Dr. Manuel Capella-Casellas, Ed.D. juilio 2010

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PUERTO RICO Decanato de Artes y Ciencias

Departamento de Ciencias y Matemáticas

Módulo #3

MATH 102

Geometría

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RTANCIA DE LA GEOMETRIA EN LA VIDA COTIDIANA

La necesidad de la enseñanza de la geometría responde, en primer lugar, al papel que ella desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente o para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias, entre otras utilidades. También está presente en múltiples ámbitos profesionales contemporáneos, por ejemplo, en la producción industrial, el diseño, la arquitectura, la topografía, entre otras. La forma geométrica es un componente esencial del arte, por ejemplo, en las artes plásticas, y representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la naturaleza.

Conceptos generales1:

Los elementos geométricos y sus relaciones. Por ejemplo, para definir los conceptos paralelismo, perpendicularidad y congruencia.

Las formas planas y sus atributos para explicar los conceptos de perímetro y área.

Las formas espaciales o los cuerpos geométricos y sus elementos para comprender el concepto de volumen.

La representación elemental del Teorema de Pitágoras y su utilidad para resolver situaciones verbales.

Procedimientos:

Utilización adecuada del vocabulario geométrico básico en la descripción de objetos familiares.

Comparación y clasificación de figuras planas y cuerpos geométricos utilizando diversos criterios.

Elaboración y utilización de estrategias personales para llevar a cabo mediciones y estimaciones de perímetros, áreas y volúmenes.

Actitudes:

Gusto por la precisión en la descripción y representación de las formas geométricas y sus aplicaciones en la vida real.

1 Al final de cada capítulo del libro de texto, existe un resumen de los conceptos y fórmulas más importantes

discutidos durante cada ciclo. Utiliza este resumen para desarrollar uno personal basado en tus anotaciones en clase

y en las tutorías. Además, hay una prueba que puedes utilizar como práctica antes de tu examen del curso.

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Imagen de Euclides

INTRODUCCIÓN

El concepto geometría se deriva del griego geo (tierra) y metrón (medida). En su sentido más amplio, es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o en el espacio. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, entre otras ramas del saber. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (GPS) al correlacionarse con el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales. Además, es útil en la preparación de diseños a través del dibujo técnico y en la fabricación de artesanías.

Inicialmente, el conocimiento geométrico constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes, comúnmente utilizado en el Antiguo Egipto, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Fue Euclides, en el siglo III a. C., quien configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos.

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente, el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, en la cual las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Axiomas, teoremas y definiciones

Aunque a Euclides se le pueda considerar patriarca de la geometría por establecer el primer sistema axiomático, es David Hilbert quien propuso, a principios del siglo XX, otro sistema axiomático más completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos. Esto significa que las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado material, esto es, no existen por virtud concreta o real.

El saber geométrico es el conocimiento de las propiedades del espacio geométrico. Desde el punto de vista educativo, es importante diferenciarlo del conocimiento de las propiedades del espacio físico. El espacio geométrico se constituye como una modelización del espacio físico; nos permite comprender o prever ciertos fenómenos del espacio físico, pero no coincide con él.

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Las figuras que manejamos en geometría son idealizaciones de objetos de la realidad material. No existe, por ejemplo, la línea recta ideal, pues cualquier línea recta material mirada al microscopio resultaría curva. De igual forma, no existe el punto ideal, carente de dimensiones. Tampoco existe la superficie ideal, carente de grosor. Aunque las figuras ideales no existen, se pueden estudiar con ayuda de sus representaciones materiales. Desde los griegos, la regla y el compás contribuyeron a materializar las ideas geométricas. Las construcciones que se realizan con estos instrumentos ayudan a comprender mejor las propiedades geométricas.

La validación de los teoremas geométricos utiliza al dibujo, pero ocurre sólo mediante razonamientos lógicos. Los dibujos ayudan a establecer relaciones lógicas entre las figuras. No sustituyen, sino que auxilian, al razonamiento lógico. La geometría, a partir de la antigua geometría griega, se ha desarrollado como un sistema deductivo, construido a partir de axiomas, cuya validez se obtiene por procedimientos lógicos.

DESARROLLO HISTÓRICO DE LA GEOMETRÍA. ALGUNAS APORTACIONES IMPORTANTES.

El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras. A través de sus observaciones, definieron el área de un círculo unitario y el concepto Pi. Sin embargo, su desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos. Por otro lado, en la civilización mesopotámica se desarrollaron otros conceptos, tales como: área del cuadrado, del círculo, volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

En la escuela de Pitágoras, se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del

teorema de Pitágoras, fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números pitagóricos, esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2 + b2 = c2.

Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos

Geo, Diosa de la geometría. Cuarta

diosa de Fibonacci. DragoD

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o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas. El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas.

En Los Elementos de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos, se asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.

En la época del dominio romano, destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y, en especial, la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo si se conocen las medidas de los tres lados.

Podemos considerar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver determinados problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos. Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571-1630).

Durante el siglo XVII, conocido como la Ilustración, surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica. Sin duda, los dos grandes en esta materia y época fueron René Descartes (1596-1650) y Pierre Fermat (1601-1655).

La última parte de la famosa obra de Descartes, el Discurso del Método, denominada Géometrie, detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas.

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Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en una pequeña obra: "Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, espaciales. Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, describiendo, alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar

geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio quedó sin culminar.

En el siglo XVIII, además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la geometría diferencial, la geometría descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar, expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo, además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras, trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todos estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.

El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando Lobachevski presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría. La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.

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ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA COMO MATERIA O SABER

De acuerdo con la teoría de Pierre y Dina Van Hiele, los estudiantes progresan a través de niveles de pensamiento geométrico (van Hiele, 1959; van Hiele, 1986; van Hiele-Geldof, 1984), desde un nivel visual, seguido de niveles crecientemente sofisticados de descripción, análisis, abstracción y prueba. Los niveles son, según la teoría, secuenciales y jerárquicos, de manera que, para que los estudiantes operen adecuadamente en uno de los niveles, deben haber dominado amplias partes de los niveles más inferiores (Noffer, 1981). El progreso de un nivel al siguiente, según los Van Hiele, es más dependiente de la instrucción que de la edad o maduración biológica. El profesor deberá adecuar sus enseñanzas a los niveles reales de sus alumnos para que el aprendizaje sea uno significativo y no uno meramente memorístico, rutinario.

Este módulo está elaborado emulando la teoría educativa de los Van Hiele. Completar el mismo en todas sus partes superará el conocimiento esperado, por ejemplo, aquél que fuese a ser evaluado, basado en el prontuario del curso MATH 0102, Matemáticas Básicas. Por tal razón, un estudiante que siga las recomendaciones contenidas aquí aumentará sus destrezas de estudio, aprestándolo “a ver dónde otros no necesariamente ven”. Esta destreza es de suma importancia para el dominio de las destrezas de deducción y lógica necesarias en las carreras profesionales que se enseñan en la Poli.

NIVEL 1. VISUAL.

En este primer nivel, los estudiantes deben operar sobre las formas y configuraciones geométricas de acuerdo con su apariencia. Te recomiendo que reconozcas y representes mentalmente las figuras como patrones visuales. Por ejemplo, algo "es un rectángulo, porque parece como una puerta". En este nivel, no se es consciente de las propiedades de las figuras. El razonamiento es dominado por la percepción: "no hay por qué, uno simplemente lo dice" (Van Hiele, 1986, p.83). Durante la transición al nivel descriptivo, las clases de figuras comienzan a ser asociadas con sus propiedades características.

NIVEL 2. DESCRIPTIVO-ANALÍTICO.

Los estudiantes deben reconocer y caracterizar las formas por sus propiedades. Un rombo, por ejemplo, puede ser considerado como un cuadrilátero con sus cuatro lados iguales. Las figuras pasan a ser, así, colecciones de propiedades más que patrones visuales. La imagen empieza a quedar de fondo. Los estudiantes descubren que algunas combinaciones de propiedades señalan una clase de figuras y otras no. Surgen, así, las semillas de las implicaciones geométricas. Te recomiendo la construcción de tablas para resumir los

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atributos de las figuras geométricas planas en relación con el número de lados, su perímetro y área. Como caso aparte, el estudio del círculo en función de la circunferencia, el diámetro y el radio. En este nivel, los objetos sobre los cuales se razona son clases de figuras, pensadas en términos de conjuntos de propiedades que asocian a esas figuras.

NIVEL 3. ABSTRACTO-RELACIONAL

En este nivel, te recomiendo que trabajes la formulación de definiciones abstractas, distinguiendo entre la necesidad y la suficiencia del conjunto de condiciones para un concepto. Puedes clasificar figuras jerárquicamente y dar argumentos informales para justificar esas clasificaciones. Un cuadrado, por ejemplo, puede ser identificado como un rombo, porque puede ser pensado como "uno con algunas propiedades adicionales". Debes descubrir propiedades de clases de figuras por deducción informal. Por ejemplo, deducir que la suma de los ángulos de un cuadrilátero cualquiera es 360°, porque cualquier cuadrilátero puede ser descompuesto en dos triángulos, en cada uno de los cuales los ángulos suman 180º.

Como las figuras pueden aparecer como conjuntos de propiedades de diversas maneras, las definiciones pueden ser vistas no como descripciones, sino como un método de organización lógica. En este nivel, los objetos sobre los cuales han de razonar los estudiantes son propiedades de clases de figuras.

NIVEL 4 (DEDUCCIÓN FORMAL) y el NIVEL 5 (RIGOR METAMATEMÁTICO) no se describirán en este tratado.

Comentario tecnológico.com

Excelente página que resumen los conceptos fundamentales de la geometría. Incluye diccionario. http://www.geoka.net/

Excelente página que resumen los conceptos fundamentales de la geometría. Se encuentran todos los temas del segmento de estudio. http://tutormatematicas.com/Geometria.html (NOTA: requiere Adore Flash Player 10.1)

Excelente página que resumen los conceptos fundamentales de la geometría. http://www.salonhogar.com/matemat/geometria/index.htm;

o tiene exámenes, necesita registrarse: http://www.salonhogar.net/Diversos_Temas/geometria.htm;

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o definiciones en orden alfabético:

http://www.proyectosalonhogar.com/Diversos_Temas/geo_AB.htm

Excelente página para conceptualizar la geometría utilizando el recurso didáctico GeoGebra. http://geometriadinamica.es/

Excelente página que resumen los conceptos fundamentales dela geometría. Incluye

autoevaluación. http://www.portalplanetasedna.com.ar/geometria1.htm

Resumen de algunos conceptos fundamentales. Frank Alejandro Zapata Mesa. Geometría. http://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtml

Buena página que resume los mecanismos para determinar el perímetro o circunferencia, el área de superficie de figuras geométricas planas, y los volúmenes de los sólidos. Incluye otros conceptos y lecciones de estudio afines. http://www.aaamatematicas.com/geo.htm#topic12

Buena página para repasar los conceptos fundamentales de la geometría primaria a través de juegos y preguntas de alternativas. http://platea.pntic.mec.es/jmigue1/

Buena página de los conceptos básicos de la geometría por sus recursos didácticos y visuales. Uso del Tangrama para dominar el concepto visual del área de superficie. http://www.xtec.cat/~epuig124/mates/geometria/castella/index.htm

Buena página de los conceptos básicos de la geometría por sus recursos didácticos y visuales. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometria.htm

Buena página que ilustra un resumen de las figuras geométricas en tablas. http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/geometria/geomet6.html

Buen resumen de las figuras geométricas planas y cuerpos con volumen. http://www.bbo.arrakis.es/geom/

Buena página de contenido de materias por nivel educativo. http://www.profesorenlinea.cl/

Otras buenas páginas de recurso sobre geometría:

o http://geometriadinamica.es/;

o http://www.vitutor.com/geometria.html

Taller de geometría en la página de la UPPR: http://www.pupr.edu/cpu/pdf/tallerdegeometria.pdf

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Módulo de estudio y ejercicios relacionados a la geometría A principio de este curso te recomendamos el uso de los mapas conceptuales y

las flash cards. En este segmento de estudio, el uso de las tarjetas de estudio resultan ser altamente útiles para la conceptualización de conceptos geométricos y el entendimiento de las figuras planas y espaciales. Por ello, te sugerimos hagas otra lectura de los apéndices y comiences a utilizarlas para facilitar la memorización de las ideas geométricas que

utilizarás en el análisis de las situaciones verbales que se discutirán y de los ejercicios relacionados con el perímetro, el área, el volumen y el Teorema de Pitágoras. A continuación se establece una guía de estudio que te servirá para la construcción de tus tarjetas. Recuerda usar el color para resaltar los conceptos y las imágenes a aprender.

I. Conceptualiza la geometría. Utiliza un diccionario y define los siguientes conceptos

para comprender los fundamentos que se utilizan para definir la geometría. Por ejemplo, puedes utilizar el Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia Española (RAE) en su versión en línea: http://www.rae.es/rae.html. Por otro lado, puedes utilizar un libro de referencia sobre geometría básica.

a. Enunciado

b. Proposición i. Axioma ii. Postulado iii. Teorema

1. Hipótesis 2. Tesis

iv. Corolario

c. Razonamiento lógico

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II. Preguntas guías.

Las ideas intuitivas de los cuerpos, superficies, líneas y puntos, las imaginamos representadas en las aristas, agujas o la propia mole de un edificio (rectas, puntos y cuerpos). Por ejemplo, las tranquilas aguas de una laguna son una representación de una superficie plana. Basado en estas imágenes sensoriales completa las siguientes interrogantes

1. ¿Qué son los elementos geométricos? a. Describe su notación (modo en que la geometría lo representa). b. ¿Cuál es la relación que existe entre los conceptos punto, segmento de línea y

el plano? c. Identifica postulados y teoremas que ilustren tu respuesta.

POR EJEMPLO:

Postulado 1. A través de dos puntos cualesquiera existe solamente una línea. Teorema 3. Si un segmento es dado, entonces éste tiene exactamente un punto

medio.

2. Define qué es el grado de un ángulo. a. Elabora una clasificación de los ángulos (recto, obtuso, agudo, llano,

adyacentes, opuestos por el vértice o verticales, congruentes, entre otros). b. Ilustra los diferentes tipos de ángulos a base de los teoremas que los definen. c. Dada una bisectriz, establece la definición de los ángulos complementarios y

suplementarios.

POR EJEMPLO: Teorema 12. Si dos ángulos son ángulos rectos, entonces son ángulos

congruentes.

3. Define el concepto PARALELISMO y PERPENDICULARIDAD de las líneas rectas. a. Establece los teoremas que justifican cuándo dos líneas son consideradas

paralelas entre sí. b. Utiliza los teoremas sobre ángulos para definir los conceptos (correspondientes,

alternos internos, alternos externos, conjugados internos y externos). c. Ilustra tu explicación con diagramas.

POR EJEMPLO:

Postulado de la línea paralela. Si existe una línea y un punto que no se encuentra en la línea, entonces existe exactamente una línea a través del punto que es paralelo a la línea dada.

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4. Define qué es un Polígono.

a. Establece sus elementos básicos (lados, vértices, diagonales, perímetro). b. Polígono regular. Ilustra con ejemplos. c. Polígono irregular. Ilustra con ejemplos (escaleno, romboide, trapezoide)

5. Construye una tabla que resuma las formas geométricas planas (cuadriláteros y triángulos) y contenga los siguientes encabezados:

a. NOMBRE o CONCEPTO de la figura geométrica (Triángulos escaleno, isósceles, equilátero, acutángulo, obtusángulo, rectángulo; Cuadriláteros: paralelogramo, cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio; Pentágono, Hexágono…)

b. FORMA (dibujo de la figura geométrica según es explicada por ésta). c. DEFINICIÓN (explicación verbal del concepto y de la forma utilizando el

vocabulario geométrico). d. ELEMENTOS (las variables designadas para describir la figura según la fórmula

literal y los significados correspondientes). e. PERÍMETRO. f. ÁREA DE SUPERFICIE.

NOTA: Construye otra tabla similar para estudiar las figuras geométricas sólidas y el concepto VOLUMEN. Define qué es un poliedro y sus elementos geométricos (caras, aristas, vértices). Poliedros importantes: prismas, pirámide y paralelepípedos (cubo, volumen cuadrangular). No poliedros importantes: esferas, hemisferio, cilindro, cono. ¿Cómo se determinar el área de superficie de un sólido?

6. ¿Por qué la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°? a. Establece la definición geométrica e ilustra tu respuesta con un diagrama.

7. Describe la relación que existe entre distancia, perímetro, área y volumen. a. Utiliza diagramas que permitan visualizar tu descripción.

POR EJEMPLO: Si es dado como conocido que a, b y c son tres distancias equidistantes desarrolla una fórmula que describa los tres conceptos y te sirva para ilustrar tus diagramas.

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8. ¿Cuál es la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro de un

círculo? a. Expresa esta relación como una razón (fracción). b. ¿Qué símbolo se utiliza para representar esa razón? ¿Cuál es su valor? c. Define los elementos geométricos del círculo (radio, diámetro, cuerda, arco,

secante, tangente, entre otros). Realiza un dibujo en el cual ilustres los conceptos.

IV. Vocabulario y definiciones:

a. Recta y Semi recta o media línea. b. Rectas oblícuas, concurrentes, alabeadas. c. Rayo. d. Segmento. e. Semi plano. f. Puntos: colineales, coplanarios g. Construye una tabla con los prefijos y sufijos latinos que se utilizan en la

nomenclatura geométrica. i. Por ejemplo: mono, bi o di, tri, tetra, penta, hexa, hepta, octa, nona, deca,

endeca, -gono, -oide.

V. A mayor dedicación, más aprendes. Otros conceptos generales importantes y útiles.

1. ¿Cómo se aplican los conceptos congruencia y semejanza a los triángulos? a. Describe e ilustra los conceptos entre dos triángulos dados, a base de sus lados

y ángulos.

VI. Halle el perímetro o circunferencia y el área no sombreada.

1.

7cm

3 cm

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2.

3.

4.

10 in

12 in

3.5 ft

20 Km

15 Km

5 Km

cm

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VII. Aplique el Teorema de Pitágoras para determinar las medidas desconocidas. 1. 2. 3. VIII. . Justifique su proceso

basado en la teoría de ángulos. Determine:

1.

2.

3.

3 u

4 u

13 cm

12 cm

6 in 20 in

?

?

?

A B

C D

E DragoD

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4. IX. Escribe C (cierto) o F (falso) según sea el caso en el espacio provisto a la izquierda de

la premisa. Justifica tu contestación.

____1. Todo cuadrado es un paralelogramo. ____2. Endecágono es un polígono de quince lados. ____3. El área de un círculo está determinado por 2 π r. ____4. Al simplificar el resultado es -2. ____5. Dos ángulos son suplementarios cuando al sumar sus medidas se obtiene 90°. ____6. Dos lados adyacentes de un cuadrado son líneas paralelas. ____7. El área de un marco rectangular que mide 7 cm de ancho y 12 cm de largo es igual a

dos veces el ancho y dos veces el largo. ____8. El rayo AB se simboliza como . ____9. Dos ángulos con la misma medida son congruentes. ___10. El ángulo recto es aquél cuyas medidas son menores de 90°. X. Opción múltiple. Seleccione la mejor contestación. Justifique su respuesta.

1. Paralelogramo que es únicamente equilátero:

a. Cuadrado b. Rectángulo c. Rombo d. Romboide

2. Paralelogramo que no es ni equilátero ni equiángulo:

a. Rectángulo b. Rombo c. Romboide d. Trapecio

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3. Cuadrilátero que posee sólo un par de lados paralelos:

a. Trapecio b. Trapezoide c. Paralelogramo d. Cuadrado

4. ¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos?

a. Rectángulo b. Acutángulo c. Obtusángulo

5. ¿Qué es un paralelogramo?

a. Polígono de cuatro lados iguales, dos a dos b. Polígono de cuatro lados paralelos, dos a dos c. Polígono que tiene dos pares de lados consecutivos

6. Triángulo que no posee ángulos iguales:

a. Equiángulo b. Equilátero c. Escaleno d. Isósceles

7. No es posible la construcción de este triángulo:

a. Equilátero acutángulo b. Rectángulo isósceles c. Isósceles escaleno d. Equilátero obtusángulo

8. ¿Qué es el diámetro?

a. Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro b. Segmento que une dos puntos de la circunferencia c. Segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia

9. Es la cuerda de mayor tamaño en la circunferencia:

a. Diámetro b. Flecha o ságita c. Radio d. Tangente

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10. Recta que toca a la circunferencia en un solo punto:

a. Cuerda b. Radio c. Secante d. Tangente

11. Los ángulos opuestos por el vértice son:

a. Complementarios b. Iguales c. Independientes d. Suplementarios

12. Se calcula sumando las medidas de las longitudes de los lados en una figura plana:

a. Volumen b. Superficie c. Perímetro d. Área

13. Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43º y 105º.

Dibuje la figura.

a. 60º b. 42º c. 32º

14. Calcule el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del radio es 22.6 cm. Dibuje la figura.

a. 141.928 cm b. 140.753 cm c. 137.053 cm

15. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de longitud. Calcule la longitud de la hipotenusa. Dibuje la figura.

a. 7 b. 6 c. 5

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16. Calcule la circunferencia de un círculo de 8.74 cm de radio. Dibuje la figura.

a. 60.3 b. 54.9 c. 44.8

17. Calcule el área del círculo del ejercicio #16 tomando como referencia la medida de su radio.

a. 300 cm2 b. 240 cm2 c. 205 cm2

18. Calcule el área de un rectángulo con ancho de 3 cm y largo de 7 cm. Dibuje la figura.

a. 32 b. 21 c. 18

19. Calcule el área de un cuadrado cuyo lado mide 2 cm. Dibuje la figura.

a. 3 b. 4 c. 6

NOTA: Utiliza regla, transportador y papel cuadriculado milimetrado para evidenciar las respuestas de los ejercicios #20 y #21.

20. No se puede construir un triángulo con el siguiente grupo de medidas:

a. 2 cm, 3 cm y 4 cm b. 4 cm, 6 cm y 5 cm c. 5 cm, 9 cm y 4 cm d. 7 cm, 6 cm y 8 cm

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21. Con las siguientes medidas es posible construir un triángulo:

a. 5 cm, 3 cm y 9 cm b. 9 cm, 6 cm y 3 cm c. 10 cm, 5cm y 4 cm d. 8 cm, 5 cm y 4 cm

22. Son las medidas de un triángulo rectángulo:

a. 9 cm, 6 cm y 3 cm b. 13 cm, 12 cm y 5 cm c. 10 cm, 5 cm y 4 cm d. 8 cm, 5 cm y 4 cm

23. El suplemento del complemento de 15o:

a. 165° b. 105° c. 75° d. 15°

24. La suma de los ángulos interiores de un pentágono es:

a. 180° b. 360° c. 540° d. 720°

25. El ángulo interior de un hexágono regular mide:

a. 60° b. 90° c. 108° d. 120°

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XI. Pareo. Línea, ángulo y triángulos. Parea las letras de la Columna B con los conceptos de la Columna A.

COLUMNA A COLUMNA B

__ 1. Triángulo rectángulo a. 30o __ 2. Triángulo acutángulo b. 40o __ 3. Ángulo agudo c. 45o __ 4. Ángulos con lado común d. Ángulo llano __ 5. Mide 90o e. Ángulo recto __ 6. Opuestos por el vértice. f. Ángulos congruentes. __ 7. Isósceles g. Consecutivos __ 8. Rectas perpendiculares h. Dividen al plano en cuadrantes __ 9. Triángulo con tres lados iguales i. Equilátero __ 10. Mide 180o j. Más de 90o __ 11. Ángulo igual a su complemento k. Mide menos de 90o __ 12. Rectas secantes l. No tienen ningún punto común __ 13. Segmento m. Parte de una recta __ 14. Rectas paralelas n. Se cortan en un punto. __ 15. Escaleno o Suplementarios __ 16. Suplemento de 140o p. Tiene ángulos agudos __ 17. Dos ángulos que suman 180o q. Tiene lados desiguales __ 18. Semirrecta r. Tiene principio y no fin __ 19. Complemento de 60o s. Tiene un ángulo recto __ 20. Ángulo obtuso t Triángulo con dos lados iguales

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XII. Actividad de desarrollo. Desarrollo de otros poliedros.

Prisma Cuadrangular

Prisma hexagonal

Ortoedro

Pirámide cuadrangular

Pirámide hexagonal

Cilindro

Cono

1. Amplia las imágenes utilizando una fotocopiadora. Mide el área de superficie. 2. Corta la figura por su perímetro. Calcula su perímetro. 3. Dobla el papel por las líneas para formar el sólido. Cierra la figura con cinta adhesiva. 4. Calcula su volumen.

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