COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 4TO. AÑO

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 2003

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El álgebra de los árabes esta casi totalmente representado en el nombre

celebre ABUADALA MAHOMED IBN MUSA, generalmente conocido como AL –

KHOREZMI nació alrededor del 780 D.C en Khorezm, al sur del Mar Aral (Hoy

Khira Uzbekistan), que había sido conquistado 70 años antes por los árabes.

Hacia el 820, Al – Khorezmi fue llamado a Bagdad por el califa abasida Al –

Mamun, segundo hijo de Harun ar – Rashid, por todos conocido gracias a las

“Mil y unas noches”.

Al – Mamun continuo el enriquecimiento de la ciencia árabe y de la Academia

de Ciencias creada por su padre, llamada “La Casa de la Sabiduría”, lo que

traería importantes consecuencias en el desarrollo de la ciencia en Europa,

principalmente a través de España. Al – Khorezmi fue un recopilador de

conocimiento de los griegos y de la India, principalmente matemáticas, pero

también astronomía, astrología, geografía e historia.

Su aritmética, traducida al latín como “Algoritmi de numéro Indorum”,

introduce el sistema numericoindio (sólo conocido por los árabes unos 50

años antes) y los algoritmos para calcular con él. Finalmente tenemos el

álgebra una introducción compacta al cálculo, usando reglas para completar

y reducir ecuaciones. Además de sistematizar la resolución de ecuaciones

cuadráticas, también trata geometría, cálculos comerciales y de herencias.

CAIDA DEL IMPERIO

ROMANO DE OCCIDENTE

476

VI VII VIII IX IX X XI XII XIII

598BRAHMAGU

PTA

HUARI

641INCENDIO

DE LA BIBLIOTECA

DE

830AL -

KHOWARIZ

REINOS ALTIPLÁNIC

OS

CHIMU

TEMPRANA EDAD MEDIA ALTA EDAD MEDIA

LA HÉGIRA

DE MAHOMA

BATALLA DE

POITIERS732

MUERTE DE

CARLO MAGNO

PRIMERA CRUZADA

1096

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES

Veamos algunos ejemplos de enunciados y consigamos para cada uno su respectiva expresión matemática.

FORMA VERBAL

FORMA MATEMÁTICA

A es el doble de B

A es dos veces

más que B

A es tanto como el triple de B

El exceso de A sobre B

Tres números consecutivos

Tres números pares

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 1 CUARTO AÑO

EL CABALLO Y EL MULO

Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobres sus lomos pesados sacos. Lamentándose el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De que te quejas?” Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía”.¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?

¿Qué es plantear una

Lo que escucho, lo olvido Lo que veo, lo recuerdo

Pero lo que hago, lo entiendo

Confucio

U na de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la

destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático, estableciendo para ello una o más ecuaciones. He aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de traducir.

consecutivos.

Por cada 2 fichas blancas tengo 5 azules

El par de números impares que siguen a un número par.

Ejemplo 1:

¿Cuántas patas de gallina se pueden contar en un corral, donde hay 90 gallinas más 1/10 del número de gallinas?.

Ejemplo 2:

En un corral hay pollos y conejos. El número de patas es 14 más 2 veces el número de cabezas. ¿Cuántos conejos hay?.

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas, en relación con un número “x”?.

I. El triple de las dos terceras partes del número es 2x.

II. El exceso del número sobre la quinta

parte del mismo es .

III. Tres veces más que un número es 4x.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas.

2. ¿Cuál es el número, tal que el doble de su suma con 3, es el triple del exceso del número sobre 5?

a) 18 b) 8 c) 21d) 9 e) 29

3. El exceso del quíntuplo de un número sobre 36 equivale al exceso de 60 sobre 3 veces el número. La tercera parte del número es:

a) 12 b) 10 c) 4d) 15 e) 30

4. En un campeonato A metió 3 goles más que B pero 5 menos que C. Los goles de A excedió en 7 a los de D y fue excedido por un gol al de E. Si en total se metieron 81 goles. ¿Cuántos goles metió D?

a) 14 b) 17 c) 10d) 22 e) 18

5. Un número excede al cuadrado más próximo en 29 unidades y es excedido por el siguiente cuadrado en 18 unidades. Hallar la suma de las cifras del número.

a) 10 b) 12 c) 7d) 14 e) 18

6. Encuentre cinco enteros consecutivos tales que seis veces el menor sea dos veces más que el mayor. ¿Cuál es el número intermedio?.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

7. El producto de dos números pares positivos consecutivos es cuatro veces el menor, más 48. ¿Cuál es el producto?

a) 40 b) 72 c) 60d) 76 e) 80

8. ¿Cuál es el número impar, tal que agregado a los tres pares que le siguen da un total de 125?. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

9. Dos números están en la relación de 4 a 3. La mitad del mayor excede a la tercera parte del menor en 5. Encontrar el mayor.

a) 16 b) 12 c) 8d) 20 e) 24

10. Giovanni tiene bolitas negras y blancas, donde por cada 3 bolitas negras tiene dos blancas. Si vende sus bolitas negras a S/.7 cada uno y las blancas a S/.5 cada uno, recaudaría S/.124. ¿Cuántas bolitas tiene?.

a) 12 b) 8 c) 20d) 9 e) 21

11. A un cine asistieron 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuplo del número de

mujeres y el de mujeres es el triple que el de los niños. ¿Cuántos hombres hay?

a) 380 b) 255 c) 315d) 288 e) 258

12. Se compra cierto número de relojes por 5625 dólares. Sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en dólares. ¿Cuántos relojes se han comprado?

a) 70 b) 75 c) 90d) 85 e) 65

13. A un alambre de 156 m. se le hacen tantos cortes como longitud tiene cada parte. ¿Cuántas partes iguales se consigue?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

14. Si subo una escalera de 3 en 3 y doy 6 pasos más que subiendo de 4 en 4. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?.

a) 52 b) 72 c) 60d) 84 e) 120

15. Después de hacer compras, Diana dice: “Me hace falta para tener 20 soles el triple de lo que me falta para tener 30 soles. ¿Cuánto tengo?

a) S/.25 b) S/.30 c) S/.35d) S/.40 e) S/.45

Un ejército “A” presentó batalla a otro ejército “B”. De los soldados del ejército “A” murieron todos menos los que murieron y de todos los soldados sobrevivientes del mismo ejército, quedaron heridos; de modo que murieron 100 más de los que quedaron heridos. Si el ejército “B” tenía al principio 200 soldados más que “A”.¿Cuántos soldados tenía el ejército “B” al inicio de la batalla.

DESAFIODESAFIO

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas, en relación con un número “x”?

I. El doble del cuadrado del número es 2x2 II. El cuadrado del doble del número es 4x2

III. 2 veces más que el cuadrado del número es 2x2

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas

2. ¿Cuál es el número que restado de 6 deja un número que excede en 4 a la mitad de 10?.

a) 7 b) 8 c) 15d) 9 e) 16

3. Dos números son proporcionales a 7 y 9 respectivamente. Si al mayor se le disminuye 36 y al mayor se le aumenta 64. Se obtendrían números iguales. El número mayor es:

a) 360 b) 50 c) 450d) 180 e) 270

4. ¿Cuál es el número par, tal que agregado a los tres impares que le prenden da un total de 111?. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Por cada 2 monedas de S/.5 tengo 3 monedas de S/.2. Si gastara S/.30 tendría S/.50. ¿Cuántas monedas tengo en total?.

a) 10 d) 25b) 15 e) 30c) 20

6. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número sobre 8?

a) 10 d) 31b) 13 e) 51c) 15

7. Los contenidos de vino de dos recipientes son proporcionales a 3 y 5. Si el segundo tuviera 24 litros más de vino, su contenido triplicaría al primero. ¿Cuántos litros contiene el segundo?.

a) 10 d) 25b) 15 e) 30c) 20

8. Melissa recibió 4 soles y tuvo entonces 5 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 4 soles. ¿Cuánto tenía al principio?

a) S/.5 d) S/.8b) S/.6 e) S/.9c) S/.7

9. Se pagó 107 soles por un libro, un lapicero y una billetera. La billetera costo 10 soles más que el libro y 43 soles menos que el lapicero. ¿Cuánto costo el libro?

a) S/.25 d) S/.40b) S/.15 e) S/.68c) S/.38

10. El médico cirujano gana el triple que el ayudante, que gana el doble de la enfermera. El médico cirujano gana el doble que el anestesista. Si en total ganan 12 000. ¿Cuánto gana el anestesista?

a) S/.1 000 d) S/.1 500b) S/.2 000 e) S/.4 000

c) S/.3 000

11. Carla tiene S/.120 y su hermana no tiene nada. ¿Dentro de cuántos días tendrán lo

El origen del signo mas (+), posiblemente fue utilizado por los comerciantes, quienes lo ponían como una marca indicativa de exceso de peso en sus mercaderias. La palabras MAS, que indica la suma de dos o más cantidades, es la traducción de la palabra latina PLUS, que generalmente se simboliza con la letra “P”, y el signo que conocemos como + proviene de la deformación paulatina de dicha letra. Sea como fuere, parece que el alemán WIDMAN en 1489 fue el primero que lo uso. Otros afirman que el signo + es sólo una simplificación de la palabra ET usado en alemán, y que al ser escrita con rapidez fue

mismo si Carla deposita S/.3 por día y su hermana empieza a S/5 por día?

a) 20 d) 120b) 60 e) 10c) 40

12. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores S/.250. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/.300. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente?.

a) 4 d) 6b) 5 e) 7c) 10

13. En un vuelo de aves se observan tantas a las de gorriones, como cabezas de gaviotas. Una vez posadas se observan 90 patas. ¿Cuántas aves quedan al volar nuevamente 2 docenas de aves?

a) 20 d) 23b) 21 e) 24c) 22

14. Un alumno que ha de multiplicar un número por 50, se olvida de poner el cero a la derecha del producto. Ha obtenido un producto que se diferencia del verdadero en 11610. Determinar dicho número.

a) 528 d) 256b) 825 e) 324c) 258

15. ¿Qué hora es?, si la mitad del tiempo transcurrido desde las 09:00 hrs es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 19:00 hrs.?

a) 11:00 h d) 14 : 00 hb) 12:00 h e) 15 : 00 hc) 13 : 00 h