geometria ivbimestre

7/24/2019 Geometria IVbimestre

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INSTITUCIN EDUCATIVA PRIVADA

En Primaria y Secundaria

El mejor nivel educativo

YURI CHIRINOS SNCHEZ

1


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YURI CHIRINOS S NCHEZ

2

MATEMTICA-GEOMETRAARQUITECTURA DEL CONOCIMIENTO: MARCO

CONCEPTUAL-3ro

VIII. REAS DE LAS FIGURASGEOMTRICASTemporalizacin:

(Del 09 de Octubre al 02 de Noviembre)

12.2.Relaciones de reas12.3.rea de la regin

polgono regular12.4.rea de la regiones

circulares

IX. SLIDOSGEOMTRICOS

Temporalizacin:(Del 05 de Noviembre al 30 de

Noviembre)

13. Slidos Geomtricos.13.1. Definicin.13.2. Determinacin del

plano13.3. Poliedros13.4. Prisma y Pirmide13.5. Cilindro y Cono13.6. Esfera13.7. Ejercicios aplicando las

propiedades.


3/21


3

h

l

l

B

CA

l

REAS TRIANGULARES

REGIN: Es aquella parte de una superficie planadelimitada por una lnea.

REA:Es el nmero que indica la medida de unaregin, es decir es igual al nmero de veces que seutiliza la regin unitaria.

REA DE REGIONES TRIANGULARES

A continuacin daremos una serie defrmulas para calcular las reas de diversasregiones triangulares.

Frmula bsica

Tringulo equiltero

Frmula de Hern

Por el Inradio

Expresin Trigonomtrica

PROPIE DADES:

RELACIN DE REAS ENTRE DOSTRINGULOS:

Si dos tringulos tienen la misma altura,entonces la relacin entre sus reas ser

igual a la relacin entre sus bases.

A = )cp)(bp)(ap(p

A = 2

hxb

b

h

b

h

b

h

c

a b

rA = P . r

P =2

cba

a

b

A = 2

ab

Sen


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4

OBSERVACIONES:

1. En todo tringulo se trazan las tres medianas, sedeterminan seis tringulos equivalentes

2. En todo tringulo si se une el baricentro con sustres vrtices, se determinan tres tringulos

parciales equivalentes.

3. En todo tringulo si se une el baricentro conlos puntos medios de los tres lados se generantres regiones equivalentes.

4. En todo tringulo si se unen los puntos mediosde sus tres lados se determinan cuatrotringulos parciales equivalentes.

MATERIAL DE CLASES

1. Calcular el rea de la regin triangular ABC, si:BC=15, AC=17, AB=8.Rpta.: ........................................................

2. En la figura. Calcular el rea de la regintriangular ABC.

Rpta.: ........................................................

3. En el grfico: AM es mediana, S1 = 19, S2 = 11.Calcular Sx

Rpta.: ........................................................

4. En el grfico: calcular el rea de la regintriangular ABC.

Rpta.: ........................................................

5. En el grfico, calcular la relacin entre las reasde las regiones sombreadas y no sombreadas.

*

S S

S

SS

S

A

A

A

A


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5

Rpta.: ................................................

6. En el grfico, calcular el rea de la regintriangular ABH.

Rpta.: ........................................................

7. En la figura, calcular el rea de la reginsombreada. Si ABCD es un rectngulo, AE = 4,BE = 6.

Rpta.: ..................................................

8. En el grfico: calcular el rea de la regin DFC;si: AD = DC, DF = 6.

Rpta.: ..................................................

9. En el grfico: si el rea de la regin triangularABC es 222u2. Calcular a.

Rpta.: ................................................

10. Si ABC es un tringulo equiltero; calcular surea en funcin de r.

11. En el grfico. Si: AB = CD = 4. Calcular el reade la regin sombreada.

Rpta.: ................................................

12. En el grfico. Si: OA = OB = 5y PH = 2(EF).Calcular el rea de la regin sombreada

Rpta.: ................................................

13. En el grfico : Dimetro. Calcular: (S1 + S2);si, R = 4u.

Rpta.: ................................................

14. En un trapecio rectngulo ABCD se tiene que labase menor mide 3u. En la altura se ubica

el punto F; tal que el ngulo AFD es el doble del


6/21


6

ngulo BCF y FD = 8u. Calcular el rea deltringulo CFD.

Rpta.: ................................................

15. En el grfico. Calcular el rea de la reginsombreada.

Rpta.: ................................................

16. En el grfico: Calcular el rea de la reginsombreada, si: AH=4, HC=12.

Rpta.: ................................................

17. En la figura: calcular AC. Si el rea de la regintriangular ABC es 12. Si: BH = 3(AC). CalcularAC.

18. El rea de la regin triangular ABC es 43.Calcular su permetro.Rpta.: ................................................

19. En el grfico: si BC = 10, calcular el rea de laregin triangular ABC.Rpta.: ................................................

20. En la figura, BP = 4, AC = 10. Calcular el rea dela regin sombreada.

Rpta.: ................................................


7/21


7

MATERIAL DE CLASES

1. En el grfico. Calcular el rea de la regincuadrada ABCD; si: CE=EDRp ta .: ........................................................

2. En el grfico: calcular el rea de la regin

romboidal si: QR = 9, RS = 4 y MS = 7.

Rp ta .: ........................................................

3. Calcular el rea de una regin rombal sabiendoque la longitud de su lado es 13 y de su diagonalmayor es 24.Rp ta .: ........................................................

4. Un rectngulo est inscrito en una circunferencia9 de radio 5, si uno de los lados del rectngulotiene como longitud 8. Calcular el rea de laregin rectangular.Rp ta .: ........................................................

5. Calcular el rea de la regin limitada por untrapecio issceles cuyas bases miden 2 y 8respectivamente, los ngulos adyacentes a labase mayor mide 53 cada uno.Rp ta .: ........................................................

6. Calcular el rea de una regin cuadrada, si las

longitud de sus diagonales 82.Rp ta .: ........................................................

7. En el grfico: qu valor debe tomar x, para queel rea del tringulo ABE sea la mitad del readel trapecio BCDE?

Rp ta .: ........................................................

8. Un terreno de forma rectangular tiene unpermetro igual a 46, siendo su diagonal igual a17 calcular el rea del terreno?Rp ta .: ........................................................

9. Uno de los ngulos interiores de un rombo mide150, el permetro de su regin es 24. Calcular elrea de dicha regin rombal.Rp ta .: ........................................................

10. En el grfico: calcular el rea de la regintrapecial.

Rp ta .: ........................................................

11. En el grfico: calcular el rea de la regintrapezoidal de FOCD si el rea de las regionestriangulares BOC y AOF tienen valores 9 y 25respectivamente, // .

Rp ta .: ........................................................

12. En el grfico: calcular el rea de la reginmostrada, si: AB=12, BC=5, CD=4, DE=13.

Rp ta .: .......................................................

13. En el grfico: calcular el rea de la regincuadrangular APQC. Si: es base media,AC=8, QH= 6 .

Rp ta .: ........................................................

14. El permetro de una regin rectangular es 60adems el largo es el doble de su ancho.Calcular su rea.Rpta.: .......................................................

15. En un trapecio rectngulo ABCD, recto en A y enB, se sabe que: BC=6, AD=8. Si el rea de laregin trapecial es 35. Calcular AB.Rpta.: .......................................................


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8

16. En el cuadrado ABCD, M y N son puntos mediosy calcular el rea de la regin ABPD; de mayorpermetro. (Sx)

}Rp ta .: ........................................................

17. Calcular el rea de la regin sombreada, siABCD es un cuadrado de rea 144u2y de centroO.

Rp ta .: .......................................................

18. En la figura, ABCD es un trapecio, // ,S(BPC)=4, S(APD)=9. Calcular S(ABCD)

Rpta.: .......................................................

19. En el grfico: calcular el rea de una reginromboidal ABCD.

Rpta.: .......................................................

TAREA DOMICILIARIA

1. Determine el rea de un rectngulo cuyos

lados miden 1,2m y 96cm. ( en2

m ) .A) 11,52 B) 0,1152 C) 1,152D) 1,232 E) 1.23

2. Halle el rea de un rectngulo, si supermetro es 50 m, siendo la medida de unode sus lados de 11 m.

A) 100 2

m B) 108 2

m C) 112 2

m D) 154

2m E) 164

2m

3. La diagonal de un rectngulo ABCD mide 15,el lado BC mide 12. Determine el rea de eserectngulo.A) 108 B) 120 C) 180D) 135 E) 90

4. Halle el rea de un cuadrado, sabiendo queuna de sus diagonales mide 10.

A) 50 B) 100 C) 50 2

D) 100 2 E) N.A.

5. En la figura: ABCD es un cuadrado cuyo ladomide 12. Determine el rea del cuadrilteroAMDO.

A) 144 B) 72 C) 108D) 36 E) 100

6. Halle el rea de un paralelogramo ABCDcuyos lados miden 12 y 8, se sabe ademsque una de sus alturas mide 9.A) 80 B) 90 C) 76C) 72 E) 78

7. Se tiene un trapecio rectngulo ABCD, cuyosngulos A, B y D miden 90, 90 y 45respectivamente. Halle el rea del trapecio si

AB = 3, y la base menor BC mide 4.A) 16,5 B) 33 C) 22,5D) 45 E) 64

8. Halle el rea de un rombo cuyas diagonalesmiden 15 y 22.

A) 165 B) 156 C) 330D) 235 E) 135

9. Si las diagonales AC y DB de un cuadriltero

ABCD son mutuamente perpendiculares,Determine su rea si: AB = 12 y BD = 20.A) 120 B) 240 C) 150D) 180 E) N.A.

10. Se tiene un trapecio ABCD de bases quemiden: BC = b, y AD = 3b. Si: M y N sonpuntos medios de las diagonales, quporcentaje del rea del trapecio es el rea deltringulo MND?A) 12,8% B) 25% C) 20%D) 12,5% E) 10%

M

A

BC

D

O


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9

11. En la figura que se muestra: determine larelacin que existe entre las partessombreada y no sombreada, ABCD esencuadrado y O, su centro.

A) 5: 8 B) 3: 8 C) 3:5D) 8: 3 E) 5: 3

12. Determine el rea del rombo ABCD si supermetro es de 64.

A) 160 B) 320 C) 120D) 240 E) N.A.

13. En la figura: las habitaciones tienen formacuadrada, la sala tiene una extensin de 27

2m , la de la oficina es de 12

2m . Cul es

la extensin del saln de actos?

A) 70 2m B) 85

2m C) 60

2m

D) 75 2m E) 90

2m

14. En la figura: ABCD es un rectngulo. Culdebe ser el valor de x para que el rea del

tringulo ABE sea la mitad del rea deltrapecio AECD?

A) 16/3 B) 8/3 C) 3/16D) 3/8 E) 5

15. En la figura, halle la relacin entre las reasdel tringulo AMR y el paralelogramo ABCD.

A) 1/2 B) 3/4 C) 1/3D) 1/4 E) 2/3

CIRCUNFERENCIAS

MATERIAL DE CLASES

1. En el grfico: calcular el rea de la reginsombreada. Si O1 y O2 son centros, r = 2 y R =5.

Rpta.: ........................................................

2. En el grfico O es centro: calcular el rea delsector circular.

Rpta.: ........................................................

3. En el grfico O es centro, A es punto detangencia: calcular el rea de la corona circular.AB = 4.

Rpta.: ........................................................

A

B C

D

O

CA

B

5

D

Saln de

actos

Sala

Ofic.

M

B

A D

R C

A

B Ex C

D

2

4


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10

4. En el grfico O es centro: calcular el reaDel segmento circular sombreado AOB.

Rpta.: ........................................................

5. En el grfico: calcular el rea de la reginsombreada. Si O y Q son centros OB = 4.

Rpta.: ........................................................

6. En el grfico: calcular el rea de la reginsombreada.

Rpta.: ........................................................

7. En el grfico: calcular el rea de la reginsombreada. Si es dimetro y adems AO =OB = 3; m 60

Rpta.: ........................................................

8. En el grfico: calcular el rea del crculo si estinscrito en el sector circular. Si O es centro.

Rpta.: ........................................................

9. Calcular el rea de un crculo inscrito a untringulo rectngulo cuyos catetos miden 8 y 15.Rpta.: ........................................................

10. En la figura: calcular el rea de la reginsombreada. Si: AB = 6, BC = 8. Si O es centro.

Rpta.: ........................................................

11. En el grfico: Calcular el rea del crculo. Si:AB = BC = 5 y AC = 6. M, N, P son puntos detangencia, si: O es centro.

Rpta.: ........................................................

12. En el grfico: calcular el rea de la coronacircular.

Rpta.: ........................................................

13. Si: AB=4, OA=R, OP=r. Adems: P es punto de

tangencia.

Rpta.: ........................................................


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11

14. En el grfico: m = 90, AB = 62. Calcular elrea del crculo. Si: O es centro.

Rpta.: ........................................................

15. En el grfico: ABCD es un cuadrado,AB = 22 . Calcular el rea de la reginsombreada. Si: O1 y O2 son centros.

Rpta.: ........................................................

16. En el grfico O es centro: calcular el rea delsector circular AOB. Si OA = 6.

Rpta.: ........................................................

17. En el grfico P y O son centros: calcular el reade la regin sombreada.

Rpta.: ........................................................

18. En el grfico: calcular R; si O es centro y el reade la regin sombreada es 10 .

Rpta.: ........................................................

19. En el grfico. Calcular el rea de la reginsombreada. Si: BC = 4, O es centro y OBCD esun cuadrado (B y D son puntos de tangencia).

Rpta.: ........................................................

20. En el grfico: el rea del crculo es 9 . Calcularel rea de la regin cuadrada. R: Radio.

Rpta.: ........................................................

TAREA DOMICILIARIA

1. Halle el rea de un crculo sabiendo que su radiomide 5.A) 10 B) 15 C) 20

D) 25 E) 36

2. Encuentre la longitud del radio de un crculo cuyarea es de 36 unidades cuadradas.

A) 12 B) 6 C) 5D) 10 E) N.A.

3. Determine el rea correspondiente a un cuartode crculo cuyo radio mide 12.

A) 90 B) 72 C) 36

D) 54 E) 45


12/21


12

4. Determine el rea de la regin circular de lafigura: BD mide 12

A) 12 B) 18 C) 24

D) 36 E) N.A.

5. En la figura: Halle el rea de la regin sombreadasabiendo que AB = 16, O es el centro.

A) 12 B) 8 C) 16

D) 9 E) N.A.

6. En la figura, determine el rea de la reginlimitada por: OA, OB, OD y las curvas AB y CD,se sabe adems que: OC = CB = OD = 6.

A) 27 B) 36 C) 45

D) 54 E) 30

7. En la figura: determine el rea de la reginsombreada.

A) 16 B) 8 C) 32 D) 16 (4 ) E) N.A.

8. Encuentre el rea de la regin sombreada: O esel centro del sector cuyo radio mide 6

A) 6 B) 12 C) 9

D) 3( 2 - 3 3 ) E) N.A.

9. En la figura, determine al rea de la reginsombreada, se sabe que ABCD es un cuadradocuya rea es de 64 unidades cuadradas.

A) 32 B) 32 C) 16

D) 16 E) 24

10. Determine el rea de la regin sombreada, se

sabe que ABCD es un rectngulo cuyo permetroes de 20.

A) 4(4 + ) B) 4(4 - ) C) 8(4 - )

D) 5(4 - ) E) N.A.

11. En la figura, halle el rea de la parte sombreada:ABCD es un cuadrado cuyo permetro es 32.

A) 16( - 2) B) 32( -2) C) 48( -1)

D) 24( +2) E) N.A.

A

B

D

C

OA B

60

30

A

O BC

D

O4

A

B C

D

60O

A

B

A

B C

D

A

B C

D


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13

12. Se tiene una circunferencia cuya longitud es de12 . Determine el rea de su crculo.

A) 24 B) 12 C) 36

D) 64 E) 18

13. Halle el rea de la regin sombreada, se sabeque el hexgono es regular y su lado mide 6.

A) 18(2 -3) B) 24(3 -2) C)36(2 -3)

D) 24(2 -3) E) N.A.

14. Determine el rea de la regin sombreada, elcuadrado tiene un permetro de 16 unidades.

A) 4(4 - ) B) 8 ( -2) C)4( - 2)

D) 4( - 2) E) 8( + 2)

15. Halle el rea de la regin sombreada: AB = 12 yBC = 8, AB, BC y AC son dimetros. Determineel rea de la regin sombreada

A) 50 B) 60 C) 40

D) 45 E) 54

SLIDOS POLIEDROS

Son aquellos poliedros cuyas caras son polgonosregulares. Solamente existen 5 poliedros regulares:

CONVEXO NO CONVEXO

CARA

VERTICE

ARISTA

C = 5V = 6A = 9

TEOREMA DEEULER

C = 6V = 6A = 10

C + V = A + 2 Siendo: C: N de carasV: N de vrticesA: N de aristas

TETRAEDRO

OCTAEDRO

ICOSAEDRO

HEXAEDRO(Cubo)

DODECAEDRO

FORMA DE LA CARA C V A

4 4

8 6

20 12

6 8

12 20

TETRAEDRO REGULAR

ah

h Altura: h =a 6

a 2A = a 32 V =3

12

3

d Diagonal del slido

a 2A = 2a 32 V =3

3

d = a 2

OCTAEDRO REGULAR

a

AB

C


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14

Observacin

Paraleleppedo rectangular (rectoedro uortoedro)

MATERIAL DE CLASES

1. Determine el nmero de caras laterales de unprisma que tiene un total de 11 caras.A) 11 B) 10 C) 8D) 9 E) 7

2. Determine la cantidad de aristas laterales de unprisma que tiene un total de 14 caras.A) 10 B) 12 C) 8D) 15 E) N.A.

3. Encuentre el rea lateral de un cubo cuya aristalateral mide 8A) 32 B) 128 C) 256D) 512 E) 424

4. Halle el rea total de un cubo, sabiendo que ladiagonal de cada una de sus caras mide 10.

A) 600 B) 300 C) 500D) 1500 E) 900

5. Las dimensiones de un ladrillo son: 18 cm, 12 cmy 8 cm. Determine el volumen de este ladrillo en

3cm .

A) 456 B) 912 C) 1728D) 1546 E) 980

6. Un fabricante decide vender su harina en cajasde forma rectangular, cuyas dimensiones son: 10cm, 6 cm y 3 cm. Determine la cantidad de harina

(en 3cm ) que contiene cada uno de estos

paquetes.

A) 150 B) 210 C) 120D) 180 E) 250

7. En el problema anterior determine el costo decada uno de estos paquetes, si el comerciante

compra la harina a S/. 6 cada kilo el que ocupa1000 3cm .

A) S/. 1,2 B) S/. 1,1 C) S/. 1,05D) S/. 1,02 E) S/. 1,08

8. Un pintor cobra S/. 7 por cada metro cuadrado desu trabajo. Cunto es lo que debe cobrar porpintar una habitacin que tiene dimensiones 4 m,2,5 m y 2,4 m de alto.

A) S/. 277 B) S/. 310 C) S/. 256D) S/. 246 E) S/. 298

9. Una piscina tiene por dimensiones; 10 m, 7 m, y2,5 m. Si sta se encuentra llena en sus 3/5

partes, determine la cantidad de 3m de agua quese necesita para llenarla.A) 110 B) 35 C) 70D) 140 E) 50

10. Encuentre la cantidad de vrtices de un prismaque posee 12 caras laterales.A) 24 B) 18 C) 12D) 20 E) 15

11. Encuentre la longitud de la mayor diagonal enuna de las caras laterales de un prismarectangular cuyas dimensiones son de 12; 16 y10.A) 25 B) 26 C) 14D) 20 E) 23

12. En un recipiente de base rectangular, llenoparcialmente con agua, se introducen dosbloques cuyos volmenes son de 1/4 de metrocbico cada uno. Si las dimensiones del

recipiente son 2 m, 4 m, y 1,8 m de alto. Indique

HEXAEDRO REGULAR (CUBO)

D

a

A = 6a2

D = a 3

V = a3

a

D c

a b

A = 2(ab + ac + bc)

D = a + b + c2 2 2 2

V = abc


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15

en qu nivel (en cm.) se eleva la altura delrecipiente.

A) 8 B) 6,25 C) 9,6D) 14 E) 10,4

13. Se sabe que un cubito de 6 cm de arista pesa 40g. Determine el peso de un cubo hecho delmismo material y con una arista de 15 cm.A) 100 B) 600 C) 625D) 720 E) 1000

14. Encuentre la longitud de la diagonal de un prismarectangular cuyas caras tiene dimensiones: 12 m,4 m, y 3 m.A) 13 B) 15 C) 16D) 17 E) 14

16. Para llenar un recipiente de base rectangular con

medidas de 5 m. 2 m, y 1,4 m de alto se utilizanbaldes de 0,16 3m . Si ya se han echado 40 deestos baldes, hasta qu altura se encuentraocupado el recipiente?A) 80 cm B) 72 cm C) 56 cmD) 64 cm E) 45 cm

17. En el problema anterior, determine qu cantidadde baldes hace falta agregar para llenar elrecipiente.A) 48 B) 72 C) 36D) 40 E) N.A.

18. Determine la altura de una caja cuyo volumen es

de 9 3m . Las bases tienen por dimensiones 3 my 2 m.A) 1,2 B) 1,8 C) 0.9D) 1,4 E) 1,5

19. Halle el rea total de una caja de zapatos con

medidas de 36 cm, 25 cm y 20 cm. (en 3m ).A) 0,3 B) 0,03 C) 0.003D) 0.25 E) 0.025

PRISMAPIRMIDE

Observacin

Si las bases son polgonos regulares entonces elPrisma es regular.

PIRMIDE

A'B'

C'

A B

C

Bases

ABC y A'B'C'

Aristas laterales

AA' , BB' , CC'

Aristas bsicas

AB , BC , AC

Caras laterales

ABB'A', BB'C'C, ACC'A'

h

rea lateral (A )

ABASE

L

rea total (A )T

V = A AlturaxBase

Volumen (V)

A = A + 2AT

A =Permetro

L Basex h

L Base

ABASE

h: Altura del prisma

Vrtice o cspide

Arista lateral

Arista bsica

BaseV =

A x h3

B

h


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16

PIRMIDE REGULAR

REA LATERAL (AL)

REA TOTAL (AT)

VOLUMEN (V)

MATERIAL DE CLASES

1. Si una pirmide tiene un total de trece caras,determine la cantidad de aristas laterales.A) 10 B) 11 C) 14D) 14 E) 12

2. Para el problema anterior, determine la cantidadtotal de aristas de la pirmide.

A) 18 B) 25 C) 24D) 36 E) 27

3. Si una pirmide tiene un total de 10 caras,encuentre la cantidad de vrtices de ese slido.

A) 10 B) 9 C) 11D) 15 E) 8

4. En un prisma, se sabe que su volumen es de 4803

m . Si el rea de una de sus caras es de 962

m , determine la longitud de una de sus aristas.

A) 12 B) 8 C) 10D) 5 E) 6

5. Halle el rea lateral de una pirmidecuadrangular regular si las aristas de la basemiden 12 m cada una, mientras que la apotemade cada cara mide 10 m.

A) 120 2m B) 240

2m C) 360

2m

D) 480 2m E) N.A.

6. Para el problema anterior, determine el rea totalde dicha pirmide.

A) 296 2m B) 384

2m C) 360

2m

D) 484 2m E) 366

2m

7. Con respecto al problema nmero 5, si la alturade dicha pirmide mide 8 m, halle el volumen deesta pirmide.

A) 384 3m B) 360 3m C) 298

3m

D) 310 3m E) 280 3m

8. Se quiere guardar lquido en dos recipientes de

la misma capacidad: uno de ellos tiene la formade un prisma cuadrangular, mientras que el otroes piramidal regular. Si el recipiente prismticotiene por dimensiones: 10 cm, 6 cm y 4 cm.determine la altura del recipiente piramidal si laarista de su base mide 12 cm.

A) 6cm B) 4cm C) 5cmD) 8c, E) N.A.

9. Para el slido de la figura: tiene por base un cubode arista 6 cm y remata en una pirmide de 5 cmde apotema. Determine el rea de la pieza.

A) 135 2cm B) 220 2cm C) 240 2cm

D) 160 2

cm E) 280 2

cm

10. Para el problema anterior, determine el volumende este slido.

A) 264 3

cm B) 296 3

cm C) 320 3

cm

D) 280 3

cm E) N.A.

11. Con respecto al problema anterior, determine el

peso de esta pieza, sabiendo que cada3

cm pesa 2,5 g.

A) 660 g B) 740 g D) 800 gD) 700 g E) 625 g

O : Vrtice

h : AlturaOM: Ap = Apotema de la pirmide

O

CB

h

O

D

MA

A = p ApxL Base

p semipermetro

A = A + AT L BASE

BaseA hx13V =


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17

12. Se tiene un recipiente cuya base tiene formarectangular y lleno con suficiente cantidad deagua. Las dimensiones de la base son: 60 cm y40 cm, si en l se introduce dos pirmides

iguales con volumen de 2400 3

cm cada una.Determine hasta qu altura sube el nivel de agua

si inicialmente tena 20cm de altura.

A) 25 cm B) 22 cm C) 24 cmD) 30 cm E) N.A.

13. El volumen de una pirmide es de 960 3

cm . Sila altura mide 16 cm, determine el rea de subase.

A) 210 2cm B) 220 2cm C) 180 2cm

D) 160 2cm E) 270 2cm

15. Halle la apotema de una pirmide de base

exagonal regular, si el rea lateral mide 360

2cm

y la arista de la base mide 12 cm.A) 10 cm B) 15 cm C) 9 cmD) 16 cm E) 12 cm

16. En la figura, se muestra un slido en el cualABCD es un cuadrado cuyo lado mide 24 cm.Determine el rea de este slido si la apotemamide 15 cm.

A) 960 B) 840 C) 720 2cm

D) 660 2cm E) 750 2cm

17. En el problema anterior, se sabe que EF mide 32cm. Determine el volumen de este slido.

A) 7220 3cm B) 6840 3cm C) 8400 3cm

D) 6144 3cm E) 6645 3cm

18. Las reas de las caras laterales de un prisma

pentagonal regular son de 68 2cm cada una. Sila arista lateral mide 9 cm, determine el realateral de dicho prisma.

A) 360 2cm B) 280 2cm C) 320 2cm

D) 380 2cm E) 340 2cm

19. Para el problema anterior, determine el permetrode la base del prisma.

A) 41,2 cm B) 37,8 cm C) 38,7 cmD) 40,6 cm E) 36,6 cm

20. Un prisma y una pirmide tiene igual volumen.

Determine la altura de la pirmide si el prismatiene base rectangular con medidas de 24 cm y15 cm, su altura mide 12 cm. Mientras que la

pirmide tiene por rea de la base 7202

cm .

A) 20cm B) 18cm C) 24cmD) 15cm E) 21cm

21. Se desea construir una pieza metlica que pese

720 g. Si el peso de cada 3cm es de 3,6 g, qualtura deber tener una pieza de baserectangular de 6 cm de largo y 4cm de ancho.

A) 9 cm B) 7,2 cm C) 8,33 cmD) 10,2 cm E) N.A.

22. Segn el problema anterior, determine el costode dicha pieza, si se cobra S/ 0,25 por cadagramo.A) S/. 80 B) S/. 360 C) S/. 240D) S/. 180 E) S/. 250

B C

DA

E

F


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Cilindros

Cilindro recto de revolucin

MATERIAL DE CLASES

1. Calcular el volumen del cilindro recto, si elrea de la base es 16u 2AD = 4 u.

Rpta.: ........................................................

2. Si el dimetro de la base del cilindro rectomide 4u. Calcular el rea de la superficietotal.

Rpta.: ........................................................

3. El rea de la superficie lateral de un cilindroes 62 su volumen 3u3. Calcular el reade su superficie total.Rpta.: ........................................................

4. Calcular el volumen de un cilindro circularrecto cuya rea de su superficie lateral es100 y su altura es igual al dimetro de subase.Rpta.: ........................................................

5. Calcular el rea de la superficie total del cilindrorecto:

Rpta.: ........................................................

6. En un cilindro recto, el rea de su base es81 u2. Si la generatriz es el doble deldimetro. Hallar el rea de la superficielateral.

Rpta.: ........................................................

7. Calcular el rea de la superficie total delcilindro recto. Si AB=2 u, O centro de la

base.

Rpta.: ........................................................

8. La altura de un cilindro recto mide 6 u y elrea de su superficie lateral es 36 u 2. Calcularsu volumen.Rpta.: ........................................................

9. Un cilindro est lleno de agua hasta lamitad, se suelta un pedazo metlicoentonces el nivel de agua aumenta en3,5cm. Si el dimetro del cilindro es de 8cm.Determine el volumen del pedazo metlico.Rpta.: ........................................................

rea lateral (A )L

rea total (A )T

Volumen (V)

A = A + 2AT L Base

A = 2 rgL

Generatriz

r

g

V = r g 2g : Generatrizr : Radio de las bases

ABASE

A = 2 r(g + r)T


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19

10. La figura muestra un tarro de leche cuya alturaes 12u y el radio de la base mide 4u. Hallar elrea de la etiqueta. (Suponer que la etiquetacubre todo el rea lateral)

Rpta.: ........................................................

CONO CIRCULAR RECTO DEREVOLUCIN

REA LATERAL (AL)

REA TOTAL (AT)

VOLUMEN (V)

Desarrollo lateral del cono

ESFERA

HUSO Y CUA ESFRICA

CASQUETE ESFRICO

(zona esfrica de una base)

h

r

Vrtice

Generatriz

Alturagh

r

g

h

O

g

r

g

A = r.gL

A = r . (g + r)T

r . h1

3

V =2

h

r

g

g

g 2 r

2gr

=

R2R

R

Crculo menor

Crculo mayoro mximo

A = 4 R 2

V = 43

R3

R

R

R

v

HUSO CUA

R

R

R90

A =2

HR270

V =3

C

A = 2 R.hC

R

h


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SEGMENTO ESFRICO DE UNA BASE

MATERIAL DE CLASES

1. Demostrar que el volumen de la esferainscrita en un cilindro circular recto es los2/3 del volumen delcilindro.Rpta.: ........................................................

2. Calcular el volumen de la esfera. Si el reade la regin sombreada es 4 u2 . Ocentro de la esfera.

Rpta.: ........................................................

3. En el grfico: Calcular el rea de lasuperficie esfrica. OB =Radio, CB = 4u

Rpta.: ........................................................4. Calcular el volumen del cono, O centro de

la base.

Rpta.: ........................................................

5. Calcular el volumen y el rea de lasuperficie total de un cono recto, si sugeneratriz mide 6, la cual forma con la baseun ngulo que mide 60.Rpta.: ........................................................

6. Calcular el volumen de una esfera cuya reade su superficie esfrica es 144 u2.

Rpta.: ........................................................

7. Calcular la razn entre el rea de lasuperficie lateral del cono y el rea de subase. O centro de la base.

Rpta.: ........................................................

8. Calcular la longitud del radio de lasemiesfera, si el rea de la superficieesfrica es 48u2 . R=Radio.

Rpta.: ........................................................

9. Calcular el volumen y el rea de lasuperficie esfrica. Si el rea de la reginsombreada es 36 u2 . O es centro de laesfera.

Rpta.: ........................................................

VSE = h2

22

R

h

+ rh3r


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10. Calcular el rea de la superficie total delcono circular recto, si el radio de su basemide 4u, r: Radio.

Rpta.: ........................................................

11. El rea de la superficie lateral de un cono derevolucin es igual a 65u2y el rea de subase es 25 u2 . Calcular el volumen delcono.Rpta.: ........................................................

12. Calcular el radio de la esfera inscrita en uncubo, cuya rea de su superficie total es24u2.Rpta.: ........................................................

13. Una esfera se encuentra inscrita en uncilindro recto. Calcular la relacin entre elvolumen de la esfera y el volumen delcilindro.Rpta.: ......................................................

14. En el grfico: Calcular la relacin entre losvolmenes de la semiesfera y el cono. O yQ son centros.

15. Una esfera cuyo radio mide 3u esequivalente a un cono circular recto cuyo

radio de la base mide 2 u. Calcular lamedida de la altura del cono.Rpta.: ........................................................

16. Calcular el volumen de una esferacircunscrita a un cubo cuya rea de lasuperficie total es 288 u2.Rpta.: ........................................................

17. Calcular el volumen del cono que semuestra en el grfico. O centrode la base.

Rpta.: ........................................................

geometria ivbimestre

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