viscosidad seminario 2
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Módulo II
VISCOSIDAD 2
LEYES DE LAHIDRODINÁMICA
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
LEY DE POISEUILLE
TEOREMA DE BERNOULLI
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
SE BASA EN LA LEY DE CONSERVACION DE LAS MASAS:
ν1.S1= ν2.S2 Q = S . ν = cte.
S1
S2
El Caudal EN UN SISTEMA DETERMINADO permanece constante. Esto es:
el CAUDAL DE ENTRADA ES IGUAL al CAUDAL DE SALIDA para “ESE SISTEMA”.
TEOREMA DE BERNOULLI
SE BASA EN LA LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA APLICADA A FUIDOS
khgvP =⋅⋅+⋅+ δδ 221
CADA TÉRMINO DE LA ECUACIÓN REPRESENTA UNA FORMA DE ENERGÍA DEL FLUIDO EXPRESADA POR UNIDAD DE VOLUMEN
ENERGÍA BAJO LA
FORMA DE PRESIÓN
ENERGÍA CINÉTICA
ENERGÍA POTENCIAL
GRAVITATORIA
ENERGÍA TOTAL DEL
SISTEMA
PUES HAY FUERZAS NO CONSERVATIVAS (FRICCIÓN)
P1 + ½.δ.ν12 + ρ.h1 = P2 + ½.δ.ν2
2 + ρ .h2 + WFR/Vol
P1 + ½.δ .ν12 + ρ .h1 >P2 + ½.δ .ν2
2 + ρ .h2
FLUIDO VISCOSO
NO SE CONSERVA LA ENERGIA MECÁNICA
¿Cuál o cuáles de los siguientes términos disminuye en el punto 2 respecto del punto 1:
a) ½.δν2
b) h.ρc) P
FLUIDO VISCOSO
1 2
¿POR QUÉ?
a) ½ .δν2 NO No puede cambiar porque no hay cambio de sección. (Ec. de continuidad)
Analicemos cada término:
1 2
b) h.ρ NO.
Sólo cambia si hay cambio de altura entre los puntos.
c) P (Presión) SI
Su caída representa a la energía que se DISIPA por fricción entre los puntos 1 y 2.
¿Cuánto disminuye la presión entre los manómetros?
• Lo podemos calcular mediante la LEY DE POISEUILLE
S1
v1
H1 H2
Ley de Poiseuille
REORDENANDO :
¿Cúal es la diferencia de altura entre los manómetros?
S1
v1
H1 H2
Radio = 1 cm
Q = 30 ml/seg
η= 1 poise
Densidad = 1.10 g/ml
Distancia entre los manómetros = 20 cm
L η⋅⋅⋅π⋅∆=
L8
rPQ
4
4r
L8QP
⋅πη⋅⋅⋅=∆
AHORA RESOLVAMOS LOS SIGUIENTES CASOS ANALIZANDO LOS CAMBIOS DE LOS DISTINTOS TIPOS DE ENERGÍA EN CADA PUNTO DEL SISTEMA
∀ δ= 1.1 g/cm3
∀ η = 2.5 poise• Diámetro del tubo = 10 cm• Diámetro del tanque = 30 cm
GRAFIQUEMOS:
b) ENERGÍA CINÉTICA = f( Long del Tubo)
c) ENERGÍA GRAVITATORIA = f ( Long del Tubo)
d) PRESIÓN = f (Long del Tubo)
NOTA: Consideremos Long = 0 al extremo izquierdo del tanque.
GráficosENERGíA CINETICA
020406080
100120
0 20 40 60 80 100Long (cm)
Energ
ia Ci
netic
a (dy
n/cm
2).1
03
PRESIÓN
0
50
100
150
0 20 40 60 80 100Long (cm)
Pres
ion
Mano
metri
ca
(Dyn
/cm2)x
103
ENERGíA GRAVITATORIA
00,2
0,40,6
0,81
0 20 40 60 80 100Long (cm)
Ener
gia
Grav
itator
ia (d
yn/c
m2) x
103
Ahora llevemos todo a un mismo par de ejesENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Long (cm)
En
erg
ía (
Dyn
/cm
2)
x 1
03
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
Cuando el líquido entra en el tubo, de la energía total acumulada en el tanque, una parte se transforma en energía cinética y otra se gastará como trabajo contra la fuerza de fricción durante el trayecto del líquido por el tubo hasta la salida Como resultado final la energía total del líquido a la salida del tubo es menor que la que tenía en el tanque debido a la presencia de fuerzas no conservativas (fricción).
HAGAMOS LO MISMO PERO CON UN TUBO DEL DOBLE DE LONGITUD
CON UN TUBO MAS LARGO ∀ δ= 1.1 g/cm3
∀ η = 2.5 poise• Diámetro del tubo = 10 cm• Diámetro del tanque = 30 cm
GRAFIQUEMOS:
b) ENERGÍA CINÉTICA = f( Long del Tubo)
c) ENERGÍA GRAVITATORIA = f ( Long del Tubo)
d) PRESIÓN = f (Long del Tubo)
NOTA: Consideremos Long = 0 al extremo izquierdo del tanque.
100 cm
GráficosENERGíA CINETICA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120 140
Long (cm)
Ener
gia
Cin
etic
a (d
yn/c
m2 ).1
03
PRESION
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120 140Long (cm)
Pres
ión
man
omét
rica
(dyn
/cm
) x 1
03
ENERGíA CINETICA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
Ene
rgia
Cin
etic
a (d
yn/c
m2 ).1
03
PRESIÓN
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100Long (cm)
Pre
sion
Man
omet
rica
(D
yn/c
m2)
x 10
3Longitud del tubo 50 cm Longitud del tubo 100 cm
32.5 dyn/cm2
91.5 dyn/cm2 75.3 dyn/cm2
16.3 dyn/cm2
107.8 dyn/cm2107.8 dyn/cm2
Ahora llevemos todo a un mismo par de ejes
ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120 140Long (cm)
En
erg
ía (
Dyn
/cm
2)
x 1
03
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Long (cm)
En
erg
ía (
Dyn
/cm
2)
x 1
03
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
Longitud del tubo 50 cm Longitud del tubo 100 cm
Con el tubo más largo:
De la energía total del fluido en el tanque, se transformó menos en energía cinética y se gastó más como trabajo contra la fuerza de fricción en el trayecto del líquido por el tubo más largo. Como resultado final el líquido sale con menor velocidad en el caso dos que en uno porque gastó más energía. La energía total del fluido al final es menor.
HAGAMOS LO MISMO PERO CON UN TUBO DE MENOR DE RADIO
∀ δ= 1.1 g/cm3
∀ η = 2.5 poise• Diámetro del tubo = 5 cm• Diámetro del tanque = 30 cm
GRAFIQUEMOS:
b) ENERGÍA CINÉTICA = f( Long del Tubo)
c) ENERGÍA GRAVITATORIA = f ( Long del Tubo)
d) PRESIÓN = f (Long del Tubo)
NOTA: Consideremos Long = 0 al extremo izquierdo del tanque.
TUBO CON LA MITAD DEL RADIO
Gráficos
ENERGíA CINETICA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
Ene
rgia
Cin
etic
a (d
yn/c
m2 ).1
03
ENERGíA CINETICA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
Ene
rgia
Cin
etic
a (d
yn/c
m2 ).1
03
PRESIÓN
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100Long (cm)
Pre
sion
Man
omet
rica
(D
yn/c
m2)
x 10
3
Radio del tubo 5 cm Radio del tubo 2.5 cm
PRESION
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100Long (cm)
En
erg
ía (
dy
n/c
m)
x 1
03
91.5 dyn/cm2
16.3 dyn/cm2
107.8 dyn/cm2
51.3 dyn/cm2
107.8 dyn/cm2
56.5 dyn/cm2
Ahora llevemos todo a un mismo par de ejesRadio del tubo 5 cm Radio del tubo 2.5 cm
Con el tubo más angosto:
De la energía total del fluido en el tanque, quedó menos como energía cinética y se disipó más como trabajo contra la fuerza de fricción en el camino del líquido por el tubo, ahora más angosto. Observar la pendiente de la caída de presión en el tubo angosto. El resultado final es que el líquido termina con menos energía a la salida del tubo (toda en forma de Energía Cinética)
ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Long (cm)
En
erg
ía (
Dyn
/cm
2)
x 1
03
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
Ener
gía
(Dyn
/cm
2) x
10
3
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
HAGAMOS LO MISMO PERO ELEVEMOS EL TUBO DE MANERA QUE EL PUNTO
DE SALIDA QUEDE MÁS ALTO
AHORA LEVANTEMOS EL TUBO
100 cm
∀ δ= 1.1 g/cm3
∀ η = 2.5 poise• Diámetro del tubo = 10 cm
• Diámetro del tanque = 30 cm
35 cm
50 cm
GRAFIQUEMOS:
b) ENERGÍA CINÉTICA = f( Long del Tubo)
c) ENERGÍA GRAVITATORIA = f ( Long del Tubo)
d) PRESIÓN = f (Long del Tubo)
NOTA: Consideremos Long = 0 al extremo izquierdo del tanque.
ENERGíA GRAVITATORIA
05
10152025303540
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
En
erg
ia G
ravi
tato
ria
(dyn
/cm
2) x
103
ENERGíA GRAVITATORIA
00,20,40,6
0,81
0 20 40 60 80 100Long (cm)
Ener
gia
Gra
vitat
oria
(d
yn/c
m2)
x10
3
ENERGíA CINETICA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
Ene
rgia
Cin
etic
a
(dyn
/cm
2 ).10
3Tubo horizontal Tubo levantado
ENERGíA CINETICA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100Long (cm)
En
erg
ia
Cin
eti
ca
(dyn
/cm2 ).
103
PRESIÓN
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100Long (cm)
Pre
sion
Man
omet
rica
(D
yn/c
m2)
x 10
3
PRESION
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100Long (cm)
En
erg
ía (
dy
n/c
m)
x 1
03
La Energía Gravitatoria (EG) CreceCrece a lo largo del tubo
Sin embargo, la E. Cinética es constanteconstante largo del tubo (pues el radio del tubo no cambia)
La Presión compensa el aumento de EG, decrecedecrece a lo largo del tubo a medida que se transforma en EG. También decrece por la fricción.
ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
En
erg
ía (
Dyn
/cm
2) x
10
3
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
Tubo horizontal
Con el tubo levantado:
La energía cinética a la salida es menor, porque parte de la energía inicial del fluido se transforma en energía gravitatoria a medida que sube por la cañería, y en trabajo contra las fuerzas de rozamiento. El caudal de salida es menor, y menor también la disipación de energía por rozamiento viscoso. Recordar que la energía cinética permanece constante dentro del tubo, pues el radio del tubo no cambia. Al final del tubo la energía total del fluido será también, en parte, gravitatoria.
ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100
Long (cm)
Ene
rgía
(Dyn
/cm
2) x
10
3
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
Tubo levantado
Ahora llevemos todo a un mismo par de ejes
AHORA DOS TUBOS JUNTOS, UNO DE MAYOR RADIO QUE OTRO
GRAFIQUEMOS:
b) ENERGÍA CINÉTICA = f( Long del Tubo)
c) ENERGÍA GRAVITATORIA = f ( Long del Tubo)
d) PRESIÓN = f (Long del Tubo)
NOTA: Consideremos Long = 0 al extremo izquierdo del tanque.
50 cm50 cm
∀ δ= 1.1 g/cm3
∀ η = 2.5 poise• Diámetro del tubo = 10 cm• Diámetro del tanque = 30 cm
D2 = 7.0 cm
GráficosENERGíA CINETICA
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150Long (cm)
En
erg
ia
Cin
etic
a
(dyn
/cm
2).
103
PRESION
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150Long (cm)
Ene
rgía
(dyn
/cm
) x 1
03
Analicemos los resultados:
b) Al cambiar el radio del tubo la energía cinética varía. DISCUTIR
c) La presión desciende abruptamente en la entrada de cada tubo debido al cambio de velocidad y luego lo hace gradualmente debido a la fuerza de fricción. Comparemos las caídas de presión en ambos tubos. DISCUTIR
Analicemos todo en un mismo par de ejesENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120 140
Long (cm)
Ener
gía
(Dyn
/cm
2) x
10
3
PRESIÓN ENERGIA CINETICAENERGIA TOTAL ENERGIA GRAVITATORIA
En la entrada del segundo tuboEn la entrada del segundo tubo se produce un incremento en la energía cinética debido al cambio de sección, y por ende el líquido pierde presión. De ahí en más la presión se perderá a lo largo del camino debido a las fuerzas de fricción.(mayor pérdida en este segundo tramo, pues el radio es más pequeño y la velocidad mayor).
En la entrada del primer tuboEn la entrada del primer tubo el líquido gana energía cinética a expensas de una disminución de presión. La energía cinética es la menor, pues estamos en el tubo de mayor radio. Hay pérdida de presión por fricción. (menor en este tramo, pues el radio es grande y la velocidad pequeña)