trazado de polÍgonos regulares

Educación Plástica y Visual. 3º ESOTRAZADO DE POLÍGONOS

POLÍGONOS REGULARES

D

O

A

1P

B

CL5

L5

E

L5

M

EPV 3º ESO. POLÍGONOS REGULARES

POLÍGONO:

Elementos de un polígono:

Polígono es la porción del plano limitada por rectas que se cortan dos a dos.

LADOS: Son los segmentos que lo limitan (a, b, c, d).

VÉRTICES: Son los extremos de los lados (A, B, C, D).

ÁNGULOS: Son el espacio que forman cada dos

lados consecutivos ( a, b, g, e )

CONTORNO: Es la línea quebrada que forman sus lados.

PERÍMETRO: Es la suma de sus lados (a + b + c + d).

DIAGONAL: Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

POLÍGONO

A

C

D

a

a

e

g

b

b

cd

B

lanogaid

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Según el número de lados, los polígonos pueden ser:

Si seguimos aumentando el número de lados conseguiremos el UNDECÁGONO (11 lados), DODECÁGONO ( 12 lados) POLÍGONO DE TRECE LADOS, POLÍGONO DE 14 LADOS, PENTADECÁGONO...

TRIÁNGULOTres lados

HEPTÁGONOSiete lados

CUADRILÁTEROCuatro lados

OCTÓGONOOcho lados

PENTÁGONOCinco lados

ENEÁGONONueve lados

HEXÁGONOSeis lados

DECÁGONODiez lados


P. EQUILÁTEROS P. EQUIÁNGULOS P. REGULARES

a

g

bb b

g ge

a a

a = b = g = e a = b = g = ea = b = c = d

e

Los que tienen todossus lados iguales

Los que tienen todossus ángulos iguales

Son equiláteros y equiángulosa la vez. Todos los que no

son regulares son IRREGULARES

ac

dd

a

b

c a c

bb

a = b = c = d


Según la forma y relación entre sus lados y ángulos llaman:



POLÍGONO INSCRITO Y POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA

POLÍGONO INSCRITO en una circunferencia es aquel

que tiene sus vérticesapoyados en la circunferencia.

A su vez, la circunferencia es circunscrita al triángulo.

POLÍGONO CIRCUNSCRITO a una circunferencia es aquel

cuyos lados sontangentes a la circunferencia.

A su vez, la circunferencia está inscrita en el triángulo.

IA CC IRN CE UR NE SF CN RU IC T A R I C

CIRCUNFERENCIA INSCRITA


Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres puntos son los vértices y los tres segmentos los lados).

Los VÉRTICES se designan con letras mayúsculas. El orden de los vértices es el contrario de

las agujas del reloj

Los ÁNGULOS se designan con letras mayúsculas o letras griegas ( A, B, C)

Los LADOS se designan por las letras de sus extremos o por una letra

minúscula igual a la del vértice opuesto

( lado AB o lado c)

A

ag

b

c

C

Bb

g

a

TRIÁNGULOS


CUADRILÁTEROS

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

Un CUADRILÁTERO es una figura plana poligonal cerrada, compuesta por cuatro lados

PARALELOGRAMOS

Tienen paralelos dos a dos los lados opuestos Tienen paralelos dos lados llamados BASES Son cuadriláteros genéricos que no cumplen las propiedades de trapecios ni paralelogramos.CUADRADO

Cuatro lados igualesCuatro ángulos interiores de 90ºLas diagonales son iguales, se bisecan ( se cortan en el punto medio) y son perpendiculares.

TRAPECIO RECTÁNGULOUno de los lados noparalelos es perpendiculara la base

TRAPECIO ISÓSCELESTiene los lados noparalelos igualesDiagonales iguales y oblicuas, no se bisecan

Tanto los lados como losángulos son diferentes

en general.Las diagonales son desiguales,

oblícuas y no se bisecan.

TRAPEZOIDE

TRAPECIO ESCALENOÁngulos desiguales.Diagonales desiguales,oblícuas y no sebisecan

RECTÁNGULOSLados iguales 2 a 2Cuatro ángulos interioresde 90º.Las diagonales son iguales, se bisecan

ROMBOSLados iguales 2 a 2. Oblícuos los consecutivosÁngulos interiores opuestosiguales.Diagonales desiguales,perpendiculares y se bisecan

ROMBOIDESLados opuestos igualesy paralelos.Ángulos interiores opuestos iguales.Diagonales desiguales y se bisecan

TRAPECIOS TRAPEZOIDES

a

a

a

a

a a

b

b b

b

b

b

CUADRILÁTEROS


Un POLÍGONO REGULAR es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales

Para costruir un polígono regular, normalmente nos dan como datos:

EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIACIRCUNSCRITA

EL LADO DEL POLÍGONO

En este caso el problema se resuelve dividiendo

la circunferencia en tantaspartes como lados haya de

tener el polígono

Para construir polígonos dado el lado existen

métodos particulares.La mayoría de estos

métodos nos llevan a calcular el radio de la circunferencia

circunscrita

CUADRILÁTEROSPOLÍGONOS REGULARES

IA CC IRN CE UR NE SF CN RU IC T A R I C

A BA B


O

Construcción de un TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIENDO EL RADIO de la circunferencia circunscrita


O

1

A


Trazamos el arco AB


O

1

A

CB


Trazamos el arco 1O


O

1

A

CB



Construcción de un TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIENDO EL LADO

A Bc


A Bc


Trazamos el arco AB


A

C

Bc


Trazamos el arco BA, que corta al arcoanterior en el punto C


53 mm

A

b a

c

C

B


Uniendo los puntos A, B y C tenemos el triángulo equilátero


O

Construcción de un CUADRADO CONOCIDO EL RADIO de la circunferencia circunscrita


OD

A

B

C


DTrazamos dos diámetros perpendiculares,y obtenemos los puntos A, B, C y D



OD

A

B

C

DUnimos los puntos A, B, C y Dy conseguimos el cuadrado


Construcción de un CUADRADO CONOCIDO EL LADO

A B



A B

DTrazamos una perpendicular en uno de losextremos del segmento



A B

DTrazamos otra perpendicular en elotro extremo



A B

C

DTrazamos el arco BA, que corta a laprimera perpendicular en el punto C



A B

CD

DTrazamos el arco AB, que corta ala segunda perpendicular en el punto D



A B

CD

DUniendo los puntos ABCD obtenemos el cuadrado


O

A

1

Construcción de un PENTÁGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

DPara dividir la circunferencia en cinco partes iguales, comenzamospor trazar dos diámetros perpendiculares.


O

A

1M


DEn segundo lugar, trazamos la mediatriz del radio O1, que nosda el punto M


O

A

1M

P


DTrazamos el arco MA, que corta al diámetro horizontal en el punto P


O

A

1

L5

M

P


DLa distancia que hay de A a P es la distancia del lado del pentágonoque buscamos (L5)


O

A

1P

B

L5

M


DHaciendo centro en A, trazamos un arco AP para trasladar el lado a lacircunferencia (AB)


O

A

1P

B E

L5

M


DHacemos lo mismo hacia el otro lado de la circunferencia, un arco AP que corta la circunferencia en el punto E



D

O

A

1P

B

C

L5L5

E

L5

M

DHaciendo centro en B y E trazamos dos arcos con el radio

igual que el lado del pentágono. Así obtenemos los puntos C y D



D

O

A

1P

B

C

L5L5

E

L5

M

DUniendo ABCDE obtenemos el pentágono


Construcción de un DECÁGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

G

O

A

1P

C

EF

I

M

D El decágono tiene 10 lados, el doble que el pentágono, por tanto lo primeroque hacemos es dividir la circunferencia en 5 partes iguales mediante

el método explicado anteriormente



G

O

A

1P

C

EF

I

H

M

DUna vez dividida en 5 partes, podríamos hacer bisectrices de los ángulos AOI, IOG, GOE, y EOC,

pero es más fácil unir cada uno de los puntos A, C, E, G e I con el centro de la circunferencia.En la prolongación de dichas rectas, cortaremos la circunferencia en los puntos B, D, F, H, J



G

O

A

1P

C

D

EF

I

J

H

M

DUniendo ABCDEFGHIJ obtenemos el decágono regular



G

O

A

1P

C

B

D

EF

I

J

H

M


Construcción de un PENTÁGONO CONOCIDO EL LADO


A BA B



A BA B

N

1



A BA M B

N

1



A BA M B

N

P

21



A BA M B

N

P

D

21

3



A BA M B

NE

P

D

2

L5

1

3

L5



A BA M B

N

C

P

D

21

3

E

L5

L5

L5 L5

O

Construcción de un HEXÁGONO REGULAR CONOCIENDO EL RADIO de la circunferencia circunscrita


O

D

A


Trazamos el diámetro AD


O

D

A

EC


DTrazamos el arco de radio DO,y obtenemos los puntos C y E



O

D

A

E

B F

C

DTrazamos el arco de radio AO,y obtenemos los puntos B y F



O

D

A

E

B F

C

DUniendo los puntos A, B, C, D, E y F obtenemos el hexágono regular


Construcción de un HEXÁGONO REGULAR CONOCIENDO EL LADO

A BA B



A BA

O

B

DEl hexágono es el único polígono regular que tiene

el lado igual al radio de su circunferencia circunscrita, portanto, lo primero que hacemos son dos arcos AB y BA para hallar

el centro de dicha circunferencia



A BA

O

B

DTrazamos la circunferencia circunscrita,de radio OA u OB



A B

F O C

DProlongamos los arcos AB y BA hastacortar la circunferencia en los puntos F y C



A B

F

E D

O C

DTrazamos, con centro en F y en C, dos arcos de radio AB (que es el lado del

hexágono)



A B

F

E D

O C

DUnimos ABCDEF y obtenemos elhexágono regular


Construcción de un HEPTÁGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA


O

A

1



O

A

1M



O

A

1M

L7



O

A

GB

1M

L7

L7



O

A

GB

C F

1M

L7

L7



O

A

GB

C

D E

F

1M

L7

L7

Construcción de un HEPTÁGONO CONOCIDO EL LADO


A BA B



A BA B

N



A BA B

N

30º



A BA B

N

M

30º



A BA B

N

O

M

30º



A BA

G C

B

N

O

M

30º


A BA

G

F

E

D

C

B

N

O

M

30º


Construcción de un OCTÓGONO CONOCIDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

O G

A

C

E

DEl octógono tiene el doble de lados que el cuadrado,por tanto dividimos la circunferencia primero en 4 partes iguales


OO G

A

C

E


DEn segundo lugar, trazamos las bisectrices de los ángulos COA y AOG. De esta manera, estamos dividiendo en dos

dichos ángulos y sus ángulos opuestos, obteniendo los puntos B, H, D y F

FD

HB


OO G

A

C

H

FD

B

E


DUniendo ABCDEFGH obtenemos el octógono


Construcción de un OCTÓGONO CONOCIDO EL LADO


A BA B



12

A B



12

3

A B



A

3

1

O

2

B



A

H C

3

1

O

2

B



A

H

G

C

D

3

1

O

2

B

A

H

G

F

C

D

E

3

1

O

2

B



MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS CONOCIDO EL RADIO


O

A

N

División de una circunferencia en 11 partes y trazado del polígono regular resultante

O

A

P

N







O

A

P

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11




O

AB

C

D

E

F

P

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11




O

AB

C

D

E

F

P

N G

H

K

J

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS CONOCIDO EL LADO


Trazado de un polígono regular de 11 lados conociendo el lado

Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

A

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

B

A

A

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

B

C

D

E

F

A

A

1ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´

B´

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

B

B

C

D

E

F

A

A

G

H

I

J

K

1ª SOLUCIÓN




2ª SOLUCIÓN

Lado :

O

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

A´B´




Lado :

O

B A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

A´B´

2ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´B´

B

B

A

A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2ª SOLUCIÓN




Lado :

O

A´B´

B

B

B

A

A

A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2ª SOLUCIÓN



B

C

D

F G

H

I

J

K


Lado :

O

A´B´

B

B

A

A

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

A 2ª SOLUCIÓN

E




SOLUCIÓN si la circunferencia auxiliares más grande que la resultante

Lado :B A

O

A´

B´ BA

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11



B

C

D

F G

H

I

J

K

A

E


SOLUCIÓN si la circunferencia auxiliares más grande que la resultante

Lado :B A

O

A´

B´ BA

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

POLÍGONOS ESTRELLADOS


Para hacer un ,

dividimos la circunferencia en tantas partes iguales como puntas queremos

que tenga la estrella

En el ejemplo de la izquierda se ha dividido en 7 partes,

para hacer unaestrella de 7 puntas

POLÍGONO ESTRELLADO

1

2

3

45

6

7



Una vez dividida la circunferencia, para hacer un polígono regular iríamos uniendo cada punto

con el siguiente correlativamente, pero para hacer un

polígono estrellado iremos saltándonos 1 punto,

dos, o los que queramos.

Ejemplo: Unimos el 1 con el 3, el 5, el 7, el 2, el 4, el 6 y finalizamos en el 1

1

2

3

45

6

7



Cuando el número de puntas es par, en lugar de empezar por un punto

e ir trazando líneas hasta acabar en el primero,

como en el caso anterior, tendremos que construir dos o tres polígonos que

al entrecruzarse formarán la estrella, como en este

ejemplo de 8.. Para formar esta estrella de 8

puntas unimos el 1, 3, 5 y 7 por un lado y formamos un cuadrado, y el 2, 4, 6 y 8 por otro

y formamos otro cuadrado. La superposición de ambos

forma la estrella

1

2

3

4

5

6

7

8



Mientras más puntas tenga la estrella, más posibilidades gráficas ofrece,

ya que podemos hacer sus puntas más largas o más cortas

dependiendo de la cantidad de puntos que nos saltemosa la hora de trazar sus lados.

En este ejemplo vemos varias estrellas de 16 puntas,pero cada una de ellas tiene sus puntas diferentes, según

hallamos saltado 1, 2, 3, 4 o 5divisiones.



En este caso el intervalo es 1 división



En este caso el intervalo son 2 divisiones

trazado de polÍgonos regulares

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