polÍgonos regulares y estrellados

DT I. 1º BACHILLERATO

T4. POLIGONOS III. POLÍGONOS REGULARESY POLÍGONOS ESTRELLADOS

T5. POLIGONOS III. POLÍGONOS REGULARES

Un POLÍGONO REGULAR es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales

Para costruir un polígono regular, normalmente nos dan como datos:

EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIACIRCUNSCRITA

EL LADO DEL POLÍGONO

En este caso el problema se resuelve dividiendo

la circunferencia en tantaspartes como lados haya de

tener el polígono

Para construir polígonos dado el lado existen

métodos particulares.La mayoría de estos

métodos nos llevan a calcular el radio de la circunferencia

circunscrita


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 3 PARTES IGUALES : TRIÁNGULO EQUILÁTERO

O

1

A


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 3 PARTES IGUALES : TRIÁNGULO EQUILÁTERO

O

1

A

CB


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 6 PARTES IGUALES: HEXÁGONO

O

D

A

EC


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 6 PARTES IGUALES: HEXÁGONO

O

D

A

E

B F

C


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 4 PARTES IGUALES : CUADRADO

O

A

C


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 4 PARTES IGUALES : CUADRADO

OD

A

B

C


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 8 PARTES IGUALES : OCTÓGONO

O G

A

C

E


O



O G

A

C

E


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 5 PARTES IGUALES: PENTÁGONO

O



O G

A

C

H

FD

B

E


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 5 PARTES IGUALES : PENTÁGONO

O

A

1



O

A

1M



O

A

1M

P



O

A

1

L5

M

P



O

A

1P

B

L5

M



O

A

1P

B E

L5

M

D



O

A

1P

B

C

L5L5

E

L5

M


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 10 PARTES IGUALES : DECÁGONO

G

O

A

1P

C

EF

I

M



G

O

A

1P

C

EF

I

H

M



G

O

A

1P

C

D

EF

I

J

H

M



G

O

A

1P

C

B

D

EF

I

J

H

M



O

A

1P

B E

L5

L10 M


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 7 PARTES IGUALES : HEPTÁGONO

O

A

1



O

A

1M



O

A

1M

L7



O

A

GB

1M

L7

L7



O

A

GB

C F

1M

L7

L7



O

A

GB

C

D E

F

1M

L7

L7


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN 9 PARTES IGUALES : ENEÁGONO

O

A

N



O

A

N

1

2



O

A

N

1

2

3



OL9

A

N

1

2

3



OL9

L9 A

IB

N

1

2

3



OL9

L9

L9

A

IB

C H

N

1

2

3



OL9

L9 L9

A

IB

C H

N

1

2

3



OL9

L9

L9

A

IB

C H

N

1

2

3


DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN UN Nº N CUALQUIERA DE PARTES IGUALES : MÉTODO GENERAL

O

A

N

División de una circunferencia en 11 partes y trazado del polígono regular resultante



O

A

P

N





O

A

P

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11




O

AB

C

D

E

F

P

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11




O

AB

C

D

E

F

P

N G

H

K

J

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO REGULAR A PARTIR DEL LADO

A BA B



A BA B

N

1



A BA M B

N

1



A BA M B

N

P

21



A BA M B

N

P

D

21

3



A BA M B

NE

P

D

2

L5

1

3

L5



A BA M B

N

C

P

D

21

3

E

L5

L5

L5 L5


CONSTRUCCIÓN DEL HEXÁGONO REGULAR A PARTIR DEL LADO

A BA B



A BA

O

B



A B

F O C



A B

F

E D

O C


CONSTRUCCIÓN DEL HEPTÁGONO REGULAR A PARTIR DEL LADO

A BA B



A BA B

N



A BA B

N

30º



A BA B

N

M

30º



A BA B

N

O

M

30º



A BA

G C

B

N

O

M

30º



A BA

G

F

E

D

C

B

N

O

M

30º


CONSTRUCCIÓN DEL OCTÓGONO REGULAR A PARTIR DEL LADO

A BA B



12

A B



12

3

A B



A

3

1

O

2

B



A

H C

3

1

O

2

B



A

H

G

C

D

3

1

O

2

B



A

H

G

F

C

D

E

3

1

O

2

B

A B


CONSTRUCCIÓN DEL ENEÁGONO REGULAR A PARTIR DEL LADO

A

M

B



A30º

M

N

B



A30º

M

P Q

N

B



A30º

M

PO

Q

N

B



A

I

E

30º

M

PO

Q

N

B

C



A

I

H D

E

30º

M

PO

Q

N

B

C



A

I

H

G E

D

E

30º

M

PO

Q

N

B

C




CONSTRUCCIÓN DEL DECÁGONO REGULAR A PARTIR DEL LADO

A B

2

1K

3

O

M



A B

2

1K

3

O

M



A

J

B

C

2

1K

3

O

M



A

J

I D

B

C

2

1K

3

O

M



A

J

B

C

I

H

G

E

F

D

2

1K

3

O

M


A

J

B

C

I D

H

G

E

F



CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO REGULAR DE n LADOS A PARTIR DEL LADO: MÉTODO GENERAL

Trazado de un polígono regular de 11 lados conociendo el lado

Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

A

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

B

A

A

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

B

C

D

E

F

A

A

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

B

C

D

E

F

A

A

G

H

I

J

K

1ª SOLUCIÓN




2ª SOLUCIÓN

Lado :

O

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

A´B´




Lado :

O

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

A´B´

2ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´B´

B

B

A

A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´B´

B

B

B

A

A

A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2ª SOLUCIÓN

B

C

D

F G

H

I

J

K




Lado :

O

A´B´

B

B

A

A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

A 2ª SOLUCIÓN

E




SOLUCIÓN si la circunferencia auxiliares más grande que la resultante

Lado :B A

O

A´

B´ BA

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

C

D

F G

H

I

J

K

A

E




SOLUCIÓN si la circunferencia auxiliares más grande que la resultante

Lado :B A

O

A´

B´ BA

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11


Para hacer un ,

dividimos la circunferencia en tantas partes iguales como puntas queremos

que tenga la estrella

En el ejemplo de la izquierda se ha dividido en 7 partes,

para hacer unaestrella de 7 puntas

POLÍGONO ESTRELLADO

1

2

3

45

6

7

POLÍGONOS ESTRELLADOS



Una vez dividida la circunferencia, para hacer un polígono regular iríamos uniendo cada punto

con el siguiente correlativamente, pero para hacer un

polígono estrellado iremos saltándonos 1 punto,

dos, o los que queramos.

Ejemplo: Unimos el 1 con el 3, el 5, el 7, el 2, el 4, el 6 y finalizamos en el 1

1

2

3

45

6

7



Cuando el número de puntas es par, en lugar de empezar por un punto

e ir trazando líneas hasta acabar en el primero,

como en el caso anterior, tendremos que construir dos o tres polígonos que

al entrecruzarse formarán la estrella, como en este

ejemplo de 8.. Para formar esta estrella de 8

puntas unimos el 1, 3, 5 y 7 por un lado y formamos un cuadrado, y el 2, 4, 6 y 8 por otro

y formamos otro cuadrado. La superposición de ambos

forma la estrella

1

2

3

4

5

6

7

8



Mientras más puntas tenga la estrella, más posibilidades gráficas ofrece,

ya que podemos hacer sus puntas más largas o más cortas

dependiendo de la cantidad de puntos que nos saltemosa la hora de trazar sus lados.

En este ejemplo vemos varias estrellas de 16 puntas,pero cada una de ellas tiene sus puntas diferentes, según

hallamos saltado 1, 2, 3, 4 o 5divisiones.



En este caso el intervalo es 1 división



En este caso el intervalo son 2 divisiones


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