3. desigualdades geomÉtricas gometria euclidiana udea

Desigualdades geométricas 1

DESIGUALDADES GEOMETRICAS Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está hablando de sus medidas. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES TRICOTOMIA

x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos: 1) x < y 2) x = y 3) x > y PROPIEDAD TRANSITIVA

Si x < y y < z entonces x < z PROPIEDAD ADITIVA a) Si x < y entonces x + c < y + c

b) Si x < y a < b entonces x + a < y + b PROPIEDAD MULTIPLICATIVA Si a < b y c > 0 entonces ac < bc

Si a = b + c; a, b, c R+ a > b y a > c EJERCICIO

HIPOTESIS: y PS RQ se bisecan

TESIS: ( ) ( )m RQT m R

1. RMP SMQ 1. Por ser opuestos por el vértice

2. M es punto medio de y RQ PS 2. De hipótesis

3. RM MQ

PM MS

3. De 2. Definición de punto medio

4. RMP SMQ 4. De 1 y 3. L – A – L

5. ( ) ( )m R m RQS 5. De 4. Ángulos correspondientes de triángulos

6.

( ) ( ) ( ) m RQT m RQS m SQT

6. Postulado de adición de ángulos

7. ( ) m RQT m RQS 7. De 6. Propiedades de las desigualdades.

8. m RQT m R 8. Sustitución de 5 en7

ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO Es un ángulo adyacente a un ángulo interior de un triangulo que forma un par lineal con este y por lo tanto son suplementarios.


TEOREMA Un ángulo exterior de un triangulo es mayor que un ángulo interior no adyacente a él.

HIPOTESIS: CBD es un ángulo exterior

A – B – D

TESIS: 1) ( ) ( )

2) ( ) ( )

m CBD m C

m CBD m CAB

1. Por el punto medio M de CB , se traza

AF , tal que AM MF

1. Postulado de construcción de segmentos congruentes.

2.CM MB 2. De 1. Definición de punto medio

3. CMA FMB 3. Opuestos por el vértice.

4. CMA FMB 4. De 1, 2, 3. L – A – L

5. ( ) ( )m C m MBF 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

6. ( ) ( ) ( )m CBD m MBF m FBD 6. Adición de ángulos.

7. ( ) ( )m CBD m MBF 7. De 6. Propiedad de las desigualdades.

8. ( ) ( )m CBD m C 8. Sustitución de 5 en 7.

METODO INDIRECTO DE DEMOSTRACION. REDUCCION AL ABSURDO. Hasta ahora los métodos usados para demostrar teoremas han sido directos. En algunas ocasiones es necesario utilizar un método indirecto para llegar a la tesis. Este método consiste en considerar todas las conclusiones posibles. Cada una de estas conclusiones deben ser investigadas de acuerdo con la hipótesis. Si puede demostrarse que todas las conclusiones posibles, excepto una, conducen a una contradicción, entonces podemos concluir que la conclusión restante debe ser la correcta. En este método se niega la tesis y se sigue un razonamiento lógico hasta llegar a una contradicción. TEOREMA DE CONGRUENCIA LADO ANGULO ANGULO (L – A – A)

HIPOTESIS:

; ; AC DF A D B E

TESIS: ABC DEF

Se demuestra por reducción al absurdo o método indirecto.

Se niega la tesis, o sea que ABC no es congruente con DEF, entonces suponemos

AB no es congruente con DE , por lo tanto se pueden presentar dos casos: 1) AB < DE 2) AB > DE.


Primer caso 1. AB < DE 1. Suposición

2. En DE existe un punto P, tal que AB DP 2. Construcción

3. AC DF 3. De hipótesis.

4. A D 4. De hipótesis

5. ABC DFP 5. De 2, 3, 4. L – A – L

6. ( ) m B m FPD 6. De 5 por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

7. ( ) ( )m FPD m E 7. Por ser un ángulo exterior del

FPE 8. ( ) ( )m B m E 8. Sustitución de 6 en 7.

9. ( ) ( )m B m E 9. De hipótesis.

10. ( ) ( )m B m E y ( ) ( )m B m E 10. De 8 y 9. CONTRADICCION!

Esta contradicción se origino al supone que AB < DE. Por lo tanto la negación de la

tesis, ABC no es congruente con DEF , es falsa, entonces ABC DEF

CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS TEOREMA Si dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes un cateto y un ángulo agudo, entonces son congruentes.

TEOREMA Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas congruentes y un ángulo agudo congruente entonces son congruentes.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular trazado del punto a la recta.

PQ es la distancia del punto P a la recta.


TEOREMA

Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.)

HIPOTESIS: LP

es la bisectriz de

ELN

y PBPA LE LN

TESIS: PA = PB

1. y PALPBL son triángulos rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de triangulo Rectángulo

2. BLP ALP 2. De hipótesis. Definición de bisectriz

3. LP LP 3. Propiedad reflexiva

4. PBL PAL 4. De 1, 2 y 3. Por ser triángulos rectángulos, con la hipotenusa un ángulo agudo congruentes.

5. PA = PB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

TEOREMA Si dos lados de un triangulo, no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampoco son congruentes y a mayor lado se opone mayor ángulo.

HIPOTESIS: CA > CB

TESIS: m m

1. En CB

existe un punto P, tal

queCA CP

1. Postulado de construcción de segmentos congruentes

2. ACP es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles.

3. ( ) ( )m CAP m P 3. De 2. En un triangulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes

4. ( ) ( ) ( )m CAP m m BAP 4. Adición de ángulos

5. ( ) ( )m CAP m 5. De 4. Propiedad de las desigualdades.


6. ( ) ( )m P m 6. Sustitución de 3 en 5.

7. ( ) ( )m m P 7. es un ángulo exterior en ABP

8. ( ) ( ) ( )m m P m 8. De 6 y 7.

9. ( ) ( )m m 9. De 8.

TEOREMA. (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos ángulos de un triangulo no son congruentes, los lados opuestos a ellos no son

congruentes y a mayor ángulo se opone mayor lado.

HIPOTESIS: m m

TESIS: CA > CB

Se demuestra por el método indirecto o reducción al absurdo. Se niega la tesis: CA no es mayor que CB, entonces quedan dos casos AC = CB o AC < CB (ley de la tricotomia) 1. AC = CB 1. Negación de la tesis.

2. ABC es isósceles 2. De 1. Definición de triangulo isósceles.

3. m( ) = m( ) 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

4. m( ) > m( ) 4. De hipótesis

5. CONTRADICCION! 5. De 3 y 4. Por la ley de la tricotomia. 6. AC < BC 6. Negación de la tesis.

7. m( ) > m( ) 7. De 6. En un triangulo a lado mayor se opone ángulo mayor.

8. m( ) < m( ) 8. De hipótesis.

9. CONTRADICCION! 9. De 7 y 8. Ley de la tricotomia. 10. Luego CA > CB 10. De 5 y 9. COROLARIOS DEL TEOREMA ANTERIOR: 1. La medida de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es mayor que la medida de

cualquiera de sus catetos. 2. El segmento mas corto que une un punto con una recta es el segmento

perpendicular a ella. EJEMPLO Se da el triangulo rectángulo ABC, con el ángulo recto en A, se traza la bisectriz de

ACB que corta a AB en D. Demostrar que DB > DA. (Trazar DE BC ) HIPOTESIS: ABC rectángulo en A

CD es bisectriz del ángulo ACB TESIS: DB > DA

1. Se traza DE BC 1. Construcción auxiliar.


2. CD es bisectriz de ACB 2. De hipótesis

3. 1 2 3. De 2. Definición de bisectriz

4. AD DE 4. De 2. Un punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.

5. DEB es rectángulo. 5. De 1. Definición de triangulo rectángulo. 6. DB > DE 6. De 5. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es

mayor que un cateto. 7. DB > DA 7. Sustitución de 4 en 6. NOTA: El caso de congruencia de triángulos L – L – A no se da en todos los casos, por ejemplo:

El caso L – L – A; solo se da cuando el ángulo congruente es el mayor ángulo del triangulo. TEOREMA. UNICO CASO DE CONGRUENCIA L – L – A Si dos triángulos tienen respectivamente dos lados congruentes y un ángulo congruente, pero estos ángulos son opuestos a los lados de mayor longitud, entonces son congruentes los triángulos.

HIPOTESIS:

;

;

;

AC DF BC EF

B E

AC AB AC BC

DF DE DF EF

TESIS: ABC DEF

La demostración se hace por el método indirecto

Se niega la tesis o sea que ABC no es congruente al DEF

1. AB DE 1. Negación de la tesis

2. AB > DE o AB < DE 2. De 1. Ley de la tricotomia 3. AB > DE 3. De 2

4. Existe un punto Q en ED

, tal que

EQ AB

4. De 3. Postulado de construcción de segmentos congruentes.

5. CB FE 5. De hipótesis.

6. B E 6. De hipótesis

7. ABC QEF 7. De 4, 5, 6. L – A – L

8. AC QF 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

9. DF AC 9. De hipótesis.

10. DF QF 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva


11. QDF es isósceles. 11. De 10. Definición de triangulo isósceles.

12. FDQ Q 12. De 11. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes.

13. DF > EF 13. De hipótesis. 14. QF > EF 14. Sustitución de 10 en 13. 15. FDQ Q 15. De 14. En QEF , a lado mayor se opone

ángulo mayor

16. m E m FDQ 16. Sustitución de 12 en 15

17. m FDQ m E 17. Por ser FDQ un ángulo exterior en FDE

18. ¡CONTRADICCION! 18. De 17. Porque la suposición de que el triangulo ABC no es congruente con el triangulo DEF es falsa.

Analizar el caso AB < DE para llegar a una contradicción. TEOREMA Si la hipotenusa y un cateto de un triangulo rectángulo son respectivamente congruentes a la hipotenusa y un cateto de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

RESUMEN DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS:

1. Cateto – Cateto 2. Cateto – Angulo agudo 3. Hipotenusa – Angulo agudo 4. Hipotenusa – Cateto

TEOREMA: LA DESIGUALDAD TRIANGULAR. La suma de las medidas de dos lados de un triangulo es mayor que la medida del tercer

lado. HIPOTESIS: ABC cualquiera

TESIS: AC + CB > AB

1. En AC

existe un punto P tal que

CP CB y unimos B con P.

1. Construcción.

2. AP = AC + CP 2. Adición de segmentos.


3. AP = AC + CB 3. Sustitución de 1 en 2 4. ( ) ( )m P m PBC 4. A lados iguales se oponen ángulos

congruentes. 5. ( ) ( ) ( )m PBA m PBC m CBA 5. Adición de ángulos

6. ( ) ( )m PBA m PBC 6. De 5. Propiedad de las desigualdades.

7. ( ) ( )m PBA m P 7. Sustitución de 4 en 6

8. AP > AB 8. En el PAB a mayor ángulo se opone mayor lado.

9. AC + CP > AB) 9. De 8. Adicion de segmentos. 10. AC + CB > AB 10. Sustitución de 1 en 9. TEOREMA DE LA ENVOLVENTE

HIPOTESIS: ABC cualquiera. O es un punto en el

interior del triángulo TESIS: AC CB AO OB

1. La BO

corta a AC en D 1. De hipótesis. O es un punto interior

2. AD + DO > AO 2. Desigualdad triangular en ADO 3. DC + CB > BD 3. Desigualdad triangular en DCB 4. AD + DO + DC + CB > AO + BD 4. De 2 y 3. Suma de desigualdades. 5. AC + CB + DO > AO + BD 5. De 4. Adición de segmentos 6. AC + CB + DO > AO + OB + DO 6. De 5. Adicion de segmentos 7. AC + CB > AO + OB 7. De 6. Ley cancelativa.

TEOREMA Si dos lados de un triangulo son respectivamente congruentes a dos lados de otro triangulo y el ángulo incluido en el primer triangulo es mayor que el ángulo incluido en el segundo triangulo, entonces al tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo triangulo.

HIPOTESIS: ;AC DF CB FE

( ) ( )m ACB m F

TESIS: AB > DE


1. Trazamos CK

, tal que ACK F 1. Construcción

2. En CK

existe un punto G, tal que

CG FE

2. Postulado de construcción de segmentos congruentes

3. AC DF 3. De hipótesis

4. ACG DFE 4. De 1, 2, 3. L – A – L

5. Trazamos la bisectriz de GCB que corta

a AB en H y trazamos GH .

5. Construcción

6. GCH HCB 6. De 5. Definición de bisectriz

7. GC FE 7. De 1

8. FE CB 8. De hipótesis

9. GC CB 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

10. CH CH 10. Propiedad reflexiva

11. CGH CHB 11. De 6, 9, 10. L – A – L

12. GH HB 12. De 11. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

13. AG DE 13. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

14. AH + HG > AG 14. Desigualdad triangular en AGH 15. AH + HB > AG 15. Sustitución de 12 en 14 16. AB > AG 16. De 15. Adición de segmentos 17. AB > DE 17. Sustitución de 13 en 16. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo, entonces la medida del ángulo opuesto al tercer lado del primero es mayor que la medida del ángulo opuesto al tercer lado del segundo.

HIPOTESIS:

AC DF

BC EF

AB DE

TESIS: ( ) ( )m C m F

1. ( )m C no es mayor que

( )m F

1. Negación de la tesis

2. ( )m C = ( )m F o ( )m C

es menor que ( )m F

2. De 1. Ley de la tricotomia

3. ( ) ( )m C m F 3. De 2 Suposición


4. AC DF y BC EF 4. De hipótesis

5. ABC DEF 5. De 3 y 4. L – A – L

6. AB DE 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos s

7. AB > DE 7. De hipótesis. 8. CONTRADICCION! 8. De 6 y 7 9. ( ) ( )m C m F 9. De 2. Suposición

10. AB < DE 10. De 9 y 4. Teorema anterior. 11. AB > DE 11. De hipótesis 12. CONTRADICCION! 12. De 10 y 11. Ley de la tricotomia.

Luego las suposiciones son falsas y por lo tanto se cumple que ( ) ( )m C m F

EJERCICIOS RESUELTOS 1).Si desde un punto A que no pertenece a la recta l, se traza una perpendicular a la recta y dos segmentos oblicuos, es mayor, el que está más alejado del pie de la

perpendicular.

HIPOTESIS: ;AP l PC PB

TESIS: AC AB

1. ( ) 90ºm APB 1. De hipótesis. Definición de perpendicular

2. ( 1) 90ºm 2. De 1 y por ser 1 un ángulo exterior en el triangulo APB

3. 2 es agudo 3. De 2. Por ser el suplemento de un ángulo obtuso.

4. ( 2) ( 3)m m 4. Por ser 2 un ángulo exterior en triangulo CBA

5. ( 1) ( 2)m m 5. Por ser 1 obtuso y 2 agudo

6. ( 1) ( 3)m m 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva

7. AC > AB 7. De 6. En el CBA a mayor ángulo se opone mayor lado.

2)

HIPOTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC

TESIS: 1)

2

2)

a b cm n r

a b c m n r

1. m + n > c 1. Desigualdad triangular en AOB 2. m + r > a 2. Desigualdad triangular en BOC 3. n + r > b 3. Desigualdad triangular en COA 4. 2m + 2n + 2r > a + b + c 4. De 1, 2, 3. Propiedad de adición de


las desigualdades 5. 2(m + n + r) > a + b + c 5. De 4. Factor común

6. 2

a b cm n r

6. De 5. Transposición de términos.

Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo 2 y se llega a lo siguiente: b + a > n + m c + a > m + r b + c > r + n y sumando las tres desigualdades se tiene: 2a + 2b + 2c > 2m + 2n + 2r de donde 2(a + b + c) > 2(m + n + r) a + b + c > m + n + r. 3)

1. m (ADB) > m (DEB) 1. Por ser ADB un ángulo exterior

en DEB 2. m (DEB) > m(C) 2. Por ser DEB un ángulo exterior

en AEC 3. m (ADB) > m(C) 3. De 1, 2. Propiedad transitiva.

4) Demostrar que en cualquier triangulo la suma de dos ángulos interiores en menor que 180º

HIPOTESIS: ABC cualquiera

TESIS:

( ) ( ) 180º

( ) ( ) 180º

( ) ( ) 180º

m m

m m

m m

1. es un ángulo exterior 1. Definición de ángulo exterior

2. m( ) > m( ) 2. De 1. Por ser DEB un ángulo exterior

3. m( ) + m( γ) = 180º 3. Por ser suplementarios.

4. m( ) = 180º - m( γ) 4. De 3. Transposición de términos

5. 180º - m ( γ) > m( ) 5. Sustitución de 4 en 2

6. 180º > m( ) + m( γ) 6. De 5. Transposición de términos

7. m( ) + m( γ) < 180º 7. De 6.


8. m( ) > m( ) 8. De 1. Por ser un ángulo exterior

9. 180º - m( γ) > m( ) 9. Sustitución de 4 en 8.

10. 180º > m( ) + m( γ) 10. De 9. Transposición de términos.

11. es un ángulo exterior en

∆ABC

11. Definición de ángulo exterior

12. m( ) > m( ) 12. De 11. Un ángulo exterior es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a el.

13. m( ) + m( ) = 180º 13. Por ser suplementarios.

14.m( ) = 180º - m( ) 14. De 13. Transposición de términos

15.180º - m( ) > m( ) 15. Sustitución de 14 en 12

16.180º > m( ) + m( ) 16. De 15. Transposición de términos.

5) En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC DB . Si AB > AC, demostrar que FB > CD

1. AB > AC 1. De hipótesis 2. m (ACB) > m (ABC) 2. De 1. Si un triangulo tiene dos lados desiguales al

mayor se opone el ángulo mayor

3. FC DB 3. De hipótesis

4. BC BC 4. Propiedad reflexiva

5. FB > CD 5. De 2, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo incluido en el primero es mayor que el incluido en el segundo, entonces el tercer lado del primero es mayor que el tercero del segundo.

6) Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro.

HIPOTESIS: 1; 2;CH AH AH son alturas del triangulo

TESIS:

1 22

AB BC CAAH CH BH AB BC CA


1. 1 2; ;CH A BHC AH B son rectángulos 1. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo

2.

1

2

AC AH

BC CH

AB BH

2. De 1. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquier cateto.

3. 1 2AB BC AC AH CH BH 3. De 2. Propiedad de la adición de las desigualdades

4. 1 1AH H B AB 4. Teorema de la desigualdad triangular.

1 1AH H C AC

CH HB BC

CH HA AC

2 2BH CH BC

2 2BH AH AB

5.

2 2 2 ( )1 2 1 1 2 2

2 2 2

AH CH BH H B H C HB HA CH AH

AB BC AC

5. De 4.Propiedad de las desigualdades

6. 2 2 2 2 2 2

1 2BC AB ACAH CH BH AB BC AC

6. De 5. Adición de segmentos

7. 1 22 2 2 2AH CH BH AB BC AC BC AB AC 7. De 6. transposición

de términos

8. 1 22

AB BC CAAH CH BH

8. De 7. Aritmética

9. 1 22

AB BC CAAH CH BH

9. De 9. Lo mismo escrito de otra manera

EJERCICIOS DE DESIGUALDADES 1.

HIPOTESIS: AC EC

E D C B

TESIS: 1) CE > CD

2) AE > AD


2.

3. Se da un ABC y la mediana AM . Demostrar que 2

AB ACAM

Sugerencia: en AM

existe un punto P, tal que AM MP 4. Demostrar que un triangulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el

perímetro del triangulo. 5.

HIPOTESIS: CBCD

TESIS:

1)

2) ( ) ( )

3) ( 1) ( )

4)

AC DC

m ADC m A

m m A

AD BD

6.

HIPOTESIS:

AD AB

CD CB

CD AD

TESIS: ( ) ( )m DAB m DCB

7.

HIPOTESIS:

DA DB

A D C

AD AB

TESIS: m(A) > m(C)


8. HIPOTESIS: ABC cualquiera

TESIS: ( ) ( )m ADB m C

9.

HIPOTESIS: es isoscelesADB con DA DB DB > AB A – D – C TESIS: Triángulo ABC es un triangulo escaleno.

10.

11.

12.

HIPOTESIS: Triángulo ABC cualquiera El punto O es un punto en el interior del triangulo.

TESIS: 1)

2

2)

a b cm n r

m n r a b c


13. Demostrar el siguiente teorema: Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta).

14. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que

su semiperimetro y menor que su perímetro.

15. En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC DB . Si AB > AC,

demostrar que FB > CD. 16. Utilizar la demostración por reducción al absurdo o método indirecto de

demostración para demostrar que si una mediana de un triangulo no es perpendicular al lado que corta, entonces al menos dos lados del triangulo no son congruentes.

17. En el ABC, AC > AB. Demostrar que si D es un punto cualquiera entre B y C, entonces AC > AD.

18. Demostrar que si dos alturas de un triangulo son congruentes, el triangulo es isósceles.

19. Demostrar que si AM es una mediana del triangulo ABC, entonces los segmentos

desde B y C, perpendiculares a AM

, son congruentes. 20. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada

enunciado y cada reciproco es verdadero o falso: A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos. B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los

extremos del segmento. D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios. E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.

¿Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero?

Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise


Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

EJERCICIOS RESUELTOS DE DESIGUALDADES Demostrar utilizando el método indirecto de demostración o reducción al absurdo:

HIPOTESIS: BC BA

DC ≠ DA

TESIS: BD no es bisectriz de CBA

1. BD es bisectriz de CBA 1. Negación de la tesis. Suposición.

2. 1 2 2. De 1. Definición de bisectriz

3. BD BD 3. Propiedad reflexiva

4. BC BA 4. De hipótesis

5. BDC BDA 5. De 2, 3, 4. L – A – L

6. DC DA 6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

7. DC ≠ DA 7. De hipótesis. 8. CONTRADICCION 8. De 6 y 7. Ley de la tricotomia Por lo tanto la suposición 1 es falsa y por consiguiente es verdad que BD no es bisectriz.

HIPOTESIS: AB BD DC TESIS: AD > DC

1. ABD es isósceles 1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles

2. 2 3 2. De 1. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles

3. BDC es isósceles 3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles.

4. 4 5 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles

5. m( 4) > m( 2) 5. Por ser un ángulo exterior del triangulo ABD


6. m( 5) > m( 2) 6. Sustitución de 4 en 5.

7. En ADC: AD > DC 7. De 6. En un triangulo a mayor ángulo se opone mayor lado

HIPOTESIS: AD AB

CD CB CD > AD TESIS: m (DAB) > m (DCB)

1. CD > AD 1. De hipótesis 2. m( 1) > m( 2) 2. De 1. En el ADC a mayor lado se

opone mayor ángulo.

3. AD AB y CD CB 3. De hipótesis.

4. CB > AB 4. Sustitución de 3 en 1. 5. m( 3) > m( 4) 5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone

mayor ángulo. 6. m( 1) + m( 3) > m( 2) + m( 4) 6. De 2 y 5. Suma de desigualdades.

7. m(DAB) > m(DCB) 7. De 6. Suma de ángulos.

1. m(ADB) > m(DEB) 1. Por ser un ángulo exterior en el DEB 2. m(DEB) > m(C) 2. Por ser un ángulo exterior en el ACE 3. m(ADB) > m(C) 3. De 1 y 2. Propiedad transitiva.

3. desigualdades geomÉtricas gometria euclidiana udea

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