Cálculos de deducción natural

Numa Tortolero

Universidad Central de Venezuela

El objetivo del trabajo es mostrar la correspondencia entre el cálculo de deducción natural

intuicionista y el cálculo lambda con tipos, conocida como isomorfismo Curry-Howard. En

el presente capítulo vamos a hacer una presentación de los sistemas de deducción natural

que nos servirá de base para cumplir nuestra tarea. Comenzaremos exponiendo cómo se

constituye un sistema lógico, cuáles son las propiedades más importantes que debe

satisfacer y en qué marco teórico se realiza el estudio de estas propiedades. Como ejemplos

de sistemas lógicos damos primero una presentación axiomática para la lógica clásica y

luego una, también axiomática, para la lógica intuicionista. Estas primeras exposiciones

darán el entorno teórico propicio para presentar los cálculos lógicos de Gerhard Gentzen: el

cálculo de deducción natural y el cálculo de secuentes, tanto para lógica clásica y la lógica

intuicionista. Incluimos una exposición del cálculo de secuentes por estar este cálculo

estrechamente vinculado al cálculo de deducción natural, como se verá especialmente en la

última parte de este capítulo, donde presentaremos la noción de normalización para estos

cálculos. Los cálculos de Gentzen se caracterizan por ofrecer una presentación formal de

las reglas de derivación que facilita el razonamiento sobre las propiedades del sistema y su

subsiguiente comparación con otros. En especial, la aproximación a los sistemas lógicos de

deducción natural y la presentación de la noción de normalización es estos sistemas, ha de

facilitarnos su comparación con el cálculo lambda con tipos, un sistema pensado para

definir formalmente la noción de computabilidad. En esta comparación se determina la

existencia de algún tipo de relación o morfismo entre el cálculo natural y el cálculo lambda

con tipos.

Constitución de un sistema lógico

En virtud de su carácter simbólico y formal, toda lógica Lincluye un lenguaje formal L, es

decir, un vocabulario y una sintaxis. El vocabulario consta de un conjunto no vacío de

símbolos que pueden combinarse para formar expresiones complejas. Las combinaciones

permitidas en el lenguaje L, las fórmulas de este lenguaje, están determinadas por un

conjunto de reglas: las reglas de formación de L. Un vocabulario y un conjunto de reglas de

formación constituyen un lenguaje formal. Para que este lenguaje formal sea una lógica

todavía es necesario agregar un conjunto de reglas de transformación o de inferencia, a

través de las cuales podemos establecer cómo una fórmula puede inferirse a partir de otras,

y una especificación del significado de las expresiones bien formadas. Las reglas de

formación y de transformación del sistema constituyen la sintaxis del lenguaje L, la cual

define cuáles son las expresiones gramaticalmente correctas del sistema y cómo derivar

unas de otras, de manera tal que las derivadas siempre conserven ciertas propiedades que

poseen aquellas de las cuales derivan. Además de la sintaxis, habría que establecer una

semántica que asigne significado a las expresiones correctas y establezca cuáles

propiedades deben conservar las fórmulas involucradas en una derivación o inferencia.

De acuerdo a Palau (2002) El vocabulario de un sistema lógico consta de (pag. 24):

a) un conjunto de símbolos descriptivos o categoremáticos, que no son estrictamente

lógicos, como letras para representar variables y constantes.

Un conjunto de símbolos lógicos o sincategoremáticos, que representan constantes o

conectivas lógicas1.1

Los símbolos categoremáticos son los que tienen de significación extralingüística. Los símbolossincategoremáticos carecen significación extralingüística, sólo adquieren significación modificandoa un símbolo categoremático [Corti, 10 – 11]. La distinción entre términos categoremáticos ytérminos sincategoremáticos se atribuye a la filosofía escolástica, pero procede de la Antigüedad: serelaciona con las proposiciones categóricas del silogismo, pues se llaman categoremas a los términos

b) Signos de puntuación o auxiliares, como paréntesis.

Formulemos ahora un lenguaje formal. El vocabulario para este lenguaje constará de:

i) El conjunto de símbolos descriptivos o categoremáticos está formado por letras

mayúsculas A, B, …, Z.

ii) Los símbolos lógicos o sincategoremáticos son: ¬, \/, /\, →, ↔.

iii) Los símbolos auxiliares son ( , ).

La sintaxis de un lenguaje consta de reglas de carácter combinatorio y constructivo: nos

dicen cómo combinar o construir las expresiones del lenguaje usando los símbolos del

vocabulario. Como mencionamos arriba, las reglas que conforman la sintaxis de un sistema

lógico se pueden subdividir en dos grupos: reglas de formación, que nos permiten decidir si

una fórmula está bien construida o bien formada, y reglas de transformación, que nos

permiten transformar una fórmula en otra y decidir si la transformación es válida. Para

nuestro sistema, podemos establecer las siguientes reglas de formación:

i) A, B, … , Z son variables del sistema que representan fórmulas no

especificadas.

ii) Si A y B son variables, entonces las siguientes construcciones son fórmulas del

lenguaje L:

i) ¬A

ii) A \/ B

iii) A /\ B

iv) A → B

de una proposición categórica [Quine, 59]. Una proposición categórica relaciona dos clases ocategorías, cada una de las cuáles es designada por un término denominado término categórico.

v) A ↔ B.

iii) Las construcciones (a) – (e) y las que resultan de combinar ellas para formar

otras más complejas, son las formas bien formadas (fbf) del sistema.

Como A, B, …, Z representan fórmulas no especificadas, puede emplearse una de ellas para

representar una fórmula bien formada. Quiere decir que, por ejemplo, podemos usar la letra

C para representar una expresión como ‘A → B’ o ‘¬A’.

Como es usual, hemos usado las comillas simples - ' - para formar el nombre de una palabra

u otra expresión. La expresión formada por las comillas simples designa la expresión que

encierra la comilla. De aquí en adelante, a los fines de abreviar la notación, convenimos en

usar las constantes lógicas y los símbolos auxiliares como nombres de sí mismos. En lo que

sigue, utilizaremos A, B, C, etc. como metavariables que representan cualquier fórm,ula

bien formada (f.b.f). Una expresión como '(A \/ B)' no debe entenderse como una mezcla

de lenguaje objeto y metalenguaje; es una expresión propia del metalenguaje porque hemos

convenido que los corchetes y las conectivas son nombres de sí mismos.

Para nuestro sistema, utilizamos una única regla de transformación, el modus ponens (MP):

Si A → B y A, entonces B.

Esta regla se corresponde con la idea intuitiva de que si sabemos que cuando A es el caso,

B no puede no serlo, y si A es el caso, podemos concluir también que B lo es.

Los sistemas de lógica formal elaborados entre finales del siglo XIX y principios del siglo

XX son sistemas axiomáticos. Entre estos sistemas tenemos el de la Conceptografía de

Frege (1879), el de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead (1910) y el de Los

Fundamentos de las Matemática de Hilbert (1928). En éstos, el proceso de deducción que

se realiza, el conjunto de fórmulas que los constituyen se dividen en axiomas y teoremas.

Los axiomas son fórmulas dadas que no se infieren de otras, pero permiten inferir otros

enunciados: los teoremas. Entonces, los teoremas serían fórmulas inferidas de los axiomas

o de otros teoremas, aplicando reglas de inferencia. Se podría decir que un sistema

axiomático está constituido por axiomas y teoremas.

Los axiomas del sistema pueden ser dados a través de esquemas como los siguientes:

H1 A → (B → A) Introducción de una suposición

H2 (A → (B → C)) → ((A →B) → (A → C)) Distribución

H3 (A /\ B) → A) Simplificación (a)

H4 (A /\ B) → B) Simplificación (b)

H5 (C → A) → ((C → B) →(C → (A /\ B))) Producción

H6 A → (A \/ B) Adición (a)

H7 B → (A \/ B) Adición (b)

H8 ((A → C) → (B → C)) → ((A \/ B) → C) Prueba por casos

H9 (A → ¬B ) → (B → ¬A) Contraposición

H10 ¬(A → A) → B

H11 ¬¬A → A Doble negación

Hemos enumerado esta lista de esquemas usando el símbolo Hn, donde n es un número

natural, porque este conjunto de esquemas es tomado de la obra de Hilbert y Bernays

(1934), Fundamentos de la Aritmética, según Palau (2002, pags, 28 – 29). Las expresiones

de esta lista no deben considerarse como enunciados saturados con un contenido

específico: se trata de formas o esquemas, expresiones sin significado, donde las letras ‘A,

B, … , Z’ tienen como objeto representar fórmulas bien formadas del sistema o hasta

expresiones con significado definido pertenecientes a otros sistemas o lenguajes [Kleene,

81]. El estatus de estos esquemas se aclarará cuando presentemos un ejemplo y se precisará

más cuando hablemos del metalenguaje, en el apartado que le dedicamos a las propiedades

de los sistemas lógicos y el metalenguaje.

Los esquemas de axiomas H1 – H2 caracterizan el condicional. El axioma H1 al permitir

pasar de la afirmación de A a la afirmación de B → A, afirma la posibilidad de introducir

suposiciones. El axioma H2, que distribuye un antecedente sobre dos consecuentes, lo

hemos llamado principio de distribución.

H3 – H5 caracterizan la conjunción. Los axiomas H3 y H4 nos dicen intuitivamente que si

conozco A y B, entonces puedo concluir que A o puedo también concluir que B. Permiten

“eliminar” el cojuntor /\ y se les conoce como axiomas de simplificación o de eliminación

de /\. El axioma H5 permite introducir el cojuntor /\, y se le conoce como axioma de

producción.

H6 – H8 caracterizan la disyunción. H6 y H7 se permiten introducir el disyuntor \/ y se

conocen como axiomas de adición. El axioma H8 se conoce como prueba por casos y

manifiesta la idea intuitiva de que si de una fórmula A deduzco una fórmula C y de una

fórmula B también deduzco la misma fórmula C, entonces puedo concluir que puedo

deducir C de A o de B.

H9 – H11 caracterizan la negación. Al axioma H9 lo hemos llamado contraposición:

caracteriza la idea intuitiva de que si el conocimiento de A deduzco lo suficiente para saber

que B no es el caso, entonces puedo afirmar que en un hecho donde B es el caso, A no

puede serlo: los hechos A y B se contraponen. El axioma H11 es una forma semejante de la

reducción al absurdo: intuitivamente, si no puedo aceptar que A es el caso sabiendo que A

es el caso, entonces puedo deducir otra cosa, que puede ser B. H11, que elimina la

negación, se conoce como axioma de la doble negación.

Los teoremas derivados de H1 – H2 constituyen el fragmento condicional de la lógica

proposicional clásica; los derivados de H1 – H8 el fragmento positivo; y los derivados de

H1 – H11 el conjunto de la lógica proposicional clásica.

Un teorema es una fórmula D que puede ser demostrada en un sistema. Según Kleene

(1974, pag. 83) un teorema o fórmula demostrable se define inductivamente:

1. Si D es un axioma, es también un teorema

2. Si E es un teorema y D es inferido directamente de E, entonces D es un teorema.

3. Si E y F son teoremas y D es inferido directamente de E y F, entonces D es un

teorema

4. Sólo son teoremas las fórmulas que cumplen con las condiciones 1 – 3.

Una derivación de un teorema es una lista numerada de fórmulas donde cada una es un

axioma o una fórmula inferida directamente de fórmulas precedentes de la lista. Como un

ejemplo, demostremos un teorema de nuestro sistema. Derivaremos (A → A):

1. A → ((A → A) → A) H1 con (A → A) por B

2. A → ((A → A) → A) → ((A → (A → A)) → (A → A)) H2

3. (A → (A → A)) → (A → A) MP 1 y 2

4. A → (A → A) H1 con A por A

5. (A → A) MP 3 y 4

Hemos derivado en nuestro sistema el enunciado (A → A), el cual podemos considerar

ahora un teorema de nuestro sistema. Se trata de una derivación que no depende para nada

de lo que puedan significar la letra A, pues recuérdese que estas expresiones son esquemas

formales sin contenido. Vemos que en esta derivación sólo hemos usado procedimientos

sintácticos. Confirmamos que la sintaxis no nos dice nada de los significados de las

fórmulas del sistema, así que no sabemos todavía si las fórmulas de tal sistema son

verdaderas o falsas, pues no sabemos a qué se refieren. A un sistema de este tipo, que sólo

posee un vocabulario y una sintaxis, lo llamamos cálculo. Un cálculo no es sino un sistema

de relaciones entre signos donde lo importante no es su contenido sino su forma, “el

conjunto de relaciones sintácticas que vincula entre sí a dichos signos independientemente

de lo que designen” (Corti y Gianneschi (2002), pag. 24].

Como plantea Cuena (1985, pag. 83), la asignación de significados a las expresiones y

símbolos de un sistema lógico se hace a través de una semántica, que establece una

simbolización del significado de las proposiciones del sistema y, en consecuencia, una

forma de valorar el contenido informativo de cada proposición. Para ello, primero

especificamos a qué refieren los símbolos no lógicos o descriptivos del sistema.

Necesitaremos luego una definición semántica de las conectivas para especificar cómo

atribuir significado a las proposiciones compuestas con distintos tipos de conectivas

partiendo de los significados de sus componentes proposicionales. Finalmente, debemos dar

una definición semántica de deducción correcta.

Para asignar significado a los símbolos no lógicos del sistema construimos una

interpretación I, hacemos lo siguiente:

1. Elegimos un conjunto no vacío de entidades extra lógicas, que llamamos el dominio

D de la interpretación.

2. Definimos una función que asocia o asigna un elemento del dominio D a cada signo

descriptivo del sistema.

Por ejemplo, para nuestro sistema elegimos como dominio D de la interpretación I al

conjunto formado por los valores de verdad: Verdad (representado por 1) y Falsedad

(representado por 0). Así que: D = 1, 0.

La definición semántica de las conectivas puede hacerse mediante las llamadas tablas de

verdad o especificando las condiciones en que cada oración del lenguaje, que incluya

conectivas lógicas, es verdad. Aquí usaremos la última opción: para especificar las

condiciones de verdad para cada oración del lenguaje L, definimos una función de

valoración V, que asigna un valor de verdad a cada fórmula de acuerdo a la valoración de

sus componentes y según cierta condición:

1. V (¬A) = 1 si y sólo si V(A) = 0

V (¬A) = 0 si y sólo si V(A) = 1

2. V(A \/ B) = 1 si y sólo si V(A) = 1 y V(B) = 1

3. V(A /\ B) = 1 si y sólo si V(A) = 1 o V(B) = 1

4. V(A → B) = 0 si y sólo si V(A) = 1 y V(B) = 0

5. V(A ↔ B) = 1 si y sólo si V(A) = 1 = V(B) = 1

Esta manera de dar significado a las conectivas, donde especificamos las condiciones de

verdad en las que ellas aparecen, supone que el valor veritativo de las fórmulas en las que

aparecen las conectivas lógicas depende del valor de verdad de sus componentes. Cuando el

significado de las conectivas es determinado de esta forma, de manera que los valores de

verdad de proposiciones compuestas dependen de los valores de verdad de sus

constituyentes, decimos que son extensionales, de acuerdo a Ebbinghaus, Flum y Thomas

(1996, pag. 31) o veritativos funcionales (funciones de verdad), según Palau (2002, pag.

27)2.

Nos queda ahora la caracterización semántica de la deducción lógica, es decir, dar una

definición semántica de deducción correcta. La noción que hace esta caracterización la

podemos llamar derivación semántica o consecuencia lógica. Para definirla comenzamos

definiendo la noción de validez semántica, la cual puede ser relativa o absoluta. Una

fórmula de un sistema es válida, en un sentido relativo, si es verdadera respecto a una

interpretación. Si una fórmula de un sistema es verdad bajo cualquier interpretación,

decimos que es una verdad universalmente o absolutamente válida o, también, una

tautología o verdad lógica.

Definida la noción de validez semántica, podemos definir consecuencia lógica o derivación

semántica: dado un conjunto de fórmulas Γ, decimos que una fórmula A es consecuencia

2 Generalmente, en el habla coloquial, las conectivas no son usadas extensionalmente. Por ejemplo, laverdad del enunciado ”José enfermó y el doctor le dio una prescripción” es valorada de una formadistinta al enunciado “El doctor le dio una prescripción a José y enfermó”. A diferencia del casoextensional, estos enunciados compuestos dependen de la relación temporal expresada por el ordende los dos componentes de cada enunciado. En este último caso estamos haciendo un usointencional. de la conectiva [Ebbinghaus, 31].

lógica de Γ sí y sólo si la fórmula A es verdadera en todas las interpretaciones donde son

verdaderas las fórmulas del conjunto Γ. Como plantea Cuena (1985, pags. 87 – 88), la idea

intuitiva de la consecuencia lógica es que una fórmula es consecuencia de otras si siempre

que éstas son verdaderas lo es también aquella. ¿En qué sentido esta definición de

consecuencia lógica caracteriza semánticamente la noción de deducción?

Aunque la sintaxis y la semántica de un sistema lógico refieran a diferentes aspectos, la

sintaxis de un sistema lógico sería inútil si las fórmulas que derivamos a partir de nuestros

axiomas y teoremas no fueran verdaderas respecto del mismo dominio de objetos extra

lógicos de los que son verdaderos los mismos axiomas y fórmulas dadas. El sistema lógico

no tendría utilidad si fuera deducible en él un teorema que no fuera verdadero en una

interpretación donde sí son verdaderos los axiomas y teoremas a partir de los cuales fue

derivado: el sistema no sería correcto. Por eso, en un sistema lógico las reglas de inferencia

y los axiomas deben garantizar que su aplicación o uso en una deducción conserve la

verdad de las fórmulas involucradas, como si el objetivo de las reglas de inferencia fuera

transmitir la verdad de los axiomas a los enunciados que derivan de ellos por la aplicación

de las reglas de inferencia. La sintaxis y la semántica de un sistema lógico pueden estar

estrechamente relacionadas: todo teorema deducido siguiendo las reglas de inferencia no

debería ser falso en ninguna de las interpretaciones donde los axiomas y otros teoremas del

sistema, de los cuales deriva, son verdaderos. Lo deseable es que las tautologías de un

sistema lógico sean deducibles en el sistema.

¿Cómo podemos caracterizar formalmente la relación entre sintaxis y semántica en un

sistema lógico?

Propiedades de un sistema lógico

La relación entre sintaxis y semántica en un sistema lógico es un aspecto del sistema cuyo

estudio trasciende los límites del sistema. Si, por un lado, un sistema lógico formalizado

permite formar expresiones y concatenarlas de acuerdo a reglas precisas, por otro lado, el

propio sistema puede ser considerado como un objeto cuyas propiedades pueden ser

estudiadas. En esta última consideración, es necesario usar otro lenguaje que proporcione

los términos para designar los elementos del sistema. Esta circunstancia ha conducido,

como señala Ladrière (pag. 63), a la distinción entre lenguaje-objeto, que constituye el

lenguaje formal cuyas propiedades han de ser estudiadas, y metalenguaje, constituido por

las expresiones que describen o designan elementos y propiedades del lenguaje objeto.

Como explica Russell (1921) en su introducción al Tractatus de Wittgenstein: “…todo

lenguaje tiene una estructura de la cual nada puede decirse en el lenguaje, pero puede haber

otro lenguaje que trate de la estructura del primer lenguaje y que tenga una nueva estructura

y esta jerarquía de lenguaje no tiene límites” (pag. 28).

La forma más inmediata de proceder toma el lenguaje cotidiano como metalenguaje,

añadiéndole algunos símbolos para designar elementos del sistema objeto. Este

metalenguaje puede ser objeto de formalización, para obtener en él deducciones

correspondientes a los razonamientos que en él se realizan. Por ejemplo, para designar la

deducción (sintáctica) de una fórmula suele usarse el símbolo . Así que si en un cálculo

lógico se puede deducir una fórmula A escribiremos A; para designar que una fórmula A

es formalmente deducible a partir de un conjunto de fórmulas Γ, escribiremos Γ A. La

expresión A, que es la deducción de una fórmula a partir de un conjunto vacío de

fórmulas, designa entonces un teorema o un axioma. Hemos usado además variables

metalingüísticas: la letra griega mayúscula Γ como variable para designar un conjunto de

fórmulas, y la letra mayúscula A para designar una alguna fórmula particular.

Por ejemplo, la deducción que realizamos de A → A a partir de nuestros esquemas

axiomáticos y de nuestra regla de inferencia, la podemos designar como A → A, que

significa A → A es un teorema de nuestro sistema L.

Otro ejemplo sería la derivación de una fórmula C a partir de un conjunto Γ conformado

por tres fórmulas: A → (B → C), B y A:

1. B segunda fórmula en Γ

2. A tercera fórmula en Γ

3. A → (B → C) primera fórmula en Γ

4. B → C MP, 2 y 3

5. C MP, 1 y 4

Este esquema deductivo podemos designarlo en el metalenguaje con la expresión que

llamaremos esquema D:

A → (B → C), B, A C (D)

Nótese, como observa Kleene (1974, pag. 87), que aquí las fórmulas en Γ no son esquemas

axiomáticos de nuestro sistema. Aparecen como fórmulas supuestas arbitrarias,

coyunturalmente equiparables a los axiomas.

Para designar la derivabilidad semántica o, como la hemos llamado, consecuencia lógica, se

suele usar el símbolo . Si una fórmula A es una tautología en un sistema escribiremos

A, lo cual dice que A es absolutamente válida o verdadera en todas las interpretaciones del

sistema. Escribiremos Γ A para significar que A es válida en todas las interpretaciones

donde las fórmulas del conjunto Γ son válidas.

El esquema D, cuya derivación hemos presentado, constituye una expresión del

metalenguaje que refiere a la deducibilidad de una fórmula A a partir de un conjunto Γ de

fórmulas supuestas en el sistema lógico L. A los enunciados demostrados en el nivel del

metalenguaje se les denomina metateoremas, por ser teoremas pertenecientes a un

metalenguaje que hacen referencia a las propiedades de un lenguaje objeto. Los

metateoremas ofrecen caracterizaciones globales válidas para clases enteras de

proposiciones o incluso la totalidad de un sistema.

Según Ladrière (1969, pag. 67), los metateoremas pueden ser de diverso tipo: reglas

derivadas, caracterizaciones de clases de teoremas de un sistema, de las propiedades

globales de un sistema tomado en conjunto o de las relaciones de un sistema con otros.

Las reglas derivadas son metateoremas relativos a la existencia de demostraciones

formales, tales que sus pruebas indican métodos para obtener demostraciones formales. Su

uso permite abreviar la presentación de pruebas formales sin incrementar la clase de

fórmulas demostrables. El llamado teorema deductivo (TD) es un ejemplo de este tipo de

metateoremas. Kleene (1974, pag. 89) lo formula de la siguiente manera:

Si Γ, A B, entonces Γ A → B

Según este teorema podemos deducir A → C del esquema deductivo D que hemos

representado en nuestro lenguaje como A → (B → C), B, A C:

1. A → (B → C), B, A C Esquema D

2. A → (B → C), B A → C TD, 1

Demostramos de esta manera que si de las fórmulas supuestas A → (B → C), B y A

podemos deducir C, entonces de las fórmulas supuestas A → (B → C) y B podemos

deducir A → C.

Sin el uso del teorema deductivo nuestra demostración de A → C a partir de A → (B → C)

y B sería:

1. B Segunda fórmula supuesta

2. B → (A → B) H1

3. A → B MP, 1 y 2

4. A → (B → C) Primera fórmula supuesta

5. (A → (B → C)) → ((A →B) → (A → C)) H2

6. (A → B) → (A → C) MP , 4 y 5

7. A → C MP, 3 y 6

El teorema de la deducción, demostrado primeramente por Herbrand (1930), además de

permitir abreviar deducciones, establece precisamente, como observa Cuena (1985, pag.

26), que un esquema deductivo correcto puede ser también una regla de demostración

solamente asumiendo que las premisas son válidas.

La idea que está detrás de los metateoremas como expresión de las propiedades generales o

globales de un sistema, tomado en conjunto, es que la afirmación de que un sistema tiene

cierta propiedad constituye una proposición metalinguística o metateórica susceptible de ser

demostrada en el metalenguaje. En este sentido, las propiedades de un sistema lógico

quedan caracterizadas por metateoremas que informan sobre la potencia, límites,

funcionalidad, uso, etc., del sistema.

Según Ladrière (1969, pag. 67), las propiedades de conjunto de los sistemas formales, las

cuales quedan caracterizadas por metateoremas, las más importantes son coherencia,

saturación, resolubilidad, categoricidad. Las definiciones que vamos a dar aquí de estas

propiedades, sigue la exposición de Ladrière (1969, pags. 67 – 70), donde cada una de estas

propiedades puede referir a la sintaxis o a la semántica del sistema. Tenemos entonces por

lo menos dos variantes para cada una de las propiedades mencionadas. Por ejemplo,

tenemos la definición de coherencia sintáctica por un lado y la definición de consistencia

semántica, por otro lado. En el caso de la coherencia sintáctica podemos dar incluso dos

definiciones:

1. Un sistema es sintácticamente coherente cuando toda proposición del

sistema no puede ser derivada en él.

2. Un sistema es sintácticamente coherente cuando no es posible derivar en él a

la vez una proposición y su negación.

La consistencia semántica se refiere a una interpretación del sistema lógico: un sistema es

coherente si es realizable, es decir, si existe por lo menos una interpretación donde las

proposiciones que se derivan en él son verdaderas. La idea intuitiva detrás de la noción de

consistencia semántica es que no existe una interpretación que satisfaga o haga verdadera

ninguna contradicción. Algunos autores llaman satisfacibilidad a la realizabilidad:

Ebbinghaus (1996, pag. 35), Smullyan (1995, pag. 11), Mendelson, 56; Manzano, (1989,

pag. 78). Veremos, en el tercer capítulo de este trabajo, que el nombre “realizabilidad” se

reserva generalmente a una noción introducida por Kleene (1974, pags. 450 – 456) para

exponer la semántica de los sistemas lógicos intuicionistas, que veremos en este mismo

capítulo.

La distinción entre un enfoque sintáctico y un enfoque semántico también puede aplicarse a

la definición de saturación. En un sentido sintáctico, la saturación de un sistema puede ser

fuerte o débil.

1. Un sistema está sintácticamente saturado, en sentido fuerte, si todas sus

proposiciones son deducibles o refutables. Una proposición es refutable si puede

demostrarse su negación.

2. Un sistema está sintácticamente saturado, en sentido débil, si cuando le añadimos

una proposición no derivable, el sistema se vuelve inconsistente.

A la saturación sintáctica fuerte también se le llama completitud (completeness) o

suficiencia y a la débil no extensibilidad.

La saturación semántica puede ser absoluta o relativa:

a) Un sistema está semánticamente saturado en un sentido absoluto si toda

proposición deducible en él es una proposición válida, y viceversa. En un sistema

absolutamente saturado todos los teoremas son al mismo tiempo tautologías.

b) Un sistema está saturado semánticamente, en un sentido relativo, cuando toda

proposición correspondiente a un enunciado verdadero en alguna interpretación

del sistema es deducible en éste.

A diferencia de la saturación relativa, la saturación absoluta refiere a todas las

interpretaciones del sistema.

Kleene (1974, pags. 126 – 127) define completitud tal como hemos definido aquí saturación

semántica relativa:

“el sistema es completo si su lista de postulados suministra de antemano todo

cuanto necesitemos para un determinado propósito [...]. El sistema es completo con

respecto a una propiedad (o interpretación), si todas las fórmulas que tengan la

propiedad (o expresen proposiciones verdaderas bajo la interpretación) son

demostrables”.

En un sistema completo, en el sentido de la saturación semántica relativa, los axiomas y

reglas de inferencia suministran de antemano lo necesario para demostrar las verdades que

las reglas de formación nos permiten expresar. Tal sistema no amerita ser extendido

mediante el agregado de nuevos axiomas o reglas de inferencia para lograr que sean

deducibles las fórmulas que expresan verdades.

Una propiedad relacionada con la completitud o saturación semántica absoluta de un

sistema es la corrección: un sistema es correcto si toda fórmula deducida en él es una

tautología. Como explica Manzano (1989, 118), un sistema correcto no induce a error, en el

sentido de que no conduce de premisas verdaderas a conclusiones falsas.

En un sentido sintáctico, un sistema es resoluble cuando es posible dar un procedimiento

efectivo para decidir si cada proposición del sistema es o no deducible en él. Esta propiedad

es una condición que debe cumplir un sistema lógico. En un sentido semántico, un sistema

es decidible si se puede encontrar un procedimiento efectivo que permita decidir si cada

proposición del sistema es verdadera bajo cierta interpretación o no. Un sentido más fuerte

de la resolubilidad semántica se da cuando es posible dar un procedimiento efectivo para

decidir si cada proposición del sistema es una tautología o no. A la resolubilidad sintáctica

se le llama también decidibilidad y al problema de encontrar un procedimiento efectivo

para decidir si una proposición es derivable o no se conoce como el problema de la decisión

(Entscheidungsproblem, en alemán).

La categoricidad es una propiedad semántica y refiere a relaciones o morfismos entre

interpretaciones o modelos de los sistemas. Un sistema es categórico en sentido absoluto si

todos sus modelos son isomorfos entre sí. Es categórico en relación a una cierta clase de

objetos que le pertenecen si todos los modelos en los cuales tal clase de objetos recibe la

misma interpretación son isomorfos.

Como mencionamos arriba, para comprobar que un sistema tiene alguna de estas

propiedades, se formula tal propiedad en el metalenguaje donde se estudia el sistema objeto

y se demuestra el enunciado correspondiente, llegándose finalmente a un metateorema

sobre el sistema objeto.

De las propiedades que hemos definido, la corrección y la completitud de un sistema son

las más importantes en lo que refiere a las relaciones entre semántica y sintaxis de un

sistema lógico. Especialmente, en un sistema completo los teoremas y las tautologías son

idénticos.

Para la lógica proposicional clásica se han demostrado teoremas relativos a su coherencia

sintáctica, su corrección y su completitud. La demostración de la consistencia y la

completitud de la lógica proposicional fueron dadas por primera vez por Emil Post (1921).

Otras demostraciones la presentan Hilbert y Ackermann (1938), cuya versión de

demostración de completud, entendida como saturación sintáctica débil, se basa en la

demostración de un teorema que afirma la existencia de una forma normal para las fórmulas

del sistema. Dejaremos para el final de este capítulo la definición y explicación del

concepto de forma normal.

En cuanto a la decidibilidad, podemos decir que nuestro sistema de lógica proposicional es

decidible desde el punto de vista sintáctico ya que tenemos un procedimiento efectivo para

determinar cuando una fórmula es deducible en nuestro sistema. También tenemos un

procedimiento para determinar cuando una fórmula del sistema es válida en una

interpretación. Lo importante es que, como comentan Curry y Feys (1967, 40) una vez

dada toda la información requerida, la corrección de una supuesta demostración sea

determinadamente verificable, tal como la noción que hemos presentado aquí.

Teoría de la demostración

El estudio de las propiedades de los sistemas lógicos pertenece al campo de la teoría de la

demostración, la cual trata las demostraciones como objetos matemáticos. Esta disciplina

nace a comienzos del siglo XX cuando David Hilbert desarrolla su programa de

fundamentación de las matemáticas, el cual tenía como finalidad la demostración formal de

la consistencia de las matemáticas, es decir, demostrar que éstas estaban libres de

contradicción. Para Hilbert, la consistencia era criterio suficiente de existencia matemática.

Según Kleene (1974, pag. 69) ña demostración de existencia propuesta por Hilbert debía

cumplir con ciertas condiciones: debía ser constructiva y finita, es decir, emplear sólo

objetos concebibles intuitivamente y procesos mecánicos y, al mismo tiempo, no salir de un

ámbito finito, sólo considerar un número finito y determinado de objetos y funciones. Las

demostraciones de este tipo son relativas a enunciados que afirman la existencia de

demostraciones formales, como el brevemente expuesto teorema de la deducción. Las

demostraciones de tales metateoremas indican métodos para construir los objetos

matemáticos cuya existencia se ha de demostrar.

Como mencionamos, para Hilbert la no contradicción era un criterio de existencia para los

objetos matemáticos. Los enunciados sobre la existencia de objetos matemáticos, cuando

refieren a objetos de naturaleza ideal, suponen que la existencia de estos objetos es

independiente de si son pensados o imaginados, apareciendo como la determinación de algo

real. La concepción de Hilbert plantea que la existencia de una entidad de la cual se

requieren ciertas propiedades significa, matemáticamente hablando, la consistencia de las

propiedades requeridas de dicha entidad. Kleene (1974, pags. 57 – 58) comenta que

originalmente las pruebas de consistencia en matemática se hacían mediante la presentación

de modelos, es decir, se trataba de demostraciones de satisfacibilidad de condiciones por

una entidad teórica. El método de Hilbert en cambio proponía la prueba de consistencia por

medio de la demostración constructiva y finita de la imposibilidad de llegar a una

contradicción en una deducción: se trataba, como hemos comentado antes, de demostrar

una proposición acerca del sistema estudiado que trate de todas las posibles demostraciones

de teoremas en la teoría. Así que el estudio metamatemático de los sistemas formales y la

teoría de la demostración tienen su origen en el programa de fundamentación de las

matemáticas de Hilbert, que tenía como objetivo la demostración de la consistencia de los

sistemas estudiados.

El tipo clásico de demostración constructivista de metateoremas es el razonamiento por

inducción estructural aplicado a la construcción de proposiciones y a las derivaciones o

deducciones de una proposición. En el caso de las proposiciones elementales, se establece

una propiedad y se demuestra que dicha propiedad se conserva al aplicar las diferentes

reglas de formación; en el caso de las derivaciones, se establece una propiedad para los

axiomas y se demuestra la permanencia de tal propiedad en la aplicación de las reglas de

transformación o de inferencia. El proceso de demostración constructiva produce una

traducción de la propiedad de los casos elementales a los casos generales. Este tipo de

razonamiento es posible cuando las reglas se formulan a través de definiciones inductivas.

El programa de Hilbert fue emprendido por muchos investigadores con entusiasmo y

optimismo, dando varios resultados importantes, como la demostración de la completitud

de la lógica de predicados de primer orden en por parte de Kurt Gödel (1930): cada

exigencia hecha a una entidad matemática que no conduce a ninguna inconsistencia puede

ser satisfecha.

Sin embargo, el propio Kurt Gödel (1931) demostró la inviabilidad del programa de Hilbert

en los términos en que éste los planteaba. La demostración del primer teorema de Gödel

sobre completitud de la lógica de primer orden, dependía mucho de la estructura del

dominio de enunciados e inferencias consideradas. Al sobrepasar tales dominios, dejan de

coincidir deductibilidad y satisfacibilidad. Gödel demostró en su segundo teorema sobre

indecidibilidad que no es posible alcanzar coincidencia entre deductibilidad (teoremas) y

satisfacibilidad (tautologías) cuando se imponen ciertas exigencias naturales a la noción de

demostración, como que sean constructivas y finitas.

A pesar que el teorema de indecidibilidad de Gödel y sus corolarios respectivos sobre

incompletitud de imposibilidad de dar una demostración constructiva de la consistencia de

tales sistemas, la teoría de la demostración no fue abandonada: se plantearon nuevas

alternativas. La demostración de la coherencia de un sistema exige procedimientos que no

pueden ser formalizados en el propio sistema a estudiar. Como nada obliga a usar todos los

procedimientos de razonamiento del sistema objeto, se pueden descartar los que no

respondan a ciertos criterios. Así que para demostrar la consistencia de un sistema se puede

evitar todo razonamiento que no sea constructivo y disponer las cosas para que los

procedimientos de razonamiento no formalizables en el sistema objeto a los que haya que

recurrir también sean constructivos. Si en estas condiciones logramos demostrar la

coherencia del sistema objeto, se habrá demostrado que los razonamientos de la aritmética,

incluyendo los no constructivos, no conducen a contradicción.

Las demostraciones de consistencia emplean un modelo que se asocia a las proposiciones

del sistema, enunciados formados por los elementos del modelo. La correspondencia entre

el sistema y el modelo puede hacerse por medio de transformaciones practicadas a las

proposiciones del sistema. Estos procedimientos deberían permitir establecer una

correspondencia entre una derivación cualquiera en el lenguaje objeto y otra cuyas

proposiciones tengan un carácter más simple. El proceso de transformación así planteado se

llama reducción y cada transformación operada se llama etapa de reducción. De acuerdo a

Ladrière (1969, pags. 184 – 185), si se puede comprobar que toda derivación en el sistema

objeto es reducible, se habrá demostrado la consistencia de tal sistema, pues la proposición

¬ (A = A) no puede ser la última proposición de una derivación y existe al menos una

proposición que no se deriva en el sistema objeto

El problema de esta aproximación es la dificultad de demostrar que toda derivación es

efectivamente reducible, es decir, que se puede fijar un límite superior al número de etapas

de reducción necesarias para transformar una derivación cualquiera en la derivación que

resulta de la reducción. Como expone Ladrière (1969, pag. 185), las demostraciones de

consistencia de la Aritmética de Ackermann (1924 – 1925), Von Neumann (1927) y

Herbrand (1930) no han podido establecer que el proceso de reducción puede

efectivamente terminarse cuando la derivación incluye un esquema de reducción y en este

sentido han fracasado. Una reconsideración de este procedimiento de demostración ha sido

planteada por Gerhard Gentzen.

Casi simultáneamente a la demostración del segundo teorema de Gödel, Gentzen realizó

trabajos que con el tiempo se constituyeron en una base esencial y punto de partida de lo

que hoy conocemos como teoría estructural de la demostración, al introducir los

formalismos que él llamó cálculo de deducción natural y el cálculo de secuentes, los cuales

veremos más adelante con cierto detenimiento. Entre otras cosas, estos sistemas

permitieron avanzar en la fundamentación de la lógica intuicionista, cuyos planteamientos

veremos adelante. En particular, Gentzen (1936) usó estos cálculos para elaborar una

demostración combinatoria de la consistencia de la Aritmética de Peano.

Los trabajos de Gentzen también introdujeron una idea seminal de lo que hoy conocemos

como demostración analítica, la cual se caracteriza por tener una estructura simple en el

sentido de que tienen forma normal. Más adelante, al final de este capítulo, explicaremos

esto. Antes de exponer los sistemas de Gentzen para la lógica proposicional, dado que éstos

permiten una formalización de la lógica intuicionista que está en la base de la

correspondencia entre demostraciones y programas que queremos presentar, vamos a ver en

qué consiste la lógica intuicionista.

La lógica intuicionista

El programa de fundamentación propuesto por Hilbert surge como alternativa a las críticas

que a principios del siglo XX comenzaron a aparecer en contra de lo que hoy llamamos

lógica clásica. Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1908), en su trabajo De onbetrouwbaarhied

der logische principes (La no fiabilidad de los Principios Lógicos), cuestionó la validez

absoluta atribuida a las reglas de la lógica transmitidas desde Aristóteles. Él y sus

seguidores, inspirados en la filosofía de Kant, consideraban que el pensamiento matemático

se fundamentaba sobre una intuición originaria: la división de la unidad, que da pie a la

dualidad; como explica (Ladrière, 1969, pag, 44), se trata esencialmente de la intuición de

la estructura del tiempo, una intuición pura y a priori, independiente de la experiencia que,

para los kantianos,

constituye la base de la noción de número entero. Según esto, una entidad matemática,

como un número, sólo existe gracias al acto mental de un sujeto que lo engendra. Por esto,

no se puede progresar en los fundamentos de las matemáticas si no se presta atención a los

procesos mentales de donde surgen los objetos o entes matemáticos. Originada en una

actividad mental constructiva, las matemáticas serían independientes de la lógica. Por el

contrario, la lógica tendría su origen en la matemática.

Para los intuicionistas, el objetivo de la lógica, como actividad dependiente del

pensamiento matemático intuitivo, tiene como objetivo formalizar los procedimientos del

pensamiento matemático. La lógica sólo tendría sentido como una disciplina de

formalización de los procesos que dan origen a los procedimientos de la matemática, por lo

tanto, ya no debería centrarse en los procesos deductivos de las pruebas sino indagar los

procedimientos empleados en la construcción de éstas. Desde este punto de vista, probar

una afirmación sería exhibir el procedimiento para construir su prueba: “probar un

enunciado matemático es lo mismo que exhibir un método de construcción de la entidad de

la cual habla el enunciado” (Palau, 2002, 81).

La exigencia constructivista que los intuicionistas piden a las demostraciones de existencia

matemática, da una interpretación particular a la negación: negar una proposición A

equivale a decir que afirmar A conduce a una contracción o absurdo. Si empleamos el

símbolo ‘:=’ para significar “se define como”, y el símbolo ‘⊥’ para representar el absurdo,

tenemos formalmente que:

¬ A := A ⊥

La exigencia intuicionista de que lass demostraciones tengan un carácter constructivo, se

traduce en el rechazo de las demostraciones por reducción al absurdo y del principio de

tercero excluido. Una demostración por reducción al absurdo deriva la validez de una

fórmula A a partir de una deducción que, partiendo de la suposición de la validez de ¬A,

concluye en una fórmula contradictoria como B /\ ¬ B. Expresado formalmente:

¬A → (B /\ ¬B) A.

El intuicionismo rechaza este principio porque la deducción ‘¬A → (B /\ ¬B) A’ no nos

da un procedimiento para construir A. La fórmula ‘¬A → (B /\ ¬B)’ nos dice simplemente

que ¬A conduce a una contradicción, algo que ya está implícito en la definición

intuicionista de negación. De ello no podemos deducir más. Si pensamos en términos de

construcciones mentales, no sirve como criterio de existencia de una entidad que la

suposición de su no existencia conduce a un absurdo; la única forma de probar la existencia

de una entidad es presentar un procedimiento que permita construirla.

Por otra parte, al interpretar la verdad en términos de “tener una prueba constructiva” y la

falsedad como “generar una contradicción”, los intuicionistas toman el principio de tercero

excluido “A \/ ¬A” como: la proposición A tiene una prueba constructiva o genera una

contradicción. Bajo tal interpretación, no se puede admitir como válido tal principio ya que

se podría referir a una afirmación a partir de la cual pudiera no construirse una prueba, lo

cual no significa que su rechazo va a generar un absurdo.

En un sistema intuicionista, el concepto semántico de verdad de la lógica clásica se

transforma entonces en un concepto epistemológico, pues la verdad de una afirmación

matemática se entiende como prueba constructiva, lo cual significa conocimiento de cómo

demostrar la verdad de la afirmación. Como consecuencia, también cambia el sentido de la

noción de prueba, que ya no estará caracterizada como deducción sino como construcción

mental. Esto marca una diferencia entre el planteamiento intuicionista y la teoría de la

demostración, tal como originalmente la planteó Hilbert en su programa formalista: si para

la teoría hilbertiana una demostración es un objeto, una especie de bloque estático, para los

intuicionistas en cambio una demostración es un acto por el cual se muestra la evidencia de

un juicio y de esta manera lo hace conocido o aceptado. Cuando Brouwer afirma que una

demostración es una construcción mental no pone a la demostración como un objeto

estático sino como un proceso dinámico, porque lo que es mental son nuestros actos y la

palabra construcción, tal como la usa Brouwer, no es sino sinónimo de demostración:

“[Brouwer] pudo haber dicho que la demostración de un juicio es el acto de

demostrar o de asirlo. Y el acto es primeramente el acto en la medida que es

realizado. Sólo secundariamente e irrevocablemente, el acto que ha sido ejecutado”

(Martin-Löf, 1996, pag. 18).

Demostrar es aquí hacer conocer, conducir al conocimiento de algo: demostrar no es sino

otro sinónimo para entender. En este sentido, desde el punto de vista intuicionista, la teoría

de la demostración no es necesariamente una metamatemática, como aspiraba Hilbert, sino

una teoría del conocimiento.

Para entender los términos centrales de la lógica intuicionista, vale la pena presentar una

descripción de su semántica elaborada por D. van Dalen (1986). Suponiendo que

comprendemos intuitivamente la noción de a es una prueba de la fórmula A, para el caso

en que A es atómica y aceptando el conjunto de los números naturales como el dominio de

las variables de nuestro lenguaje formal, podemos elucidar qué significa dar una prueba de

una fórmula no atómica A en término de sus componentes. Para esto damos el significado

de las conectivas proposicionales intuicionistas bajo la suposición de que se sabe qué quiere

decir dar una prueba de una fórmula atómica.

i) a es una prueba A /\ B si y sólo si a es un par <a1,a2> tal que a1 es una prueba de

A y a2 es una prueba de B.

ii) a es una prueba A \/ B si y sólo si a es un par <a1,a2> tal que a1 es una prueba de

A o a2 es una prueba de B.

iii) a es una prueba A → B si, y sólo si, A → B es una construcción que convierte

cada prueba b de A en una prueba a(b) de B.

iv) nada constituye una prueba de ⊥, que simboliza lo absurdo o lo contradictorio.

Como puede observarse, no aparece cláusula alguna relativa a la contradicción porque,

como ya hemos dicho, para los intuicionistas negar una proposición equivale a decir que su

afirmación conduce a un absurdo: ¬ A := A ⊥.

La cláusula (ii) se corresponde a la idea de Brouwer de que ninguna fórmula de la forma

A \/ B es probable a menos que se pueda demostrar alguno de sus componentes,

presentando el rechazo intuicionista del principio de tercero excluido.

Un sistema lógico formalizado basado en la noción broweriana de matemática intuicionista

sería llevada a cabo por Heyting (1956). El cálculo proposicional intuicionista presentado

por Heyting, que denotaremos por J, fue formalizado usando un conjunto de axiomas, lo

cual permite establecer comparaciones precisas con otros sistemas lógicos formalizados en

forma axiomática. El sistema sólo tenía como regla de inferencia el Modus Ponens (A, A →

B B). Este sistema no incluye principio de tercero excluido ni principio de doble

negación, por ello deja fuera de la lógica toda regla de inferencia que pudiera demostrar

cualquiera de estos principios, como la reducción al absurdo. El conjunto de axiomas que

constituyen la lógica de Heyting son, según Palau (2002):

J1 A → (B → A)

J2 (A → B) → ((A → (B →C)) → (A → C))

J3 A → (B → (A /\ B))

J4 (A /\ B) → A / (A /\ B) → B

J5 A → (A \/ B) / B → (B \/ A)

J7 ((A → C) → (B → C) → ( (A \/ B) → C )

J8 A → (A → B)

Como dijimos, a estos axiomas hay que agregar el Modus Ponens como regla de inferencia.

Heyting incluyó sólo aquellos axiomas que justifican las inferencias admitidas por Brouwer

para las matemáticas. Por ejemplo, según la cláusula (iii) de la semántica que hemos

presentado de la lógica intuicionista, para dar una prueba de J3, A → (B → (A /\ B)),

primero debemos encontrar una construcción a que convierta la prueba b de A en una

prueba a(b) de (B → (A /\ B)). Nuevamente, por la clausula (iii) debemos encontrar una

construcción d que convierta la prueba c de B en una prueba d(c) de A /\ B. Supongamos

que hay una prueba b de A y que tenemos una prueba c de B, bajo este supuesto y por la

clausula (i) podemos construir una prueba <b, c> de (A /\ B). Hemos obtenido la prueba <b,

c> de (A /\ B) a partir, de dos supuestos: de la suposición de que tenemos una prueba c de

B, lo que nos da una prueba d(c) de A /\ B, y lo expresamos por B → (A /\ B); y de la

suposición b de A, lo cual nos permite dar una prueba a(b) de (B → (A /\ B)) y lo

expresamos por A → (B → (A /\ B)).

Cabe preguntarse si una demostración como esta última no podría realizarse en un sistema

formal que la hiciera más precisa. Dicho sistema debería formalizar específicamente la

noción de construcción. Cómo precisar la noción de construcción de la lógica intuicionista

fue un problema que preocupó a varios investigadores. Veremos en el tercer capítulo de

este trabajo un par de propuestas de solución a este problema, una de las cuales tiene su

origen en el isomorfismo Curry – Howard entre demostraciones y términos lambda que

expresan computabilidad de funciones.

Comparando el sistema J de Heyting con el que hemos presentado antes de Hilbert,

encontramos que:

1. El condicional está caracterizado por los mismos axiomas: H1 – H2 = J1 – J2.

2. Aceptando que J5 incluye los dos casos de la ley de adición, entonces la

disyunción queda caracterizada por los mismos axiomas en ambos sistemas: H3

– H4 = J5.

3. Los axiomas que corresponden a la conjunción son equivales: H5 – H7 ↔ J3 –

J4.

4. Los sistemas sólo comparten los axiomas H9 y H10 relativos a la negación, pues

el sistema intuicionista no acepta la ley de la doble negación.

En el sistema de lógica intuicionista se entiende por deducción lo mismo que se entiende en

lógica clásica, como lo demuestra el hecho de que sea posible demostrar el meta teorema de

la deducción o regla de introducción del condicional en el cálculo natural:

Si A1, …, A B entonces A1 ,…, An -1 An → B

A primera vista, desde el punto de vista estructural, la lógica intuicionista de Heyting

parece diferir de la lógica clásica sólo en la caracterización de la negación, ya que la lógica

intuicionista no acepta un axioma del sistema H: ¬¬A → A. Sin embargo, hay que recordar

siempre que, aunque los símbolos usados para representar las conectivas en el sistema

intuicionista son los mismos que los usados para el mismo objetivo en la lógica clásica, los

símbolos para las conectivas no tienen el mismo significado en ambos sistemas, cambia la

semántica, por lo que no expresan las mismas funciones lógicas. Para empezar, hay una

diferencia sustancial en cuanto a la noción de verdad entre ambos sistemas. Más que la

verdad propiamente dicha, lo que interesa a los intuicionistas es la posibilidad de dar un

método o procedimiento de construcción para cada entidad cuya existencia se afirma en un

sistema y llega a conocerse.

No obstante, para Hilbert, la observación intuicionista respecto al significado de las

conectivas lógicas era relevante, pues ponía en evidencia el hecho de que en la lógica

clásica, al fijar una semántica bivalente en la que las expresiones de la matemática debe

corresponder uno de dos valores, verdad o falsedad, supone que es posible resolver alguna

vez todos los problemas matemáticos. Si la lógica clásica plantea una semántica en

términos de verdad y falsedad, la lógica intuicionista la plantea en términos de

constructividad: “una proposición está construida cuando puede probarse mediante

razonamientos intuitivamente correctos” (Hilbert y Ackerman, 1938).

Como mencionamos arriba, al final del apartado anterior, hacia el año 1934 Gerhard

Gentzen introdujo sistemas lógicos que permitirían puntos de vistas clarificadores respecto

a la naturaleza de la lógica clásica y, en especial, de la lógica intuicionista.

Cálculos de deducción natural: lógica clásica

Gentzen (1934), en sus “Investigaciones sobre la Inferencia Lógica”, introdujo un sistema

de deducción que, según él, sería más cercano al razonamiento natural que cualquier

sistema axiomático:

Mein erster Gesiehtepunkt war folgender: Die Formalisierung des logischen

Schliessens, wie sie insbesondere durch Frege, Eussell und Hilbert entwickelt

worden ist, entfernt sich ziemlich weit von der Art des Schliessens, wie sie in

Wirklichkeit bei mathematischen Beweisen geübt wird. Dafür werden beträhtliche

fórmale Vorteile erzielt. Ich wollte nun zunächst einmal einen Formalismus

aufstellen, der dem wirklichen Schliessen möglichst nahe kommt. So ergab sich

ein “Kalkül des natürlichen SchlieBens,,. (”NJ,, für die intuitionistische, “NK,, für

die klassische Prädikatenlogik.) (Gentzen, 1934, pag. 177 )

[Mi punto de partida era el siguiente: la formalización de la deducción lógica,

especialmente como ha sido desarrollada por Frege, Russell y Hilbert, se ha

alejado demasiado del tipo de deducción que se efectúa en las demostraciones

matemáticas. Ellos sólo consideraban las ventajas formales. Yo en cambio quería

un formalismo de donde pudiera surgir la deducción real. De ahí surgió un

“cálculo de deducciones naturales” (NJ para la lógica de predicados intuicionista,

NK para la clásica).]

Por demostración real Gentzen quiere decir las demostraciones usadas por los matemáticos

en su labor práctica:

Wir wollen einen Formalismus aufstelle, der möglichst genau das wirklische

logische Schliessen bei mathematischen Beweisen wiedergibt (Gentzen, 1934, pag.

183).

[Queremos edificar un formalismo que refleje lo más exactamente posible los

razonamientos lógicos que se utilizan realmente en las demostraciones matemáticas.]

Según este planteamiento, el proceso natural de razonar se realizaría de la siguiente manera:

• Se hacen suposiciones temporales

• Se derivan fórmulas nuevas aplicando reglas de inferencia

• Se aplica un mecanismo para descargar suposiciones

El sistema de deducción natural consiste entonces en derivar una proposición a partir de un

número finito de suposiciones, no de axiomas, aplicando algunas reglas predefinidas de

inferencia. En el curso de la deducción, algunas suposiciones pueden ser "cerradas" o

"descargadas". Una suposición es descargada cuando se muestra cómo conduce a una

fórmula por la aplicación de reglas de inferencia. Una prueba es una deducción en la que

todas las suposiciones han sido descargadas. El concepto de “deducción” queda

formalizado al describir rigurosamente el proceso de descarga de suposiciones.

Vemos, pues, que una primera diferencia que destaca entre el cálculo de deducción natural

y el sistema axiomático, es que, el primero admite que las reglas de inferencia incluyan

como premisas inferencias a partir de hipótesis:

Der wesentlishste äusserliche Unterschied zwischen NJ-Heirlaitungen und

Heirlaitungen in den Systemen von Russell, Hilbert, Heyting ist folgender: Bei

letzsteren werden die richtigen Formeln aus einer Reihe von “logischen

Grundformeln” durch wenige Schlussweisen hergeleitet; das natürliche Schliessen

geht jedoch im allgemeinen nicht von logischen Gründsetzen aus, sondern von

Annahmen, an welche sich logische Schlüsse anschliessen. Durch einen späteren

Schlüss wir dann das Ergebnis wieder von der Annahme unabhängig gemacht

(Gentzen, 1934, pag. 184).

[La diferencia esencial entre las deducciones en NJ y las derivaciones en los

sistemas de Russell, Hilbert y Heyting es la siguiente: en estos sistemas las fórmulas

verdaderas son deducidas a partir de una secuencia de 'fórmulas lógicas básicas' a

través de unas pocas formas de inferencia. Sin embargo, generalmente la deducción

natural no comienza a partir de proposiciones lógicas básicas sino de suposiciones a

las que se aplican deducciones lógicas. Por medio de una última inferencia el

resultado luego se hace independiente de la suposición.]

El sistema formal de deducción natural para la lógica proposicional consiste de los

siguientes componentes:

1. El lenguaje L de la lógica proposicional.

2. Dos grupos de reglas de inferencia:

• Reglas de introducción, que producen enunciados complejos a través de la

introducción de conectivas lógicas.

• Reglas de eliminación, que producen enunciados más simples al eliminar

conectivas.

El cálculo natural carece de axiomas. Su semántica difiere de la de los sistemas

axiomáticos, pues no otorga significado a las constantes lógicas presuponiendo la noción de

verdad, sino que asocia a cada conectiva un par de reglas de inferencia que determinan su

uso. En este sentido, podría decirse que, como observa Palau (2002), la caracterización del

significado de las conectivas lógicas en el cálculo natural de Gentzen sigue una línea

cercana a la doctrina del significado como uso que plantea Wittgenstein (1953), en sus

Investigaciones Filosóficas, al limitarse a dar reglas que especifican el uso de las conectivas

lógicas3. En este punto de vista, el significado de las proposiciones y de las conectivas

lógicas es presentado en términos del rol que las conectivas lógicas juegan dentro del

sistema de inferencia.

Pese a la diferencia en la caracterización semántica de las conectivas lógicas, las

presentaciones de la lógica proposicional al estilo axiomático de Hilbert y al estilo

inferencial de Gentzen son equivalentes, pues, como el propio Gentzen (1934) demostró, en

ambos sistemas son demostrables los mismos teoremas.

A continuación presentamos las reglas básicas de un cálculo de deducción natural (NK):

3 Como veremos al final del tercer capítulo de este trabajo, cuando tratemos aportes del isomorfismo Curry – Howard a la semántica de la lógica, que esta consideración podría conllevar a un tratamiento convencional de las conectivas lógicas que harían inconsistente al sistema.

Cálculo de deducción natural proposicional de GentzenConectiva Reglas de Introducción Reglas de Eliminación

/\ A B__ A /\ B

(I /\)

A /\ B A

(E /\)

A /\ B B

(E /\)

\/ A__ A \/ B

(I \/)

B__ A \/ B

(I \/)

[A] [B] . .

A \/ B __C C__ C

(E \/)

→ [A]..

B A → B

(I →)

A A → B B

(E →)

¬ [A]..

B /\ ¬ B ¬ A

(I ¬)

¬ ¬A A

(E ¬)

Intuitivamente, podemos observar correspondencias entre los axiomas H3 y H4 del sistema

de Hilbert (principios de simplificación) y la regla de la eliminación de la conjunción; entre

H6 y H7 (principios de adición) y la Introducción de la disyunción; entre H11 (doble

negación) y la regla de la eliminación de la negación; entre el Modus Ponens y la regla de

la eliminación del condicional de NK.

Una forma de razonamiento común en este cálculo es la reducción al absurdo. Para probar

que algún enunciado A es el caso, primero asumimos que ¬A es el caso, si esta suposición

conduce a contradicción, entonces podemos concluir que ¬A no puede ser el caso, por lo

tanto podemos concluir que A debe ser el caso. Como ejemplo, probemos la regla del

Modus Tollens: A → B, ¬B ¬ A:

1 A → B Primera fórmula supuesta

supuesto inicial

2 ¬ B Segunda fórmula supuesta

supuesto inicial

3 A Suposición de A

supuesto absurdo

4 B Eliminación de →, 3 y 1

E 1, 3

5 B /\ ¬ B Introducción del /\, 2 y 5

I /\ 2, 4

6 ¬A Introducción de ¬, 3 y 5

I ¬ 3, 5

Como ya hemos mencionado, las deducciones de este tipo no son aceptadas en la lógica

intuicionista, porque ésta, al imponer una semántica basada en la noción de constructividad,

no reconoce la validez de las demostraciones por reducción al absurdo.

En realidad, Gentzen presentó sus demostraciones en forma de árbol con hojas o nodos

etiquetados, de manera que la demostración que hemos presentado del Modus Tollens sería:

1A → B [A] (→ E) B ¬B (/\ I)

B /\ ¬ B (¬ I,1) ¬ A

Como puede observarse, podemos dividir este árbol en tres aplicaciones de reglas de

inferencia: (→ E), (/\ I) y (¬ I). Llamamos derivación inmediata a cada una de estas

aplicaciones. Cada derivación inmediata forma una hoja del árbol y lleva como etiqueta una

indicación que identifica la regla aplicada. A las suposiciones, que son proposiciones

abiertas que deben ser descargadas en alguna derivación inmediata, las podemos poner

entre corchetes y podemos ponerle un número que la identifique: es el caso de la suposición

que hemos indicado con [A] en nuestra deducción, la cual es descargada en la derivación

inmediata del final, donde hemos apliocado la regla (¬ I), es decir, la introducción de la

negación.

Hay varias instrucciones que no son explícitas pero que se usan en derivaciones, como

muestra Negri (2003):

1. La misma fórmula puede actuar como suposición y

conclusión en una derivación inmediata:

1 [ A ] (→ I, 1) A → A

Como puede observarse, le teorema A → A, cuya deducción presentamos como ejemplo de

demostración de un teorema en el cálculo estilo Hilbert para la lógica clásica, es deducible

en este cálculo en un solo paso, como una derivación inmediata a partir de la regla (→ I)

sobre una suposición A.

2. Es posible descargar suposiciones que no ocurren en el

tope de ninguna rama de la derivación (descarga vacua):

1 [ A ] (→ I, v) __ B → A (→ I, 1) A → (B → A)

Esta es la derivación, en le cálculo de deducción natural, del esquema axiomático H2, el

principio de introducción de una suposición, del sistema estilo Hilbert que presentamos

arriba. Como puede observarse, A → (B → A) significa intuitivamente que podemos

introducir suposiciones en una derivación. En la derivación, B → A sería la descarga de

una suposión B que no aparece en el tope de ninguna rama de nuestra derivación. Esta

descarga la hemos indicado con la etiqueta (→ I, v) , donde “v” indica “vacuo”.

3. Es posible descargar más de una aparición de la misma

fórmula de una vez (descarga múltiple):

3 1 2 1 [A → (B → C)] [A] (→ E) [A → B] [A] (→ E)

B → C B (→ E) C (→ I, 1)

A → C (→ I, 2) ( A → B) → (A → C) (→ I, 3)

(A → (B → C)) →((A → B) → (A → C))

Esta es la drivación del esquema axiomátco H2 de nuestro sistema estilo Hilbert, es decir,

el principio de distribución. En esta derivación, la segunda aplicación de la regla (→ E)

descarga las dos apariciones de la suposición A, señalada como suposición 1. Nótese que,

de hecho, el uso de números naturales para marcar paquetes de suposiciones se hace

necesario en este mecanismo deductivo que permite descarga múltiple de varias apariciones

de una suposición en un solo paso.

4. Es posible reemplazar una suposición A en una derivación

con una derivación de A y obtener una derivación (substitución) “pegando” dos

derivaciones:

Δ:

Γ, A:C

En esta derivación, las letras griegas mayúsculas Δ y Γ representan conjuntos de

suposiciones.

Más adelante veremos que estas instrucciones se hacen explícitas en el cálculo de secuentes

como reglas estructurales de este cálculo.

Llamamos fórmula principal de una regla de eliminación a la que contiene la conectiva a

eliminar y a los componentes de esta fórmula que están en las premisas las llamamos

fórmulas activas.

Cálculos de deducción natural: cálculo intuicionista

Como el objetivo de Gentzen (1934) era presentar la lógica de Hilbert bajo una forma más

constructiva y cercana al razonamiento cotidiano, el primer sistema que expuso fue el

cálculo de deducción natural para la lógica intuicionista (NJ). Este sistema, NJ, comparte

con el cálculo natural para la lógica clásica (NK) las mismas reglas de introducción y

eliminación de conectivas, con excepción de las reglas para la negación, las cuales

cambian:

Introducción de la negación (I ¬) Eliminación de la negación(E ¬)

A.

⊥ __¬ A

__⊥__¬ A

Hay coincidencia en NJ y NK en I¬, en el sentido de que si partimos de una fórmula A y la

derivación nos conduce a una contradicción, entonces podemos concluir la negación de A.

No hay coincidencia respecto a E ¬, ya que para NJ vale aquí la regla atribuida a Duns

Escoto conocida como principio Ex falso sequitur quodlibet: de una contradicción se sigue

cualquier fórmula, la cual no permite deducir el principio de tercero excluido.

La equivalencia entre los cálculos de deducción natural y los sistemas lógicos basados en

axiomas, fue demostrada de forma indirecta por Gentzen. Primero propuso un cálculo en el

que esta demostración se realizara con mayor facilidad y luego, demostró la equivalencia

entre este cálculo y los de deducción natural. Este nuevo cálculo fue llamado por Gentzen

el cálculo de secuentes.

El cálculo de secuentes clásico

En el mismo citado trabajo, Gentzen (1934) presentó, además de los cálculos de deducción

natural, un cálculo que constituye una aproximación distinta a las nociones de consecuencia

lógica y de sistema deductivo: el cálculo de secuentes (Sequenzen Kalküle)4. Como lo dice

su título, el trabajo de Gentzen (1934) constituía un estudio de la deducción lógica. La idea

del cálculo de secuentes era, en parte, permitir una caracterización formal y rigurosa de la

4 Hablamos de secuentes en vez de secuencias porque Kleene (1974) prefirió traducir el alemán Sequenzen por el inglés secuents, para no confundir el significado preciso al que quería referirse Gentzen con lo que podría ser una secuencia no necesariamente ordenada de fórmulas.

noción de consecuencia lógica. De hecho, podemos considerar el cálculo de secuentes

como una teoría formal de la relación de deducción.

En una demostración matemática se procede de un enunciado al siguiente hasta alcanzar la

aserción del enunciado del cual se quiere probar que es un teorema. Cada enunciado

depende de ciertas hipótesis, que pueden ser hipótesis del propio teorema a demostrar o

hipótesis adicionales que se asumen temporalmente en el curso de la prueba. Tal

procedimiento sería el esbozado por una demostración basada en el sistema de cálculo

natural de Gentzen. Podemos entonces describir un estadio de la prueba a través de una lista

de las suposiciones correspondientes y el respectivo enunciado que se quiere probar. Según

Ebbinghaus (1996, pag. 60) llamamos secuente a una lista no vacía de fórmulas y podemos

usarlos para describir estadios de una prueba. Por ejemplo, un estadio de la prueba con las

suposiciones “φ1, …, φn” y la afirmación de que φ es un teorema, puede expresarse por la

secuencia “φ1, …, φn, φ”. A la secuencia “φ1, …, φn” la llamamos antesecuente y a φ lo

llamamos consecuente de “φ1, …, φn”.

Llamaremos secuente precisamente a un estadio o fragmento de una demostración, en la

que encotramos dos partes principales: un conjunto o secuencia de hipotesis o suposiciones,

que constituye el antecedente, y una secuencia de fórmulas que constituye el consecuente,

en donde se descargan las suposiciones en el antecedente. Entre ambas partes, antecedente

y consecuente, se establece una relación de deducción o de consecuencia que, en este

cálculo, estará caracterizada por un conjunto de reglas, llamadas reglas estructurales. A

esta relación la designaremos con el signo ‘⇒’, que intuitivamente puede interpretarse

como una descripción de la manera en que se realiza una deducción en el cálculo natural.

En este cálculo, un secuente toma la forma: Γ ⇒ Ω, donde Γ, Ω son secuencias de fórmulas

cualesquiera y el signo ‘⇒’ es un signo no lógico del lenguaje objeto que permite construir

las fórmulas del cálculo de secuentes. Las reglas de los secuentes son locales: cada fórmula

C que tiene las suposiciones abiertas Γ depende de las que aparecen en una misma línea:

Γ ⇒ C

Las reglas del cálculo de deducción natural sólo muestran las fórmulas activas, que son las

fórmulas que funcionan como premisas en las reglas de introducción y eliminación. Las

otras suposiciones abiertas, que son las que no han sido descargadas, son mantenidas como

suposiciones implícitas. Por ejemplo, la siguiente regla del cálculo de deducción natural:

A B /\ I A /\ B

cuando se le hacen explícitas sus suposiciones, queda:

Γ Δ : : A B /\ I A /\ B

Aquí los puntos son una manera informal para representar la relación de deducción. Cuando

se formalizan los puntos que indican la relación de deducción a través del símbolo ‘⇒’,

esta regla se convierte en:

Γ ⇒ A Δ ⇒ B Γ Δ ⇒ A /\ B

que, como veremos luego, es una de las reglas del cálculo de secuentes.

El sentido intuitivo de un secuente Γ⇒ Ω es que las suposiciones en Γ implican alguna de

las conclusiones en Ω, es decir, que si Γ = φ1, …, φn y Ω = ψ1, …, ψn, entonces φ1 /\ …

/\ φn implica ψ1 \/ … \/ ψn. Las reglas para conjunción y disyunción reflejan esta idea con

claridad.

El antesecuente y el consecuente pueden ser conjuntos vacíos: puede incluirse la secuencia

nula representada por φ. Si el antesecuente de un secuente es φ, es decir, φ ⇒ Δ, o también

⇒ Δ, entonces Δ es un teorema y el secuente se reduce a una fórmula del tipo B1 \/ ... \/ Bn.

Si el consecuente es vacío, Γ ⇒ φ o Γ ⇒, entonces el secuente tendrá la forma A1 /\ … /\

An. En efecto, el signo ⇒ puede compararse con un condicional → que establece que si

todas las fórmulas del antesecuente sean verdaderas entonces alguna de las fórmulas de la

consecuente debe ser verdadera:

Una demostración en el cálculo de secuentes consiste en determinar los secuentes que

corresponden a fórmulas que constituyen los teoremas de un sistema axiomático. De

acuerdo al propio Gentzen (1934), se trata de un cálculo logístico al estilo axiomático de

Hilbert, en el sentido de que consta de un axioma y su objetivo es la demostración de

teoremas. Como ya hemos dicho, el cálculo de secuentes de Gentzen no trabaja sobre

fórmulas particulares sino sobre secuencias de fórmulas. No parte de supuestos sino de una

secuencia básica o axioma y dos conjuntos de reglas de inferencias, uno de reglas

operatorias y otras consideradas como reglas estructurales, que no hacen referencia a signos

lógicos sino a la estructura de las secuencias.

Como axiomas del sistema de cálculo de secuencias se toman todas las secuencias de la

forma:

Γ ⇒ Γ

donde Γ es una secuencia formada por un conjunto cualquiera de fórmulas, sin importar su

orden.

Como ya hemos dicho, al axioma se agregan dos conjuntos de reglas, un conjunto de reglas

estructurales y un conjunto de reglas operatorias. A continuación, las reglas operatorias:

Reglas operatorias para el cálculo de secuencias clásico LK de GentenConectiva En la antecedente En el consecuente

/\ A, Γ ⇒ Ω

A /\ B, Γ ⇒ Ω(\/⇒)

B, Γ ⇒ Ω A /\ B, Γ ⇒ Ω

(\/⇒)

Γ ⇒ Ω , A G ⇒ Ω , B Γ ⇒ A /\ B

(⇒\/)

\/ A, Γ ⇒ Ω B, Γ ⇒ Ω

A \/ B, Γ ⇒ Ω(/\⇒)

Γ ⇒ Ω , A Γ ⇒Ω, A \/ B

(⇒\/)

Γ ⇒ Ω ,B Γ⇒Ω, A \/ B

(⇒\/)

→ Γ ⇒ A_ B, Ψ ⇒ δ __

A → B, Γ, Ψ ⇒ δ(→⇒)

A, Γ ⇒ Ω , B Γ ⇒ Ω, A → B

(⇒→ )

¬ Γ ⇒ Ω , A ¬ A, Γ ⇒ Ω

(¬⇒)

A, Γ ⇒ Ω Γ ⇒ Ω, ¬ A

(⇒¬)

Como puede observarse, las reglas operatorias del cálculo no incluyen reglas de

eliminación, sólo incluyen reglas de introducción. Sin embargo, también se dividen en dos

grupos. Un grupo de reglas que introducen conectivas en la parte izquierda del secuente, es

decir, en el antesecuente; y un grupo que introduce conectivas en la parte derecha del

secuente, es decir, en el consecuente. A las primeras se les llama reglas Izquierdas y las

otras reglas Derechas. A pesar de que ambos tipos de reglas intoducen conectivas, estas

reglas están concebidas de manera tal que existe una correspondencia entre las reglas de

introducción y eliminación del cálculo de deducción natural y las reglas derechas e

izquierda cálculo de secuentes, respectivamente.

Vimos arriba cómo se obtiene una regla derecha para el conjuntor (/\) del cálculo de

secuentes a partir de la regla de introducción del conjuntor del cálculo de deducción

natural. Lo mismo vale pare el resto de las reglas de la derecha. Por ejemplo, si hacemos

explícitas las fórmulas abiertas no implícitas en la regla de introducción del disyuntor,

tendremos:

Γ Γ : : A \/ I B \/ I A \/ B A \/ B

Si damos a los puntos una representación formal a través del signo ’⇒’, y tomamos la

secuencia de fórmulas Ω como vacía, obtendremos las reglas derechas para ‘\/’:

Γ ⇒ A Γ ⇒ A \/ B

(⇒\/)

Γ ⇒ B Γ ⇒ A \/ B

(⇒\/)

Lo mismo vale para la regla de introducción del condicional → y su respectiva regla

derecha en el cálculo de secuentes, si hacemos vacía la secuencia Ω.

[A], Γ.

B .Γ A → B

(→ I)

A, Γ ⇒ B Γ ⇒ A → B

(⇒→)

También es fácil ver cómo la regla derecha de la negación se corresponde con la

introducción de la negación, si tratamos Ω como un secuente vacío, lo cual significaría que

a partir de una secuencia Γ y una fórmula A arbitraria no se deduce nada:

[A], Γ.

⊥ __¬ A

(¬ E)

A, Γ ⇒ Γ ⇒ ¬A

(⇒¬)

Es más difícil ver cómo se relacionan las reglas de eliminación del cálculo de deducción

natural y las regas izquierda del cálculo de secuentes. Para captarlo, hay que tratar las

reglas izquierda del cálculo de secuentes como una versión de abajo hacia arriba

(down-top) de las reglas de eliminación del cálculo de deducción natural. Por ejemplo,

podemos comparar la regla izquierda para el disyuntor, \/⇒, del cálculo de secuentes con la

regla de eliminación del cojuntor:

[A] [B] . .

A \/ B __C C__ C

(\/ E)

A ⇒ C B ⇒ C A \/ B ⇒ C

(\/⇒)

En este caso, tenemos la interpretación informal de estas reglas como una formalización de

la idea de que si derivamos una fórmula C a partir de una fórmula A o de una fórmula B,

entonces puede derivar C de A \/ B. Puede notarse que la regla izquierda del cálculo de

secuentes es una representación inversa, de abajo-hacia-arriba, de la regla de eliminación

correspondiente del cálculo de deducción natural.

Respecto a las reglas izquierda del cojuntor y su correspondientes reglas de eliminación del

cálculo de deducción natural, tenemos:

A /\ B A

(E /\)

A /\ B B

(E /\)

A ⇒ A /\ B ⇒

(\/⇒)

B ⇒ A /\ B ⇒

(\/⇒)

La idea aquí es que lo que si no podemos deducir algo de una fórmula A, que en el cálculo

de secuentes se representa por la expresión ‘A ⇒’, tampoco podemos deducirlo de la

conjunción de esa fórmula A con otra fórmula B. Nuevamente, las regla izquierdas del

cálculo de secuentes para la conjunción son una representación inversa,

de-abajo-hacia-arriba, de las correspondientes reglas de eliminación del cálculo de

deducción natural para la misma conectiva.

Más complicado es ver cómo se realcionan las reglas de eliminación con las reglas

izaquierda en el caso del condicional y de la negación. La relación entre la regla de

eliminación del condicional y la regla izquierda del condicional la dejaremos para el tercer

capítulo, ya que es ahí donde presentamos el principio de sustitución en el cálculo de

deducción natural, el cual nos permite ver más fácilmente esta relación.

En el caso de la negación, tenemos:

¬ ¬A A

Γ ⇒ A ¬ A, Γ ⇒

(¬⇒)

Para la regla izquierda de la la negación tenemos el caso de que, viéndo esta regla como

una inferencia de-abajo-hacia-arriba, si no podemos deducir nada a partir de la negación de

una suposición A arbitraria, entonces podemos deducir que la proposición A es el caso.

Zucker (1974) ha demostrado que es posible definir una relación correspondencia precisa

entre las reglas de introducción y de eliminación del cálculo de deducción natural y las

reglas derechas e izquierdas, respectivamente, del cálculo de secuentes. Dicha

correspondencia no llega a ser exactamente uno-a-uno, ya que las fórmulas que constituyen

una secuencia Γ no están en orden.

Como ejemplo de una derivación en el cálculo de secuentes usando sólo reglas

operacionales, presentaremos una derivación del axioma H2 de nuestro sistema estilo

Hilbert en el cálculo de secuentes para la lógica clásica:

(Ax) (Ax) C ⇒ C B ⇒ B (→⇒) (Ax)

B, (B→ C) ⇒ C A ⇒ A (→⇒) (Ax) A, B, A → (B→ C) ⇒ C A ⇒ A (→⇒) A, A → B, A → (B→ C) ⇒ C (⇒ →) A → B, A → (B→ C) ⇒ A → C (⇒ →) A → ( B → C) ⇒ (A → B) → (A → C) (⇒ →)

⇒ (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))

Si las reglas operatorias determinan el uso de las conectivas lógicas en el contexto de los

secuentes, las reglas estructurales caracterizan la deducción lógica en el cálculo de

secuentes y son independientes de las conectivas lógicas contenidas en las partes de un

secuente. A continuación presentamos una lista de las reglas estructurales:

Reglas estructurales para el cálculo de secuencias clásico LK de GentenAtenuación

Γ ⇒ Ω _ A, Γ ⇒ Ω

(A ⇒)

_ Γ ⇒ Ω _ Γ ⇒ Ω, A

(⇒A)Contracción

A, A, Γ ⇒ Ω A, Γ ⇒ Ω

(C ⇒)

Γ ⇒ Ω , A, A Γ ⇒

(⇒C)Permutación

Γ , A, B, F ⇒ Ω Γ, B, A, F ⇒ Ω

(P ⇒)

Γ ⇒ F, A, B, Ω Γ ⇒ F, B, A, Ω

(⇒ P)Eliminación o

Corte Γ ⇒ F, A A, Ω ⇒ ψ Γ, Ω ⇒ F, ψ

Como mencionamos arriba, las reglas estructurales del cálculo de secuentes hacen

explícitas varias instrucciones que están implícitas en el cálculo de deducción natural. Por

ejemplo, la atenuación introduce una suposición extra en el antecedente y, por lo tanto, se

corresponde con la descarga vacua de la deducción natural. La contracción elimina

repeticiones, reemplazando la descarga múltiple de la deducción natural. El uso del corte en

el cálculo de secuentes se corresponde con la instrucción de sustitución del cálculo de

deducción naturtal. El corte expresa en el cálculo de secuentes aquellas instancias de las

reglas de eliminación en las que la premisa mayor es derivada, es decir, no es una

suposición. Permite realizar con mayor facilidad la traducción del cálculo de deducción

natural al cálculo de secuentes. El corte a veces es explicado a través de la práctica familiar

en matemáticas de dividir las demostraciones en lemas, como explica Negri (2003).

Una forma de ver cómo las reglas operatorias de Gentzen caracterizan la relación de

deducción del cálculo de secuentes es comparar las reglas estructurales con las reglas

planteadas por Alfred Tarski como caracterización de la noción de consecuencia abstracta.

Varios textos presentan esta relación, por ejemplo Palau (2002, pag. 43 – 71).

Como hemos mencionado, el cálculo de secuentes para la lógica clásica acepta múltiples

consecuentes en los secuentes. También dijimos que en esta consideración, un secuente

Γ ⇒ Δ intuitivamente expresa que la conjunción de fórmulas Γ implica la disyunción de las

fórmulas en ∆. Este cálculo, que acepta múltiples consecuentes, se explica como la

representación natural de la división en casos que frecuentemente encontramos en las

demostraciones matemáticas: el antecedente Γ da las suposicines abiertas y el consecuente

∆ da los casos abiertos (Negri, 2003, pag. 13). Desde este punto de vista, las reglas lógicas

cambian y combinan suposiciones abiertas y casos abiertos. Por ejemplo, la regla /\⇒

reemplaza las suposiciones abiertas A, B por la suposición abierta A /\ B; la regla ⇒\/

cambia los casos abiertos A,B en el caso abierto A \/ B. Teniendo sólo un caso, tenemos

automáticamente una conclusión a partir de suposiciones abiertas. El caso donde no se tiene

alguna fórmula en el consecuente, como Γ⇒, se corresponde con el caso de la deducción

vacía, es decir, la imposibilidad.

Al aceptar múltiples consecuentes en los secuentes, es posible derivar el principio de

tercero excluido:

A ⇒A, Γ⇒ A, ¬ A⇒ A \/ ¬ A

Con esto, estamos demostrando en el cálculo de secuentes un principio no aceptado en la

lógica intuicionista. Para obtener el cálculo de secuentes para la lógica inticionista habrá

que aplicar alguna restricción en las reglas lógicas.

El cálculo de secuentes intuicionista

Refiriéndonos exclusivamente al cálculo de secuentes de Gentzen, las derivaciones en un

sistemaintuicionista tendrían una restricción que lo distingue del cálculo de secuentes para

la lógica clásica: en el consecuente de cada secuente no puede figurar más de una fórmula.

Así que la regla estructural de atenuación no podrá aplicarse en un consecuente que tenga

una fórmula y, por esto, no hay reglas de contracción ni de permutación para el

consecuente.

Reglas estructurales para el cálculo de secuencias intuicionista LJ de GentenAtenuación

Γ ⇒ A ⇒ A

(A ⇒)

Γ ⇒ Γ ⇒ A

(⇒A)Contracción

A, A, Γ ⇒ B A, Γ ⇒ B

(C ⇒)

No hay

Permutación Γ , A, B ⇒ C

A, Γ ⇒ C(C ⇒)

No hay

Eliminación o Corte Γ ⇒ A A, Ω ⇒ C

Γ, Ω ⇒ C

Reglas operatorias para el cálculo de secuencias intuicionista SJ de GentenConectiva En el antecedente En el consecuente

\/ A, Γ ⇒ C

A \/ B, Γ ⇒ C(⇒ \/)

B, Γ ⇒ C A \/ B, Γ ⇒ C

(⇒ \/)

Γ ⇒ Ω , A Γ ⇒ B Γ ⇒ A \/ B

(\/ ⇒)/\

A, Γ ⇒ C B, Ω C A /\ B, Γ, Ω ⇒ C

(/\ ⇒)

Γ ⇒ A Γ ⇒ A /\ B

(⇒/\)

Γ ⇒ B Γ ⇒ A /\ B

(⇒/\)→

Γ ⇒ A B, Ω ⇒ C A → B, Γ, Ω ⇒ C

(→ ⇒)

A, Γ ⇒ B Γ ⇒ A → B

(⇒ →)¬

Γ ⇒ A ¬A, Γ ⇒

(¬ ⇒)

A, Γ Γ ⇒ ¬A

(⇒ ¬

Las restricciones impuestas a las reglas estructurales del cálculo intuicionista de secuencias

muestran que la base inferencial, caracterizada por las reglas estructurales, de la lógica

intuicionista es distinta de la base inferencial de la lógica clásica, lo que significa que la

relación de deducción de la lógica clásica es distinta a la de la lógica intuicionista. En Palau

(2000) encontramos un análisis detallado de esta diferencia basado en la comparación de la

noción de deducción del cálculo de secuentes de Gentzen con la caracterización de la

noción de consecuencia abstracta de Tarski. El análisis demuestra que la relación de

deducción en la lógica intuicionista se ve debilitada por las restricciones impuestas a dos de

sus propiedades: la atenuación y el corte. El análisis también demuestra que la relación de

deducción de la lógica intuicionista es estructural o lógica, ya que comparte propiedades de

la consecuencia abstracta expuesta por Tarski, lo cual significaría que la lógica intuicionista

es también una especificación de la lógica abstracta de Tarski. Así que por más débil que

resulte su relación de deducción, la lógica intuicionista proposicional es una lógica

deductiva. Estos resultados coinciden con los de Gödel (1933) de acuerdo a los cuales

Normalización

Mencionamos arriba que Gentzen introdujo las ideas seminales de lo que hoy se conoce

como demostración analítica, es decir, demostraciones en forma normal. En general,

podríamos definir forma normal como una organización de los componentes de un objeto

formal, sea una fórmula o una demostración, que satisface ciertas propiedades sintácticas

que facilitan la comprobación de propiedades sobre el sistema u optimiza la realización de

demostraciones en él. De hecho, en un sistema con demostraciones analíticas las

demostraciones se adaptan mejor a la automatización porque en las conclusiones aparecen

todas las fórmulas usadas en la deducción, lo que reduce el espacio de búsqueda.

Un procedimiento que nos permite transformar un objeto de un sistema formal, sea una

fórmula o una demostración, en su correspondiente forma normal se denomina

normalización. Evidentemente, no se puede hablar de normalización en un sistema en

donde ninguno de sus objetos puedan ser llevados a una forma normal. Así que antes de

hablar de normalización hay que demostrar que en el sistema, para alguna clase de sus

objetos, siempre es posible encontrar objetos equivalentes que están en forma normal.

La prueba de la existencia en los sistemas lógicos de demostraciones en forma normal tiene

la peculiaridad de servir para demostrar la consistencia de tales sistemas, pues constituyen

una demostración indirecta de esta propiedad. Por ejemplo, en la lógica proposicional,

llevar un enunciado a una forma normal disyuntiva permite comprobar si dicho enunciado

es una contradicción, como demuestran Hilbert y Ackermann (1938)5.

Junto a la especificación de una forma normal para alguna clase de objetos de un cálculo

hay que ofrecer un procedimiento para llevar tales objetos a su correspondiente forma

normal. Así es hecho también por Hilbert (1938) cuando proponen un procedimiento para

llevar una expresión U a una forma normal conjuntiva equivalente y a su forma normal

disyuntiva equivalente.

A un enunciado que afirme la existencia de una forma normal para alguna clase de objetos

5 En lógica proposicional clásica, una expresión está en forma normal disyuntiva cuando sólo contiene las conectivas \/, /\ y ¬, y en él ningún signo de negación afecta o domina a (está antes de) ninguna fórmula con \/ y ¬, ni ningún signo /\ afecta a ninguna fórmula con signo \/. Una forma normal disyuntiva está formada por una disyunción C1 \/ ... \/ Cn (incluyendo el caso n = 1), donde cada miembro Ci consiste en una conjunción de variables proposicionales negadas y no negadas. Si un enunciado en forma normal disyuntiva tuviera una contradicción, entonces todos los miembros de la disyunción, las conjunciones elementales, tendrían una variable que se presenta tanto negada como no negada.

de un sistema lo llamaremos teorema de la forma normal. Como hemos dicho, la definición

o especificación de una forma normal en ciertos cálculos ha sido usada para determinar la

consistencia de un sistema. Tal ha sido el caso que hemos expuesto para el cálculo de

proposiciones: a partir de la forma normal disyuntiva puede advertirse si una expresión es

una contradicción. Kleene (1974) observa que también puede usarse un teorema de forma

normal para demostrar consistencia en el cálculo de predicados, si vemos este cálculo como

una extensión del cálculo proposicional a través de la inclusión de nuevos operadores

lógicos llamados cuantificadores. En esta propuesta de demostración de la consistencia del

cálculo de predicados, podemos entender por procedimiento directo de demostración lo que

aquí hemos llamado demostración en forma normal y decir que podemos demostrar la

consistencia de la lógica de primer orden si podemos demostrar que en ella es posible

reducir cualquiera de sus demostraciones a una equivalente en forma normal, es decir, a una

demostración a través de un procedimiento directo. Si podemos demostrar que toda

derivación indirecta de teoremas puede hacerse de forma directa, habremos demostrado un

metateorema de forma normal para el sistema respectivo. Tal metateorema plantearía

entonces que si una fórmula es demostrable, entonces es demostrable en un determinado

proceso directo (Kleene, 1974, pag. 395).

Un teorema de este tipo fue obtenido por Gentzen (1934) su Hauptsatz, que en español

significa proposición principal, y que no es sino el teorema de la forma normal para los

sistemas de lógica de primer orden basados en el cálculo de secuentes. Precisamente, para

ilustrar la utilidad de su Hauptsatz, Gentzen (1936 y 1938) estableció demostraciones de

consistencia para la aritmética tales como previamente obtenidas por Ackermann (1924 –

1925), von Neumann (1927) y Herbrand (1930).

En general, para demostrar la consistencia de un sistema S usando teoremas de la forma

normal puede seguirse el siguiente procedimiento: se indica cierto número de

procedimientos de transformación que permitan hacer corresponder a una derivación

cualquiera en S otra derivación cuyas proposiciones tengan un carácter más simple, es

decir, que tengan una forma normal. Toda transformación realizada de esa manera se

denomina etapa de normalización. Si es posible transformar una derivación dada en un

número finito de etapas de normalización en una derivación cuya última proposición sea

una proposición que satisfaga cierta propiedad, se dice que esta derivación es normalizable.

Decimos también que la derivación obtenida está normalizada. La serie de etapas recorridas

se denomina normalización. Si se puede demostrar que toda derivación en S es

normalizable, se demuestra su consistencia como un corolario del teorema de

normalización.

La idea general aquí es especificar una propiedad P para los objetos de un sistema S. Como

plantea Kleene (1974, pag. 127), decimos que S es consistente respecto a P si sólo podemos

construir correctamente en S los objetos que tienen la propiedad P. Si determinamos que la

propiedad P consiste en que las demostraciones de un sistema S son reducibles a

demostraciones equivalentes en forma normal, el sistema S será consistente respecto a la

respectiva noción de forma normal si sólo son válidas las demostraciones que pueden ser

reducidas a su equivalente forma normal.

Gentzen prueba la consistencia de sus sistemas lógicos usando un método indirecto

análogo: prueba primero el llamado teorema fundamental o Hauptsatz para el cálculo de

secuentes intuicionista LJ y el clásico LK y luego obtiene el teorema de la consistencia para

estos sistemas como un corolario del Hauptsatz. El Hauptsatz plantea que cualquier

deducción que se realice en el cálculo de secuentes puede hacerse sin aplicar la regla del

corte. Decimos que una demostración donde no se aplica la regla del corte tiene una forma

normal. El Hauptsatz es, pues, un teorema de la forma normal.

Todas las demostraciones hechas en un cálculo de secuentes que tienen forma normal

cumplen la propiedad de la subfórmula, según el cual cada fórmula que ocurre en la

demostración de Γ Δ es una subfórmula de Γ o una subfórmula de una fórmula en Δ. La

demostración el Hauptsatz supone la demostración de la propiedad de la subfórmula,

formulada en Selding (1998b) de la siguiente manera:

Toda fórmula que ocurre en una deducción normal, es decir, que no contiene

aplicaciones de la regla del corte, es una subfórmula de la conclusión o una de las

suposiciones descargadas.

La regla de corte puede ser vista intuitivamente como una expresión de la idea de que, en el

proceso de deducción, se puede establecer algún teorema o lema A como un paso

intermedio y luego, por el uso de A, podemos establecer la conclusión final B:

Γ ⇒ A Δ , A ⇒ B Γ, Δ ⇒ B

La regla del corte es la única donde aparecen fórmulas en las premisas que no aparecen en

el secuente final: como puede observarse en este esquema, la fórmula A, llamada fórmula

del corte o simplemente corte, no aparece en la conclusión, aunque sí aparece en las dos

premisas. Por esto, las demostraciones donde se aplica la regla del corte no satisfacen la

propiedad de la subfórmula.

Un cálculo de secuentes que no incluye la regla del corte y que es equivalente a un cálculo

de secuentes con la regla del corte, es un sistema analítico, es decir, un sistema donde todas

las demostraciones están en forma normal. Los sistemas analíticos tiene la propiedad de

permitir encontrar demostraciones con facilidad, si tales demostraciones existen. Tal es el

caso de un cálculo de secuentes sin cortes, pues en él podemos reconstruir la demostración

haciendo en sentido ascendente (del secuente más abajo a los secuentes en el tope) el árbol

que representa la derivación. El espacio de búsqueda a cada paso está limitado siempre a

subfórmulas que ocurren en el estadio presente. El proceso de búsqueda no puede continuar

indefinidamente, porque el número de fórmulas disponibles es finito y eventualmente se

repetirán secuentes ya considerados.

Gentzen demostró que toda derivación del cálculo de secuentes que incluya la aplicación de

la regla de corte puede ser reducida a una deducción en la cual no se use esta regla. Por

ejemplo, en la siguiente demostración se emplea la regla del corte para demostrar la

fórmula A /\ B ⇒ A \/ C:

(Ax.) (Ax.) A ⇒ A (/\ L) A ⇒ A (\/ R) A /\ B ⇒ A A ⇒ A \/ C Corte A /\ B ⇒ A \/ C

Esta demostración de A /\ B ⇒ A \/ C puede realizarse también en el mismo sistema del

cálculo de secuentes sin usar la regla del corte, existiendo dos posibilidades dependiendo de

cómo sea eliminada la regla del corte:

(Ax.) (Ax.) A ⇒ A (\/ R) A ⇒ A (/\ L) A ⇒ A \/ C (/\ L) o A /\ B ⇒ A (\/ R)A /\ B ⇒ A \/ C A /\ B ⇒ A \/ C

Ahora bien si la regla del corte, que ha demostrado ser una regla derivada y admisible, si

dificulta las deducciones en el cálculo de secuentes ¿por qué es incluida en el conjunto de

reglas estructurales? Como explica Feferman (1997, pag. 10) lo que justifica la existencia

de la regla del corte es que las demostraciones libres de cortes son más complejas que las

que usan cortes porque son más largas. Es decir, la regla del corte, como muchas otras

reglas derivadas, facilita la realización de demostraciones, especialmente la de la

equivalencia entre los cálculos de deducción natural y los cálculos de secuentes.

La demostración del Hauptsatz nos da un procedimiento para construir demostraciones en

forma normal en el cálculo de secuentes para la lógica de predicados de primer orden, es

decir, nos da un procedimiento de normalización para las demostraciones en el cálculo de

secuentes. Además de la propia demostración de Gentzen, podemos encontrar otras en

Kleene (1974, pags. 395 – 416), Omondi (1993) , Smullyan (1995) y Sorensen(1998).

Ahora bien, dado que los cálculos de secuentes son equivalentes a sus respectivos cálculos

de deducción natural, cabe preguntarse si no habría también una forma normal para las

deducciones en estos cálculos de deducción natural y, en consecuencia, un procedimiento

de normalización para tales demostraciones. Prawitz (1965)6 mostró que las derivaciones de

teoremas en el cálculo natural para la lógica de predicados de primer orden podían ser

normalizadas, es decir, reducidas a una forma normal. 6 Natural Deduction: A proof theoretical studie.

En el cálculo de deducción natural, una deducción en forma normal es una demostración

que no tiene desvíos, es decir, una demostración directa, donde la premisa mayor de una

regla de eliminación es la conclusión de una regla de introducción. Usemos las variables

con la forma Di como el nombre una deducción. Entonces la deducción (*) a continuación

es una deducción con desvío:

(*) [A]D1

B (→ I) D 2_ A → B A (→ E) B D3

Como puede observarse, en la rama izquierda de nuestro árbol de derivación (*), de la

suposición A hemos obtenido la fórmula requerida B a través de la deducción D1, por lo

tanto podemos deducir la proposición A → B aplicando la regla (→ I). En la rama de la

derecha, obtenemos la expresión A a partir de la deducción D2. Tenemos ahora la

posibilidad de usar la proposición A → B como premisa mayor, que es la premisa que

contiene la conectiva que va a ser eliminada, y la proposición A como premisa menor de

una regla (→ E) y obtener como conclusión en nuestro árbol de deducción la proposición

B. Encontramos aquí un desvío pues empleamos una regla de eliminación, (→ E), que tiene

como premisa mayor una fórmula que hemos obtenido por la aplicación directa de la regla

de introducción correspondiente, (→ I).

Prawitz (1965) demostró que cualquier deducción realizada en el cálculo natural puede ser

llevada a cabo sin desvíos, es decir, cualquier deducción puede ser transformada en una

deducción en forma normal. Propuso además procedimientos para hacer esto, es decir,

especificó procedimientos de normalización para el cálculo de deducción natural. Por

ejemplo, la derivación (*) puede hacerse de la siguiente manera:

D2

[A]D1

BD3

En esta derivación, introducimos la suposición A en una deducción D2, de lo cual

deducimos B, pues de la suposición A, puedo obtener B a través de la deducción D1. Hemos

hecho un reemplazo de una forma de derivación con desviós a otra equivalente que no tiene

desvíos. A esta operación de reemplazo la llamamos paso de reducción. Hay que observar

que el número de apariciones de D2 necesarias en la versión reducida es el mismo número

de apariciones de la suposición descargada en la inferencia indicada por → I en la primera

deducción. La fórmula A → B de la primera deducción, que es la introducida por la

aplicación de una regla de introducción, se llama fórmula del corte o simplemente corte del

paso de reducción.

Una reducción es una secuencia, posiblemente vacía, de pasos de reducciones. Veamos un

ejemplo de reducción de una deducción. Consideremos la siguiente deducción:

2 1 [A → (A → A)] [A] (→ E) 1 A → A [A] (→ E) 3 A (→ I , 1) [A] (→ I, v) A → A (→ I, 2) [A → A] (→ I, 3) A → (A → A) → (A → A) A → (A → A) (→ E) A → A

Apliquemos un paso de reducción para eliminar el corte A → (A → A) → (A → A):

1 [A] (→ I, v)

(A → A) (→ I, 1) 2 A → (A → A) [A] (→E) 2 A → A [A] (→ E) A (→ I -2) A → A

Ahora volvamos a plicar un nuevo paso de reducción para eliminar A → (A → A)

1 [A] (→ I, v) 1 [A → A] [A] (→ E) A (→ I,1) A → A

Un último paso de reducción elimina el corte A → A:

[A] (→ I, v) A → A

que no es más que la aplicación de la intrucción implícita según la cual la misma fórmula

puede actuar como suposición y conclusión en una derivación inmediata.

Tal posibilidad de demostraciones sin desvíos se basa en el hecho de que una regla de

eliminación no agrega más información que la introducida por una regla de introducción. El

propio Gentzen (1934, pag. 189) había dicho:

Die Einführungen stellen sozusagen die ‘Definitionen, der betreffenden Zeichen dar,

und die Beseitigugen sind letzten Endes nur Konsequenzen hiervon, was sich etwa

so ausdrücken lässt: Bei der Beseitigung eines Zeichens darf die betreffende

Formel, un deren äusserstes Zeichen es sich handelt, nur “als das benutzt werden,

was sie auf Grund der Einfürung dieses Zeichens bedeutet,,.

[En alguna manera, las introducciones representan las 'definiciones' de los símbolos

involucrados y las eliminaciones no son más, en el análisis final, que las

consecuencias de estas definiciones. Este hecho puede ser expresado como sigue: al

eliminar un símbolo, lo hacemos ‘sólo en el sentido permitido por la introducción

del símbolo’].

Inmediatamente, Gentzen intentó clarificar este pasaje a través de un ejemplo.

Refiriéndonos al condicional, tenemos que la regla de introducción del implicador puede

ser interpretada como lo explica Troelstra (1996, pags. 11 – 12):

si tengo un método D para obtener una conclusión B a partir de una suposición A, he

establecido A → B, donde A ya no es una suposición.

La eliminación del condicional puede ser interpretada como:

si tenemos la fórmula A → B, esto significa que tengo un método D para obtener B

a partir de A; tenemos un argumento para A; por lo tanto B.

Esta última regla obtiene su validez del hecho de que la regla de introducción del

condicional dice que un condicional está dado por “un método D para obtener una

conclusión B a partir de una suposición A”. Sin esta especificación, la regla de eliminación

del condicional ya no sería válida.

Prawitz (1965) profundizó en este hecho y postuló el principio de inversión, según el cual,

en el cálculo de deducción natural las reglas de eliminación pueden obtenerse a partir de

reglas de introducción, con las cuales están en correspondencia. En palabras de Sara Negri

(2003, pag. 4):

La conclusión de una regla de eliminación R con premisa mayor A * B ya está

contenida en las suposiciones usadas para derivar A * B a partir de las reglas de

introducción de la conectiva * junto a las premisas menores de la regla.

Aquí el símbolo ‘*’ representa cualquiera de las conectivas del sistema. Tenemos entonces

que las reglas de eliminación son inversas a las correspondientes reglas de introducción en

tanto que nada se gana si una regla de introducción es seguida por una regla de eliminación,

pues una regla de eliminación no introduce más información que la que ha puesto en ella la

regla de introducción. Lo que hace un desvío es simplemente añadir redundancias que

incrementan inútilmente la complejidad de las deducciones.

Veámos qué ocurre ahora con un desvío que involucre la conjunción. Según la regla de

introducción del conjuntor, la proposición A /\ B tiene como fundamento directo la

derivación de A y la derivación de B:

D1 D2

: : A B /\ I A /\ B

Tenemos entonces dos deducciones con desvío sobre la conjunción:

D1 D2 D1 D2

: : : : A B /\ I A B /\ I A /\ B /\ E A /\ B /\ E A B

Las cuales pueden reducirse o contraerse respectivamente a:

D1 D2

: : A B

Por tanto, si la regla /\I es seguida por /\E, la derivación puede ser simplificada o reducida.

Veámos ahora el caso de la disyunción. Aquí también tenemos dos posibles deducciones

con desvío:

· A B · A B · · · · · · A · · B · · A \/ B C C ___ A \/ B C C ___ 696969à C C

las cuales pueden ser reducidas respectivamente a:

A B · · · · C C

Una deducción en el cálculo de deducción natural que no contiene desvíos se llama

deducción en forma normal: es una deducción en la que no puede efectuarse un paso de

reducción o que no puede ser ya reducida. Una deducción normal no tiene desvíos, es decir,

en ninguna sus rama encontramos una aplicación de una regla de eliminación cuya premisa

mayor (la que tiene la conectiva que va a ser eliminada) es la conclusión de la regla de

introducción de la respectiva conectiva.

Ahora bien, es notable que, en los desvíos, la premisa mayor de la regla de eliminación es

una fórmula crítica. Reducir una fórmula con desvío a una sin desvío requiere la supresión

de esta fórmula, que llamamos fórmula de corte o simplemente corte em el cálculo de

deducción natural. Deberíamos poder decir entonces que una deducción normal es una que

carece de cortes. Sin embargo, no siempre queremos eliminar los cortes. Consideremos la

deducción de (A → B) \/ (A → C), A B \/ C

:

3 1 4 2 [A → B] [A] (→ E) [A → C] [A] (→ E) B (\/ I) C (\/I) ↓ ↓ (Segmento 1) (Segmento 2)

↓ ↓ B \/ C (\/ I, 1) B \/ C (\/ I, 2)

(A → B) \/ (A → C) A → B \/ C A → B \/ C (\/ E, 3, 4) A → B \/ C A (→ E)

B \/ C

Aunque esta deducción no contiene fórmulas de corte, lo deseable sería reducirla:

1 2 [A → B] A (→ E) [A → C] A (→ E) B (\/I) C (\/ I)

(A → B) \/ (A → C) B \/ C B \/ C (\/ E, 1, 2) B \/ C

Para entender cómo llevar a cabo esta deducción, necesitamos la noción de segmento, que

tomamos de Seldin (1988b): una secuencia de fórmulas C1, …, Cn, donde todas las fórmulas

son las mismas y, para i = 1, …, n – 1, Ci es una premisa menor de una inferencia por (/\ E)

para la que Ci+1 es la conclusión. Un segmento es un segmento máximo si C1 es la

conclusión de una regla de introducción y Cn es la premisa mayor de una regla de

eliminación. De acuerdo a estas definiciones, una fórmula de corte es un segmento máximo

con un largo igual a 1.

En la primera deducción de la fórmula “(A → B) \/ (A → C), A B \/ C” hay dos

segmentos que tienen la fórmula “A → B \/ C”; en la segunda deducción también tenemos

dos segmentos, pero éstos contienen la fórmula “B \/ C”. Los segmentos de la primera

deducción son máximos porque sus primeras deducciones tienen conclusiones obtenidas a

partir de una regla de introducción y sus últimas fórmulas son premisas mayores de una

regla de eliminación.

Las reducciones que habíamos presentado antes de estas dos últimas se habian realizado

eliminando fórmulas de corte, que son segmentos máximos de largo igual a 1. Para reducir

segmentos de largo mayor a uno necesitamos otro procedimiento, una reducción que

reemplace por otra una parte de una deducción que tenga la siguiente forma:

1 2 [A] [B] D0 D1 D2

A \/ B C C (\/ E, 1, 2) C ( D 4) R E D4

donde R es una regla de eliminación con C como su premisa mayor y D4 como la(s)

deducción(es) de la(s) premisa(s) menor(es). Tal reducción convierte esta deducción en la

siguiente:

1 2

[A] [B] D1 D2

D0 C D 4 R C D 4 R A \/ B E E (\/ E – 1 – 2) E D4

A un paso de reducción tal, en el que se tratan segmentos máximos, Seldin (1988b, pag. 13)

lo llama paso de reducción \/E.

El teorema de normalización para el cálculo de deducción natural podría enunciarse según

Seldin (1998b) entonces de esta manera:

Toda deducción del cálculo de deducción natural puede ser reducida a una

deducción en forma normal, es decir, una deducción que no puede ser reducida

porque en ella no hay segmentos máximos, y tiene las msmas suposiciones

descargadas y la misma conclusión.

La demostración de este teorema nos da un procedimiento de normalización:

1. Se aplican pasos de reducción a los segmentos máximos de rango máximo y tamaño

mayor que uno que comience esos de máximo largo.

2. Cuando todos los segmentos máximos de rango máximo tengan un largo igual a

uno, estando ya convertidos en fórmulas de corte, se aplican los pasos de reducción

a las fórmulas de corte de rango máximo para el cual no hay fórmula de corte con

rango máximo por encima de él o encima de cualquier premisa menor para la

inferencia por la cual ellas son premisas mayores.

3. Cada paso de reducción va reduciendo la deducción hasta que eventualmente el

proceso debe terminar en una deducciónn normal con las mismas suposiciones

descargadas y la misma conclusión.

Como ya hemos mencionado, los teoremas de forma normal y de normalización permiten

demostrar la consistencia de los sistemas. El teorema de consistencia para el cálculo de

deducción natural es formulado por Seldin (1998b, pag. 15) de la siguiente manera:

No hay demostración (deducción sin suposiciones descargadas) cuya conclusión

sea una forma atómica.

La demostración de este teorema sería la siguiente:

Si hubiera una demostración tal, con una fórmula atómica como conclusión, habría

para ella una deducción que es normal. Para el caso del condicional, tendríamos que

la rama principal de una deducción normal que termina en una fórmula atómica no

puede tener ninguna inferencia por la aplicación de →I; pues estas inferencias

tendrían que ocurrir al final de la rama, y esto significaría que la última inferencia

de la deducción es por la aplicación de →I, lo que contradiciría la hipótesis de que

la conclusión es una forma atómica. Puesto que →I descargan suposiciones, la

fórmula en el tope del brazo principal no es descargado, contradiciendo la

suposición de que tal deducción es una demostración. Para el resto de los casos,

tendríamos la rama izquierda, que conduce a la premisa mayor de una regla de

introducción, termina en una fórmula atómica que consiste solamente en reglas de

eliminación y, aunque \/E puede descargar suposiciones, no se puede descargar

suposiciones sobre la premisa principal.

Como hemos mencionado, Dag Prawitz (1965) demostró el teorema de normalización para

el cálculo deducción natural para la lógica de predicados, presentando la noción de relación

de reducción entre derivaciones en la lógica de primer orden las cuales son generadas por

un conjunto de contracciones. Presentamos estas contracciones a continuación sin incluir

las correspondientes a las reglas que usan cuantificadores, que pertenecen a la lógica de

predicados:

Cálculo de deducción natural de GentzenContracción Fórmula no contraída Fórmula contraída

→ [A] ·

· · B · _ A → B A _ B

··A··B

/\ (a) · ·· ·A BA /\ B

A

··A

/\ (b) · ·· ·A BA /\ B

B

··B

\/ (a)

· A B · · · A · · A \/ B C C ___ C

··A·C

\/ (b)

· A B · · · A · · A \/ B C C ___ C

··B·C

\/E 1 2 [A] [B] D0 D1 D2

A \/ B C C (\/ E, 1, 2) C ( D 4)R E D4

1 2 [A] [B] D1 D2

D0 C D 4 R C D 4 R A \/ B E E (\/ E, 1, 2) E D4

En esta tabla se presenta la relación de contracción como una relación de equivalencia entre

las fórmulas en la segunda columna (fórmulas no contraidas) y las fórmulas de la tercera

columna (fórmulas contraidas). Hemos agregado la contracción \/E a la original de

Martin-Löf (1972), en la que ésta no aparece y que hemos tomado de Seldin (1988b).

El descubrimiento atribuido aquí a Prawitz (1965), y presentado aquí a través de los

trabajos de Seldin (1988b), Negri (2003), Stalmarck (1991), Smullyan (1995), Stewart

(1999) y Martin-Löf (1972), tiene diversas repercusiones. Por una parte nos plantea la

cuestión de la relación entre la normalización en el cálculo de la deducción natural y la

normalización en el cálculo de secuentes o, planteada de otra manera, la relación entre el

corte en el cálculo de secuentes y de los desvíos en el cálculo de deducción natural. Al

respecto vale la pena mencionar el artículo de Zucker (1974) que presenta precisamente un

estudio de la correspondencia entre la eliminación del corte y la normalización.

Zucker define por inducción una relación de correspondencia φ entre las derivaciones del

cálculo de secuentes intuicionista (LJ) y la del cálculo de deducción natural intuicionista

(NJ). La correspondencia φ es definida de tal manera que es obvio que si d es una

derivación en LJ del secuente Γ ⇒ C, entonces φ(d) es una derivación de C en NJ cuyas

suposiciones abiertas son los miembros de Γ. Al mismo tiempo, Cada derivación Π de C en

NJ a partir de fórmulas A1, …, An puede ser transformada en una derivación φ’(Π) en LJ

del secuente A1, …, An ⇒ C, siendo φ’ una relación de correspondencia definida por

inducción que permite transformar derivaciones en NJ a derivaciones en LJ. Por las

correspondencias φy φ’ se establece entonces la equivalencia entre NJ y LJ:

Una fórmula C es derivable en NJ a partir de las suposiciones A1, …, An si, y sólo

si, A1, …, An es derivable en LJ.

Por esta vía, Zucker demostró la existencia de una relación de correspondencia entre la

normalización en el cálculo de deducción natural y el cálculo de secuentes: si las reglas en

LJ son interpretadas como una definición inductiva de la derivabilidad en NJ, entonces las

reglas de un sistema LJ libre de corte pueden ser interpretadas como una definición de la

derivación normal en NJy viceversa.

Tenemos entonces que la demostración del teorema de forma normal para el cálculo de

deducción natural intuicionista de la lógica de predicados de primer orden establece que

toda derivación en este cálculo se puede reducir a una derivación en forma normal.

Veremos que la normalización en el fragmento condicional positivo cálculo de deducción

natural intuicionista de la lógica proposicional, que sólo incluye las reglas operatorias de

introducción y eliminación para el condicional, está en correspondencia con la

normalización en el cálculo lambda con tipos. Constataremos que esta correspondencia es

uno de los aspectos más esenciales y profundos la correspondencia entre demostraciones y

programas que existe entre el cálculo de deducción natural intuicionista y el cálculo lambda

con tipos.