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LOGICA - FCE-UBA _______________________________________________________________________________

El sistema N de deducción natural

para la lógica de primer orden

Primera parte 1. Preliminares En lo que sigue, se presentará un sistema formal para la lógica de primer orden que recibirá el nombre de sistema N, construido sobre la base del lenguaje de primer orden (LPO). El sistema es del tipo llamado deducción natural, basado en los conceptos de deducción y de regla de inferencia. Este tipo de sistema, debido al matemático y lógico alemán Gerhard Gentzen, constituye un método formal de deducción para la lógica clásica de primer orden, es decir, sirve para demostrar la validez de todos los razonamientos y todas las leyes lógicas de la lógica clásica de primer orden. También sirve para demostrar la inconsistencia de conjuntos de enunciados del LPO. Sus reglas servirán para generar deducciones, que serán secuencias lineales de fórmulas del LPO, estructuradas de un modo determinado. Estas secuencias recibirán el nombre de derivaciones en N, y serán los elementos fundamentales del sistema: la determinación de la validez de un razonamiento, por ejemplo, dependerá de la existencia de una derivación de la conclusión del razonamiento a partir de sus premisas. Como se ha mencionado las derivaciones son secuencias lineales de fórmulas de LPO. Pero estas no es la única posibilidad. En la presentación original de Gentzen las derivaciones estaban constituidas por más de una secuencia de fórmulas (las cuales deben converger en la conclusión de la derivación, de modo que adoptan forma de árbol). La presentación lineal presenta ventajas expositivas y facilita la manipulación de las fórmulas. En el LPO se pueden representar razonamientos deductivos. Dado que el LPO es un lenguaje formal, con una gramática totalmente especificada, sobre él se pueden construir sistemas formales de deducción para determinar la validez de estos razonamientos. Estos sistemas constan de reglas cuyas aplicaciones efectúan transformaciones sintácticas en fórmulas de LPO, obteniéndose otras fórmulas nuevas (funcionan como “reglas de reescritura”). Sin embargo, estas reglas se interpretan, al mismo tiempo, como una versión formal de reglas de inferencia (esto es justamente lo que hace que el sistema sea llamado deductivo). Por lo tanto, la construcción de estos sistemas de deducción debe guiarse por una cierta idea preformal de cómo funcionan las reglas de inferencia en la determinación de la validez de razonamientos. Se acaba de presentar un conjunto de reglas de inferencia, que tienen dos características muy importantes: (i) se las adopta como válidas, pues capturan el significado de los símbolos lógicos respecto de deducciones; (ii) permiten generar deducciones que reflejan, en cierto sentido, el modo

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natural de razonar en contextos deductivos. Estas reglas dan lugar al método de deducción formal llamado deducción natural y presentadas como un sistema formal constituirán el sistema N. El sistema podrá aplicarse tanto a enunciados de LPO como a formas de enunciado. En este caso se demuestran formas de razonamiento y leyes lógicas propiamente dichas. El sistema deberá resolver dos problemas, estrechamente vinculados, que presentan algunas de las reglas de inferencia recién expuestas: (1) distinguir supuestos auxiliares de premisas y (2) caracterizar las deducciones auxiliares (dependientes de supuestos). Estos problemas se resolverán en N mediante la posibilidad de construir subderivaciones. Además, el sistema deberá distinguir, en términos puramente sintácticos, entre los términos cerrados que se refieren a individuos del dominio y aquellas constantes que se usan con una referencia indeterminada o arbitraria. Este último problema llevará a rotular algunas constantes como parámetros relativos a derivaciones, los cuales deben cumplir con ciertas condiciones. En resumen, la deducción natural es una metodología deductiva formal que se basa en el concepto de deducción. Se presenta como sistema de reglas formales, las que supuestamente se corresponden, de manera aproximada, con la forma en que intuitivamente los seres humanos realizan deducciones. Además, la deducción natural intenta formalizar estrategias deductivas como las mencionadas en términos de reglas de inferencia, es decir, es algo así como un modelo (en el cual se dejan de lado, sin duda, muchos aspectos de la capacidad humana de razonar) de cómo los seres humanos deducen, de cómo razonan en contextos deductivos. 2. Reglas de inferencia en N. Las reglas del sistema N son versiones formales de las reglas de inferencia dadas anteriormente para caracterizar los símbolos lógicos. Si una regla dice que a partir de las fórmulas cerradas A1, ..., An de LPO se infiere un enunciado C, entonces esto puede representarse gráficamente como

A1 : An

C

Los enunciados arriba de la línea se llaman premisas de la regla y A es la conclusión de la misma. Las reglas de N tienen sentido únicamente en el contexto de derivaciones en N. Por lo tanto, esta representación debe leerse como: “Si en una derivación aparecen las fórmulas A1, ..., An , entonces en una nueva línea de la derivación puede escribirse C”. Por ejemplo, “Si las fórmulas A y A → B aparecen en una derivación, entonces la fórmula B puede escribirse en una nueva línea de la derivación” . 3. Premisas, supuestos auxiliares y subderivaciones. Pero el esquema precedente no refleja la estructura de toda regla de inferencia en el sistema de deducción natural. Tal como se pudo advertir en algunas de las reglas que definían los símbolos lógicos, además de premisas, las derivaciones pueden contener supuestos auxiliares, a los cuales se asocian derivaciones auxiliares (o subderivaciones). De aquí, hay reglas que incluyen estos supuestos auxiliares que se emplean únicamente en el curso de una derivación y que deben por ello ser descargados o cancelados antes de obtenerse la conclusión. Así, algunas reglas tienen como premisas no sólo enunciados, sino también derivaciones. Esta es una propiedad prácticamente definitoria del método de la deducción natural, que lo distinguen de otros tipos de sistemas.

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Las deducciones auxiliares estarán indicadas por un recuadro o caja dentro de una deducción que contendrá enunciados en su interior y, en particular, el primer enunciado será un supuesto. Así, si A es un supuesto, esto se expresará como

A El supuesto inicia una deducción auxiliar o subderivación en N, que se cancela o cierra cuando se llega al enunciado deseado, lo que se expresa mediante una caja de la forma

A

: : C

Los puntos indican pasos intermedios y el enunciado C es la conclusión que cancela el supuesto y, por ello, cierra la deducción auxiliar o subderivación en N.

La introducción de un supuesto indica, entonces, el comienzo de una subderivación en N, de modo que todo enunciado que aparezca luego de la introducción del supuesto auxiliar y antes de que el supuesto se cancele, depende del supuesto auxiliar. De acuerdo con la noción de deducción, no puede ocurrir que la línea final de una deducción dependa de un supuesto. En otras palabras: en una deducción todos los supuestos deben estar cancelados. Gráficamente, esto quiere decir que toda caja de una deducción debe estar cerrada. Entonces se podrá hacer la distinción entre reglas propias y reglas impropias de inferencia. Las primeras no contienen supuestos auxiliares entre sus premisas, las segundas sí. Por lo tanto, las reglas impropias tienen derivaciones como premisas. 4. Reglas del sistema N A continuación se formula un sistema de reglas de deducción natural para la lógica clásica de primer orden (sin identidad), que constituye el sistema N. Su aplicación generará derivaciones en N, entendidas como secuencias de fórmulas del LPO. Por lo tanto, las reglas serán aplicadas en el contexto de derivaciones. Las derivaciones servirán para determinar la validez de razonamientos formulados en LPO y para demostrar leyes lógicas. Siguiendo la presentación de las reglas de inferencia hecha anteriormente, el sistema consta de dos tipos de reglas aplicables a enunciados del LPO, llamadas respectivamente de introducción y de eliminación de símbolos lógicos. Para cada símbolo lógico habrá dos reglas, una de introducción y otra de eliminación del símbolo. Se añadirán, además, dos reglas especiales (de modo de obtener un sistema adecuado para la llamada lógica clásica de primer orden). Las reglas se expresan en el LPO con el agregado de la constante de enunciado ┴ , y se aplican únicamente a fórmulas cerradas (es decir, a enunciados).

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(I∀) A[c] __________ ∀x A[x]

Restricción: c es una constante de individuo que no puede aparecer ni en una premisa de la derivación ni en un supuesto no cancelado ni en la conclusión de la regla (es un parámetro propio de la derivación)

(E∀) ∀x A[x] _____________ A[a]

a es una constante de individuo cualquiera (no hay restricciones).

(E∃)

∃x A[x]

A[c] : C

(I∃) A[a] _________ ∃x A[x]

a es una constante cualquiera de individuo (no hay restricciones).

_______ C

Restricción c es una constante de individuo que no puede aparecer en la premisa ∃x A[x] ni en otra premisa de la derivación, ni en C (es un parámetro propio de la derivación)

(I&) A B _________ A & B

(E&)

A & B __________ A

A & B __________ B

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(E ∨) A ∨ B

A : C

B

: C

(I ∨) A ___________ A ∨ B

B ___________ A ∨ B

_________ C

(I →) A

: B

_________ A → B

(E→) A → B A ______________ B

(I ¬) A

: ⊥

(E¬) A ¬ A ________

________ ¬ A

⊥

(⊥)

⊥ _______

C

Restricción: C es un enunciado atómico de LPO

(dn) ¬¬ A

________ A

4.1 Nota sobre las restricciones. Como se acaba de ver, en las reglas (I∀) y (E∃), la constante de individuo c es un parámetro, propio de la derivación. Los parámetros deben cumplir con las restricciones o condiciones indicadas. La restricción que aparece a la derecha de la regla (I∀)

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relativa al parámetro propio forma parte de la regla. Sin esa restricción la regla es inválida. Por ejemplo, sin la restricción, podría deducirse el enunciado∀x Px a partir de ∃x Px, lo que es obviamente inválido. En efecto, a partir de ∃x Px como premisa se debe hacer un supuesto existencial Pa (a es un parámetro que está en el supuesto), de donde, si no estuviera la restricción se podría obtener como paso siguiente ∀x Px. Nótese que la restricción exige que a no aparezca en un supuesto no cancelado, mientras que en este caso la constante a aparece en un supuesto que no ha sido cancelado todavía. La función de las restricciones se verá mejor en los ejemplos que se ofrecen más adelante. 4.2. Repetición de líneas. Una regla adicional que el sistema requiere y que no está ligada a ningún símbolo lógico en particular es la siguiente regla de repetición de líneas: (rep) Dentro de una derivación o subderivación puede repetirse una misma línea de manera ilimitada. Esta regla de repetición asegura que para todo enunciado de una derivación existe un número ilimitado de copias del enunciado. Bajo ciertas condiciones esto puede entenderse también como una “regla de identidad” que afirma “Todo enunciado se deduce de sí mismo”. 4.3. Observaciones 4.3.1. Debe quedar claro que el sistema está caracterizado de manera completa no sólo por el conjunto de reglas, sino también por las restricciones, pues de otro modo pueden obtenerse derivaciones inválidas, como se acaba de mostrar. 4.3.2. Las restricciones para (I∀) y (E∃) reflejan las condiciones particulares que deben cumplir los parámetros propios. A esta condiciones subyace la idea de que estos parámetros denotan arbitrariamente un individuo cualquiera del dominio, son, por así decirlo “cuasi-variables” o “pseudo-constantes”. Así, las fórmulas en las que aparecen parámetros no son auténticos enunciados (en un sentido semántico) sino más bien “pseudo-enunciados” y, por lo tanto, los parámetros nunca pueden aparecer en premisas o en la conclusión de una derivación. 4.3.3 En las aplicaciones de (I∃) e (I∀), las reglas de introducción de los cuantificadores, a una fórmula deben emplearse variables que no aparezcan antes en ella, de modo de evitar confusiones en el alcance de cada cuantificador. 4.3.4. Esta presentación del sistema de deducción natural sigue a la original que aparece en Gentzen 1934/1935, excepto por la estructura de las derivaciones, que son lineales en lugar de tener forma de árboles. En esto se adopta la presentación inaugurada en Fitch 1952. Las reglas (I→) y (E→) reciben los respectivos nombres de teorema de deducción y modus ponens. Las reglas (I∨) y (E∨) son llamadas adición y regla de casos respectivamente. La regla (I¬) expresa el principio de demostración indirecta (demostración por el absurdo) y la regla (┴) ha sido denominada a lo largo de la historia con su nombre latino ex contradictione sequitur quodlibet (de la contradicción se sigue cualquier cosa). 4.3.5. Las reglas de introducción pueden considerarse como definiciones de las constantes lógicas en el marco de una teoría formal, y las reglas de eliminación reflejan las consecuencias de aceptar tales definiciones. 4.3.6. Las reglas (┴) y (DN) son independientes del sistema de reglas de introducción y eliminación de símbolos lógicos. La función de la segunda regla es la de completar el sistema para

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reflejar adecuadamente la lógica clásica de primer orden. La primera regla expresa que de lo absurdo se sigue “cualquier cosa”, cualquier enunciado. En otras palabras, si se deduce un absurdo, entonces se deducen todos los enunciados del lenguaje. Esto es una forma de decir que la obtención de un absurdo hace trivial al sistema, porque, si a partir de enunciados aceptados como verdaderos se llega a algo patentemente falso, entonces esos enunciados tomados conjuntamente no son informativos, no proporcionan auténtica información, se vuelven inútiles. Por lo tanto, la idea es que el absurdo o la contradicción expresan ausencia de información (no existe “información contradictoria”). Al añadirse al sistema de reglas de introducción y eliminación visto, se obtiene la llamada lógica intuicionista. La segunda regla refleja el principio de doble negación y equivale al principio del tercero excluido A ∨ ¬A; otorga un carácter determinado a la negación: para todo enunciado vale que se afirma o él mismo o se afirma su negación. Con ella se obtiene la llamada lógica clásica, como se acaba de mencionar. 4.3.7. La regla (DN) junto con el sistema de reglas de introducción y eliminación para los símbolos lógicos vistas permite deducir la regla (┴) (la derivación se deja como ejercicio – indicación: supóngase la negación de la conclusión). 4.3.8. Debe recordarse que las reglas se aplican exclusivamente a fórmulas del LPO y nunca a subfórmulas. 5. El concepto de derivación en N. Como se ha mencionado, la aplicación de reglas da lugar a secuencias de fórmulas de LPO que son llamadas llamadas derivaciones. Estas son los elementos centrales del sistema y son versiones formales de las deducciones. A continuación se da una definición precisa de derivación. 5.1 Definición. Una derivación en N de una fórmula cerrada C de LPO a partir de premisas A1, ..., An , es una secuencia de fórmulas cerradas de LPO, tal que (i) cada línea de la serie es o bien una premisa o un supuesto auxiliar, o se obtiene de líneas anteriores por aplicación de las reglas del sistema N , (ii) todos los supuestos auxiliares están cancelados y (iii) tiene como ultima línea a la fórmula C. Se dice en ese caso que C es derivable en N a partir de A1, ..., An (en símbolos A1, ..., An ├ C ). 5.2. Ejemplos de derivaciones en N 5.2.1. Partiendo de las premisas ∀x (Px → Qx) y Pa se deriva Qa del modo siguiente: 1) ∀x (Px → Qx) pr 2) Pa pr / Qa 3) Pa → Qa (E∀) de 1). 4) Qa (E→) de 2) y 3). . 5.2.2. El enunciado ¬Qa resulta derivable a partir de Qa→ ¬∃ySay y Saa. La derivación en N es la siguiente:

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1) 2)

Qa→ ¬∃ySay Saa

pr pr / ¬Pd

3) 4) 5) 6)

Qa ¬∃ySay ∃ySay ⊥

/⊥ (E→) 1, 3 (I∃) 2 (E¬) 2, 4

7) ¬Pd (I¬) 3-6 Como se ve, aquí se parte de un supuesto de absurdo en 3), de modo que se inicia una subderivación y se llega a contradicción en 6). Los textos a la derecha de cada línea de una derivación no forman parte de ella, sino que aclaran la función de cada línea en la derivación. Cuando el enunciado de la línea es una premisa se indica con la abreviatura “pr”, y, en particular, cuando el enunciado de la línea se ha obtenido de otros, estos textos explican qué reglas se han aplicado y a partir de qué líneas se han aplicado. Estos textos reciben el nombre de justificación de la línea de derivación. Además, con la barra inclinada “/” se indica que lo que está a continuación es el enunciado al que se pretende llegar en la derivación o en la subderivación, es decir, su objetivo, cumpliendo una función meramente auxiliar. En otras palabras, el enunciado que aparece en la última línea de la derivación tienen que corresponder con el enunciado. 5.3. Derivaciones con formas de enunciado: Son admisibles derivaciones que consten exclusivamente de formas de enunciados de LPO. Están demuestran formas válidas de razonamiento (y, por lo tanto, reglas de inferencia) y leyes lógicas. 5.4. Definición inductiva de derivación. Dado que cada aplicación de una regla de inferencia da lugar a una nueva derivación a partir de una derivación ya construida, una regla de inferencia puede ser entendida como una cláusula en una definición inductiva de derivación. La cláusula base sería la trivial de una sola línea: “A es una derivación de A a partir de suponer A”. 5.5. Decidibilidad del concepto de derivación. De la definición recursiva de derivación, se sigue que frente a cualquier secuencia de fórmulas del LPO se puede determinar si la secuencia es o no una derivación en N. 5.4. El concepto de subderivación. La introducción de un supuesto auxiliar indica el comienzo de una subderivación, de modo que toda fórmula que aparezca luego de la introducción del supuesto auxiliar y antes de que el supuesto se cancele, depende del supuesto auxiliar. De acuerdo con la definición de derivación dada precedentemente no puede ocurrir que la línea final de una derivación dependa de un supuesto. Como se ha señalado, una subderivación que comienza con un supuesto A se indica gráficamente como

A y si la subderivación concluye en un enunciado C, esto se indica gráficamente como :

: C

Así se obtiene la caja

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A : : C

5.4.1. Observación. En rigor, la línea que en las reglas indica el paso de premisas y conclusión no equivale al símbolo ├ (llamado usualmente “deductor”), pues las reglas que han sido llamadas “reglas impropias de inferencia” pueden tener derivaciones como premisas (indicadas mediante los supuestos auxiliares) mientras que el deductor ├ simboliza una relación (la relación de derivabilidad) que va exclusivamente de conjuntos de fórmulas a fórmulas, que se da exclusivamente en las reglas propias de inferencia. 5.5. Reglas propias e impropias. Se ha mencionado ya la distinción entre reglas de inferencia impropias y reglas de inferencia propias. Las primeras, que incluyen supuestos, no expresan auténticamente una relación de derivabilidad de un conjunto de enunciados a otro enunciado (pues entre sus premisas se incluyen derivaciones). Por ejemplo la regla (I→) puede leerse como sigue: “A partir de que hay una derivación de B a partir de A, infiérase A → B”. 5.6. Nota: análisis y síntesis. Se suele llama parte analítica de una derivación a aquella en la que se aplican las reglas de eliminación y parte sintética a aquella en la que se aplican reglas de introducción. La idea es que se van aplicando reglas de eliminación hasta llegar a enunciados a partir de los cuales pueden aplicarse reglas de introducción hasta llegara a la conclusión. En algunas deducciones pueden faltar la parte analítica o la sintética. (En el ejemplo 3.1.1. no hay parte sintética.) Pero toda derivación debe tener al menos una de estas dos partes. Así, en el siguiente ejemplo de derivación del enunciado de LPO ∃z(Qz & Tz) a partir de los enunciados∀x(Px → Qx), ∀x (Sx → Tx) y Pa & Sa 1) ∀x(Px → Qx) pr 2) ∀x (Sx → Tx) pr 3) Pa & Sa pr / ∃z(Qz & Tz) 4) Pa → Qa (E∀), 1 5) Sa → Ta (E∀), 2 6) Pa (E∧), 3 7) Qa (E→), 4, 6 8) Sa (E∧), 3 9) Ta (E→), 5, 8 10) Qa & Ta (I∧) 7, 9 11) ∃z (Qz & Tz) (I∃), 10 puede verse que las líneas 4) a 9) constituyen la parte analítica de la derivación y las líneas 10) y 11) su parte sintética. 6. Teoremas en N. Una fórmula cerrada A de LPO que carece premisas es un teorema de N (en símbolos ├ A), si hay una derivación de A en N que carece de premisas. De este modo, todo teorema de N puede ser visto como un caso de una regla de inferencia que no tiene premisas. Los teoremas de N son casos leyes lógicas de la lógica de primer orden. (Por extensión, también se hablará de teorema de N cuando se demuestre una forma de enunciado.) 6.1. Ejemplo. La fórmula ¬(Sabc & ¬Sabc) es derivable sin necesidad de premisas. La derivación es como sigue:

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1) 2) 3) 4)

Sabc & ¬Sabc Sabc ¬Sabc ⊥

/⊥ (E∧) 1 (E∧) 1 (E¬) 2, 4

5) ¬(Sabc & ¬Sabc) (I¬) 1-4 Se advierte, a partir del ejemplo, que es necesaria la introducción de supuestos para poder construir la derivación de teoremas. 7. Derivaciones en N y el concepto de validez El sistema N ofrece un método para determinar la validez de razonamientos. Más aun, se puede afirmar 7.1. Un razonamiento formulado en el LPO es válido si y sólo si existe una derivación en N de su conclusión a partir de sus premisas. Así pues, la derivación 5.2.1 demuestra la validez del razonamiento ∀x (Px → Qx) Pa ———————— Qa y la derivación 5.2.2 demuestra que el razonamiento Qa→ ¬∃ySay Saa ———————— ¬Qa es válido. De aquí, la existencia de una derivación asegura la validez de un razonamiento. En consecuencia, determinar la validez de un razonamiento por medio del sistema N consiste en generar una derivación que va de sus premisas a la conclusión.

Si se tiene presente que, por 5.3, también puede construirse derivaciones con formas de enunciado, entonces se afirma 7.2. Una forma de enunciado de LPO es una ley lógica si y sólo si es un teorema de N. La definición de teorema en N echa luz sobre la caracterización de las leyes lógicas como formas de enunciado cuyos casos son enunciados siempre verdaderos, verdaderos bajo toda circunstancia (“verdades lógicas”), pues al decir que un teorema es derivable sin partir de premisas equivale a decir que es derivable bajo cualesquiera premisas, esto es, es derivable bajo cualquier información que se disponga: los teoremas se derivan bajo “cualquier circunstancia” que se dé. De este modo, mediante la derivación que aparece en 6.1. se demuestra que el enunciado de LPO ¬(Sabc & ¬Sabc) es un caso de ley lógica. 7.3. Observación. Las afirmaciones 7.1 y 7.2 suponen (sin demostrarlo todavía) que el sistema N es semánticamente adecuado (consistente y completo); es decir captura todos y sólo los razonamientos válidos y las verdades lógicas de la lógica clásica de primer orden. Las reglas del sistema N son un

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conjunto suficiente de reglas que caracterizan todas las inferencias válidas en relación con conectivas y cuantificadores. Así, las inferencias deductivas (de la lógica clásica de primer orden) son aquellas para las que se pueden construir derivaciones en N. Como ya se dijo, las reglas explicitan el uso que se da a los símbolos lógicos. Las reglas de introducción los definen (indican las condiciones bajo las cuales estos se pueden introducir) y las reglas de eliminación son consecuencia de estas definiciones. 8. Estrategias de derivación en el sistema N y aplicación de las reglas Frente al caso de efectuar una derivación en N de una fórmula a partir de otras, las mismas reglas indican el procedimiento a seguir, indican ya algo así como “estrategias” deductivas. En efecto, algunas de las reglas no son más que formalizaciones de estrategias o modos de demostración usuales en contextos deductivos. Por ejemplo, la regla (E∨) formaliza el tipo de demostración por casos, la regla (I→) formaliza la idea de demostración condicional y la regla (I¬) la de demostración por el absurdo. En otros casos, si se pretende, por ejemplo, derivar una fórmula cuantificada existencialmente ∃xPx,, basta con derivar, respecto de una constante cualquiera a, Pa. Si se debe derivar una conjunción, deben obtenerse previamente las dos fórmulas que la integran. Si la fórmula a derivar es una disyunción basta con derivar cualquiera de sus miembros. Si se desea partir de una premisa que sea una disyunción deben suponerse cada uno de los disyuntos. Y así siguiendo. Por lo demás, debe tenerse en cuenta que derivar en el sistema N es siempre aplicar reglas de eliminación y reglas de introducción. Si se comienza con las premisas obviamente debe comenzarse aplicando reglas de eliminación. Si la derivación parte de analizar la conclusión debe pensarse en reglas de introducción. Así pues, retomando lo dicho anteriormente en la nota 5.6., en una derivación las reglas de eliminación descomponen una fórmula (son analíticas), mientras que las de introducción componen una nueva fórmula a partir de otras anteriores (son sintéticas). 8. 1. Derivaciones por el absurdo. En el caso de que la conclusión sea la negación de una fórmula, conviene suponer su afirmación y procurar obtener un absurdo (demostración por el absurdo), tal como sucede en el caso de la derivación para el razonamiento Rac → ¬Sc, Rac → Sc / ¬Rac. 1) 2)

Rac → ¬Sc Rac → Sc

pr pr / ¬Pd

3) 4) 5) 6)

Rac ¬Sc Sc ⊥

/⊥ (E→) 1, 3 (E→) 2, 3 (E¬) 4, 5

7) ¬Pd (I¬) 3-6 8.2. Derivaciones condicionales. En la mayoría de los casos en que la conclusión de un enunciado es un condicional, se comienza suponiendo el antecedente y se deriva el consecuente (demostración condicional). La siguiente derivación es un ejemplo, en el que se demuestra la validez del razonamiento Sab → Qb, Qb → Rbc / Sab → Rbc.

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1) 2)

Sab → Qb Qb → Rbc

pr pr / Sab →Rbc

3) 4) 5)

Sap Qb Rbc

/ Rbc (E→) 1, 3 (E→) 2, 4

6) Sab →Rbc (I→) 3-5 8.3. Derivaciones por casos. Cuando un razonamiento tiene entre sus premisas una disyunción, se puede suponer cada uno de sus miembros para obtener la conclusión. La deducción para demostrar el razonamiento dilemático Pda ∨ Pdb, Pda → Td, Pdb → Td / Td es un ejemplo. 1) 2) 3)

Pda ∨ Pdb Pda → Td Pdb → Td

pr pr pr / Td

4) 5)

Pda Td

/ Td (E→) 2, 4

6) 7)

Pdb Td

/Td (E→) de 3 y 6

8) Td (E∨) 1, 4-5, 6-7 En este caso la única posibilidad es partir de la primera premisa, sabiendo (por la regla (E∨)) que podemos afirmar la conclusión Td a condición de que se derive de cada uno de los miembros de la disyunción. Así, se introduce el supuesto Pda en la línea 4), de donde se obtiene Td por aplicación de la regla (E→). Lo mismo sucede con el supuesto Pdb. Luego, se obtiene la conclusión. 8.4. Derivaciones existenciales. Dado este razonamiento ∃xPx ∀y(Py → Sc) ____________ Sc La derivación de la conclusión a partir de sus premisas muestra cómo funciona la regla de eliminación del cuantificador existencial que incluye la idea de parámetro propio. 1) 2)

∃xPx ∀y(Py → Sc)

pr pr / Sc

3) 4) 5)

Pa Pa → Sc Sc

/ Sc (E∀) 2 (E→) 3, 4

6) Sc (E∃) 1, 3-5 En esta derivación la constante a funciona como parámetro propio, pues no aparece en las premisas ni en la conclusión Sc. La justificación de la línea 6) (E∃) 1, 3-5 quiere decir que se ha eliminado el

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cuantificador existencial de 1 mediante la deducción auxiliar que va de las líneas 3) a la 5). Nótese adicionalmente que recién en este punto de la deducción puede aplicarse la regla (E∃). Otro ejemplo más es el razonamiento ∃x (Sx & Tx) _____________ ∃x (Tx & Sx) La derivación correspondiente es la siguiente: 1) ∃x (Sx & Tx) pr /∃x (Tx & Sx) 2) 3) 4) 5) 6)

Sb & Tb Sb Tb Tb & Sb ∃x (Tx & Sx)

/ ∃x (Tx ∧ Sx) (E&) 2 (E&) 2 (I&) 3, 4 (I∨) 5

7) ∃x (Tx & Sx) (E∃) 1, 3-6 8. 5. Derivaciones universales. Deducir un enunciado universal exigirá tener una derivación en la que aparezcan parámetros, siguiendo la regla de introducción del cuantificador universal. Esta regla permite demostrar la validez del siguiente razonamiento ∀y Qy & ∀x Rxa _________________ ∀z (Qz & Rza) La derivación es la siguiente. 1) ∀y Qy & ∀x Rxa pr /∀z (Qz ∧ Rza) 2) ∀y Qy (E&) 1 3) ∀x Rxa (E&) 1 4) Qb (E∀) 2 5) Rba (E∀) 3 4) Qb & Rba (I&) 4, 5 5) ∀z (Qz & Rza) (I∀) 4 En el paso 5) se pudo introducir el cuantificador universal respecto de la constante de individuo b, ya que b no aparecía en la premisa 1) ni en 5) mismo. Es decir, b se usaba como un parámetro, sirviendo dentro de la deducción para referirse a un individuo arbitrario. Nótese que la línea de deducción en la que aparece el parámetro (la línea 4 en este caso) puede tomarse, en cierto sentido como un supuesto acerca de la constante b. Esta constante resulta de la eliminación del cuantificador universal. Sin embargo, no se refiere a un individuo determinado, sino que se lo supone con una referencia arbitraria, como diciendo: “Sea b un individuo cualquiera tal que se pueda cumplir el predicado Qx”. 8.6. El uso de la regla (⊥)

La regla (⊥) ha recibido en la historia de la lógica el nombre en latín de ex contradictione quodlibet (de una contradicción se sigue cualquier cosa). Como ya se ha mencionado en 4.3.6. la

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regla permite deducir cualquier enunciado del lenguaje a partir de premisas contradictorias (enunciados con la forma A y ¬A son contradictorios). La regla puede justificarse sobre la base de la misma definición de regla de inferencia como forma válida de razonamiento. Dado que todos los casos de la regla nunca van a tener premisas que sean ambas verdaderas, no importa que la conclusión sea verdadera o falsa y en este sentido puede ser un enunciado cualquiera.

Un ejemplo de aplicación de la regla es el razonamiento válido ∀x(Px → Qxa) Pb ¬∃yQya ———————— ∃zSz Se observa rápidamente que la conclusión contiene un predicado ausente en las premisas, de modo que no hay conexión entre la información dada en las premisas y la dada en la conclusión. Para dar una mejor idea del tipo de razonamiento que se trata piénsese que este razonamiento representa en el LPO el razonamiento Todos los porteños veranean en la Antártida Natalia es porteña Nadie veranea en la Antártida ————————————————————— Hay centauros La derivación correspondiente en N es como sigue 1) ∀x(Px → Qxa) pr 2) Pb pr 3) ¬∃yQya pr /∃zSz 4) Pb → Qba (E∀) 1 5) Qba (E→) 2, 4 6) ∃yQya (I∃) 5 7) ⊥ (E¬) 3, 6 8) Sc (⊥) 7 9) ∃zSz (I∃) 8 Una consecuencia de la regla (⊥) es que de una contradicción pueden deducirse todos los enunciados del lenguaje. La contradicción se vuelve explosiva respecto del lenguaje. Esto corresponde a la idea de que las contradicciones no proporcionan información. 8.7. La regla de doble negación

Dado el razonamiento válido ¬Pa → Qa ¬Qa __________ Pa

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no parece haber forma de construir una derivación mediante las reglas de introducción y eliminación de símbolos lógicas. Supóngase que la conclusión de este razonamiento es, en cambio, ¬¬Pa. El razonamiento quedaría como ¬Pa → Qa ¬Qa __________ ¬¬Pa En este caso, sí parece poder comenzarse a construir una derivación. La forma de la conclusión es la de una negación, de modo que puede pensarse en aplicar el método de absurdo relacionado con la regla (I¬), y aplicar luego la regla (dn) de doble negación. Así, se obtiene la derivación 1) 2)

¬Pa → Qa ¬Qa

pr pr / ¬¬Pa / Pa

3) 4) 5)

¬Pa Qa ⊥

/⊥ (E→) 1, 3 (E¬) 4, 5

6) 7)

¬¬Pa Pa

(I¬) 3-5 (dn) 6

Así pues, frente a razonamientos como el primero, puede suponerse la negación de la

conclusión e intentar llegar a ⊥, obteniéndose la negación de ese supuesto, es decir, la doble negación de la conclusión. De aquí puede aplicarse la regla (dn) para derivar la conclusión. Este procedimiento recibe el nombre de método del absurdo clásico. (Sobre este método se volverá más adelante.) El objetivo se indica a la derecha de la última premisa como /¬¬Pa /Pa. El enunciado ¬¬Pa pasa a ser un subobjetivo para obtener la conclusión. 8.8. La regla de repetición de líneas Tómese el siguiente razonamiento Pa _________ Rab → Pa La estrategia para demostrar su validez exige emplear el método de deducción condicional, dado por la regla (I→), y suponer el antecedente de la conclusión. Pero para obtener el consecuente debe repetirse la premisa. O sea: 1) Pa pr / Rab → Pa 2) 3)

Rab Pa

/ Pa (rep) 1

4) Rab → Pa (I→) 2-3 8.9. Combinación de estrategias.

Hay derivaciones cuya derivación exige combinar dos o más estrategias, usando diferentes reglas impropias. Se ofecen a continuación algunos ejemplos

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8.9.1. Ejemplo. El razonamiento válido Pb → (Qb & (¬ Rb)). Sb → ¬ Rb Rb ________________ ¬(Pb ∨ Sb) se demuestra mediante la siguiente derivación en N. 1) 2) 3)

Pb → (Qb & (¬ Rb)) Sb → ¬ Rb Rb

pr pr pr / ¬(Pb ∨ Sb)

Pb ∨ Sb Pb

Qb & (¬Rb) ¬Rb ⊥

Sb

¬Rb ⊥

4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) ⊥

/ ⊥ / ⊥ (E→) 1, 5 (E&) 6 (E¬) 3, 7 / ⊥ (E→) 2, 9 (E¬) 3, 10 (E∨) 4, 5-8, 9-11

13) ¬(Pb ∨ Sb) (I¬) 4-12 La idea de la derivación puede resumirse así. La conclusión tiene la forma de una negación. Esto sugiere proceder con el método del absurdo. El supuesto de absurdo tiene la forma de una disyunción. Esto sugiere una deducción por casos, siempre para llegar al absurdo. A medida que se van cumpliendo los subobjetivos se llega a la conclusión. 8.9.2. Ejemplo. El razonamiento válido ∃xPx → Qb ____________ ∀x(Px → Qb) se demuestra mediante la derivación en N que sigue 1) ∃xPx → Qb_ pr / ∀x(Px → Qb) 2) 3) 4)

Pa ∃xPx Qb

/ Qb (I∃) 2 (E→) 3, 4

5) 6)

Pa →Qb ∀x(Px→Qb)

(I→) 3-4 (I∀) 5

Este ejemplo muestra que un cuantificador existencial en antecedentes de condicionales puede interpretarse como una cuantificación universal y sugiere ciertas semejanzas entre la regla de introducción del condicional y del cuantificador universal; la suposición respecto de la constante a en el paso 2) es algo así como una suposición de existencia condicional o hipotética.

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8.9.3. Ejemplo. A veces se combinan demostraciones condicionales con demostraciones por el absurdo. Esto puede ilustrarse con el siguiente razonamiento Rab → Sba ____________ ¬Sba → ¬Rab Su derivación en N es: 1) Rab → Sba_ /¬Sba → ¬Rab

¬Sba

Rab Sba ⊥

2) 3) 4) 5) 6) ¬Rab

/ ¬Rab / ⊥ (E→) 1, 3 (E¬) 2, 4 (I¬) 3 – 5

7) ¬Sba → ¬Rab (I→) 2 – 6 En este caso, se advierte que la única manera de iniciar la derivación es suponer el antecedente de la conclusión para intentar obtener el consecuente. Este tiene la forma de una negación, y ya se sabe, por la regla (I¬), que para inferir una negación se parte de suponer el enunciado afirmado, Rab en este caso, con el objetivo de obtener una contradicción. Aplicando la eliminación del condicional se llega a la contradicción deseada, permitiendo derivar el consecuente de la conclusión. 8.9.4. Ejemplo. El caso siguiente combina reglas para los dos cuantificadores. Se quiere deducir ∀y∃x Rxy a partir de ∃x∀yRxy. La derivación es la siguiente: 1) ∃x ∀y Rxy pr / ∀y∃x Rxy 2) 3) 4) 5)

∀yRay Rab ∃xRxb ∀y ∃x Rxy

/ ∀y∃x Rxy (E∀) 3 (I∃), 4 (I∀), 5

6) ∀y ∃x Rxy (E∃) 1, 3-6 El paso 2) de la derivación es un supuesto existencial, en donde la constante de individuo a es un parámetro. El supuesto sólo se puede eliminar al llegar a una fórmula que no contenga a la constante a, lo que cumple el paso 5). En efecto, b no aparece en la premisa ni en la línea con la que se inicia el supuesto no cancelado. De este modo, se puede aplicar la regla de eliminación del cuantificador existencial (paso 6)). 8.9.5. Ejemplo. Se quiere demostrar por medio del sistema N que la fórmula ∀x (Px & Qx → Px) es un caso de ley lógica. Esto significa que debe haber una derivación sin premisas que lleve a esta fórmula, la cual es, entonces, un teorema de N. La derivación es como sigue:

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1) 2)

Pd & Qd Pd

/ Pd (E&) 1

3) 4)

(Pd & Qd) → Pd ∀x((Px & Qx) → Px)

(I→) 1-2 (I∀) 3

En esta derivación se combinan la estrategia de derivación universal con la de derivación condicional.

Segunda parte 1. La inconsistencia en el sistema N La deducción natural no ofrece una manera directa de determinar que un conjunto de enunciados es consistente, pero sí para mostrar que es inconsistente. Para ello, se define inconsistencia del modo siguiente, vinculando inconsistencia con contradicción: 1.1. Un conjunto de enunciados de LPO es inconsistente si y sólo si a partir de los enunciados del conjunto se deriva en N el enunciado ⊥ (es decir, una contradicción o un absurdo). Esta definición proporciona un método formal para demostrar que un conjunto de enunciados es inconsistente mediante el sistema N. Por ejemplo, los dos enunciados del LPO ∀x(Px & Qx) y ¬∃x Qx constituyen un conjunto inconsistente. (Con el fin de aclarar el ejemplo, piénsese que ambos ejemplos simbolizan respectivamente los enunciados “Todo es orgánico y eterno” y “Nada es eterno”.) La inconsistencia del conjunto formado por ambos enunciados se demuestra mediante la derivación siguiente: 1) ∀x(Px & Qx) pr 2) ¬∃x Qx pr / ⊥ 3) Pa & Qa (E∀) 1 4) Qa (E&) 3 5) ∃x Qx (I∃) 42 6) ⊥ (E¬) 2, 5 El método trabaja como si tratara de demostrar la validez del razonamiento ∀x(Px & Qx) ¬∃x Qx ____________ ⊥ Esto equivale a obtener una contradicción a partir de los dos enunciados como premisas. Por esta razón, los dos enunciados se indican como premisas y se indica como objetivo ⊥ (una contradicción).

Otro ejemplo, está dado por los enunciados

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∀x (Sx → Px) ∀z(Sz → ¬Pz) ∃ySy La derivación siguiente demuestra su inconsistencia: 1) 2) 3)

∀x (Sx → Px) ∀z(Sz → ¬Pz) ∃ySy

pr pr / ⊥

4) 5) 6) 7) 8) 9)

Sa Sa → Pa Sa → ¬Pa Pa ¬Pa ⊥

/⊥ (E∀) 1 (E∀) 2 (E→) 4, 5 (E→) 4, 6 (E¬) 7, 8

10) ⊥ (E∃), 3, 4-9. Nótese que en el paso 10) puede eliminarse el cuantificador existencial de 3) puesto que de suponer Sa se ha llegado al enunciado ⊥. Como ya se ha mencionado ⊥ está en lugar de cualquier absurdo o contradicción del ámbito de cosas del cual se está hablando. De este modo, ⊥ podría ser reemplazado en la deducción por ∃x(Sx∧¬Sx), Sd∧¬Sd o Pd ∧¬Pd, entre innumerables otras posibilidades, en donde no aparece la constante a. Así, a funciona en la derivación como un parámetro propio. De manera indirecta, se sigue de 6.1. la siguiente definición de consistencia: 1.2. Definición. Un conjunto de enunciados de LPO es consistente si y sólo si a partir de los enunciados del conjunto no se deriva en N el enunciado ⊥ (es decir, una contradicción o un absurdo). El problema es que el sistema N no ofrece explícitamente un procedimiento para determinar que a partir de un conjunto de enunciados no se deriva una contradicción. Una aproximación consiste en basarse en el hecho de que la deducción transmite consistencia. Dado un conjunto de enunciados, si cada uno de sus miembros se derivan a partir de un conjunto consistente de enunciados atómicos, entonces es consistente. (Desde un punto de vista lógico, todo conjunto de enunciados atómicos es consistente; si llega a ser inconsistente será por cuestiones de contenido.) A título de ilustración, tómese el conjunto integrado por los enunciados Qa & Sa, Pa → Qa & Sa y ¬∀x¬Px. Entonces, el conjunto consistente de enunciados atómicos integrado por Qa , Sa y Pa demuestra su consistencia. En efecto, hay una derivación de Qa & Sa a partir de Qa y Sa; hay otra derivación de Pa → Qa & Sa a partir también de Qa y Sa. Finalmente, hay una tercera derivación de ¬∀x¬Px a partir de Pa. Sin embargo, este no es un método totalmente riguroso. Entre otras cosas, en el caso de cuantificaciones universales, debe modificarse la regla de introducción y deben suponerse dominios finitos de cuantificación. 1.3. Nota. El concepto de refutación. Una derivación en N de ⊥ a partir de un enunciado A puede considerarse una refutación en N de A.

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2. Equivalencia e implicación Equivalencia e implicación son dos relaciones lógicas entre enunciados que pueden demostrarse mediante el sistema N. 2.1. Definición de equivalencia: Dos enunciados A y B son equivalentes en N si y sólo hay una derivación de B a partir de A y otra derivación de A a partir de B. Dicho de otro modo, son equivalentes si son mutuamente derivables. 2.1.1. Ejemplo: Los enunciados ¬Sa y Sa→(Pb&¬Pb) son equivalentes. Esto se determina mediante las dos derivaciones siguientes 1) ¬Sa pr / Sa → (Pb & ¬Pb) 2) 3) 4)

Sa ⊥ Pb

/ Pb & ¬Pb (E¬) 1, 2 (⊥)

5) 6)

Pb ⊥

/ ⊥ (rep)

7) 8)

¬Pb Pb & ¬Pb

(I ¬) 5-6 (I&) 4, 7

9) Sa → (Pb & ¬Pb) (I→) 2-8 1) Sa → (Pb & ¬Pb) pr / ¬Sa 2) 3) 4) 5) 6)

Sa Pb & ¬Pb Pb ¬Pb ⊥

/ ⊥ (E→) 1, 2 (E&), 3 (E&), 3 (E¬) 4, 5

7) ¬Sa (I¬) 2-6 2.2. Metateorema: reemplazo de fórmulas equivalentes: Para cualesquiera enunciados A y B, si ambos son equivalentes en N y A aparece en un paso de una derivación, entonces puede reemplazarse A por B, escribiéndolo en el paso inmediatamente siguiente de la derivación. 2.3. Metateorema: reemplazo de subfórmulas equivalentes: Si A es una subfórmula de una fórmula C y A es equivalente en N a B, entonces puede intercambiarse A por B en C. 2.2. Definición de implicación: Se dice que un enunciado A implica en N a un enunciado B, si y sólo si hay una derivación en N de B a partir de A. Dicho de otro modo, A implica en N a B si y sólo si el condicional A → B es teorema en N. 2.2.1. Ejemplo. Pa&Pb implica ∃xPx. La derivación es muy sencilla 1) Pa & Pb pr 2) Pa (E&) 1 3) ∃xPx (E∃) 2

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Así, la implicación entre dos enunciados puede verse como la validez del razonamiento que tiene como única premisa al primer enunciado y como conclusión al segundo enunciado. En el caso precedente se trata del razonamiento Pa&Pb ———— ∃xPx Por esta razón en la derivación la línea 1 está indicada como premisa. 2.2.2. Nota. La equivalencia puede definirse en términos de la implicación: dos enunciados son equivalentes si hay una implicación mutua entre ambos. 3. Reglas derivadas de N Si existe una derivación en N para un enunciado C de LPO a partir de los enunciados A1, ..., An , entonces puede abstraerse la forma lógica de estos enunciados, de modo de obtener una forma de razonamiento. Tal como se mencionó anteriormente, en el sistema N también puede demostrarse la validez directamente de formas de razonamiento.

En este caso, esto puede presentarse gráficamente como

A1 :

An

C y considerársela una regla derivada de N, en el sentido de que es una abreviatura de una derivación más extensa. De este modo, todas las formas de razonamiento derivables en N son reglas derivadas de N. (Por lo demás, las reglas básicas son también reglas derivadas, sólo que en un sentido trivial.) Muchas reglas derivadas representan reglas de inferencia usuales o mencionadas frecuentemente en la historia de la lógica como ejemplos típicos de formas de razonamientos deductivos. Su numero es infinito. Eventualmente pueden ser útiles para acortar la longitud de derivaciones. De más está decir que las reglas derivadas no aumentan el poder inferencial del sistema. Es decir, son conservativas y todo lo que se deriva mediante ellas puede hacerse con las reglas básicas. Un ejemplo de regla derivada es el llamado “silogismo hipotético”, de la forma

A → B B → C

A → C

y que se demuestra por aplicaciones de las reglas para el condicional. (Un caso de esta regla se dio anteriormente como ejemplo de demostración condicional.) El uso de esta regla permite, por ejemplo, simplificar la derivación del razonamiento ∀x (Px → Sx), ∀x (Sx → Qx) / ∀x (Px → Qx).

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Mientras que la derivación original lleva 9 pasos, empleando la regla del “silogismo hipotético” la derivación se reduce a 6 pasos. Los pasos que se ahorran corresponden a la derivación de la regla. Así, las reglas derivadas en N pueden verse como abreviaturas de derivaciones en N. 3.1. Reglas derivadas con supuestos También puede haber reglas derivadas que incluyan derivaciones entre sus premisas (serían reglas derivadas impropias). Un caso es la regla llamada de “absurdo clásico”: ¬A

: ┴

________ A

Su demostración implica un grado de abstracción mayor. Se debe suponer que hay una derivación de ┴ a partir de ¬A. Por la regla (I¬) se infiere ¬¬A, de donde, por la regla (DN) se llega a A. Estas reglas derivadas no representan formas válidas de razonamiento como las otras. 3.2. Uso de teoremas como reglas derivadas Toda forma de enunciado que sea teorema de N puede verse como una regla derivada (que carece de premisas), y, por lo tanto, un teorema puede introducirse (si se desea) como una nueva línea en cualquier derivación. Por ejemplo, la derivación del razonamiento ∀x(Px ∨ ¬Px → Sx) / ∃x Sx. Se reduce en unos cuantos pasos si se emplea el teorema ¬A ∨ A (la “ley del tercero excluido”), que se demuestra más adelante. Justamente, los pasos que se ahorran son los que corresponden a la derivación del teorema. La derivación sería como sigue. 1) ∀x(Px ∨ ¬Px → Sx) pr 2) Pa ∨ ¬Pa → Sa (E∀), de 1) 3) Pa ∨ ¬Pa teorema (ley del tercero excluido) 4) Sa (E→), de 2) y 3) 5) ∃x Sx (I∃), de 4). 4. Reglas para el bicondicional El bicondicional es un símbolo lógico definible por medio del condicional y la conjunción (D↔) (A ↔ B) =df ((A → B) & (B → A)) Dada esta definición, para demostrar un bicondicional bastaría con demostrar cada uno de los condicionales en que se descompone. Esto justifica postular las siguientes reglas derivadas de introducción y eliminación:

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(I ↔) A

: B

(E↔) A ↔ B A __________ B

(E↔) A ↔ B B __________ A

B

: A

_________ A ↔ B

La validez de ambas reglas se demuestra por medio de las reglas para el condicional y la definición (D↔) (además, se supone la validez del reemplazo del término definido como una forma del reemplazo de equivalentes según 2.2). 4.1.Bicondicional y equivalencia. Dos enunciados A y B son equivalentes en N, si y sólo si el bicondicional A ↔ B es un teorema en N 5. La negación y el absurdo: Como se vio anteriormente, la negación se entiende en el sentido (fuerte) de inferir contradicción. Este hecho sugiere definir la negación en LPO en términos del condicional y de la constante de absurdo, esto es: (D¬) ¬ A =df (A → ┴), entonces las reglas de negación (I¬) y (E¬) se convierten en reglas derivadas de las reglas para el condicional. Asimismo, en el sistema N son teoremas los siguientes bicondicionales: (a) ┴ ↔ A & ¬A (b) ¬A ↔ A → ┴. De este modo, ┴ y ¬ son interdefinibles en LPO, y por lo tanto intercambiables. Así, la regla (I¬) puede reemplazarse por esta otra

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A

: B & ¬B

________ ¬ A

3.1. Generalización de las demostraciones por el absurdo. En general, la regla de la doble negación (DN) junto con la regla (I¬) permite aplicar la estrategia de demostración por el absurdo para determinar la validez de cualquier razonamiento de la lógica clásica de primer orden. En otras palabras, se puede establecer la siguiente proposición: 3.1.1 Si una fórmula C cualquiera es derivable en N a partir de premisas A1, ..., An, entonces C es derivable de las mismas premisas en N por el absurdo. Un ejemplo de este método generalizado de absurdo es la ley del tercero excluido A ∨ ¬A, cuya derivación es:

¬(A ∨ ¬A)

A A ∨ ¬A ⊥

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

¬A A ∨ ¬A ⊥

/ ⊥ / ⊥ (I∨) 2 (E¬) 1, 3 (I¬) 2 - 4 (I∨) 5 (E¬) 1, 6

8) 9)

¬¬(A ∨ ¬A) A ∨ ¬A

(I¬) 1 - 7 (dn) 8

4. Notas históricas y bibliográficas El sistema de deducción natural fue concebido por el matemático y lógico Gerhard Gentzen (1909-1945) quien lo presentó por vez primera en su tesis doctoral de 1934 (véase Gentzen 1935). Acerca de la motivación para construir este sistema, puede leerse allí: “Yo quería presentar un formalismo que se aproximara lo más posible al razonamiento real.” (Gentzen 1935, sección 1.) Dentro del contexto de la lógica matemática, la deducción natural constituyó uno de los primeros sistemas que constaba exclusivamente de reglas de inferencia, y en este sentido se contraponía con las presentaciones de tipo axiomático, usuales en ese momento. Además, el sistema exhibía el novedoso recurso a los supuestos. En la formulación originaria las derivaciones tenían forma de árboles. Por razones de conveniencia expositiva, aqui se ha adoptado la presentación lineal que tiene sus orígenes en Fitch 1952. Pese a existir numerosas versiones de las reglas para los cuantificadores (véase, por ejemplo, Quine 1950 y Suppes 1957), aquí se ha preferido adoptar la original de Gentzen (que es sin duda la más simple). Muchos manuales de lógica incluyen presentaciones del sistema de deducción natural. En Tennant 1978 es adoptada como único sistema. Un tratado exhaustivo, ya clásico, sobre la deducción natural y sus propiedades metateóricas lo constituye Prawitz 1965.

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5. La adecuación semántica del sistema N En general, frente a un sistema formal cualquiera para la lógica, como el T u otros sistemas, surgen dos problemas fundamentales: (1) Determinar si la validez de todo razonamiento o de toda regla lógica o la verdad de toda ley lógica puede establecerse mediante el procedimiento de derivación en el sistema; es decir si el sistema realmente sirve para demostrar todo lo que se espera que demuestre y no hay nada, de lo que se pretende que demuestre, que se le escape. Este es el problema de la completitud del sistema. Para entender mejor este problema, supóngase simplemente que se quita del sistema la regla (I→) del sistema T. Entonces, dado el razonamiento válido siguiente: ∀x Qx _____________ ∀x(Px → Qx) , no se podría derivar la conclusión a partir de la premisa. Más aún de la premisa se puede aplicar la regla (E∀), pero de ahí no se puede llegar a la conclusión. Contrariamente con la inclusión de la regla (I→) se puede hacer una suposición condicional que permite obtener finalmente la conclusión. Al eliminar la regla el sistema se torna insuficiente para establecer la validez de razonamientos que son válidos de acuerdo con la definición de valuación. El sistema se torna así claramente incompleto. (2) Determinar si todo razonamiento para el cual hay una derivación en el sistema es válido, si toda regla para la cual hay una derivación es una regla válida, y si todo enunciado para el cual hay una derivación es una ley lógica, una verdad lógica. Este es el problema de la corrección o consistencia del sistema. Para entender mejor este problema, supóngase que se reemplaza la regla (E→) de N por esta otra (E→)+ A→B B

A El siguiente razonamiento formulado en LPO es inválido. ∀x (Px→Qx) Qc Pc Ahora bien, una interpretación de este razonamiento en lenguaje ordinario es el razonamiento Todos los números múltiplos de 10 son pares 28 es par Luego, 28 es múltiplo de 10

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Este razonamiento es inválido desde el punto de vista preformal y constituye un contraejemplo en el lenguaje ordinario del formulado en el LPO. Ahora bien, utilizando el sistema T con el reemplazo de la regla (E→) por la regla (E→)+, se obtiene la derivación siguiente: 1. ∀x (Px→Qx) 2. Qc / Pc 3 Pc→Qc (E∀) 1. 4. Pc (E→)+ 3, 2. De este modo, el sistema N modificado de esta manera hace válido un razonamiento que es inválido, resultando así incorrecto.

Demostrar estos hechos, solucionando los problemas (1) y (2) formulados antes es mostrar que el sistema cumple realmente la tarea para la que ha sido diseñado. Dicho con más precisión, éste es el problema de determinar si el sistema es semánticamente adecuado.

Respecto del sistema N, pueden ensayarse diferentes soluciones a este problema.

1) La adecuación de un sistema lógico formal puede quedar siempre como una conjetura, en la medida en que no aparezca un caso auténticamente anómalo que con se corresponda con la idea preformal de validez, consistencia u otras propiedades lógicas.

2) La determinación de la adecuación es imposible, o carece de sentido, pues el sistema formal proporciona los rasgos definitorios de conceptos como el de validez, consistencia o ley lógica. Por ejemplo, en el caso del sistema N, validez se define en términos de la relación de derivabilidad (tal como se ha propuesto antes en la sección 7 de la primera parte. 3) La determinación de la adecuación exige previamente una caracterización precisa y exacta del concepto de validez que sea independiente de la noción de sistema formal, tal como ha sido presentada aquí. Esto es lo que se entiende por una caracterización semántica formal, construida mediante usualmente herramientas de la teoría de conjuntos y álgebra, en el marco de la llamada teoría de modelos, la que se basa en el concepto de modelo visto en relación con el lenguaje de primer orden. Aquí resulta el concepto (semántico) el concepto semántico clave de consecuencia lógica, siendo la adecuación entre este concepto y el de derivabilidad. Generalmente, se entiende la adecuación en este último sentido.

6. Referencias bibliográficas Fitch, Frederick Brenton. 1952. Symbolic Logic. An Introduction. Nueva York, The Ronald Press Company. Gentzen, Gerhard. 1934/1935. “Untersuchungen über das logische Schliessen”. En Mathematische Zeitschrift 39, pp. 176-210, pp. 405-431. Trad. inglesa, “Investigations into Logical Deduction”, en The Collected Papers of Gerhard Gentzen, comp. por M. E. Szabo. Amsterdam, North Holland, 1969, pp. 69-131. Trad. francesa de Robert Feys et Jean Ladrière, Recherches sur la déduction logique, París, P.U.F., 1955. Prawitz, Dag. 1965. Natural Deduction. A Proof-Theoretical Study. Estocolmo, Almqvist & Wiksell.

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Quine, Willard van Orman. 1950 Methods of Logic. New York, Henry Holt & Co. Trad. cast. de la ed. revisada 1959, Los métodos de la lógica, por Manuel Sacristán. Barcelona, Ariel, 1962. Nueva trad. de la 3ra. ed. inglesa por Juan José Acero y Nieves Guasch, Barcelona, Ariel, 1981. Suppes, Patrick. 1957. Introduction to Logic. Preinceton (N.J.) et al., Vam Nostrand. Trad. cast., Introducción a la lógica simbólica, por Gabriel Aguirre Carrasco. México, Compañía Editorial Continental, 1966. Tennant, Neil. 1978. Natural Logic. Edimburgo, Edinburgh University Press.