1

y´

DEDUCCION DE LA DINAMICA

RELATIVISTA CON ECUACIONES FUNCIONALES

por RODOLFO CARABIO

■ DEDUCCION DE LA DINAMICA RELATIVISTA

Para hallar las formulas que establecen la dinámica relativista es necesario plantear esquemas que conducen a ecuaciones funcionales, las cuales son imprescindibles en la comprensión de los resultados. La cinemática relativista permite plantear la deducción de la dinámica relativista a partir de dos esquemas: el esquema de conservación del impulso y el esquema de conservación del impulso-energía, de la comparación de los resultados y contradicciones obtenidos mediante estos dos esquemas surge la dinámica relativista. ■ Esquema de conservación del impulso Sean dos cuerpos de masas iguales m, en reposo de acuerdo al sistema de referencia (x’y’).El cual se mueve con respecto al sistema de referencia en reposo con la velocidad v C (velocidad del centro de inercia)

Si el impulso es una función de la velocidad, y admitiendo la proporcionalidad lineal del mismo con respecto a la cantidad de cuerpos de igual masa .El impulso total del sistema

vc

m m

X ´ y

X

m

m

vc vc

2

y´

puede escribirse como el producto del número de cuerpos (dos en este caso) por una función dependiente de la velocidad (la del centro de inercia de acuerdo al esquema)

)(.2 CvFmp = Siendo F(v C ) una función a determinar.

Sea que entre los cuerpos actúe una fuerza que les comunique velocidades opuestas

'Cv

De acuerdo al sistema de referencia en reposo (xy), se verán dos cuerpos con velocidades 1v y 2v .De acuerdo a la cinemática relativista:

²/²'1''

1 cvvv

vC

CC

−−

=

01 =v

²/²12

2 cvv

vC

C

+=

El impulso total antes y después de que haya actuado la fuerza ha de ser el mismo, porque un sistema aislado de cuerpos no puede modificar su impulso total por si solo. El impulso que al principio se hallaba por igual en ambos cuerpos con velocidad Cv ,

luego quedo en uno solo con velocidad 2v . Con lo cual debiera cumplirse según este razonamiento:

+=

²²

1

2.)(.2

cvv

FmvFmC

CC

En forma genérica:

X ´

X

m

m

m0 m0

v´c v´c

vc

v2

3

y´

+=

²²1

2.21)(

cvvFvF

Esta es una ecuación funcional que puede resolverse haciendo uso de los esquemas anteriores

Dos cuerpos de masas iguales m, cada uno de ellos en reposo según sus respectivos sistemas de referencia (xy) e (x’y’). Si entre estos cuerpos actúa una fuerza que les comunica velocidades infinitesimales 'dv y 1dv .De acuerdo al principio de relatividad: 1' dvdv =

Según el sistema de referencia en reposo (xy), el cuerpo con velocidad inicial Cv , varía

la misma en la magnitud 2dv De acuerdo al teorema de suma de velocidad:

m

X ´ vc

y

m

m

vc

X

y´

dv´

X ´ vc

y dv1 vc – dv2

X

4

²/'.1

'2 cdvv

dvvvdv

C

CC −

−−=

²/'.1

'²/'².2 cdvv

dvvcdvvvdv

C

CCC

−+−−

=

²/'.1²/'².'

2 cdvvcdvvdv

dvC

C

−−

=

Como 0'→dv , puede escribirse: '²)./²1(2 dvcvdv C−= Teniendo en cuenta que 1' dvdv =

12 ²)./²1( dvcvdv C−= Esta relación sirve como medida de la cantidad de movimiento o de impulso. Pudiéndose definir el mismo en forma diferencial.

1.dvmdp = (Cuando v 0)

O bien:

²/²1

. 2

cvdvm

dp−

=

Esta segunda expresión seria valida para todo valor de la velocidad, de 0 a c

Para hallar la formula del impulso según este esquema, se integra la expresión obtenida

∫ −=

v

cvdvmp

0 ²/²1.

Una simple integración por sustitución conduce al resultado:

cvcvmcp

/1/1ln

2 −+

=

Para comprobar la validez de la expresión obtenida, hay que demostrar que es solución de la ecuación funcional planteada al comienzo:

+=

²/²12.

21)(

cvvFvF

De acuerdo al esquema:

cvcvcvF

vFmp

/1/1ln.

2)(

)(.

−+

=

=

5

²/²1/21

²/²1/21

ln.2

.21

/1/1ln.

2cvcvcvcv

ccvcvc

+−

++

=−+

²/²1/2²/²1

²/²1/2²/²1

ln.21

/1/1ln

cvcvcv

cvcvcv

cvcv

+−+

+++

=−+

²/²/21²/²/21ln.

21

/1/1ln

cvcvcvcv

cvcv

+−++

=−+

²)²/²1()²/1(ln.

21

/1/1ln

cvcv

cvcv

−+

=−+

cvcv

cvcv

/1/1ln.2.

21

/1/1ln

−+

=−+

De esta manera se comprueba la solución de una ecuación funcional, y la coherencia del

esquema planteado

El esquema de conservación del impulso y sus resultados, deben ser comparados con un esquema análogo, basado en la conservación del impulso-energía. Ambos esquemas determinan a su modo la Dinámica Relativista. Pero este ultimo de modo mas completo.

■ Esquema de conservación del impulso-energía

Se representa el choque de dos cuerpos de masas iguales m. Con velocidades opuestas 'Cv ,

según el sistema de referencia (x’y’).Los cuales luego del choque se desvían en ángulo recto

y´

y

X ´

X

m

m

m

v´c

vc

v vc

v1

v1

vy

vy

6

en forma opuesta y a la misma velocidad Cv ’. Conservando de esta manera el impulso y la

energía. Desde el punto de vista del sistema (xy).Es el choque de un cuerpo de masa (m) y velocidad

²)/²1/(2 cvvv CC += con otro cuerpo de masa igual (m) en reposo .Luego del cual ambos

toman velocidades iguales 1v .La cual puede hallarse por composición de acuerdo a la cinemática relativista.

²²1 YC vvv +=

²/²1'. cvvv CCY −=

²)/²1²(²1 cvvvv CCC −+=

²²

2.1 cv

vv CC −=

Según el sistema de referencia (x’y’).La energía que al principio se hallaba en el cuerpo con velocidad v, luego del choque se repartió por igual en los dos cuerpos con velocidad

1v .Entonces si la energía cinética es una función determinada de la velocidad debe cumplirse lo siguiente:

)(. vFmE = )(.2 1vFmE =

−=

+ ²

²2..2

²/²12

cv

vFcv

vF C

CC

C

En forma genérica

−=

+ ²²2..2

²/²12

cvvF

cvvF

Para hallar la solución a la ecuación funcional planteada, vamos a utilizar un esquema similar al anterior, pero cambiando las velocidades 'Cv por los valores infinitesimales dv.

Antes del choque los dos cuerpos tienen con respecto al centro de inercia las velocidades

→

dv y ←

dv , medidas según el sistema de referencia (xy)

7

CC

C v

cdvvdvv

dv −+

+=

→

²'.

1

'

■ (1) '.

²'.

1

²)/²1(dv

cdvvcv

dvC

C

+

−=

→

CC

C v

cdvvdvv

dv −−

−=

←

²'.

1

'

■ '.

²'.

1

²/²1dv

cdvvcv

dvC

C

−

−=

←

Luego del choque, ambos cuerpos toman velocidades iguales v, de acuerdo al sistema de referencia en reposo (xy). Si la energía cinética es una función de la velocidad E = m.F(v) .Los dos cuerpos al pasar de una velocidad Cv ,a una velocidad v ,incrementan su energía en la magnitud:

)('.2 vFmdE =

Cvvdv −= De acuerdo al esquema:

CYC vdvvdv −+= ²²

y´

y X ´

X

vc

dv´

dv´ dv´

dv´

vc - dv vc + dv

v

v

vc

dvy

dvy

8

²/²1'. cvdvdv CY −=

CC

C vdvcv

vdv −

−+= ²'.

²²

1²

CC

CC v

vdv

cv

vdv −

−+=

²'².

²²

11.

Haciendo el desarrollo en serie podemos escribir, despreciando términos de orden superior:

CC

C vcdvcv

vdv −

−

+=²'².

2²)/²1(

1.

'².2

²)/²1(² dv

vcv

vdC

C−=

La diferencia en el modulo )( Cvv − es un diferencial de segundo orden, lo cual no quita

validez a la expresión vdvFmEd ²).('.2² =

Comparando d²v con →

dv ò ←

dv , podemos escribir salvo términos de orden superior:

²)/²1(2²²cvv

dvvdCC −

=

→

Según el esquema de choque, el incremento de la energía que experimentan los dos cuerpos al pasar ambos de Cv a )²( vdvC + , es igual a la suma de energías que

experimentan al pasar uno de ellos de:

Cv a )(→

+ dvvC ,y el otro de Cv a )(←

− dvvC

vdvFmEd ²).('.2² =

²)/²1.(2

²).('.2²cvv

dvvFmEdCC −

=

→

²)/²1.(

²).('.²cvv

dvvFmEd−

=

→

(Notación genérica)

Para hallar la suma de energías al pasar uno de los cuerpos de las velocidades:

Cv a )(→

+ dvvC

y el otro cuerpo de: Cv a )(←

− dvvC

De acuerdo al grafico que sigue se puede escribir:

9

E

d2 F(v) = F ´´(V)dv dv

←→←→

′′+′−′= dvdvvFmdvvFmdvvFmEd .).(.).(.).(.²

←→

→

←→

′′+

−′= dvdvvFmdv

dvdvvFmEd .).(.1).(.²

²/''.1²/'.1cdvvcdvv

dv

dv

C

C

−+

=→

←

Podemos escribir, salvo términos de orden superior:

²'.2

1cdvv

dv

dv C+=→

←

Sustituyendo dv’ según la igualdad (1) ²/²1

'cv

dvdv−

=

→

²)/²1²(.2

1cvc

dvv

dv

dv

C

C

−+=

→

→

←

La expresión para d²E puede escribirse en forma genérica:

)('.²)/²1(

².²

2.²).(.² vFcv

dvcvmdvvFmEd

C−−′′=

Igualando las dos ecuaciones obtenidas para d²E

E = m 0 F (v)

v dv dv

10

²)/²1(²)('.²).('.

²)/²1²(2.²).(.

cvvdvvFmdvvF

cvcvmdvvFm

−=

−−′′

²)/²1²(.2

²)/²1()(')('

²)/²1²(.2

²)/²1()(')(

)('.²)/²1²(

2²)/²1(

1).(')(

cvcdvv

cvvdv

vFvdF

cvcdvv

cvvdv

vFvF

vFcvc

vcvv

vFvF

−+

−=

−+

−=

′′−

+−

=′′

Integrando ambos miembros de esta ecuación

∫∫∫ −+

−=

²)/²1²(.2

²)/²1()(')('

cvcdvv

cvvdv

vFvdF

Bcv

cvcvvF +

−−=

²²1ln

²/²/1ln)('ln

Siendo B la constante de integración

²)/²1.(²/²1.)('

cvcvcvBvF

−−=

Teniendo en cuenta que E= m.F(v)

dvvFmdE ).('.=

dvcvcvBmdE

²/²)³/²1.(..

−=

)/(.

²/²)³/²1(.

²/²)³/²1(..

.

dvdxdv

cvcBmF

dxdv

cvcvBmF

dxFdE

−=

−=

=

dxdv

cvcmBF .

²/²)³/²1(.

−=

Podemos determinar el valor de B .Teniendo en cuenta que para cuando v<<c, la formula obtenida se acerca al valor clásico F= m.a

B=c

dtdv

cvmF .

²/²)³/²1( −=

Para hallar el impulso, tenemos en cuenta que dp= F.dt

11

²/²1.

²/²)³/²1(.

²/²)³/²1(.

cvvmp

cvdvmp

cvdvmdp

−=

−=

−=

∫

Se deduce de esta manera la formula para el impulso, la cual se da como un principio en la literatura Para hallar la formula para la energía cinética se integra m.F’(v)

v

cvcmE

cvdvvmE

cvvvF

0²/²1².

²/²)³/²1(..

²/²)³/²1()('

−=

−=

−=

∫

−

−= 1

²/²11².cv

cmEC

Para demostrar la validez de la deducción. Vamos a comprobar si la función obtenida F(v) es solución de la ecuación funcional planteada según el esquema de conservación del impulso-energía. De acuerdo a que la energía es una función de la velocidad

)(. vFmE =

−

−−

=

−

−−

−

−=

1

²²2

²²1

1².21

²²)²./²1(²41

1²

1²/²1

1².)(

cv

cv

c

ccvv

c

cvcvF

12

y´

m0

²/²121

²²4

²²1

²/²1

2

²²21

21

²²)²./²1(²4²)²/²1²(

1

2

4

4

cv

cv

cv

cvcv

cv

ccvvcvc

−=+

−

+

+

−

+−

=−

+−+

²/²12

²/²1²)/²1(²/²1

²/²121

²/²1²/²1

cvcvcvcvcvcv

cv

−=

−−++

−=+

−+

²/²1

2²/²1

2cvcv −

=−

De esta manera el esquema de conservación del impulso–energia demuestra la expresión para la energía cinética en relatividad Para determinar el valor de las proyecciones del impulso según este esquema, se parte de la definición básica del impulso

²/²1.

1

11 cv

vmp

Y

YY

−=

1' YY vv = ²/²1'2 cvvv CYY −=

De acuerdo al principio de relatividad si ambos cuerpos chocan de modo perfectamente elástico, cambian sus velocidades por las opuestas.

YY

YY

vvvv

−→

−→

'11

Lo cual significa que:

12 YY pp =

y X ´

X

vc

m0

v´y

vy1

13

²/²1.

²/²1.

12

1

12

cvvv

cvvmp

CYY

Y

YY

−=

−=

41

22

1

22

²².²²

²²1

.)2(

²/²1.²/²1.

cvv

cv

cv

vmp

cvcvvmp

YCCY

YY

YC

YY

+−−

=

−−=

Teniendo en cuenta que.

²²².

²²)3(

²²²

1²

²²

11

1

2

cvv

vvv

vcv

vv

vvv

YCYC

YC

C

YC

−+=

−+=

+=

Comparando la expresión (2)con la (3),podemos escribir:

²/²1. 2

2 cvvmp Y

Y−

=

En forma general:

²/²1.

²/1.

cvvmp

cvvmp

XX

YY

−=

−=

Las proyecciones py;px, del impulso p son equivalentes a la proyección del vector p sobre los ejes(x y) El esquema de conservación del impulso y el esquema de conservación del impulso-energía aun basándose en esquemas similares, se contradicen en sus resultados. No obstante se ha mostrado la coherencia interna de ambos métodos Vamos a comparar las formulas para el impulso de ambos esquemas en el marco del esquema de conservación del impulso, pero usando los resultados del sistema de conservación del impulso-energía

14

y´

A)

B)

cvcvcmp

/1/1ln.

2.

−+

=

²/²1.cv

vmp−

=

De acuerdo al esquema de conservación del impulso-energía, el impulso del sistema de cuerpos (A) es con respecto al sistema de referencia (xy) en reposo:

²/²1.2cv

vmp

C

CA

−=

El impulso Bp del sistema de cuerpos (B) es con respecto al sistema de referencia en reposo (xy):

²/²1 1

1

cvmv

pB−

= (7)

De acuerdo al esquema: ²/²1

21 cv

vv

C

C

+=

Insertando el valor de 1v en la expresión del valor de Bp (7)y operando se obtiene:

y´

X ´

X ´

vc

vc

m m

m

m v´c

v´c

15

²)/²1(.2cv

vmp

C

CB −

=

De donde se comprueba que AB pp f según el esquema de conservación del impulso-energía De acuerdo al esquema de conservación del impulso por definición los sistemas de cuerpos(A) y (B) tienen el mismo valor con respecto al sistema de referencia en reposo (xy) Un análisis cuidadoso nos indica que estos sistemas no son iguales. En el sistema de referencia (B) se requiere una determinada energía potencial para comunicar a los dos cuerpos velocidades opuestas 'Cv ,la cual no existe en el sistema de

cuerpos (A) Para solucionar la contradicción existente entre los dos esquemas ,se puede suponer que la energía potencia disponible para comunicar a los dos cuerpos velocidades 'Cv ,tiene

una masa asociada a la misma .La cual a su vez tiene un impulso que se suma al impulso que tienen los dos cuerpos de masa (m).De manera que el impulso total del sistema de dos cuerpos de masa m y energía potencial E’ ,es igual al impulso que tiene un solo cuerpo de masa m y velocidad v= 2 Cv /(1+ ²/² cvC ) (4).Ya que una vez que la fuerza

haya actuado, la energía potencial y su masa asociada desaparecen. Llamando m = B.E 0 ’, a la masa inercial asociada a la energía E 0 ’, y B a una constante a

determinar. Según el esquema del impulso-energía debe cumplirse:

²/²1

.2²/²1

'.. 0

cvvm

cvvEB

pC

C

C

C

−+

−= (5)

²/²1.cv

vmp−

= (6)

Introduciendo en (6) la expresión (4) para la velocidad, e igualando, con (5), tenemos luego de hacer las operaciones:

²/²1

.2²/²1.2.. 0

cvvm

cvvmvEB

C

C

C

CC

−=

−

+′

−

−=′ 1

²/²112. 0 cv

mEBC

Teniendo en cuenta que la energía cinética de los cuerpos es:

−

−= 1

²/²11²2

cvmcEc

C

²/. 0 cEEB C=′

16

De acuerdo al esquema de conservación del impulso, la energía potencial E’ comunica a los dos cuerpos velocidades 'Cv con respecto al sistema de referencia (x’y’), entonces la

energía cinética de estos dos cuerpos con respecto al sistema de referencia (xy) al ser su velocidad con respecto a ese sistema 'CC vv = , debe ser igual a E’

E’c = Ec

Esto nos da la posibilidad de hallar B B = 1/c² De donde se establece finalmente la relación masa-energía E 0 = m.c²

La relación masa-energía surge como una necesidad a fin de poner en acuérdalos resultados que se obtienen a partir de los esquemas de conservación del impulso y del esquema de conservación del impulso-energía

■ Energía total La relación masa-energía hace tomar significado al concepto de energía total de una masa (m) con velocidad v, si definimos la energía total como la suma energía cinética con la energía de masa.

Et = E 0 +Ec

²/²1².cv

cmEt−

=

Relacionando el impulso y la energía total se obtiene:

²/²1 cvmvp

−=

²²²²².² vmcvpp =−

²²²²².² vmcvpp +=

²²²²²²² cvmvpcp += ²²)²²(²² vcmpcp +=

²)²²/(²²/² cmppcv +=

Introduciendo el valor de v²/c² en la raíz de la expresión de la energía total Et

4²²² cmcpEt +=

17

De esta expresión se desprende que puede existir energía sin masa asociada a la misma En efecto, si en la formula consideramos que la masa m =0

Et = pc

■ Momento de impulso en Dinámica Relativista Al estudiar el movimiento de un cuerpo en un campo central de fuerzas en física clásica se encuentra que el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad tangencial y la distancia al centro es una magnitud constante: m.v.r cte .Tal magnitud es una característica del sistema considerado y se denomina momento de impulso de la partícula .Vamos a ver si en relatividad tal sistema tiene características análogas y en que forma.

dtrvpdp

drvdr

TrT

T

..

..

−=

=ϕ

v t P t

P r

v r

F c

dϕ

dp t

P r dp r

18

rdr

pdp

rdrpdp

vdr

rv

cvvmdp

vdr

rvpdp

T

T

TT

r

TrT

r

TrT

−=

−=

−

−=

−=

.

..²/²1

.

..

La integración de ambos miembros y estableciendo límites:

2

1

1

2

21

21 lnln

rr

pp

rp

T

T

rr

pTpTT

=

−=

Se demuestra que el producto cterpT =. , en Dinámica Relativista

Con lo cual podemos redefinir el concepto de momento de impulso en dicha dinámica tal como sigue:

²/²1..

.

cvrvmL

rpL

T

T

−=

=

A partir del esquema puede obtenerse la expresión para la fuerza centrifuga Fc

dtdp

dtdp

dpdp

Tr

Tr

ϕϕ

=

= .

Teniendo en cuenta que:

rvp

dtdp

rdtdtvp

dtdp

dtvdr

TT

r

TT

r

T

.

..

..

=

=

=ϕ

Se requiere una fuerza centrípeta para anular esta componente dpr en un intervalo de tiempo dt .Siendo :

²/²1/. cvvmp TT −=

19

Queda finalmente:

rcvvm

Fc T

.²/²1².

−=

■ FUERZAS EN RELATIVIDAD

En mecánica clásica se estudian las fuerzas que ejercen objetos entre sí, la magnitud de dichas fuerzas depende de la masa de los cuerpos que interaccionan, de la distancia entre ellos, de sus velocidades relativas, etc. En cuanto a la dependencia de las fuerzas con las velocidades, el principio de relatividad establece que las formulas que describen han de ser las mismas independientemente del sistema de referencia elegido .Esto podría significar que dichas formulas tienen una forma determinada ,única y universal ,la cual podría hallarse por medio del formalismo matemático de la dinámica relativista y un esquema apropiado a tal fin, de manera similar a como se hizo para hallar las expresiones correspondientes para el impulso y la energía. Para concretar, se estudiara a continuación la dependencia de las fuerzas transversales con la velocidad en relatividad Sean dos cuerpos de masa m), con velocidades 1v y 2v con respecto al sistema de referencia en reposo (xy) .Con respecto al sistema de referencia en movimiento (x’y’) los cuerpos tienen las velocidades ( 1v′ ; 2v′ ) Si entre los cuerpos actúa una fuerza cuya dirección es normal a la dirección del movimiento, en el sistema (x’y’) se medirá una fuerza yF ' , siendo: yF ' = F ( 1v′ ; 2v′ ) En el sistema de referencia (xy) se medirá que la fuerza tiene el valor: );( 21 vvFFy = El primer paso es hallar la relación entre ambas fuerzas En el grafico que sigue se muestra la misma situación fisica vista por los sistemas de referencia en movimiento relativo

20

),();(

21

21

vvFFyvvFyF

=

′′=′

De acuerdo a lo establecido, el valor de F’y y Fy se pueden relacionar a partir de la relación entre 'a cona y 1'v con 1v

²/²'1.

'1 cvam

yF Y

−

′=

tva

tva Y

YY

Y ∆=∴

∆=

'''

(7)

²'

1

'

²'

1

'2

22

1

11

cvvvv

v

cvvvv

vC

C

C

C

+

+=∴

+

+=

Para hallar la relación entre 'a y a ,primero hay que calcular la relación entre Yv ; Yv'

²1

²/²1.

1

cvvcvv

vC

CYY ′

+

−′=

Y los intervalos de tiempo tt ′∆∆ ;

y ´

y

X ´

X

a´ y F´y

v´ 1

m0

F´y v´ 2

vc

a y

Fy

Fy v1

v2

21

²/²1²/..

.²/²1

²/)(²/²1²/

²/²1²/

1

112

1212

1122

cvctvvt

t

tvxxcv

cxxvttt

cvcxvt

cvcxvt

t

C

C

C

C

C

C

C

C

−

′∆′+′∆=∆

′∆′=′−′

−

′−′+′−′=∆

−

+′−

−

′+′=∆

'.²

1²

1

²/²1²./²1.

.²/²1²/.1

11

1

tcvv

cvv

cvcvva

tcvcvv

t

CC

CCYY

C

C

∆

′

+

′

+

−−′=

′∆−

′+=∆

(8) YC

CY a

cvvcv

a ′

′

+

−= .

²1

²/²12

1

²/²1.

1 cvam

Fy Y

−= (9)

Introduciendo en la expresión (9) ,la expresión (7),y luego la relación (8) entre las aceleraciones :

²1

²/11

.2

1

1

ccvvvv

amFy

C

C

Y

′+

′+−

=

²/²1.²/²1.².

1

²)/.1.(²)./²1.(²².

²²

²²

1

²)/.1(.

²²

².2

²²²².

².2

1

²)/.1(.

²)²'(

².

1

²)/.1(.

1

21

1

411

1

114

11

1

12

1

1

cvcvcvv

cvvacvm

cvv

cv

cv

cvvamFy

cv

cvv

cv

cvv

cvv

cvvam

cvv

cvv

cvvamFy

CC

CYC

CC

CY

CCCC

CY

CC

CY

′−−

′

+

′+′−=

′+

′−−

′+=

′−

′−−

′+

′+

′+=

+−

′

+

′+=

′

+′−

−′=

².

1.²/²1

²/²1.

11 c

vvcv

cvamFy

C

CY

22

yF

cvvcv

FyC

C '.

².

1

²/²1

1

+

−=

Si la fuerza es función de las velocidades 1v y 2v ,podemos escribir:

)';(.

².

1

²/²1);( 21

121 vvF

cvvcv

vvFC

C ′

′

+

−=

Dada la relación entre las velocidades ( v 1 con v’ 1 , y v 2 con v’ 2 ), podemos plantear la ecuación ;

);(.

².

1

²/²1

².

1;

².

121

11

2

1

1 vvF

cvvcv

cvvvv

cvvvv

FC

C

C

C

C

C ′′′

+

−=

′+

′+

′+

′+

Esta es una ecuación funcional de dos variables F(v1 ; v 2 ) .Resolverla permite hallar la dependencia de la fuerza transversal con la velocidad en relatividad Para resolver la ecuación planteada, se considera a uno de los cuerpos en reposo con respecto al sistema de referencia (x’y’).Con lo cual:

Cvvv

==′

2

2 0

Y la ecuación se escribe como sigue:

².1

²/²1

12

2

cvvcv

Fy′

+

−=

23

y ´

F´y

Siendo 1v′

².

².1

1²

.1

².1

2

21

2121

21

211

cv

cvvvv

cvvcvvvvv

−

−+=

′+

−

−=′

²/.1²/²1

².1

².

1

²/²²/.1²

.1

21

221

21

22121

cvvcv

cvv

cvv

cvcvvcvv

−−

=′

+

−

−−=

′+

Reemplazando ².1 12

cvv ′

+ por su equivalente, se obtiene :

)(²)./.1.(²/²1²/²1

1212

2 vFcvvcvcv

Fy ′−−−

=

−

−

−

−=

′−

−=

²/.1.

²/²1²/.1);(

)(.²/²1²)/.1(

);(

21

21

2

2121

12

2121

cvvvvF

cvcvvvvF

vFcvcvv

vvF

Siendo F una función arbitraria del argumento. Para el caso mas simple en el cual

ctevF =′)( 1

X ´

X

Fy

v´ 1

v1

v2

v2

24

²/²1²/.1)(

2

212;1 cv

cvvvvF−

−=

Vamos a comprobar que la formula obtenida es solución de la ecuación funcional planteada. Dado que la ecuación funcional debe ser valida para todo sistema de referencia la escribimos para el sistema de referencia(xy),con lo cual escribimos todo sin comillas.

);(.

².

1

²/²1

².

1;

².

121

12

2

1

1 vvF

cvvcv

cvvvv

cvvvv

FC

C

C

C

C

C

+

−=

+

+

+

+

²/²1²)/.1(

.

².

1

²/²1

²1.

²/.11

²1.

²/.1²/.11

2

21

12

2

2

2

2

1

1

cvcvv

cvvcv

ccvvvv

ccvvvv

cvvvv

C

C

C

C

C

C

C

C

−

−

+

−=

+

+−

+

+

+

+−

²/²1²/.1.

².

1

²/²1

²)²(

².

1.².

1

²/)).((²)/.1²)(/.1(

2

21

12

221

2121

cvcvv

cvvcv

cvv

cvv

cvv

cvvvvcvvcvv

C

C

CCC

CCCC

−

−

+

−=

+−

+

+

++−++

²/²1²)/1(.

²²

1/²²²/²²/²1

/².²/²/²1

²/²²/2²/²/²².²/21

²/²/²/²/²/².²/²/1

2

21

422

42121

224

22

21124

2112

cvcvv

cv

cvvcvcv

cvvvcvvcv

cvcvvcvcvvcvv

cvvcvvcvvcvcvvvcvvcvv

C

CC

CC

CCCC

CCCCCC

−

−−=

+−−

+−−=

=−−−++

−−−−+++

²/²1²)/1(.²/²1

²/²1.²/²1²)/1²)(/²1(

2

21

2

21

cvcvvcv

cvcvcvvcv

CC

C

−

−−=

−−

−−

²/²1²/1

²/²1²/1

2

21

2

21

cvcvv

cvcvv

−

−=

−

−

De esta manera se comprueba la validez de la formula obtenida para la fuerza transversal según la velocidad en relatividad Para el cálculo efectivo de esta fuerza se escribe:

25

01

212

02

211

.²/²1²/1

.²/²1²/1

FcvcvvFy

FcvcvvFy

−

−=

−

−=

Siendo 0F la fuerza que ejercen entre si los cuerpos al estar en reposo con respecto al

sistema de referencia (xy)

■ FUERZAS LONGITUDINALES Para estudiar el caso en el cual la dirección del vector fuerza coincide con la dirección del vector velocidad, pueden aplicarse los mismos principios y métodos utilizados para hallar las fuerzas transversales

Escribimos para comenzar las expresiones de Fx y xF ′ para establecer la relacion entre ellas:

''.

²)/²'1(' 2/3

1 dtdv

cvmxF

−=

dtdv

cvmFx .

²)/²1( 2/31−

=

);()';'('

21

21

vvFFxvvFxF

==

y ´

y

X ´

X

vc

F´x F´x

Fx

Fx

v´ 1

v1

v´ 2

v2

26

²1 1

11

cvvvv

vC

C

′+

′+=

Para establecer la relación entre dtdv

y tdvd′′,hay que hallar las relaciones dv con dv’ y dt

con dt’

11

111 .

²)²/1(²/)(²/1vd

cvvcvvcvv

dvC

CC ′′+

′+−′+=

11

1 .²)²/1(²/²1

vdcvvcv

dvC

C ′′+

−=

²/²1²/)()'(

²/²1²/

²/²1²/ 12121122

cvcxxvtt

cvcxvt

cvcxvt

dtC

C

C

C

C

C

−

′−′+−′=

−

′+′−

−

′+′=

'.²/²1²/1

²/²1²/.'

1

1

dtcvcvv

dt

cvctdvvtd

dt

C

C

C

C

−

+=

−

′+′=

Sustituyendo las variables dtdv; por sus equivalentes en la formula para Fx

dtcvvcv

vd

cvvcv

cvmFx

C

C

C

C

.²

1

²/²1.

²'

1

²)/²1(.

²)/²1( 12

12/3

1

′

+

−′

+

−−

= (10)

Teniendo en cuenta que:

²1 1

11

cvvvv

vC

C

′+

′+=

Sustituyendo 1v por su equivalente en(10),y agrupando terminos se obtiene

tdvd

cvv

ccvvvv

cvmFx

C

C

C

C

′′

′

+

′+

′+−

−= .

²1

²²)²./1()²(

1

²)/²1(3

1

1

1

2/3

tdvd

cvmFx

′′

′−= .

²/²1 1

xFFx '= );();( 2121 vvFvvF ′′=

Por lo tanto la única solución a la ecuación funcional es que F(v1 ; v2)=cte

27

dv´y

Los sucesos simultáneos en el sistema de referencia (X’Y’) no lo son en el sistema de referencia (XY),no queda claro la dependencia de la fuerza con la velocidad, sin embargo el cambio de los valores (v’1;v’2), por los opuestos (-v’1 ; -v’2 ), dejan invariable la fuerza longitudinal en ambos sistemas de referencia ,pero las velocidades en (XY) cambian, por tanto esto establece de forma definitiva la invariancia de la fuerza longitudinal con la velocidad

Se realiza a continuación el calculo para la fuerza transversal en el caso mas general de acuerdo al esquema:

dtdpFy Y=

²/²)²(1.

²/²1.

1 cvvvm

cvvmp

YX

YYY

+−=

−=

−+

−= 2/3

11 ²)/²1²()/².(

²/²1/.

cvcdtdvv

cvdtdvm

dtdp YYYY (11)

tdcvcvv

dtC

XC ′−

′+= .

²/²1²/1

²1

²/²1.

cvvcvv

vXC

CYY ′

+

−′= (12)

²1

cvvvv

vXC

XCX ′

+

′+= (13)

y ´

y

X ´

X

vc

F´y

Fy

v´ 1

v1

v´ 2

v2

v´x

vx

dvy

v´y

vy

II ´

II

28

Componiendo 1v de acuerdo a (12) y (13)

221

²1

²)/²1²('

²1

)²(²

′

+

−+

′

+

′+=

cvv

cvv

cvvvv

vXC

CY

XC

XC

Luego de realizar las operaciones correspondientes, y operando para obtener el termino

−

²²1 1

cv

resulta:

′

+

−′−=−

²1

²)/²1²)(/²1(²²

1 11

cvv

cvcvcv

XC

C (14)

Introduciendo adecuadamente el valor de (14) en (11)

tdcv

cvvcvvvdcv

cvcvcvv

c

cvvcvvcvcv

cvvmFy

C

XCXC

YC

CXC

XCCY

C

XC

′−

′+′+

′−

−′−

′

+

′+−′+

−′−

+=

²/²1.

²)/1²)(/1(.²/²1

.²)/²1(²)/²1(

²1²

²)/1²)(/²1²(²/²1.²/²1

²/'1

2/32/31

2

3

1

''.

²)/²1²(²

²/²11

²/1²/²1

.11 dt

dvcvc

vcvcvv

cvmFy YY

XC

C

′−′

+′−′+

−=

De la relación de Fy con respecto a: YX vvv ;;1 , que debe ser idéntica a la de yF ' con

respecto a YX vvv ′′ ;';1 ,la ultima igualdad nos da la relación entre Fy y yF '

yF

cvvcv

FyXC

C '.

²1

²/²1′

+

−=

La variación de la componente Yv representada en el esquema implica una variación en

la componente longitudinal del impulso Xp ,y por consiguiente la existencia de una

fuerza en tal dirección Fx

²/²)²(1.

cvvvmp

YX

XX

+−=

29

YYX

X dvcvcvvmdp .

²)/²1²(.

2/31−

=

Para simplificar el esquema, vamos a considerar que 0=Xdv ,de la relación entre Fy y F’y :

yF

cvvcv

FyXC

C '.

²1

²/²1′

+

−=

Procediendo como en el caso anterior que era con vectores de velocidades paralelos

2

2 0vv

v

C ==′

yF

cvvcv

FyX

'.

²1

²/²1

2

2

′+

−=

²/1 2

2

cvvvvvX

XX −

−=′

²)/1(²/²1

²1

²)/1²(²1

²1

2

22

2

222

cvvcv

cvv

cvvcvvv

cvv

X

X

X

XX

−−

=′

+

−−

+=′

+

y ´

y

X ´

X

vc

F´y

Fy

v´ 1

v1

v´ X

vX

ϕ

v2

30

yFcvcvvFy X '.²/²1²/1

2

2

−

−=

Considerando que F’y es una constante según el sistema de referencia (x’y’): Podemos escribir en forma definitiva para este caso mas general de fuerza transversal:

02

21 .²/²1

²/cos.1Fy

cvcvv

Fy−

−=

ϕ

■ CONDICION DE SIMETRIA

Al estudiar las fuerzas transversales, se estableció al comienzo de esta sección la siguiente ecuación funcional

);(.

²1

²/²1

²1

;

²1

2112

2

1

1 vvF

cvvcv

cvvvv

cvvvv

FC

C

C

C

C

C

+

−=

+

+

+

+

Hallándose para la misma la solución general:

−

−

−

−=

²/1.

²/²1²/1

);(21

21

2

2121 cvv

vvF

cvcvv

vvF)

Siendo F

), función arbitraria del argumento .Vamos a demostrar que la función utilizada

hasta ahora ²/²1²/1

);(2

2121 cv

cvvvvF

−

−= ,cumple además con la condición independiente que

se desprende del esquema que sigue

31

X ´

Se presenta la fuerza transversal para dos pares de partículas. Dado la simetría de la situación física en el sistema (xy), y la isotropía del espacio debe cumplirse:

YY FF 21 = De lo cual se desprende que: YY FF 21 '' =

02

211 .

²/²1²/1' YY FcvcvvF

′−

′′−=

01

2

'0

YY FFv

==′

Para el segundo par:

²)/²1/(2²)/²1/(2 112 cvvcvvv CC ′+′=+=′

0

1

21

1112 .

²)/²1²(41

²)/²1/(2.1' YY F

cvcv

cvvvF

′+′

−

′+′′−=

²)²/²1(²/²4²)/²1(

.²)/²1(²)/²1('

1

11

0

1

12

cvcvcv

FcvcvF Y

Y

′+′−′+′+

′−=

Realizando las operaciones correspondientes resulta

y´

y

X

vc

vc

vc

v´ 1 = vc

v´ 1 = vc

v´ 2

F´ 2y F´ 1y

F 2y

F 1y

32

YYYY FFFF 1202 '' =′⇒=

De esta manera se cumple la condición de simetría

■ FUERZAS MAGNETICAS EN RELATIVIDAD Veamos que resultados se obtienen al aplicar la formula para la fuerza transversal a la interacción entre dos conductores eléctricos paralelos

Al no existir corriente eléctrica en ninguno de los conductores las fuerzas de repulsión entre los pares de cargas de igual signo a ambos lados se equilibran con las fuerzas de atracción entre los pares de cargas opuestas en ambos lados. Al haber corriente eléctrica en ambos conductores, esto significa un movimiento ordenado de cargas eléctricas negativas (electrones), en tanto que las cargas positivas (núcleos), permanecen en reposo.

Si se consideran las fuerzas sobre el conductor (1), la resultante RF

02

212

2

211

2

210 ²/²1

²/1.

²/²1²/1

.²/²1

1F

cvcvv

Fcvcvv

Fcv

vvFF AAR

−

−+

−

−−

−

−−=

=0F fuerza de repulsión en reposo

21; AA FF fuerzas de atracción en reposo

En 0; 21 =vFA (núcleo en reposo)

En 2AF ; 22 vv = (velocidad del electrón)

01 =v (núcleo en reposo)

La resultante:

F 0 F

v1

V2

1

2 FA2 FA1

+

+

-

-

33

02

21 .²/²1

²/ FcvcvvFM

−−=

Es la fuerza magnética, para cargas en reposo, la formula de Coulomb :

².41 21

00 r

qqFεπ

=

Y la fuerza magnética puede escribirse como sigue:

².

²/²1².

41 21

2

21

0 rqq

cvcvv

FM−

=πε

(15)

Si tenemos que la fuerza depende del producto de las velocidades v1 y v2 de los electrones en los conductores, eso quiere decir que dependen del producto de las corrientes 21eII que circulan por estos.

El análogo clásico de la formula (15) se obtiene de la fuerza de Lorentz:

HBBvqFM

...

0

11

µ==

².4. 22

rvqH

π=

².4.. 11220

rvqvq

FM πµ

= (16)

De la comparación de las expresiones (15) y (16), salvo el radical coinciden si:

².1

00 cε

µ =

■ SISTEMAS DE REFERENCIA ACELERADOS EN RELATIVIDAD

Hasta aquí se aplicaron los principios relativistas (Todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes y la velocidad de la luz es la misma medida en todos ellos). A sistemas de referencia con movimiento relativo uniforme. El resultado obtenido fue un nuevo formalismo matemático para la dinámica, la relación masa-energía, la relación fuerza-velocidad, etc. Existe la posibilidad de aplicar los siguientes principios a sistemas de referencia con movimiento relativo acelerado:

34

X ´

X x 1

■ Principio de Relatividad Dos sistemas de referencia con igual aceleración y velocidad con respecto a un tercero considerado en reposo son similares entre si. ■ Principio de Invariancia La velocidad de la luz en el vacío en los sistemas de referencia acelerados es constante e igual a (c) Partiendo de estos dos principios, pueden ser halladas las transformaciones para los sistemas de referencia acelerados, de modo análogo a las transformaciones de Lorentz para los sistemas de referencia inerciales. Para hacerlo se halla en primer lugar la relación entre el tiempo medido en los orígenes de los sistemas (xy) y (x’y’)

Dado que desconocemos la relación entre la marcha del tiempo de los orígenes de ambos sistemas de referencia, se indica como una función )(tF a determinar

)()(

22

11

tFttFt′=′

=′

De acuerdo al principio de relatividad, para los orígenes se debe cumplir :

)( 11 tFt X−=′

)(tF − =función inversa de )(tF

En el esquema, los sistemas de referencia a partir del instante 00 =t , comienzan a

moverse con aceleración relativa a

y´

y c

t´1x t´1

a; v x´ 1

t 1

t2

x2

35

Si en el instante 0t =0, el origen de ambos sistemas coinciden, en el tiempo 1t se habrán

alejado entre si la distancia 1x .Si en ese instante desde el origen del sistema (xy) se emite un rayo de luz hacia el origen del sistema (x’y’),el rayo lo alcanzara en el tiempo

2t ,en el punto 2xx =

El origen del sistema (x’y’) mide que llega al punto 1x en el tiempo 1t ′ y al punto 2x en el

tiempo 2t ′

Siendo )(tFt =′ ; )()(

22

11

tFttFt

=′=′

Desde el momento 1t en que es emitido el rayo hasta que alcanza el origen(x’y’)en el

tiempo 2t ,recorre :

).( 122 ttcx −= . El origen(x’y’) recorre la distancia

2².

2tax =

0..2

².2

².)(

122

212

=+−

=−

tctcta

tattc

0.2.2² 122 =+− tact

act

12 .2²² t

ac

ac

act −+=

Desde el sistema de referencia (x’y’),se observa que el origen(xy) se desplaza con aceleración y velocidad ( ); va −− hasta el punto 1x′ en el tiempo Xt1′ . De acuerdo al principio de relatividad debe cumplirse:

)()(

11

11

tFttFt

X

X−=′

′=

De acuerdo al principio de invariancia de c ;(x’y’) ve que el rayo recorre la distancia 1x′ en el tiempo:

cxt 1′=′∆

Con lo cual: cxtt X

112

′+′=′

Teniendo en cuenta que: 2

². 11

Xtax′

=′

36

Siendo : )( 11 tFt X−=′

[ ]2112 )(

2)( tF

catFt −− +=′

)( 22 tFt =′

[ ]

−+=+ −−

12

112

²²)(

2)( t

ac

ac

acFtF

catF

En forma genérica:

02²²2)(.2)]²([ =

−+−+ −− tac

ac

acF

actF

actF

Resolviendo la ecuación de 2º grado para )(tF −

−+−+=− tac

ac

acF

ac

ac

actF 2

²²2

²²)(

Hallar la función )(tF es el equivalente a determinar el valor de K= ²/²1 cv− en la cinemática relativista En cuanto a la solución de la ecuación funcional planteada .Hay que tener en cuanta que en general la utilidad de este tipo de ecuaciones no esta tanto en algún método de resolución de las mismas (que es incierto). Sino en el hecho de que introduciendo en las mismas las funciones convenientes nos permiten comprobar matemáticamente la validez de las formulas propuestas. Si probamos con:

².)( tBttF += Siendo B un coeficiente a determinar:

)(tF − significa hallar t a partir de )(tF

0)(² =−+BtF

Btt

BtF

BBt )(

²41

21

++−=

Bt

BBtF ++−=−

²41

21)(

Introduciendo en el segundo termino de la ecuación funcional la solución

propuesta , ².)( tBttF += ,y reemplazando en esta función el valor t por tac

ac

ac 2

²²

−+

37

−++−+−+=−

22

²²2

²²2

²²)( t

ac

ac

acBt

ac

ac

ac

ac

ac

actF

taBc

acBt

ac

ac

aBc

acBt

ac

ac

acB 2

²²2

²²2

²²2

²²

2

−+−+=

−+

Haciendo que:

caB

aBc

212

−=⇒−=

−+−+=− t

aBc

aBc

ac

ac

ac

actF 2

²²22

²²)(

taBc

aBc

ac

ac

ac

Bt

BB ²²4

³³4

²²2

²²

²41

21

+−−+=++−

Reemplazando B por su equivalente ca 2/−

tac

ac

act

ac

ac

ac 2

²²2

²²

−+=−+

De esta manera determinamos el coeficiente B = - a /2c, y hallamos la función solución de la ecuación funcional planteada

−=′

−=′

−=

cattt

tcatt

tcattF

21

²,2

².2

)(

Cuando cat = 2/tt =′ Esta formula es valida para sistemas de referencia con aceleración y velocidad opuestas con respecto a sistemas de referencia en reposo .Y tiene sentido físico si cat ≤ Hay que tener en cuenta que t ′ es el tiempo medido en el origen del sistema (x’y’) Para hallar la transformación de coordenadas entre ambos sistemas de referencia podemos recurrir al esquema que sigue:

38

y´

X ´

X

En el tiempo 1t ′ desde el origen del sistema de referencia (x’y’),se emite un rayo de luz

hacia el punto x′ ,a donde llega en el tiempo 2t ′ .Desde el sistema de referencia (xy) se

mide que el punto x′ coincide con el punto 2x en el tiempo 2t .A continuación al reflejarse

en x′ el rayo vuelve al origen (x’y’) en el tiempo 3t ′ ,midiéndose en el sistema (xy) el

tiempo 3t .

Para 1t ′ y 3t ′ son validas las relaciones ya halladas:

².2

².2

333

111

tcatt

tcatt

−=′

−=′

Para hallar el valor de 3t , consideramos que el rayo de luz en el sistema (xy) recorre el

doble de la distancia de 1x a 2x menos la distancia que recorre el origen(x’y’)en el

tiempo )( 13 tt −

c

a

t´1

t´3

t´2

x´

t1

t3

t2

x1

x2 x3

39

2²

2²

)(2

2².

2²

².)(2)(

2²).2²(

)()(2)(

2)²(

)()(2)(

311213

131

31311213

13131311213

131311213

atatxxctct

atttaat

atttaxxttc

ttttattatxxttc

ttattvxxttc

−+−=−

−+−+−−=−

+−

+−−−=−

−

+−−−=−

Multiplicando por )/2( a y agrupando términos se obtiene :

0)(4²22² 121133 =−−

+−+ xx

att

act

at

)(4²2²²

12113 xxa

ttac

ac

act −++++−=

)(412

2

13 xxa

tac

act −+

++−=

De acuerdo al esquema utilizado existe la siguiente relación entre 3t ′ y 1t ′ , determinamos

x’

cxtt′

+′=′ 213

²2

2331 t

cat

cxt −=′

+′

′−−=′ 133 ²

22tt

catcx (17)

En el esquema 2t y 2x representan genéricamente el valor de t y x .Para realizar la

transformación es necesario sustituir el valor de 1t y 1x por sus equivalentes en función

de 2t y 2x . De acuerdo al esquema:

022²

2²

2211

1212

1212

=

−+−

−+=

−+=

cxt

act

act

cat

cxtt

cxxtt

444 3444 21

B

tac

ax

ac

act 2

21

22²²

−++= (18)

40

)(4212

2

3 xxa

Bac

act −+

++−=

2121 )( xttcx +−=

²4²

4²²44²4

²²4

42

)(42

3

23

2

2

3

12

2

3

tacB

act

acB

act

acBB

ac

ac

act

Bact

acB

ac

act

ttacB

ac

act

++−=

−−++++−=

−−+

++−=

−+

++−=

222

3422

²² t

act

ac

ax

ac

act +−++−=

22

322

²² t

ac

ax

ac

act +++−= (19)

Reemplazando 3t (19), y , ²)2/( 111 tcatt −=′ (18), por sus equivalentes en la expresión

para x’(17)

−+++

−++

−

+++−−+++−

=′2

22

22

2

22

22

22²²

222

²²

22²²

222

²²

2t

ac

ax

ac

ac

cat

ac

ax

ac

ac

tac

ax

ac

ac

cat

ac

ax

ac

ac

cx

Si hacemos que:

22

2

22

1

22²²

22²²

tac

ax

acB

tac

ax

acB

−+=

++=

++

+−

+−−+−=′

2

22

2

11 222B

ac

caB

acB

ac

caB

accx

Desarrollando los cuadrados de binomio y agrupando términos se obtiene:

41

−+++−=′

−+++−=′

−+++−=′

−++++−=′

+−+−=′

ac

cat

cax

actcx

act

ac

ax

actcx

tac

cat

ac

ax

ac

accx

BBcat

ac

ax

ac

accx

BcaB

caB

accx

222

22

2

222

1222

211

2²

21

222²²22

2

4.2

22²²22

2

²)²(2

22²²22

2

²2

²2

222

En forma genérica y definitiva se escribe:

tcaat

cax

acx .12

²21²

−

−++=′

Esta es la transformación de coordenadas para sistemas de referencia mutuamente acelerados. Para hallar las transformaciones para el tiempo, de acuerdo al esquema:

cxtt′

+′=′ 12

−

−−++−=′ 2

22112 1

²2

²21²1²

2ct

cat

cax

ac

ctcatt (20)

Recordando la expresión (18) para 1t ,la introducimos en la (20)

21

2

222 )1(2

tBacB

ac

caB

act −−+

+−

+=′

Desarrollando el cuadrado de binomio y agrupando términos :

2122 ²22

tBacB

ca

act −+−−=′

Poniendo el valor de 2B

2122

222²

22tB

act

ac

ax

ac

ca

act −+

−+−−=′

12

2 Bac

cx

act +−−=′

42

X ´

X

Recordando el valor de 1B

cx

cat

cax

act 222

2 12²

21 −

−++=′

En forma genérica queda finalmente:

cx

cat

cax

act −

−++=′ 12

²21

De esta manera han sido halladas las transformaciones directas para sistemas de referencia acelerado, análogas a las transformaciones de Lorentz para sistemas inerciales de referencia. Para hallar las transformaciones inversas, del sistema de referencia (x’y’) al (xy), se procede de acuerdo al esquema que sigue

Comenzamos escribiendo las transformaciones directas:

cx

cat

cax

act

ctcat

cax

acx

−

−++=′

−

−++=′

12²

21

12²

21²

Aceptando la validez de estas formulas para valores negativos de x , y tomando en cuenta el modulo de xx ≡− )( , se obtiene

y´

y

(- x´)

(- x)

t

a; v

t ´

x ´

t

x

43

cx

cat

cax

act

ctcat

cax

acx

+

−+−=′

−

−+−=′

12²

21

12²

21²

En estas formulas el valor obtenido para x’ es el mismo que al comienzo, si consideramos el valor del modulo de x’,del mismo modo a lo hecho para x se debe escribir :

ctcat

cax

acx +

+−−=

2²

211²'

Para el tiempo la formula queda invariable:

cx

cat

cax

act +

−+−=′ 12

²21

Dada la simetría de la situación física, las transformaciones de la parte negativa del sistema (xy) al (x’y’), son iguales a las transformaciones de la parte positiva del sistema (x’y’) al (xy)

cx

cta

cxa

act

tccta

cxa

acx

′+

−

′+

′−=

′+

′+

′−−=

12²

21

2²

211²

■ Relación entre sistemas de referencia inerciales y acelerados Para hallar las transformaciones de abscisas y tiempo entre un sistema de referencia inercial y un sistema de referencia que se desplaza con una aceleración determinada, podemos utilizar los resultados de la relatividad especial en el esquema que sigue; similar al esquema utilizado antes para hallar las transformaciones entre sistemas de referencia acelerados

44

dtctat

dtctatt

t

.²/²²1

.²/²²13

03

1

01

∫∫

−=′

−=′ (21) Validas para el origen(x’y’)

cxtt 2

12

′+′=′

cxtt 2

132 ′

+′=′

).(2 132 ttcx ′−′=′

dtctacxt

t.²/²²1.2

3

12 ∫ −=′

−−−+

−=′ −−

²²²

1²

²²1

44² 1

13

313

2 cta

tcta

tccat

sencat

senacx (22)

Siendo:

22

3

22

1

22²²

22²²

tac

ax

ac

act

tac

ax

ac

act

+++−=

−++=

En el esquema )...( 22 tx ′′

2tson en forma genérica el tiempo y la distancia (x’;y’)

La transformación para el tiempo puede obtenerse a través de la formula:

y´

y

X ´

X

a; v

t´2

t´3

t´1

t´1

x´1

x2

t1

t2

t3

x2

x1

x3

45

X ´

cxtt 2

12

′+′=′

Realizando las operaciones con las integrales de (21) y el valor de (22), resulta:

²²²1

4²²²

144

1133132 c

tatctat

catsen

cat

senact −+−+

+=′ −−

■ Longitud del segmento Dado un segmento de recta en el sistema de referencia (xy) de longitud L .En el sistema de referencia (x’y’), tal segmento mide L’. Si los sistemas de referencia tienen aceleración relativa entre si, la relación entre L y L’ la podemos hallar como se muestra:

222

2 12²

21² ctcat

cax

acx −

−++=′

111

1 12

²2

1² ctcat

cax

acx −

−++=′

cx

cat

cax

act

cx

cat

cax

act

1111

2222

12²

21'

12²

21

−

−++=

−

−++=′

(23)

Hay que tener en cuenta que L’ se define siendo 21 tt ′=′ , entonces:

y´

y

a; v

X

t´1

t´2

x´1

x´2

x1

x2

t1

t2

46

Igualando entre si el par de expresiones (23)

²2

²21

²2

²21 111222

cax

cat

cax

cax

cat

cax

−++=−++ (24)

Restando a su vez las expresiones para 2x′ y 1x′

)(2²

212²

21²'' 211122

12 ttccat

cax

cat

cax

acxx −+

++−++=− (25)

De la comparación de (24) con (25)

)(²

)(.²21

1212 ttc

caxax

acxx −+

−=′−′

De la relación obligada entre 2t y 1t ,la obtenemos despejando 2t de (24)

1²

2)(

22

²2

12 2

2

12112 −−

−+++=

cax

xxca

cat

cax

cat

(26)

Introduciendo el valor de 2t dado por (26) en (25)

{ }

−+

−+++−+−=′−′

ac

cx

xxca

cat

cax

actcxxxx

2)(

²2

²2

12

.)( 2

2

1211

11212

Para el instante inicial 01 =t ,los orígenes (xy);(x’y’) coinciden y podemos escribir para este caso particular la equivalencia entre L y L’

++−++=′

2

01

200 ²²2

11² Lca

cax

acxLL

Si el segmento esta ubicado entre el origen de (xy), y el punto 2x .En tal caso :

20

1 0xL

x==

+−++=′

2

0200 ²11² Lca

acxLL

²²2

' 000 LcaLL −=