1 antiderivada
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7/24/2019 1 ANTIDERIVADA
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UNIVERSIDAD DEL ATLNTICOFACULTAD DE INGENIERIA
PROGRAMA DE INGENIERIA MECANICAAsignatura: Clcul II !""#$%&
Mg' Er(in Maur) Mancilla'UNIDAD N' #: INTEGRAL INDEFINIDA
#'# Intr*ucci+n'
La integracin tiene dos interpretaciones distintas: la primera como procedimiento inverso de la
diferenciacin, esto es, si una funcin se deriva y luego se integra la funcin obtenida, el
resultado es la funcin original, siempre y cuando se especifique en alguna forma la constante de
integracin; de otra manera el resultado puede diferir de la funcin original en una constante.
La segunda interpretacin, como mtodo para determinar el rea bajo una lnea. n efecto, el
clculo integral fue desarrollado primordialmente con el propsito de evaluar reas,
suponindolas divididas en un n!mero infinito de partes infinitesimalmente peque"as, cuya suma
da el rea requerida. l signo integral proviene de la forma de una # alargada, que se emple
originalmente para indicar tal suma.
#'" Anti*,ri-a*a'
n el $lculo %iferencial se estudiaron problemas enunciados en la forma: dada una funcin g,
determinar la derivada g. &'ora se considera el problema inverso, es decir, dada una derivada
g, determinar la funcin g. (na manera equivalente de enunciar el problema inverso es:
Dada una funcin f, encontrar una funcin F, tal que F = f
)or ejemplo: sif*x+ -x. n este caso se debe 'allar una funcinFtal queF*x+ f*x+.
#e sabe que al derivar una potencia de x se reduce en uno el e/ponente, por lo tanto, para obtener
F'ay que aumentar en uno el e/ponente dado. &s,F*x+ ax0para alg!n n!mero a.%erivando
se obtiene F*x+ 0axy para que sea igual af*x+, a debe ser igual a . ntonces, la funcinF
definida porF*x+ x0tiene la propiedad de queF = f
DEFINICIN:
jemplo: 1alle la antiderivada de x.
(na funcinF es una antiderivada de otrafuncinfsiF f
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$omo la derivada dexes x, entonces 2*x+ xes la antiderivada de x. #in embargo, no es la
!nica antiderivada de x, ya que:
d
dx(x2+3 )=2x y d
dx(x24 )=2x
3anto x24 0 comox5 6 tambin son antiderivadas de x. %e 'ec'o, como la derivada de una
constante es cero, x24 C es tambin antiderivada de xpara cualquier constante C. &s que x
tiene un n!mero infinito de &ntiderivadas. Lo ms importante es que todaslas antiderivadas de
xdeben ser funciones de la forma, x24 C, debido al siguiente 'ec'o:
#'$ Int,graci+n in*,.ini*a'
n el ejemplo anterior comox24 Cdescribe todas las antiderivadas de x, podemos referirnos a
ella como la antiderivada ms general de x, denotada por 2xdx , que se lee integral
indefinida de xcon respecto ax7. &s, escribimos:
2xdx=x2+C
l smbolo smbolo de integracin, xes el integrandoy Ces la constante de integracin.La dxes parte de la notacin integral e indica la varibale implicada. &qu, xes la varibale de
integracin.
n forma ms general, la integral indefinida de cualquier funcin con respecto axse escribe:
f(x ) dx y denota la antiderivda ms general def. $omo todas las antiderivadas defdifierenslo en una constante, siFes caulquier antiderivada def, entonces:
f(x ) dx=f(x )+C ,dondeC esuna cosntante .
Integrar fsignifica encontrar f(x ) dx . n resumen:
%os antiderivadas cualesquiera de una
funcin difieren slo en una constante
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#'/ Pr0i,*a*,s *, la int,gral'
1. dx=x+C
2. kf(x)dx=k f(x )dx , k una constante
3.xn dx=xn+1
n+1+C , n 1
4.[ f(x ) g (x )]dx= f(x)dx g(x)dx
jemplo 0: 'allar la integral de las siguientes funciones definidas por las frmulas:
a .x10 dx
#olucin:
x10dx= x10+1
10+1+C=
x11
11
+C
b .5x4 dx
#olucin:
5x4 dx=5x4 dx=5(x4+1
4+1 )+C=5(x5
5)+C=x5+C
c .(4x2+6x3)dx
#olucin:
f(x ) dx=F(x )+c si y slo si F' (x )=f(x )
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x3
dx=4 (x2+1
2+1 )+C1+6( x3+1
3+1 )+C2=4(x3
3)+C1+6 (x4
4)+C2=43 x3+ 32 x4+C1+C2=43 x3+32 x4+C,conC6x
3dx=4x2dx+6
(4x2+6x3)dx=4x2 dx+
89$$#
1alle la antiderivada.
1.
3x
4dx 2.
2x
7dx 3.
1
x3dx 4.
3
x5dx 5.
2
3
zdz
ncuentre las integrales indefinidas de las funciones definidas por las frmulas:
1.5dx 2.x8 dx3.2x25 dx 4.5x7 dx5.z3
3dz
6.
2
x10dx7.
1
y11/3 dy8.
(8
+u ) du9.
(y5
5
y ) dy10.
(3
t
2
4
t+5
) dt
11.2x3
dx12. 14
8
x2dx 13.(x
3
33
x3 )dx14.2z57 dz
15.x (x+3 ) dx 16. (z+2 )2dz 17.(x4+1 )2
x3
dx
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PARA RECRDAR!
1.1
xn=xn
2.mx
n=xn /m
a b a b