tema 4: tÉcnicas de integraciÓnºbct__4._técnicas_de...como la derivada de una función constante...

Alonso Fernández Galián

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TEMA 4: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

La integración es el proceso contrario a la derivación. Así, integrar una función 𝑓 consiste en

encontrar las funciones 𝐹 tales que fF =' .

4.1 PRIMITIVAS. LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

Dada una función 𝑓, se denominan primitivas de 𝑓 a las funciones 𝐹 tales que:

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Es decir, las primitivas de la función 𝑓 son las funciones cuya derivada es igual a 𝑓.

La constante de integración. Como la derivada de una función constante es 0, si a una primitiva

de una función 𝑓 le sumamos una constante, obtenemos otra primitiva de 𝑓.

Se demuestra que, de hecho, todas las primitivas de una función 𝑓 se obtienen a partir de una de

ellas sumando a ésta una constante.

•Ejemplo: La función 𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 8 es una primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 . Veamos:

𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 8

𝐹′(𝑥) = 2𝑥 − 5 = 𝑓(𝑥) ⟹ 𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑓

•Ejemplo: Calcular una primitiva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3.

Para obtener una potencia tercera al derivar necesitamos una potencia cuarta: 𝑥4.

Sin embargo, al derivar 𝑥4 obtendremos 4𝑥3, por lo que deberemos cancelar el factor 4

dividiendo entre él. Así, tenemos que una primitiva de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 es:

𝐹(𝑥) =1

4𝑥4

Veamos:

𝐹′(𝑥) =1

4· 4𝑥3 = 𝑥3 = 𝑓(𝑥)

Nota: Con más generalidad, si tenemos una función potencial 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, una primitiva suya

es:

𝐹(𝑥) =1

𝑛 + 1𝑥𝑛+1 =

𝑥𝑛+1

𝑛 + 1

•Ejemplo: Comprobar que las funciones 𝐹, 𝐺 y 𝐻 escritas a continuación son primitivas de la

misma función.

𝐹(𝑥) = sen 𝑥 ⟹ 𝐹′(𝑥) = cos 𝑥

𝐺(𝑥) = sen 𝑥 + 5 ⟹ 𝐺′(𝑥) = cos 𝑥

𝐻(𝑥) = sen 𝑥 − 3 ⟹ 𝐻′(𝑥) = cos 𝑥

Por tanto, Las funciones 𝐹, 𝐺 y 𝐻 son todas ellas primitivas de la función:

𝑓(𝑥) = cos 𝑥

Matemáticas II

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La integral de una función. Dada una función 𝑓, se denomina integral de 𝑓 al conjunto de todas

las primitivas de 𝑓. Se representa por:

∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Donde:

-El símbolo “∫ ” es el símbolo de integración.

-El símbolo “𝑑𝑥” se denomina diferencial de 𝑥, e indica la variable.

Tabla de integrales inmediatas. Recordando la tabla de derivadas se obtiene la siguiente tabla de

integrales:

∫1 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

∫𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1)

∫1

𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

∫𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶

∫sen 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

∫cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶

∫1

cos2 𝑥𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶

∫(1 + tg2 𝑥) 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶

∫1

sen2 𝑥𝑑𝑥 = −cotg 𝑥 + 𝐶

∫1

√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = arcsen 𝑥 + 𝐶

∫1

1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = arctg 𝑥 + 𝐶

Donde para cada valor de la constante 𝐶 obtenemos una primitiva concreta.

•Ejemplo: Calcular las siguientes integrales de tipo potencial:

(𝒂) ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑥2+1

2 + 1+ 𝐶 =

𝑥3

3+ 𝐶

(𝒃) ∫1

𝑥6 𝑑𝑥 = ∫𝑥−6 𝑑𝑥 =

𝑥−6+1

−6 + 1+ 𝐶 =

𝑥−5

−5+ 𝐶 =

−1

5𝑥5+ 𝐶

(𝒄) ∫√𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑥12 𝑑𝑥 =

𝑥12+1

12 + 1

+ 𝐶 =𝑥32

32

+ 𝐶 =2√𝑥3

3+ 𝐶

•Ejemplo: Calcular la primitiva 𝐹(𝑥) de la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 que satisface 𝐹(0) = 4.

𝐹(𝑥) = ∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

Calculamos 𝐶.

𝐹(0) = 4 ⟹ 𝑒0 + 𝐶 = 4 ⟹ 1 + 𝐶 = 4 ⟹ 𝐶 = 3

Por tanto, la función buscada es:

𝐹(𝑥) = 𝑒𝑥 + 3

Tema 4: Técnicas de integración

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4.2 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES

Enunciemos las propiedades de las integrales. La primera es de carácter teórico, mientras que las

siguientes son útiles a la hora de integrar.

La integración es lo contrario de la derivación. De la propia definición de integral se deduce que

si derivamos una función y luego la integramos obtenemos la función original, y al revés.

Esquemáticamente:

(𝐢)∫𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 (𝐢𝐢) (∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥)′

= 𝑓(𝑥)

Propiedades lineales de integración. Veamos ahora dos propiedades útiles a la hora de calcular

integrales. Ambas se deducen directamente de las propiedades de las derivadas.

(i) La integral de una constante k por una función es igual a la constante por la integral de una

función:

∫𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

(ii) La integral de una suma (o resta) de dos funciones es igual a la suma (o resta) de las integrales

de las funciones:

∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∫𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Veamos más ejemplos:

•Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:

(𝒂) ∫2

𝑥4𝑑𝑥 = 2∫

1

𝑥4 𝑑𝑥 = 2∫𝑥−4 𝑑𝑥 =

2𝑥−3

−3+ 𝐶 = −

2

3𝑥3+ 𝐶.

(𝒃) ∫−1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 = −∫

1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 = −arcsen 𝑥 + 𝐶

(𝒄) ∫(𝑥3 − 5𝑥 + 8)𝑑𝑥 = ∫𝑥3 𝑑𝑥 − 5∫𝑥 𝑑𝑥 + 8∫𝑑𝑥 =1

4𝑥4 −

5

2𝑥2 + 8𝑥 + 𝐶

(𝒅) ∫𝑥2 + 8

𝑥𝑑𝑥 = ∫ቆ

𝑥2

𝑥+8

𝑥ቇ𝑑𝑥 = ∫(𝑥 +

8

𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑑𝑥 + 8∫

1

𝑥𝑑𝑥 =

=𝑥2

2+ 8 ln|𝑥| + 𝐶

(𝒆) ∫𝑥2

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = ∫

1 + 𝑥2 − 1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = ∫(1 −

1

1 + 𝑥2)𝑑𝑥 = ∫1𝑑𝑥 − ∫

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 =

= 𝑥 − arctg 𝑥 + 𝐶


(𝒂) ∫ 5 sen 𝑥 𝑑𝑥 = 5∫sen 𝑥 𝑑𝑥 = 5(−cos 𝑥) + 𝐶 = −5cos 𝑥 + 𝐶

(𝒃) ∫(𝑥 + 𝑒𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 =𝑥2

2+ 𝑒𝑥 + 𝐶

Matemáticas II

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4.3 FORMA COMPUESTA DE LAS INTEGRALES INMEDIATAS

A partir de la regla de la cadena para derivar funciones compuestas, se deduce que si 𝐹 es una

primitiva de 𝑓, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), entonces:

∫𝑢′(𝑥)𝑓(𝑢(𝑥))𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢(𝑥)) + 𝐶

Por ejemplo, ∫2𝑥 cos(𝑥2 + 7)𝑑𝑥 = sen (𝑥2 + 7) + 𝐶. Veamos ejemplos para cada una de las

integrales inmediatas.

Tipo potencial

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 ∫𝑢′(𝑥)[𝑢(𝑥)]𝑛𝑑𝑥 =

[𝑢(𝑥)]𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

Por ejemplo:

𝐚) ∫4(4𝑥 + 3)5𝑑𝑥 =(4𝑥 + 3)6

6+ 𝐶.

𝐛) ∫(2𝑥 − 3)7𝑑𝑥 =1

2∫2(2𝑥 − 3)7𝑑𝑥 =

1

2

(2𝑥 − 3)8

8+ 𝐶.

𝐜) ∫ sen 𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥 = −∫−sen 𝑥(cos 𝑥)4𝑑𝑥 = −cos5 𝑥

5+ 𝐶.

𝐝) ∫√1 + 4𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 + 4𝑥)1/2 𝑑𝑥 =1

4∫4(1 + 4𝑥)1/2 𝑑𝑥 =

1

4

(1 + 4𝑥)3/2

3/2+ 𝐶 =

=√(1 + 4𝑥)3

6+ 𝐶.

Tipo logarítmico

∫1

𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 ∫

𝑢′(𝑥)

𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑢(𝑥)| + 𝐶

Por ejemplo:

𝐚) ∫2𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = ln|𝑥2 + 1| + 𝐶.

𝐛) ∫𝑥2

𝑥3 + 5𝑑𝑥 =

1

3∫

3𝑥2

𝑥3 + 5𝑑𝑥 =

1

3ln|𝑥3 + 5| + 𝐶.

𝐜) ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sen 𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥 = −∫

−sen 𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶.

Tipo exponencial

∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫𝑢′(𝑥) 𝑒𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒𝑢(𝑥) + 𝐶

Y, si la base no es el número 𝑒,

∫𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶 ∫𝑢′(𝑥) 𝑎𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑎𝑢(𝑥)

ln 𝑎+ 𝐶


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Por ejemplo:

𝐚) ∫ cos 𝑥 𝑒sen 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒sen 𝑥 + 𝐶.

𝐛) ∫𝑒3𝑥−1 𝑑𝑥 =1

3∫3 𝑒3𝑥−1 𝑑𝑥 =

1

3𝑒3𝑥−1 + 𝐶.

𝐜) ∫3𝑥+1

5𝑥 𝑑𝑥 = ∫

3𝑥 · 3

5𝑥 𝑑𝑥 = 3∫

3𝑥

5𝑥 𝑑𝑥 = 3∫(

3

5)𝑥

𝑑𝑥 = 3 ·(35)𝑥

ln (35)+ 𝐶.

Tipo coseno

∫sen 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶 ∫𝑢′(𝑥) sen 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = −cos𝑢(𝑥) + 𝐶

Por ejemplo:

𝐚) ∫𝑥 sen(3𝑥2 + 3)𝑑𝑥 =1

6∫6𝑥 sen(3𝑥2 + 3)𝑑𝑥 = −

1

6cos(3𝑥2 + 3) + 𝐶.

𝐛) ∫sen(ln 𝑥)

𝑥𝑑𝑥 = ∫

1

𝑥sen(ln 𝑥)𝑑𝑥 = −cos(ln 𝑥) + 𝐶.

Tipo seno

∫cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen𝑥 + 𝐶 ∫𝑢′(𝑥) cos 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = sen𝑢(𝑥) + 𝐶

Por ejemplo:

𝐚) ∫ cos 5𝑥 𝑑𝑥 =1

5∫cos 5𝑥 𝑑𝑥 =

1

5sen 5𝑥 + 𝐶

𝐛) ∫𝑒𝑥 cos(𝑒𝑥) 𝑑𝑥 = sen (𝑒𝑥) + 𝐶

Tipo tangente

∫1

cos2 𝑥 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶 ∫

𝑢′(𝑥)

cos2 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = tg 𝑢(𝑥) + 𝐶

Y, recordando que 1/ cos2 𝑥 = sec2 𝑥 = 1 + tg2 𝑥, tenemos también la siguiente forma habitual:

∫(1 + tg2 𝑥) 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶 ∫𝑢′(𝑥)(1 + tg2 𝑢(𝑥)) 𝑑𝑥 = tg 𝑢(𝑥) + 𝐶

Por ejemplo:

𝐚) ∫6

cos2 6𝑥𝑑𝑥 = tg(6𝑥) + 𝐶.

𝐛) ∫ sec2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

cos2 𝑥𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶.

𝐜) ∫(3 + 3tg2𝑥) 𝑑𝑥 = ∫3(1 + tg2𝑥) 𝑑𝑥 = 3∫(1 + tg2𝑥) 𝑑𝑥 = 3 tg 𝑥 + 𝐶.

𝐝) ∫ tg2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 + tg2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫(1 + tg2𝑥) 𝑑𝑥 − ∫1 𝑑𝑥 = tg 𝑥 − 𝑥 + 𝐶.

Matemáticas II

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Tipo cotangente

∫1

sen2 𝑥 𝑑𝑥 = −cotg 𝑥 + 𝐶 ∫

𝑢′(𝑥)

sen2 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = −cotg 𝑢(𝑥) + 𝐶

Recordando de nuevo que 1/ sen2 𝑥 = cosec2 𝑥 = 1 + cotg2 𝑥.

Por ejemplo:

𝐚) ∫3

sen2 7𝑥𝑑𝑥 = 3∫

1

sen2 7𝑥𝑑𝑥 =

3

7∫

7

sen2 7𝑥𝑑𝑥 = −

3

7cotg 𝑥 + 𝐶.

𝐛) ∫1

𝑥 sen2(ln 𝑥)𝑑𝑥 = ∫

1/𝑥

sen2(ln 𝑥)𝑑𝑥 = −cotg (ln 𝑥) + 𝐶.

Tipo arcoseno

∫1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 = arcsen 𝑥 + 𝐶 ∫

𝑢′(𝑥)

sen2 𝑢(𝑥) 𝑑𝑥 = −cotg 𝑢(𝑥) + 𝐶

Por ejemplo:

𝐚) ∫𝑒𝑥

√1 − 𝑒2𝑥𝑑𝑥 = ∫

𝑒𝑥

√1 − (𝑒𝑥)2𝑑𝑥 = arcsen (𝑒𝑥) + 𝐶.

𝐛) ∫1

√1 − 9𝑥2𝑑𝑥 = ∫

1

√1 − (3𝑥)2𝑑𝑥 =

1

3∫

3

√1 − (3𝑥)2𝑑𝑥 =

1

3arcsen(3𝑥) + 𝐶.

𝐜) ∫1

√1 + (3𝑥 − 5)2𝑑𝑥 =

1

3∫

3

√1 + (3𝑥 − 5)2𝑑𝑥 =

1

3arcsen (3𝑥 − 5) + 𝐶.

Tipo arcotangente

∫1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = arctg 𝑥 + 𝐶 ∫

𝑢′(𝑥)

1 + 𝑢2(𝑥)𝑑𝑥 = arctg𝑢(𝑥) + 𝐶

Por ejemplo:

𝐚) ∫1

5 + 5𝑥2𝑑𝑥 =

1

5∫

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

5arctg 𝑥 + 𝐶.

𝐛) ∫2𝑥

1 + 𝑥4𝑑𝑥 = ∫

2𝑥

1 + (𝑥2)2𝑑𝑥 = arctg (𝑥2) + 𝐶.

𝐜) ∫1

9 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

9∫

1

1 + 𝑥2/9𝑑𝑥 =

1

9∫

1

1 + (𝑥/3)2𝑑𝑥 =

1

9 · 1/3 ∫

1/3

1 + (𝑥/3)2𝑑𝑥 =

=1

3arctg (

𝑥

3) + 𝐶.

𝐝) ∫1

49 + 4𝑥2𝑑𝑥 =

1

49∫

1

1 + 4𝑥2/49𝑑𝑥 =

1

49∫

1

1 + (2𝑥/7)2𝑑𝑥 =

=1

49 · 2/7∫

2/7

1 + (2𝑥/7)2𝑑𝑥 =

1

14arctg (

2𝑥

7) + 𝐶.

Nota: Generalizando los dos últimos ejemplos, podemos escribir las siguientes integrales:

∫1

𝑎2 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

𝑎arctg (

𝑥

𝑎) + 𝐶 ∫

𝑢′(𝑥)

𝑎2 + 𝑢2(𝑥)𝑑𝑥 =

1

𝑎arctgቆ

𝑢(𝑥)

𝑎ቇ + 𝐶


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4.3 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Una de las técnicas de integración más importantes es la del cambio de variable, que consiste en

sustituir cierta expresión que dependa de 𝑥 por una nueva variable, de manera que la integral

quede expresada únicamente en términos de esta última variable. Antes de ver en detalle en qué

consiste esta técnica debemos introducir el concepto de diferencial de una función.

Pasos para realizar un cambio de variable. Existen varias maneras equivalentes de realizar un

cambio de variable. La forma más sistemática es la siguiente.

(𝒊) Se introduce una nueva variable 𝑡 que sea función de 𝑥.

(𝒊𝒊) Se despeja la variable 𝑥.

(𝒊𝒊𝒊) Se diferencia en la igualdad obtenida.

(𝒊𝒗) Se sustituye en la integral hasta que la única variable que aparezca sea 𝑡. (𝒗) Se integra la función.

(𝒗𝒊) Finalmente se deshace el cambio de variable.

La notación diferencial. Recordemos la notación de Leibnitz para indicar la derivada de 𝑦:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′

Si despejamos 𝑑𝑦 obtenemos la expresión formal equivalente:

𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥

Podemos decir por tanto que la diferencial de la variable dependiente 𝑦 es igual a su derivada

multiplicada por la diferencial de la variable independiente 𝑥. Por ejemplo:

𝑦 = sen 𝑥 ⟹ 𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑥3

𝑦 = 𝑡2 + 5𝑡

⟹ ⟹

𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 𝑑𝑦 = (2𝑡 + 5)𝑑𝑡

Vemos así que la diferencial de 𝑦 es una forma útil de agrupar una expresión de la forma 𝑦’𝑑𝑥

que pueda aparecer bajo el signo de integración.

Nota: Es posible dar una definición más rigurosa de la diferencial de una función, pero en la

práctica su manejo se reduce a lo expuesto aquí.

•Ejemplo: Calcular la siguiente integral:

∫cos√𝑥

√𝑥𝑑𝑥

Realizamos el cambio de variable 𝑡 = √𝑥 y luego integramos:

∫cos√𝑥

√𝑥𝑑𝑥 = {

𝑡 = √𝑥𝑥 = 𝑡2

𝑑𝑥 = 2𝑡 𝑑𝑡

} = ∫cos 𝑡

𝑡2𝑡 𝑑𝑡 = 2∫cos 𝑡 𝑑𝑡 = 2 sen 𝑡 + 𝐶

Por último, debemos deshacer el cambio de variable. Así, resulta:

∫cos√𝑥

√𝑥𝑑𝑥 = 2 sen √𝑥 + 𝐶

Matemáticas II

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Varios de los ejemplos anteriores podían considerarse inmediatos. Veamos otro ejemplo algo más

complicado:

En ocasiones no es necesario despejar 𝑥, sino que se puede diferenciar directamente en la igualdad

y luego tratar de identificar la diferencial. Por ejemplo:


𝐚) ∫𝑒𝑥

1 + 𝑒𝑥𝑑𝑥 = {

𝑡 = 𝑒𝑥

𝑥 = ln 𝑡

𝑑𝑥 =1

𝑡 𝑑𝑡

} = ∫𝑡

1 + 𝑡

1

𝑡𝑑𝑡 = ∫

1

1 + 𝑡𝑑𝑡 = ln|1 + 𝑡| + 𝐶 =

= ln |1 + 𝑒𝑥| + 𝐶.

𝐛) ∫1

√𝑥 + 3𝑑𝑥 = {

𝑡 = √𝑥 + 3𝑥 = 𝑡2 − 3𝑑𝑥 = 2𝑡 𝑑𝑡

} = ∫1

𝑡2𝑡 𝑑𝑡 = 2∫1𝑑𝑡 = 2𝑡 + 𝐶 = 2√𝑥 + 3 + 𝐶.

𝐜) ∫1

√𝑥√1 − 𝑥𝑑𝑥 = {

𝑡 = √1 − 𝑥𝑥 = 1 − 𝑡2

𝑑𝑥 = −2𝑡 𝑑𝑡

} = ∫1

√1 − 𝑡2 · 𝑡(−2𝑡) 𝑑𝑡 = −2∫

1

√1 − 𝑡2𝑑𝑡 =

= −2 arcsen 𝑡 + 𝐶 = −2 arcsen √1 − 𝑥 + 𝐶.

𝐝) ∫(ln 𝑥)3

𝑥𝑑𝑥 = {

𝑡 = ln 𝑥𝑥 = 𝑒𝑡

𝑑𝑥 = 𝑒𝑡 𝑑𝑡 } = ∫

𝑡3

𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 = ∫𝑡3 𝑑𝑡 =

𝑡4

4+ 𝐶 =

1

4(ln 𝑥)4 + 𝐶.


∫𝑒2𝑥

√𝑒𝑥 + 1𝑑𝑥

Podríamos utilizar el cambio 𝑡 = 𝑒𝑥, pero es más rápido hacer directamente 𝑡 = √𝑒𝑥 + 1.

∫𝑒2𝑥

√𝑒𝑥 + 1𝑑𝑥 =

{

𝑡 = √𝑒𝑥 + 1 ⇒ 𝑒𝑥 = 𝑡2 − 1

𝑥 = ln(𝑡2 − 1)

𝑑𝑥 =2𝑡

𝑡2 − 1𝑑𝑡 }

= ∫

(𝑡2 − 1)2

𝑡

2𝑡

𝑡2 − 1 𝑑𝑡 =

= 2∫(𝑡2 − 1) 𝑑𝑡 = 2ቆ𝑡3

3− 𝑡ቇ + 𝐶 =

2

3√(𝑒𝑥 + 1)3 − 2√𝑒𝑥 + 1 + 𝐶.


∫cos𝑥

sen 𝑥 + 5𝑑𝑥

Vamos a hacer el cambio el variable 𝑡 = sen 𝑥, pero en lugar de despejar 𝑥, diferenciamos

directamente:

∫cos𝑥

sen 𝑥 + 5𝑑𝑥 = {

𝑡 = sen 𝑥𝑑𝑡 = cos 𝑥 𝑑𝑥

} = ∫1

𝑡 + 5𝑑𝑡 = ln|𝑡 + 5| + 𝐶 = ln|sen 𝑥 + 5| + 𝐶.


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4.4 INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SENOS Y COSENOS

Vamos a ver cómo integrar algunas expresiones trigonométricas habituales:

1. 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 y 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙. Combinando la relación fundamental de trigonometría, sen2𝑥 + cos2 𝑥 = 1,

con la fórmula del coseno del ángulo doble, cos2𝑥 = cos2 𝑥 − sen2 𝑥, obtenemos las fórmulas

siguientes:

sen2 𝑥 =1 − cos 2𝑥

2 y cos2 𝑥 =

1 + cos2𝑥

2

2. Productos y cocientes con senos y cosenos. En algunos productos o cocientes que mezclan

senos y cosenos podemos utilizar que (sen 𝑥)′ = cos 𝑥 y que (cos 𝑥)′ = − sen 𝑥.

Frecuentemente podemos tener que recurrir a alguna identidad trigonométrica:

Nota: La estrategia del último ejemplo se utiliza para integrar potencias de senos y cosenos de

exponente impar, mientras que para exponentes pares se recurre a las fórmulas vistas al principio

para reducir dichos exponentes.

Nota: En ocasiones se puede recurrir a un cambio de variable a una función trigonométrica para

calcular integrales de funciones algebraicas. Un ejemplo clásico es el siguiente:

∫√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = {𝑥 = sen 𝑡𝑑𝑥 = cos 𝑡 𝑑𝑡

} = ∫√1 − sen2 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫cos 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 =

= ∫cos2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫1 + cos 2𝑡

2𝑑𝑡 =

1

2𝑡 +

1

4sen 2𝑡 + 𝐶 =

=1

2𝑡 +

1

42 sen 𝑡 cos 𝑡 + 𝐶 =

1

2arcsen 𝑥 +

1

2𝑥√1 − 𝑥2 + 𝐶.

•Ejemplo: Calcular la integral de sen2 𝑥.

∫sen2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫1 − cos 2𝑥

2𝑑𝑥 =

1

2∫𝑑𝑥 −

1

2∫cos 2𝑥 𝑑𝑥 =

1

2𝑥 −

1

4sen 2𝑥 + 𝐶


𝐚) ∫ sen5 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sen 𝑥)5 cos 𝑥 𝑑𝑥 =sen6 𝑥

6+ 𝐶.

𝐛) ∫ sen 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sen 𝑥)1 cos 𝑥 𝑑𝑥 =sen2 𝑥

2+ 𝐶.

𝐜) ∫sen 𝑥

cos2 𝑥𝑑𝑥 = ∫sen 𝑥(cos 𝑥)−2 𝑑𝑥 =

(cos 𝑥)−1

−1+ 𝐶 = −

1

cos 𝑥+ 𝐶.

•Ejemplo: Calcular la integral de sen3 𝑥.

∫sen3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sen2 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − cos2 𝑥) sen 𝑥 𝑑𝑥 =

= ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥 − ∫cos2 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 +cos3 𝑥

3+ 𝐶.

Matemáticas II

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4.5 INTEGRACIÓN POR PARTES

En ocasiones conviene escribir el integrando como el producto de una función, 𝑢(𝑥), por la

diferencial de otra función, 𝑑𝑣(𝑥), y operar de acuerdo a la fórmula de integración por partes,

que se deduce de la expresión para la derivada de un producto:

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 · 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

Las funciones 𝑢 y 𝑣 deben elegirse de manera que 𝑢 tenga una derivada sencilla y 𝑑𝑣 sea fácil de

integrar.

A veces ocurre que, tras integrar por partes, aparece la integral original multiplicada por algún

coeficiente, lo que permite calcular la integral despejando en la igualdad resultante.


𝐚) ∫𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = [𝑢 = 𝑥𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥

‖𝑑𝑢 = 𝑑𝑥𝑣 = sen 𝑥

] = 𝑥 sen 𝑥 − ∫sen 𝑥 𝑑𝑥 =

= 𝑥 sen 𝑥 − (− cos𝑥) + 𝐶 = 𝑥 sen 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶.

𝐛) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = [𝑢 = ln 𝑥𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

‖ 𝑑𝑢 =1

𝑥𝑑𝑥

𝑣 = 𝑥] = 𝑥 ln 𝑥 − ∫𝑥 ·

1

𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫𝑑𝑥 =

= 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶.

𝐜) ∫𝑥2 sen 𝑥 𝑑𝑥 = [𝑢 = 𝑥2

𝑑𝑣 = sen 𝑥 𝑑𝑥 ‖

𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥𝑣 = −cos𝑥

] = 𝑥2 cos 𝑥 − ∫2𝑥(− cos 𝑥) 𝑑𝑥 =

= 𝑥2 cos𝑥 + 2∫𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = [𝑢 = 𝑥𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥

‖𝑑𝑢 = 𝑑𝑥𝑣 = sen 𝑥

] =

= 𝑥2 cos𝑥 + 2 (𝑥 sen 𝑥 −∫ sen 𝑥 𝑑𝑥) =

= 𝑥2 cos𝑥 + 2(𝑥 sen 𝑥 + cos 𝑥) = 𝑥2 cos 𝑥 + 2𝑥 sen 𝑥 + 2 cos 𝑥 + 𝐶.

•Ejemplo: Calcula la siguiente integral:

∫𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = [𝑢 = 𝑒𝑥

𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 ‖

𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥𝑣 = sen 𝑥

] = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − ∫𝑒𝑥sen 𝑥 𝑑𝑥 =

= [𝑢 = 𝑒𝑥

𝑑𝑣 = sen 𝑥 𝑑𝑥 ‖

𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥𝑣 = −cos 𝑥

] = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 − ∫𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

Denotemos por 𝐼 la integral original. Hemos obtenido la siguiente igualdad:

𝐼 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 𝐼

Basta despejar 𝐼:

𝐼 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 𝐼 ⇒ 2𝐼 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 cos𝑥 ⇒ 𝐼 =𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥

2

Es decir:

∫𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 cos𝑥

2+ 𝐶


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4.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Veamos por último cómo calcular la integral de una función racional:

∫𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)𝑑𝑥,

siendo 𝑃 y 𝑄 dos polinomios.

I. Si es necesario, se divide 𝑷 entre 𝑸. Para calcular la integral un cociente de polinomios el

grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador, 𝑔𝑟(𝑃) < 𝑔𝑟(𝑄). Si no fuera

así, debemos dividir 𝑃 entre 𝑄 para separar el cociente en su parte entera y su fracción propia:

𝑃 | 𝑄

𝑅 𝐶 ⟹ 𝑃 = 𝐶𝑄 + 𝑅 ⟹

𝑃

𝑄= 𝐶 +

𝑅

𝑄

II. Comprobar si se trata de una integral inmediata. Las funciones racionales pueden ser

inmediatas si son de los tipos logaritmos, potencial o arcotangente. Por ejemplo:

𝐚) ∫1

3𝑥 − 2𝑑𝑥 =

1

3∫

3

3𝑥 − 2𝑑𝑥 =

1

3ln|3𝑥 − 2| + 𝐶.

𝐛) ∫5𝑥

𝑥2 − 7𝑑𝑥 =

5

2∫

2

𝑥2 − 7𝑑𝑥 =

5

2ln|𝑥2 − 7| + 𝐶.

𝐜) ∫1

(𝑥 − 4)3𝑑𝑥 = ∫(𝑥 − 4)−3𝑑𝑥 =

(𝑥 − 4)−2

−2+ 𝐶 = −

1

2(𝑥 − 4)2+ 𝐶.

𝐝) ∫1

25 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

25∫

1

1 + (𝑥5)2 𝑑𝑥 =

1

25·1

15

∫

15

1 + (𝑥5)2 𝑑𝑥 =

1

5arctg (

𝑥

5) + 𝐶.

𝐞) ∫1

36 + 49𝑥2𝑑𝑥 =

1

36∫

1

1 +49𝑥2

36

𝑑𝑥 =1

36·1

76

∫

76

1 + (7𝑥6 )

2 𝑑𝑥 =1

42arctg (

7𝑥

6) + 𝐶.

•Ejemplo: Consideremos la siguiente integral:

∫3𝑥3 + 2𝑥2 + 14𝑥 + 7

𝑥2 + 4 𝑑𝑥

Dividamos el numerador entre el denominador. Después, separamos la fracción en su parte

entera y su fracción propia:

3𝑥3 + 2𝑥2 + 14𝑥 + 7 | 𝑥2 + 4

−3𝑥3 − 12𝑥 3𝑥 + 2

2𝑥2 + 2𝑥 + 7 −2𝑥2 − 8 2𝑥 − 1

⟹ 3𝑥3 + 2𝑥2 + 14𝑥 + 7

𝑥2 + 4= 3𝑥 + 2 +

2𝑥 − 1

𝑥2 + 4

Podemos separar entonces la integral original en dos integrales:

∫3𝑥3 + 2𝑥2 + 14𝑥 + 7

𝑥2 + 4 𝑑𝑥 = ∫(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 + ∫

2𝑥 − 1

𝑥2 + 4 𝑑𝑥

Observemos que ahora el grado del numerador sí es menor que el grado del denominador.

Matemáticas II

- 12 -

𝐟) ∫1

4 + (𝑥 − 2)2𝑑𝑥 =

1

4∫

1

1 + (𝑥 − 22

)2 𝑑𝑥 =

1

4·1

12

∫

12

1 + (𝑥 − 22

)2 𝑑𝑥 =

=1

2arctg (

𝑥 − 2

2) + 𝐶

III. Si no es inmediata, se descompone en fracciones simples. Si la integral no es inmediata, se

debe descomponer el cociente de polinomios en fracciones simples, cuya integral sí sea inmediata.

Pueden darse diversos casos según como sean los factores en los que se descompone el

denominador.

III.1) Si el denominador sólo tiene factores lineales simples, es decir, de la forma 𝑥 − 𝑎, por cada

uno de ellos aparece una fracción de la forma 𝐴

𝑥−𝑎. Expliquémoslo mediante un ejemplo:

III.2) Si el denominador tiene algún factor lineal múltiple, es decir, de la forma (𝑥 − 𝑎)𝑛 con el

exponente 𝑛 mayor que 1, en la descomposición aparecerán 𝑛 fracciones de la forma 𝐴

(𝑥−𝑎)𝑗

con el exponente 𝑗 aumentando desde 1 hasta 𝑛. Veamos:


∫6𝑥 − 7

𝑥2 + 𝑥 − 6 𝑑𝑥

I. El grado del denominador es menor que el grado del denominador.

II. La integral no es inmediata.

III. Descomponemos en fracciones simples: Empezamos factorizando el denominador:

𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

Como hay dos factores simples, la integral se descompone en suma de dos fracciones:

6𝑥 − 7

𝑥2 + 𝑥 − 6=

𝐴

𝑥 − 2+

𝐵

𝑥 + 3

Calculamos 𝐴 y 𝐵. Para ello, operamos en la igualdad anterior y comparamos:

6𝑥 − 7

𝑥2 + 𝑥 − 6=

𝐴

𝑥 − 2+

𝐵

𝑥 + 3=𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 2)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

Los denominadores son iguales, de manera que los numeradores también deben serlo. Como

la igualdad es cierta para cualquier valor de 𝑥, hacemos por ejemplo 𝑥 = 2 y 𝑥 = −3 para

despejar 𝐴 y 𝐵:

𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 2) = 6𝑥 − 7 ⟹ ቊHacemos 𝑥 = 2: 5𝐴 = 5 ⟹ 𝐴 = 1

Hacemos 𝑥 = −3: −5𝐵 = −25 ⟹ 𝐵 = 5

Así:

6𝑥 − 7

𝑥2 + 𝑥 − 6=

1

𝑥 − 2+

5

𝑥 + 3

Finalmente integramos:

∫6𝑥 − 7

𝑥2 + 𝑥 − 6 𝑑𝑥 = ∫

1

𝑥 − 2 𝑑𝑥 + ∫

5

𝑥 + 3 𝑑𝑥 = ln|𝑥 − 2| + 5 ln|𝑥 + 3| + 𝐶


- 13 -


∫2𝑥2 − 𝑥 − 3

𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑑𝑥




𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)3

Como tenemos un factor de multiplicidad 3, en la descomposición en fracciones simples

aparecerán tres fracciones:

2𝑥2 − 𝑥 − 3

𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1 =

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

(𝑥 − 1)2+

𝐶

(𝑥 − 1)3

Operamos:

2𝑥2 − 𝑥 − 3

𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1 =

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

(𝑥 − 1)2+

𝐶

(𝑥 − 1)3=𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶

(𝑥 − 1)3

Igualamos los numeradores y damos valores a 𝑥, Por ejemplo 𝑥 = 1, 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2.

𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶 = 2𝑥2 − 𝑥 − 3

Si 𝑥 = 1, 𝐶 = −2

Si 𝑥 = 0, 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = −3 ⟹ 𝐴 − 𝐵 = −1

Si 𝑥 = 2, 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 3 ⟹ 𝐴 + 𝐵 = 5

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenemos 𝐴 = 2 y 𝐵 = 3 . Así:

2𝑥2 − 𝑥 − 3

𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1 =

2

𝑥 − 1+

3

(𝑥 − 1)2+

−2

(𝑥 − 1)3


∫2𝑥2 − 𝑥 − 3

𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ∫

2

𝑥 − 1𝑑𝑥 + ∫

3

(𝑥 − 1)2𝑑𝑥 + ∫

−2

(𝑥 − 1)3𝑑𝑥 =

= 2∫1

𝑥 − 1 𝑑𝑥 + 3∫(𝑥 − 1)−2 𝑑𝑥 − 2∫(𝑥 − 1)−3 𝑑𝑥 =

= 2 ln|𝑥 − 1| −3

𝑥 − 1+

1

(𝑥 − 1)2+ 𝐶


∫3𝑥2 + 11𝑥 + 9

𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 𝑑𝑥




𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 = 𝑥(𝑥 + 3)2

[…]

Matemáticas II

- 14 -

III.3) Si en el denominador aparece un factor cuadrático 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que sea irreducible (es

decir, que no tenga raíces reales) en la descomposición en fracciones simples aparece una

fracción de la forma 𝑀𝑥+𝑁

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐. Veamos un ejemplo de cómo se integran estas fracciones.

[…]

Ahora, por el factor 𝑥, que es simple, aparecerá una fracción y por el factor (𝑥 + 3)2, de

multiplicidad 2, aparecerán dos fracciones:

3𝑥2 + 11𝑥 + 9

𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥=𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥 + 3+

𝐶

(𝑥 + 3)2

Operamos:

3𝑥2 + 11𝑥 + 9

𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥=𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥 + 3+

𝐶

(𝑥 + 3)2=𝐴(𝑥 + 3)2 + 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥

𝑥(𝑥 + 3)2

Igualamos los numeradores y damos valores a 𝑥, Por ejemplo 𝑥 = 0, 𝑥 = −3 y 𝑥 = 1.

𝐴(𝑥 + 3)2 + 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥 = 3𝑥2 + 11𝑥 + 9

Si 𝑥 = 0, 9𝐴 = 9 ⟹ 𝐴 = 1

Si 𝑥 = −3, −3𝐶 = 3 ⟹ 𝐶 = −1

Si 𝑥 = 1, 16𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = 23 ⟹ 𝐵 = 2

Así:

3𝑥2 + 11𝑥 + 9

𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥=1

𝑥+

2

𝑥 + 3+

−1

(𝑥 + 3)2


∫3𝑥2 + 11𝑥 + 9

𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 𝑑𝑥 = ∫

1

𝑥 𝑑𝑥 + ∫

2

𝑥 + 3 𝑑𝑥 + ∫

−1

(𝑥 + 3)2 𝑑𝑥 =

= ∫1

𝑥 𝑑𝑥 + 2∫

1

𝑥 + 3 𝑑𝑥 − ∫(𝑥 + 3)−2 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 2 ln|𝑥 + 3| +

1

𝑥 + 3+ 𝐶


∫2𝑥 + 7

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥

Buscamos en el numerador la derivada del denominador y separamos en dos fracciones:

∫2𝑥 + 7

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 = ∫

(2𝑥 + 4) + 3

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 = ∫

2𝑥 + 4

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 + ∫

3

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥

La primera integral es un logaritmo y la segunda un arcotangente (tras agrupar cuadrados):

𝐼1 = ∫2𝑥 + 4

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 = ln|𝑥2 + 4𝑥 + 5| + 𝐶

𝐼2 = ∫3

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 = 3∫

1

(𝑥 + 2)2 + 1 𝑑𝑥 = 3 arctg (𝑥 + 2) + 𝐶

Por tanto:

∫2𝑥 + 7

𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 = ln|𝑥2 + 4𝑥 + 5| + 3 arctg (𝑥 + 2) + 𝐶


- 15 -

ANEXO: OTRAS ESTRATEGIAS DE INTEGRACIÓN

Veamos otros ejemplos habituales de integrales.

Raíces de distinto índice. Si en el integrando aparecen raíces de distinto índice, podemos reducir

a índice común para luego hacer un cambio de variable:

Producto de potencias de senos y cosenos con el mismo ángulo. La estrategia para integrar estas

funciones depende de la paridad del exponente del seno y del coseno:

∫sen𝑚𝑥 cos𝑛 𝑥 𝑑𝑥

-Si 𝑚 es impar y 𝑛 es par: Apartamos un “sen 𝑥” y aplicamos el cambio de variable 𝑡 = cos 𝑥.

-Si 𝑚 es par y 𝑛 es impar: Separamos un “cos𝑥” y aplicamos el cambio de variable 𝑡 = sen 𝑥.

-Si 𝑚 y 𝑛 son impares: Podemos emplear cualquiera de los métodos anteriores.

-Si 𝑚 y 𝑛 son pares: Reducimos el grado mediante las siguientes identidades trigonométricas:

sen2 𝑥 =1 − cos 2𝑥

2 y cos2 𝑥 =

1 + cos2𝑥

2


∫1

√𝑥 − √𝑥3 𝑑𝑥

Reducimos las raíces a índice común, 𝑚. 𝑐.𝑚. (2,3) = 6, y luego hacemos el cambio de

variable 𝑡 = √𝑥6

.

∫1

√𝑥 − √𝑥3 𝑑𝑥 = ∫

1

√𝑥36

− √𝑥26 𝑑𝑥 = ∫

1

(√𝑥6)3− (√𝑥

6)2 𝑑𝑥 = {

𝑡 = √𝑥6

𝑥 = 𝑡6

𝑑𝑥 = 6𝑡5𝑑𝑡

} =

= ∫1

𝑡3 − 𝑡26𝑡5 𝑑𝑡 = ∫

6𝑡5

𝑡2(𝑡 − 1)𝑑𝑡 = 6∫

𝑡3

𝑡 − 1 𝑑𝑡

Ahora debemos dividir y luego descomponer en fracciones simples:

𝑡3 | 𝑡 − 1

−𝑡3 + 𝑡2 𝑡2 + 𝑡 + 1

𝑡2

−𝑡2 + 𝑡 𝑡 −𝑡 − 1 −1

⟹ 𝑡3

𝑡 − 1= 𝑡2 + 𝑡 + 1 +

−1

𝑡 − 1

Así, finalmente:

∫1

√𝑥 − √𝑥3 𝑑𝑥 = 6∫

𝑡3

𝑡 − 1 𝑑𝑡 = 6∫(𝑡2 + 𝑡 + 1 −

1

𝑡 − 1)𝑑𝑡 =

= 6𝑡3

3+6𝑡2

2+ 6𝑡 − ln|𝑡 − 1| + 𝐶 = 2√𝑥3

6+ 3√𝑥2

6+ 6√𝑥

6− ln|√𝑥

6− 1| + 𝐶

= 2√𝑥 + 3√𝑥3

+ 6√𝑥6

− ln|√𝑥6

− 1| + 𝐶.

Matemáticas II

- 16 -

Integración de productos de senos y cosenos con distinto argumento. Recordemos las fórmulas

del seno y el coseno de la suma y la diferencia de ángulos:

[𝟏] sen(𝛼 + 𝛽) = sen 𝛼 cos𝛽 + cos𝛼 sen 𝛽 [𝟐] cos(𝛼 + 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 − sen 𝛼sen 𝛽 [𝟑] sen(𝛼 − 𝛽) = sen 𝛼 cos𝛽 − cos𝛼 sen 𝛽 [𝟒] cos(𝛼 − 𝛽) = cos𝛼 cos𝛽 + sen 𝛼sen 𝛽

Sumando [1] y [3] y despejando “sen 𝛼 cos𝛽” se deduce:

sen 𝛼 cos𝛽 =1

2[sen(𝛼 + 𝛽) + sen(𝛼 − 𝛽)]

Restando [1] y [3] y despejando “cos 𝛼 sen 𝛽” se deduce:

cos 𝛼 sen 𝛽 =1

2[sen(𝛼 + 𝛽) − sen(𝛼 − 𝛽)]

Sumando [2] y [4] y despejando “cos 𝛼 cos𝛽” se deduce:

cos 𝛼 cos𝛽 =1

2[cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽)]

Restando [2] y [4] y despejando “sen 𝛼sen 𝛽” se deduce:

sen 𝛼sen 𝛽 =−1

2[cos(𝛼 + 𝛽) − cos(𝛼 − 𝛽)]

Estas fórmulas permiten integrar productos de senos y cosenos con distinto argumento:


𝐚) ∫ sen3 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sen 𝑥 sen2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sen 𝑥 (1 − cos2 𝑥) cos2 𝑥 𝑑𝑥 =

= {𝑡 = cos 𝑥𝑑𝑡 = −sen 𝑥 𝑑𝑥

} = −∫(1 − 𝑡2)𝑡2𝑑𝑡 = −∫(𝑡2 − 𝑡4) 𝑑𝑡 = −𝑡3

3+𝑡5

5+ 𝐶 =

= −cos3

3+cos5 𝑥

5+ 𝐶.

𝐛) ∫ sen2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫1 − cos 2𝑥

2

1 + cos 2𝑥

2𝑑𝑥 =

1

4∫(1 − cos2 2𝑥) 𝑑𝑥 =

=1

4𝑥 −

1

4∫cos2 2𝑥 𝑑𝑥 =

1

4𝑥 −

1

4∫1 + cos4𝑥

2𝑑𝑥 =

1

4𝑥 −

1

8𝑥 +

1

32sen 𝑥 + 𝐶.


∫sen 6𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥

Podemos aplicar cualquiera de las dos primeras identidades:

∫sen 6𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫1

2[sen (6𝑥 + 2𝑥) + sen (6𝑥 − 2𝑥)] 𝑑𝑥 =

=1

2∫[sen 8𝑥 + sen 4𝑥] 𝑑𝑥 = −

1

16cos8𝑥 −

1

8cos 8𝑥 + 𝐶


- 17 -

Integrales inmediatas: Forma simple y compuesta

1. Calcula:

(a) dxx 2

1 (b) dx

x

1 (c) dxx3 (d) dx

x5

1

2. Calcula aplicando las propiedades de linealidad:

(a) ( ) + dxxx 6cos5 (b) dxx 2

7 (c) ( ) + dxxe x2 (d) ( ) + dxx

23

3. Calcula:

(a) ( ) ++− dxxxx 263 23 (b) −

dxx

x3

1 (c)

−dx

x

x

2

1 (d) dxx2cotg

4. Determina )(xf sabiendo que xxf 24)( = , 2)0( =f , 1)0( =f y 0)0( =f .

5. Calcula:

(a) +dx

x 53

1 (b) + dxxx 32 (c) dxxe x2

(d) ( ) − dxx52sen

6. Calcula:

(a) ++

+dx

xx

x

53

322

(b) dxxcotg (c) ( ) dxe

ex

x

2cos (d) −

dxx )1(sen

22

7. Calcula ( ) ( ) +++ dxxxx 16cos2 32 .

8. Calcula:

(a) + dxx 12 (b) +dx

x 216

1 (c) −

dxx 2251

10 (d) +

dxx

x

251

5

9. Dada la función ( ) xxexxf ++=2

12)( determina la función )(xg tal que )()( xfxg = con la

condición de que su gráfica pase por el punto )2,0( .

10. Una partícula parte del origen de coordenadas con una velocidad inicial de 5 m/s y se mueve

a lo largo del eje OX con aceleración 12 += ta m/s2 (el reloj se inicia cuando la partícula parte

del reposo). Determina el espacio recorrido por la partícula tras 10 segundos.

Integración mediante cambio de variable

11. Calcula:

(a) +dx

x

x

1 (b) dx

xx 2cos

1 (c) −

dxxx 1

1 (d)

( )

−dx

xx

x

ln

1ln3

EJERCICIOS DEL TEMA 4

Matemáticas II

- 18 -

12. Calcula:

(a) −dx

x 1

2 (b) dx

xx ln

1 (c)

+dx

x

xx2

(d) +dx

x

x

3

2

21

13. Calcula:

(a) +

dxx

ex x

(b) 1

1dx

x x−

14. Calcula la siguiente integral utilizando el cambio de variable sen , cost x dt x dx= = .

+dx

x

x2sen1

cos

Integración de funciones trigonométricas

15. Calcula:

(a) dxx2cos (b) 3sen cosx x dx (c)

4

cos

sen

xdx

x

Integración por partes

16. Calcula:

(a) dxxe x3 (b) dxxarcsen (c) − dxex x2 (d) dxxe x sen 2

17. Calcula:

(a) dxxx ln2 (b) dxx

x2cos

(c) dxx arctg

(d) ( ) dxx2

ln (e) ( ) + dxxxx cos2 (f)

− dxx

xln

11

2

18. Calcula la función F(x) sabiendo que xxF cos)( = y que ( ) 32 =F .

Integración de funciones racionales

19. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador se descompone en factores lineales

simples:

(a) −−

+dx

xx

x

65

122

(b) −+

+dx

xxx

x

6

123

20. Calcula las siguientes integrales en las que el grado del numerador es menor que el grado del

denominador:

(a) +

−dx

x

x

2

13

(b) +−

++−dx

xx

xxx

65

69922

23


- 19 -

21. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador se descompone en factores

lineales:

(a) 3( 1)

xdx

x + (b) 2

3 2

3 1

5 8 4

x xdx

x x x

− +

− + − (c)3 2

1dx

x x+ (d) 3 2

6 10

1

xdx

x x x

+

− + + −

22. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador es irreducible:

(a) +

+dx

x

x21

81 (b) +

+dx

x

x

4

12

3

23. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador es irreducible:

(a) +

+−dx

x

x

254

52

(b) +

+dx

x

x294

36

24. Calcula las siguientes integrales:

(a) −

+dx

xx

x2

2 (b)

( ) +

−dx

xx

x

1

12

2

(c) +

+−dx

xx

xx3

2 1 (d) +−

+dx

xx

x

23

13

2

Varios

25. Expresa las siguientes fracciones en la forma )(/)()( xQxRxC + , con )()( QgradRgrad .

(a) 1

3232

2

+

++

x

xx (b)

13

23962

23

−+

++−

xx

xxx

26. Calcula:

(a) −+ dxex x)3( (b)

( ) dxxx

3ln

1 (c)

( ) dx

x

xlncos (d) dx

e

xx

3

27. Calcula:

(a) dxx

x2sen

cos (b) dx

x

x2cos

(c) −dx

xx 1

1 (d) dxxx arctg

28. Calcula mediante un cambio de variable:

(a) +

+dx

e

eex

xx

2

2

1 (b) +

dxx

x

1 (c)

( )cos 1 ln xdx

x

+

(d) 1

1

xdx

x

−

+

29. Calcula:

(a) dxx

x2

ln (b) +

dxx1

2 (c) +

dxx

x21

arctg2 (d) dx

x

xln

30. Calcula:

(a) +dx

x

x

1

3

(b) +dx

e

ex

x

294 (c) dx

x

x

cos

sen (d) +

dxe x 3

6

Matemáticas II

- 20 -

31. Sabiendo que 2

)( xexF = es una primitiva f , comprueba que f es creciente en ℝ.

32. Calcula un polinomio )(xP sabiendo que su derivada es 3666)( 2 −−= xxxP y que tiene

dos extremos relativos: un máximo y un mínimo, de manera que el valor del polinomio en el

máximo es el doble que su valor en el mínimo.

Selección de Ejercicios de PAEG - EvAU

_____________________________________________________________________________

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Junio 2010-2011

Junio 2011-2012

Reserva II 2012-2013

Reserva II 2012-2013

Septiembre 2013-2014

tema 4: tÉcnicas de integraciÓnºbct__4._técnicas_de...como la derivada de una función constante...

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