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Documento elaborado por: M.Sc. Jaime Malqui Cabrera Medina.

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA PROGRAMA DE INGENIERIA

CURSO TECNICA DE MEDICION DE VARIABLES FISICAS GUIA DE ESTUDIO 2. REDONDEO DE DATOS y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

INTRODUCCION.

Las propiedades de un cuerpo, de un fenómeno o de una sustancia que son susceptibles de ser

medidas reciben el nombre de magnitudes físicas (Ej.: altura, masa, velocidad, fuerza, densidad,

etc.). Para realizar una medición usamos instrumentos de medición, un método de medición y el

resultado lo expresamos usando unidades de medición.

Tomado de: https://sites.google.com/site/quimicapara1erodebachillerato/medicion-y-cifras-

significativas

Las mediciones que se realizan en la Ciencia y la Ingeniería tienen por objetivo establecer el valor

numérico de determinada magnitud. Este valor no corresponde al valor real de la magnitud que se

mide porque ninguna medición es absolutamente precisa debido a la presencia de la incertidumbre

que siempre está asociada a los procesos de medición. La incertidumbre también se llama error,

porque indica la máxima diferencia probable entre el valor medido y el real. La incertidumbre o el

error de un valor medido depende de la técnica de medición empleada. Para tratar de manera crítica

dichos valores y obtener conclusiones provechosas de ellos es necesario valorar el error asociado a

la magnitud en cuestión durante el proceso de medición. Es conveniente advertir que el objetivo

del experimentador no es solo procurar que el error experimental sea lo más reducido posible, sino

https://sites.google.com/site/quimicapara1erodebachillerato/medicion-y-cifras-significativas

https://sites.google.com/site/quimicapara1erodebachillerato/medicion-y-cifras-significativas


que sea lo suficientemente pequeño para no afectar a las conclusiones que se puedan inferir de los

resultados experimentales.

Objetivos.

Reconocer las cifras significativas contenidas en una cantidad numérica.

Aprender a redondear datos experimentales.

CONTENIDO

EXACTITUD Y PRECISION.

La Metrología es considerada la ciencia de la medición, incluye todos los aspectos teóricos y

prácticos relacionados con las mediciones; en este campo existen tres conceptos trascendentales y

diferentes entre sí: exactitud, precisión e incertidumbre.

La exactitud de una medición es el grado de aproximación al valor real: conforme mayor es la

exactitud de una medición, más cerca está del valor real. El grado de exactitud se expresa en

términos de error, de tal manera que una mejor medición implica mayor exactitud o menor error.

Una medición es más exacta cuanto más pequeño es el error de medida. Así pues, en mediciones

repetidas, la exactitud depende solamente de la posición del valor medio (resultado) de la

distribución de valores, no jugando papel alguno en ella la precisión.

La precisión se refiere al grado de reproductibilidad de la medición. Esto es, la precisión es una

medida de la dispersión del error de los resultados de una serie de mediciones hechas intentando

determinar un valor real. Una menor dispersión de los datos implica una menor desviación estándar

de los datos y una mayor precisión de la medida. La precisión de una medida suele expresarse

numéricamente mediante medidas de dispersión tales como la desviación típica o la varianza. Por

ello, cuanto más estrecha sea la distribución de resultados, menor será la desviación típica de la

misma y mayor la precisión de la medida. La precisión depende únicamente de la distribución de

los resultados y no está relacionada con el valor convencionalmente “verdadero” de la medición.


Considerando mediciones individuales, la más próxima al valor verdadero será la más exacta. Sin

embargo, tras una serie de mediciones repetidas, será la distancia desde el valor medio de la

distribución de valores observados, habitualmente el resultado, hasta el valor “verdadero”; es decir

el sesgo (valor estimado del error sistemático), la que caracterizará la exactitud de la medición. La

dispersión de la distribución de los valores, estimada por su desviación típica, caracterizará, como

dijimos antes, la precisión.

A menudo indicamos la exactitud de un valor medido (es decir qué tanto creemos que se acerca al

valor real) escribiendo el número, el símbolo y un segundo número que indica la incertidumbre de

la medición. Si el espesor de una lámina de vidrio se expresa como 4,56 ± 0,02 mm, debemos

interpretar que lo más probable es que el valor real de ese espesor se encuentre entre 4,54 mm y

4,58 mm. En algunos casos se usa la notación 4,56(0,02) para indicar el anterior resultado.

Otra forma de expresar la exactitud de una medición es usando el error porcentual o porcentaje de

incertidumbre. Por ejemplo, los resistores generalmente están rotulados con 4 bandas de colores

que indican su valor nominal y el porcentaje de error asociado a ese valor; si el valor nominal es de

120 Ω y el error asociado es del 5% se debe interpretar que el valor más probable para ese resistor

se encuentra en el intervalo 120 ± 5%(120) Ω = (120 ± 6) Ω lo cual indica que los más probable es

que el valor de esa resistencia se encuentre entre 114 Ω y 126 Ω.

A continuación, se presenta el código de colores para leer resistencias eléctricas.

Tomado de: http://www.areatecnologia.com/electricidad/resistencia-electrica.html

http://www.areatecnologia.com/electricidad/resistencia-electrica.html


Ejemplo: dada la resistencia utilice el código de colores y exprese su valor teniendo en cuenta el

error asociado.

Tomado de: http://www.areatecnologia.com/electricidad/resistencia-electrica.html

Valor: _________ ± _________

Significa: ________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Se acostumbra a representar la exactitud y la precisión haciendo una analogía con disparos al tiro al

blanco, tomando el centro como el valor verdadero o valor aceptado de la cantidad a medir. Analice

en cada caso el porqué de los letreros azules.

Tomado de: documento de contenido profesor Luis Eduardo Arenas Villamizar

http://www.areatecnologia.com/electricidad/resistencia-electrica.html


REDONDEO DE DATOS.

Para efectos de redondeo de datos se deben tener en cuenta las siguientes reglas:

Si el último dígito es menor que cinco, simplemente se elimina: Ej. 2,63 al redondearlo

queda 2,6.

Ejemplos.

1. redondear los siguientes números teniendo en cuenta el ultimo digito.

a) 34,5673 = 34,567 b) 2,456782 = 2,45678 c) 2,351 = 2,35

2. redondear los siguientes números a tres dígitos.

a) 2,752245 = 2,752 b) 708, 459201 = 708,459 c) 8,0071 = 8,007

Si el último dígito es mayor que cinco se elimina y se le suma uno al último dígito que se

conserva. Ejemplo: 9,87 al redondearlo queda 9,9.

Ejemplos.


a) 34,567 = 34,57 b) 2,456 = 2,46 c) 2,35808 = 2,3581


a) 2,752745 = 2,753 b) 708, 459601 = 708,460 c) 8,0078 = 8,008

Si el último dígito es cinco, el anterior se sube si es impar y se conserva si es par. Ejemplo:

3,75 redondeado queda 3,8 y 4,65 redondeado queda 4,6

Ejemplos. Ultimo digito 5 y el anterior es impar

1. Redondear los siguientes números teniendo en cuenta el ultimo digito.

a) 34,5675 = 34,568 b) 2,45635 = 2,4564 c) 2,35 = 2,4



a) 2,753545 = 2,754 b) 708, 459501 = 708,460 c) 8,0275 = 8,028

Ejemplos. Ultimo digito 5 y el anterior es par


a) 34,5685 = 34,568 b) 2,4565 = 2,456 c) 2,345 = 2,34


a) 2,755245 = 2,755 b) 708, 405801 = 708,455 c) 8,0056 = 8,005

Tomado de: http://www.escuelaenlanube.com/los-numeros-el-numero-7/

Para practicar en internet – Uso de un simulador.

Entra al link:

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/secundaria/files/2012/04/Redondea3

minutos.swf

Realiza los ejercicios propuestos en el simulador.

INCERTIDUMBRE Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Las cifras significativas de un valor medido incluyen todos los dígitos que pueden leerse

directamente en la escala del instrumento de medición más un dígito dudoso o estimado.

http://www.escuelaenlanube.com/los-numeros-el-numero-7/

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/secundaria/files/2012/04/Redondea3minutos.swf

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/secundaria/files/2012/04/Redondea3minutos.swf


Cuando se miden ciertas cantidades, los valores medidos se conocen solo dentro de los límites de

la incertidumbre experimental. El valor de esta incertidumbre depende de varios factores, como la

calidad del aparato, la habilidad del experimentador y el número de mediciones realizadas. El

número de cifras significativas en una medición sirve para expresar algo acerca de la incertidumbre.

Como ejemplo de cifras significativas, suponga que se le pide medir el área de un disco compacto

usando una regleta como instrumento de medición. Suponga que la precisión a la que puede medir

el radio del disco es ± 0,1 cm. Debido a la incertidumbre de ± 0,1 cm, si el radio mide 6,0 cm, solo es

posible afirmar que su radio se encuentra en algún lugar entre 5,9 y 6,1 cm. En este caso, el valor

medido de 6,0 cm tiene dos cifras significativas. Note que las cifras significativas incluyen el primer

dígito estimado. Por lo tanto, el radio se podría escribir como (6,0 ± 0,1) cm.

Ahora encuentre el área del disco usando la ecuación para el área de un circulo. Si afirma que el

área es A = π. r2 = π (6,0 cm)2 = 113 cm2, la respuesta seria injustificable porque contiene tres cifras

significativas, que es mayor que el número de cifras significativas en el radio. Una buena regla

empírica para la determinación del número de cifras significativas que se pueden afirmar en una

multiplicación o división es la siguiente:

Al aplicar esta regla al área del disco compacto se ve que la respuesta para el área solo tiene dos

cifras significativas, porque el radio observado solo tiene dos cifras significativas. En consecuencia,

todo lo que es posible afirmar es que el área es de 1,1 x 102 cm2.

Los ceros pueden o no ser cifras significativas. Los que se usan para la posición del punto decimal

en números como 0,03 y 0,0075 no son significativos. Debido a eso, existen una y dos cifras

significativas, respectivamente, en estos dos valores. Sin embargo, cuando los ceros vienen después

de otros dígitos, existe la posibilidad de malas interpretaciones.

Cuando se multiplican muchas cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta

final es el mismo que el número de cifras significativas en la cantidad que tiene el número más

pequeño de cifras significativas. La misma regla aplica para la división.


Por ejemplo, suponga que la masa de un objeto está dada como 1500 g. Este valor es ambiguo

porque no se sabe si los últimos dos ceros se usan para ubicar el punto decimal o si representan

cifras significativas en la medición. Para eliminar dicha ambigüedad, es común usar notación

científica para indicar el número de cifras significativas. En este caso, la masa se expresaría como

1,5 x 103 g si hubiese dos cifras significativas en el valor observado, 1,50 x 103 g si hubiese tres cifras

significativas y 1,500 x 103 g si hubiese cuatro.

La misma regla se sostiene para números menores que 1, de modo que 2,3 x 10-4 tiene dos cifras

significativas (y por lo tanto se podría escribir 0,00023) y 2,30 x 10-4 tiene tres cifras significativas

(también se escribe 0,000230).

Para suma y resta debe considerar el número de lugares decimales cuando determine cuantas cifras

significativas ha de reportar:

Por ejemplo, si desea calcular 123 + 5,35, la respuesta es 128 y no 128,35. Si se calcula la suma 1,000

1 + 0,0003 + 1,000 4, el resultado tiene cinco cifras significativas aun cuando uno de los términos en

la suma, 0,000 3, solo tenga una cifra significativa.

Del mismo modo, si se realiza la resta 1,002 – 0,998 – 0,004, el resultado solo tiene una cifra

significativa, aun cuando un término tenga cuatro cifras significativas y el otro tenga tres.

Si se debe reducir el número de cifras significativas en el resultado de una suma o resta, hay una

regla general para redondear números: el ultimo digito retenido se aumenta en 1 si el ultimo digito

eliminado es mayor que 5. Si el ultimo digito eliminado es menor que 5, el ultimo digito permanece

como esta. Si el ultimo digito eliminado es igual a 5, el digito restante debe redondearse al número

par más cercano. (Esta regla ayuda a evitar acumulación de errores en procesos aritméticos largos.)

Una técnica para evitar la acumulación de error es demorar el redondeo de números en un cálculo

largo hasta que tenga el resultado final. Espere a estar listo para copiar la respuesta final de su

calculadora antes de redondear al número correcto de cifras significativas.

Cuando los números se sumen o resten, el número de lugares decimales en el resultado debe

ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier termino en la suma.


Ejemplo 1. Instalación de una alfombra: En una habitación de 12,71 m de longitud y 3,46 m de

ancho se instalará una alfombra. Encuentre al área de la habitación.

Solución:

La alfombra tiene forma rectangular, para hallar el área de un rectángulo se multiplica el largo por

el ancho, si multiplica 12,71 m por 3,46 m en su calculadora, vera una respuesta de 43,9766 m2.

¿Cuántos de estos números debes reportar? La regla empírica para multiplicación dice que reporte

en su respuesta solo el número de cifras significativas que estén presentes en la cantidad medida

que tenga el número más bajo de cifras significativas. En este ejemplo, el número de cifras

significativas más bajo es tres es 3,46 m, así que debe expresar la respuesta final como 44,0 m2.

Ejemplo 2. En una regla graduada en mm el número de cifras significativas será cuatro, pues una

medición puede expresarse como 54,25 cm, en este caso el instrumento de medida nos da la certeza

de tres cifras 54,2 y la cuarta cifra 5 es estimada por el experimentador. Dicha cifra es la menos

significativa, debido a que es la cifra estimada o dudosa.

La cifra estimada o dudosa de un valor medido es la parte fraccionaria de la cuenta mínima del

instrumento de medición, siendo la cuenta mínima del instrumento el menor intervalo o división

señalado en su escala.

Ejemplo 3. Dos termómetros miden la misma temperatura. a) El termómetro está marcado en

décimas de grado y se pueden leer hasta cuatro cifras significativas (36,85 °C); b) El termómetro está

marcado en grados, de modo que sólo se pueden leer hasta tres cifras significativas (36,8 °C).

Tomado de: documento de contenido profesor Luis Eduardo Arenas Villamizar


Ejemplo 4. En la figura se observa que, al determinar la longitud de una mesa con una cinta métrica

graduada en centímetros, se puede afirmar que dicha longitud es de 58,3 cm; al hacer esta medición

estamos seguros de las cifras 5 y 8, pero la cifra 3 es dudosa.

Ahora, al observar la figura 10, si la medida se realiza con una cinta métrica graduada en milímetros,

se puede afirmar que la medición es, por ejemplo 583,5 mm, donde las cifras seguras son el 5, el 8

y el 3, pero la cifra dudosa es el 5.

A las cifras seguras y a la primera cifra dudosa obtenida en una medición se les denomina cifras

significativas. En el primer caso, decimos que la medición tiene tres cifras significativas; mientras

que, en el segundo, decimos que tiene cuatro cifras significativas.

En la figura de la izquierda: Si la medida que expresamos en este caso es 58,3 cm, el 3 es dudoso.

En la figura de la derecha: Si la medida que expresamos en este caso es 583,5 mm, el 5 es dudoso.

Al trabajar con cifras significativas se deben tener en cuenta las siguientes reglas:

El número de cifras significativas es el número de dígitos conocido de manera confiable.

Comenzamos a contar cifras significativas desde la izquierda, con el primer digito que no

sea cero.

Todos los dígitos del 1 al 9 son significativos.

Si el cero se encuentra entre dos dígitos diferentes de cero entonces es significativo.


El cero al final de la derecha del punto decimal en una medida que es mayor a la unidad se

considera significativo.

El cero al final de la derecha del punto decimal en una medida que es menor a la unidad se

considera significativo.

El cero usado después del punto decimal en una medida menor a la unidad no se consideran

significativos.

Para números enteros, sin decimales, los ceros situados a la derecha del último dígito

distinto de cero pueden o no ser cifras significativas. Si se utiliza las potencias de 10

(notación exponencial) se evita esta ambigüedad.

Ejemplos de las reglas.

Cualquier cifra distinta de cero se considera significativa. Ejemplos: 25,36 m tiene 4 cifras

significativas o 154 tiene 3 cifras significativas.

Se consideran cifras significativas los ceros situados entre dos dígitos distintos de cero y los

situados después de la coma decimal. Ejemplos: 2005,20 tiene 6 cifras significativas o 34,00

tiene 4 cifras significativas.

Sin embargo, no se consideran cifras significativas los ceros situados al comienzo de un

número, incluidos aquellos situados a la derecha de la coma decimal hasta llegar a un dígito

distinto de cero. Ejemplo: 0,000560 tiene 3 cifras significativas (560)

Tampoco se consideran significativos los ceros situados al final de un número sin coma

decimal, excepto si se indican con un punto. Ejemplos: 450 tiene 2 cifras significativas (45),

sin embargo 450, tiene 3 cifras significativas.

Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el número 103 tiene tres cifras

significativas, y el 0,000000103 también. Esto se debe a que los ceros a la izquierda no le

añaden precisión a la medición, sino que solamente sirven para establecer la posición del

punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la notación exponencial; así,

los números mencionados se convertirían en 1,03 x 102 y 1,03 x 10–7. Entonces, para contar


las cifras significativas se parte del primer dígito distinto de cero y se cuentan todos los

dígitos a partir de éste.

Los ceros a la derecha sí son significativos. Esto es muy importante: los ceros a la derecha

deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medición. Por lo tanto, no

es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1,00 kg. La primera magnitud

implica que la medición se realizó con una balanza graduada en kilogramos. La segunda

medición fue realizada en una balanza graduada en centésimas de kilogramo. La segunda

medición es cien veces más precisa que la primera; la primera tiene una cifra significativa y

la segunda tiene tres cifras significativas. Por ello es extremadamente importante no olvidar

escribir los ceros a la derecha cuando se sabe que son significativos. Por ejemplo, en una

balanza analítica que tiene precisión de diezmilésimas de gramo, si la balanza marca 0.5700

g es necesario registrar el número con los dos ceros a la derecha, y no como 0.57 g. Sin

embargo, a veces hay que tener cuidado con los ceros a la derecha. Para eso está la siguiente

regla.

Los ceros a la derecha no son significativos cuando su función es únicamente la de

especificar la posición del punto decimal. Por ejemplo, si se dice que el sol está a una

distancia de 150 000 000 000 m, ¿cuántas cifras significativas hay? Ciertamente no son doce,

porque esto implicaría que se conoce la distancia con una precisión del orden de 1 m.

Además de que es una precisión imposible en la práctica, sería demasiada coincidencia que

tal magnitud física tuviera tantos ceros. Pero podría ser que el primer cero, o tal vez incluso

el segundo, fueran significativos. Así como está escrito el número, no hay manera de

saberlo. La única manera de evitar esta ambigüedad es utilizando la notación científica. Si

nos dicen que el sol está a 1,50 x 1011 m, podemos saber sin duda alguna que sólo el primer

cero es significativo y por lo tanto hay tres cifras significativas.

Los números que son enteros por naturaleza se consideran como si tuvieran una cantidad

infinita de cifras significativas. Dicho de otra manera, los enteros por naturaleza se pueden

conocer con exactitud perfecta.

Los factores de conversión generalmente son exactos. O sea que, al igual que los números

enteros, puede considerarse como si tuvieran un número infinito de cifras significativas.

Aunque hay algunos casos de conversiones que no son exactas porque están determinadas


empíricamente, otras son exactas. Por ejemplo, una pulgada es exactamente igual a 2,54

cm por definición, y una caloría son 4,184 J. Además, todas las conversiones dentro de un

mismo sistema son exactas (1 km son exactamente 1000 m, y un pie son exactamente 12

pulgadas).

Frecuentemente se deben realizar cálculos con los resultados de los valores medidos, por tal motivo

es necesario conocer el efecto de las cifras significativas en esos cálculos para poder expresar el

resultado final:

Al sumar o restar, no tiene sentido conservar más decimales que los que tenga el número con

menos decimales.

Al multiplicar o dividir la cantidad de cifras significativas en la respuesta debe escribirse con un

número de cifras significativas igual al del factor que tenga el menor número de cifras significativas.

En sumas, restas, multiplicaciones y divisiones es conveniente arrastrar más dígitos superfluos,

eliminándolos en el resultado final. En los cálculos estadísticos el número de cifras significativas

que se retienen en la media normalmente es una más que en los datos primarios.

En una multiplicación o división, hay que quedarse con el número de cifras significativas del factor

menos preciso. Por ejemplo, 1,5 x 3,14159265359 = 4,7. No importa que la calculadora diga

4,71238898038; el resultado tiene solamente dos cifras significativas y debe reportarse como 4,7.

No hay que olvidar redondear el último dígito: por ejemplo, 10,0 / 1,5 = 6,7, aunque la calculadora

diga 6,6666666666.

En una suma o resta, hay que "alinear los puntos decimales" y quedarse con la precisión del número

que tenga menos cifras significativas después del punto decimal. Veamos varios ejemplos. 1,44 +

2,35 x 10-5 = 1,44. Aunque la calculadora dice 1,4400235, el segundo sumando es despreciable con

respecto al primero, por lo que no afecta la suma. Para que quede claro a que nos referimos con

"alinear el punto decimal", hay que ver la suma de la siguiente manera:

1,44 (dos cifras después del punto) + 0,0000235 (siete cifras después del punto, pero solamente

tres significativas)


1,44 (se toman solamente dos después del punto)

Veamos ahora otro ejemplo: 37,59 + 8,3 = 45,9 (la calculadora da 45,89; no hay que olvidar el

redondeo).

37,59 (dos cifras después del punto) + 8,3 (una cifra después del punto)

45,9 (una cifra después del punto)

Con las restas hay que tener especial cuidado, ya que dos números con muchas cifras significativas,

pero valores muy parecidos pueden dar un resultado con muy pocas cifras significativas.

Por ejemplo, 125,890657 – 125,890643 = 1,4 x 10-5.

Como último ejemplo de esta sección, no olvidemos que en el resultado pueden quedar ceros a la

derecha. 5,57 – 2,372 = 3,20 (la calculadora da 3,198).

Los resultados intermedios conviene guardarlos con todas sus cifras, o por lo menos con una cifra

no significativa. Las cifras significativas hay que tomarlas en cuenta para reportar el resultado final

de una operación con una precisión realista; sin embargo, en los resultados intermedios conviene

guardar más cifras porque con cada redondeo que se haga se va perdiendo precisión. Si la cadena

de operaciones es muy larga estos pequeños errores se van acumulando hasta volverse

significativos.

Nota: si es necesario reportar un resultado intermedio hay que reportarlo con sus cifras

significativas, pero hay también hay que apuntarlo con todas sus cifras en la hoja de operaciones (o

en la memoria de la calculadora) para su uso en cálculos posteriores.

Para operaciones combinadas, hay que hacer el análisis paso por paso. Veamos un ejemplo un poco

más complicado:

(𝟓, 𝟒𝟑𝟓𝟔 𝒙 𝟏𝟏, 𝟐𝟗) − 𝟏𝟐, 𝟕

𝟒, 𝟒 + 𝟏, 𝟔𝟒𝟓𝟔

Paso 1. 5,4356 x 11,29 = 61,367924. Los números más pequeños son cifras no significativas que se

guardan para las siguientes operaciones.


Paso 2. 61,367924 – 12,7 = 48.667924.

Paso 3. 48,667924 / 4,4 = 11,0608918182.

Paso 4. 11,0608918182 + 1.6456 = 12.7064918182. Por lo tanto, el resultado que tenemos que dar

es 13 (¡no hay que olvidar el redondeo!) o, para que no haya dudas, se puede expresar como 1,3 x

101.

Ejemplo de división. 150,00 / 8,65 = 17,34104046

Para redondear este resultado:

1. Contamos el número de cifras significativas de los dos operandos.

150,00, tiene 5 cifras significativas.

8,65, tiene 3 cifras significativas.

El resultado solo debe tener el menor valor de cifras significativas, es decir 3.

2. Evaluamos si la cifra siguiente a la 3ª es mayor, igual o menor que 5.

Dado que la 4ª cifra es menor que 5 no se altera la 3ª y podemos descartar desde la 4ª en adelante.

Solución: 17,34

Más ejemplos para afianzar conocimientos.

Ejemplo 1. El radio de la base de un cilindro de aluminio mide 1,25 cm y su altura mide 4,63 cm.

Cuando se pone en el platillo de una balanza, se registra una masa de 61,3 g. Determinar la

densidad del aluminio si se sabe que esta se calcula como el cociente entre la masa y el volumen.

Solución:

Para calcular el volumen de un cilindro consideramos algunos conceptos geométricos.

𝒗 = 𝝅. 𝒓𝟐. 𝒉


𝒗 = 𝝅. (𝟏, 𝟐𝟓 𝒄𝒎)𝟐. (𝟒, 𝟔𝟑 𝒄𝒎)

𝒗 = 𝟐𝟐, 𝟕 𝒄𝒎𝟑

Aunque el resultado obtenido con la calculadora es 22,7159375, lo redondeamos a 22,7 puesto que,

tanto en el radio como en la altura, se utilizaron tres cifras significativas y el resultado no debe

expresarse con un número de cifras mayor que ellas.

Ahora, la densidad se expresa mediante la expresión:

𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 = 𝒎𝒂𝒔𝒂

𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏

𝒅 = 𝒎

𝒗

𝒅 = 𝟔𝟏, 𝟑 𝒈

𝟐𝟐, 𝟕 𝒄𝒎𝟑

𝒅 = 𝟐, 𝟕𝟎 𝒈

𝒄𝒎𝟑

Por tanto, la densidad del aluminio es 2,70 gramos por centímetro cúbico.

Ejemplo 2. El radio de una esfera de hierro mide 1,15 cm y la densidad del hierro es 7,80 g/cm3.

Determinar la masa de la esfera, teniendo en cuenta el número de cifras significativas.

Solución:

El volumen de una esfera se expresa como:

𝒗 = 𝟒

𝟑 . 𝝅 . 𝒓𝟑


𝒗 = 𝟒

𝟑 . 𝝅 . (𝟏, 𝟏𝟓 𝒄𝒎)𝟑

𝒗 = 𝟔, 𝟑𝟕 𝒄𝒎𝟑

Ahora, la masa se expresa mediante la expresión:

𝒎𝒂𝒔𝒂 = 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒙 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏

𝒎 = 𝒅 . 𝒗

𝒎 = (𝟕, 𝟖𝟎 𝒈

𝒄𝒎𝟑) . (𝟔, 𝟑𝟕 𝒄𝒎𝟑)

𝒎 = 𝟒𝟗, 𝟕 𝒈

La masa de la esfera es 49,7 g. Este resultado tiene tres cifras significativas.

Ejemplo 3. En un circuito electrónico se utiliza un multímetro que nos devuelve las siguientes

medidas de intensidad de corriente en distintos puntos del circuito: 0.050 A, 10.050 A y 0.101 A.

¿Cuántas cifras significativas tienen estas medidas?

Solución:

0,050 tiene 2 Cifras significativas. (50)



Ejemplo 4. Dividir (𝟎,𝟕𝟒𝟓 𝒙 𝟐,𝟐)

𝟑,𝟖𝟖𝟓= 𝟎, 𝟒𝟐 observe que el resultado tiene dos cifras significativas

puesto que 2,2 tiene dos cifras significativas.


Ejemplo 5. Multiplicar (1,32578 x 107) x (4,11 x 10-3) = 5,45 x 104 observe que el resultado tiene

tres cifras significativas puesto que 4,11 x 104 tiene tres cifras significativas.

Ejemplo 6. Realizar la siguiente operación que contiene suma y resta.

27,153 + 138,2 – 11,74 = 153,6

Observe que la respuesta tiene una cifra decimal puesto que 138,2 es el numero en la operación

que tiene mayor incertidumbre (es decir, el menor número de dígitos a la derecha del punto

decimal).

Ejemplo 7. La energía en reposo E de un objeto con masa en reposo m está dada por la ecuación

de Einstein

𝑬 = 𝒎. 𝒄𝟐

Donde c es la rapidez de la luz en el vacío. Calcule E para un objeto con m = 9,11 x 10-31 kg (la masa

del electrón, con tres cifras significativas). La unidad del SI para E es le Joule (J); 1 J = 1 kg.m2/s2.

Solución.

La incógnita es la energía E. Nos dan la ecuación que debemos utilizar y el valor de la masa; sabemos

que el valor exacto de la velocidad de la luz en el vacío es c = 299.792.458 m/s = 2,99792458 x 108

m/s.

Si sustituimos los valores de m y c en la ecuación de Einstein, se tiene

𝐸 = 𝑚. 𝑐2

= (9,11 𝑥 10−31 𝑘𝑔). (2,99792458 𝑥 108 𝑚

𝑠)2

= (9,11). (2,99792458)2 ( 10−31). (108)2 𝑘𝑔.𝑚2

𝑠2

= (81,87659678). (10(−31+(2 𝑥 8)) 𝑘𝑔.𝑚2

𝑠2

= (81,87659678). (10(−31+(2 𝑥 8)) 𝑘𝑔.𝑚2

𝑠2


= 8,187659678 𝑥 10−14) 𝑘𝑔.𝑚2

𝑠2

Dado que el valor de m se dio con solo tres cifras significativas, debemos redondear está a

𝐸 = 8,19 𝑥 10−14 𝑘𝑔.𝑚2

𝑠2= 8,19 𝑥 10−14 𝐽

Ejemplo 8. La densidad de un material es igual a su masa dividida entre su volumen. ¿Qué

densidad (en kg / m3) tiene una roca de masa 1,80 kg y de volumen 6,0 x 10-4 m3?

a) 3 x 103 kg/m3 b) 3,0 x 103 kg/m3 c) 3,00 x 103 kg/m3 d) 3,000 x 103 kg/m3

Solución.

Cualquiera de estas; todas las respuestas son matemáticamente equivalentes.

Lectura complementaria.

Las mediciones siempre tienen incertidumbre. Si medimos el espesor de la portada de este libro con

una regla común, la medición solo será confiable al milímetro más cercano, y el resultado será de 1

mm. Seria erróneo dar este resultado como 1,00 mm; dadas las limitaciones del instrumento de

medición, no se sabría si el espesor real es de 1,00 mm o 0,85. Pero si se usa un micrómetro, que

mide distancias de forma confiable al 0,01 mm más cercano, el resultado será 0,75 mm. La distinción

entre estas dos mediciones radica en su incertidumbre. La medida con micrómetro tiene menor

incertidumbre y es más exacta. La incertidumbre también se llama error, porque indica la máxima

diferencia probable entre el valor medido y el real. La incertidumbre o el error de un valor medido

depende de la técnica empleada.

A menudo indicamos la exactitud de un valor medido (es decir que tanto creemos que se acerca al

valor real) escribiendo el número, el símbolo ± y un segundo número que indica la incertidumbre de

la medición. Si el diámetro de una varilla de acero se da como 56,47 ± 0,02 mm, esto implica que es

poco probable que el valor real sea menor que 56,45 mm o mayor que 56,49 mm. En una notación


abreviada de uso común, el número 1,6454(21) significa 1,6454 ± 0,0021. Los números entre

paréntesis indican la incertidumbre de los dígitos finales del número principal.

También podemos expresar la exactitud en términos del error fraccionario o error de aproximación

máximo probable (también llamados incertidumbre fraccionaria o porcentaje de incertidumbre). Un

resistor rotulado como “47 ohms ± 10%” probablemente tiene una resistencia real que difiere de 47

ohms en menos del 10% de 47 ohms, esto es, unos 5 ohms. Es probable que la resistencia este entre

42 y 52 ohms. En el caso del diámetro de la varilla antes citada, el error fraccionario es de (0,02 mm)

/ (56,47 mm), que es aproximadamente 0,0004; el error de aproximación es de (0,0004) (100%), o

bien, de 0,04%. Incluso errores de aproximación muy pequeños llegan a ser muy significativos.

En muchos casos, no se da explícitamente la incertidumbre de un número, sino que se indica con el

número de dígitos informativos, o cifras significativas, en el valor medido. Indicamos el espesor de

la portada de un libro como de 0,75 mm, que tiene 3 cifras significativas. Con esto queremos decir

que los dos primeros dígitos son correctos, pero el tercero es incierto. El ultimo digito está en la

posición de las centésimas, así que la incertidumbre seria de 0.01 mm. Dos valores con el mismo

número de cifras significativas pueden tener diferente incertidumbre; una distancia dada como 137

km también tiene tres cifras significativas, pero la incertidumbre es de más o menos 1 km.

Cuando usamos números con incertidumbre para calcular otros números, el resultado también es

incierto. Al multiplicar o dividir números, el resultado no puede tener más cifras significativas que

el factor con menos cifras significativas. Por ejemplo, 3,1416 x 0,34 x 0,58 = 4,3. Cuando sumamos

y restamos números, lo que importa es la ubicación del punto decimal, no el número de cifras

significativas. Por ejemplo, 123,62 + 8,9 = 132,5. Aunque 123,62 tiene una incertidumbre

aproximada de 0,01, la de 8,9 sería de 0,1, así que la suma debe tener esta misma incertidumbre

(0,1) y escribirse como 132,5, no 132,52. La tabla 1.1 resume las reglas para las cifras significativas.


Como una aplicación de estas ideas, suponga que quiere verificar el valor de pi, la razón entre la

circunferencia y el diámetro de un circulo. El valor verdadero hasta 10 dígitos es 3,141592654. Para

calcularlo, dibuje un circulo grande, y mida el diámetro y la circunferencia al milímetro más cercano:

obtendrá los valores de 424 mm y 135 mm (ver figura), los cuales dividirá con su calculadora para

obtener 3,140740741, lo cual parecería no coincidir con el valor real de pi, pero tenga en cuenta

que cada una de sus mediciones tiene tres cifras significativas, de manera que su valor medido de

pi, igual a (424 mm) / (135 mm), solo puede tener 3 cifras significativas y debería darse simplemente

como 3,14. Dentro del límite de 3 cifras significativas, este valor si coincide con el valor verdadero.

Determinación del número π a partir de la circunferencia y el diámetro de un circulo.

En los ejemplos presentados en este curso, por lo regular daremos valores numéricos con 3 cifras

significativas, así que sus respuestas no deberán tener más de 3 cifras significativas. (En el mundo

real, muchos números incluso tienen una exactitud menor. Un velocímetro de automóvil, por

ejemplo, únicamente suele indicar dos cifras significativas.) Podemos hacer operaciones con una

calculadora que muestra diez dígitos, pero dar una respuesta de diez dígitos no solo sería

innecesario, sino aun erróneo, porque falsea la exactitud del resultado. Siempre redondee su

respuesta final conservando solo el numero correcto de cifras significativas o, si hay duda, acaso una

más. Cabe señalar que, al reducir una respuesta así al número apropiado de cifras significativas,

debemos redondear, no truncar. La calculadora indica que 525 m / 311 m es 1,688102894; con 3

cifras significativas, esto es 1,69, no 1,68.


Al calcular con números muy grandes o muy pequeños, es mucho más fácil indicar las cifras

significativas usando notación científica, también llamada notación de potencias de 10. La distancia

de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 384.000.000 m, pero esta forma del número no da

idea de cuantas cifras significativas tiene. En vez de ello, movemos el punto decimal ocho lugares a

la izquierda (que equivale a dividir entre 108) y multiplicamos por 108. Es decir,

384.000.000 m = 3,84 x 108 m

En esta forma, es evidente que tenemos tres cifras significativas. El numero 4,00 x 10-7 también tiene

tres cifras significativas, aunque dos de ellas sean ceros. En notación científica, se acostumbra

expresar la cantidad como un numero entre 1 y 10 multiplicado por la potencia adecuada de 10.

Cuando aparecen un entero o una fracción en una ecuación general, tratamos ese número como si

no tuviera incertidumbre. Por ejemplo, en la ecuación 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0), el coeficiente 2 es

exactamente 2. Pensaríamos que tiene un número infinito de cifras significativas (2.000000…). Lo

mismo ocurre con el exponente 2 en 𝑣2 𝑦 𝑣02.

Por último, cabe señalar que precisión no es lo mismo que exactitud. Un reloj digital barato que

indica que la hora es 10:35:17 A.M. es muy preciso (la hora se da con segundos); pero si el reloj

está atrasado varios minutos, el valor no será muy exacto. Por otro lado, un reloj de caja puede ser

muy exacto (dar la hora correcta) pero, si no tiene segundero, no será muy preciso. Una medición

de alta calidad, como las que definen estándares, es tanto precisa como exacta.

Propagación de incertidumbre.

En experimentos de laboratorio una actividad común es tomar mediciones que fungen como datos

no analizados. Estas mediciones son de varios tipos (longitud, intervalo de tiempo, temperatura,

voltaje, y así sucesivamente) y se toman mediante varios instrumentos. Sin importar la medición y

la calidad de la instrumentación, siempre hay incertidumbre asociada con una medición física. Esta

incertidumbre es una combinación de la que se asocia con el instrumento y la relacionada con el

sistema a medir. Un ejemplo de lo anterior es la incapacidad de determinar con exactitud la posición


de una medición de longitud entre las líneas de una regleta. Otro ejemplo de incertidumbre

relacionado con el sistema a medir es la variación de la temperatura dentro de una muestra de agua,

de modo que es difícil determinar una sola temperatura para la muestra.

Las incertidumbres se expresan en dos formas. La incertidumbre absoluta se refiere a una

incertidumbre expresada en las mismas unidades que la medición. Por lo tanto, la longitud de una

etiqueta de disco de computadora se puede expresar como (5,5 ± 0,1) cm. Sin embargo, la

incertidumbre de ± 0.1 cm por sí misma no es lo suficientemente descriptiva para algunos

propósitos. Esta incertidumbre es grande si la medición es 1.0 cm, pero es pequeña si la medición

es 100 m. Para dar una explicación más descriptiva de la incertidumbre, se usa la incertidumbre

fraccionaria o la incertidumbre porcentual. En este tipo de descripción la incertidumbre se divide

por la medición real. Por lo tanto, la longitud de la etiqueta del disco de computadora podría

expresarse como

𝑙 = 5,5 ± 0,1

5,5= 5,5 ± 0,018 (𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)

o como

𝑙 = 5,5 ± 1,8% (𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙)

Cuando se combinan mediciones en un cálculo, la incertidumbre porcentual en el resultado final por

lo general es mayor que la incertidumbre en las mediciones individuales. A esto se le llama

propagación de incertidumbre y es uno de los retos de la física experimental.

Algunas reglas simples pueden proporcionar estimaciones razonables de incertidumbre en un

resultado calculado:

Multiplicación y división: Cuando las mediciones con incertidumbres se multiplican o dividen, sume

las incertidumbres porcentuales para obtener la incertidumbre porcentual en el resultado.

Ejemplo: El área de una placa rectangular

𝐴 = 𝑙. 𝑤 = (5,5 𝑐𝑚 ± 1,8%)(6,4 𝑐𝑚 ± 1,6%) = 35 𝑐𝑚2 ± 3,4% = 35 𝑐𝑚2 ± 1

Suma y resta: Cuando se suman o restan mediciones con incertidumbre, sume las incertidumbres

absolutas para obtener la incertidumbre absoluta en el resultado.


Ejemplo: Un cambio en temperatura

∆𝑇 = 𝑇𝑓 − 𝑇0 = (92,2 ± 1,5)°𝐶 − (27,6 ± 1,5)°𝐶 = (71,6 ± 3,0)°𝐶 = 71,6°𝐶 ± 4,2%

Potencias: Si una medición se eleva a una potencia, la incertidumbre porcentual se multiplica por

dicha potencia para obtener la incertidumbre porcentual en el resultado.

Ejemplo: Volumen de una esfera

𝑣 = 4

3 𝜋 𝑟3 =

4

3 𝜋 (6,20 𝑐𝑚 ± 2,0%)3 = 9,98 𝑐𝑚3 ± 6,0% = (9,98 ± 60)𝑐𝑚3

Para cálculos complicados muchas incertidumbres se suman juntas, lo que puede hacer que la

incertidumbre en el resultado final sea indeseablemente grande. Los experimentos se deben diseñar

de modo que los cálculos sean tan simples como sea posible.

Note que las incertidumbres en un cálculo siempre se suman. Como resultado, un experimento que

involucre una resta se debe evitar, si es posible, en especial si las mediciones a restar están cercanas.

El resultado de tal cálculo es una diferencia pequeña en las mediciones e incertidumbres que se

suman. ¡Es posible que la incertidumbre en el resultado pueda ser mayor que el resultado mismo!

Prevención de riesgos ocultos.

Lea con cuidado: Observe que la regla para suma y resta es diferente de la regla de multiplicación

y división. Para suma y resta, la consideración relevante es el número de lugares decimales, no el

número de cifras significativas.

Resumen.

En ingeniería, ciencias, industria y estadística, se denomina precisión a la capacidad de un

instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas

condiciones. Esta cualidad debe evaluarse a corto plazo. No debe confundirse con exactitud.

Se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la

magnitud real.


Cuando calcule un resultado a partir de varios números medidos, donde cada uno tiene cierta

precisión, debe dar el resultado con el numero correcto de cifras significativas. Cuando multiplique

varias cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo que el número

de cifras significativas en la cantidad que tiene el número más pequeño de cifras significativas. La

misma regla se aplica a la división. Cuando se suman o restan números, el número de lugares

decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier

termino en la suma.

TALLER DE EJERCIICOS – TRABAJO INDIVIDUAL – TRABAJO COLABORATIVO

1. redondee cada número a la cantidad de cifras significativas que se indican

a. 1,2367 a 4 c.s. b. 1,2384 a 4 c.s. c. 0,1352 a 3 c.s.

d. 2,051 a 2 c.s. e. 2,0050 a 3 c.s. f. 2,0150 a 3 c.s.

g. 5,03456 a 3 c.s. h. 43, 3567 a 3 c.s. i. 21,0075 a 3 c.s.

j. 0,34576 a 2 c.s. k. 20,000565 a 6 c.s. l. 1,56550 a 2 c.s.

2. ¿Cuántas cifras significativas hay en cada uno de los siguientes valores?

a. 130,0 m b. 0,04569 kg c. 1,0 m/s d. 6,50 x 10-7 m

e. 0,04 g f. 13,7 Ga g. 0,000679 mm h. 472,00 s

i. 4,01 Hm j. 4,010 mm k. 4 Pa l. 4,010 T

m. 4 km n. 2,00001 J ñ. 0,0001 A o. 3,04 x 106 Ω

p. 3,0200 V q. 8,4504 x 10-8 C r. 2,000 ps s. 34,056 Ao

3. redondear los siguientes números a tres cifras significativas.

a. 235,67 b. 7,456 c. 0,037298 d. 9874,02

e. 2,6543 x 105 f. 1,3456 x 10-7 g. 34,650 x 103 h. 4,865467 x 106

4. Expresar cada uno de los siguientes números en notación científica y con cuatro cifras

significativas.


a. 3894,6 b. 422,04 c. 18600043527 d. 0,000098764

5. Realizar los siguientes cálculos, expresando los resultados en notación científica y con el número

adecuado de cifras significativas.

a. 0,406 x 0,0023 b. 32,18 + 0,055 – 1,652 c. 320 𝑥 24,9

0,080

d. 32,44 + 4,90 − 0,304

8,294 e.

(23,2 𝑥 2,354)+2,03

0,342− 23,5 f. ((2,34)2 – 1,03) x 0,452

g. 723,9 x 2,30 h. 35,8 𝑥 1,1

0,0004 i. 123,67 x 0,0039

6. resuelva los siguientes problemas.

a. Halle el área del piso de una habitación rectangular que mide 9,7 m de ancho por 14,5 m de largo.

Exprese su respuesta con el numero correcto de cifras significativas.

b. Calcule el área de un triángulo rectángulo cuyos lados miden 15,0 cm, 20,0 cm y 25,0 cm. Exprese

su respuesta con el numero correcto de cifras significativas.

c. Un cierto tipo de acero tiene densidad igual a 8194 kg/m3. (a) calcule el volumen de un bloque de

14,00 kg de este tipo de acero. (b) si dicho bloque fuera esférico, ¿Cuál sería su radio?

d. Utilizando un calibre, vemos que un cilindro de aluminio tiene una longitud igual a 8,625 cm y un

diámetro igual a 1,218 cm. Una balanza electrónica nos indica que su masa es de 27,13 g. determine

la densidad del cilindro.

e. Estime el número de latidos del corazón a lo largo de la vida de una persona.

f. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en la medición 5,48 ± 0,25?

g. Un nadador salta desde un trampolín situado 1 m por encima del agua. Calcule una estimación

del orden de magnitud del tiempo de caída del nadador y de la velocidad con la que se sumerge en

el agua. Repita las estimaciones para un salto desde un trampolín de 10 m de altura.


h. Se miden dos fuerzas que actúan sobre el mismo objeto. Una fuerza es de 2,0031 N y la otra

fuerza, en la misma dirección, es de 3,12 N. estas son las únicas fuerzas que actúan sobre el objeto.

Encuentre la fuerza total sobre el objeto con el numero correcto de cifras significativas.

i. Se deben sumar tres cantidades que son resultado de mediciones. Las cantidades son: 2,0600,

3,163 y 1,12. ¿Cuál es su suma con el numero correcto de cifras significativas?

j. Con una regla graduada de madera, usted determina que un trozo rectangular de lámina mide 12

mm de longitud; por otro lado, usa un micrómetro para medir el ancho del trozo y obtiene 5,98 mm.

Conteste las siguientes preguntas con las cifras significativas correctas. a) ¿Qué área tiene el

rectángulo? b) ¿Qué razón ancho / largo tiene el rectángulo? c) ¿Qué perímetro tiene el rectángulo?

d) ¿Cuál es la diferencia entre la longitud y la anchura? e) ¿Cuál es la razón longitud / anchura?

K. Un médico utiliza ultrasonidos para medir el diámetro de la cabeza de un feto, obteniendo como

resultado 4,16 cm. Suponiendo que la cabeza tuviera forma esférica, ¿Cuál sería su volumen?

Explique cómo ha utilizado las cifras significativas.

L. Imagine que está intentando averiguar la densidad de un bloque rectangular de cobre con una

masa de 24,75 g y lados de 1,20 cm, 1,41 cm y 1,64 cm. (a) Calcule el volumen del bloque? (b) calcule

su densidad de dos formas: primero emplee el valor redondeado del volumen calculado en el

apartado (a) y luego utilizando el valor no redondeado. Compare los resultados con la densidad

conocida del cobre, que es de 8,92 x 103 kg/m3.

m. Una placa rectangular tiene longitud de (21,3 ± 0,2) cm y un ancho de (9,8 ± 0,1 cm. Calcule el

área de la placa incluida su incertidumbre.

n. ¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes números:

a) 78,9 ± 0,2 b) 3,788 x 109 c) 2,46 x 10-6 d) 0,0053

ñ) El radio de una esfera solida uniforme mide (6,50 ± 0,20) cm y su masa es de (1,85 ± 0,2) kg.

Determine la densidad de la esfera en kilogramos por metro cubico y la incertidumbre en la

densidad.


o) Realice las siguientes operaciones aritméticas: a) la suma de los valores medidos 756, 37,2, 0,83

y 2, b) el producto de 0,0035 x 356,3, c) el producto 5,620 x 𝜋

p) Estime el error de aproximación al medir a) una distancia aproximada de 75 cm con una cinta

métrica, b) una masa de unos 12 g con una balanza analítica, c) un lapso de aproximadamente 6 min

con un cronometro.

q) Al comer una bolsa de galletas con chispitas de chocolate, usted observa que cada una es un disco

circular con diámetro de 8,50 ± 0,02 cm y espesor de 0,050 ± 0,05 cm. a) Calcule el volumen

promedio de una galleta y la incertidumbre del volumen, b) Obtenga la razón diámetro / espesor y

la incertidumbre de dicha razón.

Bibliografía.

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México, 2009 Cengage Learning, México, 2009. 760p. ISBN 978-607-442-288-7.

YOUNG, Hugh y FREEDMAN, Roger. Física Universitaria con Física Moderna, 12a Ed., Vol. 1,

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