unidad12 productos vectorial y mixto aplicaciones

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UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. 1 UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. (tema 7 del libro) 1. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES Definición: El producto vectorial de dos vectores libres v y w , que se nota por w v , se define como: - Si 0 v ó 0 w ó v y w son proporcionales, entonces 0 w v - En caso contrario, vectores no nulos e independientes, w v es otro vector que verifica: - w v sen w v w v , · · - Su dirección es la recta perpendicular a los dos vectores, v y w - Su sentido resulta de aplicar la regla del sacacorchos Propiedades: 1.- El producto vectorial es anticonmutativo: w v = v w 2.- El producto vectorial es distributivo respecto de la suma de vectores: w u v u w v u 3.- w u t u t u v u t R t Interpretación geométrica del producto vectorial El módulo del producto vectorial de dos vectores libres coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados dichos vectores: Área del paralelogramo = w v

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Page 1: Unidad12 Productos Vectorial y Mixto Aplicaciones

UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. 1

UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. (tema 7 del libro)

1. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES

Definición: El producto vectorial de dos vectores libres

v y

w , que se nota por

wv , se define como:

- Si

0v ó

0w ó

v y

w son proporcionales, entonces 0

wv

- En caso contrario, vectores no nulos e independientes,

wv es otro vector que verifica:

-

wvsenwvwv ,··

- Su dirección es la recta perpendicular a los dos vectores,

v y

w

- Su sentido resulta de aplicar la regla del sacacorchos

Propiedades:

1.- El producto vectorial es anticonmutativo:

wv =

vw

2.- El producto vectorial es distributivo respecto de la suma de vectores:

wuvuwvu

3.-

wututuvut Rt

Interpretación geométrica del producto vectorial

El módulo del producto vectorial de dos vectores libres coincide con el área del paralelogramo que tiene por

lados dichos vectores: Área del paralelogramo =

wv

Page 2: Unidad12 Productos Vectorial y Mixto Aplicaciones

UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. 2

Expresión analítica del producto vectorial

Dados dos vectores libres 111 ,, cbav

y 222 ,, cbaw

, se tiene que el vector producto vectorial se obtiene

de efectuar el siguiente determinante:

wv =

222

111

cba

cba

kji

VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 159

2. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

Vector director de una recta

Dada una recta en ecuaciones implícitas

'''' DzCyBxA

DCzByAxr , sabemos pasar a paramétricas y así obtener

el vector director. Ahora tenemos otro método para calcular el vector director usando el producto vectorial de

los dos vectores normales de los dos planos que determinan la recta y es aplicando la siguiente fórmula:

''' CBA

CBA

kji

u

Área de un paralelogramo

Como ya vimos en el apartado anterior tenemos que: Área del paralelogramo =

wv

Área de un triángulo

El paralelogramo anterior si lo dividimos en dos triángulos por una de sus diagonales, tenemos que el área del

triángulo definido por los vectores

PQv y

PQw es: Área del triángulo =

wv2

1

Page 3: Unidad12 Productos Vectorial y Mixto Aplicaciones

UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. 3

VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 161

3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Dado un punto P y una recta r de la que tenemos un punto por donde pasa A y un vector director

v , se triene

que:

v

APv

rPd ),(

VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 162

4. DISTANCIA ENTRE RECTAS

Rectas que se cortan o son coincidentes

Su distancia es 0: 0),( srd

Rectas paralelas

Dadas dos rectas r y s que sean paralelas, para calcular la distancia entre ellas se toma un punto de una

cualquiera de ellas y se calcula la distancia de ese punto a la otra

),(),(),( rQdsPdsrd

Rectas que se cruzan

Page 4: Unidad12 Productos Vectorial y Mixto Aplicaciones

UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. 4

Calculamos el plano que contiene a una de las rectas s y es paralelo a la otra recta r

La distancia entre las dos rectas es la distancia de un punto P de la recta r al plano

VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 163

5. PRODUCTO MIXTO DE VECTORES LIBRES

Definición: El producto mixto de tres vectores libres

u ,

v y

w , que designaremos por

wvu ,, , se obtiene

operando consecutivamente los productos escalar y vectorial

wvuwvu ·,,

Propiedades

1- El producto mixto cambia de signo si se permutan dos vectores entre si:

wvu ,, =

wuv ,, =

vwu ,, =

uvw ,,

2.- Se tiene que:

wvuu ,,' =

wvu ,, +

wvu ,,' ç

3.- Se tiene que:

wvut ,,· =

wvtu ,·, =

wtvu ·,, =

wvut ,,·

4.- El producto mixto es nulo si y sólo si los tres vectores son linealmente dependientes

Interpretación geométrica del producto mixto

El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los

tres vectores: Volumen del paralelepípedo =

wvu ,,

Page 5: Unidad12 Productos Vectorial y Mixto Aplicaciones

UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. 5

Expresión analítica del producto mixto

Dados tres vectores libres 111 ,, cbau

, 222 ,, cbav

y 333 ,, cbaw

, se tiene que el vector producto

mixto se obtiene de efectuar el siguiente determinante:

wvu ,, =

333

222

111

cba

cba

cba

VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 165

6. APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO

Volumen del paralelepípedo

Como hemos visto en el punto anterior, en la interpretación geométrica del producto mixto, el valor absoluto

del producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que determinan:

Volumen del paralelepípedo =

wvu ,,

Volumen del tetraedro

El volumen del tetraedro determinado por los vectores

u ,

v y

w es igual a:

Volumen del tetraedro =

wvu ,,6

1

Page 6: Unidad12 Productos Vectorial y Mixto Aplicaciones

UNIDAD 12.- Productos vectorial y mixto. Aplicaciones. 6

VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 167

7. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Supongamos que tenemos dos rectas que se cruzan, cada una determinada por un punto por donde pasa y un

vector director:

rv

Qr

sv

Ps , entonces la distancia entre ellas se puede obtener por la

fórmula:

sr

sr

vv

PQvv

srd

,,

),(

8. RECTA PERPENDICULAR COMÚN A OTRAS DOS

Se trata de calcular una recta que se apoya en otras dos y es perpendicular a ambas. Supongamos las dos rectas

dadas por un punto por donde pasan y su vector director:

rv

Qr

sv

Ps

El procedimiento es el siguiente:

- Calculamos un vector perpendicular a ambos vectores directores:

sr vvw

- Calculamos el plano 1 que contiene a la recta r y al vector anterior

sr vvw

- Calculamos el plano 2 que contiene a la recta s y al vector anterior

sr vvw

- La recta pedida es la intersección de los planos 1 y 2

VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de la página 169

EJERCICIOS: De la página 178, los ejercicios 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12

De la página 179, los ejercicios 14, 15, 16, 17, 19, 20