1

LOGARITMOS

2

Recordemos el concepto de potencia

n

a

a a

a a a

a a a a a a a n

0

1

2

1

veces

M

K

n m n ma a a mn n ma a

n n na b a b n n

n

a a

b b

Sus propiedades:

nn m

m

aa

a

nn

aa

1

3

Realizar las operaciones y contestar las preguntas:

1642¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 2 para que el resultado fuera 16?4

37¿A qué potencia tuvimos que elevar el

número 7 para que el resultado fuera 343?

3

25¿A qué potencia tuvimos que elevar al número 5 para que el resultado fuera 1/25?-2

03 1

251

343

¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 3 para que el resultado fuera 1?0

4

Ahora el exponente va a ser una incógnita. Encontrar su valor teniendo en cuenta la misma pregunta.

648 x ¿ A qué potencia tuvimos que elevar el número 8 para que el resultado fuera 64 ?

251

5 x ¿ A qué potencia tuvimos que elevar el número 5 para que el resultado fuera 1/25 ?

2166 x ¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 6 para que el resultado fuera 216 ?

55 x ¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 5 para que el resultado fuera 5 ?

14 x ¿A qué potencia tuvimos que elevar el número 4 para que el resultado fuera 1 ?

x=2

x=-2

x=3

x=1

x=0

5

OPERACIÓN LOGARITMO

5 5x si 1x 5log 5 x 1x 5log 5 1

1

864

x

si

2x 81

log64

x 2x 81

log 264

2 16x

si

si

4x 2log 16 x

si

4x 2log 16 4

3log 1 00x3log 1 x0x3 1x

9 3x 12

x 9log 3 x 12

x 91

log 32

6

OPERACIÓN LOGARITMO

Generalizando la equivalencia:

5 125x 5log 125 x

na ba b nlog

a 1 a 0! OJO ! OJO ¡¡

7

2log 32

101

log100

1

10100

x Descomponiendo y con

propiedades de potencias

1

10100

x

x 2 32x Descomponiendo

32 25

-2

8log 2 x 8 2x 3 12 2

x

3log 1 x 3 1x Propiedad de

potencias1 3

0

52 2x 5x

210 10x 2x

3x 1 x 13

03 3x 0x

5

8

Logaritmo base 10

La notación científica expresa números en potencias de 10, de ahí, se toma que los

logaritmos en base 10 se llaman logaritmos comunes.

El símbolo log x , se usa como una abreviatura de log10 x siempre que x>0

log1=

log 10=

1log =

100

0

1

2

log

log

log

x

x

=

=

- =

10

10

100

x

No está definido

x

9

Definición de eEn administración, se utiliza la fórmula del interés

compuesto para determinar en un número de n periodos por año la cantidad acumulada de capital

n

nCA

11

Donde A es la cantidad acumulada de un capital

C en n periodos de rendimiento.

Si se evalúa la expresión:n

n

11

n (1+1/n)n

1 2,0

10 2,59374

1000 2,71692

100000 2,71826

n

e ,n

n

11 2 7182

Tenemos que e es un número irracional tal que: 2< e < 3

10

Logaritmo en base e

Por ser entonces e, una base importante en la administración se define loge x = ln x

Los logaritmos base e, se llaman logaritmos naturales y se expresan como

ln x

e ex si x = 1 ln e = x 1x lne = 1

e e 2x si x = 2 ln 2e = x 2x ln 2e = 2

ee

3

1x si x = -3 ln3

1= x

e 3x

ln3

1= -3

e

11

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

a log 1 0log31 x 3 1x a 0 103 1 0x

14

log14

x 1 14 4

x

11 14 4

a a11x

log33y x x y=3 3 x=y log xa a = x

a a log 1

y 5log5 x log log5 5x = y x=y loga xa = x

log =-5 5 x 5 5xx = ?

El log a x, si x≤0 no está definido.

12

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Multiplicación.

log A Ba log A log Ba a

Alog log A log B

Ba a a

log B na

División:

Potencia:

log Ban

En logaritmos comunes

loglog

loga

bb =

a

lnlog

lna

bb =

a

En logaritmos naturales

Cambio de base:

loglog

logu

au

bb =

a

13

Encontrar el valor de las siguientes expresiones:

a.) log 2 + log 5=

log(2·5) =log10 =1

b.)

3·log10 –log(1/10)

= log 103 – log10-1

= log (103/ 10-

1)= log(104)

=4

3c.) log 8

log8 0 90311 8928

log3 0 4771,

,,

ln8 2 07941 8928

ln3 1 0986,

,,

1 89283 8,