ª Propriedade:

Para circunscrever qualquer polígono com n > 2, basta dividi-lo em n arcos congruentes e traçar as tangentes nos pontos de divisão.

Exemplos:

Observações:

1. Para formar um quadrado inscrito, basta traçar dois diâmetros perpendiculares em uma circunferência, dividindo em quatro arcos congruentes.

2. Para formar um hexágono regular, com auxilio de compasso e o comprimento do raio, marcamos arcos congruentes, as cordas formam a figura geométrica.

3. Para formar um triangulo equilátero inscrito, com auxilio de compasso, basta dividir a circunferência em três arcos iguais, as cordas forma o triângulo equilátero.

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5. Elementos de um Polígono Regular

Observe a figura e verifique:

O ponto O é o centro do polígono O raio da circunferência circunscrita (r) é o raio do polígono. A distância do centro ao ponto médio de qualquer lado é o apótema do

polígono (a).

O ângulo que tem o vértice no centro e cujos lados são dois raios consecutivos é o ângulo central (âc).

Ac = 360°/n; sendo n o número de lados de um polígono.

O ângulo formado por dois consecutivos do polígono é o ângulo interno (ai).

Ai = 180° ( n – 2)/n

O ângulo externo (âe) é o suplemento do ângulo internoAc = 360°/n

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6. Relações entre dois Polígonos Semelhantes

Dois polígonos, com o mesmo numero de lados, são semelhante.

Exemplo: dois hexágonos semelhantes:

Relações:

1ª Relação:

Os perímetros de dois polígonos semelhantes são proporcionais aos respectivos lados.

Pela propriedade das proporções.

Assim:

2p/ 2p’= l/l’

2ª Relação:

Os perímetros de dois polígonos semelhantes são proporcionais aos respectivos raios

Pela relação anterior:

2p/ 2p’= r/r'

3ª Relação:

Os perímetros de dois polígonos semelhantes são proporcionais aos respectivos apótemas.

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Pela relação anterior:

2p/ 2p’= a/a’

7. Relações Métricas nos Polígonos Regulares

A seguir veremos a relação entre o lado e o apótema de um polígono regular e o raio da circunferência onde o polígono esta inscrito.

Quadrado inscrito

Notação:

L medida do lado do quadrado.

A medida do apótema do quadrado.

Considere o Triangulo Retângulo:

Sen 45° = l4/2/r L4= r 1,414213562

Cos 45° = a4/r a4= r √2/ 2

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8. Polígonos Regulares Circunscritos

Observe na figura abaixo, dois polígonos: um inscrito e outro circunscrito à circunferência de raio r.

Notação:

ln Medida do laod do polígono regular inscrito

an Medida do apótema do polígono regular inscrito

Ln Medida do lado do polígono regular circunscrito.

An Medida do apótema do polígono regular circunscrito.

Os polígonos inscritos e circunscritos são semelhantes, podemos estabelecer a seguinte reação:

ln/Ln= an/ An ln/Ln= an/ r

Unidade 2: Área das figuras planas

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1. Introdução

A necessidade de determinar a área de uma figura geométrica é bem antiga. No antigo Egito, os donos das terras às margens do Rio Nilo já pagavam impostos aos faraós pelo uso da terra. Essa quantia que era paga em impostos era proporcional ao tamanho da área cultivada.

Hoje em dia, ainda há a necessidade de ter conhecimento sobre área de uma superfície. Ex: a área do piso da sala, a área de uma terra a ser vendida ou um lote, a área do muro e assim por diante.

2. Superfície e Área de um Polígono

Vamos esclarecer a diferença entre a área de um polígono e a superfície.

A superfície de um polígono correspondente à união do seu contorno com a sua região interior. A medida dessa superfície expressa por um numero real positivo e chamada de área.

3. O metro quadrado

Para determinar a área de uma superfície deve-se compara-la com outra, que por sua vez é tomada como unidade de medida.

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Tomando um quadrado pequeno como unidade de medida, percebemos que a área da figura geométrica é igual a 15 u.

Para evitar o uso de diferentes unidades de medida, há uma unidade padrão, como unidade fundamental de medida. A unidade fundamental de medida de superfície mais utilizada é o metro quadrado (m2), que corresponde a superfície de um quadrado com um metro de lado.

Quadro de medidas de área:

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4. Figuras Equivalentes

Para dizer que duas ou mais figuras são equivalentes elas tem que ter, fundamentalmente, a mesma área.

Assim:

Se as figuras têm formas diferentes, no entanto, tem a mesma área elas são equivalentes.

5. Área do Retângulo

A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura.

Notação:

b Medida do comprimento da base

h Medida do comprimento da largura ou altura.

Área do retângulo

AR= b x h

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6. Área do QuadradoSendo L a medida do lado de um quadrado, temos:

Área do quadrado:

Aq =L x L = L2

7. Área do Paralelogramo

Considere o paralelogramo de base de medida b e altura de medida h da figura:

Observe que:

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Notamos que a área do paralelogramo é igual à área do retângulo.

Logo:

Ap = b x h

8. Área do Triângulo

Considere o triângulo de base de medida b e altura de medida h da figura:

Observe que:

Dois triângulos congruentes formam um paralelogramo de base de medida b e altura de medida h. sendo, portanto, a área do triângulo igual à metade da área do paralelogramo.

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AT = b x h/ 2

Casos particulares: Triângulo Retângulo

AT = b x a/ 2

Triângulo Equilátero

Triângulo inscrito e circunscrito a uma circunferência

Inscrito Circunscrito

AT = a x b x c/ 4R AT= p x r

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9. Área do Trapézio

Considere o trapézio, sendo:

B Medida da base maior, b Medida da base menor e h Medida da altura.

Observe que:

Dois trapézios congruentes formam um paralelogramo. Sendo, portanto, a área do trapézio igual à metade da área do paralelogramo de base (B+b) e a altura (h).

Logo: AT= (B+b) x h/ 2

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10. Área do Losango

Considere o losango, sendo:

D Medida da diagonal maior d Medida da diagonal menor

Observe que a área do losango corresponde à metade da área do retângulo de base (D) e altura (d).

Logo:

AL= D x d/ 2

11. Área de um Polígono Regular

Considere por exemplo, o hexágono:

L = medida do lado do polígono

A= medida do apótema do polígono.

Verifica, os que o polígono pode ser decomposto em 6 triângulos congruentes.

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Assim, a área do hexágono pode ser indicada por:

Ah= 6 x b x h/2= 6 x L x a/2= 3 x L x a

Generalizando, para um polígono de n lados, temos:

Área do polígono = n x L x a/2 = n xL/ 2= n x L x a/2

Observe que: n x L/2 é o semiperímetro (p) do polígono.

Assim:

Área do polígono = p x a

12. Área do Círculo

Considere o círculo de raio (r):

Se dividirmos o circulo em áreas iguais e decompondo-o, obtemos:

C= 2πr

Verificamos que a área do círculo corresponde a metade da área de m retângulo de base (2πr).

Assim: AO =2πr x r/ 2 = πr2

Logo: AO = πr2

Área da coroa circular:A = πr2 – πr2

A = π (R2 – r2)

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Área do setor circular

Sendo α a medida do ângulo central da figura ao lado podemos estabelecer a relação:

Acirculo/ Asetor = 360°/ α

A área deste setor pode ser determinada por uma simples regra de três:

πR2 360°

A α

A = α π R2 / 360°

Área do segmento circular

Asc= área do setor circular – área do triângulo

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Bibliografia

Silveira, Ênio, 1958-Matemática/ Ênio Silveira, Claúdio Marques – São Paulo: Moderna, 1995.

EUCLIDES, O Primeiro Livro dos Elementos de Euclides. John A. Fossa - Editor geral: Irineu Bicudo - tradutor. Natal: Editora SBHMat, 2001.

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