DEDUCCION

NATURAL

(LGICA PROPOSICIONAL)

Pedro Peirano Palmieri

CONTENIDO Presentacin, 3 Captulo I: Deduccin Natural y Reglas de Inferencia, 5 - Reglas de inferencia bsicas, 11 Captulo II: Aplicacin de las Reglas de Inferencia Bsicas, 13 - Construccin de una Prueba Formal de Validez, 15 - Ejercicios explicados, 16 - Ejercicios, 19 - Soluciones a los ejercicios, 28 Captulo III: Falacias, 33 - Ejercicios, 39 - Soluciones a los ejercicios, 40 Capitulo IV: Otras Reglas de Inferencia, 43 A.- Uso de equivalencias en la deduccin, 43 - Ejercicios, 49 - Soluciones a los ejercicios, 49 B.- La Regla Condicional de Validez (RC), 52 - Aplicacin sucesiva de la RC, 57 - Ejercicios de aplicacin de la RC, 59 C.- Deduccn Indirecta, 60 - Ejercicios de Aplicacin de la RA, 63 D.- Otras Reglas de Inferencia, 66 - Ejercicios de Aplicacin, 68 Captulo V: Otros temas de deduccin, 70 A.- Algunas estrategias, 70 B.- Problemas de simplificacin (S), 73 C.- Premisas contradictorias, 81 D.- Demostracin de invalidez, 83 Apndice, 88 Ejercicios finales, 91 - Soluciones a los ejercicios finales, 99

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Bibliografa seleccionada para consulta de los estudiantes, 119 PRESENTACION

Las tcnicas lgicas para determinar la validez de los razonamientos que aparecen en el discurso, tales como el mtodo de las tablas de verdad; del anlisis dicotmico, o de la reduccin a esquemas normales, examinadas en la primera unidad de un curso introductorio de lgica, si bien permiten al estudiante familiarizarse con el vocabulario del lenguaje lgico y manejar conceptos fundamentales de la disciplina, estn lejos de corresponder a lo que la gente comn realiza cuando razona e intenta convencer a un interlocutor que la conclusin a la que ha llegado se apoya lgicamente en determinados datos o supuestos. As, es claro que nadie ha observado a un individuo comn en el Metro, por ejemplo mostrando el resultado o valor veritativo de una tabla de verdad para convencer a otro hombre comn de la validez de su punto de vista. Sin embargo, s podemos advertir que ese hombre comn estudiante, duea de casa, economista, etc. utiliza un modo de raciocinio que se acerca bastante a lo que el mtodo de la deduccin natural nos muestra. Este modo de raciocinio utiliza formas argumentales gracias a las cuales podemos transitar de un enunciado a otro hasta obtener un nuevo enunciado o conclusin, implcito en el o los primeros. El mtodo de la Deduccin Natural o Prueba Formal de Validez, que est basado en aquellas formas argumentales universales del buen raciocinio muchsimas de las cuales fueron identificadas ya en la poca aristotlica , nos permite comprender mejor el proceso de la deduccin; el concepto de validez y de consecuencia lgicas; la relacin de necesidad que se da entre premisas y conclusin, la relacin de implicacin entre unas y otra; el significado de expresiones tales como la conclusin se sigue de las premisas o se deriva o se extrae de las premisas. Todo esto tiene un enorme valor didctico, provocando en los estudiantes del rea humanstica, casi siempre alejados del

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pensamiento lgico-matemtico, un real inters y una visin ms apropiada de la naturaleza y objeto de la lgica. En este texto se desarrolla sistemticamente el mtodo aportado por Gentzen, en el nivel inicial de la lgica proposicional; se examinan las principales formas argumentales vlidas y su aplicacin en la demostracin de razonamientos extensos, destacndose entre ellas la Regla Condicional de Validez (RC) y la Demostracin Indirecta o Reduccin al Absurdo (RA); se acompaa una gran cantidad de ejercicios para apoyar la docencia realizada en aula. Finalmente, se agrega un apndice, que es un breve examen de la diferencia que existe entre un Sistema Axiomtico y un Sistema de Reglas de Inferencia. Santiago, octubre de 2007

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CAPITULO I

DEDUCCION NATURAL Y REGLAS DE INFERENCIA

En sus trabajos de 1934(1), Gentzen desarrolla su idea fundamental: construir un clculo que representara lo ms fielmente posible los pasos naturales seguidos por el pensamiento en la demostracin lgica. La idea, desde luego, tiene un alcance muy general, ya que la lgica deductiva se ocupa esencialmente de la forma de los razonamientos, es decir, de los vnculos demostrativos que aparecen en la deduccin, considerados independientemente del contenido particular de los enunciados o proposiciones que intervienen en las demostraciones. Este punto de vista formal significa que la lgica no se interesa por las inferencias concretas sino por las situaciones razonadas en general. La lgica de la deduccin natural propuesta por Gentzen constituye una verdadera teora formalizada de las conectivas lgicas (Lgica proposicional). Se sita a nivel ms elevado de formalizacin que desarrollos lgicos anteriores y mejor que aqullos logra aislar el punto de vista de la forma, propio de la lgica. Su aporte principal es la representacin de las operaciones de la lgica en los trminos de una teora pura de las inferencias. A modo de ilustracin de su tcnica, Gentzen consideraba cmo poder establecer como vlido el esquema: (P v QR)

(P v Q) (P v R).

___________________________________________________________ (1) Gentzen Gerhard, Untersuchungen ber das Logische Schliassen, Mathematische Zaitschrifit, XXXIX, 1934, pp. 176-210 y 405-431 (traduccin francesa de Roberto Fays y Jean Ladriere: Recherches surs la deduction logique, Paris, Presses Universitaires de France, 1955)

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Suponiendo que el antecedente es verdadero, la alternativa P es verdadera o QR es verdadera, o bien ambas alternativas lo son. Bajo este supuesto no puede darse el caso que ambas alternativas sean falsas. Si ocurre el primer caso ( P verdadera) podemos afirmar como verdadera la conjuncin (P v Q) (P v R) . Si ocurre el segundo caso ( QR verdadera), podemos inferir Q y de all P v Q y del mismo modo, podemos inferir R , y de all P v R . Tambin aqu la conjuncin es derivable. Dado que es derivable de cada miembro alternativo del supuesto originario (el antecedente), podemos estar seguros que existe implicacin y, por tanto, deduccin lgica. En esta sencilla forma argumental, la justificacin del esquema ha sido descompuesta en una serie de pasos simples, cada uno de los cuales implica la introduccin o la eliminacin de una conectiva lgica. Extrayendo las reglas que se aplicaron y complementndolas con reglas similares que regulan el uso de otras conectivas, llegaremos al sistema de deduccin natural . En general, en una deduccin natural , partimos de ciertos supuestos y deducimos de ellos consecuencias mediante reglas lgicas dadas, determinando de qu supuesto (S) depende cada consecuencia: PQS P QS Q QvR

1) 2) 3) 4) 5)

S1 S2 3S 4A

Supuesto Supuesto (Simplificacin) (Adicin) Consecuencia Consecuencia

1 - 2 MP (ModusPonens) Consecuencia

De los supuestos (1) y (2) hemos inferido, gracias a reglas de inferencia ya establecidas, la afirmacin del consecuente (3) (MP); y la afirmacin de una de

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las conjuntivas de dicho consecuente (4) (S) y, finalmente, la afirmacin de la alternacin (5) (A) Considerando que el razonamiento natural opera tomando como base reglas de inferencia, es factible lo propuesto por Gentzen, en cuanto que la lgica puede presentarse como un sistema de dichas reglas. Qu es una regla de inferencia? Para contestar esta pregunta nos remitiremos a lo estudiado en la primera parte de este curso (Lgica Proposicional) y haremos algunas distinciones sutiles: El esquema ((p

q) p)

q ser denominado forma proposicional

implicacional (FPI). Sabemos que es una implicacin por la aplicacin de cualquiera de los mtodos o tcnicas de decisin ya estudiadas: tablas de verdad, anlisis dicotmico, reduccin a esquemas normales, etc. As, aplicando tablas: p, q ((p q) p) V F V V V V F V F F F F

V V V V

q

________________________ VV VF FV FF V F V F

Resulta un condicional tautolgico, una implicacin. A esta forma proposicional implicacional, que puede considerarse una ley lgica, corresponde una regla, que podramos llamar regla del buen raciocinio y enunciar como sigue: Si consideramos un condicional como verdadero y tambin consideramos a su antecedente como verdadero, entonces podemos derivar con verdad el consecuente de ese condicional. La forma proposicional implicacional (ley) est expresada en un lenguaje simblico que es el lenguaje del clculo. La regla de inferencia correspondiente est expresada en un lenguaje fuera de ese lenguaje del clculo. La primera es

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un lenguaje, la segunda es un metalenguaje. Al observar la regla (metalenguaje) vemos que se dice que q es deducible de p expresiones implican a q . metalenguaje. Cada forma proposicional implicacional, obtenida mediante los mtodos indicados, da origen a una Regla de Inferencia de carcter metalingustico. A la regla de inferencia (RI) ya indicada se le denomina Modus Ponens: el modo que afirma (MP). Un conjunto amplio de reglas de inferencia constituye la base fundamental para la deduccin natural. Adems de originar una RI, la FPI da lugar a la construccin de una Forma Vlida de Razonamiento (FVR), cuya diferencia sutil con aqulla est en la manera de anotarla. Esta anotacin permite distinguir claramente el cuerpo de premisas de la conclusin:

q y p , que estas ltimas

La relacin de deducibilidad se da en el

FVR

1) 2)

p p

q

P P Premisas (Supuestos)

____________ q C Conclusin

Examinemos ahora la secuencia de niveles del lenguaje que se produce a partir de un razonamiento concreto que posee la estructura de un Modus Ponens: Nivel 0: Si hay tormenta, los pobres sufren. Hay tormenta. Luego, los pobres sufren. (Razonamiento expresado en lenguaje natural)

Nivel 1: ((p

q) (p))

q

(Forma Proposicional Implicacional, producto de la formalizacin del Nivel 0 y determinada como vlida)

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Nivel 2: Si un condicional es considerado como verdadero y, adems, su antecedente es considerado como verdadero, entonces, se sigue necesariamente la verdad de su consecuente (Regla de Inferencia (MP)) En el Nivel 1, tambin puede anotarse: 1) 2) p

q

P

p P ____________ q C

(Forma Vlida de Razonamiento: cualquier razonamiento que tenga esta estructura es vlido, independientemente de su contenido) Distincin entre Forma Vlida de Razonamiento y Razonamiento. Formalicemos los siguientes razonamientos y hagamos patente su forma: A) Si las apariencias engaan, la tierra es redonda. Las apariencias engaan. Luego, la tierra es redonda. ((p B)

q) (p))

q

Si Hume es escptico, desconfiar de sus convicciones filosficas.

Hume es escptico. Luego, desconfiar de sus convicciones filosficas. ((p

q) (p))

q

Observamos que su forma o estructura es la misma, existe Isomorfsmo. Sin embargo, su materia o contenido es diferente. Cmo podramos determinar a qu razonamiento concreto pertenece esta forma? Introduciendo constantes de enunciados, en oposicin a las variables de enunciado. Las constantes de enunciado servirn para referirse a contenidos concretos de un razonamiento determinado. Estas constantes se designan con las letras, A, B, C, etc., maysculas. Considerando lo anterior:

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Razonamiento A

1) 2)

A A B

BP P C

--------------

Razonamiento B

1)

C

D

P P C

2) C -------------D

Los contenidos de cada razonamiento particular han sido recogidos a travs de constantes de enunciados, las cuales han reemplazado variables de enunciado que figuran en la FVR. Ahora queda claro que estamos frente a dos razonamientos que tienen diferente contenido pero igual forma. Los dos son vlidos pues provienen de una nica FVR.

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REGLAS DE INFERENCIA BASICAS

Toda FPI da origen a un FVR y a una RI. Estableceremos a continuacin ocho FPI que originan RI bsicas: FPI FVR NOMBRE RI

_____________________________________________________

1) ((p

q) p)

q

p q p ------q

Modus Ponens (MP)

2) ((p

q) q)

p

p

q q -------p

Modus Tollens (MT)

3) ((p v q ) p)

q

pvq p ------q

Silogismo Disyuntivo(SD)

4) pq

p

pq ------p

Simplificacin (S)

5) p, q

pq

p q ------pq

Conjuncin ( C)

6) p

(p v q)

p ------pvq

Adicin (A)

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7) ((p

q) (q

r))

(p r)

p q q r ------pr pq r s p v r ------q v s

Silogsmo hipottico (SH)

8)((p q)(r s)(p v r)) ( q v s)

Dilema Constructivo (DC)

9)((p q)(r s) (q vs))(p vr) p q r s q v s -------p v r Comentario:

Dilema Destructivo(DD)

Cuando se introduce en la conclusin una conectiva que no aparece en las premisas, suele hablarse de Regla de Introduccin. Y si en la conclusin se elimina una conectiva que aparece en las premisas, se habla de Regla de Eliminacin. Como ejemplo de Regla de Introduccin obsrvense las Reglas Ns.5 y 6 (Conjuncin y Adicin, respectivamente). Como ejemplo de Regla de Eliminacin, obsrvense las reglas Ns. 1, 2, y 4 (Modus Ponens, Modus Tollens, Silogsmo Disyuntivo y Simplificacin, respectivamente). En el presente texto no se utilizar este vocabulario.

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CAPITULO II

APLICACIN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA BASICAS Las RI, por ser siempre vlidas, pueden ser aplicadas para demostrar las conclusiones de razonamientos ms extensos y complejos. Como se ha dicho, las reglas de inferencia son consideradas formas elementales de razonar. Ellas pueden aparecer como partes constituyentes de razonamientos extensos. Por ejemplo, la inferencia llamada Modus Ponens aparece como parte elemental del razonamiento complejo siguiente: Si el palo empieza a golpear al perro, entonces, el perro empieza a morder al cerdo. Si el perro empieza a morder al cerdo, entonces, el cerdo saltar sobre la reja. El palo empieza a golpear al perro. En consecuencia, el cerdo saltar sobre la reja. Se deduce la conclusin de las premisas? Para determinarlo debemos formalizar este razonamiento y decidir si corresponde a una implicacin. Pero ahora no utilizaremos una tabla de verdad u otro mtodo de los ya examinados, sino que separaremos claramente las premisas de la conclusin y trataremos de llegar a ella a travs de la aplicacin de reglas de inferencia. a) Formalizacin; ((p

q) (q

P P P

r) (p))

r

b) Ordenamiento y distincin de premisas: 1) 2) 3) p q p

q r

.. r

Se han establecido tres premisas, a cada una de las cuales se le identifica con la letra P a su derecha. La conclusin figura aparte, despus del signo .. , que

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se lee: luego; por lo tanto; entonces; en consecuencia, etc., Cada premisa es supuestamente verdadera y, como sabemos, se conecta con la siguiente premisa, a travs de una conjuncin. En la premisa N 1, p

q, se supone que el

condicional es verdadero. Esto significa que no puede darse el caso que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Exactamente igual ocurre en la premisa N 2. En la premisa N 3 se afirma que p es verdadero. Cmo obtener la conclusin de estas premisas supuestamente verdaderas? Utilizando las reglas de inferencia bsicas: 1) 2) 3) 4) 5) pq qr p q r P P P 13 24 MP MP .. r

La deduccin consiste fundamentalmente en relacionar premisas, datos, supuestos. As, hemos relacionado (1) con (3), obteniendo una nueva informacin: que q es una proposicin verdadera. Luego, hemos relacionado la nueva verdad obtenida (4) q con la (2) q Modus Ponens (MP). El cuerpo de premisas (1), (2), (3) implica la conclusin (5). La conclusin (5) se deriva o se sigue lgicamente del cuerpo de premisas (1), (2), (3); si el cuerpo de premisas es verdadero, entonces la conclusin lo es. No se afirma que las premisas sean verdaderas de hecho, sino que si lo son, entonces la conclusin lo es. Tampoco se afirma que la conclusin sea, de hecho, verdadera. Esta posibilidad de utilizar reglas de inferencia comprobadamente vlidas para obtener la conclusin de razonamiento en los que ellas aparecen implcitas, nos permite afirmar que estamos frente a un nuevo mtodo de decisin. Como ya

r, obteniendo necesariamente r (5). Estas

relaciones se establecen legtimamente si nos apoyamos en la regla de inferencia

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hemos dicho, este es la deduccin natural.

Tambin se le denomina Prueba

Formal de Validez, aludiendo al carcter formal de un proceso que parte de premisas y llega a una conclusin sin hacer referencia a la verdad emprica de unas u otra. Cmo se construye una prueba formal de validez (PFV)? En el ejemplo considerado hay una secuencia de lneas que indican las premisas originales del razonamiento, que resultan de la formalizacin de ste. Hay otras lneas que son el resultado de asumir las anteriores, que son el producto de la aplicacin de reglas de inferencias. Al lado derecho se especifica esta distincin: a las premisas originales se les asigna la letra P, a las proposiciones derivadas se las justifica anotando de qu lneas anteriores provienen y debido a qu regla ha sido deducida. Esta anotacin es fundamental, pues justifica lgicamente la derivacin o deduccin. Podemos decir, entonces, que una PFV para un argumento o razonamiento ser una secuencia de proposiciones, en la cual las premisas ocurren primero y la conclusin al ltimo. Cada proposicin de la secuencia es o una premisa original o una proposicin inferida gracias a las reglas de inferencia dadas. El mismo razonamiento, pero utilizando constante de enunciados y no variables, queda como sigue:

1) A Cuerpo de Premisas 2) B 3) A

B C

P P P

.. C

________________________________________ 4) B 5) C 13 MP 23 MP Proceso Deductivo

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EJERCICIOS EXPLICADOS. Determinar si la conclusin se deduce o deriva de las premisas: 1) 1) 2) 3) 4) (A B) C ABvD (A B) D P P 1S 2 3 SD .. D

Recordemos: la premisa (1) es un supuesto. Se supone que es verdadera. Bajo esa suposicin, la conjuncin es verdadera y verdadera cada una de sus clusulas : (A B) y C. Por aplicacin de la Simplificacin, puedo derivar (A B) como verdadera. Luego, siendo tambin (2) un supuesto y teniendo la nueva informacin, que nos asegura la verdad de (A B), nos permite decir que A B es falsa y que la verdad de (2) radica en D, a travs de un Silogismo Disyuntivo. AB D AB D

2)

1) 2) 3)

P P 12MP

.. D

Este caso, simplemente, corresponde a un MP entre (1) y (2) 3) 1) 2) 3) QRS S P P 12MT .: (QR)

(Q R)

En este caso, si se supone que (1) es verdadera y, adems se afirma que S es verdadera, entonces S ser falsa y falsa necesariamente tambin la clusula antecedente. Luego, ser verdadera la negacin de esa clusula. Esto corresponde a un Modus Tollens.

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4) 2) A

1) B

P .. C P

BP C

3) A

4) A

1 2 MT

5) C 3 4 MP Igual que en el caso anterior, el antecedente de (2) debe ser falso y su negacin, verdadera (MT), puesto que B es verdadera. 5) 2) B 1) A v C P P .. A

C

3) B P 4) C 2 3 MP

5) A 1 4 SD En este caso, (1) es verdadero, pero no sabemos el valor de cada alternativa. Sin embargo, gracias a (4), obtenida por MP, logramos determinar que A es verdadera (SD) 6) 2) B 1) A v C P P .. A v D

C

3) B P 4) C 5) 2 3 MP A 14 SD

6) A v D 5 A

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En este caso se aplican 3 reglas de inferencia. Adems del MP y el SD, se aplica Adicin. Si A ha sido derivada como verdadera, entonces podemos agregarle o sumarle o adicionarle cualquier otra premisa alternativamente. La alternacin as construida tambin ser verdadera, de acuerdo a la definicin de esta conectiva. 7) 1) 2) 3) QS T Q S T P P 12C Si QS y T son .. Q S T

Este caso es muy simple: slo aplicamos conjuncin. verdaderas, entonces lo es QS T . P Q R S PvR Q QvS S

8)

1) 2) 3) 4) 5) 6)

P P P P 1 2 3 DC 45 SD .. S

Ac relacionamos las premisas 1), 2) y 3) mediante la aplicacin de un Dilema Constructivo y luego relacionamos 4) y 5) a travs de un Silogismo Disyuntivo.

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EJERCICIOS A) En las siguientes pruebas formales, anote la justificacin lgica para cada paso que no sea una premisa original: (A B) (C D) A

1)

1) 2)

P

BP

2)

1) 2)

E F (E F) v (G N) (I J) (I J) I J K v (LUM) (K v (LUM)) v Z N ( O P)

3)

1) 2)

P

4)

1) 2)

P

5) 2) 3)

1)

P P

(O P) R NR (T X) ( S R)

6) 2) 3)

1) TX

P

S R (Y X) v (W v Z)

7) 2) 3)

1)

P P

(Y X) WZ

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8) 2) 3)

1)

(F G) ( I v H)

P P

F G I v H ((J K) L) (N M)

9) 2) 3)

1)

P P

(J K) v N L v M O P

10) 2) 3)

1)

P P

P Q (O P) (P Q) 1) 2) 3) A v B v (C D) (C D) AvB (Z X X) (H I Z) Z X v H I XvZ (A ( B v C)) ( DE F) (D E F) (A ( B v C)) (H ( F v D)) (AB C)

11)

P P

12)

1) 2) 3)

P P

13)

1) 2) 3)

P P

14) 2)

1)

P

(A B C)

20

15) 2) 3) 4)

1)

(A B) C

P P

.. D

ABvD (A B) D

16) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

1)

A B

P

.. S

R BP A P S RP B R S A B C P

17) 2) 3) 4)

1) A BC C

P

.. C

18) 2) 3) 4) 5)

1)

AB

P

.. C

B CP A B C QRS P P

19) 2) 3) 4)

1) S

P

.. (Q R) v T

(Q R) (Q R) v T

21

20) 2) 3)

1) S AB

(A B) S P

P

.. A B

21) 2) 3) 22) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 23) 2) 3)

1) Q P 1) AB S T A B 1) A AvH

P Q P

P

.. P

SvT

P P P

.. B

T v A

P

AC

P

.. A v H

24) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

1)

R S

P P .. Q

SPQ R TP T R S PQ Q P

22

25) 2) 3) 5)

1)

AvC

P P .. A v D

B C B 4) A 6) AvD G E P C

26) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

1)

P P .. B

E K G P K L L M MB E K L M B

P P P

B) Identifique las reglas de inferencia que estn implcitas en los siguientes argumentos: 1) 2) ateo. 3) 4) ojos ven. Si el interruptor se gira, la luz enciende. La luz no se enciende. En Si los ojos no ven, el corazn no siente. El corazn siente. Luego, los consecuencia, el interruptor no se gira. Si el corazn siente, los ojos ven. Pero, los ojos no ven. Luego, el Si Pedro es liberal, es ateo. Ocurre que Pedro es liberal. Por tanto, es corazn no siente.

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5) 6) 7) 8) 9)

Que Pedro investigue es una condicin suficiente para que Juan sea Si no ayuda a limpiar, no ayude a ensuciar. Ud. ayuda a ensuciar. En Que Margarita renuncie es condicin necesaria para que Mara presente Si la tierra no es plana, las apariencias engaan. Las apariencias no Una roca es verdosa o gnea. La roca no es verdosa. Luego, es gnea.

descalificado. Pedro investiga. Luego, Juan es descalificado. consecuencia, ayude a limpiar. una queja. Margarita no renuncia. Por tanto, Mara no presenta una queja. engaan. Por lo tanto, la tierra es plana. 10) Si la tierra no es plana, las apariencias engaan. La tierra no es plana. Luego, las apariencias engaan. 11) Se maquilla o no estar atractiva. Est ms atractiva. Por tanto, se maquilla. 12) El dique no resiste o el ro no desborda. El dique resiste. Luego, el ro no desborda. 13) Si no hay control de nacimientos, entonces la poblacin crece ilimitadamente. Si la poblacin crece ilimitadamente, aumentar el ndice de pobreza. En consecuencia, si no hay control de nacimientos, aumentar el ndice de pobreza. 14) Si se desarrolla una escasez de artculos de consumos hay alza da precios. Si hay alza de precios, aumentarn los controles fiscales. Si aumentan los controles fiscales, caer el gobierno. Luego, si se desarrolla una escasez de artculos de consumo, caer el gobierno. 15) Si el uso del cobre aumenta, el precio se eleva. Si aumenta la especulacin, aumenta la produccin. El uso del cobre aumenta o aumenta la especulacin. Luego, el precio se eleva o aumenta la produccin. 16) Un nmero entero es primo o es compuesto. Si un nmero es primo, es divisible. Si un nmero es compuesto, es divisible. Luego, un nmero entero es divisible o es divisible. 17) Si guisan para ti manjares, te devolvern el apetito. Si te devuelven el apetito, recuperars las fuerzas. Si recuperas las fuerzas, tendrs salud. Si tienes

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salud, recuperars la excelencia de tus ojos. Guisan para ti manjares. Luego, recuperars la excelencia de los ojos. 18) Si los animales que est al acecho durante la noche son siempre animales que gustan de contemplar la luna, los canguros no son aptos para una caricia. Si los canguros no son aptos para una caricia, los gatos no dejan de matar ratones. Si los gatos no dejan de matar ratones, son amantes de la carne. Pero, los gatos no son amantes de la carne. Luego, los animales que estn al acecho durante la noche no son siempre animales que gustan de contemplar la luna. 19) Si la ballena es un mamfero, toma oxgeno del aire. Si toma oxgeno del aire, no necesita branquias. La ballena es un mamfero. Por tanto, no necesita branquias. 20) Si la enmienda no fue aprobada, la constitucin queda como estaba. Si queda como estaba, no podemos aadir nuevos miembros al gabinete. Aadimos nuevos miembros al gabinete o el informe se retrasar un mes. El informe no se retrasar un mes. Luego, la enmienda fue aprobada.

C) Si es posible, obtenga una conclusin aplicando la RI: Silogismo Hipottico (SH) a las premisas siguientes: 1.- Si el agua se hiela, sus molculas forman cristales. Si las molculas forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen. 2.- Si los fotones expulsan electrones de tomos de gas, entonces la energa de luz se convierte en energa cintica de los electrones. Si un haz fino de protones penetra en un gas en una cmara de niebla, entonces los fotones expulsan electrones de tomos de gas. 3.- Si el senador demcrata es elegido presidente, entonces los Estados del Sur no se alegrarn. Los Estados del Sur no se alegran, entonces estallar nuevamente una guerra civil.

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D) Qu se puede concluir a partir de las siguientes premisas, utilizando Dilema Constructivo? 1.- Olavarra tiene la mayora o Zaartu la tiene. Si Olavarra tiene la mayora, entonces Zaartu ser tesorero. Olavarra ser el tesorero. 2.- Si es un nmero negativo, es menor que cero. Si es un nmero positivo, es mayor que cero. Este nmero es positivo o es negativo. 3.- Si es una planta verde, fabrica su propio alimento. La planta es verde o no es verde. Si la planta no es verde, depende para su alimentacin de otras plantas. Pero, si Zaartu tiene la mayora, entonces

E) Qu conclusin se puede deducir de las premisas siguientes utilizando el Silogismo Disyuntivo (SD)? 1.- Este hombre es un artista o un poltico. No es un artista. 2.- El Puerto de Valparaso est en el Pacfico o est en el Golfo de Mxico o en el Atlntico. No est en el Golfo de Mxico. Tampoco est en el Atlntico. 3.- Hace fro y llueve o el festival ser al aire libre. No ocurre que haga fro y llueva. 4.- Errzuriz ha terminado el libro o no lo ha devuelto a la biblioteca. Errzuriz no ha terminado el libro. F) Qu conclusin o conclusiones se pueden deducir de cada uno de los conjuntos de premisas siguientes, utilizando la Simplificacin (S)? 1.- Una sociedad es un conjunto de individuos que buscan una forma de vida y la cultura es el principal ingrediente de su forma de vida.

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2- El nmero atmico del hidrgeno es 1.El nmero atmico del Helio es 2. 3.- A Francisco le gusta el ftbol y el domingo prximo juega la seleccin chilena.

G) Qu conclusin se puede extraer de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, utilizando Modus Ponens (MP)? 1.- Si Ud. est en Santiago, entonces su reloj marca la misma hora que en Valparaso. Ud. est en Santiago. 2.- No nos despedimos ahora. cumplimos nuestro plan. 3.- Si esta planta no crece, necesita agua y abono. Esta planta no crece. Si no nos despedimos ahora, entonces no

H) Qu conclusin se puede derivar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas, utilizando el Modo Tollens (MT)? 1.- Si la luz , fuera nicamente un Movimiento Ondulatorio, entonces la luz ms brillante dara lugar a una emisin de electrones con mayor energa que la originada por luz tenue. La luz ms brillante no siempre emite electrones con mayor energa que los originados por luz ms tenue.

2.- Si el arriendo no se mantiene vigente, entonces el dueo es responsable de las reparaciones. El dueo no es responsable de las reparaciones. 3.- Si ayer llovi , el cielo se ha limpiado. El cielo no se ha limpiado.

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4.- Si los periodistas no pueden entrar, entonces los fotgrafos tampoco. fotgrafos pueden entrar. Soluciones a los ejercicios, letra A): 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 2S 2A 2S 2A 1 2 SH 1 2 MP 1 2 SD 1 2 MP 1 2 DC 12 C 1 2 SD 1 2 DC 1 2 MT 1S

Los

____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________

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____________________________ 15) 3) 4) 1S 2 3 SD

____________________________ 16) 5) 6) 7) 1 3 MP 2 5 MT 4 6 MT

_____________________________ 17) 3) 4) 1 2 MP 3S

______________________________ 18) 4) 5) 1 3 MP 2 4 MP

______________________________ 19) 3) 4) 1 2 MT 3A

______________________________ 20) 3) 1 2 MT

______________________________ 21) 3) 1 2 MT

______________________________ 22) 5) 6) 7) 1 4 SD 2 5 SD 3 6 MT

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_______________________________ 23) 2) 3) 1S 2A

_______________________________ 24) 5) 6) 7) 8) 25) 4) 5) 3 4 MT 1 5 MP 2 6 MP 7S 2 3 MP 1 4 SD

_______________________________

6) 5A ______________________________ 26) 7) 8) 9) 10) 11) 1 3 MP 2 7 MP 4 8 MP 5 9 MP 6 10 MP

Soluciones a ejercicios, letra B): 1) ModusTollens (MT) 2) Modus Ponens (MP) 3) ModusTollens (MT) 4) ModusTollens (MT) 5) Modus Ponens (MP) 6) ModusTollens (MT) 7) ModusTollens (MT) 8) ModusTollens (MT) 9) Silogismo Disyuntivo (SD) 10) Modus Ponens (MP)

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11) Silogismo Disyuntivo (SD) 12) Silogismo Disyuntivo (SD) 13) Silogismo Hipottico (SH) 14) Silogismo Hipottico (SH) 15) Dilema Constructivo (DC) 16) Dilema Constructivo (DC) 17) Silogismo Hipottico y Modus Ponens (SH y MP) 18) Silogismo Hipottico y Modus Tollens (ST y MP) 17) Silogismo Hipottico, Silogismo Disyuntivo y Modus Tollens (SH, SD y MT) Soluciones a los ejercicios, letra C) 1.- Si el agua se hiela, el agua aumenta de volumen. 2.- Si un haz fino de protones penetra en un gas en una cmara de niebla, la energa de su luz se convierte energa cintica de los electrones. 3.- Si el senador demcrata es elegido presidente, estallar nuevamente una guerra civil. Soluciones a los ejercicios, letra D) 1.- Zaartu ser tesorero u Olavarra ser el tesorero. 2.- Este nmero es menor que cero o mayor que cero. 3.- La planta fabrica su propio alimento o depende para su alimentacin de otras plantas. Soluciones a los ejercicios, letra E) 1.- Este hombre es un poltico.

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2.- El puerto de Valparaso est en el Pacfico. 3.- Este festival ser al aire libre. 4.- Errzuriz no lo ha devuelto a la biblioteca. Soluciones a los ejercicios, letra F) 1.- La cultura es el principal ingrediente de una forma de vida. 2- El nmero atmico del hidrgeno es 1. 3.- El domingo prximo juega la seleccin chilena. Soluciones a los ejercicios, letra G) 1.- Su reloj marca la misma hora que en Valparaso. 2.- No cumplimos nuestro plan. 3.- Esta planta necesita agua y abono. Soluciones a los ejercicios, letra H) 1.- La luz no es nicamente un movimiento ondulatorio. 2.- Si el arriendo no se mantiene vigente. 3.- Ayer no llovi. 4.- Los periodistas pueden entrar.

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CAPITULO III

FALACIAS

Importa en este punto de nuestro desarrollo que recordemos ciertas falacias formales que afectan a la estructura de los razonamientos cuando no se tiene presente el sentido correcto del condicional y de la alternacin. En general, las falacias o sofismas son razonamientos psicolgicamente persuasivos, pero lgicamente incorrectos. Su aparente y simulada evidencia lgica logra convencer a algunos incautos, pero no alcanza para concluir vlidamente. En el caso de la relacin condicional, las falacias surgen al no considerar la distincin entre condicin suficiente y condicin necesaria. Al respecto, los lgicos nos dicen que el antecedente de un condicional es una condicin suficiente con relacin al consecuente, y que el consecuente de un condicional es una condicin necesaria con relacin al antecedente. Examinemos el siguiente ejemplo: Si llueve, las calles se mojan. Formalizando: (p

q)

Llover es condicin suficiente para que las calles se mojen, pero no es una condicin necesaria, puesto que las calles pueden mojarse por diversas razones. Por otra parte, las calles se mojan es necesario desde que se ha producido el hecho llover, pero no es suficiente para afirmar que llueve. Segn lo anterior, si a la proposicin del ejemplo se agrega esta otra: no llueve, y se pretende por ello que las calles no se mojan, se cae en la falacia denominada falacia de la negacin del antecedente o falacia del antecedente

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Si llueve las calles se mojan No llueve Las calles no se mojan

p p

q

--------q

Por otra parte, si a la proposicin del ejemplo se agrega esta otra: las calles se mojan, y se pretende por ello concluir que llueve, se cae en la falacia denominada falacia de la afirmacin del consecuente o falacia del consecuente.

Si llueve, las calles se mojan Las calles se mojan Llueve

p

q q

---------p

Examinemos el problema desde el punto de vista de los valores asignados tanto al condicional, como al antecedente y consecuente. Supongamos un condicional verdadero: A) Siendo verdadero el condicional y, adems, el antecedente de este

condicional, el consecuente es necesariamente verdadero: V p V

q V

------- Basta, es suficiente la verdad del antecedente, para concluir la verdad del consecuente. Esto es correcto.

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Pero, supongamos ahora que nuestro condicional es verdadero y que, adems, el antecedente es falso: V p F

q ?

---------- Segn la hiptesis en cuanto a que el condicional es verdadero, nada podemos concluir necesariamente respecto del consecuente. Este puede ser verdadero o falso, segn la definicin del condicional. Pues bien, concluir que necesariamente el consecuente es falso en razn de la falsedad del antecedente, en una relacin condicional verdadera, es incurrir en la falacia del antecedente. B) Siendo verdadero el condicional y, adems, falso el consecuente de este adicional, el antecedente es necesariamente falso. V p F

q F