XXI Congreso SOCHEDI

Física y Condiciones geométricas: aproximación con algebras de operaciones

elementales de la matemática

Patricio Pacheco H (UDLA)

Sidney Villagrán R (UDLA)

Miguel Bustamante S (U.ADOLFO IBAÑEZ)

Resumen

Se muestran diversos fenómenos naturales y sus variedades de conceptos del algebra y de representaciones geométricas. A través de estas se analiza la evolución de los sistemas numéricos asociados a los fenómenos físicos, disponiendo al estudiante al descubrimiento de diversas propiedades que surgen como consecuencia del calculo numérico de la conmutatividad, anticonmutatividad, reflexión, dominio de validez, etc, - en general conceptos de física y matemáticas de alta abstracción para alumnos de primer año – los que se traducen en visualizaciones y construcciones rigurosas.

Los resultados se concentran en proposiciones de acción correctivas de las deficiencias que traen los alumnos en algebra, operatoria matemática básica y manejo de conceptos elementales de ciencias.

Problema muy grave a nivel de primer año de educación superior ya que inhibe al alumno de desarrollar habilidades más complejas en su proceso de avance y profundización de estudios, en particular en los niveles mayores de abstracción.

Una condición geométrica actúa como un polarizador de relaciones matemáticas pues selecciona de los infinitos pares ordenados P(x, y) que conforman el plano cartesiano solo aquellos P(x, y) tales que la satisfacen, generando el álgebra de relación entre los diversos pares ordenados. Gráficamente el sistema:

 

Figura Nº1

Es así que, a modo de ejemplo, dada la condición geométrica:

donde

aPFPF 221 22

222

1 )(,)( ycxPFycxPF

obtener la ecuación que relaciona los diversos pares ordenados que la satisfacen. Esta condiciones es representada en el Grafico Nº1. Del álgebra asociada se concluye:

Grafico Nº1

12

2

2

2

b

y

a

x

.

El uso del lenguaje matemático para la representación de diversos fenómenos de la física muestra que los principios en ellos contenidos pueden mostrarse a través de propiedades geométricas y del algebra de operaciones elementales que permiten “visualizar” en la operatoria el concepto o abstracción.

Ondas periódicas producidas por dos generadores en igualdad de fase.Los lugares estables -líneas en rojo- son zonas nodales

Y

X

Como ejemplo de la condición geométrica para n = 2:

Se desprende:

2

321 PGPG

Conservación del Momentum Angular

21

21

2211

21222111

22

212

1

222111

2211

2211

2211

2211

21

21

21

.)()(

AA

AA

lrlr

ctessonysenrrsenrr

senrsenr

senrrsenrr

rrmrrm

rmrrmr

trmrtrmr

vmrvmr

LL

Cálculos Numéricos

PERIHELIOAFELIO

PERIHELIOPERIHELIOPERIHELIO

AFELIOAFELIOAFELIO

PERIHELIO

AFELIO

SOL

SOL

TIERRA

PERIHELIO

AFELIO

AA

Concluimos

mtvRA

mtvRA

areasdecalculoelsegdiattiempounPara

seg

mv

seg

mv

desprendeseR

MGv

kg

NmG

kgM

kgm

mR

mR

SOLALTORNOENTIERRALADEROTACIONDATOS

:

10*91.12

1

10*94.12

1

:,864001

30125

29625

:

10*67.6

10*0.2

10*6.5

10*47.1

10*52.1

:

220

220

2

211

30

24

11

11

Prevencion de accidentes:el peligro del "efecto latigazo" en choques traseros

• Las operaciones elementales de suma y multiplicación, en los Números Reales, satisfacen:

• 1º. Propiedad de clausura

• 2º. Existencia del elemento neutro

• 3º. Existencia del elemento inverso

• 4º. Propiedad asociativa

• 5º. Propiedad conmutativa.

• Las operaciones elementales de resta o sustracción y la división o cuociente no. Más aun, en una propiedad como la conmutatividad, los sistemas numéricos bajo estas operaciones no la cumplen. En ellas el orden o sentido de la operación que se realiza es fundamental.

Para visualizar esto podemos analizar el siguiente

ejemplo.

• Operación elemental suma (o adición)

• “El resultado de la suma es independiente del orden de los sumandos”

• 3 + 2 = 5

• 2 + 3 = 5, conmutatividad

• Si ocultáramos los lados izquierdos de las ecuaciones y solo presentáramos los números cincos de resultados, seria imposible en forma determinista indicar el orden de los sumandos - 2 y 3 - con los que se realizo la operación suma.

• Esto es equivalente a proyectar sobre un espejo una barra (objeto real) el que generara una imagen virtual del objeto. Luego tomar una foto digital y a través de un software adecuado proceder a borrar el contorno del espejo, con la precaución de no dejar huellas de intervención de la imagen, ¿Cómo podríamos saber cual es la barra real y la virtual?

Operación elemental sustracción (o resta)

• “El resultado de la sustracción depende del orden de los sustraendos”

• 3 - 2 = 1• 2 - 3 = -1, no conmutativo • Si ocultáramos los lados izquierdos de las

ecuaciones y solo presentáramos el más uno y el menos uno de resultado del ejemplo particular presentado, el orden en que se realiza la operación es fundamental en el resultado debido a la condición de no conmutatividad de la operación de sustracción.

• Esto es equivalente a proyectar, sobre un espejo, una barra (objeto real) el que generara una imagen virtual del objeto, en una posible interpretación, paralela o superpuesta al objeto real y que sale del espejo (no que “entra” al espejo o que se vea al interior del espejo). Luego, igual que en el caso de la suma, se procede a sacar una foto digital y a través de un software conveniente se borra el contorno del espejo, con la precaución de no dejar huellas de intervención de la imagen, el sesgo del carácter no conmutativo de la operación, ¿da pistas necesarias y suficientes para saber cual es la barra real y la virtual?.....¿existe huella, historia o pasado?....la respuesta probable es que si….es decir el sentido de la operación o camino que se elija es crucial en el resultados o obtener….la resta y también la división dejan pistas por donde han andado….sugestivo corolario sobre como debemos hacer nuestra cultura…

El mundo real no es conmutativo

• La conmutatividad no es una propiedad adquirida en el mundo real. Por ejemplo cuando nos levantamos por la mañana, no es demasiado importante el orden en el que nos ponemos el reloj o los zapatos. Pero, ¡más vale no cambiar la disposición de la ducha y el vestido!

• En matemáticas, a menudo, los números conmutan, pero no las operaciones o acciones. Además, todas las operaciones no conmutativas no son similares.

Imaginemos dos navíos que levan anclas a la vez desde el

ecuador

• El primer navío viaja 100 millas hacia el este, después gira y navega aun 100 millas hacia el norte;

• el segundo navío viaja 100 millas hacia el norte, después gira y navega 100 millas hacia el este.

El segundo barco queda 0.32 millas al este del primero. Pero, si se repite la misma operación con 1000 millas en vez de 100, el alejamiento es mas largo, alrededor de 32 millas. La conmutatividad no puede aplicarse aquí a causa de la curvatura de la Tierra, y mas aun, el error cometido depende de la distancia recorrida…

La multiplicación de matrices no es conmutativa

Matrices de Rotación en 3 Dimensiones

Multiplicación de matrices de rotación

coscos

coscos

0cos

cos0

coscos

0cos

100

0cos

0cos

cos0

cos0

001

cos0

cos0

001

100

0cos

0cos

2

22

2

sensen

sensen

sen

sen

sensen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sensen

sen

La reflexión yyxx ;

¿Qué es la reflexión de ondas?

La reflexión es el fenómeno físico que explica la incidencia de las ondas contra un material y su curso posterior cuando el material sobre el cual incide no absorbe la onda.La ley de reflexión asegura que el ángulo de incidencia y el de reflexión es el mismo.

Reflexión de ondas

Simetría

Matemáticamente la representación por , simetría respecto del eje Y

2)()( xfxf

Mosaicos no periódicos: Los de Penrose que presentan localmente ciertas simetrías pentagonales son aperiódicos y compuestos mayoritariamente por rombos, y han resultado existir en los casi cristales, hoy de gran importancia por sus propiedades físicas que los hacen útiles en la construcción de elementos de ordenadores.

Simetría en la naturaleza

Morfogénesis y emergencia de patrones en sistemas biológicos: del rompimiento de simetría a la autoorganización y la excitabilidad

CASO INTERESANTE ES EL DE LOS SISTEMAS BIOLOGICOS

• La geometría desarrollada desde Descartes está basada en la noción de punto cuya posición está determinada por un sistema de coordenadas en el espacio de dimensión tres.

Desde el descubrimiento de la mecánica cuántica, la noción de punto deja paso a la noción de "estados", que corresponde más bien a una nube de puntos, a los diferentes estados posibles de un “punto” en el espacio, tomando como modelo un electrón alrededor del núcleo de un átomo. En este espacio las operaciones no son ya conmutativas y A por B no es por ejemplo igual a B por A. La geometría clásica no permitía resolver estas operaciones.

• Alain Connes (matemático francés) ha imaginado un espacio geométrico ficticio que permite la resolución de las álgebras no conmutativas.

Nubes de probabilidad

USO DE LAS OPERACIONES ELEMENTALES DE LA ARITMÉTICA A TRAVÉS DE ITERACIONES

EL PRINCIPIO FÍSICO SE RESUME EN LA ECUACIÓN:

FÓRMULAS BÁSICAS DE EULER PARA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN:

X ( I + 1 ) = X ( I ) + h * U ( I )

U ( I + 1 ) = U ( I ) + h * F ( I ) I = 0,1,2,3,4, ...

X: Representa cualquier magnitud fisica

U: Representa los cambios de la variable X respecto del tiempo

h: Representa el incremento del i – ésimo punto en el tiempo

),(2

2

tXFdt

Xd

Para el sistema Masa + gravedad de la tierra:

es posible obtener la segunda ley de Newton del principio de conservación de la energía. A través de las operaciones elementales de la aritmética y empleando un proceso Iterativo elemental que entrega los pares ordenados de interés explicitamos las propiedades geométricas respecto de las algebras conmutativas.

ENERGIAygmm

p

ygmm

pmp

m

pygmympyH

y

yy

yy

2

2

22

2

1

)2

1()

2

1(

yy Fpmgy

H

SISTEMA MASA + GRAVEDAD

ECUACIONES PARA EL PROCESO ITERATIVO:

X(I+1)=X(I) + h* U (I) U(I+1) = U(I) + h * U (I)

CONDICIONES INICIALES: X(0) = 0 U(0) = 0

PASO: h = 0.1

PLANILLA DE CALCULO:

I = 0 X(1) = X (0) + 0.1 * 0 = 0 U(1) = U(0) + 0.1*9.8 = 0.98

I = 1 X(2) = X (1) + 0.1 * 0.98 = 0.098 U(2) = U(1) + 0.1*9.8 = 1.96

I = 2 X(3) = X (2) + 0.1 * 1.96 = 0.294 U(3) = U(2) + 0.1*9.8 = 2.94

I = 3 X(4) = X (3) + 0.1 * 2.94 = 0.588 U(4) = U(3) + 0.1*9.8 = 3.92

I = 4 X(5) = X (4) + 0.1 * 3.92 = 0.980 U(5) = U(4) + 0.1*9.8 = 4.90

I = 5 X(6) = X (5) + 0.1 * 4.90 = 1.470 U(6) = U(5) + 0.1*9.8 = 5.88

I = 5 X(7) = X (6) + 0.1 * 5.88 = 2.058 U(7) = U(6) + 0.1*9.8 = 6..86

I = 6 X(8) = X (7) + 0.1 * 6.86 = 2.744

Tablas de valores y Gráficos

t (seg) x (m)0 0

0.1 0.0980.2 0.2940.3 0.5880.4 0.980.5 1.470.6 2.0580.7 2.744

t(seg) v (m / s )0 0

0.1 0.980.2 1.960.3 2.940.4 3.920.5 4.90.6 5.880.7 6.86

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

1. Desarrollar metodologías de aprendizaje

2. Conocer y caracterizar conceptos de matemáticas

2. Comprender principios de la Física a través de su relación con propiedades del algebra y la geometría

3. Aplicar y corregir procesos de operatoria matemática básica

5. Construir e interpretar gráficos

6. Caracterizar variables fundamentales de diversos fenómenos de Ciencias Básicas

7. Obtener relaciones de dependencia funcional

8. Indicar dominio de validez de las variables dependientes e independientes en la expresiones funcionales