Resolver problemas, plantear Resolver problemas, plantear modelos, realizar proyectos, modelos, realizar proyectos,

¿distintas propuestas de “hacer ¿distintas propuestas de “hacer matemática” para aprender matemática” para aprender

matemática?matemática?

Dra. Liliana Gysin Dra. Liliana Gysin

enseñar matemática en la escuela enseñar matemática en la escuela

transmitir un cuerpo de sabiduría objetivo, absoluto, transmitir un cuerpo de sabiduría objetivo, absoluto, cierto e inmutable (S XIX, escuela masiva)cierto e inmutable (S XIX, escuela masiva)

los Elementos de Euclides (S –III) - quadriviumlos Elementos de Euclides (S –III) - quadrivium aritmética (números en reposo), aritmética (números en reposo), geometría (magnitudes en reposo), geometría (magnitudes en reposo), música (números en movimiento) y música (números en movimiento) y astronomía (magnitudes en movimiento)astronomía (magnitudes en movimiento)

-III XVII XXI

enseñar matemática en la escuela enseñar matemática en la escuela

estudio de las funciones debe ir a la estudio de las funciones debe ir a la escuela (Felix Klein en 1872)escuela (Felix Klein en 1872)

XVII

Descartes Fermat Álgebra

Newton Leibniz análisis

XVIII Euler-

fórmulas

XIX fundamentación

geometrías álgebras

XX Cantor Goedel Bourbaki

T.conjuntos T.Goedel estructuras computadoras

enseñar matemática en la escuela enseñar matemática en la escuela

la matemática moderna va a la escuela, la matemática moderna va a la escuela, en desmedro de la geometría (mitad del S en desmedro de la geometría (mitad del S XX)XX)

aparece la resolución de problemas como aparece la resolución de problemas como un objetivo, contenido y recurso de la un objetivo, contenido y recurso de la enseñanza de la matemática (fines de los enseñanza de la matemática (fines de los 60 )60 )

Matemática en el siglo XXIMatemática en el siglo XXI

cantidad de información y conocimiento cantidad de información y conocimiento específicoespecífico

aplicaciones y matemática aplicadaaplicaciones y matemática aplicada diversificación de trabajodiversificación de trabajo trabajo en grupos interdisciplinariostrabajo en grupos interdisciplinarios desarrollo de las tecnologíasdesarrollo de las tecnologías

enseñar matemática en la escuela enseñar matemática en la escuela

S XXI, “hacer matemática” con autonomíaS XXI, “hacer matemática” con autonomía resolver problemas, resolver problemas, transformar las aulas en talleres, transformar las aulas en talleres, dejar que los chicos hagan, dejar que los chicos hagan, sin perder de vista, que este “hacer” sin perder de vista, que este “hacer”

debe estar dirigido a que aprendan a debe estar dirigido a que aprendan a partir de él.partir de él.

Saber matemática es …Saber matemática es …

¿conocer los objetos matemáticos con sus definiciones y ¿conocer los objetos matemáticos con sus definiciones y algunas aplicaciones?algunas aplicaciones?

YA NO!!! YA NO!!! (enseñanza tradicional) (enseñanza tradicional) disponer de los conocimientos funcionando en la disponer de los conocimientos funcionando en la

formulación, formulación, resolución, resolución, argumentación, argumentación,

de de diferentes problemasdiferentes problemas en distintos contextos y en distintos contextos y con diferentes significadoscon diferentes significados

Enseñar por resolución de problemas Enseñar por resolución de problemas implicaimplica

pensar la matemática comopensar la matemática como una actividad dinámica y no estática, en continuo una actividad dinámica y no estática, en continuo

desarrollo y no acabadadesarrollo y no acabada con múltiples maneras de analizar y resolver un con múltiples maneras de analizar y resolver un

mismo problema y no una única manera dada por un mismo problema y no una única manera dada por un esquema “tipo” esquema “tipo”

con respuestas, pero no únicas ni siempre exactascon respuestas, pero no únicas ni siempre exactas

que los alumnosque los alumnos comprendan el problema (capacidad lectora, comprendan el problema (capacidad lectora,

apropiarse de la situación, saber qué se busca)apropiarse de la situación, saber qué se busca) Sólo hay problema si el alumno percibe una dificultad Sólo hay problema si el alumno percibe una dificultad

(L.Santaló)(L.Santaló)

enseñar por resolución de problemas enseñar por resolución de problemas implicaimplica que los alumnos que los alumnos

movilicen saberes previos, gestionen la información, movilicen saberes previos, gestionen la información, sepan qué les faltasepan qué les falta descubrir, investigar, discutir, interpretar... Conceptos que descubrir, investigar, discutir, interpretar... Conceptos que

definen una concepción del aprendizaje y de la enseñanza muy definen una concepción del aprendizaje y de la enseñanza muy diferente de aquella que postula explicar, repetir, memorizar...diferente de aquella que postula explicar, repetir, memorizar...(Delia Lerner)(Delia Lerner)

se atrevan a actuar, arriesgarse, equivocarse para se atrevan a actuar, arriesgarse, equivocarse para aprender de sus errores, discutan distintos aprender de sus errores, discutan distintos procedimientos para resolver un mismo problemaprocedimientos para resolver un mismo problema Dejemos que los niños reinventen la matemática, con ello Dejemos que los niños reinventen la matemática, con ello

lograremos que la incorporen como un conocimiento propio, del lograremos que la incorporen como un conocimiento propio, del que difícilmente se olvidarán (Kamii)que difícilmente se olvidarán (Kamii)

conjeturen, validen, prueben, argumentenconjeturen, validen, prueben, argumenten ¿por qué quitarles el placer de descubrir?¿por qué quitarles el placer de descubrir?

“ “Pero, primero les explico, ¿no?” Pero, primero les explico, ¿no?”

rara vez la propuesta implica enfrentar a los rara vez la propuesta implica enfrentar a los alumnos a resolver situaciones para las cuales alumnos a resolver situaciones para las cuales aún no han desarrollado las herramientas aún no han desarrollado las herramientas necesarias (el problema aparece sólo como necesarias (el problema aparece sólo como motivador, o de aplicación más moderno)motivador, o de aplicación más moderno)

el alumno recita definiciones y resuelve el alumno recita definiciones y resuelve problemas tipo, de la misma manera que los problemas tipo, de la misma manera que los docentes recitan la definición de enseñanza por docentes recitan la definición de enseñanza por resolución de problemas y luego enseñan a la resolución de problemas y luego enseñan a la manera tradicional, replicando la forma en que manera tradicional, replicando la forma en que ellos fueron enseñadosellos fueron enseñados

Se enseña como se aprende…Se enseña como se aprende… Resolver problemas Resolver problemas

profundizar y resignificar conocimientos matemáticosprofundizar y resignificar conocimientos matemáticos reconocer los conocimientos matemáticos que utilizan y la reconocer los conocimientos matemáticos que utilizan y la

diversidad de saberes asociados a ellosdiversidad de saberes asociados a ellos analizar textos con lecturas didácticas y curriculares y analizar textos con lecturas didácticas y curriculares y

actividades para alumnos actividades para alumnos reflexionar sobre los conocimientos y sus significados reflexionar sobre los conocimientos y sus significados

Implementar problemas en la clase Implementar problemas en la clase desplegar actividades variadas alrededor del conocimiento en desplegar actividades variadas alrededor del conocimiento en

cuestióncuestión analizar los problemas que resuelve y los que no resuelveanalizar los problemas que resuelve y los que no resuelve reflexionar sobre los conocimientos involucrados y sus reflexionar sobre los conocimientos involucrados y sus

significados significados analizar la gestión realizada. analizar la gestión realizada. reflexionar sobre sus estilos de práctica docentereflexionar sobre sus estilos de práctica docente incorporar propuestas innovadorasincorporar propuestas innovadoras

resolver problemas, resolver problemas, plantear modelos, plantear modelos, realizar proyectosrealizar proyectos

resolución de problemasresolución de problemas

La enseñanza a través de la resolución de La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo. (...) Lo que en el general de aprendizaje activo. (...) Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en lo fondo se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas (Miguel de Guzmán, verdaderos problemas (Miguel de Guzmán, “Tendencias innovadoras en educación “Tendencias innovadoras en educación matemática”matemática”, OMA, 1992), OMA, 1992)

““problema” como estrategia problema” como estrategia didácticadidáctica

““problema” es “toda situación con un problema” es “toda situación con un objetivo por lograr, que requiera del sujeto objetivo por lograr, que requiera del sujeto una serie de acciones u operaciones para una serie de acciones u operaciones para obtener su solución, de la que no dispone obtener su solución, de la que no dispone en forma inmediata, obligándolo a en forma inmediata, obligándolo a engendrar nuevos conocimientos, engendrar nuevos conocimientos, modificando (enriqueciendo o modificando (enriqueciendo o rechazando) los que hasta el momento rechazando) los que hasta el momento poseía”poseía”

Los problemas pueden servir paraLos problemas pueden servir para

disparar o motivar el aprendizajedisparar o motivar el aprendizaje construir y significar conceptos y construir y significar conceptos y

procedimientos matemáticosprocedimientos matemáticos aplicar los conocimientos aprendidos aplicar los conocimientos aprendidos reconstruir conocimientos en contextos reconstruir conocimientos en contextos

diferentesdiferentes investigar y proyectarinvestigar y proyectar

ModelizarModelizar

El proceso de modelización debe ser entendido como un El proceso de modelización debe ser entendido como un proceso completo de ida y vuelta entre una situación proceso completo de ida y vuelta entre una situación problemática y la resolución de un problema planteado problemática y la resolución de un problema planteado en términos matemáticos (llamado el modelo)en términos matemáticos (llamado el modelo)

Esquema de los pasosEsquema de los pasos Formulación del problema (selección de los datos, las incógnitas Formulación del problema (selección de los datos, las incógnitas

y las relaciones entre éstas)y las relaciones entre éstas) Planteo del modelo (planteo del problema en términos Planteo del modelo (planteo del problema en términos

matemáticos)matemáticos) Resolución del modelo (dentro de la matemática)Resolución del modelo (dentro de la matemática) Interpretación de la solución del modelo en el problemaInterpretación de la solución del modelo en el problema Validación de la solución del problema en la situación Validación de la solución del problema en la situación

problemáticaproblemática

ModelizarModelizar

es la manera “matemática” de resolver es la manera “matemática” de resolver problemasproblemas

el el modelomodelo es lo que encierra el o los contenidos es lo que encierra el o los contenidos matemáticos involucrados (los “conceptuales” y matemáticos involucrados (los “conceptuales” y “procedimentales”)“procedimentales”)

hacer matemática al estilo tradicional es trabajar hacer matemática al estilo tradicional es trabajar sólo con el modelosólo con el modelo

hacer matemática hoy es poder relacionar los hacer matemática hoy es poder relacionar los modelos con los problemas que permite resolver modelos con los problemas que permite resolver y los que noy los que no

Las vacas son esferas …Las vacas son esferas … Granja lechera, aumentar producción Granja lechera, aumentar producción Ingeniero: disminuir el tamaño de los establos y aumentar el Ingeniero: disminuir el tamaño de los establos y aumentar el

diámetro de las mangueras; diámetro de las mangueras; Sicólogo: pintar de verde el interior de los establos y variar el Sicólogo: pintar de verde el interior de los establos y variar el

paisaje de los pastizales plantando árboles. paisaje de los pastizales plantando árboles. Físico: “Supongamos que la vaca es una esfera...”. Físico: “Supongamos que la vaca es una esfera...”.

una vaca “dos veces más grande”, en realidad tiene el cuádruple de una vaca “dos veces más grande”, en realidad tiene el cuádruple de piel y 8 veces el volumen, y por lo tanto el peso. La presión que el piel y 8 veces el volumen, y por lo tanto el peso. La presión que el peso ejercería sobre la piel, si continuamos aumentando las peso ejercería sobre la piel, si continuamos aumentando las dimensiones, haría “explotar” al animal, de modo que el tamaño de dimensiones, haría “explotar” al animal, de modo que el tamaño de las vacas es limitado. las vacas es limitado.

Un modelo más aproximado al cuerpo real de la vaca, seguramente Un modelo más aproximado al cuerpo real de la vaca, seguramente hubiera resultado más complicado, pero habría arribado a la misma hubiera resultado más complicado, pero habría arribado a la misma conclusión (“Miedo a la Física”, L.M.Krauss )conclusión (“Miedo a la Física”, L.M.Krauss )

ProyectosProyectos sencillos (un problema)sencillos (un problema) interdisciplinariosinterdisciplinarios involucran investigación (campo)involucran investigación (campo) abiertos, plantear objetivosabiertos, plantear objetivos temas generales (problemas de aplicación temas generales (problemas de aplicación

o de resignificación del modelo o la o de resignificación del modelo o la herramienta)herramienta)

metas y plazosmetas y plazos

EjemplosEjemplos

Se ha hecho un relevamiento de la cantidad de Se ha hecho un relevamiento de la cantidad de árboles que hay en un barrio que abarca 100 árboles que hay en un barrio que abarca 100 manzanas en un cuadrado de 10x10. Entre las manzanas en un cuadrado de 10x10. Entre las 100 manzanas se incluyen 4 que son plazas, 100 manzanas se incluyen 4 que son plazas, todas ubicadas en la mitad este del barrio. El todas ubicadas en la mitad este del barrio. El barrio tiene 20000 habitantes y 2000 árboles; de barrio tiene 20000 habitantes y 2000 árboles; de éstos hay 92 en cada plaza, y los demás están éstos hay 92 en cada plaza, y los demás están equidistribuidos. Se sabe que la relación ideal equidistribuidos. Se sabe que la relación ideal es 1 árbol cada 5 habitantes. Para lograr esta es 1 árbol cada 5 habitantes. Para lograr esta relación, ¿se deben plantar más árboles?, relación, ¿se deben plantar más árboles?, ¿dónde es conveniente plantarlos?¿dónde es conveniente plantarlos?

¿se deben plantar más árboles?¿se deben plantar más árboles?

¿cuál es la relación árboles/habitantes? ¿cuál es la relación árboles/habitantes? ⇒⇒ tengo 1 cada 10, debo plantar tengo 1 cada 10, debo plantar

Relación ideal=1/5, ¿respecto de la Relación ideal=1/5, ¿respecto de la actual? actual? ⇒⇒ 1/10 1/10 << 1/5, debo duplicar 1/5, debo duplicar

5 hab – 1 árbol; 20000 hab - ¿cuántos 5 hab – 1 árbol; 20000 hab - ¿cuántos árboles? árboles? ⇒⇒ necesito 4000, debo plantar necesito 4000, debo plantar 20002000

Para llegar a 1/5, ¿cuántos árboles? Para llegar a 1/5, ¿cuántos árboles? ⇒⇒tengo 2000, debo plantar 2000tengo 2000, debo plantar 2000

¿dónde es conveniente plantarlos?¿dónde es conveniente plantarlos?

¿conveniente? – mejor distribuidos, más ¿conveniente? – mejor distribuidos, más económica, más sencilla, etc.económica, más sencilla, etc.

2000 árboles, 100 manzanas – 20 por manzana2000 árboles, 100 manzanas – 20 por manzana 2000 árboles en 96 manzanas (21 en 80, 20 en 2000 árboles en 96 manzanas (21 en 80, 20 en

16=cerca de las plazas)16=cerca de las plazas) Hay 92x4=368 en las plazas, en el resto 1632, Hay 92x4=368 en las plazas, en el resto 1632,

17 en cada manzana17 en cada manzana Todos en el oeste, 40 por manzana (50 Todos en el oeste, 40 por manzana (50

manzanas)manzanas) … …. .

Proyecto secundaria sobre cónicasProyecto secundaria sobre cónicas

Separados en grupos, cada grupo debe elegir (o se les Separados en grupos, cada grupo debe elegir (o se les asignará por sorteo o por decisión del docente) uno de asignará por sorteo o por decisión del docente) uno de los siguientes contextos donde buscar las cónicas que los siguientes contextos donde buscar las cónicas que se estén utilizando:se estén utilizando:

en el supermercado o almacénen el supermercado o almacén en las construcciones de la ciudad o el barrioen las construcciones de la ciudad o el barrio en las casas de cada uno y sus muebles y utensiliosen las casas de cada uno y sus muebles y utensilios en la físicaen la física en la biología y la geologíaen la biología y la geología en la tecnologíaen la tecnología en el arteen el arte

tareastareas 1. 1. Estimar la frecuencia relativa para cada una de las cónicas Estimar la frecuencia relativa para cada una de las cónicas

(parábola, hipérbola, elipse y circunferencia) (parábola, hipérbola, elipse y circunferencia) 2. 2. Realizar una estadística con los datos que recopile en la Realizar una estadística con los datos que recopile en la

investigación (cómo aparecen las figuras, para qué se usan , si investigación (cómo aparecen las figuras, para qué se usan , si podría haberse utilizado otra forma con el mismo resultado)podría haberse utilizado otra forma con el mismo resultado)

3. 3. Analizar a partir de los datos, cuál es la cónica que aparece con Analizar a partir de los datos, cuál es la cónica que aparece con mayor frecuencia, cuál con menor frecuencia, esbozar una mayor frecuencia, cuál con menor frecuencia, esbozar una explicación para ello explicación para ello

(aquí se puede avanzar pidiendo un modelo geométrico, gráficos y (aquí se puede avanzar pidiendo un modelo geométrico, gráficos y cálculos, esta tarea puede ser individual)cálculos, esta tarea puede ser individual)

4. comparar los resultados con las conjeturas, con los otros grupos, 4. comparar los resultados con las conjeturas, con los otros grupos, sacar conclusiones, etc.sacar conclusiones, etc.

Luego de conocer los resultados de las investigaciones de cada Luego de conocer los resultados de las investigaciones de cada grupo, se enunciarán en conjunto, conclusiones respecto del uso de grupo, se enunciarán en conjunto, conclusiones respecto del uso de las cónicas, la importancia de conocerlas y la necesidad de su las cónicas, la importancia de conocerlas y la necesidad de su estudio en la escuela.estudio en la escuela.

un proyecto mundial …un proyecto mundial …

¿qué contenidos queremos trabajar?¿qué contenidos queremos trabajar? ¿en qué nivel de la escolaridad?¿en qué nivel de la escolaridad? ¿en qué situación están nuestros alumnos ¿en qué situación están nuestros alumnos

respecto del contenido?respecto del contenido?

Ejemplo:Ejemplo: sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitassistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas secundariasecundaria conocen ecuaciones, pero no sistemasconocen ecuaciones, pero no sistemas

¡Eso ya me lo dijiste!¡Eso ya me lo dijiste!

En una charla entre tres amigos, en el En una charla entre tres amigos, en el café, Jorge dijo:“En las dos primeras café, Jorge dijo:“En las dos primeras fechas del último mundial, Brasil convirtió fechas del último mundial, Brasil convirtió el doble de goles que Escocia, más uno.” el doble de goles que Escocia, más uno.” Inmediatamente Daniel acotó:“Entonces Inmediatamente Daniel acotó:“Entonces Escocia hizo la mitad de los goles que Escocia hizo la mitad de los goles que hizo Brasil, menos uno.” Juan lo hizo Brasil, menos uno.” Juan lo refutó:“No, Escocia hizo la mitad, de los refutó:“No, Escocia hizo la mitad, de los goles que hizo Brasil menos uno.”goles que hizo Brasil menos uno.”

planteo, resuelvo, analizo, saco planteo, resuelvo, analizo, saco conclusiones …conclusiones …

Daniel no tiene razón. Su afirmación es Daniel no tiene razón. Su afirmación es incompatible con la de Jorge (el sistema es incompatible con la de Jorge (el sistema es incompatible)incompatible)

Juan tiene razón, su afirmación es equivalente Juan tiene razón, su afirmación es equivalente a la de Jorge (el sistema es compatible a la de Jorge (el sistema es compatible indeterminado)indeterminado)

Analizar ecuaciones equivalentes …Analizar ecuaciones equivalentes …

¿Se puede determinar con el sistema cuántos ¿Se puede determinar con el sistema cuántos goles hizo Brasil y cuántos Escocia? goles hizo Brasil y cuántos Escocia?

más información …más información …

Una vez determinado quién tenía razón, Una vez determinado quién tenía razón, Jorge agregó:-“Además, Escocia hizo tres Jorge agregó:-“Además, Escocia hizo tres goles menos que Brasil.”goles menos que Brasil.”

el sistema formado por las dos el sistema formado por las dos ecuaciones que corresponden a las ecuaciones que corresponden a las afirmaciones de Jorge es compatible afirmaciones de Jorge es compatible determinado, tiene una única solución determinado, tiene una única solución (Brasil hizo 5 goles y Escocia 2).(Brasil hizo 5 goles y Escocia 2).

… …

resolver problemas, plantear modelos, resolver problemas, plantear modelos, realizar proyectosrealizar proyectos

resolver problemas y modelizar se usan como sinónimosresolver problemas y modelizar se usan como sinónimos ambasambas implican más que sólo resolver el modelo implican más que sólo resolver el modelo resolver problemas puede ser un proyecto (en general resolver problemas puede ser un proyecto (en general

problemas abiertos)problemas abiertos) ““proyectos” suele usarse para tareas más amplias proyectos” suele usarse para tareas más amplias

(interdisciplinarias, más tiempo, etc.)(interdisciplinarias, más tiempo, etc.)

http://www.me.gov.ar/curriform/matematica.html#publichttp://www.me.gov.ar/curriform/matematica.html#public http://http://www.gpdmatematica.org.arwww.gpdmatematica.org.ar//