geometria ii

CONT

ENID

O

L G E B R A2007-TRILCE

De pa r ta m e nto d e P ubl i c a c io ne sL ima - P e r

TRCO3SLIAL1B-07.pmd

G e o m e t r a

P g .

Cap. 1 Generalidades sobre un tringulo ................................................................................. 5

Cap. 2 Lnea recta, rayo, segmentos ....................................................................................... 13

Cap. 3 Operaciones con segmentos ........................................................................................ 19

Cap. 4 ngulos .................................................................................................................... 25

Cap. 5 Repaso (Evaluacin mensual) ...................................................................................... 33

Cap. 6 ngulos determinados por dos rectas paralelas y una secante a ellas(Uso del complemento y suplemento) ........................................................................... 39

Cap. 7 Otros sistemas para la medicin de ngulos .................................................................. 49

Cap. 8 Repaso bimestral ....................................................................................................... 55

Cap. 9 Tringulos ................................................................................................................. 61

Cap. 10 Lneas notables asociadas al tringulo I (Ceviana, altura y bisectriz)................................ 71

Cap. 11 Lneas notables asociadas al tringulo II (Mediana y mediatriz) ...................................... 79

Cap. 12 Tringulos rectngulos notables ................................................................................... 87


Cap. 14 Congruencia de tringulos ........................................................................................... 103

Cap. 15 Aplicaciones de la congruencia de tringulos ................................................................. 111


3er ao de secundaria

TRILCE

Cap. 17 Polgonos .................................................................................................................. 129

Cap. 18 Polgonos regulares .................................................................................................... 135

Cap. 19 Cuadrilteros (Trapezoides y Trapecios) ........................................................................ 141

Cap. 20 Cuadrilteros (Paralelogramos) .................................................................................... 149


Cap. 22 Circunferencia ............................................................................................................ 163

Cap. 23 ngulos asociados a la circunferencia ........................................................................... 173


Cap. 25 Proporcionalidad ........................................................................................................ 187

Cap. 26 Semejanza de tringulos ............................................................................................. 197

Cap. 26 Relaciones mtricas en tringulos rectngulos ............................................................... 205

Cap. 26 reas de regiones poligonales...................................................................................... 215

Cap. 27 reas de regiones circulares ........................................................................................ 223

Cap. 28 Slidos geomtricos.................................................................................................... 231


5Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE

Organizacin Educativa TRILCE

1GENERALIDADES SOBRE

UN TRINGULO

TRINGULOS

A

B

C

a

a

q

wb

c

e1

e2

e3

Propiedades

1. a + q + w = 180

2. e1 + e2 + e3 = 360

3. e1 = w + q e2 = a + w e3 = a + q

Tringulo issceles

L L

q q

Tringulo equiltero

L

60

L

L

60 60

6General idades sobre un tringulo

Tercer Ao de Secundaria

1. Del grfico, calcular x.

B

X + 20

AX + 30 X + 70

C

2. Del grfico, calcular x.

A

B

x+10C125

2x-5

Resolucin:

Resolucin:

7Organizacin Educativa TRILCE

GEOMETRA

3. Del grfico, calcular "x".

A

B

Cx + 60

100

120

4. En un tringulo ABC, se cumple: m A=2m C = 80, calcular la Cm .

Resolucin:

5. Si el tringulo ABC es issceles, calcular "x".

Resolucin:

A C

B

x

92

Resolucin:

8General idades sobre un tringulo


Bloque I

1. Calcular x

60+x

x+20 80+2x

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

2. Si: AB = BC, calcular x.

20

4xA

B

C

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

3. Calcular x

60

40A

B

P

C Q

x

40

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

4. Calcular x

80

a qA

I x

B

Ca q

a) 20 b) 40 c) 50d) 70 e) 80

5. Calcular x

40

a q

A

x

B

Ca q

a) 80 b) 100 c) 120d) 140 e) 160

Bloque II

1. Calcular "x"

a

65

x

a

a) 40 b) 50 c) 60d) 70 e) 80

2. Calcular "x"

A

B

C35 x 25

80

D

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

3. Del grfico, calcular "a + b + c + d + e + f".

a

b c

d

ef

a) 180 b) 270 c) 360d) 450 e) 540

Pract iquemos


GEOMETRA4. En un tringulo ABC, se traza BP ("P" est en AC ) de

tal manera que AB=BP=PC. Hallar la ABPm , si:BCA = 40m .

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

5. Calcular "x"

A

B

C

D

x20

60

70

a) 110 b) 120 c) 130d) 140 e) 150

Bloque III

1. Calcular x, si: AC = BC.

A

B

C

x75

a) 50 b) 45 c) 60d) 75 e) 15

2. Calcular x

A

B

Cx

a

80 30

a

D

a) 55 b) 65 c) 75d) 80 e) 37

3. Calcular x, si: AB = BC = AD.

A

B

C

D

x60

100

a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 75

4. En un tringulo ABC (AB = BC) se ubica el punto D en AB,tal que: CD = AC. Hallar m CBA, si: m DCA = 25.

a) 20 b) 50 c) 25d) 15 e) 12 30

5. En un tringulo ABC, se traza BP (P est en AC ) detal manera que: BP = PC. Hallar la medida del nguloABC, sabiendo adems que: m ABP - m BAC = 40.

a) 90 b) 100 c) 110d) 80 e) 180

10

General idades sobre un tringulo


1. Calcular x

B

AC

4x

4436

2. Calcular x

71

b

x

b

3. Calcular x, en trminos de q.

A

B

Cxq

4. Si: BD = BC, hallar: m BCA.

AD

B

C

40

30

5. Calcular x

A

B

DC20x

10

6. Calcular x

B

CA

120

130

x

7. Si el tringulo ABC es equiltero, calcular x

70

B

CA

8. Calcular x

B

A C

2x+20

x+10 3x+30

9. Calcular x

3x

5x-10 70

10.En el grfico, calcular x.

3x+30

2x+20

5x+10

11.Calcular x en el grfico.

x+10

70

5080

12.Si: BD = 10m, calcular BC.

A D C

B

40

30 70

Tarea domiciliaria


GEOMETRA13.Calcular x

x

30

100160

14.Calcular "x"

B

C

x

70

Aaa q

q

15.Calcular "x"

A

B

aC

w

80

a w

x

E

16.Calcular "x", si: AB = BP = PC.

A

B

P Cx

40

17.Calcular "BC", si: AD = BD = 4.

A C

B

40 80D

18.Calcular "x"

5x12x

11x

19.Calcular el permetro del tringulo ABC, si es equiltero.

2x - 3 x + 2

A C

B

20.En un tringulo issceles ABC se sabe que:A = 100m , calcular la Cm .

21.Calcular "x + y"

2x - 10

y+40l l

l

22.Calcular "x"

5030x

23.Calcular "x"

A

C

BEx

40

aa

bb

24.Calcular "x"

CA

B

E

aa w w

x

80

12

General idades sobre un tringulo


25.Calcular "x"

B

q 110

130

E

Fqq x

26.En un tringulo issceles ABC (AB=BC) se ubica el punto"P" en AC , tal que: AP=AC, si B = 30m , calcular la

PACm .

27.En un tringulo ABC se traza BM ("M" en AC ), talque: AM = MB = MC. Calcular la ABCm .

28.En un tringulo ABC, se ubica el punto "D" en AC , talque: AD = DB y DC = BC. Si A=25m , calcular

Cm .

29.Se tiene un tringulo issceles ABC donde AB = BC, enel cual se traza una ceviana CP. Sobre CP se ubica elpunto Q, tal que: BP = BQ y la m R QBC = 36.Hallar: m R ACP..

30.En un tringulo ABC se traza la bisectriz exteriorBF ("F" pertenece a la prolongacin de AC ) luego enAB se ubica el punto "E", de modo que: AE = EC ym R AFB = 20. Hallar: m R ECB..

13

Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE


2LNEA RECTA, RAYO,SEGMENTOS

LNEA RECTA

Es un conjunto ilimitado de puntos que estn en unamisma direccin.

P Q

Lnea recta PQ: PQ

RAYO

Es cualquiera de las dos partes de una lnea recta quese determina al tener un punto fijo sobre ella.

A B

Rayo OA: OA

O

Rayo OB: OBO: origen

SEMIRECTA

Es un rayo sin origen.

BO

Semirecta OB: OB

SEGMENTO DE RECTA

Es una porcin de una lnea recta que tiene dosextremos fijos.

Segmento de recta AB: ABLongitud del segmento AB:

Nmero real positivo: AB = 10m

A

10m

B

Segmentos congruentes

Dos segmentos son congruentes si tienen la mismalongitud.

A8m

B

C8m

D

@AB CD

Punto medio de un segmento

O: Punto medio de AB

A4m

BO4m

Operaciones con segmentos

A B C D E

AE = AB + BC + CD + DE

AB = AE - BE

14

Lnea recta, rayo, segmentos


Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

1. En el grfico, calcular x.

A B C D

30m

28m

10m

x

2. En el grfico, si B es punto medio de AC , calcular x..

A B C D

30m 10m

x

3. Si M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente, calcular x..

M NB CA

40m

x


GEOMETRA

Resolucin:

Resolucin:

4. Del grfico, calcular BC.

A B C D

15m24m

17m

5. Si C es punto medio de AD , calcular BC..

A B C D

14m18m

16



Bloque I

1. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AC = 21m, BD = 28m y AD = 30m, calcular BC.

a) 10m b) 12 c) 15d) 14 e) 19

2. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AC = 19m, BD = 24m y AD = 27m, calcular BC.

a) 12m b) 14 c) 15d) 16 e) 11

3. Se tienen los puntos consecutivos P, Q, R, S yT. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12m y RT = 20m,calcular QS.

a) 12m b) 20 c) 15d) 16 e) 18

4. Calcular PM, siendo M punto medio de QR .

P Q R S22m30m

18m

a) 15 u b) 16 c) 17d) 18 e) 19

5. Calcular x, si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.

A DMCx

a) 7 m b) 6 c) 5d) 4 e) 3

Bloque II

1. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AD = 20m, AB = 8m y CD = BC, calcular AC.

a) 13m b) 14 c) 15d) 16 e) 18

2. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D.Si: AB = BC, AC = CD y AD = 48m, calcular BC.

a) 24m b) 10 c) 9d) 16 e) 12

3. Del grfico mostrado, calcular MN, siendo M y N

puntos medios de AC y BD respectivamente.

A B C D

12m18m

8m

a) 6 u b) 8 c) 10d) 12 e) 14

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, By C, en ese orden. Si: AC + AB = 18m, calcular AM,siendo M punto medio de BC .

a) 6m b) 8 c) 9d) 7 e) 18

5. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D", siendo"B" punto medio de AC . Calcular "AB", si: 3BD = 4AC.

B C DA

22ma) 6 u b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Bloque III

1. Calcular "RS", siendo "R" y "S" puntos medios de PT yQT respectivamente.

P Q S T

16m22m

R

a) 5 u b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2. Se tienen los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D".Si: AB = CD, BC + AD = 42m, calcular "AC".

a) 21m b) 22 c) 18d) 20 e) 30

3. Sean los puntos consecutivos: "A", "B", "C" y "D" en unarecta, tal que: AB = BD = 3CD y AD = 12 m, calcular "CD".

a) 2 m b) 4 c) 16d) 18 e) 5

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B", "C" y "D"; tal que: CD = 7AC; BD - 7AB = 40m,calcular "BC".

a) 2m b) 5 c) 8d) 18 e) 20

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Si: AC + BD = 24m, calcular "PQ", siendoP y Q puntos medios de AB y CD respectivamente.

a) 4 m b) 6 c) 12d) 18 e) 24

Pract iquemos


GEOMETRA

1. Calcular AN, si: AP = 2m, PB = 3m y BN = 7m.

A BP N

2. Calcular AP, si: PB = 3m y AB = 10m.

A BP

3. Si: PR = a y RT = b, calcular PT en trminos de a y b.

P TR

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B y P de modo que AB > BP. En qu segmento seencuentra el punto medio de AP ? (Graficar).

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Determinar el nmero total de segmentosque se forman.

6. Segn el grfico: AC = 26m. Calcular x.

A B C

2x12m

7. Del grfico, M es punto medio de BC . Si: AM = 9m yMC = 2m, calcular AB.

A B CM

8. Si: AD = 44, calcular x.

A B DC

3x 3x+1 4x+3

9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B y C, de modo que: BC = 2AB. Calcular AB, siAC = 36m.

10.Si: AC = 12 cm; BD = 14 cm y BC = 7 cm, calcular AD.

A B DC

11.Si: AB = 6 cm; BC = 8 cm y CD = 10 cm, calcular MN.

A M CB DN

ab ab

12.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular BC, si: AD = 10m, AC = 8m yBD = 6m.

13.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, de modo que: AB = 6m, BC = 8m yCD = 10m. Luego se ubica M punto medio de AB yN punto medio de CD. Calcular MN..

14.De la figura: AD = 48m. Calcular BC.

A CB D

x 2x 3x

15.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular AC, si: AB BC CD

2 3 5= = y

AD = 40m.

16.Sobre una recta se toman los puntos consecutivosA, B, C y D. Calcular AD, si: AC = 10m yAD + CD = 30m.

17.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular AB, sabiendo que: AC = 14m,BD = 18m y CD = 2AB.

18.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D, de tal manera que: AC = 22m, BD = 25my AD = 33m. Calcular BC.

19.Si M es punto medio de AE y AC - CE = 32 cm,calcular MC.

A CM E

20.Si: AC + BD = 46 cm, calcular MN.

A B DM C N

a ba b

21.Si: AB = CD = 18 cm y BC = DE = 16 cm, calcular lalongitud del segmento que une los puntos medios deAB y DE.

A C EB D

22.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Si: AC + BD = 24m, calcular PQ, siendoP y Q puntos medios de AB y CD respectivamente.

Tarea domiciliaria

18



23.En una recta se dan los puntos consecutivos A, B,C y D. Calcular AD, sabiendo que: AC = 4 + CD.Adems:

AB BC CD2 3 4

= =

24.M y N son puntos medios de AB y CD ;BC = 4 cm y AD = 10 cm. Calcular MN.

A DB NM C

25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: AB BC CD

3 4 5= = y AD = 24m.

Calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de los segmentos AC y BD.

26.En una recta se dan los puntos consecutivos A, B,C y D donde M es punto medio de AB y N espunto medio de CD. Si: AC = 14m y BD = 8m, calcularMN.

27.Sean los puntos consecutivos A, B, C y D sobreuna recta, tal que: AB = BD = 3CD. Calcular CD, si:AD = 18m.

28.Calcular BD, si: AB = 3BC y AD + 3CD = 12m.

A DB C

29.A, B, C y D son puntos consecutivos tomadossobre una recta. Si M es punto medio de AD ,AB + CD = 10m y BM - MC = 2m, calcular CD.

30.Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C, D, E y F. Sabiendo que:AB = EF =

BE3 y AC + BD + CE + DF = 24m, calcular

BE.

19

Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE


3OPERACIONES CON

SEGMENTOS

Las vigas, los soportes y losalambres de la estructura deacero (que aparece en lafotografa) forman tringulos,que son las figuras geomtricasms sencillas que se puedenformar con puntos y rectas.

A6

A5

B6

B5

B3B2

B

B

BA3

A2

A

A

A

A1 B1

A4 B4

O

Recordar:

SUMA DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Hallar "x"

A B C D

x3 m 2 m 5 m

AD = AB + BC + CDx = 3m + 2m + 5m

x = 10 m

RESTA DE SEGMENTOS

Ejemplo:

Hallar "x"

P Q R

5 m x

12 m

QR = PR - PQx = 12m - 5m

x = 7m

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Ejemplo:

Hallar "x", si "M" es punto medio de AC

A M C

AM = MC2x + 10 = 5x - 20

30 = 3x10 = x

2x + 10 5x - 20

20



1. Si: AC = BD = 32m y AD = 40m, calcular BC.

A DCB Resolucin:

2. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 18 m, BD = 20 m y AD = 30 m.Hallar "BC".Resolucin:

3. Si: AC = 30m, BD = 28m y AD = 40m, calcular BC.

A DCB Resolucin:


GEOMETRA

4. En una recta se toma los puntos consecutivos "A", "M", "O" y "R" tal que: AM = 10 m, AR = 50 m y "O" es

punto medio de MR . Hallar "AO".

Resolucin:

5. Si: PR = 17m, QS = 15m y PS = 24m, calcular QR.

P SRQ

Resolucin:

22



Bloque I

1. Si AC =30 m; BD=50 m y AD=70 m, hallar "BC".

B C DA

a) 30 m b) 20 c) 10d) 5 e) 40

2. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos PQRS, talque "Q" es punto medio de PR . Si: PR=30 m y RS=10m, hallar "QS".

a) 12 m b) 15 c) 20d) 25 e) 18

3. En la figura hallar "TS + RP", si: SR = 10 m y TP = 37 m.

S R PT

a) 17 m b) 23 c) 25d) 27 e) 15

4. Si "O" es punto medio de MA y "P" es punto medio de

AB ; hallar "OP", tal que: MA=18 m y AB=20 m.

O A PM B

a) 15 m b) 17 c) 19d) 21 e) 25

5. Si: PU = 120 m, hallar "ER".

E R UP

3k 5k 2k

a) 50 m b) 60 c) 40d) 70 e) 30

Bloque II

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P,Q, R y S, tal que: PR = 10 m, QS = 12 m y QR = 4 m.Calcular MN, siendo M y N puntos medios de PQy RS .

a) 13 m b) 14 c) 12d) 15 e) 11

2. Si: AD - AB = 20 m y "C" es punto medio de BD, hallar"CD".

A B C D

a) 7 m b) 8 c) 9d) 10 e) 12

3. En una recta se ubican los puntos consecutivos A,

B, C y D. Si C es punto medio de BD y ACBC = 1

2,

calcular CD; adems: AD = 12 m.

a) 2,4 m b) 3,5 c) 4d) 4,2 e) 4,8

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C, D y E. Si se cumple que:

7DE

5CD

3BCAB === ; AE = 80m

calcular BD.

a) 30 m b) 40 c) 60d) 10 e) 20

5. Se tienen cuatro puntos consecutivos en una lnea recta:A, M, B y C, de modo que M es punto medio deAB . Si: AC + BC = 30m, hallar MC..

a) 10 m b) 12 c) 15d) 18 e) 13

Bloque III

1. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A,B, C y D; tal que: AC = 19m y BD = 23m. Calcularla longitud del segmento que une los puntos mediosde AB y CD .

2. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,C y D, tal que B es punto medio de AD y AC = 5CD..

Calcular: BCAB

3. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "C" y "D". Se cumple: AB = 3m, AC = 5m y4AB - BD - 2CD = 4m. Calcular "AD".

Pract iquemos


GEOMETRA4. En una recta se dan los puntos consecutivos M, A,

O y B, siendo O punto medio de AB . CalcularMO, sabiendo que: (MA)(MB) = 32m2 y AB = 4m.

1. En la figura, calcular BC, si: AD = 10m, AC = 8m yBD = 7m.

A C DB

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Calcular BC, si: AD = 12m, AC = 9m yBD = 8m.

3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B, C y D, de tal manera que: AD = 20m, AC = 18my BD = 15m. Calcular BC.

4. Si: AC = 12m, BD = 15m y AD = 20m, calcular BC.

A B DC

5. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12m y RT = 18m, calcularQS.

P Q SR T

6. Si: MN = 5u, NQ = 12m y NP = PQ, calcular MP.

M N QP

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: AC = 24m, BD = 30m y BC = 15m.Calcular AD.

8. A y P son puntos medios de MN y NQ respec--tivamente, MN = 10m y MQ = 30m. Calcular AP.

M A PN Q

9. Si B y C son puntos medios de AC y AD , calcularAD.

A DB9 cm

C

10.Si: AB = 26 cm y CD = 6 cm, calcular MN.

A BC DM Na a b b

11.Si M y N son puntos medios de AC y CB , calcularAB.

A N MC B

a ba b

8 cm

12.En la figura, calcular MN, si M es punto medio dePQ , N es punto medio de QR y PR = 20m.

P Q N RM

13.En la figura, calcular (MO)2, si: MA = 2m y AB = 8m.Adems O es punto medio de AB .

M A O B

14.Calcular x

P RQ

48 cm

3x 9x

Tarea domiciliaria

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos P,Q, R y S. Calcular PR, sabiendo que: QR = RS y(PS)2 - (PQ)2 = 12QS.

24



15.Si M es punto medio de AC , calcular x..

A B M C

8m 12mx

16.Calcular x, si C es punto medio de BD.

A B C D

9m 2m

x

17.Si: AC + AB = 32 cm, calcular BC.

A CBx

20 cm

18.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C, D y E. Calcular BE, si: AB BC CD DE

2 3 5 7= = =

y AE = 85m.

19.Calcular PR, si: RQ - PR = 14 cm.

P QR

30 cm

20.Si: AD + AB = 20m y BC = CD, calcular AC.

A B DC

21.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: AB = BC y CD + AD = 18m.Calcular BD.

22.En la figura, calcular AM, si: AC + AB = 20m y M espunto medio de BC.

A M CB

23.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: CD = 4AC. Calcular BC, si:BD - 4AB = 30m.

24.Sean los puntos consecutivos A, B, C y D sobreuna recta, tal que: AB = BD = 4CD. Calcular CD, si:AD = 40m.

25.Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D. Sabiendo que: AC = 30m y BD = 20m,calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de AB y CD.

26.En la figura, calcular MN, si: AC + BD = 30m, M espunto medio de AB y N es punto medio de CD.

A C DBM N

27.Sobre una recta se toman los puntos consecutivosS, O, L y A. Calcular SA, si: SL = 30m ySA + LA = 70m.

28.Sobre una recta se dan los puntos consecutivos M,A y B, siendo O punto medio de AB . Calcular MO,,sabiendo que: MA = 18m y AB = 20m.

29.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,B, C y D. Sabiendo que: AC = 20m y BD = 60m,calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de AB y CD.

30.A, B, C, D y E son puntos consecutivos tomadossobre una lnea recta, tal que C es punto medio deAE , AC = BD y AD + BE = 30m. Calcular BD..

25

Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE


4NGULOS

DEFINICIN

Es aquella figura geomtrica formada por la unin de dosrayos que tienen el mismo origen. La medida de un ngulose expresa en grados sexagesimales.

A

BO

Regin interior del ngulo AOB

a

ELEMENTOSLados: OA y OB

Vrtice: O

Notacinngulo AOB: R AOB BOA

Medida del ngulo AOB: m R AOB

m R AOB = a

Congruencia de ngulos

Dos ngulos son congruentes si tienen la misma medida.

A

BOa @

P

RQa

R AOB @ R PQR (los ngulos AOB y PQR son congruentes)m R AOB = m R PQR

Bisectriz de un ngulo

Es el rayo cuyo origen es el vrtice del ngulo y divide adicho ngulo en dos medidas iguales.

A

B

R

O aa

OR: Bisectriz del ngulo AOB

AOR= BOR

m AOR = m ROB

CLASIFICACIN DE NGULOS

Segn sus medidas

- NGULOS CONVEXOS

ngulo agudoCuando su medida es mayor que 0 y menor que 90.

a

0 < < 90a

ngulo rectoCuando su medida es igual a 90.

m AOB = 90

A

O B

ngulo obtusoCuando su medida es mayor que 90 y menor que 180.

a

90 < < 180a

26

ngulos


ngulo llanoCuando su medida es igual a 180.

a = 180

a

- NGULO NO CONVEXOCuando su medida es mayor que 180 y menor que360.

a

180 < < 360a

Segn la posicin de sus lados

ngulos adyacentesSon dos ngulos que tienen el mismo vrtice y ademsestn situados a distintos lados de un lado comn.

aq

A B

C

En el grfico, los ngulos AOB y BOC son adyacentes

O

- ngulos adyacentes suplementariosLos ngulos AOB y BOC son adyacentes.

A CO

B

ba

a + b = 180

ngulos consecutivos

a qwb

AB C D

E

En el grfico, los ngulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos

O

- ngulos consecutivos en un mismo semiplanoLos ngulos AOB, BOC, COD y DOE son consecutivos.

A

C

O

B

ba

D

E

qg

a + b + q + g = 180

ngulos coplanares alrededor del vrtice

a + q w b + + = 360

aq

w

b

AB

C

D

O

ngulos opuestos por el vrtice

a = q

a q


GEOMETRA

1. Calcular el valor de "x".

A O

B

D

C

68 x

Resolucin:

2. Si: AOC = 165m ; hallar "b".

A

C

O

B

b64

Resolucin:

3. Calcular el valor de "q".

80120 q

Resolucin:

28

ngulos


4. En la figura hallar la PORm si OP es bisectriz del AOB y OR es bisectriz del BOC

AP

O

B

35

C

R

20

Resolucin:

5. Se tiene los ngulos adyacentes suplementarios AOB y BOC. Si: AOB = 140m ; hallar XOCm , siendoOX bisectriz del BOC.

Resolucin:


GEOMETRA

Bloque I

1. Hallar: m AOB

A

B C

DOa

a+50a+10

2. C a l c u l a r a

a

a+50a+30

a+40

3. Calcular x

3x -

20

x + 10

4. Si: m AOB = 40 y m AOC = 110; hallar: m AOR.

bb

B

R

C

A

O

Practiquemos5. Se tiene dos ngulos adyacentes suplementarios.

Calcular la medida del ngulo que forman susbisectrices.

Bloque II

1. Calcular la medida del ngulo formado por lasbisectrices de los ngulos consecutivos AOB y BOC, si:m AOC = 84.

2. Las medidas de dos ngulos estn en relacin de 2 a3. Si suman 70, calcular la medida del mayor.

3. Sean los ngulos adyacentes AOB y BOC, tales que lam BOC = 4m AOB y la m AOC = 50. Hallar lam BOC.

4. Hallar el valor de "x".

qq

100O a

a

N

M

x

5. En la figura, hallar: mCOM, si: mBOC - mAOC = 36.(OM: bisectriz del AOB)

BM

C

AO

30

ngulos


1. Calcular "x"

2x40

2. Calcular "x"

3x 2x

3. Calcular "x"

3x + 5 4x - 10

Bloque III

1. Si: m AOB - m BOC = 80; hallar: m MOB, ademsOM es bisectriz del ngulo AOC.

B

M

CO

A

2. La diferencia de las medidas de dos ngulosconsecutivos AOB y BOC es 60. Hallar m DOB, si:OD es bisectriz del ngulo AOC.

3. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y BOC, se trazael rayo OD bisectriz del ngulo AOB. Hallar m COD,,si: m AOC + m BOC = 140.

4. Se tiene los ngulos consecutivos AOB y BOC de talmanera que el ngulo AOB mide 42. Hallar la medidadel ngulo formado por las bisectrices de los ngulosAOC y BOC.

5. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y BOC, cuyasmedidas se diferencian en 50. Calcular la medida delngulo formado por la bisectriz del ngulo AOC y elrayo OB.

Tarea domiciliaria

4. Calcular x

2x + 152x - 1560

5. Calcular x

2x - 10 3x + 10

6. Calcular x

AB

Cx + 10

4x


GEOMETRA7. Calcular la medida del ngulo que forman las bisectrices

de los ngulos POQ y QOR.

24 60P

QR

0

8. Calcular: m AOB

46

B C

A O D

9. Si: mAOB = 40 y mAOC = 110; hallar: mAOR.

A B

R

C

bb

0

10.Si: OM es bisectriz del BOC y BOC = 48m ; hallarlarAOMm .

AB

C

M20

11.Si: AOB=100m y BOC=40m ; hallar MONm .

A B

C

M

O

bb

a aN

12.Calcular "a"

5 - 20a4 - a q

a + q

13.Calcular "x", si: AOD=102m .

AB

C

DO

x - a xx + a

14.Si OB y OC son bisectrices de AOC y AODrespectivamente, hallar BOCm , si adems

AOD=60m .

O C

A

B

D

15.Hallar MOEm

B

C

A

O

M

D

E38

a a

16.Hallar el valor de "a + b".

a

3ab

3b120

32

ngulos


17.La diferencia de dos nglos adyacentes suplementarioses 60. Hallar el mayor ngulo.

18.Si: ROQ = 2m POQm y OM es bisectriz delQOR. Hallar POMm

O

PR

Q M

108

19.Si: AOC = 4(m AOB)m , hallar AOBm .

A

O

B

36C

20.C a l c u l a r x , s i : q = 18.

q2q

x

21.Sean los ngulos adyacentes AOB y BOC, tales que lam BOC = 4m AOB y la m AOC = 50. Hallar lam BOC.

22.Se tiene los ngulos consecutivos AOB y BOC.Si los ngulos AOC y BOC son suplementarios ym AOB = 80, hallar: m AOC.

23.Se tiene dos ngulos adyacentes. Calcular la medidadel ngulo que forman sus bisectrices, si la suma dedichos ngulos es 15.

24.Se tienen dos ngulos consecutivos AOB y BOC. Si set r a z a OD bisectriz del ngulo AOB, hallar: m COD..Adems: m AOC + m BOC = 160.

25.Se tiene tres ngulos consecutivos que forman un ngulollano y las bisectrices del primer y tercer ngulo forman140. Calcular la medida del segundo ngulo.

26.Calcular x, si: m AOC + m BOD = 140.

A B

C

D

x

27.Si: mAOC + mBOD = 230; calcular: mBOC.

B C

A O D

28.La diferencia de las medidas de dos ngulosconsecutivos AOB y BOC es 60. Hallar: m DOB, si:OD es bisectriz del ngulo AOC.

29.Los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD miden 25;45 y 75 respectivamente. Calcular la medida delngulo formado por las bisectrices de los ngulos AOCy BOD.

30.En el grfico OX es bisectriz del AOB y OY es bisectrizdel COD. Hallar: m AOC, si: m XOY = 90 ym BOD = 99.

A X B

C

YD

0

33

Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE


5REPASO

(EVALUACIN MENSUAL)

1. Los puntos "A", "B", "C" y "D" son colineales .Calcula el valor de "BC".

2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si AB=BC, AC=CD y AD=48 cm; calcular "BC".

Resolucin:

Resolucin:

34

Repaso (evaluacin mensual)


3. Si OM es bisectrz del ngulo AOC, calcula la medida del ngulo "x".

4. S e t i e n e n l o s n g u l o s c o n s e c u t i v o s P O Q , Q O R y R O S d e m o d o q u e : m POR=mROS y mQOS - mPOQ= 56.Hallar mQOR.

5. Si el tringulo ABC es equiltero , calcula el ngulo "x".

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:


GEOMETRA

Practiquemos

Bloque I

1. Si "M" es punto medio de AC , Calcular "BM".

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. En AC se ubica el punto "B", tal que: BC - AB=16.

Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC .

a) 4 b) 6 c) 8d) 9 e) 10

3. Sean los puntos colineales "A", "B" y "C". Si: "M" espunto medio de BC , MC=2 y AM=9; calcular "AB".

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4. Si la mAOB=100, mBOC=40 ; OM y ON sonbisectrices de los ngulos AOB y BOC respectivamente,calcula la medida del ngulo "x".

a) 60 b) 65 c) 70d) 75 e) 80

5. El tringulo FEA es equiltero y AB=BC. Calcular lamedida del ngulo "x"

A CE

F

xB

20

a) 75 b) 80 c) 100d) 120 e) 130

Bloque II

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "M","A" y "B", siendo "O" punto medio de AB . Calcular"MO", sabiendo que: MA=13 cm y AB=20 cm.

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B", "C" y "D", tal que: "B" es punto medio de AD yAC=5(CD) .

Calcular: BCCD

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Calcula la medida del ngulo BOC, si: mAOC=120 ymBOD=150.

A

BC

D

150

120

O

a) 53 b) 60 c) 75d) 80 e) 90

4. Sean los ngulos consecutivos AOB y BOC, siendo lamAOB = 7mBOC. Calcular la medida del ngulo AOC,si: OM es bisectrz del ngulo AOC y mMOB=60.

a) 130 b) 140 c) 150d) 160 e) 170

5. En la figura, AB=BC. Calcular la medida del ngulo "x".

B

CA

30100

x

a) 45 b) 53 c) 60d) 70 e) 80

36



Tarea domiciliaria

Bloque III

1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "C" y "D", tal que: CD=5(AC). Hallar "BC", si:BD - 5AB = 30.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2. Se tienen los puntos colineales y consecutivos "A", "B","C" y "D", tal que: BC = AB + 1 y CD = AB - 3. Calcular"AD", si "AB" toma su mnimo valor entero.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

3. Calcular la medida del ngulo "x".

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 40

4. En un tringulo DEF se traza ER ( R est en DF ), detal manera que ER=RF. Hallar la medida del nguloDEF, sabiendo que: mDER - mEDF = 30.

a) 90 b) 100 c) 105d) 110 e) 120

5. En la figura DE = EF. Calcular "x".

A B

E C

D

Fx

100

50f

f

a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40

1. Calcular x

80x

2. Calcular q

110

q aa

3. Calcular q

q+10q

q+10

4 q

q

4. Hallar: m AOM, si: OM es bisectriz del BOC.

O

A

B

M

C

30

20

5. Calcular x

x 2xx+30

110 100


GEOMETRA6. Calcula la medida del ngulo "x".

A O D

B

C

x68

7. En la figura, calcular x

120

2x 5x

8. Segn el grfico, calcular el valor de x, si:a + b = 120.

a b

x 2x

9. Si el tringulo ABC es equiltero y BM=MC, calcula "x".

B

A C

Mx

10.Hallar: m ARC, si: m ABC = 60.

A

B

R

C

2ww2a

a

11.Hallar: m ABC

A

B

x 99

2x

C

12.Dado el tringulo equiltero ABC, levante por "C" unaperpendicular al lado AC tal como CF , de modo queAC=FC. Calcular la medida del ngulo BAF .

13.Calcular x + y

70

80x

y

14.Hallar: m ABC

A C

B

x+2

0

x+10 70

15.Hallar: m ABCsi: AB = BD = DC y m BDC = 140

A

B

CD

16.Calcular a

4 + 20a 3 + 50a

17.Calcular "x", si OC es bisectriz del BOD.

A O D

B C

x50

38



18.Calcular x

x 2x5x 3x

4x

19.El complemento de x es 30. Calcular 2x.

20.Calcular x

34

4x

21.Si: m AOB = 30 y m BOC = 120; hallar: m XOY.

AX

YC

Oa

b b a

B

22.En una lnea recta se ubican los puntos conse-cutivos "A", "B", "C" y "D", Si: AB = 12m, BC = 8m yCD = 2AB - CD, calcular la longitud del segmento queune los puntos medios de AB y CD.

23.En una lnea recta se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "C" y "D", tal que: AC = 8m y BD = 10m.Calcular la longitud del segmento que une los puntosmedios de AB y CD.

24.Sobre una recta se ubican los puntos "A", "B" y "C"consecutivos, tal que: AC - AB = 10m, luego se ubica elpunto medio "M" de BC. Calcular "BM".

25.En una lnea recta se ubican los puntos consecutivos"A", "B", "M" y "C", siendo "M" punto medio de AC ,adems: BC - AB = 6m. Calcular "BM".

26.Sobre una lnea recta se ubican los puntos consecutivos:"A", "B", "C" y "D", tal que: AB BC CD

4 5 3= = y

AD = 240 m. Calcular "BC".

27.El suplemento de un ngulo es el triple de sucomplemento. Calcular el valor del ngulo.

28.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A","B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 10m yAD + CD = 30m.

29.Se tienen los ngulos consecutivos: AOB, BOC y CODde modo que: m AOC = m COD. Hallar la m BOC,si: m BOD - m AOB = 48.

30.Sean los ngulos adyacentes AOB y BOC; tales que:m BOC = 4m AOB y la m AOC = 50, hallar:m AOB.

39

Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE


6NGULOS DETERMINADOS PORDOS RECTAS PARALELAS Y UNA

SECANTE A ELLAS

RECTAS PARALELAS

Veamos algunas nociones de paralelismo de rectas.

Cul es la ubicacin de las cuerdas en un arpa?

Cul es la disposicin de los surcos de un sembro parasu irrigacin?

DEFINICIN

Se denomina as a dos rectas ubicadas en un mismo planoy que no se intersecan.

L1

L2

NOTACIN: L1 L2

Se lee: la recta L1 es paralela a la recta L2

NGULOS EN DOS RECTAS PARALELAS L1 L2 Y

UNA RECTA SECANTE LS A AMBAS

L S

L 2

L 11

11

122

22

I. NGULOS EN ALTERNOS INTERNOS (Sus medidas son iguales)

L1 L2

L1

L2

L1

L2

Ejemplos:

1. Si las rectas "m" y "n" son paralelas; calcular el ngulo"x".

Resolucin:

3x - 5 = 40 ..........( Alternos Internos )3x = 40 + 5x = 45/3

\ x = 15

2. Si L1 L2 ; Calcular el ngulo "x".

L1

L2

Resolucin

2x - 3 = 55 ..........( Alternos Internos )2x = 55 + 3x = 58/2

\ x = 29

II.NGULOS CORRESPONDIENTES(Ambos tienen igual medida)

L1 L2

f

fL1

L2a

a

(USO DEL COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO)

40

ngulos en paralelIsmo de rectas


f

fL1

L2 a

a

Ejemplos:

3. Si las rectas "m" y "n" son paralelas, encuentra el ngulo"x".

m

n

80

3x+5

Resolucin:

3x + 5 = 80 .......... ( ngulos Correspondientes )3x = 80 - 5x = 75/3

\ x = 25

4. Si: L1 L2 ; calcular el ngulo "x".

L1

L2

130

5x + 30

Resolucin:

5x + 30 = 130........ (ngulos Correspondientes)5x = 130 - 30x = 100/5

\ x = 20

5. Si: m // n , calcular el ngulo "x".

m

n56

x

Resolucin:

m

n

56

56

x

x + 56 = 180.....(par lineal)x = 180 - 56\ x = 124

III. NGULOS CONJUGADOS INTERNOS(sus medidas suman 180)

L1 L2

a

b

L1

L2

a + b = 180

f

q

L1

L2

q + f = 180

Ejemplos:

1. S i : L1 L2 ; calcular el ngulo "x".

L1

L2

Resolucin:

L1

L2

2x + 130 = 180 ......(Conjugados Internos)2x = 180 - 130

=

50x2

\ x = 25


GEOMETRA

2. Si: L1 L2 ; calcular el ngulo "x".

150

2x + 10

L1

L2

Resolucin:

L1

L2

150 + 2x + 10 = 180 ... (Conjugados internos)2x = 180 - 160

=

20x2

\ x = 10

NGULOS COMPLEMENTARIOS

Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es igual a 90.

EL COMPLEMENTO C(x) DE UN NGULO "x"

C(x) = 90 - x

Ejemplos:

C(37) = 90 - 37= 53

C( 60) = 90 - 60= 30

C(10) = 90 - 10= 80

NGULOS SUPLEMENTARIOS

Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es igual a180.

EL SUPLEMENTO S(x) DE UN NGULO "x"

S(x) = 180 - x

Ejemplos:

S(135)= 180 - 135= 45

S(120)= 180 - 120= 60

S(80) = 180 - 80= 100

42



1. Si el complemento de la medida de un ngulo es igual a 30. Encuentra la medida de dicho ngulo.

2. Si el suplemento de la medida de un ngulo es igual a 50. Halla la medida de dicho ngulo.

3. Si la medida de un ngulo es el doble de su complemento. Cul es la medida del ngulo ?

4. Si L1 L2 ; calcular el ngulo "x".

116

2x

L1

L2

5. Si: m // n ; calcular "x".

1202x + 20n

m

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:


GEOMETRA

Bloque I

1. Si: a // b ; calcular el ngulo "x".

a

b

153

3x

a) 7 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

2. En la figura calcular "x", si: m // n .

n

m x + 16

42 - x

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

3. Si: m // n , calcular el ngulo "x".

m

n

3x - 1

71

a) 18 b) 20 c) 22d) 23 e) 24

4. Calcular la medida de un ngulo cuyo suplemento ycomplemento suman 210 .

a) 25 b) 30 c) 37d) 45 e) 53

5. Si el suplemento de un ngulo es el triple de la medidade su complemento, calcular la medida de dicho ngulo.

a) 25 b) 30 c) 35d) 40 e) 45

Bloque II

1. Si: a // b , calcular el ngulo "x".

a

b26

44x

a) 60 b) 70 c) 72d) 74 e) 80

2. Si: m // n , calcular "x".

m

n

40

x

a) 46 b) 50 c) 54d) 60 e) 70


n

mx

40

100

a) 37 b) 45 c) 54d) 60 e) 75


m

n

30

40

a+20x

a+10

a) 60 b) 65 C) 70d) 75 e) 80

Pract iquemos

44



5. Cul es la diferencia entre el suplemento y elcomplemento de un ngulo cualquiera?

a) 80 b) 90 c) 100d) 120 e) 135

Bloque III

1. En la figura, si: a // b , calcular "x".

130a

b

110

x

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

2. En la figura mostrada, hallar "x".

2050

x

a) 45 b) 50 c) 53d) 60 e) 70

3. Calcular "x", si: a b c .

ab

cx

68

ff

a) 130 b) 136 c) 140d) 146 e) 152

4. Calcular "x", si: a // b .

a

b

60

160

x

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

5. Si: a // b y la medida del ngulo ABC es agudo, calcularel menor valor entero impar de "x".

a

bC

D

E

BA

mmnn

a) 43 b) 44 c) 45d) 46 e) 47


GEOMETRA

Tarea domiciliaria

1. Si: L // L ,21 calcular x..

80

115

x

L1

L2

2. Si: L // L21 , hallar: m AOB..

50

110B

L1

L2

O

A

3. Si: L // L21 , calcular x..

L1

L2

x

140

4. Si: AB // CD , calcular x..

A

B

Cx

3075

144

D

5. Si: L // L21 , calcular x..

L1

L2

41673236 x

6. Calcular: a + b, si: L // L21 .

L1

L2

120 35

150

ab

7. Si: L // L21 y L // L43 , calcular a + b..

L1 L2L3

L4

ab

8. Si: AB // FG , calcular x..

60

80

x

A

F

B

G

9. Calcular x, si: L // L21 .

L1

L2

100120

x

10.Si: L // L21 y a + b = 160, calcular x..

L1

L2

x

60

b

a

46



11.Si: L // L21 , calcular x..

L1

L2

8 q

2 qq

9x

12.Si: L // L21 , calcular a..

4a1603a2a

a

L1

L2

13.En el grfico: L // L21 y w - q = 130, calcular x..

L1

L2

q

xw

14.En la figura mostrada: L // L21 , calcular a..

L1

L2

aa

a

15.En la figura: b - a = 75, L // L43 , L // L21 , calcular:x.

L1

L2

ax

b

L3 L4

16.Si: m AOB = 90 y L // L21 , calcular a..

L1

L2

5 + 10a

a

A

B

O

17.Calcular x, si: L // L21 .

L1

L2

100

x

40

60

80


L1

L2

a 130

110x

a

b

b

19.Calcular a, si: L // L21 .

L1

L2

1302a

150


L1

L2

1402a

150


GEOMETRA


L1

L2

50

2x

22.Calcular x, si: m // n y p // q .

a

50m n

xa

q q p

q

23.Calcular a, si: yL // L21 L // L43 .

3a

a

q

L3 L4

L1

L2q

24.En la figura: L // L21 L // L43y . Calcular q - a..

L2

138L1

L3

L4

q

a

25.En la figura calcular x, si: BC = CE = BE.

B

A

C

DE

2xx

aa 36

26.En la figura: L // L ,21 calcular x..

L1

2q114

x

q 2bb

L2

27.Del grfico: L // L21 y a + b = 160. Calcular x..

L2

a x

b

L1


L2

2q

2bx

q

b

L1

29.En la figura, calcular x, si: L // L21 .

45

xL1

L2

2a a

49

Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE


7OTROS SISTEMAS PARA

LA MEDICIN DENGULOS

En las medidas de longitud podemos encontrarms de un sistema como se muestra en elgrfico.

De igual manera en las medidas angularespodemos encontrar ms de un sistema demedicin angular. El sistema que usamos enlos captulos anteriores es el sistemasexagesimal (S).

INTRODUCCIN

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

Los sistemas de medidas angulares ms usados son tres:SEXAGESIMAL, CENTESIMAL y RADIAL.

1. Medida en grados sexagesimales

Es el sistema ms utilizado, que definimos al ngulode una vuelta como aquel ngulo cuya medida es 360(1: Grado sexagesimal).

Donde: 1 : Minuto sexagesimal1 : Segundo sexagesimal

2. Medida en grados centesimales

En este sistema definimos al ngulo de una vuelta cuyamedida es 400g (1g: Grado centesimal).

Donde: 1m : Minuto centesimal1s : Segundo centesimal

3. Medida en radianes

Consideremos un ngulo que mide q y dibujemosuna circunferencia de radio que mide r y el vrticedel ngulo en su centro O, sea adems L la longituddel arco de la circunferencia que se genera.

rq

O

LLa medida de un nguloen radianes (nmero de radianes) viene expresado por:

rq = L

R

Es decir, podemos definir un ngulo de un radin (1.rad)como el ngulo central que subtiende un arco cuyalongitud es igual a la del radio.

La medida de un ngulo de una vuelta es 2prad.

Observaciones

i)

O 360 400 2 Radg p

ii)

O

180 < > 200 < > radg p

5,58 pies 1,70 m 66,95 pulg

50

Otros sistemas para la medicin de ngulos


iii)

O

90 < > 100 g

1. Expresar en el sistema radial: 24Resolucin:

2. Expresar en el sistema centesimal: 36Resolucin:

3. Expresar en el sistema sexagesimal: p36 radResolucin:

4. Expresar en el sistema sexagesimal: rad4p

Resolucin:

5. Expresar en el sistema sexagesimal: 70g

Resolucin:

iv)

O9 < > 10 g


GEOMETRA

Bloque I

1. Si se convierte 20 al sistema radial, se obtiene:

2. Al convertir 36 al sistema circular, se obtiene:

3. Al convertir 3p rad al sistema sexagesimal, se obtiene:

4. Al convertir 60 al sistema centesimal, se obtiene:

5. Hallar "x"

36

xg

Pract iquemosBloque II

1. Hallar "x"

O

p12 Rad

5x

2. Hallar "x"Si: AB=BC

A

B

C

xg

70

3. En el grfico: AB= BC. Hallar "a".

A

B

C

p3

Rad

4a

4. Hallar "x"

20g

x

52

Otros sistemas para la medicin de ngulos


Tarea domiciliaria

1. Convertir 60g al sistema radial.

2. Convertir 40p rad al sistema centesimal.

3. Convertir 72 al sistema centesimal.

4. Convertir 45 al sistema radial.



7. Convertir rad8p al sistema centesimal.

8. Convertir rad6p al sistema centesimal.

9. Convertir rad9p al sistema sexagesimal.

10.Convertir 40 al sistema radial.

11.Convertir 50g al sistema centesimal.

12.Convertir 20 al sistema radial.

13.Convertir 70 al sistema centesimal.

14.Convertir 40g al sistema radial.

15.Calcular x, si:

(8x + 6) = 310

prad

16.Calcular x, si se cumple: (7x + 5) = 10(x - 1)g

17.Calcular x, si: 3(x + 5) = x rad30

p

18.Hallar la medida de un ngulo interior de un tringuloequiltero en el sistema centesimal.

19.Calcular m, sabiendo que:(5m - 2) = (6m - 4)g

20.Expresar en el sistema radial: 20

21.Expresar en el sistema radial: 40 y 60

5. Hallar f

40 g

p3

frad

Bloque III

1. Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo miden(17x + 2) y 20(x + 1)g. Calcular x.

2. Calcular:

gE rad 504p

= +

en el sistema sexagesimal.

3. Calcular:

gF 40 rad12p

= +

en el sistema sexagesimal.

4. Las medidas de dos ngulos complementarios sediferencian en rad5

p . Determinar la medida del mayor,,en sexagesimales.

5. Las medidas de los ngulos de un tringulo sonproporcionales a 3; 5 y 7. Determinar la medida delmenor en radianes.


GEOMETRA22.Al convertir 36 al sistema radial se obtiene:

23.Expresar en el sistema sexagesimal: 30g

24.Las medidas de dos ngulos de un tringulo suman130g. Determinar el complemento del tercero.

25.Los ngulos internos de un tringulo miden:

(14x), g20 x y

3 3p

rad

Calcular x.

26.La suma de las medidas de dos ngulos es igual a 54y la diferencia de las mismas es igual a

10p rad. Indicar

la medida del mayor ngulo en sexagesimales.

27.El mayor ngulo agudo de un tringulo rectngulo mide25p rad, indicar la medida del menor ngulo en

sexagesimales.

28.Las medidas de dos de los ngulos de un tringulo son512

p y 55, indicar la medida del tercer ngulo ensexagesimales.

29.El doble del nmero de grados sexagesimalesdisminuido en el nmero de grados centesimales delmismo ngulo es igual a 120. Determinar la medida enradianes de dicho ngulo.

30.El nmero de grados centesimales excede en 6 unidadesal nmero de grados sexagesimales del mismo ngulo,indicar la medida radial de dicho ngulo.

55

Cap t u lo

CO

LEG

IO TRILCE


8REPASO

B I M E S T R A L

1. Hallar: m AOD, si OD es bisectriz del ngulo COE.

40A

BC

D

EO

2. Si: L1// L2 y el ABC es equiltero, calcular x..

L1

L2

A

B

C

x

160

3. Calcular a, si: AB = CD.

A

B

CD

12a

2

2

a

a

8a

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

56

Repaso bimestral


4. Calcular x

Resolucin:

A

B

C

I

x

40

qq

aa

5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 48 y el complemento de 32.Resolucin:

6. El equivalente de 54 en el sistema radial es:Resolucin:

7. En un tringulo los ngulos interiores miden: 160g; 10p rad y "x". Calcular x..

Resolucin:

8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, de tal forma que: BC - AB = 12m. CalcularBP, siendo P punto medio de MN ; M y N puntos medios de AB y BC respectivamente.Resolucin:


GEOMETRA

Practiquemos

9. Se tiene los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD. Hallar la medida del ngulo formado por las bisectricesde los ngulos AOB y COD, si: m AOC = m BOD = 72.Resolucin:

10.Se tiene los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ngulos AOC y AOB son complementarios, ym AOD + m AOB = 130. Hallar: m DOC.Resolucin:

Bloque I

1. Si: L1 // L2 , calcular "x".

L1

L2

100

150x

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 20

2. Si: L1 // L2 , calcular x..

L1

L2

2qq

x

2aa

a) 50 b) 60 c) 80d) 100 e) 120

58

Repaso bimestral



L1

L2

2x

4x

a) 15 b) 20 c) 30d) 45 e) 60

4. En la figura: L1 // L2 , calcular x..

L1

L2

x3x

4x7x

a) 10 b) 12 c) 15d) 16 e) 18


L1

L2120

2x

x

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

Bloque II

1. Sabiendo que: 63 (a + 2)(b - 2)g, calcular:

3 ba2E -=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. En la figura adjunta AB , CD y EF son paralelas,m FEB = 65 y m EBD = 25. Hallar: m CDB..

A B

C D

E F

a) 130 b) 140 c) 150d) 160 e) 170

3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P,X, Q, R y S. Sabiendo que X es punto medio dePR y:

22

2894)PR()RS)(PS( m=+

calcular XS.

a) 11m b) 13m c) 15md) 17m e) 19m

4. Dado el par lineal AOB y BOC, se trazan las bisectricesOM y ON de los ngulos AON y BOC respectivamente.Si: m MOB = 60, hallar: m MOC.

a) 120 b) 80 c) 100d) 90 e) 70

5. Dados los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD.Calcular el suplemento de la medida del ngulo AOD,sabiendo que los ngulos AOC y BOD son suple-mentarios, m DOC = 2(m AOB) y m BOC = 42.

a) 21 b) 36 c) 42d) 34 e) 28


GEOMETRA

Tarea domiciliaria1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,

B, C y D. Calcular BC, si: AD = 25m, AC = 20m yBD = 21m.

2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivosK, L, M y N. Calcular KN, si: KM = 20m,KN + MN = 120m.

3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, se ubica M y N puntos mediosde AB y CD respectivamente. Calcular MN, si:AC + BD = 100m.

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B, C y D, tal que: CD = 4AC. Calcular BC, si:BD - 4AB = 80m.

5. Sobre una recta se ubican los puntos A, B y Cconsecutivos. Sea M punto medio de AB ; N puntomedio de BC y P punto medio de MN. Calcular BP,,si: BC - AB = 24m.

6. Si: OM es bisectriz, calcular x..

A

M

B

O x + 102x

7. Calcular x

8268x

8. Si: L // L21 , calcular a..

15 - 20a

2 + 30a

L1

L2

9. Si el complemento de x es igual a 4x, calcular x.

10.Calcular a

70150

a


x

110

L1

L2


35

25

xL1 L2

13.En la figura, calcular x, si: L // L21 .

5x

x

L1

L2

14.Calcular x en la figura, si: L // L21 .

L1

L2

x150-2a

8a+10

a+20

60

Repaso bimestral



L1

L2

3 + 12a2 + 9a

3 - 5a4 + 12a

a

16.Calcular x, si: a + b = 235. Adems: L // L21 .

L1

L2

3x

a

b

2x

17.En la figura: L // L21 , calcular a..

L1

L2

a

aa

18.Se tienen dos ngulos suplementarios, siendo uno deellos el triple del otro. Calcular la diferencia entre ellos.

19.El suplemento del complemento de un ngulo que mideq y el complemento de 3q suman 130. Hallar elcomplemento de q.

20.Convertir 50 al sistema centesimal.

21.Convertir 10g al sistema sexagesimal.

22.Hallar a - b, si: ab0 = (a b)0+

g

23.Calcular a, si: o g

2a (a 4)0= -

24.Calcular a + b, si: ab = 369 .

25.Convertir 20g al sistema radial.

26.Calcular x

x

x+20 x-26

27.Calcular q

q +30

2 q 18

28.Calcular x

110

70x

29.En la figura, calcular el valor de (x - y).

xy

58

aa

qwq

w

30.En la figura mostrada, calcular q, si: AB = BD.

A D C

B45

30q

geometria ii

Documents