Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar

Departamento de Ciencias Área de Matemática

Asignatura: Matemática (0081714)

Octubre 2011

UNIDAD N° 1 (FUNCIONES)

Profesora: Yulimar Matute

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Función Constante: Se define como: 𝑓(𝑥) = 𝑏 , 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ∈ 𝑅 El dominio de la función constante, por ser una función polinomial, está formado por el conjunto

de los números reales. Es decir que se puede escribir: 𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞) ó 𝐷𝑜𝑚𝑓: {𝑥/𝑥 ∈ 𝑅}

El rango de esta función está compuesto por la constante a la que está igualada 𝑓(𝑥) ó 𝑦. Es decir

que se puede escribir: 𝑅𝑔𝑜𝑓: {𝑏}

La representación gráfica de la función constante es una línea recta horizontal, y la ubicación de la

misma depende del valor de la constante b.

𝑆𝑖 𝑏 > 0 𝑆𝑖 𝑏 = 0 𝑆𝑖 𝑏 < 0

Ejemplo:

Determine dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = 2

Solución

𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞) 𝑦 𝑅𝑔𝑜𝑓 = {2}

3

Ejercicios:

Determine dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones:

1. 𝒇(𝒙) = 𝟓

2. 𝒇(𝒙) = −𝟕

3. 𝒚 = 𝟏𝟐⁄

4. 𝒚 = −√𝟏𝟔

5. 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟒

6. 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝟒⁄

Función Lineal:

Se define como:

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑐𝑜𝑛 𝑚, 𝑏𝜖𝑅 𝑦 𝑚 ≠ 0

El dominio de la función lineal está formado por el campo de los números reales; es decir, se

puede escribir como: 𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞) ò 𝐷𝑜𝑚𝑓: {𝑥/𝑥 ∈ 𝑅} .

El rango de esta función, también está compuesto por el conjunto de los números reales; es decir,

se puede escribir como: 𝑅𝑔𝑜𝑓: (−∞, +∞) ò 𝑅𝑔𝑜𝑓: {𝑦/𝑦 ∈ 𝑅} .

La representación gráfica es una línea recta; dado que el valor de 𝑚 ≠ 0, la recta no podrá ser

horizontal. Una recta vertical no representa una función; por lo tanto la representación gráfica de

la función lineal que se definió anteriormente será una recta oblicua.

𝑆𝑖 𝑚 > 0 𝑆𝑖 𝑚 < 0

Si no se conoce la ecuación que define a la función lineal, pero se tienen dos puntos por los que

pasa dicha recta, entonces, el valor de la pendiente puede ser calculado con la siguiente fórmula:

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𝑆𝑖 𝐴(𝑥1,𝑦1) 𝑦 𝐵(𝑥2, 𝑦2) , entonces:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Ecuación Punto-Pendiente: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏), esta ecuación sirve para encontrar la ecuación

de una función lineal, siempre que se conozca un punto de la recta y su pendiente.

Para graficar la función lineal, sólo es necesario conocer dos puntos cualesquiera de la recta.

Generalmente se buscan los puntos de corte con los ejes. Es decir;

Se le da el valor de cero a 𝑥 en la función y se calcula el valor de 𝑦

Se le da el valor de cero a 𝑦 en la función y se calcula el valor de 𝑥

Ejercicios:

Determine el dominio, el rango y la representación gráfica de las siguientes funciones.

1. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏

2. 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙 + 𝟐

3. 𝒚 =𝟏

𝟐𝒙 − 𝟑

4. 𝒚 = 𝟑𝒙 −𝟐

𝟓

5. 𝒇(𝒙) = −𝟕𝒙

6. 𝒚 = 𝒙 − 𝟒

7. 𝒇(𝒙) = 𝟐 − 𝟔𝒙

8. 𝒚 =𝟏

𝟒𝒙 +

𝟖

𝟑

En cada caso encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados y

encuentre la ecuación de dicha recta; luego represente la función gráficamente.

1. 𝑨(𝟐, 𝟑) 𝒚 𝑩(𝟏, −𝟒)

2. 𝑪(−𝟓, 𝟐) 𝒚 𝑫(𝟔, 𝟒 )

3. 𝑬 (𝟏

𝟑, 𝟎) 𝒚 𝑭 (−𝟑,

𝟐

𝟓)

4. 𝑮 (𝟑

𝟒, −𝟓) 𝒚 𝑯 (−

𝟏

𝟐, 𝟔)

5. 𝑰(𝟎, 𝟒) 𝒚 𝑱(−𝟖, 𝟎)

6. 𝑲(𝟎, 𝟎) 𝒚 𝑳(𝟐, −𝟏)

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Función Cuadrática:

Se define como:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0

El dominio de la función cuadrática está formado por el conjunto de los números reales; es decir,

se puede escribir como: 𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞) ò 𝐷𝑜𝑚𝑓: {𝑥/𝑥 ∈ 𝑅} .

El rango de la función cuadrática es un subconjunto de los números reales, el cual puede

determinarse de la siguiente manera:

𝑆𝑖 𝑎 > 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑅𝑓: [4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎 , +∞)

𝑆𝑖 𝑎 < 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑅𝑓: (−∞ ,4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎]

La representación gráfica es una curva llamada parábola.

𝑆𝑖 𝑎 > 0 𝑆𝑖 𝑎 < 0

Puntos necesarios para graficar la parábola:

a) Punto de corte con el eje y

Es cuando 𝑥 = 0 , el punto es (𝟎, 𝒄)

b) Punto de corte con el eje x

Es cuando 𝑦 = 0, en este caso

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , esta ecuación se resuelve con la siguiente fórmula:

6

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Al resolverla podemos obtener tres posibles resultados:

Que se obtengan dos valores de 𝑥, llamados 𝑥1 𝑦 𝑥2

Esto sucede cuando 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0

Que se obtenga un sólo valor de 𝑥

Esto sucede cuando 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0

Que no se obtenga ningún valor de 𝑥

Esto sucede cuando 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0

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c) Punto del vértice de la parábola

𝑉 = (−𝑏

2𝑎,

4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎)

Ejercicios:

En cada caso determine:

Dominio, rango, puntos de corte con los ejes, el punto del vértice de la parábola y la

representación gráfica de la misma.

1. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟖

2. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔

3. 𝒚 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏

4. 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒

5. 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟏

6. 𝒚 = 𝟒𝒙𝟐

Función Racional:

Una función es de tipo racional si puede escribirse como el cociente de dos funciones

polinomiales, esto es, si puede escribirse de la siguiente manera:

𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞(𝑥) ≠ 0

Son funciones racionales las siguientes: 𝑓(𝑥) =1

𝑥 𝑓(𝑥) =

𝑥2+9

𝑥+6 𝑓(𝑥) =

𝑥2

4−𝑥

El dominio de este tipo de funciones está constituido por el conjunto de los números reales,

excluyendo aquellos valores de 𝑥 que hagan que el denominador se anule. Es decir:

𝑫𝒐𝒎𝒇(𝒙) = 𝑹 − {𝒙 ∈ 𝑹/ 𝒒(𝒙) = 𝟎}

El rango de este tipo de función es un subconjunto de los números reales y se determinará

observando la gráfica de la función.

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Sugerencias para graficar la función:

Simplificar algebraicamente (si se puede) la expresión que representa la función racional.

Determinar el tipo de función que resulta de la simplificación anterior (en caso de haberse

realizado la misma).

Si la función resultante de la simplificación, es una de las funciones ya estudiadas (función

constante, lineal o cuadrática) proceder a graficarla según lo ya explicado en cada caso.

Para la obtención final de la gráfica se debe tomar en consideración los valores de 𝑥 que no

pertenecen al dominio de la función racional.

Nota: Con respecto al dominio, se debe tener en cuenta la expresión original y no la expresión

final que se obtiene después de una simplificación algebraica.

Ejercicios:

En cada caso determine:

Dominio, rango, y la representación gráfica de la función.

1. 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏

𝒙−𝟏

2. 𝒇(𝒙) =𝒙𝟐−𝟏𝟔

𝒙+𝟒

3. 𝒚 =𝟐𝒙−𝒙𝟐

𝒙

4. 𝒚 =𝒙𝟑−𝟐𝒙𝟐

𝒙−𝟐

5. 𝒇(𝒙) =𝒙𝟑+𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟑

𝒙+𝟏

6. 𝒚 =𝒙𝟑−𝒙𝟐+𝒙−𝟏

𝒙−𝟏

7. 𝒇(𝒙) =𝟒−𝒙𝟐

𝒙−𝟐

8. 𝒚 =𝒙𝟒+𝒙𝟑−𝟗𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟏𝟖

𝒙𝟐+𝒙−𝟔

9. 𝒚 =𝒙𝟐−𝟗

𝒙+𝟑

Función Radical:

Se define como: 𝑓(𝑥) = √𝑃(𝑥)𝑛 con 𝑛 ∈ 𝑍+

Son funciones radicales las siguientes: 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 13

𝑓(𝑥) = √8 − 𝑥6

El dominio de esta función, quedará determinado por el valor que tome 𝑛; de aquí se derivan dos

casos:

1. Si 𝑛 es par, entonces, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero (𝑃(𝑥) ≥ 0 )

2. Si 𝑛 es impar, entonces, la cantidad subradical puede ser mayor, menor o igual a cero.

Entonces el 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = 𝐷𝑜𝑚 𝑃(𝑥)

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En este curso estudiaremos las funciones radicales donde 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 o 𝑃(𝑥) =

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0.

Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de primer grado:

𝒇(𝒙) = √𝒂𝒙 + 𝒃𝒏

Si 𝑛 es par, se resuelve la inecuación 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0, el intervalo que dé como solución de la

inecuación es el dominio de la función.

Ejemplos:

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 74

2. 𝑦 = √−4𝑥 + 2

3. 𝑓(𝑥) = √10 − 5𝑥6

Si 𝑛 es impar, entonces el 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = (−∞, +∞)

Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de segundo grado:

𝒇(𝒙) = √𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄𝒏

Si 𝑛 es par, se resuelve la inecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 0, la solución de la inecuación es el dominio

de la función.

Ejemplo:

Hallar el dominio de la siguiente función:

1. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 3𝑥 − 10

Solución

Se resuelve la inecuación 𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≥ 0

Debemos factorizar el polinomio 𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≥ 0. Para ello debemos hallar las soluciones de la

ecuación 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 .

10

Si 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 → (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = −5 𝑦 𝑥 = 2

Representamos ahora sobre la recta real los valores que hemos encontrado.

Estas soluciones definen los intervalos (−∞, −5) ; (−5,2) ; (2, +∞) como lo muestra la figura

siguiente:

−∞ -5 2 +∞

(−∞, −5) (−5,2) (2, +∞)

(𝑥 + 5)

(𝑥 − 2) (𝑥 + 5)(𝑥 − 2)

Ahora seleccionamos un número de prueba en cada intervalo, para determinar que signo tiene

cada factor en los mismos. Luego en la última fila se multiplica los signos de los factores en cada

intervalo.

−∞ (−𝟕) − 𝟓 (𝟏) 𝟐 (𝟒) + ∞

(−∞, −5) (−5,2) (2, +∞)

(𝑥 + 5) − + +

(𝑥 − 2) − − + (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) + − +

SOL 1 SOL 2

Como la inecuación que se está resolviendo es 𝑥2 + 3𝑥 − 10 ≥ 0 , entonces su solución son los

intervalos donde el producto de los factores (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) haya dado positivo, y se debe incluir

los números -2 y 5. Es decir; que se debe escribir la solución de la inecuación como:

Solución: (−∞, −5] ∪ [2, +∞)

Luego el dominio de la función es:

𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = (−∞, −5] ∪ [2, +∞)

En general, el procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas, donde 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,

tiene dos soluciones reales distintas 𝑥1 𝑦 𝑥2 es el siguiente:

Factorizamos el polinomio dado e igualamos a cero para encontrar las raíces reales.

Se construye una recta numérica y ubicamos sobre ella los valores reales obtenidos.

Se obtiene el signo de cada binomio en cada uno de los intervalos originados, asignando

valores arbitrarios comprendidos en el intervalo.

Se determina el signo del producto de dichos binomios en cada intervalo.

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La solución estará ubicada en los intervalos donde el signo del producto satisfaga la

inecuación; siendo la solución la unión de los intervalos.

Si 𝑛 es impar, entonces el 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = (−∞, +∞).

El rango se determinará observando la gráfica de la función.

Ejemplo:

Dada la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 5𝑥 + 6 , determine Dominio, rango, y representación gráfica.

𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≥ 0 𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = (−∞, 2] ∪ [3, +∞)

𝑅𝑔𝑜𝑓 = [0, +∞)

Ejercicios:

En cada caso determine:

Dominio, rango, y la representación gráfica de la función.

1. 𝒇(𝒙) = √𝟓𝒙 − 𝟑

2. 𝒇(𝒙) = √𝟑 − 𝒙

3. 𝒚 = √−𝒙 + 𝟔

4. 𝒚 = √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑

5. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟒

6. 𝒚 = √𝟒 + 𝟑𝒙 − 𝒙𝟐

7. 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟔𝟒

8. 𝒚 = √𝒙𝟐 − 𝟒

9. 𝒚 = √𝒙𝟐 − 𝟐𝟓

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Función Valor Absoluto:

Si 𝑥 es un número real, el valor absoluto de 𝑥, indicado por |𝑥| , se define como

|𝑥| = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Es claro que, |𝑥| ≥ 0; esto es, el valor absoluto de un número real siempre es no negativo.

Llamaremos a 𝑓(𝑥) = |𝑥| la función valor absoluto.

El dominio de 𝑓 es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los

reales no negativos. Es decir:

𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞) y 𝑅𝑔𝑜𝑓: [0, +∞)

La representación gráfica de 𝒚 = |𝒙| se aprecia en la siguiente figura.

Ejercicios:

En cada caso determine:

Dominio, rango, y la representación gráfica de la función.

1. 𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝟐|

2. 𝒇(𝒙) = |𝟑𝒙 + 𝟒|

3. 𝒚 = |𝟔 − 𝟑𝒙|

4. 𝒚 = −|𝟓𝒙|

5. 𝒇(𝒙) = −|𝟔 − 𝒙|

6. 𝒚 = −|𝟕𝒙 + 𝟐|

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7. 𝒇(𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟒|

8. 𝒚 = |𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖|

9. 𝒚 = |𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔|

Funciones Ramificadas:

Las funciones ramificadas, o también llamadas funciones definidas en intervalos o a trazos, son

aquellas en las cuales la obtención de las imágenes varía de acuerdo al intervalo del eje x que se

esté utilizando. Ellas se caracterizan porque contienen varias expresiones algebraicas. La expresión

analítica no es única, sino que depende del valor de la variable independiente.

Para determinar su dominio es preciso unir los diferentes subconjuntos para los cuales está

definida. El rango depende de las estructuras funcionales que conforman la función ramificada y

de los intervalos en que estén definidas cada una.

Ejemplo:

Sea la función definida así: 𝑓(𝑥) = {𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥 + 1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 5 −3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5

De acuerdo a la expresión dada notamos que la función posee tres tramos y entre los tres cubren

completamente el conjunto de los números reales. Esto indica que su dominio es el conjunto de

los números reales. Es decir; 𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞)

Esto se deduce de la siguiente manera:

𝑥 ≤ 0 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 ( −∞, 0] ; 0 < 𝑥 < 5 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 (0, 5) ; 𝑥 ≥ 5 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 [5 , +∞ )

Luego se unen todos estos intervalos para construir el dominio de la función:

𝐷𝑜𝑚𝑓: ( −∞, 0] ∪ (0, 5) ∪ [5 , +∞ ) = (−∞, +∞)

La representación gráfica se puede realizar, con ayuda de tablas de valores

La gráfica contiene una

semi-parábola entre

−∞ 𝑦 0. Luego tiene una

recta entre 0 y 5.

Finalmente una recta

entre 5 𝑦 + ∞.

𝑅𝑔𝑜𝑓: [0 , +∞ ) ∪ {−3}

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Ejercicios:

En cada caso determine:

Dominio, rango, y la representación gráfica de la función.

1. 𝒇(𝒙) = {𝟓𝒙 − 𝟑 𝒔𝒊 𝒙 < 2𝒙𝟐 − 𝟒 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟐

2. 𝒇(𝒙) = {𝒙𝟐 − 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 0𝟐 − 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 1

3. 𝒚 = {𝟓 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟑−𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 > 0

4. 𝒇(𝒙) = {√𝒙 − 𝟑 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟑𝒙𝟐 𝒔𝒊 𝒙 < 0

5. 𝒚 = {𝒙 + 𝟓 𝒔𝒊 𝒙 < −5

√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒔𝒊 − 𝟓 < 𝑥 ≤ 5𝒙 − 𝟓 𝒔𝒊 𝒙 > 5

6. 𝒚 = {𝒙 + 𝟐 𝒔𝒊 − 𝟑 < 𝑥 < 4

𝟓 𝒔𝒊 𝟒 < 𝑥 < 5𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟓

Funciones par e impar:

Las funciones par e impar son importantes por sus propiedades de simetría.

Definición de función par:

Una función 𝑓 se considera una función par si 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙) para cada 𝑥 de su dominio. En este

caso, la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) no cambia cuando se sustituye – 𝑥 por 𝑥. Por lo tanto, al graficar una

función par se tiene simetría con respecto al eje 𝑦. La simetría se debe a que para cada punto

(𝑥, 𝑦) que se encuentra en la gráfica de la función, el punto (−𝑥, 𝑦) también se encuentra en la

gráfica de la función.

Definición de función impar:

Una función 𝑓 se considera una función impar si 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙) para cada 𝑥 de su dominio. En

este caso, todos los signos de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) cambian cuando se sustituye – 𝑥 por 𝑥. Por lo

tanto, al graficar una función impar se tiene simetría con respecto al origen. La simetría se debe a

que para cada punto (𝑥, 𝑦) que se encuentra en la gráfica de la función, el punto (−𝑥, −𝑦)

también se encuentra en la gráfica de la función.

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Función Propiedad Simetría Ejemplo Gráfica

Par

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

Respecto al eje 𝑦

𝑓(𝑥) = 𝑥2

Impar

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Respecto al origen

𝑓(𝑥) = 𝑥3

Ejercicios:

En cada caso determine si la función es par, impar o ninguno de los casos anteriores.

1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏

2. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙

3. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏𝟐

4. 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝒙𝟐

5. 𝒇(𝒙) = |𝒙|

6. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙

Función Exponencial:

Definición de función exponencial

Se define de manera general como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , donde 𝑎 es una constante positiva distinta del

número 1 (𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1) y es la base de la función.

Las funciones exponenciales más utilizadas son:

a) 𝑦 = 10𝑥 , función exponencial con base 10.

b) 𝑦 = 𝑒𝑥 , función exponencial con base 𝑒, donde 𝑒 es una constante igual a 2,718281….

𝑦 = 10𝑥 𝑦 = 𝑒𝑥

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Notas importantes de la función exponencial de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

a) La gráfica de toda función exponencial pasa por el punto (0,1).

b) El dominio son todos los números reales, es decir, 𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞).

c) El rango son todos los reales positivos, es decir, 𝑅𝑔𝑜𝑓: (0, +∞).

Como una preparación para el estudio de funciones exponenciales, a continuación se resumen las

leyes y propiedades más importantes de los exponentes.

𝑆𝑖 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

a) 𝑎𝑥𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

b) (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥𝑦

c) (𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥𝑏𝑥

d) 𝑎0 = 1

e) 𝑎𝑥

𝑎𝑦 = 𝑎𝑥−𝑦

f) (𝑎

𝑏)

𝑥=

𝑎𝑥

𝑏𝑥

g) 𝑦 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦

Ejercicios:

En cada caso determine:

Dominio, rango, y la representación gráfica de la función.

1. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

2. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

3. 𝒇(𝒙) = (𝟏

𝟐)

𝒙

4. 𝒇(𝒙) = (𝟏

𝟑)

𝒙

5. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

6. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟏

Aplicaciones de la función exponencial:

Muchas situaciones de la vida real pueden ser descritas por medio de funciones

exponenciales, ya sea de crecimiento o de decrecimiento.

Una función de la forma:

𝑄(𝑡) = 𝑄0. 𝑎𝑘𝑡 , 𝑘 > 0 Representa un crecimiento exponencial, mientras que

𝑄(𝑡) = 𝑄0. 𝑎𝑘𝑡 , 𝑘 < 0 Representa un decrecimiento exponencial

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Donde, 𝑄0 es la cantidad inicial, 𝑎 es la base de la función exponencial, 𝑡 es el tiempo y 𝑘 es una

constante que determina si se trata de un crecimiento o un decrecimiento exponencial, según sea

éste positivo o negativo.

Ejemplos:

1. La población de un país crece a ritmo exponencial de acuerdo con la siguiente ecuación:

𝑄(𝑡) = 𝑄0. 𝑒0,012𝑡 millones

Si en el año 1980 la población era de 30 millones, ¿cuál será la población en el año 2000?

2. La cantidad de bacterias en un cultivo está dado por 𝑓(𝑡) = 3000. 𝑒0.04𝑡 donde 𝑡 está

dado en minutos:

a) ¿Con cuántas bacterias se inició el cultivo?

b) ¿Cuántas bacterias hay después de 10 minutos?

c) ¿Después de media hora?

d) Hacer la gráfica de 𝑓, desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 3

Función Logarítmica:

Definición de función logarítmica

Se define de manera general como: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 , donde 𝑎 es la base de la función y es una

constante positiva distinta de uno.

Las funciones logarítmicas más utilizadas son:

a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔10𝑥 , función logarítmica de base 10, (generalmente se escribe como: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥)

b) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 , función logarítmica natural (con base 𝑒).

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥

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Notas importantes de la función logarítmica 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

a) La gráfica de toda función logarítmica pasa por el punto (1,0).

b) El dominio son todos los números reales positivos, es decir, 𝐷𝑜𝑚𝑓: (0, +∞).

c) El rango son todos los números reales, es decir, 𝑅𝑔𝑜𝑓: (−∞, +∞).

Propiedades entre la función exponencial y la función logarítmica

𝑦 = 𝑎𝑥 , si y sólo si, 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑦

𝑦 = 𝑎𝑥 es la inversa de 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 , y viceversa.

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎𝑥 = 𝑥 , para toda 𝑥.

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 𝑥, 𝑥 > 0

La función exponencial es la inversa de la función logarítmica y viceversa.

Ejercicios:

En cada caso determine: dominio, rango, y la representación gráfica de la función.

1. 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

2. 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟑𝒙

3. 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈

(𝟏

𝟐) 𝒙

4. 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈

(𝟏

𝟑) 𝒙

5. 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏𝒙

6. 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏𝒙 + 𝟏

Leyes de los logaritmos

1. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦

2. 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥

𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦)

3. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥𝑦 = 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

4. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1

5. 𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0

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Algebra de Funciones:

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones de dominios 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 , respectivamente.

Entonces, las operaciones se definen de la siguiente manera:

1. (𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) , donde 𝐷(𝑓 ± 𝑔) = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

2. (𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) , donde 𝐷(𝑓 × 𝑔) = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

3. (𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) , donde 𝐷 (

𝑓

𝑔) = (𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔), excepto los valores del 𝐷𝑔 que

hagan que 𝑔(𝑥) = 0

Ejercicios:

Dadas las funciones 𝑓 𝑦 𝑔, encuentre en cada caso 𝑓 + 𝑔 ; 𝑓 − 𝑔 ; 𝑓 × 𝑔 ; 𝑓

𝑔 y determine su

respectivo dominio.

1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 ; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐

2. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 ; 𝒈(𝒙) = 𝟕𝒙

3. 𝒇(𝒙) = √𝟐 − 𝒙 ; 𝒈(𝒙) = √𝟐𝒙 + 𝟔

4. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 ; 𝒈(𝒙) = 𝟕𝒙 − 𝟗

5. 𝒇(𝒙) =𝒙+𝟏

𝒙 ; 𝒈(𝒙) =

𝟏−𝒙

𝒙−𝟏

6. 𝒇(𝒙) = √𝒙 ; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒

Función Compuesta:

Definición de composición de funciones

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones. La función composición, denotada por 𝑓𝑜𝑔, es la función definida por:

(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

El dominio de 𝑓𝑜𝑔 es el conjunto de todas las 𝑥 en el dominio de 𝑔, de tal manera que 𝑔(𝑥) esté

en el dominio de 𝑓, esto es,

𝐷: {𝑥/𝑥 ∈ 𝐷𝑔, 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑓}

Ejercicios:

Dadas las funciones 𝑓 𝑦 𝑔, encuentre en cada caso 𝑓𝑜𝑔 𝑦 𝑔𝑜𝑓 y determine su respectivo

dominio.

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1. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏

2. 𝒇(𝒙) = √𝒙; 𝒈(𝒙) =𝟓

𝒙

3. 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟏 ; 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟒

4. 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙 ; 𝒈(𝒙) =

𝒙+𝟐

𝒙−𝟐

5. 𝒇(𝒙) =𝟑

𝒙𝟐−𝟏; 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟏

6. 𝒇(𝒙) = √𝒙 ; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒