xavier lefort _ historia de los logaritmos

xavier lefort / historia de los logaritmos

Documentos de Historia de la Ciencia Xavier Lefort

Les Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathmatiques. Nantes

NDICE

Problemtica

Napier y Briggs

Primeras utilizaciones

El rea bajo la hiprbola

Estatus matemtico

La herramienta logartmica

Exploracin matemtica

Conclusin

HISTORIA DE LOS LOGARITMOS

Un ejemplo del desarrollo de un concepto en matemticas

No se debe ver la historia de las matemticas como una marcha triunfal a lo largo de una avenida sin obstculos. Al contrario, esta historia presenta numerosas interrupciones, y el camino seguido raramente se parece a una lnea recta, encontrndose incluso a veces en un callejn sin salida....Hubo avances bruscos debidos a nuevos conceptos, que respondieron a problemas a veces muy alejados de las cuestiones iniciales que los haban generado.

Los logaritmos son un ejemplo de este desarrollo catico y fecundo a la vez. Partiendo de una idea simple, pero cuya puesta en prctica necesitaba un gran trabajo (la construccin de las tablas), han sido en primer lugar el motor de un desarrollo de las matemticas aplicadas, antes de revelarse como la solucin de un problema geomtrico. Objeto de estudios tericos seguidos de profundizaciones, han sido tambin una herramienta indispensable para la modelizacin de mltiples fenmenos fsicos.

La presentacin pedaggica tradicional de los logaritmos privilegia el logaritmo llamado "neperiano". Se lo introduce como la funcin primitiva de la funcin inversa que se anula para el valor 1 de la variable. Aunque esta introduccin sea matemticamente satisfactoria se halla muy lejos de ser evidente para los estudiantes y su propiedad fundamental queda oculta. Por supuesto, el problema histrico que llev a concebir los logaritmos tambin est ausente, mientras que su uso para presentar esta nueva nocin tiene la ventaja de la simplicidad: se trata sencillamente de construir una tabla que permita realizar rpidamente multiplicaciones, divisiones y potencias.

Hoy la utilizacin de los logaritmos para el clculo est en desuso, pero el concepto sigue siendo fundamental en la cultura matemtica bsica y estn presentes tanto en fsica como en qumica. Su historia es sin duda un captulo modesto, pero su ejemplaridad, incluso su riqueza dan testimonio del desarrollo de las Matemticas.

PROBLEMTICA:

El origen del concepto de logaritmo se encuentra en un problema matemtico, sin duda, pero en un problema de matemticas aplicadas: se trata de simplificar la pesada tarea

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/penelope/es_conflefort.htm (1 de 8)15/10/2007 22:24:29


de los calculadores, excesivamente complicada en cuanto implica multiplicaciones, divisiones, incluso potencias o extraccin de races.

En los siglos XIV, XV y XVI (y seguramente antes) los campos implicados no son tanto las cuestiones econmicas como los problemas de agrimensura, y sobre todo, la astronoma, en particular en sus aplicaciones a la navegacin. Estas operaciones exigen ahora cierta precisin . Si los progresos de la numeracin han podido hacer avanzar las cosas, como la utilizacin de las cifras llamadas rabes, los algoritmos de multiplicacin y de divisin son desconocidos; los nmeros racionales, sistemticamente escritos en forma de parte entera ms una fraccin de la unidad, convierten incluso a la suma en una operacin muy complicada.

Se debe al matemtico rabe IBN JOUNIS el haber propuesto, en el siglo XI, un mtodo, llamado prostafresis , para reemplazar la multiplicacin de dos senos por una suma de las mismas funciones, y este mtodo permanecer mucho tiempo en vigor. La multiplicacin de senos (y su divisin) es una operacin esencial, ya que todo clculo en geometra, en particular la resolucin de tringulos, es una operacin sobre longitudes no medibles, obtenidas a partir de la medida de ngulos.

A ARQUMEDES se debe la idea fundamental que generara los logaritmos:

"Cuando varios nmeros estn en proporcin continua a partir de la unidad, y algunos de estos nmeros se multiplican entre si, el producto estar en la misma progresin, alejado del ms grande de los nmeros multiplicados tantos nmeros como el ms pequeo de los nmeros multiplicados lo est de la unidad en la progresin, y alejado de la unidad la suma menos uno de los nmeros de lugares que los nmeros multiplicados estn alejados de la unidad"

(Arenario, trad. VERECKE)

Sea: con o sea:

La idea de ARQUMEDES vuelve a aparecer en los trabajos de CHUQUET y de STIFEL, en el siglo XV, pero, ni uno ni otro han tenido suficiente influencia para imponer la comparacin de una progresin geomtrica con una progresin aritmtica como medio de clculo, o como nuevo campo de investigacin matemtica.

NAPIER Y BRIGGS

John NAPIER (escrito tambin NEPER) naci en 1550. Procedente de la baja nobleza escocesa, mostr toda su vida un espritu curioso y dinmico, a pesar de una vida alejada de



los centros culturales de la poca. La introduccin de los logaritmos no es su nico ttulo de gloria, puesto que escribi tambin un texto sobre las ecuaciones e imagin adems un sistema de clculo por medio de regletas graduadas (Rabdologa)

En 1614 public el "Mirifici logarithmorun canonis descriptio..." donde, utilizando una aproximacin cinemtica, pone en relacin una progresin geomtrica con una progresin aritmtica. La primera es la de las distancias recorridas con velocidades proporcionales a ellas mismas, la segunda, la de las distancias recorridas con velocidad constante; stas son entonces los "logaritmos" de las primeras ( el neologismo es de NAPIER). La unidad elegida es 107, y la obra comprende una tabla de logaritmos de senos, cuya importancia hemos mencionado anteriormente, con los ngulos variando de minuto en minuto. En 1619 apareci una segunda obra, "Mirifici logarithmorum canonis constructio...." donde el autor explica cmo calcular los logaritmos. Esta obra es pstuma, puesto que NAPIER muri en 1617.

Mientras tanto, un eminente matemtico de Londres, Henry BRIGGS, haba descubierto la importancia de estos trabajos y viaj a Escocia para encontrarse con el autor. Retomando la idea fundamental, pero considerando una progresin geomtrica simple, la de las potencias de 10, publica en 1617 una primera tabla, con 8 decimales. El logaritmo de un nmero x es por lo tanto definido como el exponente n de 10, tal que x sea igual a 10 elevado a n.

Siguieron otras tablas que permitieron la difusin del mtodo, en particular en el continente. En realidad, la idea estaba en el aire; un colaborador de KEPLER, el suizo BRGI, propona en la misma poca, para simplificar los clculos que deba realizar, hacer corresponder una progresin aritmtica (nmeros rojos) y una progresin geomtrica (nmeros negros); sin embargo sus trabajos no fueron publicados hasta 1620.

PRIMERAS UTILIZACIONES

Es en Alemania donde se van a desarrollar los logaritmos. Al principio de 1617, KEPLER, que se hallaba fortuitamente en Viena, tiene la ocasin de consultar la primera obra de NEPER. Hojendola rpidamente, comete un error de interpretacin. El ao siguiente har partcipe de ello a un amigo en una carta:

" Un barn escocs del que no recuerdo su nombre, propone un brillante trabajo en el que reemplaza la necesidad de la multiplicacin y de la divisin, por la simplicidad de la suma y de la sustraccin, sin emplear los senos: en cambio, necesita la regla de las tangentes; y la cantidad, la amplitud y la pesadez de la adicin y de la sustraccin sustituyen la dificultad de la multiplicacin y la divisin"

Ahora bien KEPLER utiliza evidentemente la regla de los



senos, tanto en un tringulo plano como esfrico; para l, el trabajo de NEPER no tiene inters. En el transcurso de 1618, dispone, sin embargo, de la obra de Benjamn URSINUS: "Trigonometra Logarithmica John Neperi"; reconoce entonces su error y se muestra entusiasta de este nuevo clculo. En 1619, por fin, el libro "Mirifici Logarithmorum descriptio" llega a Linz, a KEPLER, el cual emprende rpidamente la tarea de modificar el concepto para adaptarlo a sus necesidades. Su adhesin es tal que dedica sus efemrides de 1620 ( aparecidas al final de 1619) al "clebre y noble seor JOHN NEPER, barn de MERCHISTON"

La difusin en el continente de esta nueva nocin se debe sobre todo a las tablas publicadas por el flamenco Adrien ULACQ, en 1628, retomando las tablas de BRIGGS. El objetivo era realizar un tratado de clculo prctico, en particular para uso de los agrimensores. Las primeras tablas fueron seguidas por otras, cada vez ms precisas, y en ellas se menciona que su principal aplicacin son los clculos trigonomtricos.

El mtodo para la construccin de las tablas pasa primero, evidentemente, por la determinacin de los logaritmos de los nmeros primos; los dems se calculan entonces por simple suma. Se trata de hecho de tomar "o bien medias proporcionales o bien races cuadradas". EULER escribir en 1748:

"As tomando medias proporcionales, se llega a encontrar Z=5,000000, a lo que responde el logaritmo buscado 0,698970, suponiendo la base logartmica = 10. En consecuencia 1069897/100000 = 5 aproximadamente. Es de esta manera como BRIGGS y ULACQ han calculado la tabla ordinaria de logaritmos, aunque se haya encontrado despus mtodos ms expeditivos."

EL REA BAJO LA HIPRBOLA

La etapa esencial del desarrollo matemtico del concepto se encuentra en su relacin con la hiprbola. Esta relacin se debe al jesuita GREGOIRE DE SAINT-VINCENT, nacido en Brujas en 1584. Haba acabado la redaccin de un "Opus geometricorum...." en 1630, en el cual pretenda haber resuelto los problemas de la cuadratura del crculo y de la hiprbola. Esta obra no fue publicada hasta 1647, y aunque fue un fracaso en cuanto a la cuadratura del crculo, puso en evidencia que las reas bajo la hiprbola se parecen a los logaritmos.

El trabajo de este autor no se sita en una perspectiva ligada especficamente a los logaritmos, sino ms bien en un intento de resolucin de problemas generales de cuadraturas, muy de moda en esta poca y en un estilo completamente tradicional; el aspecto innovador reside en la utilizacin de cierto paso al infinito para justificar la primera parte de su demostracin. Estamos sin embargo antes de la era de LEIBNIZ y de NEWTON.



La relacin del clculo del rea bajo la hiprbola con los logaritmos no es pues de GREGOIRE DE SAINT - VINCENT; su obra, en principio desconocida, ha sido objeto de crticas, fundadas por otra parte en lo que concierne a la cuadratura del crculo. Ser uno de sus defensores, el jesuita SARASSA quien mencionar que " las reas hiperblicas pueden tener relacin con los logaritmos"

El clculo de GREGOIRE DE SAINT - VINCENT se apoya sobre el hecho de que cuando las abscisas estn en progresin geomtrica, las reas estn en progresin aritmtica. Tomemos la hiprbola ms simple, de ecuacin x.y=1, referida a un sistema de referencia ortonormal. A, B, C, .....sern puntos del eje de abscisas (eje de las "x") en progresin geomtrica; D, E, G, .....sern entonces los puntos de la hiprbola correspondientes a estas abscisas. GREGOIRE DE SAINT - VINCENT muestra en primer lugar que las reas entre la curva y DE por una parte, y entre EG y la curva, por otra, son iguales; al tener los trapecios ADEB y BEGC la misma superficie, las reas bajo la hiprbola son iguales.

Se encontrar algunos aos ms tarde, en ciertos manuales de geometra, tal como el de PARDIES (1671), el enunciado del resultado encontrado por DE SAINT - VINCENT, lo que distaba de ser el caso general, y PARDIES era tambin un jesuita!

ESTATUS MATEMTICO

Si el aspecto analtico del logaritmo, en otros trminos, el estatus de funcin, haba sido ya considerado por KEPLER, corresponde a TORRICELLI, seguido por HUYGENS, estudiar la curva logartmica, y a WALLIS, despus de un primer trabajo de MERCATOR, proponer un desarrollo en serie (1667). Esta tcnica es nueva y es sin duda uno de los raros atractivos de la obra de MERCATOR; en efecto, este autor no parece haber sabido desarrollar la idea inicial, a saber, la integracin de la serie:

En

Log (1+x)

Este nuevo aspecto permite entonces un clculo ms fcil de los logaritmos de los nmeros y se encontrar en lo sucesivo en los manuales del siglo XVIII.

En lo que concierne a la curva de la funcin logartmica, llamada "curva logartmica", TORRICELLI propone la grfica



desde 1646, en algunas cartas a sus corresponsales, pero su muerte en 1647 retrasa la difusin. Ser a HUYGENS a quien corresponder exponer sus propiedades en el "Discurso sobre la causa de la gravedad", aparecido en 1690. HUYGENS estaba interesado desde 1651 por los logaritmos y por su clculo, en particular en el marco de la cuadratura de la hiprbola; haba retomado el problema mucho ms tarde (1666) cuando participaba en los trabajos de la nueva Academia Real de Ciencias de Pars, y haba utilizado la nocin en cuestiones de probabilidad y de combinatoria.

Los logaritmos en esa poca forman parte realmente del corpus matemtico; no se trata de un simple mtodo de clculo, sino de un dominio completo. Se hallan en numerosas obras sin que su estatus terico suponga ningn problema.

LA HERRAMIENTA LOGARTMICA

Los logaritmos en cuanto herramienta sern de gran ayuda para el nacimiento de la fsica matemtica a finales del siglo XXVII. As ocurre con el "Discurso sobre la causa de la gravedad" de HUYGENS, y tambin con los diferentes trabajos sobre la presin atmosfrica, en particular los de MARIOTTE.

Es preciso ver la utilizacin de los logaritmos siguiendo cuatro directrices:

- la primera es la que los genera, a saber, el clculo de frmulas geomtricas, utilizadas en astronoma y aplicacadas en navegacin, y tambin, de modo ms simple, en agrimensura. Se publicarn muchas tablas con formato de bolsillo para su utilizacin sobre el terreno o a bordo de los navos. Estas tablas irn precedidas de un manual de uso, e incluirn tambin una tabla de logaritmos de senos.

- la segunda, ms simple an, es la de la aplicacin a todo clculo multiplicativo. Condujo a la construccin de "reglas de clculo", al empleo por todo estudiante de bachillerato de una tabla para cualquier operacin en ciencias fsico - qumicas y a la elaboracin de algoritmos para las mquinas de calcular contemporneas.

- la tercera consiste en conjeturar a partir de experiencias con modelos donde los logaritmos entraron en juego por comparacin de valores. Poner de manifiesto una relacin entre medidas en progresin aritmtica con otra serie en progresin geomtrica conducir a considerar el primer fenmeno como un logaritmo del segundo. Las escalas logartmicas son hoy da moneda corriente....

- la ltima es totalmente terica; la introduccin por LEIBNIZ y NEWTON del clculo diferencial e integral permitir numerosos razonamientos analticos, concernientes a fenmenos fsicos o qumicos, pudiendo conducir por simple integracin de los inversos a los resultados logartmicos.



Los logaritmos utilizados en los tres primeros casos sern los de BRIGGS, es decir los logaritmos decimales; por el contrario, la integracin introduce los logaritmos "naturales", llamados "neperianos" en honor al padre fundador.

EXPLORACIN MATEMTICA

En el campo de las matemticas puras, los logaritmos introducen nuevas magnitudes trascendentes. Contribuyen por consiguiente a ampliar el campo de comprehensin de los nmeros; sin embargo, no se puede hablar de funcin, de funcin logartmica en el sentido moderno, antes de que intervenga EULER en la segunda mitad del siglo XVIII. Esto no impide a LEIBNIZ y a NEWTON utilizar las relaciones: (escritas con notacin moderna)

como lo atestigua un manuscrito del primer autor fechado en 1675.

Es EULER quien de nuevo, en las "Institutions de calcul integral" publicadas de 1668 a 1770 tratar de manera magistral la integracin de los logaritmos. La utilizacin de la integracin por partes es sistemtica y conduce a una ltima operacin, sea directamente integrable o bien desarrollable en serie entera.

Adems al principio del siglo XVIII , LEIBNIZ y JEAN BERNOULLI sostienen una controversia sobre la existencia de los logaritmos de los nmeros negativos, e incluso de los imaginarios. EULER, en 1749 cerrar el debate abandonando el carcter unvoco del logaritmo; un nmero tiene una infinidad de logaritmos (complejos) de los cuales slo uno es real.

Finalmente, es necesario evocar la exponencial, que segn se admite fue introducida por LEIBNIZ y JEAN BERNOULLI, en el marco de sus trabajos en anlisis. Esta nueva nocin ser desarrollada por EULER, y le permitir resolver el problema de la catenaria en su "Iniciacin al anlisis infinitesimal" de 1748.

CONCLUSIN

Desde su introduccin, los logaritmos pueden encontrarse tanto en los manuales de aritmtica como en los de anlisis. Objeto y mtodo, no slo han participado del desarrollo de las Matemticas, sino tambin de la historia de las ciencias fsico - qumicas. La ph - metra, por ejemplo, no habra podido ser concebida a principios del siglo XX sin la ayuda de este concepto matemtico. Surgidos de una idea de hecho muy simple, los logaritmos continan siendo un instrumento tal vez modesto, pero a pesar de todo esencial para el conocimiento cientfico.


xavier lefort _ historia de los logaritmos

Documents