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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 30. Primitiva de una función. Aplicaciones Geométricas


1. Introducción

El origen de la integración es el cálculo del área de diferentes superficies, así el comienzo

del cálculo integral puede fijarse en la matemática de la Grecia clásica donde ya estaba presen-

te el concepto de área así como los métodos para el cálculo de las mismas mediante el méto-

do de exhaución. Arquímedes es el matemático más importante en el cálculo de áreas en esta

época.

En el siglo XVII destacan los trabajos de Newton y Leibnitz, que continúan con los métodos

de exhaución para el cálculo de áreas de diferentes curvas. Si bien no es hasta el siglo XIX

cuando los matemáticos Rieman y Cauchy dieron al método de exhaución una base matemáti-

ca, surgiendo el concepto de integral y relacionando la misma con el concepto de derivada

utilizada con anterioridad.

2. Integración definida. Teorema fundamental de la Integración.

2.1. Partición de [a,b]

Se llama partición de un intervalo [a,b] a un conjunto finito de puntos denotados

Π([a,b])={x0,x1,…,xn} donde se verifica a=x0<x1<x2<…<xn=b. Lo más usual es que las particiones

sean con los puntos equiespaciados, es decir xi+1-x1=cte ∀i∈{0,1,…,n-1}. La separación máxima

entre dos puntos de la partición se denomina diámetro.

Veamos un ejemplo: {0, 1/n, 2/n, …,(n-1)/n, 1} es una partición de [0,1] ∀n∈ℕ*. Denota-

remos por ℘[�, �] al conjunto de todas las particiones del intervalo [a,b].

Sean Π([a,b]) y Π’([a,b])∈ ℘[�, �] se dice que Π([a,b]) es más fina que Π’([a,b]) si se cum-

ple que Π’⊆Π, es decir Π tiene al menos los mismos puntos que Π’. Por ejemplo Π([0,1])={0,

0.1, 0.2,…,0.9,1} es más fina que Π’([0,1])={0.2, 0.4,…,0.8,1}

2.2. Sumas de Riemann

Sea f una función real acotada y definida en [a,b] y Π([a,b]) ])∈℘[�, �] se llama suma infe-

rior de Riemann de la función f y partición Π y se denota como s(f, Π) a la siguiente suma:

∑−

=+ −Π=Π

1

0

1 ))·(,(),(n

k

kkk xxfmfs con Π={x0=a, x1, x2, …, xn=b} y mk =inf{f(x): x∈[xk, xk+1 ]}

Sea f una función real acotada y definida en [a,b] y Π([a,b]) ])∈℘[�, �] se llama suma su-

perior de Riemann de la función f y partición Π y se denota como S(f, Π) a la siguiente suma:

∑−

=+ −Π=Π

1

0

1 ))·(,(),(n

k

kkk xxfMfS con Π={x0=a, x1, x2, …, xn=b} y Mk =sup{f(x): x∈[xk, xk+1 ]}

Notación: por comodidad trabajaremos con Mk y mk

Un ejemplo de sumas de Riemann superior e inferior es el ejemplo 2 del anterior apartado,

donde f(x)=x2 donde Π={0.1/n,…,(n-1)/n,1} y al ser f(x) creciente Mk=((k+1)/n)

2 y mk=(k/n)

2 y se

cumple S(f,Π)= 6

)12)(1·(·

13

++ nnn

n y s(f,Π)=

6

)12)()·(1(·

13

−− nnn

n



Observaciones:

1. Mk·(xk+1-xk) define al área de los rectángulos sobre la curva f(x)

y mk·(xk+1-xk) el área de los rectángulos bajo la función f(x).

2. La condición de que f esté acotada en [a,b] es necesario para

que mk y Mk definidos.

Proposición: ∀ Π, Π’ ∈℘[�, �] tal que Π⊇Π’ se cumple la si-

guiente desigualdad: s(f, Π’)≤s(f, Π ) ≤S(f, Π)≤S(f,Π’)

Demostración: la igualdad s(f, Π ) ≤S(f, Π’) es trivial por la de-

finición de mk y Mk de mínimo y máximo.

Para demostrar la desigualdad S(f, Π)≤S(f,Π’) la demostramos

suponiendo que tiene un punto más Π que Π’ si tuviera más pun-

tos a mayores repetimos el procedimiento Π’={x0,x1,…,xk,xk+1,…,xn}

y Π={x0, x1,…,xk,y, xk+1,…,xn}. Las sumas S(f, Π) S(f,Π’) sólo se diferencian en las áreas en el in-

tervalo [xk, xk+1] que en el caso de S(f,Π) tiene dos intervalos [xk,y] e [y,xk+1]. Se cumple que el

máximo en [xk, xk+1] es mayor o igual que el máximo en [xk,y] e [y,xk+1] pues el primer intervalo

incluye a los dos anteriores, es decir Mk(f,Π’)≥Mk(f, Π) y Mk(f,Π’)≥Mk+1(f, Π). Calculemos

S(f,Π’)-S(f,Π)=Mk(f,Π’)·(xk+1-xk)-Mk+1(f,Π)·(xk+1-y)- Mk(f,Π)(y - xk)≥ Mk(f,Π’)(xk+1-xk)- Mk(f,Π’)(xk+1-

y)- Mk(f,Π’)(y-xk)= Mk(f,Π’)(xk+1-xk)- Mk(f,Π’)((xk+1-y)-(y-xk))=0, se cumple así que S(f,Π’)-S(f,Π)≥0

� S(f,Π’) ≥S(f,Π).

La demostración s(f, Π’)≤s(f, Π ) es equivalente.

Veamos gráficamente la demostración:

Corolario: Para cualquier partición de [a,b] se cumple que s(f,Π)≤S(f,Π`).

Demostración: tomamos Π’’=Π∪Π’ que es más fina que Π’ y Π. Así por la proposición ante-

rior: s(f, Π’)≤s(f, Π’’ ) ≤S(f, Π’’)≤S(f,Π)

2.3. Integral superior e inferior de Riemann

Dada una función f definida y acotada en [a,b] se llama integral superior de Riemann de f

en [a,b] y se denota como )(xfb

a∫ a la suma superior de Riemann con menor valor:

{ }],[),(inf)( bafSxfb

a∈℘Π∀Π=∫

≤ ≤ ≤ ≤



Dada una función f definida y acotada en [a,b] se llama integral inferior de Riemann de f

en [a,b] y se denota como )(xfb

a∫ a la suma inferior de Riemann con mayor valor:

{ }],[),(sup)( bafsxfb

a℘∈Π∀Π=∫

Observación: por la proposición vista en apartado anterior tendremos que la partición que

nos generan las integrales superior e inferior de Riemann es la más fina.

Ejemplo: f(x)=x2 y [a,b]=[0,1] Π={0,1/n,2/n,…,(n-1)/n,1} se cumple s(f,Π)=

26

13

3

1

n

n −− y

S(f,Π)=26

13

3

1

n

n −+ , luego las integrales de Riemann serán con n→∞

3

12 =∫ xb

a,

3

12 =∫ xb

a.

2.4. Integral Riemann

Una función f(x) definida en [a,b] se dice que es integrable Riemann en este intervalo si y

sólo si se cumple la siguiente igualdad: )(xfb

a∫ = )(xfb

a∫ . Si la función es integrable Rie-

mann se llama integral de Riemann al resultado de las integrales superior o inferior y se deno-

ta como =∫b

axf )( )(xf

b

a∫ = )(xfb

a∫

Proposición: una función f(x) es integrable Riemann en [a,b] si y sólo si se cumple que para

todo ε>0 ∃Π∈℘[a,b] tal que S(f,Π)-s(f,Π)<ε.

Demostración: por definición de convergencia.

2.5. Linealidad de la integral.

Proposición : la aplicación integral es una aplicación lineal sobre el espacio vectorial de las

funciones continuas en [a,b], C0[a,b].

:�

� C0[a,b] ℝ

f(x) �(�)�

�

Demostración: será aplicación lineal si cumple dos propiedades:

a) (�(�)�

� + �(�)) = (�(�)�

� + (�(�)�

� . Elegimos Π={x0,x1,….,xn} partición de [a,b]. Se

cumple que Mk(f+g, Π)≤Mk(f, Π)+Mk(f, Π) y mk(f+g, Π)≥mk(f, Π)+mk(f, Π) pues sólo

serán iguales si el máximo o el mínimo de f(x) y g(x) ocurre en el mismo valor de x. De

esta forma se cumple las siguientes desigualdades S(f+g, Π)≤S(f, Π)+S(g, Π) y también

s(f, Π)≥s(f, Π)+s(g, Π). Aplicando por otro lado que las integrales superiores siempre

mayores o iguales que las inferiores (S(f+g, Π)≥s(f+g, Π)) tenemos la desigualdad:

�(�, Π) + S(g, Π)≥S(f + g, Π)≥s(f + g, Π)≥s(f, Π) + s(g, Π) y podemos aplicar la

misma desigualdad a supremos e ínfimos: gfgfgfgfb

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a ∫∫∫∫∫∫ +≤+≤+≤+



Como f y g son integrables se cumple =∫ fb

af

b

a∫ y =∫ gb

ag

b

a∫ y por tanto por la

regla de sándwich de convergencia se cumple también que ( ) =+∫ gfb

a

( ) ( )∫∫ +=+b

a

b

agfgf siendo el resultado ( )∫ ∫∫ +=+

b

a

b

a

b

agfgf

b) �� = � ��

��

� : Se cumple que el máximo de la función p(x)=λ·f(x) en todos los inter-

valos [xk,xk+1 ] de la partición son iguales a los de f(x) multiplicados por λ:

Mk(λ·f,Π)=λ·Mk(f,Π). De esta forma S(λ·f,Π)=λ·S(f, Π) y s(λ·f, Π)=λ·s(f, Π) y tomando

la partición más fina como f es integrable se cumple =∫ fb

a ∫∫ =b

a

b

aff y por tanto

por propiedades de los límites =∫ fb

aλ ∫∫ =

b

a

b

aff λλ =λ· ∫

b

af .

3. Teoremas del cálculo integral. Definición de primitiva.

Teorema del valor medio: sea f:[a,b] una función de variable real integrable, siendo

M=sup{f(x): x∈[a,b]} y m=inf{f(x):x∈[a,b]} entonces se cumple 1) Mfab

mb

a≤

−≤ ∫

1 y

además si f(x) continua en (a,b) existe un valor c∈(a,b) donde se cumple 2) ∫−=

b

af

abcf

1)(

Demostración: 1) Tomamos la partición elemental Π0={a,b}. Para esa partición se cumple

que S(f, Π0)=M·(b-a) y s(f, Π0)=m·(b-a). Por ser ∫b

axf )( el ínfimo de S(f, Π0) y el supremo de

s(f, Π0) se cumple por tanto que m·(b-a)≤ ∫b

axf )( ≤M·(b-a) y por tanto la desigualdad 1).

2) Si f(x) es continua por el teorema de Weierstrass se cumple que la función toma todos

los valores entre el máximo de la función, M, y el mínimo, m, y en concreto ∫−

b

af

ab

1, luego

se cumple que existe c∈(a,b): ∫−=

b

af

abcf

1)(

La integral de Riemann es muy intuitiva y bastante fácil de obtener de forma iterativa por

procesadores informáticos, pero desde el punto de vista operativo es bastante laborioso y no

siempre fructífero. Es por esto que se aplica un método que, en la mayoría de los casos, nos

permitirá calcular integrales de forma mucho más cómoda. Veamos el método a continuación:



Dada una función f(x) se dice que F es una primitiva de f(x) si se cumple que f(x) es la deri-

vada de F(x), es decir F’(x)=f(x). Si una función admite una primitiva entonces sin más que su-

marle una constante a esta obtendremos otra, es decir si F1 primitiva F2=F1+c es primitiva tam-

bién ∀ c∈ℝ dada la linealidad de la derivada y que la derivada de un número es cero.

Algunos ejemplos de primitivas:

a) f(x)=xn → � =

!

"#$+ % b) f(x)=sen(x) → � = − cos(�) + %

Teorema fundamental del cálculo integral: si f(x) es integrable Riemann en [a,b] entonces

se cumple que ∫=x

adttfxF )()( es una primitiva de f(x).

Demostración: Por definición de derivada h

xFhxFxF

h

)()(lim)(' 00

00

−+=

→, veamos según

la definición de F y el signo de h como coincide con f(x0) aplicando el teorema del valor medio

- si h>0 h

cfh

h

dttf

h

xFhxFxF

h

hx

x

hh

)(·lim

)(lim

)()(lim)('

00

00

00

0

0

→

+

→→==

−+=

∫=f(x0)

donde hemos aplicado que c∈(x0, x0+h) y si h→0, entonces c=x0

- si h<0:h

cfh

h

dttf

h

xFhxFxF

h

x

hx

hh

)()·(lim

)(lim

)()(lim)('

00

00

00

0

0−−

=−

=−+

=→

+

→→

∫=f(x0)

donde hemos aplicado que c∈(x0+h, x0) y si h→0, entonces c=x0

Corolario (Regla de Barrow): Sea f(x) una función integrable Riemann y Ψ(x) una primitiva

de la función, entonces se cumplen ∫ Ψ−Ψ=b

aabxf )()()(

Demostración: Sea F(x) y Ψ(x) dos primitivas, se cumple F(x)= Ψ (x)+C:

0)()()( =+Ψ==∫=

CaaFxfax

a(área de un punto) � c=- )(aΨ

)()()()()( abCbbFxfbx

aΨ−Ψ=+Ψ==∫

=

4. Cálculo de primitivas.

4.1. Integrales inmediatas

Son integrales inmediatas aquellas que se obtienen su función primitiva directamente sin

necesidad de cálculos al ser la derivada de una función conocida, que será la primitiva. Veamos

una tabla con las integrales inmediatas simples, y las compuestas. Las compuestas son cuando

tenemos la función simple pero en vez de x tenemos una expresión, f(x), y por tanto por la

regla de la cadena para que la integral sea inmediata necesitamos que la función simple esté

multiplicada por f’(x).



T A B L A D E I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S

PRIMITIVA SIMPLE PRIMITIVA COMPUESTA EJEMPLO

∫ −≠++

=+

)1(1

1

aCa

xdxx

aa

∫ −≠++

=+

)1(1

)()('·)(

1

aCa

xfdxxfxf

aa

∫ += Cxsen

dxxxsen4

)())·cos((

43

∫ += Cedxe xx

∫ += Cedxxfe xfxf )()( )('· ∫ += Cexdxexx 22

2·

∫ += Ca

adxa

xx

)ln(

∫ += Ca

adxxfa

xfxf

)ln()·('·

)()(

∫ += Cx

dx xx

)3ln(

3

)(cos·3

)tan(

2

)tan(

∫ += Cxdxx

)ln(1

∫ += Cxfdxxf

xf))(ln(

)(

)(' ∫ +−+=

−+

+Cxxdx

xx

x)53ln(

53

32 2

2

∫ +−= Cxdxxsen )cos()(

∫ +−= Cxfdxxfxfsen ))(cos()('))·(( ∫ +−= Cxxdxxsen )cos(2)·( 22

∫ += Cxsendxx )()cos(

∫ += Cxfsendxxfxf ))(()('))·(cos( ∫ += Cxsendxx

x)(ln

))cos(ln(

( ) Cxtgdxxtg +=+∫ )(1 2

( ) Cxftgdxxftg +=+∫ ))(()((1 2 ( ) Cxtgdxxtgx +=+∫ )()(13 3322

Cxtgdxx

+=∫ )()(cos

12

Cxftgdxxf

xf+=∫ ))((

))((cos

)('2

Cxxtgdxxx

x++=

+

+∫ )(

)(cos

12 2

22

( ) Cxgdxxg +−=+∫ )(cotcot1 2

( ) Cxfgdxxfxfg +−=+∫ ))((cot)(')(cot1 2 ( ) Cxgdxxg +−=+∫ )2(cot)2(cot1·2

Cxgdxxsen

+−=∫ )(cot)(

12

Cxfgdxxfsen

xf+−=∫ ))((cot

))((

)('2

( ) Cxgdxxg ++−=++∫ )2(cot)2(cot1·

∫ +=−

Cxarcsenx

dx)(

1 2

∫ +=−

Cxfarcsenxf

dx))((

)(1 2

∫ +=−

Cxarcsenxx

dx))(ln(

)(ln1·

1

2

∫ +=+

Cxarctgx

dx)(

1 2 ∫ +=

+Cxfarctg

xf

dx))((

)(1 2 ∫ +=

+Cxarctg

x

dx)2(

)2(1

22

∫ += Cxchdxxsh )()( ∫ += Cxfchdxxfxfsh ))(()('))·(( ∫ ++=+ Cxchxdxxsh )1(2)·1( 22

∫ += Cxshdxxch )()( ∫ += Cxfshdxxfxfch ))(()('))·(( ∫ += Cechdxeech xxx )()·(



4.2. Métodos de integración

Los métodos de integración son las herramientas usadas para simplificar las integrales de

forma equivalente, de forma que el resultado sea una integral sea fácil de calcular.

4.2.1. Integral por descomposición.

El método consiste en desarrollar las funciones, introducir factores, o manipular las fun-

ciones aplicando las dos propiedades de la linealidad de la para obtener una integral inmediata

fácilmente calculable. Veamos algunos ejemplos:

(1) ∫ ∫ =+++++=++ dxxxxxxdxxx )498470366025()567( 23456232

Cxxxxxx ++++++= 49282

35

5

3610

7

25 34567

(2) Cxdxxsendxxsen +−== ∫∫ )7cos(7

1)7(·7·

7

1)7(

(3) Cxxdxxx

xdx

xx

x+−=

−

−=

−

−∫∫ )64ln(

64

612

2

1

64

36 3

3

2

3

2

4.2.2. Integración por cambio de variable.

Teorema del cambio de variable: ( ) dxxgxgfdxxfbg

ag

b

a)(')·()(

)(

)(∫ ∫= o

Demostración: Sea F(x) una primitiva de f(x), que cumple F’(x)=f(x). Si tomamos la función

F(g(x)), se cumple que su derivada es por la regla de la cadena como f(g(x))·g’(x), por tanto

F(g(x)) es la primitiva . Traducido a integración se cumple ( ) dxxgxgfdxxfbg

ag

b

a)(')·()(

)(

)(∫ ∫= o

En la práctica se usa cuando f(x)=g(h(x))·h’(x) siendo g(x) una integral inmediata haciendo

el cambio de variable t=h(x). Una vez calculada la integral en función de t se deshace el cambio

variable. Veamos algún ejemplo:

(4) CxtgCttgdtttgdttt

ttgdx

x

xtg+=+=+=

+=

+∫ ∫∫ )(·2)(·2·)(1·2·2·

)(11 222

C.V. : tx = � dtdxx

=2

1 � tdtdtxdx 22 ==

(5)

( ) ( ) ∫∫∫∫∫ +=

+=

+=

+=

+ 22

23

2

23

22

32 16

6

1·

2

1

12

1

)1(232 t

dt

t

dt

x

dx

x

dx

x

dx=

= CxarctgCtarctg +=+ )(·6

6)(·

6

62

3 C.V.: x23 =t � dtdx =·2

3 �

23

dtdx =

4.2.3. Integración por partes.

Proposición: sea u(x) y v(x) funciones reales de variable de real se cumple la siguiente

igualdad ∫∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(')·()()·()(')·(



Demostración: ( ) dxxuxvdxxvxuxvxudx

d)()·(')()·(')()·( += , si integramos tenemos la

siguiente igualdad: ( ) ∫∫ += dxxuxvdxxvxuxvxu )()·(')()·(')()·( , que despejando se cum-

ple la proposición ∫∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(')·()()·()(')·( .

En la práctica se utiliza cuando la integral ∫ dxxuxv )(')·( más fácil de calcular que

dxxvxu∫ )(')·( y además v’(x) es fácilmente integrable.

Casos más corrientes de uso:

Tipo 1: u(x) es un polinomio (baja un grado) y v’(x)=sen(ax)dx o v’(x)=cos(ax)dx. Se repite el

procedimiento tanta veces como el grado del polinomio.

Ejemplo: (6) ∫ dxxsenx )3(·2 = ∫+− dxxxx )3cos(3

2)3·cos(

3

2= Cxsenxx ++− )3(

9

2)3·cos(

3

2

u=2x � du=2dx

dv=sen(3x) � v=3

)3cos( x−

Tipo 2: u(x) un polinomio (baja un grado) y v’(x)=eax

dx. Se repite tantas veces como grado u(x)

Ejemplo: (7) ( )∫ −+ dxexx x22 3 == 2

2xe−

− ·(x2+3x)+ ( )∫ −+ dxex x232

2

1=

u=x2+3x � du=(2x+3)dx u=2x+3 � du=2dx

dv=e-2x

dx � v=2

2xe−

− dv= e-2x

dx � v=2

2xe−

−

=2

2xe−

− (x2+3x)+ =

++− ∫ −

−

dxexe x

x2

2

)32(22

1

2

2xe−

− (x2+3x)+

−+−

−−

4)32(

4

22 xx ex

e=

2

2xe−

− (x2+4x+2)

Tipo 3: u(x)=ln(x) (se convierte 1/x) y v’(x)=polinomio (sube un grado). Se hace sólo una vez

Ejemplo: (8) ∫ −+− )3ln()25( 37 xxxx = )4

5

8( 2

48

xxx

−+− ln(3x)- dxx

xxx

∫ −+−1

)4

5

8( 2

48

=

u=ln(3x) � du= dxx

1

dv= dxxxx )25( 37 −+− � v= )4

5

8( 2

48

xxx

−+−

= )4

5

8( 2

48

xxx

−+− ln(3x)- =−+−∫ dxxxx

)4

5

8(

37

)4

5

8( 2

48

xxx

−+− ln(3x)216

5

64

248 xxx+−+

Tipo 4: u(x)=arctg(x) y v’(x)=p(x)dx (se convierte en integral racional)

Ejemplo: (9) ∫ ∫ ++−=+

−= Cxxxarctgdxx

xxarctgxdxxarctg )1ln(

2

1)(

1)(·)( 2

2

u=arctg(x) � dxx

xu21

1)('

+= v’(x)=dx � v(x)=x



Tipo 5: u(x)=sen(ax) y v’(x)=ebx

. Al realizar la integral por parte dos veces sale la integral inicial

que se puede despejar:

Ejemplo: (10) I= ∫ − dxxsene x )2(· = ∫ −− −− dxexex xx )2cos(

2

1

2

)2cos(=

u=e-x

� du=-e-x

dx dv=sen(2x) � v=2

)2cos( x−

u=e-x

� du=-e-x

dx dv=cos(2x) � v=2

)2( xsen

= =

+−− ∫ −

−− )2(

2

1

2

)2(

2

1

2

)2cos(xsene

exsene

x xx

x

43421I

xx

x xseneexsen

ex

∫ −−

− −−− )2(4

1

4

)2(

2

)2cos(

Despejando: I=

−−

−−

4

)2(

2

)2cos(

5

4x

x exsene

x=

+−

5

)2(

5

)2cos(2 xsenxe x

4.2.4. Integrales de funciones racionales.

Por integral de función racional llamamos aquellas de la siguiente forma ∫= dxxq

xpI

)(

)(,

siendo p(x) y q(x) dos polinomios. Para aplicar los métodos que vamos a ver es necesario que

el grado de p(x) menor que el de q(x), en caso de no ocurrir esto lo conseguimos dividiendo y

expresando el cociente como )(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp+= , con r(x) resto y c(x) cociente. Así c(x) es

fácilmente integrable (polinomio) y )(

)(

xq

xr cumple la condición del grado fijada antes. Según la

factorización del denominador distinguimos 4 casos:

Caso 1: q(x) sólo raíces reales, q(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn). De esta forma podemos expresar la

fracción polinómica como

n

n

xx

A

xx

A

xx

A

xq

xp

−++

−+

−= ...

)(

)(

2

2

1

1, con Ai∈ℝ. Las integral será

entonces n logaritmos neperianos. ∑=

+−=n

i

ii CxxAI1

)·ln(

Caso 2: raíces reales pero alguna de ellas multiplicidad 2 o mayor, q(x)=(x-x1)m

·(x-2)…(x-xn).

Se descompone de la siguiente manera: ( ) n

n

m

m

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xq

xp

−++

−+

−++

−= ......

)(

)(

2

2

1

1

1

1

, la integral serán potencias y neperianos: ∑ ∑= =

−−

−−

−+−=

n

i

m

j

j

jiij

xxAxxAI

1 2

)1(

11

)1(

)()·ln(

Caso 3: Aparece alguna raíz compleja y su conjugada x=α±β·i, o lo que es lo mismo el poli-

nomio (x-β)2+β2

. Podemos expresar 2)()(

)(22

casox

NMx

xq

xp+

+−+

=βα

. La contribución de la

fracción dxx

NMx∫ +−

+22)( βα

cuyo resultado vemos a continuación:



( ) ( )

Cx

garMN

xM

x

dxMNx

M

x

dxMNdx

x

xMdx

x

NMx

+

−++

+−=+−

+++−=

=+−

+++−

−=

+−

+

∫

∫∫∫

βα

ββ

α

βαβαβ

αβα

βαα

βαα

βα

cot··

)(·ln21)/)((

)(·ln2

)()(

)()(

2

22

22

22

222222

Ejemplo: (11) ∫∫

++

++=

++

−dx

xx

DCx

x

Adx

xxx

x

)52()52(

5322

)52(

532 ++

−xxx

x=

+++

+)52( 2 xx

DCx

x

A �

)52(

532 ++

−xxx

x=

++

++++

)52(

)()52(2

2

xxx

DCxxxxA

3x-5=A(x2+2x+5)+x(Cx+D)

- si x=0: 5A=-5 � A=-1

- si x=1: -2=8A+C+D � 6=C+D

- si x=-1: -8=4A+C-D �-4=C-D

Resolviendo el sistema C=1, D=5

∫ ∫∫ ++

++−=

++

++−=

++

−dx

xx

xxdx

xx

x

xdx

xxx

x

)52(

5)ln(

)52(

51

)52(

53222

∫ ∫∫∫ =++

+++

+=

+++

=++

+dx

xxdx

xx

xdx

xx

xdx

xx

x

)52(

8

2

1

)52(

22

2

1

)52(

102

2

1

)52(

52222

Cx

arctgxxdxx

xx

dxx

xxdxx

xx

+

++++=

+

++++=

=

+

++++=

+++++=

∫

∫∫

2

12)52ln(

2

1

12

1

2/12)52ln(

2

1

12

1

1)52ln(

2

1

4)1(

4)52ln(

2

1

2

2

2

2

2

2

2

I= )ln(x− +

++++

2

12)52ln(

2

1 2 xarctgxx +C

Caso 4: Racionales con raíces complejas dobles o de más multiplicidad (Método Hermite)

dxxd

xg

xD

xfdx

xQ

xP∫∫ +=

)(

)(

)(

)(

)(

)( siendo D(x)=mcd(Q(x), Q’(x)), d(x)=Q(x)/D(x) y f(x), g(x) po-

linomios genéricos de un grado menor que sus correspondientes denominadores.

Ejemplo: dxx

DCx

x

BAxdx

xI ∫∫ +

++

++

=+

=11)1(

12222

11

)1()(,1))1(4,)1(()( 2

2

222222 +=

+

+=+=++= x

x

xxdxxxxmcdxD

Derivando: 22

2

22

2

22 )1(

)1)((

)1(

2)·()1(

)1(

1

+

+++

+

+++=

+ x

xDCx

x

xBAxxA

x�B=C=0, A=D=-1/2

Cxarctgx

xI ++

+= )(

2

1

1·

2

12



4.2.5. Funciones trigonométricas

En este apartado estudiaremos la resolución de integrales de la forma ∫ ))cos(),(( xxsenR

siendo R(x,y) una función racional. Consideraremos 3 casos distintos:

Caso 1: impares en sen(x) y/o cos(x). Si R(-sen(x),cos(x))=-R(sen(x), cos(x)) hacemos el

cambio de variable cos(x)=t y se convierte en integral racional. Si es por el contrario impar en

el coseno, es decir R(sen(x),-cos(x))=-R(sen(x), cos(x)) el cambio es sen(x)=t. Si es impar en am-

bos, sen(x) y cos(x), el cambio es indistinto. Veamos un ejemplo:

Ejemplo: cxxtt

dtttdxxxsenI ++−=+−=−−== ∫ ∫ 5

)(cos

3

)(cos

53)1()()·cos(

53532223

cos(x)=t ; 21)( txsen −±=

dx=-sen(x)dt

Caso 2: Pares o impares en sen(x) y cos(x) en ambas, es decir R(-sen(x),-

cos(x))=R(sen(x),cos(x)), podemos hacer el cambio tg(x)=t, con lo que 21

1)(

txsen

+±= ,

21)cos(

t

tx

+±= y

21 t

dtdx

+= . De esta forma la integral se convierte en integral racional.

Otra opción es en algunos casos utilizar los ángulos mitad.

Ejemplo: (método 1) ∫∫ ∫ +=

+

+±=

322

4

2

4

)1(11

1)(

t

dt

t

dt

tdxxsen

( )

cxsenxxsenxdxx

xsenx

dxxxdxx

dxxsendxxsen

+++−=

++−=

=+−=

−==

∫

∫ ∫∫∫

)4(32

1

8

1))2((

4

1

2

)4cos(1

4

1))2((

4

1

))2(cos)2cos(21(4

1

2

)2cos(1)()( 2

2224

Caso 3: Caso general. Si tenemos todos los argumentos de las funciones circulares

iguales y no cumple caso 1 ni caso 2 se hace el cambio de variable tx

tg =

2

, con lo que

21

2

tdx

+= dt y

2222 1

2

)2/(1

)2/(

)2/(cos)2/(

)2/)·cos(2/(2)2/cos()2/(2)(

t

t

xtg

xtg

xxsen

xxsenxxsenxsen

+=

+2=

+== y

2

2

2

2

22

2222

1

1

)2/(1

)2/(1

)2/(cos)2/(

)2/()2/(cos)2/()2/(cos)cos(

t

t

xtg

xtg

xxsen

xsenxxsenxx

+

−=

+

−=

+

−=−= ,

realizando estos cambios la integral se convierte en racional.

Ejemplo: dtt

ttdt

t

t

t

t

t

dxx

xsen∫∫∫ −

++=

+

+

−+

+=

+4

2

2

2

2

2

1

122

1

2·

1

1

1

21

)cos(

)(1

Caso 4: Si tenemos funciones circulares con distinto argumento multiplicando se utilizan

las fórmulas que transforman las sumas en productos y aplicar la linealidad de la integral.

Ejemplo: cxx

dxxxsenxxsen

dxxxsen +−−

=−++

=∫ ∫ 2

)cos(

10

)5cos(

2

)23()32()2)·cos(3(



4.2.6. Integrales irracionales

Vamos a diferenciar la resolución de integrales en 6 tipos diferentes.

Tipo 1. ∫ − dxxba 222 se busca un cuadrado perfecto con el cambio de variable

bx/a=sen(t) o bx/a=cos(t).

Ejemplo:

∫∫∫∫ −=−−=−=− dttsendttsentdxxdxx )(2/9)()(cos12/9)3/2(1349 2222

dttsendxtx )()cos(23

32 −=→=

Tipo 2: ∫ + dxxba 222 cambio de variable bx/a=tg(t) o bx/a=sh(t), aprovechando que

(1+tg2(t))=1/cos

2(t) y 1+sh

2(t)=ch

2(t).

Tipo 3: ∫ − dxaxb 222 cambio de variable bx/a=sec(t) o bx/a=ch(t), aprovechando que

(sec2(t)-1)=tg

2(t) y ch

2(t)-1=sh

2(t).

Tipo 4: ∫ ++ dxcbxax 2 se busca el cuadrado perfecto y se hace el cambio de variable

del tipo 1, tipo 2 o tipo 3.

Ejemplo: ∫∫∫ +

+=++=++ dx

xdxxdxxx 1

2

124)1(52

2

22(tipo 2)

Tipo 5: ∫

++

++

dxxdcx

bax

dcx

baxxR

r

r

q

p

q

p

,...,,,1

1

1

1

con R función racional polinómica, se

hace el cambio ),...,,( 21 n

n qqqmcmncontdcx

bax==

++

. Se divide y despeja x vs t.

Ejemplo: ( ) ( )∫∫∫

−−=

−

−=

−+

22

2

22 26

2

6·

1

12

t

tdt

t

ttdx

x

x

dtt

tdx

txt

xt

x

x222

22

)2(

6

2

31

1

32

1

12

−−

=→−

+=→=−

+→=−+

Tipo 6 (método Alemán): ∫∫++

+++=++ cbxax

dxKcbxaxxhdx

cbxax

xP

2

2

2)·(

)(

siendo h(x) un polinomio genérico tal que grad(h(x))=grad(P(x))-1.

Ejemplo: ∫∫++

++++=++

=42

42)(42 2

2

2

2

xx

dxKxxBAxdx

xx

xI , derivando:

2

1,

2

3,

2

1−=

−== KBA � ∫

+++++

−=

1)3/)1((32

142

2

3

2

2

x

dxxx

xI



5. Aplicaciones geométricas

5.1. Áreas entre curvas.

Área curva y eje OX: El área que forma una curva con expresión y=f(x) y el eje OX entre x=a

y x=b se calcula, como hemos visto en el tema calculando la integral en valor absoluto de la

función f(x). Veamos los pasos a seguir para el cálculo de esta área:

Paso 1: Ver cuando la función f(x) por encima del eje OX (f(x)>0) y cuando está por debajo

de este eje (f(x)<0). Se consigue resolviendo la ecuación f(x)=0, que nos da los puntos de corte

con el eje y viendo el signo entre x=a, x=b y los distintos puntos de corte que obtenemos.

Paso 2: Calculamos la integral definida de f(x) y aplicamos la regla de Barrow en los inter-

valos donde f(x)>0. En el caso contrario, f(x)<0, calculamos la integral de –f(x) (la misma que

f(x) cambiando el signo) y aplicamos Barrow al resultado.

Ejemplo: calcular el área encerrada por la curva y=x3-2x

2-3x en el intervalo (-4,2).

Paso 1: x3-2x

2-3x=0 → x=0, x=1, x=-3. (-4,-3)∪(0,1) f(x)<0; (-3,0)∪(1,2) f(x)>0

Paso 2:

2

2

1

2341

0

234

0

3

2343

4

2343

4

0

3

1

0

2

1

3

73

12

47

12

7

4

45

12

103

2

3

3

2

42

3

3

2

4

2

3

3

2

42

3

3

2

4)()()()(

uxxxxxx

xxxxxxxfdxxfxfdxxfa

=+++=

−−+

++−+

−−+

++−=+−+−=

−

−

−

−

− −∫ ∫ ∫ ∫

Área dos curvas: el área encerrada entre dos curvas será el área de curva y el eje OX que

se encuentra por encima menos el área de la que se encuentra por debajo y el mismo eje. De

esta forma el área será ∫ −b

adxxgxf |)()(| que se resuelve como en apartado anterior.

Nota: cuando hacemos el área de una curva y el eje OX puede entenderse como el área de

la función y=f(x) y de “la curva” y=0, que es la expresión de los puntos del eje OX.

5.2. Volúmenes y superficies de revolución

Entendemos como volúmenes de revolución aquellos obtenidos al girar la curva en torno

al eje OX. Cada punto de la curva genera una circunferencia. Si calculamos el volumen del disco

formado por la circunferencia y altura dx tendremos un diferencial de volumen (dV) que inte-

grando entre los valores de x donde queramos calcular el volumen obtendremos lo deseado.

( ) ∫∫ ==→=b

a

b

adxxfdVVdxxfdV 22

))(()(· ππ



Ejemplo: volumen esfera (resulta de girar la semicircunferencia) y=f(x)=)*+ − �+

∫ =−=r

rdxxrV0

322 ·3

4)( ππ

Ejemplo gráfico del volumen generado por dos curvas

y=x2 e y=)�.

( ) ( )∫ −=1

0

222

dxxxV π

Por otro lado el área de la superficie de la curva de revolución se calcula de igual forma,

ahora considerando el diferencial de superficie la superficie del disco anterior.

∫ ∫==→==b

a

b

adxxfdSSdxxfdxrdS )·(·2)·(··2··2 πππ

Ejemplo: superficie esfera

21

0

1

0

222

0

22 ··42

)2cos(1·2)(cos2··2 r

trdttrSdxxrS rsentx

r

ππππ =+

== →−= ∫ ∫∫ =

5.3. Longitud de una curva

Podemos calcular la longitud de la curva a partir del Teorema de Pitágoras, aplicando a un

diferencial de x y de y:

∫∫ +==

+=+=+=

b

a

b

adxxfdll

xfdxx

dydxdydxdl

2

222

)('1

)('11

Ejemplo: longitud semicircunferencia y=f(x)=)*+ − �+ (semicircunferencia)

rr

xarrdx

xrdx

xr

xl

xr

xxf

rrr

·cos·1

1)('0

0 220 22

2

22π=

=−

=−

+=→−

−= ∫∫

6. Contexto con secundaria.

Las integrales definidas y su aplicación en el cálculo de áreas se abordan en las Matemáti-

cas II de 2º de Bachillerato, siendo un ejercicio típico en la PAU.

tema 30. primitiva de una función. aplicaciones geométricas 30.pdftema 30. primitiva de una...

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