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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIDAD EDUCATIVA “RÓMULO GALLEGO” AÑO ESCOLAR 2017 – 2018

MÉRIDA - VENEZUELA

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________________________________________________________________________________ CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES PROF. PEDRO J. MANZANO T. 1

UNIDAD No 1.- CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES.

1.6.- MULTIPLICACIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES.

DEFINICIÓN.

Es una operación aritmética que consiste en sumar uno de los factores consigo

mismo tantas veces como lo indica el otro factor.

Sean números naturales cualesquiera, entonces se tiene que,

Donde los elementos que forman parte de una multiplicación son:

: Se llaman factores y

: Se llama producto.

EJERCICIO No 9.

Dada la siguiente multiplicación , determina el producto e identifica los

elementos que intervienen en ella:

15

21

15

30

315

⏟

⏟




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1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1.7.- PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN LOS NÚMEROS

NATURALES.

OPERACIÓN INTERNA.

El resultado de multiplicar dos más números naturales, es otro número natural.

Si son dos números naturales cualesquiera, al multiplicarlos, su producto

será otro número natural. Por eso se dice que es una operación interna.

EJERCICIO No 10.

Dada la siguiente multiplicación , determina el producto y di si su producto es

otro número natural:

El producto de la multiplicación es . Así se cumple la operación interna en

los números naturales.




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1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

PROPIEDAD ASOCIATIVA.

La forma de agrupar los factores no altera el producto.

Sean números naturales cualesquiera, se cumple que:

( ) ( )

EJERCICIO No 11.

Dada la siguiente multiplicación , determina el producto utilizando la

propiedad asociativa:

( ) ( )




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1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

PROPIEDAD CONMUTATIVA.

El orden de multiplicar los factores no altera el producto.

Sean números naturales cualesquiera, se cumple que:

EJERCICIO No 12.

Dada la siguiente multiplicación , determina el producto utilizando la

propiedad conmutativa:




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1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

ELEMENTO NEUTRO.

El elemento neutro de la multiplicación en los números naturales, es el uno (1),

porque todo número natural multiplicado por uno da como resultado el mismo

número.

Sea un número natural cualquiera, entonces se cumple que:

OBSERVACIÓN: El ejercicio referente a esta propiedad es muy trivial, por tal

motivo no se realizó ejercicios de esta propiedad.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.

La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las

multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

Sean números naturales, entonces se cumple que:

( )




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EJERCICIO No 13.

Dada la expresión ( ), utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación

respecto a la adición y resuelve:

( )

( )

1) ( )

2) ( )

3) ( )

4) ( )

5) ( )

6) ( )

7) ( )

8) ( )

9) ( )

10) ( )

FACTOR COMÚN.

Es el proceso opuesto a la propiedad distributiva.

Sea números naturales, entonces se cumple que:

( )




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EJERCICIO No 14.

Dada la expresión , calcular el producto utilizando factor común:

( )

( )

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

1.8.- DIVISIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES.

DEFINICIÓN.

La división es una operación básica de la aritmética que consiste en separar en

partes iguales un total.

En matemática, el símbolo de la división es ( ).

Sean números naturales, entonces se tiene que:




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Los elementos que forman una división, son los siguientes:

: Se llama dividendo

: Se llama divisor

: Se llama cociente y cuando la división es inexacta se tiene que

: Se llama residuo o resto.

TIPOS DE DIVISIONES.

DIVISIÓN EXACTA.

Se dice que una división es exacta cuando el residuo o resto es igual a cero. En

este tipo de división, al probarla se tiene que:

EJERCICIO No 15.

Resolver la siguiente división

135 9

45 15

0

¿Cómo se prueba que esta división, que es exacta está bien hecha?

Se usa la fórmula

Se sustituye los valores en la fórmula anterior y se tiene que:




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DIVISIÓN INEXACTA.

Se dice que una división es inexacta cuando el residuo o el resto es diferente de

cero. Para probar si la división está hecha correctamente, se utiliza la siguiente

fórmula:

EJERCICIO No 16.


195 12

75 16

03

¿Cómo se prueba que esta división, que es exacta está bien hecha?

Se usa la fórmula

Se sustituye los valores en la fórmula anterior y se tiene que:

Igual que en el Ejercicio 15, al final se obtiene una identidad, que indica que la

división está resuelta correctamente.

1.9.- PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN EN LOS NÚMEROS

NATURALES.

NO ES UNA OPERACIÓN INTERNA.

No siempre al dividir dos números naturales se obtiene en el cociente otro

número natural.




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EJERCICIO No 17.


19 2

10 9,5

0

Se puede observar que en el cociente se obtiene 9,5. Y ese número no pertenece al

conjunto de los números naturales. Por tal razón, la división no es siempre una

operación interna.

NO ES CONMUTATIVA.

En la división la propiedad conmutativa no se cumple. Se deja al estudiante

elaborar y resolver un ejercicio referente a esta propiedad.

CERO DIVIDIDO ENTRE CUALQUIER NÚMERO NATURAL,

DIFERENTE DE CERO, DA COMO RESULTADO CERO.

Sea un número natural diferente de cero, se cumple que:

LA DIVISIÓN ENTRE CERO NO ESTÁ DEFINIDA (NO EXISTE).

EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuación se te presentan una serie de divisiones. Resuelve cada una de

ellas e identifica los elementos que intervienen en ella. Di cual división es exacta

y realiza la prueba que confirme que la operación es correcta.




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2.439 18

063 135

099

09

Los elementos que interviene en la división son los siguientes:

: 2.439

: 18

: 135

: 9

La división es inexacta ya que el residuo es igual 9. (Recuerda que para que sea

exacta el residuo o resto debe ser igual a 0).

Ahora se va probar que la división está bien hecha. Para ello nos apoyamos de

la fórmula:

Se sustituye los valores arribas identificados en la fórmula y se tiene:

Al final se obtuvo la identidad que confirma que la operación

se realizó de forma correcta.




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1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)




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