1. primitiva de una funciÓn 2. -...

Cálculo de primitivas MATEMÁTICAS II 1

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

3. INTEGRALES INMEDIATAS

3.1. Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia

3.2. Ejemplos de integrales inmediatas tipo logarítmica

3.3. Ejemplos de integrales inmediatas tipo exponencial

3.4. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas

3.5. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas inversas

3.6. Más ejemplos

4. CAMBIO DE VARIABLE

5. INTEGRACIÓN POR PARTES

6. INTEGRALES RACIONALES

7. ACTIVIDADES PROPUESTAS

8. SOLUCIONES


1 PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición:

Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio.

La función F es una función primitiva de f, o simplemente, una primitiva de f, si F tiene por derivada a f, es decir,

F primitiva de f si F´(x) = f(x)

Ejemplos

1. Comprobar que la función F(x) = x4 es un primitiva de la función f(x) = 4x3

F´(x) = 4x3

2. Comprobar que F1(x) = x2 y F2(x) = x2 – 4 son primitivas de f(x) = 2x

F´1(x) = 2x

F´2(x) = 2x

Ambas funciones son primitivas de la función f(x) = 2x.

En general, si F es una primitiva de f, entonces F(x) + k, siendo k cualquier nº real, es también una primitiva de f. Teorema: Si F(x) y G(x) son dos primitivas de f(x) entonces existe una constante k tal que

F(x) = G(x) + k

Definición:

El conjunto de todas las primitivas de una función f se llama integral indefinida de f..

Se denota f (x)dx∫

Si F es una primitiva de f(x), la integral indefinida de f es:

f (x)dx∫ = F(x) + k , k ∈ℝ

o f(x) es el integrando

o El símbolo dx es la diferencial de x

o x es la variable de integración


Ejemplos

1) = +∫cos xdx sen x k ya que (sen x)´ = cos x

2) = + ++∫1

dx ln(x 1) kx 1

ya que ln(x+ 1)´ = +1

x 1

3) = +∫ x xe dx e k ya que (ex)´= ex

4) = +∫ 2 31x dx x k

3 ya que

3 22x 3x

x3 3

′ = =

OBSERVACIÓN

La determinación de una primitiva particular exige conocer el valor de la constante de integración; para ello, necesitamos otra condición como puede ser el valor que toma la función primitiva en un punto dado.

Ejemplos

1) Hallar la primitiva de f(x) = 2x, sabiendo que toma el valor cero para x = 1.

= +∫ 22xdx x k → F(x) = x2 + k

F(1) = 0 → k = 0 → F(x) = x2

2) Demostrar empleando la definición que F(x) = x + ln x es una primitiva de += x 1

f ( x )x

F primitiva de f si F´(x) = f(x).

Calculamos la derivada de F:

1 x 1F (x) 1

x x+′ = + = → Por tanto F es una primitiva de f

3) Demostrar empleando la definición que F(x) = ln (x2 – 4x + 3) es una primitiva de −=

− +2

2x 4f ( x )

x 4x 3

Calculamos la derivada de F:

2

2x 4F (x)

x 4x 3−′ =

− += f(x) → Por tanto F es una primitiva de f

4) Demostrar, empleando la definición, que F(x) = x2(2x + 1) es una primitiva de f(x) = 6x2 + 2x. ¿Es la única primitiva?

Calculamos la derivada de F(x) = 2x3 + x2

F´(x) = 6x2 + 2x

Existen más primitiva, por ejemplo: F(x) = 2x3 + x2 + k, k ∈ℝ


2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

2.1. Integral de una suma o diferencia

La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de dichas funciones.

( )f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫

Ejemplo:

o + = + = + +∫ ∫ ∫ 2(2x cosx)dx 2xdx cosx dx x sen x k

2.2. Integral del producto de una constante por una función

La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de dicha función.

( )k·f (x) dx k· f (x)dx=∫ ∫

Ejemplo:

o = = − +∫ ∫(7sen x)dx 7 senxdx 7cos x k

OBSERVACIÓN :

La utilización de estas dos propiedades constituye el método de descomposición. Como principio, conviene descomponer lo máximo posible el integrando:

a) Aplicando la propiedad distributiva:

Ejemplos:

1) ( ) �

3 22 2

(1)

x xx(x 1)dx x x dx x dx x dx k

3 2+ = + = + = + +∫ ∫ ∫ ∫

2) �

2 2

(1)

x 1 1 1 xdx x dx x dx dx ln x k

x x x 2+ = + = + = + +

∫ ∫ ∫ ∫

(1) Integrales inmediatas tipo potencia

b) Sustituyendo la expresión de la función por otra equivalente, sumando y restando una misma expresión o multiplicando o dividiendo por un mismo número.

Ejemplo:

�

32 2

(1)

1 (2x 1)(2x 1) dx 2(2x 1) dx C

2 3++ = + = +∫ ∫

(1) Integral inmediata tipo potencia, donde f(x) = 2x + 1 → f´(x) = 2

Multiplicamos y dividimos por 2 para que obtener la integral inmediata:

n 1n f(x)

f (x)· f(x) dx C n 1n 1

+

′ = + ≠ −+∫


3 INTEGRALES INMEDIATAS

INTEGRALES INMEDIATAS

1. 0dx C C= ∈∫ ℝ 2. k dx kx C C= + ∈∫ ℝ

FORMA SIMPLE FORMA COMPUESTA

3. n 1

n xx dx C n 1

n 1

+

= + ≠ −+∫ 3.

+

′ = + ≠ −+∫

n 1n f(x)

f(x) · f (x)dx C n 1n 1

4. = +∫1

dx ln x Cx

4. ′

= +∫f (x)

dx ln f(x) Cf(x)

5. x xe dx e C= +∫ 5. ′ = +∫ f ( x) f (x )e ·f (x)dx e C

6. x x1a dx a C

lna= +∫ 6. ′ = +∫ f (x) f (x)1

a ·f (x)dx a Clna

7. cos xdx senx C= +∫ 7. ′ = +∫cos f(x)·f (x)· dx senf(x) C

8. sen xdx cosx C= − +∫ 8. ′ = − +∫senf(x)·f (x)dx cos f(x) C

9. = − +∫ tgxdx ln cos x C 9. ′ = − +∫ tgf(x)· f (x)dx ln cos f(x) C

10. + = = +∫ ∫22

1(1 tg x)dx dx tgx C

cos x 10.

′ ′+ = = + ∫ ∫2

2

f (x)1 tg f(x) ·f (x)dx dx tgf(x) C

cos f(x)

11. = − +∫ 2

1dx ctgx C

sen x 11. ′ = − +∫ 2

1·f (x)dx ctgf(x) C

sen f(x)

12. 2

1dx arctgx C

1 x= +

+∫ 12. 2

f (x)dx arctgf(x) C

1 f (x)

′= +

+∫

13. 2

1dx arcsenx C

1 x= +

−∫ 13.2

f (x)dx arcsenf(x) C

1 f (x)

′= +

−∫


OBSERVACIONES:

1) Para utilizar estas fórmulas adecuadamente conviene pasar las expresiones potenciales escritas en forma fraccionaria o en forma radical en forma potencial.

Ejemplos:

� 2 2

2

x 3x 3 1 xdx x dx x dx 3 dx 3lnx C

x x 2x+ = + = + = + +

∫ ∫ ∫ ∫

�

111 2

321

12

x 2xdx x dx x C

3

+

+= = = +∫ ∫

2) En las fórmulas compuestas hay que saber:

o Distinguir en el integrando quién es f (x) y quién es f´(x).

o Completar f´(x) si le falta alguna constante para ser la derivada de f(x) multiplicando o dividiendo el integrando por dicha constante.

Ejemplos:

� �(1)

cos xctgxdx dx ln(senx) C

senx= = +∫ ∫

(1) Si f(x) = sen x → f¨(x) = cos x, se tiene una integral tipo logaritmo: f (x)

dx ln f(x) Cf(x)

′= +∫

� �2 2 2x x x

(1)

1 1x·e dx e 2x·dx e C

2 2= = +∫ ∫

(1) Si f(x) = x2 → f¨(x) = 2x

Multiplicando y dividiendo por 2 se tiene una integral tipo exponencial: f (x) f (x )f (x)·e dx e C′ = +∫

3) Siempre que el integrando está expresado en forma de cociente comprobar primero si el numerador es la derivada del denominador, salvo constantes que se pueden introducir.

Ejemplos:

� � ( )2

33

(1)

3x 1dx ln x x 5 C

x x 5+ = + + +

+ +∫

(1) Tomando f(x) = x3 + x + 5 → f´(x) = 3x2 + 1, se tiene una integral tipo logaritmo.

� ( )= = + ++ +∫ ∫

22 2

x 1 2x 1dx dx ln x 1 C

2 2x 1 x 1

(1) Tomando f(x) = x2 + 1 → f´(x) = 2x

Multiplicando y dividiendo por 2 se tiene una integral tipo logaritmo.


3.1. Ejemplos de integrales inmediatas tipo potencia:

1) 5 61x dx x C

6= +∫

En nuestro ejemplo: f(x) = x n = 5 → f´(x) = 1

2) 2 12

1 1dx x dx x C C

xx− −= = − + = − +∫ ∫

En nuestro ejemplo: f(x) = x n = -2 → f´(x) = 1

3)

212 53

3 32

13

x 3x dx x C

5

+

+= = +∫

En nuestro ejemplo: f(x) = x n = 23

→ f´(x) = 1

4)

111 34

4 41

14

x 4x dx x C

3

− +−

− += = − +∫


− → f´(x) = 1

5) �2 2 3 2

(1)

2 5(2x 5x 4)dx 2 x dx 5 xdx 4 dx x x 4x C

3 2− + = − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫

(1) Aplicamos ( )f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫ ; ( )k·f(x) dx k· f(x)dx=∫ ∫

6) 3

2 (x 1)(x 1) dx C

3++ = +∫

En nuestro ejemplo: f(x) = x + 1 n = 2 → f´(x) = 1

7) ( ) ( ) ( ) ( )3

2 2 31 1 3x 2 13x 2 dx 3 3x 2 dx 3x 2 C

3 3 3 9++ = + = = + +∫ ∫

En nuestro ejemplo: f(x) = (3x + 2) n = 2 → f´(x) = 3

Multiplicamos y dividimos por 3 para que sea inmediata

8)

111 3

3 43 31

13

x 3x dx x dx x C

4

+

+= = = +∫ ∫


→ f´(x) = 1

9) �

1 3 3 52 2 2 2

(1)

4 2(2 x) x dx 2 x dx x x dx 2 x dx x dx x x C

3 5− = − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1): Aplicamos ( )f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫ ; ( )k·f(x) dx k· f(x)dx=∫ ∫


10) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 213

2 2 2 33 3 3

8x x 8 6x 4 4dx 8 dx dx 2x 2 C C

6 3 3 2x 22x 2 2x 2 2x 2

−= = = − + + = − +

++ + +∫ ∫ ∫

En nuestro ejemplo: f(x) = (2x3 + 2) n = -2 → f´(x) = 6x2

Multiplicamos y dividimos por 6 para que sea inmediata

11) � � ( ) ( ) ( )1 3

32 4 2 2 2 22 2

(1) (2)

1 1 2 1x 3x dx x 1 3x dx 6x 1 3x dx · 1 3x C 1 3x C

6 6 3 9− = − = − − − = − − + = − − +∫ ∫ ∫

(1) 2 4 2 2 2x 3x x (1 3x ) x 1 3x− = − = −

(2) f(x) = 1 – 3x2 ; n =12

→ f´(x) = – 6x

Multiplicamos y dividimos por (– 6)

12) � � ( ) ( ) ( )1 3

32 2 2 2 22 2

(1) (2)

3 3 2 13x 1 2x dx 3 x 1 2x dx 4x 1 2x dx · 1 2x C 1 2x C

4 4 3 2− = − = − − − = − − + = − − +∫ ∫ ∫

(1) Aplicando ( )k·f(x) dx k· f(x)dx=∫ ∫

(2) f(x) = 1 – 2x2 ; n =12

→ f´(x) = – 4x


13) �

1 43 2 2 2 2 433 3

(1)

1 1 3 3x 1 x dx 2x(1 x ) dx · (1 x ) C (1 x ) C

2 2 4 8− = − − − = − − + = − − +∫ ∫

(1) f(x) = 1 – x2 ; n =13

→ f´(x) = – 2x


14) � ( ) ( ) ( )1 32

342 3 3 34 4

4 3(1)

x 1 1 4 4dx 3x x 2 dx x 2 C x 2 C

3 3 3 9x 2

−= + = ⋅ + + = + +

+∫ ∫

(1) f(x) = x3 + 2 ; n =14

− → f´(x) = 3x2

Multiplicamos y dividimos por 3.

15) � �

1 1 3 1 3 52 22 2 2 2 2 2

(1) (2)

(1 x) 1 2x x 4 2dx dx x dx 2 x dx x dx 2x x x C

3 5x x

−+ + += = + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1) Desarrollamos el cuadrado de la suma

(2) Aplicamos ( )f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫

(3) f(x) = x ; n =12

− ; n =12

; n =32

en cada caso → f´(x) = 1


3.2. Ejemplos de integrales inmediatas tipo logarítmica

1) 3 1

dx 3 dx 3ln x Cx x

= = +∫ ∫

(1) Aplicando ( )k·f(x) dx k· f(x)dx=∫ ∫

En nuestro ejemplo: f(x) = x → f´(x) = 1

2) dx

ln(x 2) Cx 2

= + ++∫

En nuestro ejemplo: f(x) = x + 2 → f´(x) = 1

3) �(1)

dx 1 2dx 1ln(2x 3) C

2x 3 2 2x 3 2= = − +

− −∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = 2x – 3 → f´(x) = 2

Multiplicamos y dividimos por 3 para tener una integral inmediata tipo logarítmico.

4) � ( )22 2

(1)

x 1 2x 1dx dx ln x 1 C

2 2x 1 x 1= = + +

+ +∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = x2 + 1 → f´(x) = 2x

Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo logarítmico.

5) � � �(1) (2) (3)

x 3 2 2 2dx 1 dx dx dx dx dx x 2ln(x 1) C

x 1 x 1 x 1 x 1+ = + = + = + = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1) Efectuamos la división


(3) Aplicamos ( )k·f(x) dx k· f(x)dx=∫ ∫

6) �2

2 2(1)

3x 3 2x 3dx dx ln(x 4) C

2 2x 4 x 4= = − +

− −∫ ∫

(1) Integral tipo logaritmo: f(x) = x2 – 4 → f´(x) = 2x

Basta multiplicar y dividir por 2 para tener la integral inmediata

7) � ( )2

33

(1)

3x 1dx ln x x 1 C

x x 1+ = + + +

+ +∫

(1) Integral tipo logaritmo: f(x) = x3 + x + 1 → f´(x) = 3x2 + 1


3.3. Ejemplos de integrales de tipo exponencial

1) � ( )3x 3x 3x

(1)

1 1e dx 3·e dx e C

3 3= = +∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = 3x → f´(x) = 3

Multiplicamos y dividimos por 3 para tener una integral inmediata tipo exponencial.

2) � ( )x x x

(1)

e dx e dx e C− − −= − − = − +∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = – x → f´(x) = -1

Multiplicamos y dividimos por -1 para tener una integral inmediata tipo exponencial

3) �2x 1 2x 1 2x 1

(1)

1e dx 2e dx e C

2+ + += = +∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = 2x + 1 → f´(x) = 2

Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo exponencial

4) � ( )2x 2x 2x

(1)

1 1 1a dx 2·a dx · a C

2 2 lna= = +∫ ∫


Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo exponencial

5) �

1x

1 1x x

2 2(1)

e 1dx e dx e C

x x = − − = − + ∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = 1x

→ f´(x) =2

1x

−

Multiplicamos y dividimos por (-1) para tener una integral inmediata tipo exponencial

6) � ( ) � �x 2 2x x 2x x 2x x

(1) (2) (3)

1(e 1) dx e 2e 1 dx e dx 2 e dx dx 2e dx 2 e dx dx

2+ = + + = + + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2x x1e 2e x C

2= + + +

(1) Desarrollamos el cuadrado de la suma


(3) Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo exponencial

7) �senx senx

(1)

cos x·e dx e C= +∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = sen x → f´(x) = cos x


3.4. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas

Las fórmulas que más emplearemos en las integrales son:

1) sen2 α + cos2 α = 1 2) tg α =sen

cos

αα

3) cos

ctgsen

αα =α

4) 1

ctgtg

α =α

5) 1

seccos

α =α

6) 1

cosecsen

α =α

7) 2 2tg 1 secα + = α 8) 2 2ctg 1 cosecα + = α

9) sen (2α) = 2 sen α · cos α 10) cos (2α) = cos2 α – sen2 α

11) 2 1 cos2sen

2

− αα = 12) 2 1 cos2cos

2

+ αα =

1) �(1)

1 1 1 1sen x dx 2 sen xdx cos x C

2 2 2 2= = − +∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = 1

x2

→ f´(x) = 12

Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo seno

2) �(1)

1 1cos3x dx 3cos3xdx sen3x C

3 3= = +∫ ∫


Multiplicamos y dividimos por 3 para tener una integral inmediata tipo coseno

3) �(1)

1 1cos(2x 1)dx 2cos(2x 1)dx sen(2x 1) C

2 2+ = + = + +∫ ∫



4) �2 2 2

(1)

1 1xcos(x 1)dx 2xcos(x 1)dx sen(x 1) C

2 2+ = + = + +∫ ∫



5) �(1)

1 1tg2x dx 2tg2xdx ln(sec 2x) C

2 2= = +∫ ∫


Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo tangente


6) � �(1) (2)

senx cosxdx (tgx 1)dx tgxdx dx ln(sec x) x C

cos x+ = + = + = + +∫ ∫ ∫ ∫

(1) senx cosx senx cosx

tgx 1cos x cosx cosx

+ = + = +


7) �(1)

1 1sen(2x 6)dx 2sen(2x 6)dx cos(2x 6)

2 2+ = + = − +∫ ∫



8) �2 2 2

(1)

1 1xsen(x 3)dx 2xsen(x 3)dx cos(x 3) C

2 2+ = + = − + +∫ ∫



9) 3 41sen xcos xdx sen x C

4= +∫

En nuestro ejemplo: f(x) = x → f´(x) = 1

10) �2 2 2

(1)

1 1xcot gx dx 2xcot gx dx ln(senx ) C

2 2= = +∫ ∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = x → f´(x) = 1

Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo cotangente

11) � ( ) � ( )2 2 2

(1) (2)

tg xdx 1 tg x 1 dx 1 tg x dx dx tgx x C= + − = + − = − +∫ ∫ ∫ ∫

(1) Sumamos y restamos 1


12) � ( ) � ( )2 2 2

(1) (2)

ctg xdx 1 ctg x 1 dx 1 ctg x dx dx ctgx x C= + − = + − = − − +∫ ∫ ∫ ∫

(1) Sumamos y restamos 1



3.5. Ejemplos de integrales inmediatas tipo trigonométricas inversas

1) � �

13

2 2 2 2(1) (2)

1dxdx 1 dx 1 dx 1 x9 arctg C

9 3 3 39 x x x x1 1 19 3 3

= = = = + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫

(1) Dividimos numerador y denominador por 19


(3) En nuestro ejemplo: f(x) = x3

→ f´(x) = 13

, para tener una integral inmediata tipo arcotangente

2) � � �2 2 2 2(1) (2) (3)

1 2dx dxdx 1 dx 1 3 1 2x9 3· arctg C

9 9 2 6 34x 9 4x 2x 2x1 1 19 3 3

= = = = ++ + + +

∫ ∫ ∫ ∫



(3) En nuestro ejemplo: f(x) = 2x3

→ f´(x) = 23

Multiplicamos y dividimos por 23

para tener una integral inmediata tipo arcotangente

3) � �

2

4 4 2 22 2(1) (2)

x 1 x 1 x 1 x 1 xdx dx dx · dx arctg C

2 2 2 2 2x 4 x x x1 1 14 2 2

= = = = ++ + + +

∫ ∫ ∫ ∫


,

(2) En nuestro ejemplo: f(x) = 2x

2 → f´(x) = x, para tener una integral inmediata tipo arcotangente

4) � �2 2 2 2(1) (2)

11 1 1 1 1 1 1 x 53dx dx dx ·3 dx arctg C

9 9 9 3 3(x 5) 9 (x 5) x 5 x 51 1 19 3 3

+ = = = = + + + + + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫


,

(2) En nuestro ejemplo: f(x) = x 5

3+

→ f´(x) = 13

,

Para tener una integral inmediata tipo arcotangente, multiplicamos y dividimos por 3


3.6. Más ejemplos de integrales inmediatas

1) �2 3 2 4

(1)

1(2x 1)(x x 1) dx (x x 1) C

4+ + + = + + +∫

(1) Observamos que la derivada de x2 + x + 1 es 2x + 1

Considerando f(x) = x2 + x + 1 , n = 3 , tenemos una integral inmediata tipo potencia

2)( ) � ( ) �

( )( )

22 332 3

3 23 3(1) (2)

3x x 2 1dx 3x x 2 dx C C

2x 2 3 x 2

−− += + = + = − +

−+ +∫ ∫

(1) Observamos que la derivada de x3 + 2 es 3x2

(2) Considerando f(x) = x3 + 2 , n = -3 , tenemos una integral inmediata tipo potencia

3) x 3 x x 41(e 1) ·e dx (e 1) C

4+ = + +∫

(1) En nuestro ejemplo: f(x) = ex + 1 , n = 3 → f´(x) =ex, tenemos una integral inmediata tipo potencia

4) � ( ) ( ) ( )1 3 3

2 2 2 22 2 2

(1)

1 1 2 1x 1 2x dx 4x 1 2x dx · 1 2x 1 2x C

4 4 3 6− = − − − = − − = − − +∫ ∫

(1) Observamos que la derivada de 1 – 2x2 es -4x

Considerando f(x) = 1 – 2x2 , n = 12

Multiplicamos y dividimos por -4 para tener una integral inmediata tipo potencia

5) � ( )1 1 2

22 2 2 3 23 3 3

23 (1)

x 1 1 3 3dx x(x 3) dx 2x(x 3) dx · (x 3) C x 3 C

2 2 2 4x 3

− −= + = + = + + = + +

+∫ ∫ ∫

(1) Observamos que la derivada de x2 + 3 es 2x

Considerando f(x) = x2 + 3 , n = 13

−

Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo potencia

6) �2

2 2(1)

x 2 1 2x 4dx dx x 4x 3 C

2x 4x 3 x 4x 3

+ += = + − ++ − + −∫ ∫

(1) Observamos que la derivada de x2 + 4x – 3 es 2x + 4

Considerando f(x) = x2 + 4x – 3 , n = 12

−

Multiplicamos y dividimos por 2 para tener una integral inmediata tipo potencia


7) ( ) � ( ) ( )1 3

32 2

(1)

2 2x 1dx x 1 dx x 1 x 1 C

3 3+ = + = + = + +∫ ∫

(1) Integral tipo potencia: f(x) = x + 1, n = 12

8) �

2 23

3 3(1)

x 1 6x 1dx dx ln(1 2x ) C

6 61 2x 1 2x= − = − − +

− −∫ ∫

(1) Integral tipo logaritmo: f(x) = 1 – 2x3 → f´(x) = - 6x2

Basta multiplicar y dividir por 6 para tener la integral inmediata.

9) � ( )22 2

(1)

2x 4 1 6x 12 1dx dx ln 3x 12x 8 C

3 33x 12x 8 3x 12x 8− −= = − + +

− + − +∫ ∫

(1) Integral tipo logaritmo: f(x) = 3x2 – 12x + 8 → f´(x) = 6x – 12


10) ( ) � ( )( )

(1)

1 1dx 2 dx 2ln 1 x

x 1 x 2 x 1 x= − − = − −

− −∫ ∫

(1) Integral tipo logaritmo: f(x) = 1 x− → f´(x) = 1

2 x−


11) � ( )x x x x x

(1)

e sene dx sen e ·e dx cose C= = − +∫ ∫

(1) Integral tipo seno, en nuestro ejemplo: f(x) = ex → f´(x) = ex

12) �2 2 3

(1)

1tg xsec x dx tg x C

3= +∫

(1) Integral tipo potencia: f(x) = tg x , n = 2 → f´(x) = sec2 x

13) ( ) � ( ) ( )x x x x x

(1)

e cos e dx cos e ·e dx sen e C= = +∫ ∫

(1) Integral tipo coseno: f(x) = ex → f´(x) = ex

14) �2(1)

cos xdx arctg(senx) C

1 sen x= +

+∫

(1) Integral tipo arcotangente: f(x) = sen x → f´(x) = cos x


15) � �2 2(1) (2)

dx 1 dx 1arctgx

3 33 3x 1 x= =

+ +∫ ∫


(2) Integral tipo arcotangente: f(x) = x → f´(x) = 1

16) �2

2 2 2 2(1)

xdx 1 2xdxarctg(x 5) C

21 (x 5) 1 (x 5)= = + +

+ + + +∫ ∫

(1) Integral tipo arcotangente: f(x) = x2 + 5 → f´(x) = 2x


17) ( ) � ( )

24 2 22 2(1)

x x 1 2x 1dx dx dx arctgx C

2 21 x 1 x 1 x= = = +

+ + +∫ ∫ ∫

(1) Integral tipo arcotangente: f(x) = x2 → f´(x) = 2x


18) ( ) � ( )

( )2x 2x 2x

2x4x 2 22x 2x(1)

e e 1 2e 1dx dx dx arctg e C

2 21 e 1 e 1 e= = = +

+ + +∫ ∫ ∫

(1) Integral tipo arcotangente: f(x) = e2x → f´(x) = 2e2x


19) �(1)

sen(lnx)dx cos(lnx) C

x= − +∫

(1) Integral tipo seno: f(x) = ln x → f´(x) = 1x

20) � ( )(1)

dx sen x 1dx ln cos x ln ln(sec x) C

ctgx cos x cosx = = − = = + ∫ ∫

(1) Integral tipo logaritmo: f(x) = cos x → f´(x) = -sen x

21) � �(1) (2)

1 1 1 1sen xcos xdx 2sen xcosxdx sen2xdx 2sen2x dx cos2x k

2 2 4 4= = = − − = − +∫ ∫ ∫ ∫

(1) Multiplicando y dividiendo por 2, obtenemos sen 2x

(2) Multiplicando y dividiendo por (-2), se tiene una integral inmediata de tipo seno, donde:

f(x) = 2x → f´(x) = 2


22) � � �2

(1) (2) (3)

1 cos2x 1 1 1 1 x 1sen x dx dx dx cos2xdx dx 2cos2xdx sen2x C

2 2 2 2 4 2 4−= = − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1) sen2 x = 1 cos2x

2−


(3) Si f(x) = 2x → f´x) = 2

Multiplicamos y dividimos por 2 para tener la integral inmediata de tipo coseno

23) � ( ) ( ) 12

2(1)

senx cos x 1sec x tgxdx dx senx cosx dx

1 cosxcos x

−−= = − − = − =

−∫ ∫ ∫

(1) Multiplicando y dividiendo por (-1) se tiene una integral inmediata de tipo potencia, donde:

f(x) = cos x , n = - 2

24) �(1)

senx senxtgxdx dx dx ln(cosx) ln(sec x) C

cosx cos x−= = − = − = +∫ ∫ ∫

(1) Multiplicando y dividiendo por (-1) se tiene una integral inmediata de tipo logaritmo, donde:

f(x) = cos x → f´(x) = – sen x


3.7. Ejemplos de integrales inmediatas descomponiendo en suma de integrales

1) �(1)

x 1 1dx 1 dx dx dx x ln(x 1) C

x 1 x 1 x 1 = + = + = + − + − − − ∫ ∫ ∫ ∫

(1) Aplicamos ( )f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫ ,descomponiéndola en dos integrales:

o Una integral de una constante

o Una integral tipo logarítmica, donde f(x) = x – 1.

2) �

2

2 2 2(1)

x 2x 1 1 1dx 1 dx dx dx x C

x 1(x 1) (x 1) (x 1)+ = − = − = + + ++ + + ∫ ∫ ∫ ∫


o Una integral de una constante

o Una integral tipo potencia, donde f(x) = x + 1, n = -2

22

1 1dx (x 1) dx

x 1(x 1)−= + = −

++∫ ∫

3) � ( )22 2 2

(1)

2x 3 2x dxdx dx 3 ln(x 1) arctg x

x 1 x 1 x 1+ = + = + ++ + +∫ ∫ ∫


o Una integral tipo logaritmo, donde f(x) = x2 + 1 → f´(x) = 2x:

22

2xdx ln(x 1)

x 1= +

+∫

o Una integral tipo arcotangente, donde f(x) = x → f´(x) = 1

2

1dx arctg x

x 1=

+∫

4) � � ( )3 2

22 2 2

(1) (2)

3x 4x 3x 4 4 3dx 3x 4 dx 3x 4 dx dx x 4x 4arctgx C

2x 1 x 1 x 1− + = − + = − + = − + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

(1) Efectuamos la división.

(2) Se descompone en:

o Una integral potencia: ( ) 233x 4 dx x 4x

2− = −∫

o Una integral tipo arcotangente: 2

4dx 4arctgx

x 1=

+∫


5) �2

2 2 2(1)

2x 1 2x 1 1 xdx dx dx ln(x 9) arctg C

3 3x 9 x 9 x 9− = − = + − + + + + ∫ ∫ ∫

(1) Se descompone en::

o Integral tipo logaritmo, donde f(x) = x2 + 9 → f´(x) = 2x:

22

2xdx ln(x 9)

x 9= +

+∫

o Integral tipo arcotangente, donde f(x) = x3

→ f´(x) = 13

2 2

1 1 1/ 3 1 xdx ·3 dx arctg

9 3 3x 9 x1

3

= = + +

∫ ∫


4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

En ocasiones es difícil detectar el tipo de integral que tenemos debido a la expresión del integrando.

Por ello, realizar un cambio de variable puede facilitar la integración.

Casi todos los ejemplos realizados anteriormente se han resuelto mediante cambios de variables que se han efectuado mentalmente.

Ejemplos

1. 3sen xcos xdx∫

Efectuamos el cambio t = sen x y derivamos 1dt = cos x dx

La integral quedaría:

3 3sen xcos xdx t dt=∫ ∫ , quedándonos una integral fácil: 3 41t dt t

4=∫

El siguiente paso sería deshacer el cambio, quedándonos:

3 41sen xcos xdx sen x

4=∫

2. Calcular por cambio de variable:x

dxe 1+∫

Efectuamos el cambio t = ex y derivamos dt = ex dx → dx = x

dt dtte

=

La integral queda:

( )x

dx 1 dt dtt 1 t t 1 te 1

= =+ ++∫ ∫ ∫

Nos queda una integral racional:

( ) ( ) ( )1 A B A(t 1) Bt

t 1 t t t 1 t 1 t+ += + =

+ + + →1 A(t 1) Bt= + + →

t 0 1 A

t 1 1 B B 1

= → = = − → = − → = −

( ) ( )dt dt dt t

ln t ln(t 1) lnt 1 t t t 1 t 1

= − = − + = + + + ∫ ∫ ∫

Deshaciendo el cambio: x

x x

dx eln C

e 1 e 1

= + + + ∫


Ejemplos

3. Calcular por cambio de variable: 3cos x dx∫

3 2cos x dx cos x(1 sen x)dx= −∫ ∫

Efectuamos el cambio t = sen x → dt = cos x dx →

La integral queda:

3 2 31cos x dx (1 t )dt t t

3= − = −∫ ∫

Deshaciendo el cambio:

3 31cos x dx senx sen x C

3= − +∫

4. Calcular por cambio de variable:x x

dxe e−+∫

Efectuamos el cambio t = ex y derivamos dt = ex dx → dx = x

dt dtte

=

La integral queda:

x x 1 2

dx 1 dt dtarctgt

te e t t t 1− −= = =+ + +∫ ∫ ∫


xx x

dxarctg e C

e e− = ++∫

5. Calcular por cambio de variable:3

dx

x x+∫

Para poder quitar las raíces hacemos el cambio:

x = t6 → dx = 6t5 dt

La integral queda:

5 32 3 2

3 23

dx 6t t 1dt 6 dt 6 t t 1 dt 2t 3t 6t 6ln(t 1)

t 1 t 1t tx x

= = = − + − = − + − + + ++ +∫ ∫ ∫ ∫


x = t6 → t = 6 x

( )3 6 6

3

dx2 x 3 x 6 x 6ln x 1 C

x x= − + − + +

+∫


Ejemplos

6. Calcular por cambio de variable: 3tg xdx∫

Efectuamos el cambio 2

dttgx t x arctgt dx

1 t= → = → =

+

La integral queda:

33

2

ttg xdx dt

1 t=

+∫ ∫

Nos queda una integral racional:

32 2

2 2 2

t t 1 2t 1 1dt t dt t dt dt t ln(1 t ) C

2 2 21 t 1 t 1 t = − = − = − + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

3 2 2 2 21 1 1 1tg x dx tg x ln(1 tg x) C tg x ln(sec x) C tg x ln(cos x) C

2 2 2 2= − + + = − + = + +∫

7. Calcular por cambio de variable: 3 5(tg x tg x)dx+∫

Extraemos factor común tg3 x, quedando:

3 5 3 2(tg x tg x)dx tg x(1 tg x)dx+ = +∫ ∫

Efectuamos el cambio tgx = t → (1 + tg2 x) dx = dt

La integral queda:

3 2 3 41tg x(1 tg x)dx t dt t

4+ = =∫ ∫


3 5 41(tg x tg x)dx tg x C

4+ = +∫


5 INTEGRACIÓN POR PARTES

La fórmula de la derivada de un producto es:

D[u(x) · v(x)] = u´(x) · v(x) + u(x) · v´(x)

que, expresada en notación diferencial, queda:

d[u(x) · v(x)] = du(x) · v(x) + u(x) · dv(x)

Despejando el último sumando queda:

u(x) · dv(x) = d[u(x) · v(x)] – du(x) · v(x)

Si integramos en los dos miembros se obtiene:

u(x)·dv(x) u(x)·v(x) v(x)·du(x)= −∫ ∫

Para aplicar esta fórmula en la práctica se separa el integrando en dos partes, teniendo en cuenta:

a) La parte que se iguale a dv debe ser fácil de integrar.

b) v·du∫ no debe ser más complicada que u·dv∫

No existe ninguna regla que sirva para determinar qué integrales es conveniente resolver por partes, como tampoco para una vez adoptado este método fijar qué factor debe hacerse igual a u.

Ejemplos

1. xxe dx∫

Si derivamos x se simplifica y al integrar ex no se complica la integral. Por tanto, tomamos:

x x x

u x du dx

dv e dx v e dx e

= → =

= → = =∫

x x x x x xxe dx xe e dx xe e C (x 1)e C= − = − + = − +∫ ∫

2. xsenxdx∫

Si derivamos x se simplifica y al integrar sen x no se complica la integral. Por tanto, tomamos:

u x du dx

dv sen xdx v senxdx cosx

= → =

= → = = −∫

xsen xdx xcosx cosx dx xcosx senx C= − + = − + +∫ ∫


Ejemplos

3. xlnxdx∫

Tomamos:

2

1u lnx du dx

x1

dv xdx v x dx x2

= → =

= → = =∫

2 22 2 2 2 21 1 x 1 1 1 1 x 1 1

xlnxdx x lnx dx x lnx x dx x lnx C x lnx x C2 2 x 2 2 2 2 2 2 4

= − = − = − + = − +∫ ∫ ∫

4. x 1 x dx+∫

Tomamos:

( )32

u x du dx

2dv 1 x dx v 1 x dx 1 x

3

= → =

= + → = + = +∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 5 3 52 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4x 1 x dx x 1 x 1 x dx x 1 x · 1 x C x 1 x 1 x C

3 3 3 3 5 3 15+ = + − + = + − + + = + − + +∫ ∫

5. arc sen xdx∫

Tomamos:

2

dxu arcsenx du

1 x

dv dx v dx x

= → =−

= → = =∫

2

2 2

x 1 2xarc senx dx xarc sen x dx xarc senx dx xarc senx 1 x C

21 x 1 x

−= − = + = + − +− −∫ ∫ ∫

6. arc tgxdx∫

Tomamos:

2

dxu arctgx du

1 x

dv dx v dx x

= → =+

= → = =∫

( )22 2

x 1 2x 1arc tgx dx xarctgx dx xarctgx dx xarctgx ln 1 x C

2 21 x 1 x= − = − = − + +

+ +∫ ∫ ∫


OBSERVACIÓN :

En ocasiones, hay que aplicar el procedimiento varias veces.

Ejemplos

1. 2 2xx e dx∫

Tomamos:

2

2x 2x

u x du 2xdx

1dv e dx v e

2

= → =

= → =

2 2

2 2x 2x 2x 2x 2xx 2 xx e dx e xe dx e xe dx

2 2 2= − = −∫ ∫ ∫

Volvemos a aplicar este procedimiento, tomando

2x 2x

u x du dx

1dv e dx v e

2

= → =

= → =

2x 2x 2x 2x 2x 2x 2xx 1 x 1 x 1xe dx e e dx e 2e dx e e

2 2 2 4 2 4= − = − = −∫ ∫ ∫

Por tanto, la integral inicial:

2 22 2x 2x 2x 2x 2xx x 1 x x 1

x e dx e e e C e C2 2 4 2 2 4

= − + + = − + +

∫

2. 2ln x dx∫

Tomamos:

2 2ln xu ln x du dx

xdv dx v x

= → =

= → =

2 2 2ln xln x dx x ln x 2 x dx xln x 2 lnxdx

x= − = −∫ ∫ ∫

Volvemos a aplicar este procedimiento, tomando

dxu lnx du

xdv dx v x

= → =

= → =

dxlnxdx x ln x x x ln x x

x= − = −∫ ∫ → lnxdx x(ln x 1)= −∫

Por tanto, la integral inicial:

2 2ln x dx x ln x 2x(ln x 1) C= − − +∫


6 INTEGRALES RACIONALES

Es la integración de expresiones de la forma P(x)

dxQ(x)∫ , siendo P(x) y Q(x) polinomios de coeficientes

reales y exponentes naturales.

Distinguimos tres casos:

CASO 1: GRADO P(X) < GRADO Q(X)

En este caso descomponemos en fracciones simples:

1.A. El denominador sólo tiene raíces sencillas

Expresamos la fracción algebraica como suma de fracciones simples, para ello descomponemos el denominador.

Si Q(x) = (x – a1) (x – a2) → 1 2

P(x) A BQ(x) x a x a

= +− −

, siendo A y B dos coeficientes indeterminados

Puesto que los denominadores son iguales, A y B deben ser tales que los numeradores sean iguales:

( ) ( )( )( )

2 1

1 2 1 2

A x a B x aP(x) A BQ(x) x a x a x a x a

− + −= + =

− − − −→ ( ) ( )2 1P(x) A x a B x a= − + −

De esta forma conseguimos expresar la integral como suma de integrales inmediatas de tipo logaritmo.

( ) ( )1 21 2

P(x) A Bdx dx dx A ln x a Bln x a

Q(x) x a x a= + = − + −

− −∫ ∫ ∫

Ejemplos

2

x 2dx

x x−+∫

2

x 2 A B Ax B(x 1)x 1 x x(x 1)x x

− + += + =+ ++

→ x 2 Ax B(x 1) (A B)x B− = + + = + +

Determinamos A y B igualando coeficientes:

Coeficiente de x: A + B = 1

Término independiente: -2 = B

Se obtiene que A = 3 y B = -2, por tanto:

2

x 2 3 2dx dx dx 3ln(x 1) 2lnx C

x 1 xx x− = − = + − +

++∫ ∫ ∫

También se pueden obtener los coeficientes A y B dando valores a la variable x:

x = 0 → -2 = B

x = -1 → -3 = - A → A = 3


1.B. El denominador sólo tiene raíces múltiples (no entra en examen)

Si Q(x) = (x – a1) (x – a2)2 →

( )21 2 2

P(x) A B CQ(x) x a x a x a

= + +− − −

,

siendo A, B y C coeficientes que se determinarán por el procedimiento visto en el apartado anterior.

De esta forma conseguimos expresar la integral como suma de integrales inmediatas de tipo logaritmo y potencia.

( )( ) ( )1 22

1 2 22

P(x) A B C Cdx dx dx dx A ln x a Bln x a

Q(x) x a x a x ax a= + + = − + − −

− − −−∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplos

2

2

x x 2dx

(x 1) (x 3)+ +

− +∫

2

2 2

x x 2 A B Cx 1 x 3(x 1) (x 3) (x 1)

+ + = + +− +− + −

→ x2 + x + 2 = A(x + 3) + B(x – 1)(x + 3) + C(x – 1)2

Determinamos A ,B y C dando valores a x:

x = 1 → 4 = 4A → A = 1

x = -3 → 8 = 16C → C = 12

x = 0 → 2 = 3A – 3B + C → 2 = 3 – 3B + 12

→ B = 12

2

2 2

x x 2 dx 1 dx 1 dx 1 1 1dx ln(x 1) ln(x 3) C

2 x 1 2 x 3 x 1 2 2(x 1) (x 3) (x 1)+ + = + + = − + − + + +

− + −− + −∫ ∫ ∫ ∫

CASO 2: GRADO P(X) = GRADO Q(X)

En este caso efectuamos la división: P(x) = k · Q(x) + R(x),

siendo k una constante y R(x) polinomio tal que grado(R(x)) < grado(Q(x))

De esta forma conseguimos expresar la integral como suma de dos integrales:

o kdx k·x=∫

o R(x)

dxQ(x)∫ , tipo racional visto en el caso 1.

Ejemplo 3

3x 7 1 1dx 3 dx 3dx dx 3x ln(x 3) C

x 2 x 3 x 3+ = + = + = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫


CASO 3: GRADO P(X) > GRADO Q(X)

En este caso efectuamos la división: P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

De esta forma la integral se descompone en dos:

P(x) R(x)dx C(x)dx dx

Q(x) Q(x)= +∫ ∫ ∫ , siendo

o C(x)dx∫ una integral inmediata de tipo potencia

o R(x)

dxQ(x)∫ una integral de tipo racional caso 1

Ejemplos

1) 23x 7x 4

dxx 3+ −

+∫

23x 7x 4 23x 2

x 3 x 3+ − = − +

+ +

( )2

23x 7x 4 dx 3dx 3x 2 dx 2 x 2x 2ln(x 3) C

x 3 x 3 2+ − = − + = − + + +

+ +∫ ∫ ∫

2) ( )2

22x 5x 6 4dx 2x 1 dx dx x x 4ln(x 2) C

x 2 x 2− + = − + = − + − +

− −∫ ∫ ∫

22x 5x 6 42x 1

x 2 x 2− + = − +

− −

3)2

3 2

2x 7x 3dx

x 2x x 2+ +

+ − −∫

2

3 2

2x 7x 3 A B Cx 1 x 1 x 2x 2x x 2

+ + = + +− + ++ − −

→ 2x2 + 7x + 3 = A(x + 1)(x + 2) + B(x – 1)(x – 2 ) + C(x – 1)(x +

1)


x = 1 → 12 = 6A → A = 2

x = 2 → -3 = 3C → C = -1

x = -1 → -2 = -2B → B = 1

Se obtiene que A = 2, B = 1 y C = -1, por tanto:

2

3 2

2x 7x 3 1 1 1dx 2 dx dx dx 2ln(x 1) ln(x 1) ln(x 2) C

x 1 x 1 x 2x 2x x 2+ + = + − = − + + − − +

− + −+ − −∫ ∫ ∫ ∫


4) 3 2

2x 5dx

x 6x 11x 6−

− + −∫

3 2

2x 5 A B Cx 3 x 2 x 1x 6x 11x 6

− = + +− − −− + −

2x – 5 = A(x – 1)(x – 2) + B(x – 1)(x – 3) + C(x – 3)(x – 2)


x = 1 → -3 = 2C → C= 23

−

x = 2 → -1 = - B → B = 1

x = 3 → 1 = 2A → A = 12

Se obtiene que A =12

, B = 1 y C = 23

− , por tanto:

3 2

2x 5 1 dx dx 2 dx 1 2dx ln(x 3) ln(x 2) ln(x 1) C

2 x 3 x 2 3 x 1 2 3x 6x 11x 6− = + − = − + − − − +

− − −− + −∫ ∫ ∫ ∫

5)2

2x 4dx

(x 1) (x 2)−

− +∫

2 2

2x 5 A B Cx 1 x 2(x 1) (x 2) (x 1)

− = + +− +− + −

( )( ) ( ) 22x 5 A x 1 x 2 B x 2 C(x 1)− = − + + + + −


x = 1 → - 3 = 3B → B = -1

x = -2 → -9 = 9C → C = -1

x = 0 → -5 = -2A + 2B + C → A = -1

Se obtiene que A = B = C = -1, por tanto:

2 2

2x 5 1 1 1 1dx dx dx dx ln(x 1) ln(x 2) C

x 1 x 2 x 1(x 1) (x 2) (x 1)− = − − − = − − + − + +

− + −− + −∫ ∫ ∫ ∫

1. primitiva de una funciÓn 2. -...

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