TEMA 12 – CÁLCULO DE PRIMITIVAS

12.1 - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(x): F(x) es una primitiva de f(x) si F’ (x) = f(x) Ejemplos: función: f(x) Primitiva: F(x) 2x x2 sen x - cos x ex ex 1/x Ln |x| Nota: Una función tiene infinitas primitivas Ejemplo: función: f(x) Primitiva: F(x) 2x x2 2x x2 + 1 2x x2 – 7 ..... ..... 2x x2 + C INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x) Llamamos integral indefinida o simplemente integral de f(x) al conjunto de todas sus primitivas y se denota:

∫ += C)x(Fdx)x(f t.q. F´(x) = f(x)

Ejemplos: [1] ∫ += C xdx x2 2

[2] ∫ += C x cos - dx x sen

[3] ∫ += C|x|Lndxx

1

OPERACIONES CON INTEGRALES (Se cumplen las mismas que en derivadas)

[1] ∫ ∫= dx)x(fkdx)x(f.k

[2] ( )∫ ∫ ∫±=± dx)x(gdx)x(fdx)x(gf

[3] ( ) [ ][ ]∫∫ ∫≠ dx)x(g.dx)x(fdx)x(g.f

[4] ∫∫∫≠

dx)x(g

dx)x(fdx)x(

g

f

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

NOTA: u y v representan expresiones que son funciones de x

INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplos Potenciales

Cxdx +=∫ Cxdxdx +== ∫∫ 555

Cnudxuu

nn +

+=

+

∫ 1 '

1

)1( −≠n Cxdxx +=∫ 4

43 ; Cxdxx +

+=+∫ 3

)13()13(33

2

Cudxu

u+=∫ 2

' Cxdxxx

++=+

∫ 112

3 3

3

2

Exponenciales y logarítmicas Cedxeu uu +=∫ ' Cedxex xx += ++∫ 333 44

4

Ca

adxauu

u +=∫ ln' Cdx

xx +=∫ 2ln

22·77

7

Cudxuu

+=∫ ln' Cxdxx

x++=

+∫ 1ln1

3 33

2

Trigonométricas Cudxuu +−=∫ cos sen ' Cxdxxx ++−=+∫ )5cos()5(sen 2 22

Cudxuu +=∫ sen cos' Cxdxxx +−=−∫ )1(sen)1cos(3 332

Cudxuu +−=∫ cosln tg' Cxxdxxxx ++−=++∫ )cos(ln)( tg)12( 22

Cudxuu +=∫ sen ln cotg' Cxdxxx +=∫ 22 sen ln cotg2

Cudxu

u+=∫ tg

cos'2 Cxdx

x+=∫ 3 tg

3cos32

Cudxuu +=∫ tg sec' 2 Cxxdxxx +++=+++∫ )1( tg 1)x(sec)13( 3322

Cudxuu +=+∫ tg) tg1(' 2 Cxdxx +=+∫ 2 tg)2 tg1(2 2

Cudxu

u+−=∫ cotg

sen'2 Cxdx

xx

+−=∫ 222 cotg

sen2

Cudxuu +−=∫ cotg cosec' 2 Cxxdxxx ++−=++∫ )( cotg x)(1)cosec4( 4423

Cudxuu +−=+∫ cotg)cotg1(' 2 Cxdxx +−=+∫ 3 cotg)3cotg1(3 2

Cudxu

u+=

−∫ arcsen

1'

2 Cx

xdx

+=−

∫ 2arcsen 41

22

Cudxu

u+=

+∫ arctg1

'2 Cedx

ee x

x

x

+=+∫ arctg

1 2

PROPIEDADES BÁSICAS

∫∫ = dxukdxku ∫∫∫ ±=± dxvdxudxvu )(

Integración por partes:

∫∫ −= duvuvdvu Cambio de variable:

∫∫ = dttfdxuuf )(')( , llamando t = u(x)

Ejemplos:

[1] dx 2 =∫ 2x + C

[2] dx x 3 =∫ C4

x 4

+

[3] dx x =∫ C2

x 2

+

[4] dx 2x 5 =∫ C3

xC

6

x.2

66

+=+

[5] C5

x2.x3Cx2

5

3C

3

5x

2C1

3

2x

2 dx x23 2

3 533/5

3

13

2

33 2 +=+=+=++

=+

∫

[6] dx x

43

=∫ 4 Cx

2C

2

x.4dxx

2

23 +−=+

−=

−−

∫

[7] dx 2senx3x x3 =+−∫ 3 C2Ln

2xcos

4

x x4

+++

[8] dx 5.e-3cosx x =∫ -3senx –5ex + C

[9] dx x1

x-12

2

=−∫ ∫ +=

−Carcsenxdx

x1

12

[10] dx 1x

32

=+∫ 3.arctag x + C

[11] dx 1x

x2

=+∫ C1xLn

2

1dx

1x

x2

2

1 22

++=+∫

[12] ( ) dx 3x5x5).cos-(2x 2 =+−∫ sen(x2 – 5x + 3) + C

[13] dx e 13x =∫+ Ce

3

1dxe.3

3

1 1x31x3 += ++∫

[14] dx x-1

x4

=∫ ( )∫ +=−

Carcsenx2

1dx

x1

x2

2

1 2

22

[15] dx tagx =∫ C|xcos|Lndxxcos

senx +−=∫

[16] dx 2x

3x2

=+∫ C|2x|Ln

2

3dx

2x

x2

2

3 22

++=+∫

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN [1] Inmediatas o método de sustitución (Cuando las dos funciones tienen relación, función y derivada) Cambio f(x) = t siendo f(x) la función.

Ejemplo: ∫ =xdxcos.xsen4

[ t = sen x ⇒ dt = cos x dx]

= C5

xsenC

5

tdtt

554 +=+=∫

[2] Integración por par tes: Cuando las dos funciones no tienen relación.

D(u.v) = du.v + u dv ⇒ udv = d(u.v) – vdu ⇒ ∫ ∫ ∫−= vdu)v.u(dudv ⇒

∫ ∫−= du.vv.uudv

Tenemos Necesitamos u -------Derivamos -----------du

dv -----Integramos ----------- v = ∫dv

¿Cuál tomamos como u?

a) arcos o logaritmos b) Polinomios c) Trigonométrica o exponenciales

Ejemplos:

[1] ∫ dxe.x x

===⇒=

=⇒=

∫ ∫xxx edxedv v dxedv

dx du xu

x.ex - ( )∫ +−=+−= Ce1xCee.xdxe xxxx

[2] ∫Lnxdx

===⇒=

=⇒=

∫ ∫ xdxdv v dxdv

dxx

1 du xlnu

lnx.x - ∫ dxx

1.x =x.lnx - ∫ =dx x.lnx – x + C = x.(lnx – 1) + C

[3] ∫ senxdx.ex

===⇒=

=⇒=

∫ ∫xxx edxedv v dxedv

cosxdx du senxu

senx.ex - ∫ xdxcos.ex

• ∫ xdxcos.ex

===⇒=

=⇒=

∫ ∫xxx edxedv v dxedv

senxdx- du xcosu

=cos x.ex + ∫ senxdxex

∫∫ ∫ ⇒−=⇒−−= )xcossenx(e senxdxe2 senxdxee.xcose.senxsenxdxe xxxxxx

C2

)xcossenx(esenxdxe

xx +−=∫

INTEGRALES CON RAÍCES

Transformar en sumas

Potencias

Raíces y arcos ∫ += C)x(fdx)x(f2

)x('f ∫ +=

−C)x(arcsenfdx

)x(f1

)x('f2

Sustitución: Lo de dentro de la raíz = tmcm de los índices de las raices.

∫ − dxxba 222

⇒ asentbx =

[1]

dxx

x32 2

∫+

= ∫ ∫+−

dxx3dxx2 2

3

2

1

=

Cx5

x6x4Cx

5

6x4C

2

5x

.3

2

1x

.22

52

5

2

1

++=++=++

[2] C2x3dx2x2

x23dx

2x

x3 2

22++=

+=

+ ∫∫

[3] ( ) ( )∫ ∫ ∫ +=

−=

−=

−Carcsenx

2

1dx

x1

x2

2

1dx

x1

xdx

x1

x 2

22224

[4] ∫ + x)x1(

dx

[x = t2 ⇒ dx = 2t dt]

∫ ∫ +=+=+

=+

Cx 2.arctag C t arctag2dtt1

12

t)t1(

tdt222

[5] ∫ − dxx4 2

[x = 2sent ⇒ dx = 2costdt]

∫ ∫∫ =−=− dttcos4dt.tcos2)tsen1(4tdtcos2.tsen44 222 (Integral trigonométrica)

[6] ∫ dxx-9

22

Modo 1: Ver que es un arcoseno. Dividir numerador y denominador por 3:

C+3/arcsenx2=dx(x/3)-1

3/12=dx

(x/3)-1

3/2=dx

9/)x-9(

3/2=dx

3/x-9

3/2 ∫∫∫∫ 2222

Modo 2: [x = 3sent ⇒ dx = 3costdt]

∫ ∫∫∫∫∫ C+t2=dt2=dttcos3

tcos6=dt

tcos9

tcos6=dt

)tsen-1(9

tcos6=tdtcos3

(3sent)-9

2=dx

x-9

22222

[x = 3sent ⇒ sent = x/3 ⇒ t = arcsen x/3 ] Sol: 2arcsen x/3 + C

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

∫ dx.xcos.xsen mn

m impar ⇒ Cambio sen x = t

n impar ⇒ Cambio cos x = t

m y n pares ⇒ Cambio tag x = t

[1 + tag2 x = xcos

12 ⇒ cos2 x = 2t1

1

+

sen2 x = 1 – cos2 x = 1 - 2t1

1

+ = 2

2

t1

t

+

(1 + tag2 x) dx = dt ⇒ dx = 2t1

dt

+ ]

Nota: Casos particulares: ∫ ∫ xdxcos ó xdxsen 22

Recordar las fórmulas trigonométricas

sen2 x = 2

x2cos1− cos2 x = 2

x2cos1+

[1]

∫ ∫ ∫ ∫∫ =−=−=−= xdx2cos22

1

2

1x

2

1xdx2cos

2

1dx

2

1dx

2

x2cos1xdxsen2

Cx2sen4

1x

2

1 +−

[2] ∫ =xdxsen.xcos 34

[cos x = t ⇒ -sen x dx = dt ⇒ dx = senx

dt

− ]

∫ ∫ ∫∫ =−−=−=−

= dx)xcos1(tdx.xsen.tsenx

dt.xsen.xcosxdxsen.xcos 24243434

∫ ∫ ++−=++−=+−=−− C7

xcos

5

xcosC

7

t

5

tdtttdt)t1(t

75756424

[3] ∫ =xdxcos5

[senx = t ⇒ cos x..dx = dt ⇒ dx = xcos

dt]

∫ xdxcos5 = ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =−=−=== dt)t1(dxxsen1dx)x(cosxdxcosxcos

dt.xcos 22222245

∫ C+5

xsen+

3

xsen.2senx=C+

5

t+

3

t2t=dt)t+t21(

535342

[4] ∫ xdxcos.xsen 22

[ tag x = t ⇒ cos2 x = 2t1

1

+ , sen2 x = 2

2

t1

t

+ , dx = 2t1

dt

+ ]

∫∫ +=

+++dt

)t1(

t

t1

dt.

t1

1.

t1

t32

2

222

2

(Integral racional)

INTEGRALES RACIONALES ∫ dx)x(Q

)x(P

Caso I : Grado de P(x) ≥≥≥≥ Grado Q(x) ⇒ Hacer la división ⇒ ∫ + dx)x(Q

)x(R)x(C

Y grado de R(x) < grado Q(x) Caso I I : Grado de P(x) < Grado Q(x) ⇒ Factorizar el denominador: Q(x) Caso II.1 : Todas las raíces de Q(x) son reales y simples: Q(x) = (x-a).(x-b).(x-c)

∫∫

−+

−+

−= dx

cx

C

bx

B

ax

Adx

)x(Q

)x(P

Los números A, B y C se hallan reduciendo a común denominador e igualando los numeradores. Modo 1: Igualando los coeficientes del mismo grado. Modo 2: Dando valores a la “x” (a,b,c) y resolviendo el sistema. Solución: Logaritmos Caso II.2 : Todas las raíces de Q(x) son reales, pero alguna no simple:Q(x)=(x-a).(x-b)3

( )∫∫

−+

−+

−+

−= dx

)bx(

D

bx

C

bx

B

ax

Adx

)x(Q

)x(P32

Los números A, B y C se hallan reduciendo a común denominador e igualando los numeradores. Modo 1: Igualando los coeficientes del mismo grado. Modo 2: Dando valores a la “x” (a,b,cualquier otro) y resolviendo el sistema. Solución: Logaritmos y Potencias Caso II.3 : Alguna raíz de Q(x) no real: Q(x) = (x-a).(x2+1)

∫∫

+++

−= dx

1x

CBx

ax

Adx

)x(Q

)x(P2

(En el numerador un polinomio de un grado menos

que en el denominador) Los números A, B y C se hallan reduciendo a común denominador e igualando los numeradores. Modo 1: Igualando los coeficientes del mismo grado. Modo 2: Dando valores a la “x” (a, cualquier otro) y resolviendo el sistema. Solución: Logaritmos y arcotangentes. Ejemplos:

Ejercicios resueltos de integrales de tipo arcotangente.

Ejemplos

Denominador con raíces imaginarias

[1]

∫ ∫∫ =−

+−=−

+−=−

+−dx

3x2

2

2

1.

4

1x

4

5

2

x

2

3dx

3x24

1

4

5x

2

3dx

3x2

4x7x3 22

C|3x2|ln8

1x

4

5

4

x3 2

+−+−

[2] ∫ ∫ −−+−+=

−−+−+

6x7x

13x3x41dx

6x7x

7x10x4x3

2

3

23

dx = x + ∫ −−+−

dx6x7x

13x3x43

2

Factorizamos el denominador: x3 – 7x – 6 = (x+1).(x-3).(x+2)

2x

C

3x

B

1x

A

6x7x

13x3x43

2

++

−+

+=

−−+−

=

6x7x

)3x).(1x(C)2x).(1x(B)2x).(3x(A3 −−

−++++++−

4x2 – 3x + 13 = )3x).(1x(C)2x).(1x(B)2x).(3x(A −++++++− Modo 1: igualando coeficientes 4x2 – 3x + 13 = A(x2 – x –6) + B(x2 + 3x + 2) + C(x2 – 2x –3) 4 = A + B + C -3 = -A + 3B –2C ⇒ Resolviendo el sistema (Gauss) ⇒ A = ; B = ; C = 13 = -6A + 2B –3C Modo 2: dado valores a “x” 4x2 – 3x + 13 = )3x).(1x(C)2x).(1x(B)2x).(3x(A −++++++− x = 3 ⇒ 36 – 9 + 13 = B.4.5 ⇒ B = 40/20 = 2 x = -2 ⇒ 16 + 6 + 13 = C.(-1).(-5) ⇒ C = 35/5 = 7 x = -1 ⇒ 4 + 3 + 13 = A(-4).1 ⇒ A = 20/-4 = -5

x + ∫ −−+−

dx6x7x

13x3x43

2

= x +

∫ +++−++−=+

+−

++

−C|2x|Ln.7 |3x|Ln.2 |1x|Ln5xdx

2x

7

3x

2

1x

5

[3] ∫ −+−+−+−−

dxxx2x2x

2x5xx5x7x62356

2345

Q(x) = x2.(x-1)3.(x+1)

= ∫ ++

−+

−+

−++ dx

1x

F

)1x(

E

)1x(

D

1x

C

x

B

x

A322

Operando obtenemos : A = 1, B = -2, C = 5, D = 2, E = -4, F = 0

∫ −−

−+

−+− dx

)1x(

4

)1x(

2

1x

5

x

2

x

1322

=

∫ ∫ ∫∫∫ =−−−+−

+− −−− dx)1x(4dx)1x(2dx1x

15dxx2dx

x

1 322

= Ln |x| – 2 =+−−−

−−+−+

−

−−−

C2

)1x(4

1

)1x(.2|1x|ln5

1

x 211

= Ln|x| ( )

C1x

2

1x

2|1x|ln.5

x

22

+−

+−

−−++

[4] ∫ ∫∫ +++=+

++

=++

Carctagx3|1x|Lndx1x

3dx

1x

x2dx

1x

3x2 2222

[5] ∫ ∫ ∫ ∫ +++

+++=

++++=

+++

dx1xx

12dx

1xx

1x2dx

1xx

21x2dx

1xx

3x22222

= Ln|x2 + x + 1| +

2. ∫ ∫

+

++++=

+

+dx

4

34

3

4

32

1x

1

4

31

.2|1xx|Lndx

4

3

2

1x

12

22

=Ln|x2 + x + 1| +

∫ ∫ =

+

++++=

+

+dx

13

1x2

3

2

2

3

3

8|1xx|Lndx

13

1x2

1

3

82

22

Ln|x2 + x + 1| + C3

1x2arctag

3

34 +

+

[6] ∫ ∫ ∫ ∫ =++−−+=

++−=

++

−=

++−

dx1xx

3/211x2

2

3dx

1xx

3/2x2

2

3dx

1xx

)1x3(3

2

2

3dx

1xx

1x32222

∫ ∫ ++−

+++

dx1xx

1

3

5.

2

3dx

1xx

1x2

2

322

= ∫ ++−++ dx

1xx

1

2

51xxLn

2

32

2 =

C3

1x2arctag

3

32

2

51xxLn

2

3 2 +

+−++ = C3

1x2arctag

3

351xxLn

2

3 2 +

+−++

LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

13.1 – INTEGRAL DEFINIDA APROXIMACIÓN DEL AREA BAJO UNA CURVA Suma inferior (mi = mínimo) Suma superior (Mi = máximo)

M)xx(M)xx(S A m)xx(m)xx(s 212101212101 −+−=≤≤−+−= Si aumentamos el número de trozos, la diferencia será cada vez menor.

∑∑=

−=

− −=≤≤−=n

1i1iii

n

1i1iii )xx.(M S A )xx.(ms

Si el número de trozos es infinito: La suma inferior = A = suma superior (mi=M i=f(xi))

A = ∫∑ =−∞

=−

b

a1i

1iii dx)x(f)xx)(x(f

Por tanto la integral definida entre los puntos x = a x = b nos da el área de la región limitada entre la curva en el eje de abscisas entre los puntos a y b.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

[1] ∫ =a

a0dx)x(f

[2] ∫ ∫a

b

b

a dx)x(f- =dx)x(f

[3] Signo de la integral:

• Si f(x) > 0 y continua en [a,b], entonces ∫b

adx)x(f > 0

• Si f(x) < 0 y continua en [a,b], entonces ∫b

adx)x(f < 0

[4] Si a < b < c y f es continua en [a,b] ⇒ ∫b

a dx)x(f = ∫

c

a dx)x(f + ∫

b

cdx)x(f

[5] Si f(x) ≤ g(x) en cada x ∈ [a,b] ⇒ ∫b

adx)x(f ≤ ∫

b

adx)x(g

OPERACIONES CON INTEGRALES DEFINIDAS

[1] Suma o resta: ∫ ±b

adx)x)(gf( = ∫

b

adx)x(f ± ∫

b

adx)x(g

[2] Multiplicación por un escalar: ∫b

adx)x(kf = k. ∫

b

adx)x(f

TEOREMAS DE INTEGRACIÓN [1] Teorema del valor medio del cálculo integral.

Sea f una función continua en [a,b] ⇒ ∃ c ∈ [a,b] tal que: ∫b

adx)x(f = f(c).(b-a)

[2] Teorema fundamental del cálculo

Si f es una función continua en [a,b] ⇒ La función F(x) = ∫x

adx)x(f , x ∈ [a,b] es

derivable, y se verifica que F´(x) = f(x) [3] Regla de Bar row Si f(x) es continua en [a,b] y F(x) es una primitiva suya, entonces:

∫b

adx)x(f = )a(F-)b(F=

a

b)x(F ∋ F ´(x) = f(x)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA [1] Cálculo del área encerrada entre una curva y el eje OX entre x = a y x = b

• Si f(x) ≥ 0 , x ∈ [a,b]

A = ∫b

adx)x(f

• Si f(x) < 0 , x ∈ [a,b]

A = - ∫b

adx)x(f

• Si f(x) cambia de signo en [a,b]

x ∈ [a,c] f(x) ≥ 0 x ∈ [c,b] f(x) < 0

A = ∫∫ −b

c

c

adx)x(fdx)x(f

• Cálculo:

o Hallar los puntos de corte de la función con el eje OX ( y = 0) o Hallar una tabla de valores entre los puntos de corte o Representar la función (extremos relativos, puntos de inflexión) o Hallar la integral, teniendo en cuenta cuando la función está por encima

del eje y cuando por debajo.

[2] Cálculo del área encerrada entre var ias curvas

= -

A = [ ]dx )x(g)x(fb

a∫ −

Es decir, la integral definida entre la resta de la función que esta por encima menos la que está por debajo entre los puntos de corte de ambas.

• Cálculo:

o Puntos de corte entre las dos funciones. Resolver el sistema

==

)x(gy

)x(fy

o Hallar una tabla de valores entre los puntos de corte o Representar cada función (extremos relativos, puntos de inflexión) o Hallar la integral, cual es la función que está por encima y cuál es la que

está por debajo.

[3] Volumen de un cuerpo de revolución Un trozo de curva y = f(x), x ∈ [a,b], se hace girar alrededor del eje X engendrando un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos calcular. La rodaja señalada en la figura tiene por volumen:

Π f(ci)2 (xi – xi-1)

El volumen de este cuerpo es, aproximadamente

∑=

n

1i

Π f(ci)2 (xi – xi-1)

Pasando al límite obtenemos el valor exacto mediante una integral:

V = ∫ ∫π=πb

a

b

a

22 dx)x(fdx)x(f

CÁLCULO DE INTEGRALES EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales:

dx3x2senxa) dxe12xb) x2 dxx6xcos·3xc) 2 23 xx

dxd)

dx2xx2e) 2 dxxsen1x3f) dx

e3

e3g)x2

x2

dx3x2x

2h) 2

dxx

x3xi)3

2 dxxln3x2j) dxx32k)

22 dxx

)lnx(cosl)

3 2x5

dxm) dx

3e

en)x2

x2 dx1xxñ) 2 dx

x2sen

x2cos)o

3

dxx

xx2p)2

dxxlnxxq)

dx

1x45

x1

3r)2

dxxcos

es)2

tgx

t)

dxx1

x1 u) 1xxdx v)

dx

1e

ex

x2 w)

2

2

x1

dxx

dxe1xx) x2 dxcosx1xy) z) dxx1x 2 dxsenxx321)

dxarctgx·x32) 2 dxx3xcos3) dxlnx1x4) dxe1xx5) x2

dxlnxx6) 2 7) 34x6xdx

2 8) xx2xdx

23 9) dx

6x5x9x5x

2

2

10) dx

x4x5x1x20x25x5

23

23 11)

dxx4x1x

3

3 12)

dxx2xx6x2x

23

4

13) 5x2xdx

2 14) 2x2xdxx

2 15) 17x2xdxx2

2 16)

dx5x

6xx2

2

LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales

∫− −3

3

2 dxx9 ∫−

−+

1

1

2 dxx11

DERIVAR INTEGRALES

EJERCICIO 2 : Dada la función: ( ) ( )∫ +=x

0

2 dttcos1xF Calcula F' (x).

EJERCICIO 3 : Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:

( ) ( )∫ −=x

1dt2tlnxF

EJERCICIO 4 : ( ) ( ) ( )∫ −=x

0

3 dt1ttgxF que sabiendo x'F Halla

EJERCICIO 5 : ( ) ∫= esta de extremos puntos posibles losObtén .dttsenxFfunción la Dada 2 función en [0, 2π].

EJERCICIO 6 : ( ) ( )∫ +=x

1

2 dt·logttsenx'F Calcula

CÁLCULO DE ÁREAS EJERCICIO 7 : Halla el área limitada por la recta x = y + 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental. EJERCICIO 8 : Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el

área abscisas. de eje ely 7x,2x,12

xy rectas laspor limitada ==+=

EJERCICIO 9 : Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = - 2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.

EJERCICIO 10 : Halla el área limitada por la parábola y = x2 - 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.

EJERCICIO 11 : Halla el área limitada por la curva y = x3 - 6x2 + 8x y el eje de abscisas.

EJERCICIO 12 : .2= y x1= xlas rectas , x2= yla funciónitado por limo intrec área del Calcula el ; y

el eje OX EJERCICIO 13 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x - 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas. EJERCICIO 14 : Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.

EJERCICIO 15 : Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x + 2|.

EJERCICIO 16 : Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6.

EJERCICIO 17 : Halla el área limitada por las parábolas y = 6x + x2, y = - x2 + 2x.

EJERCICIO 18 : Calcula el área limitada por la parábola y = x2 - 4x y la recta y = 3x - 6.

EJERCICIO 19 : Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo. EJERCICIO 20 : Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio rectangular. EJERCICIO 21 : Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral. EJERCICIO 22 : Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio rectangular de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm. EJERCICIO 23 : Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5

m es 7,5 m2.

EJERCICIO 24 : 1= xentre y,= xrecta lay x

1=y curva lapor limitado recinto del área el Calcula ,x = 4. y OX

EJERCICIO 25 : y 1 xrectas lasy 0,y recta la ,x

3y curva lapor limitado recinto del área el Halla === x = e2.

EJERCICIO 26 : Halla el área del recinto limitado por las curvas y = 2x3 − x2 + x e y = x3 + 3x2 + x.

EJERCICIO 27 : ely 1,y x 1 xrectas las ,1x

2xy curva lapor limitado recinto del área elObtén

2=−=

+= eje de

abscisas.

EJERCICIO 28 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = x (x + 1)2, las recta x = −1 y x = 1, y el eje de abscisas.

CÁLCULO DE VOLÚMENES

EJERCICIO 29 : Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x=1, x=2.

EJERCICIO 30 : Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.

EJERCICIO 31 : delalrededor girar al 1y4

x elipse lapor engendrado cuerpo del volumen el Halla 2

2

=+ eje X.

EJERCICIO 32 : X. eje delalrededor girar al 14

y

9

x elipse lapor engendrado volumen el Calcula

22

=+

EJERCICIO 33 : Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x=0, x=5, y = 0, x + 5y - 10 = 0 al girar alrededor del eje X. EJERCICIO 34 : Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm. EJERCICIO 35 : Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m. EJERCICIO 36 : Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm. EJERCICIO 37 : Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm. EJERCICIO 38 : Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.

CÁLCULO DE INTEGRALES EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales:

dx3x2senxa) dxe12xb) x2 dxx6xcos·3xc) 2 23 xx

dxd)

dx2xx2e) 2 dxxsen1x3f) dx

e3

e3g)x2

x2

dx3x2x

2h) 2

dxx

x3xi)3

2 dxxln3x2j) dxx32k)

22 dxx

)lnx(cosl)

3 2x5

dxm) dx

3e

en)x2

x2 dx1xxñ) 2 dx

x2sen

x2cos)o

3

dxx

xx2p)2

dxxlnxxq)

dx

1x45

x1

3r)2

dxxcos

es)2

tgx

t)

dxx1

x1 u) 1xxdx v)

dx

1e

ex

x2 w)

2

2

x1

dxx

dxe1xx) x2 dxcosx1xy) z) dxx1x 2 dxsenxx321)

dxarctgx·x32) 2 dxx3xcos3) dxlnx1x4) dxe1xx5) x2

dxlnxx6) 2 7) 34x6xdx

2 8) xx2xdx

23 9) dx

6x5x9x5x

2

2

10) dx

x4x5x1x20x25x5

23

23 11)

dxx4x1x

3

3 12)

dxx2xx6x2x

23

4

13) 5x2xdx

2 14) 2x2xdxx

2 15) 17x2xdxx2

2 16)

dx5x

6xx2

2

LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS EJERCICIO 1 : Halla las siguientes integrales

∫− −3

3

2 dxx9 ∫−

−+

1

1

2 dxx11

DERIVAR INTEGRALES

EJERCICIO 2 : Dada la función: ( ) ( )∫ +=x

0

2 dttcos1xF Calcula F' (x).

EJERCICIO 3 : Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:

( ) ( )∫ −=x

1dt2tlnxF

EJERCICIO 4 : ( ) ( ) ( )∫ −=x

0

3 dt1ttgxF que sabiendo x'F Halla

EJERCICIO 5 : ( ) ∫= esta de extremos puntos posibles losObtén .dttsenxFfunción la Dada 2 función en [0, 2π].

EJERCICIO 6 : ( ) ( )∫ +=x

1

2 dt·logttsenx'F Calcula

CÁLCULO DE ÁREAS EJERCICIO 7 : Halla el área limitada por la recta x = y + 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental. EJERCICIO 8 : Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el

área abscisas. de eje ely 7x,2x,12

xy rectas laspor limitada ==+=

EJERCICIO 9 : Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = - 2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.

EJERCICIO 10 : Halla el área limitada por la parábola y = x2 - 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.

EJERCICIO 11 : Halla el área limitada por la curva y = x3 - 6x2 + 8x y el eje de abscisas.

EJERCICIO 12 : .2= y x1= xlas rectas , x2= yla funciónitado por limo intrec área del Calcula el ; y

el eje OX EJERCICIO 13 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x - 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas. EJERCICIO 14 : Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.

EJERCICIO 15 : Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x + 2|.

EJERCICIO 16 : Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6.

EJERCICIO 17 : Halla el área limitada por las parábolas y = 6x + x2, y = - x2 + 2x.

EJERCICIO 18 : Calcula el área limitada por la parábola y = x2 - 4x y la recta y = 3x - 6.

EJERCICIO 19 : Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo. EJERCICIO 20 : Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio rectangular. EJERCICIO 21 : Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral. EJERCICIO 22 : Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio rectangular de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm. EJERCICIO 23 : Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5

m es 7,5 m2.

EJERCICIO 24 : 1= xentre y,= xrecta lay x

1=y curva lapor limitado recinto del área el Calcula ,x = 4. y OX

EJERCICIO 25 : y 1 xrectas lasy 0,y recta la ,x

3y curva lapor limitado recinto del área el Halla === x = e2.

EJERCICIO 26 : Halla el área del recinto limitado por las curvas y = 2x3 − x2 + x e y = x3 + 3x2 + x.

EJERCICIO 27 : ely 1,y x 1 xrectas las ,1x

2xy curva lapor limitado recinto del área elObtén

2=−=

+= eje de

abscisas.

EJERCICIO 28 : Halla el área del recinto limitado por la curva y = x (x + 1)2, las recta x = −1 y x = 1, y el eje de abscisas.

CÁLCULO DE VOLÚMENES

EJERCICIO 29 : Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x=1, x=2.

EJERCICIO 30 : Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.

EJERCICIO 31 : delalrededor girar al 1y4

x elipse lapor engendrado cuerpo del volumen el Halla 2

2

=+ eje X.

EJERCICIO 32 : X. eje delalrededor girar al 14

y

9

x elipse lapor engendrado volumen el Calcula

22

=+

EJERCICIO 33 : Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x=0, x=5, y = 0, x + 5y - 10 = 0 al girar alrededor del eje X. EJERCICIO 34 : Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm. EJERCICIO 35 : Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m. EJERCICIO 36 : Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm. EJERCICIO 37 : Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm. EJERCICIO 38 : Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.