texto portalio cd libro

8/11/2019 Texto Portalio CD Libro

http://slidepdf.com/reader/full/texto-portalio-cd-libro 1/344



TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS

© 1999,

Tecnomundo Editores Ltda.

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida sin autorización escrita del editor, salvo

en el caso de transcripciones breves incluidas en comentarios y críticas.

ISBN 958-9094-27-9

Editor tecnomundo editores Ltda..

Impreso en Colombia

Dirección General José Alberto Gómez Ceballos

Asesoría editorial Jaime Lopera G.

Creación Portada Luis Fernando Trujillo R.

Composición Erika Natalia García Zapata



Para Gladys,

fuente de fe y amor.



v

CONTENIDO

Introducción vii

1. Variación porcentual 1

2. Conceptos y Variables básicas 17

3. Márgenes 39

4. Interés Simple 53

5. Interés compuesto 67

6. Tasas nominales y efectivas de interés y descuento 79

7. Anualidades 101

8. Anualidad vencida 111

9. Anualidad anticipada 135

10. Anualidad diferida 153

11. Rentas perpetuas 165

12. Evaluación financiera 175

13. Sistemas de amortización 189

14. Fondos de amortización 209



vi

15. Bonos 221

16. Métodos de depreciación 239

17. Bienesraíces 259

18. Evaluación de descuentos 283

19. Cálculo de rentabilidad de Activos financieros 301

20. Costo del crédito 323

Indice 335



vii

Introducción

Este curso en formato VLS -Video, Libro y Software- tiene como propósito que usted aprendaa solucionar cualquier problema que implique cálculos de equivalencia financiera en el

tiempo con una facilidad no imaginada.

El video le proporcionará a usted y a su grupo de colaboradores la información conceptual

básica de manera clara y precisa.

Este libro conformado por veinte módulos le permitirá conocer a fondo los distintos tópicos.

Cada uno de ellos esboza la importancia del tema; presenta la aplicación práctica del mismo

y finaliza resumiendo la información básica: Líneas de tiempo equivalentes, fórmulas ydefinición de variables.

Bajo esta estructura se desarrollan los primeros dieciseis módulos; los cuatro finales están

dedicados a contenidos de suma importancia en los negocios y en los cuales se aplica en

forma intensiva el portafolio teórico y de formulación expuestos en los anteriores.

Tanto para el libro como para el programa, fue fundamental la síntesis conseguida en las

formulas.

Este curso, no obstante presentar temas comunes a otros libros difiere sustantivamente de

ellos por las innovaciones incorporadas. El software, por ejemplo ofrece:

• Solución gráfica de los problemas. A medida que usted proporciona la información a

través del teclado va apareciendo de manera simultanea sobre las Líneas de tiempo

equivalentes lo cual facilita la comprensión y la asimilación rápida del método.



viii

2. Todas las conversiones posibles entre tasas de interés y descuento se sintetizaron en una

sóla fórmula y en un sencillo procedimiento .

3. Los problemas de evaluación financiera cuentan con una práctica plantilla que permite

estructurar con facilidad el flujo de fondos.

4. Se presentan 18 sistemas de amortización y otros tantos de Fondos de amortización que

generan las tablas correspondientes.

5. Los problemas en cuyos enunciados aparezcan tasas con período distinto al período del

plazo, el programa las convierte automáticamente.

6. Una robusta base de datos con cientos de ejercicios potenciados por la posibilidad de

cambiar sus datos aleatoriamente y seleccionar la moneda de cada país.

Por todo lo anterior, estamos seguros de entregar un producto sin precedentes en la industria

editorial que estimamos potenciará de manera significativa su autonomía y capacidad

financieras de manera inmediata.

Muchas gracias por preferir nuestros productos y buena suerte en el aprendizaje y su

aplicación.

EL EDITOR



1 Variación

porcentual



"Se aprenderá más acerca de un camino recorriéndolo

que consultando todos los mapas del mundo" Anónimo

En mi actividad como conferencista de matemática financiera, nunca podré olvidar lo que aprendí del mundo real de los negocios gracias a

las preguntas de los alumnos que asistían a mis seminarios. Muchos de ellos, con formación diferente a la financiera, acudían en busca de solucio-

nes prácticas inmediatas acerca de sus problemas reales. Algunas pregun-tas eran de este tenor:

- Todos percibimos que invertir en bienes raíces es un excelente negocio, pero no sabemos cómo calcular el verdadero rendimiento de esas inversio-nes.

- Apareció un anuncio diciendo: “..traiga su dinero y se lo duplicaremos en 24 meses” ¿Qué tasa de interés reconoce ese anunciante para poder cumplir lo prometido?

- Si hoy deposito un millón de pesos en un banco, ¿cuánto recibiré dentro deun año si me prometen reconocer una tasa de interés del 24 por ciento, mesvencido?

- ¿Por cuánto debo comprar una aceptación bancaria que vence dentro de 35 días, por valor de 10 millones, si considero que el rendimiento a obte-ner es del 3 por ciento mensual? (Algunos ni siquiera sabían lo que es una“Aceptación bancaria”.

Esta fue la manera como comencé a identificar los problemas reales y las soluciones prácticas en el campo financiero y como fui mejorando mi dis- curso en favor de los alumnos . Hoy, no obstante algunos de ellos todavía piensen que yo dominaba todo, en verdad debo reconocer que su contribu- ción hace parte de las páginas siguientes.



CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Importancia práctica del tema

Este aparte constituye una puerta de acceso a la Matemática Financiera.

Los aumentos y disminuciones de magnitudes son comunes en economía,administración y finanzas, su cálculo y las relaciones entre las diferentesvariables que participan en este sencillo esquema son de gran utilidad alhombre de negocios en general.

Se utiliza para comparar los cambios en precios, en la devaluación, en la

inflación y en los renglones de los estados financieros, entre otros muchos.

Además, nos introduce en dos temas fundamentales a los propósitos de este libro: Márgenes e Interés.

Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema:

Devaluación frente al dólarEl precio del dólar aumentó de 409 a 540 en el plazo de 1 año, ¿Cuál es la tasa dedevaluación en ese período?

Baja el precio del caféSe rompe el Pacto Cafetero. La libra de café cuyo precio era de US $ 0.95, cayó a $ 0.76¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución de precio?

Disminuye la producción de petróleoSe reduce la exploración de petróleo y la producción empieza a decaer. De 137.000 barriles decrudo diario producidos en 1998, se redujo a 116.450 en 1999 ¿Cuál es la tasa que refleja esadisminución en la producción?



Inflación

Los precios de los bienes y servicios tienden a subir. Este fenómeno, eneconomía, técnicamente se denomina Inflación.

Aumento del Indice de preciosEl índice de precios de los alimentos aumentó de 100 a 120 en el plazo de 12 meses, ¿Cuál fueel cambio o variación de precios en ese período?

Línea de tiempo

La representación gráfica de este hecho es la siguiente:

Observe que los valores representados por dos flechas, se han ubicadoa los extremos y sobre una línea horizontal, dividida en un número (N)de períodos iguales (meses) que conforman el plazo.

Este tipo de ilustración en la cual se consigna la información de unproblema de matemática financiera y su evolución en el tiempo se ha denominado tradicionalmente Línea de tiempo.

Valor Presente y Valor Futuro

Como se observa el índice inicial puede sugerir una denominación comoValor Pasado, VP y el segundo índice una como Valor Final, VF. Que seconviene en seguir denominando: Valor Presente y Valor Futuro, para acogernos a la convención más utilizada.

VP = 100

meses

VF = 120

0 1 11 N = 12



Variación, ∆

Se define como Variación cualquier cambio de magnitud que se pre-sente entre dos valores con el paso del tiempo. Se expresa con la letra griega

∆ (Léase Delta) y se encuentran en toda la actividad económica.

Para nuestro ejemplo la variación se obtiene de restar el Valor Presente

del Valor Futuro.

Fórmula ∆ = VF - VP

∆ = 120 - 100

∆ = 20

Variación por unidad

Si se divide la variación por el Valor Presente que constituye la base delaumento se obtiene la fracción que representa el aumento respecto a la unidad:

∆VP

= 20

100=

0.2

1

Es decir que los precios aumentaron 0.2 (dos décimas) por cada unidad del valor base.

∆ = 20VP = 100

meses

VF = 120

0 1 11 N = 12

∆ = 0.2VP = 1

meses

VF = 1.2

0 1 11 N = 12

∆

∆



Variación porcentual, ∆%

El aumento de precios que se denominó inflación, se obtuvo de la diferencia entre el Valor Futuro y el Valor Presente.

El aumento ocurrió con base en el precio pasado de 100 lo cual nospermite afirmar que el incremento fue de 0.2 por cada unidad o 20unidades por cada ciento (100), es decir del 20 por ciento, expresiónque resumimos con el símbolo de porcentaje así: 20%. Esta se consti-tuye entonces en la medida porcentual del cambio ocurrido en el pe-ríodo que se denomina Variación porcentual y se representa con elsímbolo ∆%.

Fórmula ∆% =

VF − VP

VP ⋅100

∆% = 120 −100

100⋅100

∆% = 20%

La variación porcentual mide entonces el cambio ocurrido con el paso del tiempoentre esas dos magnitudes, por cada cien unidades.

∆ = 20VP = 100

meses

VF = 120

0 1 11 N = 12

∆ % = 20%∆

∆ %



Tasa, t

Tasa significa Medida, porque proviene del verbo Tasar que significa Medir. La variación porcentual del 20% constituye entonces la medida del cambio de precios y se denomina Tasa de inflación ( t

i).

La tasa de cambio se obtiene entonces de dividir la variación (∆) por el Valor Presente, VP; y suexpresión puede ser decimal o porcentual. La expresión decimal (0.2) es el número que seutiliza para los cálculos y la expresión porcentual (20%) es simplemente un símbolo que seutiliza para facilitar la interpretación de los problemas, pero que de ninguna manera puedeutilizarse en cálculos porque no es un número.

El procedimiento sencillo para calcularlas es el siguiente:

1. Divida la variación por el Valor Presente 20

100= 0.20

que se puede leer así: “El cambio en el período fue de 20 centésimaspor cada unidad del precio original” o “El cambio en el período fue del20% sobre el precio original”

Cuando encuentre en los problemas esta última expresión porcentualinsistimos que para operar con ellas debe dividir previamente por 100.

En adelante las tasas se simbolizarán con la letra, t , acompañada de

un subíndice que indicará su condición de acuerdo al tópico tratado,así: devaluación, inflación, etc..

Para las tasas de interés y descuento tratadas en este libro se utilizará otra nomenclatura.

∆ = 20VP = 100

meses

VF = 120

0 1 11 N = 12

t i = 20%

∆



Factor de incremento, f

El factor de incremento lo constituye la unidad más la tasa y se puedeobtener de dos maneras:

• Sumando la tasa a la unidad

factor = 1+ 0.20 = 1.20

• Dividiendo el Valor Futuro, VF, por el Valor Presente, VP.

f = 120

100

f = 1.20

Se denomina factor de incremento porque al multiplicar el Valor Pre-

sente por ese factor se obtiene el Valor Futuro

Podría decirse entonces que el Factor de Incremento es el Número de veces que cabe el ValorPresente en el Valor Futuro.

Si a este factor se le resta la unidad se obtendría nuevamente la tasa decimal de 0.2.

VP = 100

meses

VF = 120

0 1 11 N = 12

f = 1.2



Factor de descuento, fD

El factor de descuento se obtiene dividiendo el Valor Presente, VP porel Valor Futuro, VF

fD = VP

VF

fD = 200.000

250.000

fD = 0.8

Este factor se utiliza para obtener el Valor Presente con base en el Valor Futuro.

VP = 200.000

meses

VF = 250.000

0 1 11 N = 12

fD = 0.8



2. Proporcione la información:1. Seleccione elBotón:

Calcular

3. Calcule la respuesta:

Respuesta:

∆%

Portafolio Financiero

Archivo Modalidades Formatos Ver Ayuda

Hoja Electrónica ?,.

+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+

Simple Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización Bonos Fondos Depreciación

Interés Simple

Valor Presente

Recordar Cuota uniforme

Borrar datos Tasa de Interés

Calcular Nº Períodos

Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Variación Porcentual

Calcular X Cancel OK

APLICACION

En economía, en múltiples oportunidades, se utiliza el concepto deVariación porcentual, para medir el cambio entre dos variables, a con-tinuación se exponen algunas de ellas:

Devaluación

En general, el valor de las monedas duras de los países desarrolladostiende a subir respecto al de la moneda nacional. Esta pérdida progre-siva de valor de la moneda de un país frente a otro técnicamente sedenomina Devaluación.

Aumenta el precio del dólarEl precio del dólar aumentó de 409 a 540 en el plazo de 1 año, ¿Cuál fue la tasa dedevaluación en ese período?

Línea

409 tab 540

La tasa de devaluación fue de 32.03%

VP = 409

meses

VF = 540

0 1 11 N = 12

t D = ?




Calcular


Respuesta:

∆%




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α



Corrección monetaria

En algunos países se emiten Títulos-Valores que ofrecen ajustar el va-lor de compra original a fin de conservar su valor de compra constantecon el paso del tiempo. Este ajuste se denomina Corrección Monetaria.

Cálculo de la Corrección monetariaA finales de enero de 1996 la unidad de un título de valor adquisitivo constante se adquirió por3.000; un trimestre después su valor era de 3.180, ¿Cuál fue la tasa de corrección monetariaen ese período?

Titulo-Valor

3 000 tab 3 180

La tasa de Corrección Monetaria fue de 6% en el trimestre.

VP = 3.000

trimestre

VF = 3.180

0 1

t C = ?




Calcular


Respuesta:

∆%




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α



Cambio de precios

Es muy común que los precios internacionales de los productosagropecuarios y las materias primas bajen; a continuación se exponenalgunos casos.

Baja el precio del caféSe rompe el Pacto Cafetero. La libra de café cuyo precio era de US $ 0.95, cayó a $ 0.76¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución de precio? $

0. 95 tab 0. 76

( - 20% ) El precio del café se redujo en 20%

VP = 0.95

periodo

VF = 0.76

0 1

t % = ?




Calcular


Respuesta:

∆%




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α



Disminuye la producción de petróleoSe reduce la exploración de petróleo y la producción empieza a decaer. De 137.000 barriles decrudo diario producidos en 1998, se redujo a 116.450 en 1999 ¿Cuál fue la tasa que refleja esadisminución en la producción?

137 000 tab 116 450

( - 15% ) La producción de petroleo se redujo en 15%

VP = 137.000

meses

VF = 116.450

0 1 11 N = 12

t % = ?




Calcular


Respuesta:

∆%




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α



Variación en las ventas

Las ventas aumentan o disminuyen de un período a otro.

Disminuye la venta de textilesLas ventas de textiles al exterior fueron de US $ 12.500 millones en 1997. En 1998 disminuye-ron a US $ 10.000 millones ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución en las exportacionesde tejidos?

12 500 tab 10 000

( - 20 % ) Las exportaciones de tejidos se redujeron en 20 %

VP = 12.500

meses

VF = 10.000

0 1 11 N = 12

t % = ?




Calcular


Respuesta:

∆%




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α



El concepto de Tasa de interés

Cuando se deposita dinero en una cuenta de ahorros es normal encon-trar que, periódicamente, el banco ha abonado sumas de dinero adi-cionales que se denominan Intereses

Tasa de interés de una Cuenta de ahorrosSe depositan 500.000 en una Cuenta de ahorros. Un año después esa cuenta presenta unsaldo de 675.000, ¿Cual fue la tasa de interés anual que reconoció el Banco?

500 000

675 000

La tasa de interés que reconoció el banco fue de 35 %

VP = 500.000

periodo

VF = 675.000

0 1

i % = ?



INFORMACION BASICA

Variación, ∆

Es la diferencia entre el Valor Futuro y el Valor Presente.

∆ = VF − VP

Variación porcentual, ∆%

Resulta de la relación entre la variación, ∆ , y el Valor Presente, VP.

∆% =

∆VP

⋅100


Resulta de la relación entre el valor futuro, VF y el Valor Presente, VP. Puede definirse tambiéncomo la suma de la unidad y la tasa expresada como decimal.

f =

VF

VP

Factor de descuento, fD

Resulta de dividir el Valor Presente, VP, por el Valor Futuro, VF .

fD =

VP

VF

Línea

de tiempo

Fórmulas

Valor Presente, VP Es un valor anterior respecto a otro

Valor Futuro, VF Es un valor posterior al Valor Presente.

Número de períodos, N Es el plazo de la operación expresado en períodos.

Definición

de variables

0 1 N - 1 N

Valor presente, VP

Número de períodos, N

Valor Futuro, VF



2 Conceptos y

Variablesbásicas



Ningún problema resiste el asedio

del análisis perseverante

Voltaire

En alguna ocasión una aventajada joven ejecutiva recién graduada visi

taba concesionarios y Compra venta de vehículos para adquirir su pri-

mer automóvil. Uno de los planes para financiarlo que le ofrecieron, con cuotas iguales, se asemejaba a los demás del mercado, excepto porque el

trámite era muy simple frente al cúmulo de papeles y procedimientos habi-tuales.

-Tengo mis dudas, dijo y comedidamente me solicitó que lo evaluara.

Utilicé la información: Valor a financiar, Valor de la cuota mensual y meses

del plazo- para realizar los cálculos y resultó una tasa del 4.9% mensual.

-No puede ser, respondió sorprendida, ellos afirman que la tasa de interés

cobrada es del 3%. !

Revisamos el procedimiento que la compraventa utilizaba para obtener la cuota mensual y allí estaba la respuesta. Era muy simple y aparentemente

válido.

Dividían el valor a financiar por los meses del plazo y obtenían los abonos a

capital, luego a cada cuota le agregaban el interés mensual que resultaba

de multiplicar el 3% por el total del crédito.

La diferencia con el procedimiento normal es que en este los intereses para cada período se liquidan sobre el saldo pendiente de pago después de cadaabono a capital . De esta manera presentaba ante el cliente desprevenido

una tasa del 3% cuando en realidad era del 4.9%.

Cuando comenté el hecho en otro seminario, me enteré que se había consti-

tuido en una práctica extendida a muchas otras actividades comerciales; al poco tiempo el gobierno tuvo que prohibirla como práctica lesiva al consu-

midor.





Este aparte constituye el umbral de entrada a la matemática financiera.

Aquí el lector encontrará el vocabulario, las definiciones básicas y lo fun-damental del interés, con un enfoque eminentemente práctico. El lector no

encontrará ninguna definición o concepto que no se encuentre incorporado

a un caso de la vida diaria. Esa asociación hará la comprensión de losdiferentes aspectos, mucho más sencillos.

Dinero

" Se considera dinero cualquier mercancía ampliamente aceptada comoun medio de cambio y medida de valor en pago de bienes y servicios ocomo descargo de deudas y obligaciones.

El papel moneda actúa como dinero debido a que se acepta amplia-mente como valor de cambio.

Además el dinero actúa como una medida de pagos diferidos. Los indi-

viduos que convienen en recibir el pago en fechas futuras, deben estarseguros de que el valor que recibirán entonces no será inferior al valorde la fecha de la transacción." ( 1 )

Ahorro

"Es el excedente de los ingresos sobre los gastos de las personas y lasempresas. Los saldos se prestan a las personas o a las institucionesfinancieras y en general dichos préstamos se respaldan con títulos valores." ( 1 )

Préstamo

"Transferencia de dinero entre unidades económicas a cambio de uninterés.

Las unidades económicas pueden ser personas, empresas privadas oempresas del gobierno." ( 1 )

( 1 ) Diccionario de economía - Orbis



Interés

Es la suma de dinero que se paga como costo por el dinero tomado enpréstamo.

Es como la renta que se paga por un inmueble tomado en alquiler.

El interés se representa con la letra, I

El valor del préstamo con las letras, VP

El valor futuro, es decir, el préstamo más el interés, se representa porlas letras, VF

Cuando se deposita dinero en una Cuenta de ahorros o se constituyeun Depósito a término, el establecimiento financiero reconoce y cance-la, periódicamente, sumas que se denominan Interés y que se calcu-lan con base en el valor de los depósitos.

Ejemplo Se depositan 500.000 en una Cuenta de ahorros. Un año después esa cuenta presenta unsaldo de 675.000, ¿Cual fue el Interés ganado por el dinero depositado?

Fórmula I = VF - VP

Se reemplaza, I = 675.000 - 500.000

I = 175.000

En este caso se puede decir que 175.000 es la renta que reconoce el establecimiento financie-ro por los 500.000 recibidos en depósito.

0 N = 1

VP = 500.000

I = ?

año

VF = 675.000



Tasa de interés

La tasa de interés es la "unidad de medida periódica" que se utiliza para calcular el interés. Se expresa como una porción de cada unidadprestada o la porción de cien unidades prestadas.

El dos por ciento mensual ( 2% ) se expresa:

i m = 2%

Período de la tasa de interés

Las tasas de interés siempre se encuentran acompañadas del períodopara el cual se aplica. Son anuales, trimestrales, semestrales, men-suales, según el caso.

El símbolo que las representa se acompaña de un subíndice que seña-la ese período, así:

ia , Tasa de interés anual

is , Tasa de interés semestralit , Tasa de interés trimestralib , Tasa de interés bimestralim , Tasa de interés mensualiq , Tasa de interés quincenal

id , Tasa de interés diariaip , Tasa de interés periódica.

Frecuencia de la tasa en el año, f

El período de la tasa sugiere de inmediato la frecuencia o numero de veces que puede repetirse la tasa en el año. Resulta de dividir los díasdel año por los días del período, Así: una tasa mensual, sugiere una frecuencia de 12 veces en el año (360/30); una tasa trimestral sugiereuna frecuencia de 4 veces en el año (360/90)

tasa período frecuencia Relación

ia , anual 1 360/360is , semestral 2 360/180

it , trimestral 4 360/90ib , bimestral 6 360/60im , mensual 12 360/30iq , quincenal 24 360/15id , diaria 360 360/1



Tasa de descuento

Es la tasa de interés cobrada por anticipado.

El dos por ciento de descuento mensual ( 2% ) se expresa:

d m = 2%

Para los propósitos de este libro, tanto las tasas de interés como dedescuento, en conjunto, se expresarán por el símbolo t ; pero cuandose refiera a interés se reemplazará por i y cuando se refiera a descuen-to por d.



Tasas efectivas y tasas nominales de interés y descuento

Tasa efectiva

La tasa periódica con la cual se calcula la suma que efectivamente se

debe pagar como interés por el dinero tomado en préstamo se denomi-na tasa efectiva periódica.

Las tasas efectivas pueden tener cualquier periodicidad y se expresancon una t acompañadas del subíndice que denota el período, así: t p

Tasa nominal

Son tasas anuales que resultan de multiplicar las tasas efectivas por la frecuencia de su período en el año. Se expresan con una t

Ejemplo ¿A qué tasa nominal corresponde una tasa efectiva del 2% mensual?

t = 2 % x 12

t = 24 %

Es decir, que tasa efectiva del 2% por mes (mensual) se puede expresar como una tasa anualdel 24% y se escribe 24% m.v. (léase, 24% anual, mes vencido). Es decir se precisa comodebe liquidarse y pagarse, para que no existan equívocos. Porque no es lo mismo pagar los

intereses mensuales, trimestrales o semestrales.

Recuerde • Las tasas nominales de interés o descuento siempre son anuales.

• Las tasas efectivas periódicas de interés o descuento son las tasas de

cálculo

La tasa de interés efectiva anual como medida del costo del crédito

y rendimiento de las inversiones.

Se ha generalizado el uso de la tasa de interés efectiva anual comomedida del costo del crédito y también como medida de rentabilidad delas inversiones. Es por eso que los organismos de control fijan topespara las tasas que pueden cobrar los establecimientos de crédito conexpresiones como: " Se entiende como interés de usura el que exceda una tasa del 60% efectiva anual".

También es común escuchar: -La rentabilidad efectiva de las cuentasde ahorro asciende al 21% efectivo anual.



La tasa de interés de equivalencia, tie

Equivalencia significa igualdad en valor.

Quien presta dinero debe asegurar que el dinero entregado conservepor lo menos el poder adquisitivo con el paso del tiempo. Es decir, queel dinero de hoy sea equivalente al dinero en el futuro. Con ese propó-sito mínimo fija una tasa de interés para sus operaciones de crédito, detal forma que reciba una suma mayor en el futuro que asegure un valor equivalente a la suma que entrega hoy.

Esta tasa se denomina tasa de interés de equivalencia.

Por consiguiente, podemos definir la tie como la "tasa de interés por la cual el ahorrador o inversionista estará dispuesto a entregar su dineroen préstamo o a invertirlo porque él considera que lo conservará equivalente durante el plazo de colocación o la vigencia de la inversión"

La tie es diferente para cada ahorrador o inversionista puesto quecada quien posee información y oportunidades diferentes.

Los establecimientos de crédito por ejemplo fijan las tie para cada una de sus líneas de crédito teniendo en cuenta el costo de los fondos, y el

margen de intermediación deseado. Con base en ella diseñan los dife-rentes sistemas de amortización para otorgar los créditos.

Tasas de interés equivalentes

En general, en las operaciones de préstamo el período de la tasa deinterés no coincide con el período del plazo del préstamo y se hacenecesario convertir la tasa dada a otra tasa equivalente cuyo períodosea el período del plazo antes de proceder a solucionar el problema.

Así por ejemplo, si en la compra de un vehículo, el concesionario esta- blece que su tie es del 30% efectivo anual y los vehículos se amortiza-rán con cuotas mensuales, será necesario convertir esta tasa a una tasa mensual equivalente antes de proseguir con el cálculo de las cuo-tas.

Muy importante Para el caso de este curso este problema está resuelto porque el programa realiza la conver-sión de manera automática cuando se le proporcionan los valores de todas las variables queintervienen.



Líneas de tiempo equivalentes

Todo crédito implica desembolso en la entrega y pagos en la cancela-ción. Este flujo de ingresos y egresos se debe representar con ilustra-ciones para facilitar su comprensión y solución.

La figura siguiente ilustra, sobre el lado izquierdo, el depósito de unahorrador en su cuenta de ahorros; sobre el lado derecho, el retiro deintereses más el reembolso de su dinero al culminar el año.

Observe en la representación anterior bautizada Líneas de tiempo equivalentes que:

1. Se han dispuesto dos líneas horizontales identificadas en su parte inferior por igual númerode períodos con el rótulo "meses" De esta manera se representa el plazo del préstamo.

2. El dinero depositado se representa sobre la línea del lado izquierdo con una flecha y lassumas que se retiran se encuentran sobre la otra línea representados también por flechaspero de sentido contrario.

3. Entre las dos líneas se encuentra la tasa de interés, ubicada sobre la flecha de doblesentido que representa el l símbolo de equivalencia.

4. Los pagos se encuentran representados por 12 flechas iguales que denominaremos "Cuo-ta uniforme" o técnicamente anualidad.

5. Al final del plazo se ubica una cuota mayor que corresponde a la devolución del capital ydenominaremos en adelante "Cuota global"

6. De esta manera se pueden apreciar las magnitudes que participan en cada operación yaún consignar en ella la incógnita y lo que es más importante advertir cómo se cumple elprincipio de equivalencia. Es decir qué tasa de interés hace equivalentes los desembolsosde hoy y las sumas de dinero que se recibirán en el futuro.

VP = 1'000.000

C g = 1' 000.000

i m = 2 %C = 20.000

Meses

0 1 11 120 1 11 12



Modalidades de pago en los préstamos

La cancelación de los préstamos se puede convenir de dos maneras:con una sola cuota o con varias. Cuando se decide que sean varias,estas pueden ser iguales o variables.

Sobre la línea del lado izquierdo se ubica el valor del préstamo; sobre la línea del lado derecho los valores con los cuales se cancelará.

0 10 1

períodos

VP Lp VF

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

VPi p

períodos

C

0 1 N - 10 1 N - 1

VPi p C

N N

períodos

C g

Cuota única

Cuotas iguales

Cuotas igualesmás cuota global

Cuotas variables0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VP Ingresosi p f 0

f 1

f N-1f N



Modalidades de depósitos en los ahorros

Así como ocurre con los pagos en los créditos, ocurre con los depósitoscuando se ahorra: puden ser de una sola cuota o de varias; y estas

también pueden ser iguales o variables.

Del lado izquierdo se ubican las sumas que el ahorrador presta o depo-sita en el establecimiento bancario; del lado derecho el capital más losintereses acumulados que devuelve la institución financiera.

VFC

0 1 N - 1 N0 1 N - 1 N

i p

períodos

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

C 1

C N

i p

VFi ∆

0 10 1

períodos

VP Lp VF

Cuota única

Cuota uniforme

Cuota variable



Variables fundamentales

En la mayoría de operaciones de préstamo participan cinco magnitudesque se proporcionan al programa a través de igual número de botones

identificados por rótulos que hacen referencia a cada una de ellas.

Representa el valor del préstamo.

Corresponde al valor que expresa el plazo

A través de este botón se proporciona la tasa nominal o efectiva que seconviene para la operación. .

Valor de la cuota que conforma una serie de cuotas iguales

A través de este botón se proporciona algunas veces el Valor futuro enoperaciones de ahorro y otras veces la Cuota Global para cancelar unpréstamo amortizado con cuotas iguales

Nomencaltura utilizada en las Líneas de tiempo equivalentes y en las fórmulas

VP Valor Presente

VF Valor Futuro

C Valor de la cuota uniforme

i p

Tasa de interés periódica

f Frecuencia anual de la tasa

n Número de años

p Frecuencia anual de la cuota

N Numero total de períodos o cuotasN' Periodos Diferidos

Cg Cuota global

k = 0 Si la anualidad es vencida

k = 1 Si la anualidad es anticipada

na

Nº de anualidades en el plazo.

n' Nº de cuotas de la anualidad.

∆ (- ) Incremento o decremento en unidades

∆ % ( - ) Incremento o decremento porcentual

Para el caso de los sistemas de amortización se agrega la siguiente:

A continuación se amplía la explicación de las variables principales:

Valor Presente

Nº de Períodos

Tasa de interés

Cuota uniforme

Valor Futuro



Valor Presente, VP

Es el valor del préstamo

Valor Futuro, VF

Es la suma del Valor Presente y el Interés.

Cuota uniforme, C

Es el valor que identifica una serie de cuotas iguales.

Cuota Global

La cuota global es una cuota mayor o menor que el valor de la cuota de la anualidad y siempre está asociada con esta.

0 1 35 N = 36

meses

C = 458.000

0 1 N - 1 N = ?

Cuota global

Cuota uniforme

período



Períodos del Plazo, N

El plazo de una operación financiera es el tiempo que se acuerda per-manecerá el dinero en préstamo. Se compone de períodos referidos alaño. El período -que puede ser mes, trimestre, semestre, etc- se conviene de acuerdo a las necesidades del ahorrador o las exigencias delprestamista.

En general el número de períodos del plazo, N, se define como la fre-cuencia de períodos en el año, p , multiplicado por el número de añosdel plazo, n.

Ejemplo El crédito de un vehículo se acuerda cancelar durante tres años por medio de cuotas mensua-les (12 por año) de 500.000. El período en este caso es el mes y el plazo, N , expresado en

meses será de 36.

Otras variables relacionadas con el plazo

Otras variables a tener en cuenta relacionadas con el plazo son:

N' Es el plazo que se difiere el inicio de una serie de cuota igual y durante el cual, en general,se cancelan intereses y no se realizan abonos a capital.

0 1 35 N = 36

500.000

Período

Plazo

Mes

0 N' N - 1 N

períodosdiferidos

C



na

Número de anualidades durante el plazo. (Anualidad es una serie de cuotas iguales)

n' Número de cuotas de cada una de las anualidades de un crédito cuya cuota aumenta odisminuye entre anualidades.

0 1 179 1800 1 179 180

meses

VP = 1.000.000 ∆ % = 15i p = 26% M.V.

na , Número de anualidades

n'



Interés

Como se explicó el interés, en principio, se concibió para liquidarse y/o cancelarse al culminar los períodos del plazo. A este interés se deno-mina Interés vencido ( que es una redundancia). Las tasas nominal y efectiva para calcularlo se identifica con los símbolos:

i, Cuando la tasa es nominal.

ip , Cuando la tasa es efectiva

Descuento

Cuando el interés se liquida y/o cancela al iniciar los períodos delplazo, se le denomina interés anticipado o Descuento. Las tasas nomi-nal y efectiva para calcularlo se identifican con los símbolos:

d, Cuando la tasa es nominal.

dp , Cuando la tasa es efectiva

De lo anterior podemos colegir que existen tanto las tasas efectivas deinterés como las tasas efectivas de descuento. Así mismo las tasasnominales de interés como las tasas nominales de descuento.

0 1 11 N = 12

I = 200

meses

0 1 11 N = 12

D = 200

meses

I = 10.000 x 2%

I = 200

D = 10.000 x 2%

D = 200



Relación entre el Interés y el descuento

Ejemplo Un Banco otorga crédito ordinario por 2.000.000 a una empresa industrial, pero sólo desembol-sa 1'820.000, porque cobra el interés del trimestre de modo anticipado. ¿Cuál fue el valor del

descuento y cuales las tasas de descuento e interés.?

Descuento En este caso el descuento de 180.000 resulta de restar el Valor Presente del Valor futuro.

Tasa dedescuento La tasa de descuento trimestral se obtiene de dividir la suma del descuento por el valor nominal

del crédito .

Tasa de interés La tasa de interés trimestral se obtiene de dividir la suma del descuento por la suma recibidapor el cliente.

.

D = 180.000

trimestre

1.820.000

dt = 180.000 / 2.000.000

dt

= 0.09 ó 9 %

0 1 2 N = 3

VP = 1.820.000

meses

VF = 2.000.000

0 1

D = 180.000

trimestre

VF = 2.000.000

it = 180.000 / 1.820.000

it= 0.0989 ó 9.89 %



Relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento

De este resultado podemos concluir que una tasa de interés anticipa-

do (descuento) corresponde a una tasa de interés mayor. Para el ejem-plo la tasa de descuento de 9% equivale a una tasa de interés del 9.89%.

Es decir, cuando un establecimiento de crédito estipula una tasa deinterés anticipado (Descuento) es una manera de cobrar una tasa deinterés más alta.

El descuento tratado en este ejemplo es el que en el lenguaje financierose denomina descuento bancario.

El ejemplo también nos sirve para percatarnos que en la Matemática

Financiera los problemas pueden plantearse con tasas de interés otasas de descuento y ambas pueden ser nominales o efectivas.

Tasa nominal de descuento = 9 % x 4

d = 36 % t.a.

Tasa nominal de interés = 9.89 % x 4

i = 39.56 % t. v.

Este hecho nos permite exponer el siguiente principio:

Concordancia del período de la tasa con el período del plazo

Principio Todos los problemas de la matemática financiera se solucionan con tasas efectivas de interés,excepto los problemas de cálculo de descuento. Y el período de esa tasa de cálculo debecoincidir con el período en que se halla dividido el plazo de la operación financiera.

Esta tasa de descuento debe convertirse a una tasa deinterés mensual para que cumpla con el principioenunciado.

0 1 2 N = 3

dt = 9 %

meses



Categorías del interés y del Descuento

El interés y el descuento, en general, se conocen bajo dos categorías:Interés y Descuento compuestos e Interés y Descuento Simples.

En las operaciones financieras en lo que se refiere al manejo de losintereses, existen dos opciones: Que el ahorrador retire los interesesen cada período o que decida agregarlos al capital a medida que se vancausando, para retirarlo todo al final.

Capitalización o Reinversión de intereses

El proceso de agregación de los intereses al capital se denomina Capi-talización , es decir que los intereses se reinvierten para convertirlosen capital.

Del concepto de capitalización surge el concepto de interés compuesto.

Los intereses se agregan al capital amedida que se causan

Los intereses se retiran a medidaque se causan

VP

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N

Interés, IVF

VP

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N

Interés, I

VF

Interés Compuesto

Interés Simple



Importancia de las Líneas de tiempo equivalentes

Las líneas de tiempo equivalentes son, en esencia, un método gráficopara solucionar los problemas de equivalencia financiera.

Su importancia se fundamenta en las ventajas que en este aspectoofrece sobre la línea de tiempo tradicional. Ellas son:

• Permiten representar la equivalencia financiera cuando se toma la decisión de invertir dinero hoy a cambio de ingresos futuros.

• Permiten separar los ingresos de los egresos y visualizar de manera clara la equivalencia y la solución en los problemas de Cálculo de

rentabilidad de activos financieros, Cálculo del costo de créditos y losproblemas de Evaluación financiera.

En este caso el principio de equivalencia se enunciaría así: Los Ingresos

y Egresos con diferentes posiciones sobre cada una de las líneas de

tiempo, son equivalentes si, al calcular los valores presentes de ambos,

con la misma tasa de interés, resultan iguales.

• Aclaran la presentación de las variables y de la incognita lo que noocurre con los enunciados tradicionales atiborrados de información

confusa.

Pasos para la Construcción de las líneas de tiempo equivalentes

El procedimiento para la construcción de las Líneas de Tiempo Equivalenteses el siguiente:

1. Se define el número de períodos y con base en ellos se dibujan dos líneas detiempo separadas por el símbolo de equivalencia: la doble flecha con senti-do contrario (<=>) y con la denominación de los períodos.

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N



En la asignación de los números de los períodos es pertinente aclarar :

a. La iniciación de la línea de tiempo, que coincide con la iniciación delprimer período, debe marcarse con el cero, y

b. Cuando el número de períodos es muy grande, se fraccionará la línea detiempo poniendo puntos suspensivos a la mitad de ella y solo aparecerándos períodos: el comprendido entre 0 y 1 y el comprendido entre, N - 1, y N.Siempre y cuando, en los puntos intermedios, no se presente algún ingresoo egreso.

2. En la parte alta, sobre la flecha que representa la equivalencia, se colocará la tasa efectiva periódica que hace equivalentes los ingresos y los egresos.

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N

i p %

3. Se ubican los ingresos y los egreso en los períodos que corresponda,distinguiédolos con flechas de sentido contrario.

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N

Cuota uniforme

C g

i p %

4. Colocados los valores conocidos en el dibujo , se define cuál es la incógnita

y de esta manera queda solucionado el problema gráficamente.

VP = ?

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N

Cuota uniforme

C g

i p %



“Nada reemplaza al trabajo duro”

Thomas A. Edison

R ecién que me iniciaba como editor decidí participar en una feriainternacional del libro.

Un personaje importante en el comercio del libro a plazos se acercó al stand

y solicitó en tono imperativo el precio al público y el precio al mayorista demis productos. Luego me dijo, sin rodeos, que se interesaría en hacer negocios conmigo si le otorgaba el 75 por ciento de descuento, un plazo mínimode seis meses y como garantía debía conformarme con sus referencias co-merciales porque las cartas de crédito le resultaban costosas.

Como se trataba de una exportación, me solicitó además precios CIF, queimplicaba remisión con seguro y transporte cancelados. Bajo estas condiciones y como el libro no paga arancel, él solo invertiría en el IVA al momen-to de nacionalizar.

Quedé desconcertado; no era para menos. Pero mi sorpresa fue mayor cuan-do descubrí que el "Margen sobre el precio" del 75 por ciento , que él me exigía, en realidad equivalía a un "Margen sobre el costo" del 300 por cien-to.

En otras palabras, si él me favorecía con un pedido yo lo financiaría duran-te seis meses y él recibiría 300 por cada 100 dólares del valor total de la operación.

O lo que es peor: si yo decidiese solicitar un crédito —avalado por esta in-

cierta operación en moneda extranjera— solamente podría recibir un desembolso de 75 en cambio de los 100 negociados que me correspondían en la operación.

Como es natural, la operación no se hizo porque yo no estaba preparado para negociar en esas condiciones; pero cual sería mi sorpresa, cuando mástarde al comentarle el hecho a otros editores me confirmaron que el comercio del libro a plazos operaba bajo ese esquema y era muy dificil permanecer en el negocio si no se acogía a él.





El tema de los Márgenes es fundamental en las negociaciones entre empresas industriales, comerciales y de servicio.

Los industriales a veces fijan el precio al público y con base en él otorgandescuento a sus distribuidores; otras veces les venden a un precio base a finde que ellos fijen el precio al público que estimen prudente. En el primer caso se trabaja con el concepto "Margen sobre el precio", en el segundo con el de "Margen sobre el costo".

Con el contenido de este capítulo se podrán evaluar las ofertas y se podrán formular propuestas con base en el cálculo de márgenes, precios y costos.


Cálculo del MargenSe compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre elcosto ?

Fijar precios con base en el Margen brutoSe compran relojes a 85.000 y se decide venderlos de tal manera que se asegure un Margensobre el precio de 50% ¿Cual debe ser el Precio de venta?

Cálculo del CostoLa industria editorial, en general, otorga a sus clientes descuentos del 70%, ¿Cual debe ser elCosto para quien vende a plazos si se estima que el Precio de venta puede ser de 300 dólares?

Fijar preciosSe adquieren artículos de oficina a un Costo de 25.000 , los cuales se piensan mercadear con

un 40% de Margen sobre el costo ¿Cual será el Precio de venta de tales productos?



Costo

En el comercio, Costo es la suma que paga el comerciante por la mer-cancía que adquiere.

Precio

Es la suma que debe pagar el cliente como valor por la mercancía queadquiere del intermediario.

Descuento

Para este caso es la diferencia entre el Precio y el costo.

Descuento al por mayorUn comerciante adquiere un artículo a un costo de 5.400. El precio de venta al público fijadopor el fabricante es de 9.000. ¿Cual es el valor del descuento que obtiene el comerciante?

Fórmula D = Precio - Costo

Se reemplaza D = 9.000 - 5.400

D = 3.600

Como se puede observar la variación entre el Precio y el Costo constituye el descuento querecibe el comerciante.

Costo = 5.400 Precio = 9.000

D = ?



Márgenes

El descuento que recibe el comerciante puede compararse frente alcosto o puede compararse frente al precio. En el primer caso se obtiene

el Margen sobre el costo y en el segundo se obtiene el Margen sobre el precio.

Margen sobre el costo, Mc

El Margen sobre el costo se obtiene con la fórmula de la variaciónporcentual.

Fórmula MC =

D

Costo⋅100

Se reemplaza,

MC = 3.600

5.400⋅100

MC = 66.67%

Que equivale a lo que ganaría el comerciante sobre su inversión. Es decir es Margen sobre

el Costo es idéntico a la Tasa de interés que obtendría por su dinero.

Costo = 5.400 Precio = 9.000

MC = ?%



Margen sobre el Precio, MP

El Margen sobre el precio se obtiene comparando la variación o el des-cuento frente al precio.

Fórmula MP =

D

Precio⋅100

Se reemplaza,

MP = 3.600

9.000⋅100

MP = 40%

El Margen sobre el precio equivale al descuento que otorga el fabricante al comerciante. Deaquí podríamos concluir que un interés del 66.66% equivale a un descuento del 40%.

Costo = 5.400 Precio = 9.000

MP = ?%



3. Proporcione la información:1. SeleccioneModulo:

Calcular

Márgenes

2. Limpiememorias, Margen/Costo

Margen/PrecioPrecio

Costo


Borrar Datos

Respuesta:




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Márgenes

%↓↑

?

√α

Margen/Costo

Recordar Margen/Prec io

Borrar datos Precio Venta

Calcular Costo

Decimales

APLICACION

El tema plantea cuatro tipos de problema de acuerdo a la variable que

queramos calcular.

Cálculo del Margen sobre el CostoSe compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre elcosto ?

85 000

136 000

Margen/Costo

El Margen sobre el costo es del 60 %

Costo = 85.000 Precio = 136.000

MC = ?




Calcular

Márgenes


Margen/PrecioPrecio

Costo


Borrar Datos

Respuesta:




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Márgenes

%↓↑

?

√α

Margen/Costo



Calcular Costo

Decimales

Cálculo del Margen sobre el PrecioSe compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre elPrecio ?

85 000

136 000

Margen/Precio

El Margen sobre el precio es del 37.5 %

Costo = 85.000 Precio = 136.000

MP = ?




Calcular

Márgenes


Margen/PrecioPrecio

Costo


Borrar Datos

Respuesta:




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Márgenes

%↓↑

?

√α

Margen/Costo



Calcular Costo

Decimales

Cálculo del Costo conocido el Precio y el MC

La Librería Panamericana recibe oferta de libros cuyo precio de venta al público será de 20.000por unidad . ¿Cual es el costo máximo que debe pagar la librería si su política de comprasestablece que su Margen sobre el Costo debe ser del 60% ?

De esta fórmula se puede deducir un método sencillo para calcular el Costo cuando se conoce el precioy el Margen sobre el costo: o interés.

• Halle el factor de incremento: 1.6

• Divida el Precio por el factor C = 20.000 / 1.6

C = 12.500

20 000

60

Costo

El Costo debe ser de 12.500

Procedimientosencillo

Costo = ? Precio = 20.000

MC = 60%




Calcular

Márgenes


Margen/PrecioPrecio

Costo


Borrar Datos

Respuesta:




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Márgenes

%↓↑

?

√α

Margen/Costo



Calcular Costo

Decimales

Cálculo del Precio conocido el MC

Se adquieren artículos de oficina a un costo de 25.000 , los cuales se piensan mercadear conun 40% de Margen sobre el costo ¿Cual será el Precio de tales productos?

Cuando se conoce el Margen sobre el Costo se puede hallar el precio calculando el factor de incremen-

to y multiplicando por el costo así:Halle el factor y multiplíquelo por el Costo, así:

C = 25.000 x 1.4

C = 35.000

25 000

40

Precio

El Precio de Venta para los productos debe ser de 35.000


Costo = 25.000 Precio = ?

MC = 40%




Calcular

Márgenes


Margen/PrecioPrecio

Costo


Borrar Datos

Respuesta:




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Márgenes

%↓↑

?

√α

Margen/Costo



Calcular Costo

Decimales

Cálculo del Costo conocido el MP

La industria editorial, en general, otorga a sus clientes descuentos del 70%, ¿Cual debe ser elCosto para el placista (quien vende a plazos) si se estima que el Precio al público puede ser de300 dólares?

El método sencillo para calcular el Costo cuando se conoce la tasa de descuento o el Margen sobre elprecio es el siguiente:

Reste de la unidad la tasa de descuento en su expresión decimal y multiplique el precio por este valor,así:

Costo = 300 (1 - 0.7) = 300 x 0.3

Costo = 90


30070

El Costo para el distribuidor es 90

Costo

Costo = ? Precio = 300

MP = 70%




Calcular

Márgenes


Margen/PrecioPrecio

Costo


Borrar Datos

Respuesta:




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Márgenes

%↓↑

?

√α

Margen/Costo



Calcular Costo

Decimales


Cálculo del Precio conocido el MP

Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos de tal manera que se asegure un Margensobre el precio de 50% ¿Cual debe ser el Precio de venta?

85 000

50

Precio

El Precio de Venta debe ser 170.000

Costo = 85.000 Precio = ?

MP = 50%

El método sencillo para calcular el Precio cuando se conoce la tasa de descuento o el Margen sobre elprecio es el siguiente:

Reste de la unidad la tasa de descuento en su expresión decimal y divida el costo por este valor, así

P = 85.000 / (1 - 0.5)

P = 85.000 / 0.5 P = 170.000



INFORMACION BASICA

Margen sobre el Costo, M c

Expresión porcentual que resulta de dividir la Variación, ∆ , por el Costo, C

Margen sobre el Precio, M p

Expresión porcentual que resulta de dividir la Variación, ∆ , por el Precio, P.


Resulta de dividir el Precio por el Costo.

f =

Precio

Costo

Factor de descuento, f D

Resulta de dividir el Costo, por el Precio .

fD =

Costo

precio

Costo, C Valor de compra del bien o servicio

Precio, P Valor de Venta del bien

Margen sobre el costo, Mc Variación sobre el Costo, expresada en porcentaje

Margen sobre el Precio, Mp Variación sobre el precio, expresada en porcentaje

Fórmulas

Línea

de tiempo

Definición

de variables

MC = Precio − Costo( )100

Costo

MP = Precio − Costo( )100

Precio

Costo, C Precio, P

∆ = P - C∆



4 InterésSimple



"Un optimista ve una oportunidad

en cada calamidad”

Churchill

C omo consultor de una empresa, me correspondió ofrecer una fórmula excepcional a un instituto de fomento para cancelar una obligación de

crédito en mora.

– Estamos dispuestos a cancelar el total de la obligación, propuse, si nos condonan los intereses pendientes de pago.

Al gerente financiero no le gustó para nada la propuesta. Mi oferta de pagarde inmediato la suma de dos millones, a cambio de condonar los intereses que ascendían a doscientos cuarenta mil, debía ser consultada con la juntadirectiva que autorizaba este tipo de operaciones. Las posibilidades de unareunión de la junta eran lejanas, pero el cobro jurídico se insinuaba inmi-nente.

Las circunstancias exigían una solución inmediata. A marchas forzadas,

consulté la tasa de interés que me reconocerían en una corporación financie-ra y reelaboré la propuesta. Volví a entrevistarme con el financiero.

—Muy bien, le dije: estamos en condiciones de pagar el doble de los intereses, pero nos otorga un año más de plazo para pagar la suma adeudada.

–¿Cómo garantizaría este pago?, repuso el gerente denotando interés.

–Con un certificado de depósito a término, a ese plazo, añadí.

–Procedamos así, me dijo el funcionario con asomo de curiosidad. Fuedifícil ocultar mi emoción.

Sin pérdida de tiempo me dirigí a la corporación financiera, constituí allíun Depósito a término por la suma de Millón setecientos cincuenta mil al 2.97 por ciento efectivo mensual, con el cual se obtendría el monto adeudado en el plazo prometido para la cancelación.

–Cuál fue el secreto?, me preguntaron mis clientes.

–Propuse pagar –les señalé–, bajo la modalidad de interés simple, pero coloqué el dinero de ustedes a interés compuesto.

Me fui al hotel con mis honorarios. Me los cancelaron con el excedente entre el simple y el compuesto.




Este tema tiene poca importancia para los especialistas, pero seguirá siendode gran utilidad para la gente común, quienes de alguna manera debenrealizar sus cuentas con procedimientos sencillos, y aunque sus cálculos noresulten exactos les permiten formarse una buena idea de la operación fi-nanciera que realizan y continuar haciendo negocios.

No obstante, algunas instituciones bancarias lo utilizan en el cálculo de losintereses por sobregiros.

Los siguientes enunciados señalan aplicaciones del tema:

Intereses de un CDTRetiro periódico del intereses en los Certificados de Depósito a Término de un Banco Comer-cial

Plazo de emisión de un bonoLa empresa Noel emitió bonos, que reconocen una tasa de interés del 23% anual y liquidaciónmensual de interés. Si María Cristina compró un bono de 5.000 y obtuvo 5.750 por concepto

de interés en todo el plazo, ¿Cuál fue el plazo de emisión, en años, del bono?




Certificados de Deposito a término

Los certificados de depósito a término son títulos expedidos por las instituciones financieras y entregadosa los ahorradores cuando ellos depositan su dinero a un plazo fijo que los acredita como propietarios deese dinero. Las condiciones del depósito como plazo, tasa de interés, forma de liquidación de los intere-

ses están contenidas en ese documento.

Retiro periódico del interésSara y Carlos deciden constituir, cada uno por su lado, depósitos a término por la misma suma(100) , en el mismo banco , a la misma tasa de interés (2.5% mensual), el mismo día y al mismoplazo (tres meses). Pero, con una sola diferencia, Sara necesita retirar los intereses cada mesy Carlos decide reinvertirlos para retirarlos al culminar el plazo.

Cuando concluye el plazo, frente al funcionario liquidador, ambos verifican que Carlos recibepor los tres meses 7.69 de intereses y Sara, solamente 7.5 , que resulta de sumar lo que

recibió en cada uno de los meses, ¿por qué?Lo primero que debe dejarse en claro es que el banco aplica para ambos la misma tasa perosobre el saldo que tenga cada uno al momento de la liquidación, así:

Sara recibe 2.5 cada mes porque la tasa se aplica siempre sobre el mismo valor:

Interés periódico

Fórmula I = VP . ip

Se reemplaza I = 100 x 0.025

I = 2.5

Que corresponde al interés mensual.

0 1 2 N = 30 1 2 3

Valor depósito = 100 im = 2.5

%

meses

I = 2.5Líneas de tiempo

equivalentes



Interés del plazo

El interés recibido al cabo de los tres meses es,

Intereses del plazo = N x I

Intereses del plazo = 3 x 2.5

Intereses del plazo = 7.5

Valor total recibido

Valor total recibido = 100 + 7.5

Como se observa se calculan los intereses multiplicando el interés pe-riódico por el número de períodos y el Valor futuro sumando los intere-ses al Valor Presente.

Con ayuda de este sencillo ejemplo se han desarrollado los cálculos bajo la modalidad de interés simple que podemos definirlo como sigue.

Interés simple

Es el concepto que define el retiro periódico de los intereses causados

en cada período. Por esta circunstancia, las operaciones que derivande este hecho se reducen a simples multiplicaciones y divisiones, comose apreció en el ejemplo precedente.

En las páginas siguientes se ilustra la solución de cada uno de losproblemas posibles con ayuda del programa.




Calcular

Simple

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

InterésTasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Cálculo del Valor Presente

Cuentas de ahorro en los Bancos comercialesLa sección de ahorros del Banco Popular liquida el interés a sus clientes, sobre saldos entrimestre calendario y reconoce una tasa de interés del 5.25% trimestral. Si Luz Myrian recibió600 de interés en el trimestre, ¿Qué suma depositó?

El capital depositado por Luz Myriam fue de 11.429

1

5.25600

Valor Presente

Líneas de tiempoequivalentes

0 10 1

VP = ?I = 600

trimestres

i t = 5.25%




Calcular

Simple

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Cálculo del Número de períodos

Años de redención de un bonoLa empresa Noel emitió bonos, que reconocen una tasa de interés del 23% anual y liquidaciónmensual de interés. Si María Cristina compró un bono de 5.000 y obtuvo 5.750 por conceptode interés en todo el plazo, ¿Cuál fue el plazo de emisión, en años, del bono?

Sesenta meses o cinco años es el plazo de redención del bono.

235 750

5 000

Nº de Períodos

Líneas de tiempo

equivalentes0 1 N - 1 N = ?0 1 N - 1 N = ?

VP = 5.000i = 23 % M.V.

meses

I = 5.750




Calcular

Simple

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Cálculo del Valor Futuro

Cancelación de una deudaCuánto dinero se recibirá al cabo de cinco años por una deuda de 500.000 , que reconoce unatasa de interés del 24% anual ?

1.100.000 es la suma que habrá recibido por el préstamo enunciado .

5

24

500 000


0 1 40 1 4

VP = 500.000i a = 24 %

N = 5 N = 5

años

VF = ?

Valor Futuro



Interés simple exacto y ordinario

El año tiene 365 días, el año bisiesto 366 días y el comercial 360. El día se considera como 1/ 365 de año y 1/366 de año bisiesto.

Cuando se desea calcular el interés simple exacto, para fracciones de año, debe utilizarsecomo divisor el número real de días del año. O sea que el período N, como una fracción deaño, se calcula según el caso así:

dc / 360 ; dc / 365 ; dc / 366

donde, dc , representa el número de días transcurridos entre fechas.

Bajo esta condiciones, el interés simple, se denomina ordinario para el primer caso y exactopara los dos segundos.




Calcular

Simple

2. Limpiememorias,

Valor FuturoValor Presente

Interés

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar InterésBorrar datos Tasa de Interés


Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Cálculo del interés ordinario

Sobregiros y DescubiertosLos sobregiros o descubiertos son modalidades de crédito transitorio cuyo otorgamiento es eventual.Tienen como objetivo incentivar, con este mecanismo de reciprocidad, a los mejores clientes y estimular

la apertura de cuentas corrientes.

Costo de un SobregiroSi se otorga un sobregiro por 500.000, por 8 días y la tasa de interés es de 48% anual, ¿Cuáles el interés cobrado, que representa el costo del sobregiro?


8

48

500 000

Interés

5.333.33 es la suma que se debe pagar por el sobregiro . ( Año = 360 días )

0 1 70 1 7

VP = 500.000i = 48 %

N = 8 N = 8

días

I = ?



INFORMACION BASICA

I = VP ⋅ ip ⋅ N

VF = VP + I

VF = VP 1+ ip ⋅N( )

Valor presente, VP

Es el valor que se entrega en préstamo, se denomina Principal o Capital.

Valor futuro, VF

Resulta de sumar el Valor presente y el Interés. que se recibe durante el plazo.

Tasa de interés periódica, i p

Es la tasa de interés efectiva convenida en la operación financiera, que se utiliza para calcular el INTERESy cuyo período debe concordar con el período del plazo.

Número de períodos del plazo, N

Es el plazo de la operación expresado en períodos.Resulta de multiplicar el Número de años, n por la frecuencia del período en el año, f

En muchas operaciones, cuando el plazo es inferior a un año, se acostumbra a trabajar con fracciones deaños expresados en días y con tasas anuales.

Interés, I

Es el costo expresado en unidades monetarias que se reconoce por el dinero tomado en prestamo.

Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmulas

Definición

de variables

Para períodos inferiores a un año, N =

dc

da

Donde, dc

, Días corrientes

da

= 360,365,366

0 1 N - 10 1 N - 1

Valor del préstamo, VP tasa de interés, ip % Interés, I

N N

Valor del préstamo

período



5 Interés

compuesto




En el concepto de interés compuesto se fundamenta prácticamente la totali-dad de operaciones de ahorro y crédito en los negocios. Es decir, con excep- ción de unas pocas operaciones a interés simple que se realizan en los negocios personales, lo demás se maneja bajo la modalidad de interés compues-to. Con ente hecho queda plenamente identificada su importancia.

Con base en ella se realizan un sinnúmero de problemas de diaria ocurren- cia en los negocios como:

• Calculo de rentabilidad

• Cálculo del costo del crédito

• Evaluación de descuentos

• Evaluación financiera

• Negocios con CDT

• Negocios con Aceptaciones bancarias

• Negocios de Valorización• Anualidades

• Operaciones de Leasing,

• Operaciones de Bolsa: Acciones y Bonos

• Sistemas de Amortización y Fondos de amortización




Interés simple vs. Interés compuesto

La diferencia fundamental entre interés simple y compuesto radica enque para el caso simple el interés se liquida y retira periódicamente y para el compuesto el interés se liquida y agrega progresivamente alcapital, en cada período, lo que significa que el interés en cada nuevoperíodo se calcula con la misma tasa pero sobre un capital mayor.

El interés compuesto es el que se conoce en nuestro medio como liqui-dación de “interés sobre intereses”.

Interés Compuesto

Es el concepto que considera la agregación progresiva de los intereses al capi-tal.

Capitalización

Es el proceso mediante el cual el interés se adiciona al capital en cada período.

Período de capitalización

Es el período escogido para liquidar y acumular el interés.

Interés Simple

InterésCompuesto

Se retira el INTERES que secausa en cada período

Se reinvierte el INTERES

que se causa en cadaperíodo

0 1 N - 10 1 N - 1

Valor del préstamo, VP tasa de interés, i p % Interés, I

N N

Valor futuro, VF

período

Valor Presente, VP Valor Futuro, VF



0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N

Interés, I




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,


Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Cuota UniformeBorrar datos Tasa de Interés


Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

APLICACION

Cálculo del Valor Futuro

Depósitos a término

Los Depósitos a término son una modalidad de ahorro en los cuales el ahorrador puederetirar los intereses periódicamente o reinvertirlos durante el plazo escogido. En generalestos depósitos deben tener un plazo superior a los tres meses.

Monto recibido al vencimiento de un CDTJuan David constituye un depósito a término por valor de un millón con plazo de un año yreinversión mensual de intereses. Si la tasa de interés convenida fue de 32% anual liquidable

cada mes, ¿cuál es la suma que recibirá al culminar el plazo?

1.371.367 Es la suma que corresponde al valor del depósito más los intereses reinvertidos

cada mes.

12

32

1 000 000

Valor Futuro

Líneas de tiempo

equivalentes

VP = 1.000.000 i = 32 % M.V.

meses

0 1 11 N = 120 1 11 N = 12

VF = ?




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniformeTasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Cuota Uniforme



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del Valor Presente

Ahorro para viajarUna compañía de financiamiento comercial estima que los costos de vacaciones por 15 días auna isla caribeña, todo costo, en un año, ascenderán a 3.000. Si esta compañía ofrece unatasa de interés del 24% trimestre vencido por los depósitos, ¿cuánto se deberá depositar hoypara disponer de esa suma al cabo de un año?

Valor Presente

4

24

3 000

2.376 es la suma que corresponde al valor del depósito necesario.

Líneas de tiempo

equivalentes

VP = ? i = 24 % T.V.

trimestres

0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

VF = 3.000




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la Tasa de interés

Un Problema de valorizaciónUna parcela cafetera se compró por 600.000. Veinticuatro meses más tarde, fue vendida pordos millones, ¿cuáles son las tasa de interés mensual y anual que corresponde a la valoriza-ción de ese inmueble?.

5.14 % es la tasa de interés que corresponde a la valorización mensual.

82.57 % es la tasa de interés que corresponde a la valorización anual.

Tasa de interés

24

600 000

2 000 000

Líneas de tiempo

equivalentes

Tasa de Interés

Tasa de interés

Períodica

Anual

VP = 600.000 i m = ? %

meses

0 1 23 N = 240 1 23 N = 24

VF = 2.000.000




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del Número de períodos

Un problema de AhorroLas cuentas de ahorro, en los bancos comerciales, reconocen una tasa del 21% capitalizabletrimestralmente, sobre saldo mínimo trimestral. Si un ahorrador quiere acumular 300.000 ydeposita 107.815, ¿Durante cuántos trimestres deberá depositar esta suma?

20 trimestres que corresponden a 5 años..

Nº de Períodos

21

107 815

300 000


VP = 107.815 i = 21 % T.V.

trimestres

0 1 N - 1 N = ?0 1 N - 1 N = ?

VF = 300.000

Tipo de Período

OK

Calcular período

Días

MesBimestres

Trimestres

Cuatrimestres

Semestres

Años




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,


Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Aplicación del interés compuesto en operaciones con valor

constante

Cálculo de los valores diarios de la UPACSi la unidad de poder adquisitivo constante, UPAC, tenía un valor de 9.000 al iniciar el mes y latasa de corrección efectiva anual es del 21% , ¿cual es el valor de la unidad para cada uno delos 30 días siguientes?

Ayuda.- Este problema se soluciona calculando el Valor Futuro para cada día, variando el período de 1 en1 y conservando constantes las demás variables.

9.004.7015 es el valor de la unidad para el día siguiente. ( Ver tabla en la página que sigue)

1

21

9 000

Valor futuro

VP = 9.000 i a = 21 %

días

0 1 29 N = 300 1 29 N = 30

VF = ?VF = ? VF = ?



La tabla que se presenta a continuación constituye la respuesta a este problema. Cada valorse presenta con cuatro decimales.

Valores diarios de la Unidad de Poder

Adquisitivo constante durante treinta días

Día Valor Día Valor

de la unidad de la unidad

0 9,000.0000

1 9,004.7015 16 9 ,075.5187

2 9,009.4054 17 9 ,080.2596

3 9,014.1117 18 9 ,085.0030

4 9,018.8206 19 9 ,089.7489

5 9,023.5319 20 9 ,094.4972

6 9,028.2456 21 9 ,099.2480

7 9,032.9618 22 9 ,104.0013

8 9,037.6805 23 9 ,108.7571

9 9,042.4016 24 9 ,113.5154

10 9,047.1252 25 9,118.2761

11 9,051.8513 26 9,123.039412 9,056.5798 27 9,127.8051

13 9,061.3109 28 9,132.5733

14 9,066.0443 29 9,137.3440

15 9,070.7803 30 9,142.1173



Líneas

de tiempo

equivalentes

Definición

de variables

Fórmula VF = VP(1+ ip )N

Valor presente, VP

Es el valor que se entrega en préstamo.

Valor futuro, VF

Es la suma del Valor presente y del Interés. que se va acumulando en cada período hasta cuandoculmina el plazo del crédito.


Es la tasa de interés efectiva convenida en la operación financiera, con la cual se calcula el INTERES encada período.

Número de períodos de plazo, N

Es el número de períodos convenidos como plazo en la operación.

Resulta de multiplicar el Número de años, n por la frecuencia del período en el año, f

INFORMACION BASICA

El interés que genera el préstamo

en cada período se va agregando al capitalhasta cuando culmine el plazo.

Valor Presente, VP Valor Futuro, VF



0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N

Interés, I



6 Tasas

nominalesy efectivas

de interésy descuento



"Ganar no lo es todo,

pero querer hacerlo, si lo es".

Lombardi

U n amigo me relató su entrevista con el gerente del banco donde tiene su cuenta corriente. La reunión tenía dos propósitos: el primero deposi-

tar algunos ahorros que había reservado para la cuota inicial en la comprade un vehículo y el segundo preguntar por una Línea de crédito para financiar dicha compra. En el primer caso deseaba conocer cuál sería el rendi-miento de su dinero al cabo de un año; en el segundo, cuál sería el costoanual del crédito.

Para ambas preguntas el gerente presentó un modelo único de respuesta:

- Por el depósito te reconozco una tasa efectiva del 26.25% anual (que equi-vale a una tasa nominal del 24% trimestre vencido);

-Por el crédito te cobro una tasa del 36% trimestre anticipado, (que equivale

a una tasa de 45.83% efectivo anual).

Entonces, él que había escuchado con frecuencia que ahorrar en dólares esun buen negocio, se atrevió a preguntar con timidez: ¿No será más rentable comprar títulos del gobierno en dólares ?

– No, le respondió con seguridad el gerente, porque la devaluación se estima en el 15% anual y la tasa de interés de esos títulos es de sólo el 8% semestrevencido y ello en conjunto renta solamente el 24.38%.

Mi amigo realizó sus cuentas y los resultados no coincidieron con los de las

respuestas. ¿Cómo harán estos magos, los cálculos? pensó desconcertado yabandonó el banco cargando, según él, de nuevo con su ignorancia; perodispuesto a aprender cómo se hacía.



81


Importancia práctica del tema Este tema es la columna vertebral de la Matemática Financiera y cuandousted termine de conocer los diferentes tópicos que ofrece y practicar con los ejemplos que él plantea, quedará en capacidad de:

• Convertir tasas de interés o descuento -nominales o efectivas- con cualquier frecuencia deliquidación a otras tasas de interés o descuento -nominales o efectivas equivalentes , conotra periodicidad cualquiera .

• Calcular la rentabilidad anual de un sinnúmero de títulos-valores.

• Calcular el costo de la mayoría de operaciones de crédito.• Calcular el costo o la rentabilidad de varias operaciones en dólares

• Calcular el costo o la rentabilidad de varias operaciones en UPACs



Intermediación financiera

Como es de todos conocido, los establecimientos de crédito recibendinero del público, empresas y sectores del gobierno que tienen exce-

dentes de él (Operaciones Pasivas), para prestarlo a otras personas,empresas u otros sectores del gobierno que tienen necesidad de él (Ope-raciones Activas). Este proceso se denomina intermediacíón financie-ra. En la primera etapa llamada captación (Ahorro) el establecimientofinanciero paga interés al ahorrador por el depósito; en la segunda,llamada colocación (Crédito) cobra interés por el préstamo.

Tanto lo que la institución promete pagar, como lo que ofrece cobrar,se expresa, en general, con tasas nominales de interés o descuento y se calculan siempre con base en tasas efectivas, que se obtienen a partir de tales tasas nominales.

El siguiente enunciado hará posible la definición de términos de estetema.

Reinvertir los intereses de un Depósito a términoUn Banco ofrece pagar una tasa de 24% trimestre vencido por los depósitos a término a unaño. El cliente acepta reinvertir los intereses trimestrales para recibirlos junto con el capital

(100) al finalizar el año. A la pregunta de cuánto recibiré, el agente comercial le indica dosopciones: 6 dólares trimestrales y su capital al terminar el año o un solo valor de 126.82, alculminar el año .

Ahorro Crédito

0 1 3 4 0 1 3 4

i = 24 % T.V.

I = 6

Trimestres

VF = 126.82VP = 100



83

Tasa nominal

Es la tasa anual de interés o descuento acompañada de la frecuencia

de liquidación en el año, utilizada para enunciar las condiciones finan-cieras bajo las cuales se llevarán a cabo las operaciones de crédito ode captación.

Se representan con la letra i cuando son de interés y con d cuando sonde descuento.

Período Frecuencia anual

Mes 12Bimestre 6Trimestre 4Cuatrimestre 3Semestre 2Año 1

24% trimestre vencido

tasa

anual frecuencia

en el año = 4

Frecuencia de liquidación, f

Es el número de veces que se conviene liquidar los intereses en el año.La frecuencia depende del período de liquidación y se obtiene al dividir360 ó 365 por los días del período.

Para este caso el término liquidación significa cálculo de interesescon el propósito de pagarlos o acumularlos tanto en operaciones de

crédito como de ahorro.

tasa nominalInterés trimestralque se reinvierte

Frecuencia = 4 veces en el año

0 1 3 4 0 1 3 4

i = 24 % T.V.

I = 6

Trimestres

VF = 126.82VP = 100



Tasa nominal de interés, i

Es la tasa anual cuyo interés periódico se conviene liquidarlo vencido,es decir, al concluir cada uno de los períodos del plazo.

Tasa nominal de descuento, d

Es aquella tasa que expresa que el interés periódico se conviene liqui-darlo anticipado, es decir, al iniciar cada uno de los períodos del plazo.

36% trimestre anticipado. Quiere decir que la institución, con una frecuencia trimestral (cuatro veces en el año) liquidará al iniciar cada trimestre la cuarta parte, el 9% sobre el saldo pendiente de pago, y sela cobrará al beneficiario.

Esta tasa, comúnmente la publican así: d = 36% t. a.

Las tasas nominales son términos de un contrato

Estas tasas que expresan la voluntad de los contratantes -el que pres-ta y el que recibe- no pueden ser desconocidas o alteradas por una de

las partes. Vale decir para el ejemplo anterior: que se dijera que losintereses se cancelaran mensualmente; porque esto equivaldría a cambiar las condiciones del convenio.

tasa nominal de descuento

Cuando el interés se acuerdapagarlo anticipado.

0 1 3 4 0 1 3 4

d = 36 % T.A..

I = 9

Trimestres

VF = 100VP = 100



85

Tasa efectiva

Es la tasa de interés o descuento periódica con la cual se calcula elinterés o el descuento que se paga o cobra en una operación financie-ra.

De los ejemplos presentados atrás podemos colegir que en toda tasa

nominal se encuentra definida expresamente y con toda claridad una, y

solo una, tasa efectiva que resulta de dividir la tasa por la frecuencia anual.

En los ejemplos enunciados las tasas efectivas que corresponden a las

ip = 24%/4 i

p = 6%

dp = 36%/4 d

p = 9%

tasas nominales, son:

Observe como las tasas efectivas se representan con un subíndice quehace referencia al período de liquidación.

INTERES efectivo

El interés efectivo es la suma de dinero que se liquida efectivamente.

Interés de un Depósito a términoUn depósito de 1’000.000 durante un trimestre en un banco que reconoce el 24% trimestrevencido, generará efectivamente un Interés de 60.000 que se calcula con base en una tasatrimestral del 6%.

Interés = 1.000.000 x 6%

Interés = 1.000.000 x 0.06

Interés = 60.000El 6% es entonces una tasa efectiva porque con ella se calculó el interés efectivo.



DESCUENTO efectivo

El descuento efectivo es la suma de dinero que se liquida efectivamen-te al iniciar un período.

Crédito bancarioSe solicita al banco un crédito por 5’000.000. ¿Cuánto recibirá neto, si el banco decide cobrar-le una tasa del 36% trimestre anticipado?

Descuento = 5.000.000 x 9%

Descuento = 5.000.000 x 0.09

Descuento = 450.000

Desembolso neto = 5.000.000 - 450.000

Desembolso neto = 4.550.000

Diferencia entre tasas nominales y efectivas

Mientras que la tasa nominal solamente es anual y se utiliza para enunciar las condiciones de una operación financiera, la tasa efectiva

puede tener cualquier periodicidad y se utiliza para calcular el inte-

rés o descuento a pagar.

Muy Importante! Nunca utilice las tasas nominales para calcular porque incurre en un grave error.

Capitalización de intereses

Ahora, el interés vencido o anticipado se puede retirar o acumular. Esdecir, el beneficiario puede solicitar al prestamista que lo agregue alcapital, a fin de ganar también interés sobre esa suma en el períodosiguiente. Este proceso de agregación en períodos sucesivos de losintereses es lo que en matemática financiera se denomina Capitaliza-

ción.



87

31.94 %Semestre vencido

30 %Mes vencido

Equivalencia

Equivalencia significa igualdad en valor. Cuando nos refiramos a quedos tasas con periodo de liquidación distintos son equivalentes, esta-mos afirmando que no obstante su diferencia aparente, son iguales en valor porque la tasa de interés efectiva anual es igual para ambas.

Enseguida se ilustra este concepto con las Líneas de tiempo equivalen-tes, mostrando cómo el 30 % mes vencido es equivalente al 31.94 %semestre vencido, porque las tasas efectivas anuales de ambas soniguales al 34.49 %.

0 1 11 f = 12 0 f = 1

im = 2.5 %

Meses año

ia = 34.49 %

0 f = 1

ia = 34.49 %i m = 15.97 %

semestre

0 1 f = 2

año



89

3 . Proporcione datos de salida1. SeleccioneModulo

Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada

4 . Calcule la tasa equivalente


Portafolio Financiero -Conversión de Tasas

2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

TrimestralCuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

APLICACION

A continuación se ilustra con ejemplos algunos casos posibles.

Conversión: Tasa nominal de interés en tasa efectiva de interésConvertir 30% t.v. en una tasa de interés mensual equivalente.

Operaciones en moneda corriente

30 Trimestral• Vencida• Nominal

Mensual• Vencida

• Efectiva

2.44 % es la tasa efectiva mensual equivalente

0 1 3 f = 4 0 1 11 f = 12

im = 30 % T.V.

trimestres meses

im = ?

Líneas de tiempo

equivalentes

Trimestral

Mensual




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Conversión: Tasa efectiva de interés en tasa efectiva de interésConvertir 1 % quincenal en una tasa de interés semestral equivalente.

1 Quincenal• Vencida• Efectiva

Semestral• Vencida

• Efectiva

12.68 % es la tasa efectiva semestral equivalente

0 1 23 f = 24 0 1 f = 2

iq = 1 %

quincenas semestral

is = ?

Líneas de tiempo

equivalentes

Otra

Semestral



91


Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Conversión: Tasa nominal de interés en tasa efectiva de descuentoConvertir 30% t.v. en una tasa de descuento mensual.


Mensual• Anticipada

• Nominal

2.38 % es la tasa de descuento efectiva mensual equivalente

0 1 3 f = 4 0 1 11 f = 12

im= 30 % T.V.

trimestres meses

dm = ?

Líneas de tiempo

equivalentes

Mensual

Trimestral



93


Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Conversión: Tasa nominal de descuento en tasa efectiva de interésConvertir 30% t.a. en una tasa de interés mensual equivalente.

30 Trimestral•Anticipada• Nominal

Mensual• Vencida

• Efectiva

2.63 % es la tasa efectiva semestral equivalente

Líneas de tiempo

equivalentes

Trimestral

Mensual

0 1 3 f = 4 0 1 11 f = 12

i = 30 % T.A.

trimestres meses

im = ?




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Conversión: Tasa efectiva de descuento en tasa efectiva de interésConvertir 1 % quincenal anticipado en una tasa de interés mensual equivalente.

1 Quincenal• Anticipada• Efectiva

Mensual• Vencida

• Efectiva


0 1 23 f = 24 0 1 11 f = 12

dq = 1 %

quincenas meses

im = ?


Otra

Mensual



95


Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Conversión: Tasa nominal de descuento en tasa efectiva de descuentoConvertir 30% t.a.en una tasa de descuento mensual equivalente.

30 Trimestral• Anticipado• Nominal


• Efectiva


0 1 3 f = 4 0 1 11 f = 12

d = 30 % T.A.

trimestres meses

dm = ?


Trimestral

Mensual




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Conversión: Tasa efectiva de descuento en tasa efectiva de descuentoConvertir 1 % quincenal de descuento en una tasa mensual anticipada equivalente.

1 Quincenal• Anticipada• Efectiva


• Efectiva


Líneas de tiempo

equivalentes

Otra

Mensual

0 1 23 f = 24 0 1 11 f = 12

dq = 1 %

quincenas meses

dm = ?



97

3 . Proporcione la 2ª tasa:1. SeleccioneModulo

Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entrela 1ª tasa 4 . Calcule la tasa equivalente

Chequee:

2 Tasas



2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Cuenta de ahorro en dólares¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente de una cuenta en dólares que reconoceun interés de 8% liquidable trimestralmente, si la tasa de devaluación estimada es del 15%.

Operaciones en dólares

15 Anual• Vencida• Efectiva

8 Trimestral• Vencida

• Nominal

24.48 % es la tasa efectiva anual equivalente que representa la rentabilidad efectiva anualde esta operación en dólares.2.38 % es la tasa de descuento efectiva mensual equivalente

0 1 11 N = 12 0 f= 1

it = 8 % T.V.

trimestres año

ia = ?

tD = 15 %


Anual

Trimestral




Respuesta

Calcular

Conversión


Chequee:

2 Tasas



2 Tasas

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual


Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Crédito a constructores

Calcular el costo del crédito para un constructor a quien le conceden un préstamo en lassiguientes condiciones: tasa de corrección monetaria efectiva anual, 15 % ; Tasa de interésadicional 18%.

Operaciones con corrección monetaria


18 Anual• Vencida

• Efectiva

35.7 % es la tasa efectiva anual equivalente qrepresenta el costo anual delcrédito aconstructores.

Líneas de tiempo

equivalentes

Anual Anual

0 1 11 f = 12 0 f= 1

ia = 18 %

año año

ia = ?tc = 15 %



99

INFORMACION BASICA

Líneas

de tiempo

equivalentes

Donde,

tp

Tasa pedida nominal o efectiva de interés o descuento

t Tasa dada nominal o efectiva de interés o descuentof Frecuencia de liquidaciones en el año, de la tasa dada.

fp

Frecuencia de liquidaciones en el año de la tasa pedida

k = 1 Si la tasa es nominal

k = 0 Si la tasa es efectiva

Cuando la tasa dada o pedida sea de descuento el valor de lafrecuencia se incorpora negativa.

Fórmulas

tp = 1+ t

(f )k

f

fp

−1

fpk

Dos tasas Fórmula general para calcular la tasa efectiva anual equivalente a dos tasas dadas.

Donde,

t1

Tasade corrección, devaluación, etc...

t2

Tasa de interés adicional

Las tasas deben tener el mismo período

tp = 1 +

t1

100

1 +

t2

100

− 1

100

La fórmula siguiente es la fórmula general que hace posible el cálculo de cualquier tasa deinterés o descuento nominal o efectiva con cualquier frecuencia de liquidación, a partir de unatasa dada, nominal o efectiva, de interés o descuento, con cualquier frecuencia de liquidación.

0 1 f - 1 f 0 1 f p - 1 f p

i p

periodos

d p



7 Anualidades



102

“La imaginación es más importante que el conocimiento”

Einstein

Cuando me inicié como profesor universitario de Matemática Financiera adopté como texto guía el manual del profesor Moore, voluminoso y

atiborrado de fórmulas, que se constituyó de inmediato en dolor de cabeza

para los estudiantes. Recibía críticas y sugerencias para cambiarlo, perome gustaba su metodología.

Posteriormente dicté un seminario a Corredores de bolsa, en el cual entre- gué a los asistentes calculadora financiera programable, de reciente apari- ción. No obstante, uno de ellos muy angustiado frente al cúmulo de fórmu-las y procedimientos me sugirió que desarrollara una fórmula única pararesolver todos los problemas de la matemática financiera. Respondí elusivo y continué.

Meses más tarde, sin proponérmelo, me percaté que con cinco botones de la calculadora solucionaba de manera recurrente varios problemas de interés compuesto para los que antes utilizaba varias fórmulas; para que ello fuera posible, imaginé, debían haber desarrollado una sola fórmula. En efectoasí era.

Tuve que aceptar que por aquella época no estaba en condiciones de renun- ciar a la aureola que me imprimía el manejo de tal volumen de información por explorar nuevas posibilidades. Este hecho había vendado mi imagina-

ción, al punto de no percibir la evidencia frente a mis ojos.

Sentí pena, trabajé duro, factoricé y obtuve síntesis afortunadas, que mucho habrían apreciado mis alumnos de aquellos días que tuvieron que hacer de lado esta materia por su aridez.



103

Importancia práctica del tema Las anualidades constituyen una de las herramientas más utiles en losnegocios, cubren un amplio espectro de problemas entre los cuales se cuentan:

• Cálculo de cuotas en el otorgamiento de créditos de Vehículos, electrodomésticos, vivienda.

• Constitución de Fondos

• Operaciones de Leasing

• Cálculo de rentabilidad de bonos, Depósitos a término, Cédulas de capitalización y otrosinnúmero de Activos financieros.

• Compra a descuento de títulos- valores

• Cálculo del costo de un sinnúmero de créditos.

• Constitución de Rentas perpetuas.




Variables básicas

Con ayuda de en un ejemplo se definirán las variables básicas queparticipan en este tipo de problemas.

Adquisición de vehículoJaime atiende el siguiente aviso publicitario: “ Adquiera su vehículo en las mejores condiciones:Solo 12’000.000. Cuota inicial de 2.000.000 y el saldo en 36 meses con cuota mensual de458.000" ¿Cual es la tasa de interés cobrada?, pregunta Jaime.

Esta figura representa del lado izquierdo el préstamo que recibe Jaime. Del lado derechoaparece lo que debe pagar en los próximos 3 años: treinta y seis cuotas iguales de 458.000mensual. Quiere decir que el concesionario está dispuesto a cambiar 10 millones de hoy poruna serie de pagos mensuales iguales que constituyen una anualidad.

Anualidad

Se define como anualidad una cuo-ta periódica igual.

El período entre cuotas pueden serdías, semanas, meses, semestres,etc. y no exclusivamente años como

su nombre parece sugerirlo.

Cuota periódica, C

Es el valor de la cuota de la anua-lidad.

0 1 35 N = 360 1 35 N = 36

VP = 10'000.000im = ?%

meses

C = 458.000

0 1 35 N = 36

meses

0 1 35 N = 36

meses

C = 458.000



105

Período entre cuotas, p

Es el intervalo de tiempo entre cuo-tas.

Frecuencia de cuotas, f

Es el número de cuotas en el año,definida por el período escogido.Mes, frecuencia 12; Trimestre, fre-cuencia 4; etc...

Plazo de la anualidad, N

Es el intervalo comprendido entre elcomienzo del primer período y el fi-nal del último período. Se divide en,N, períodos, donde, N = nf; n, es elnúmero de años y, f, el número decuotas por año.

Tasa de interés periódica, ip

Es la tasa de interés aplicada entrecuota y cuota.

im = Tasa efectiva mensual

Nota importante.

Antes de entrar a clasificar las anua-

lidades, vale la pena destacar queestas se basan íntegramente en lasfórmulas de interés compuesto.

0 1 35 N = 36

p = mes

C = 458.000

0 1 35 N = 36

N

C = 458.000

0 1 35 N = 36

meses

C = 458.000im = ?%



Clasificación

Las anualidades se dividen en dos grandes grupos : Anualidad Even-

tual y Anualidad Cierta.

Anualidad eventual

Es aquella que con un plazo esperado de duración, su fecha de inicia-ción y/o culminación no se puede precisar. Un buen ejemplo, de esta clase de anualidad, lo constituyen los pagos por jubilación que seinician cuando el empleado cumple una edad y un tiempo de servicioen una empresa: La iniciación de la anualidad es previsible, pero suculminación es aleatoria; el empleado puede vivir uno, dos, tres,... veinteaños, después de su jubilación, sin que se pueda precisar con exacti-tud la fecha de su deceso.

Se ha utilizado el término esperado, en la definición, porque con lastablas de mortalidad se puede estimar de que edad se espera que mue-ra, sin que necesariamente ocurra así.

Anualidad cierta

Es aquella en la cual el tiempo de duración de la anualidad está defini-do precisa y previamente. Estas son las anualidades que se tratan eneste libro.

Tanto la anualidad Eventual como la Cierta se subdividen en anuali-dad a Término y Renta Perpetua.

Anualidad a término

Aquella que tiene un plazo preciso:36 meses, por ejemplo.

Renta perpetua

Es aquella cuyo plazo es ilimitado,o cuya duración tiende a infinito.

0 1 35 N = 36

meses

C = 458.000

0 1 36 N = ...∞

meses

C = 500.000



107

La Anualidad a Término y la renta Perpetua se subdividen, ambas, encuatro grupos. Ellos son : Vencida; Anticipada; Diferida Vencida y Diferida Anticipada.

La definición de cada una , se presenta a continuación :

Anualidad vencida

Denominada también común, esaquella que inicia cuando culmina el primer período del plazo.

Anualidad anticipadaEs aquella que inicia con el plazo.

Anualidad diferida

Es aquella en la cual transcurrenalgunos períodos antes de iniciar elplazo de la serie. Se denominan: Anualidad Diferida Anticipada o

Vencida, según el caso.

Diferida Vencida

Diferida Anticipada

0 1 35 N = 36

meses

C = 458.000

0 1 35 N = 36

meses

C = 2'100.000

0 N' N - 1 N

períodos

C

0 N' N - 1 N

períodos

C



Anualidad cierta a término con cuota global

Se define como global aquella cuota mayor o menor que la cuota perió-dica de la anualidad. Puede presentarse en cualquier punto sobre la

línea de tiempo; pero, generalmente, se ubica al final del plazo de la anualidad como cantidad necesaria para saldar una deuda, como ocu-rre en las operaciones de Leasing.

Estas anualidades pueden ser vencidas o anticipadas.

Vencida

Anticipada

Renta perpetua

Es aquella cuyo plazo es ilimita-do. Puede presentarse vencida oanticipada.

En algunos testamentos se lega

una suma fija para asegurar conel interés la entrega de una cuo-ta periódica igual, indefinidamen-te, a instituciones de beneficen-cia : ancianatos, hospitales, etc.

0 1 N - 1 N = ?

Cuota global

Cuota uniforme

período

0 1 N - 1 N = ?

Cuota global

Cuota uniforme

período

período

0 1 N-1 N -> ∞

C



109

2. Cuando se trata de AHORRO

Fórmula

Líneas

de tiempo

equivalentes

Definición

de variables

VP = C1− 1+ ip( )−N

ip

1+ ip ⋅k( )+Cg 1+ ip( )−N

1+ ip( )

−N

VF = C1+ ip( )

N+1

ip

1+ ip ⋅k( )+ Cg

Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

1. Cuando se trata de CREDITO

INFORMACION BASICA

VP, Valor Presente

C g , Cuota global

i p , Tasa de interés periódica C , Cuota uniforme

N, Número de períodos

0 N' N-1 N0 N' N-1 N

VP Valor Presente

VF Valor Futuro

C Valor de la cuota

i p Tasa de interés periódica (1)

n Número de años

f Frecuencia anual de la cuota

N Numero total de períodos o cuotas n.f

N' Numero de períodos del plazo diferido

Cg Cuota global



(1) Se calcula con la fórmula general de Conversión de tasas

C g

VFC

0 N' N-1 N0 N' N-1 N

i p %

períodos

N'



8 Anualidad

vencida




Anualidad vencida es aquella cuya Cuota periódica se localiza al final de

los sucesivos períodos que conforman el plazo.

De acuerdo al principio de la Equivalencia y con la ayuda de las Líneas de

Tiempo Equivalentes, se sabe que una suma cualquiera podía transformar- se o cambiarse por otra u otras sumas equivalentes, si el interés de oportuni-

dad se conservaba invariable. Con el apoyo de este concepto, se pueden

hallar los valores equivalentes de una anualidad, bien, al finalizar, al iniciar o en un punto intermedio del plazo de la anualidad.

Clasificación de los problemas

Las anualidades, en general, comprenden básicamente dos tipos de problemas: Específicos yGenerales

Específicos

Aquellos en los cuales el período de la tasa coincide con el período del plazo.

Generales

Aquellos en los cuales el período de la tasa no coincide con el período del plazo y debe reali-zarse la conversión correspondiente, antes de iniciar la solución del problema.

De cualquier manera para nuestro caso, ambos eventos quedan solucionados porque el pro-grama convierte automáticamente cualquier tasa dada a la tasa requerida por el problema.

Aplicación

Estos conceptos teóricos se aplican básicamente en dos tipos de problemas: Amortización yFondos

• Amortización: En los cuales se plantea la cancelación de créditos.

• Fondos: En los cuales se plantea el ahorro periódico con el propósito de acumular una sumaprefijada.

Son múltiples los problemas en los cuales se desea saber qué cuota se debe entregarperiódicamente para pagar una deuda, o qué cuota se debe depositar periódicamente paraacumular una cantidad deseada en el futuro; de la misma manera se querrá conocer en cuántotiempo se puede recuperar una inversión o en cuánto tiempo se puede acumular una sumadeterminada; asímismo , cuál será la rentabilidad de una inversión, o a qué tasa se debe colocarun inversión para obtener un montante determinado en el futuro. Todas estas posibilidades,como muchas otras, pueden resolverse conociendo el valor presente y otras dos variables, ó elvalor futuro y otras dos variables.



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

APLICACION

Cálculo del Valor presente

Deuda en la compra de un automóvilSe compra un automóvil y se cancela una cuota inicial de 150.000; queda una deuda repre-sentada por 24 cuotas de 18.505. Si el propietario de la agencia asegura que cobra el 3% deinterés mensual sobre saldos, ¿Cuánto se adeuda?

Valor Presente

24

318 505

La deuda pendiente de pago es 313.392

Líneas de tiempo

equivalentes0 1 23 N = 240 1 23 N = 24

VP = ?i m = 3%

meses

C = 18.505



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del Valor futuro

Cancelación de cuotas pendientes de pagoSi en el caso anterior se deja para pagar la totalidad al concluir el mes 24, ¿cuánto tendría que

pagar?

24

318 505

Valor Futuro

637.062 sería la suma que tendría que pagar.


VF = ?C = 18.505

0 1 23 N = 240 1 23 N = 24

i m = 3%

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la cuota periódica conocido el Valor presente

Valor de la cuota para cancelar el crédito de un pasaje aéreoBernardo desea viajar a Estados Unidos. Una compañía de turismo le presenta un presupuestode 94.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales. Si la tasa de interés nominal aplicada es del27% liquidable mensualmente, ¿Qué suma debe abonar Bernardo cada mes?

Cuota uniforme

12

27

94 000

9.026 es el valor de la cuota que se debe abonar cada mes.

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 11 N = 123 4 11 N = 12

VP = 94.000 i = 27% M.V.

meses

C = ?



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del plazo conocido el Valor presente

Plazo para cancelar una hipotecaEl préstamo original para la compra de la casa fue de 316.259, para ser cancelado mediante el

pago de cuotas mensuales de 7.000. Si la tasa de interés pactada fue de 26 %M. V., ¿Cuál fueel plazo acordado inicialmente?

267 000

316 259

Nº de Períodos

El plazo que se acordó fue de 180 meses

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 N - 1 N = ?0 1 N - 1 N = ?

VP = 316.259 i = 26% M.V.

meses

C = 7.000



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la Cuota periódica conocido el Valor futuro

Valor de la reserva mensual para acumular en un FondoUna cooperativa de caficultores debe proveer, 2 millones, en 12 meses, para completar las

inversiones en una trilladora. La Corporación Financiera del Valle reconoce el 2.75%, capita-lizable mensualmente por los depósitos a término. ¿Cuánto deberá reservar mensualmente laCooperativa para alcanzar esa suma?

Cuota uniforme

12

2.75

2 000 000

142.937 es el valor de depósito mensual necesario para acumular la suma deseada.

Líneas de tiempo

equivalentes

Existe un valor para la cuota periódica que hace que, 12 de ellas, al 2.75%, mensual, seanequivalentes, a 2.000.000, al finalizar el año.

VF = 2'000.000C = ?

0 1 11 N = 120 1 11 N = 12

i m = 2.75%

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Calculo del plazo conocido el Valor futuro

Número de cuotas para acumular un FondoUna Caja de Previsión recauda por concepto de cuotas de sus afiliados la suma de 150.000

mensuales. Su gerente requiere acumular por lo menos 12.000.000 antes de cuatro años. Siconsulta con su asesor financiero y este le asegura que los depósitos con que cuenta men-sualmente colocados al 2.20% mensual, en Certificados de Depósito a Término en una compa-ñía de financiamiento, alcanzan antes de cuatro años la suma de 12.142.794, ¿Durante cuán-tos meses debe depositar esa suma?

2.2150 000

+/- 12 142 794

Nº de Períodos

47 es el número de depósitos necesarios.


VF = 12'142.794C = 150.000

0 1 N - 1 N = ?0 1 N - 1 N = ?

i m = 2.2%

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la Tasa conocido el Valor futuro

Tasa efectiva anual necesaria para constituir un FondoSe adquiere una maquinaria cuyo valor es de 250.000 y se piensa depreciar en 5 años. La tasa

promedio de inflación anual se estima será del 20%. Si el gerente de una Corporación Finan-ciera asegura que con depósitos de 59.025 anuales, en esa institución, se tendrá la sumasuficiente para reponer el equipo, ¿Qué tasa de interés efectiva anual reconoce?

Primero, es necesario determinar el valor de la maquinaria al cabo de los cinco años.

Valor Futuro

5

20

250 000

622.080 es el valor estimado que tendrá la maquinaria al cabo de los cinco años.


VF = ?

0 1 4 N = 50 1 4 N = 5

i a = 20%

años

VP = 250.000



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Segundo, Cálculo de la tasa efectiva anual

Luego, en los depósitos de 59.025. anuales, durante cinco años, a una tasa de interés determi-nada, deben equivaler a la suma de 662.080. Las líneas de tiempo quedan así:

5

59 025

+/- 622 080

Tasa de interés

38 % es la tasa efectiva anual que reconoce la Corporación.

Líneas de tiempo

equivalentes

VF = 622.080C = 59.025

0 1 4 N = 50 1 4 N = 5

i a = ?%

años



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,


Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Anualidad con cuota global

Existen muchas operaciones financieras que envuelven, no solamente una seriede cuotas periódicas, sino, también, un pago final o sobre cualquier otro puntode la línea de tiempo, que puede ser mayor o menor que las cuotas periódicas.

Estos pagos son llamados cuotas globales - Cg- y pueden ser usados para saldar un préstamo antes de que complete el tiempo pactado, o en otra varie-dad de circunstancias. El caso es muy común en activos financieros, como bonos, u otros papeles, que se colocan a descuento. Se ilustra con ejemplos suutilización en la práctica.

Cálculo del valor presente

Precio de un Bono comprado a descuentoSe espera obtener un rendimiento mínimo del 15% semestral en la compra de bonos cuyoscupones reportan 90 semestrales por interés durante seis semestres y, al final del último se-mestre, a su redención , se recibe 1.000. ¿Cuál es el precio equivalente a esa serie de pagosque asegura el rendimiento esperado? o en otras palabras, ¿Cuánto se puede pagar por él?

6

15

90

1 000

Valor Presente

773 es el precio que se puede pagar por el Bono

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 5 N = 60 1 5 N = 6

VP = ?i s = 15%

semestres

C = 90

Cg = 1.000



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Rentabilidad de un Bono comprado a descuentoEn los periódicos capitalinos se informa que en la bolsa se negociaron bonos de 1.000, a 750,

a tres semestres de su redención. Con las condiciones del ejemplo anterior determinar ¿Cuáles la tasa que efectivamente gana el comprador, tanto semestral, como anualmente?. En otraspalabras ¿Cuál es la rentabilidad de esa inversión?

Tasa de interés

3

90

750

1 000

21.07 % es la tasa efectiva semestral46,57 % es la tasa efectiva anual equivalente.


0 1 2 N = 30 1 2 N = 3

VP = 750i s = ?%

semestres

C = 90

Cg = 1.000



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del valor de la Cuota

Valor de la cuota en una operación de LeasingSe piensa adquirir maquinaria por valor de 10 millones bajo la modalidad de arrendamientofinanciero (leasing) con opción de compra del 15% sobre el precio. Si el plazo es de 36 mesesy la tasa de interés de 4% mensual ¿Cuál es el valor de la cuota que corresponde cancelarmensualmente?.

Cuota uniforme

36

4

10 000 000

1 500 000

509.538 es el valor de la cuota mensual

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 35 N = 360 1 35 N = 36

VP = 10'000.000i m= 4%

meses

C = ?

Cg = 1'500.000



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la Cuota Global

Cuota global en la operación de LeasingSi la compañía de leasing acepta las cuotas mensuales de 461.000 , pero decide no ampliar el

plazo ¿Cual será el valor de la cuota global a cancelar al cabo del plazo?

36

4461 000

10 000 000

5.266.503 es la suma que se debe cancelar como opción de compra al culminar el plazo.


Valor Futuro

0 1 35 N = 360 1 35 N = 36

VP = 10'000.000i m= 4% C = 461.000

Cg = ?

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Fondo en Valor constanteLas cuentas de ahorro en valor constante reconocen una tasa de interés de 6.168% efectivo

trimestral. Si Carlos Zuluaga deposita 2.560 mensuales durante 24 meses, sin hacer ningúnretiro, ¿Cuánto habrá acumulado al concluir el plazo?

Valor Futuro

24

6.1682 560

78.024 es la suma que debe tener disponible a los 24 meses.

Líneas de tiempo

equivalentes

VF = ?C = 2.560

0 1 23 N = 240 1 23 N = 24

i t = 6.168%

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la cuota periódica

Programa de inversión en Títulos valoresEduardo desea ahorrar mensualmente una suma de dinero que le permita, dentro de 15 años,

costear la educación universitaria de sus hijos. Estima que, en ese tiempo, debe disponer de1’545.650 para cubrir los costos que se originarán en los cinco años siguientes. El deseainvertir en títulos valores y reinvertir los intereses. Si ellos producen el 23.53% efectivo anual,¿Cuál será la suma que debe invertir mensualmente?

Cuota uniforme

15

23.53

1.545.650

1.204 es el valor necesario del depósito mensual.

Líneas de tiempo

equivalentes

VF = 1'545.650C = ?

0 1 179 N = 1800 1 179 N = 180

i a= 23.53%

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Pago anticipado de impuestosUna sociedad debe pagar la suma de 284.880 de Impuesto a la renta, por el año gravable,

fraccionada en cuatro cuotas, cada trimestre. Si una compañía de financiamiento comercialesta dispuesta a reconocerle una tasa de interés de 36.05% efectivo anual, ¿Qué suma debedepositar hoy, para cumplir de manera oportuna con los pagos?

4

36.05284 880 ÷ 4 =

Valor Presente

235 889 es el Valor presente del depósito.

Líneas de tiempo

equivalentes0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

VP = ? i a = 36.05%

trimestre

C = 71.220



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Cuota semestral para amortizar crédito de automóvilUna compañía que financia compra de automóviles cobra una tasa de interés efectivo trimes-

tral del 12,25% y concede 2 años de plazo para la cancelación de la obligación. Galo compraun vehículo y queda debiendo 800.000 que debe cubrir con cuotas semestrales, ¿Cuál es elvalor de cada cuota?

2

12.25

800 000

Cuota Uniforme

344.803 es el valor de la cuota semestral.

Líneas de tiempoequivalentes0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

VP = 800.000 i t = 12.25%

semestre

C = ?



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del número de periodos

Plazo para recuperar la inversiónLa cooperativa de caficultores desea invertir 17.400.000 en la construcción y montaje de una

trilladora. Se estima la utilidad mensual neta, al 80% de la capacidad instalada, en 1’250.000.Si consigue los recursos a un costo del 22.5% efectivo anual, ¿En cuanto tiempo recuperará lainversión?

Nº de Períodos

22.51 250 000

17 400 000

16 meses es el pazo indispensable para recuperar la inversión.

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 N - 1 N = ?0 1 N - 1 N = ?

VP = 17'4000.000 i a = 22.5%

meses

C = 1'250.000



VP Valor Presente

VF Valor Futuro

C Valor de la cuota


n Número de años


N Numero total de períodos o cuotas

C Cuota global




Fórmulas

Líneas

de tiempo

equivalentes

Definición

de variables

VF = C1+ ip( )

N+1

ip

1+ ip ⋅k( ) +Cg

INFORMACION BASICA


VP = C 1− 1+ ip( )−N

ip

+ Cg 1+ ip( )−N

2. Cuando se trata de AHORRO

C g

VFC

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

i p %

Períodos

0 1 N -1 N 0 1 N - 1 N

C , Cuota uniformeVP, Valor Presente

Cg , Cuota global

i p , Tasa de interés periódica




9 Anualidadanticipada



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

APLICACION

OPERACIONES DE CREDITO


Cuota periódica anticipada en un crédito hipotecarioAlgunos créditos hipotecarios se pueden pactar con cuotas iguales anticipadas ¿Cuál sería lacuota mensual por cada 100.000 de crédito con las siguientes condiciones: tasa de interésnominal, 26% liquidables mensualmente; plazo del credito, 15 años (180 meses)

C = 2.166 Que es la cuota que el banco cobraría anticipadamente.

Cuota Uniforme

15

26

100 000


0 1 1790 1 179

VP = 100.000 i = 26 % M.V.C = ?

N = 180 N = 180

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Pago anticipado del cánon de ArrendamientoSe paga 10.000 de arrendamiento mensual y anticipadamente. El dueño de la propiedad está

de acuerdo en reconocer el 2.5 % mensual como tasa de interés, si se cancelan las docecuotas al iniciar el año, ¿Cuanto recibirá?

105.142 es el valor presente que reemplazaría el pago de la anualidad.

12

2.510 000

Valor Presente


0 1 110 1 11

VP = ?i m = 2.5 % C = 10.000

N = 12 N = 12

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Cuota anticipada en un crédito hipotecarioLas Corporaciones de ahorro y vivienda cobran el 30.075 % anual, por los créditos individuales.

Si en un crédito de 5 años, cobran la cuota anticipadamente ¿Cuál es la cuota mensual porcada 100.000 de crédito?

2.963 es la cuota mensual a pagar para cancelar el crédito

Cuota uniforme

5

30.075

100 000

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 590 1 59

VP = 100.000i a = 30.075 % C = ?

N = 60 N = 60

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del plazo

Vida útil de muebles y enseresSe compran muebles para una oficina por 500.000. El gerente estima que la tasa de interés

promedio que puede conseguir en el mercado por sus excedentes de tesorería es de 2.5%mensual y solicita al gerente financiero que fije una cuota mensual anticipada para crear elfondo de reposición. Si este decide que debe ser de 15.782 ¿Qué vida útil le asignó a losmuebles y equipos?

Luego, la vida útil es de 60 meses o 5 años.

2.515 782

500 000

Nº de Períodos


0 1 N - 10 1 N - 1

VP = 500.000i m = 2.5 % C = 15.782

N = ? N = ?

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la tasa de interés

Tasa de interés de un crédito hipotecarioSi se cobran 180 cuotas anticipadas de 2.213 , por cada 100.000 de un crédito hipotecario

¿Cuál es la tasa efectiva anual que está cobrando el banco?

2.22% es la tasa efectiva mensual.

30.12 % Es la tasa efectiva anual que representa lo que efectivamente se está cobrando por el préstamo, por los saldos pendientes de pago.

Tasa de interés

180

2 213

100 000


0 1 1790 1 179

VP = 100.000i = ? % C = 2.213

N = 180 N = 180

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

OPERACIONES DE AHORRO


Fondo con depósitos anticipadosEl gerente financiero, decide depositar parte del superavit de tesorería -100.000 trimestrales-en cuenta de ahorros que le garantiza 6.5% trimestral. Si se constituyen los depósitos al iniciarlos trimestres, durante dos años, ¿Cuánto habrá acumulado al final de ese período?

1.073.185 es la suma acumulada al cabo de dos años.

2

6.5100 000

Valor Futuro

Líneas de tiempo

equivalentes

VF = ? C = 100.000

0 1 70 1 7

i t = 6.5 %

trimestres

N = 8 N = 8



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la Cuota periódica

Reserva mensual para constituir un FondoSe conviene constituir un fondo con una reserva mensual anticipada para cumplir un compromiso

semestral. Si el valor del fondo, cada semestre, debe ascender a 250.000 y un establecimientobancario reconocerá el 2.5% mesual, ¿de cuánto debe ser el depósito mensual?.

38.183 Es la suma que se requiere depositar mensual y anticipadamente, para asegurar unfondo de 250.000 cada semestre.

6

2.5

+/- 250 000

Cuota uniforme

Líneas de tiempo

equivalentes

VF = 250.000 C = ?

0 1 50 1 5

i m = 2.5 %

meses

N = 6 N = 6



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del plazo

Número de depósitos para acumular un FondoSe constituye un fondo, con Certificados de Depósito a Término, por 25.000, anuales que

reconocen el 29.47% efectivo anual, ¿Cuántos depósitos se deben realizar anticipadamentepara acumular 289.721?

Se requieren 5 depósitos anticipados de 25.000 para acumular la suma deseada.

Nº de Períodos

29.4725 000

+ / - 289 721


VF = 289.721 C = 25.000

0 1 N - 10 1 N - 1

i a = 29.47 %

años

N = ? N = ?



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Tasa de interés que gana un FondoEl ejecutivo de cuenta de una corporación ofrece entregar 129.870 en un año, si se depositan

9.367 mensual y anticipadamente, ¿Qué tasa de interés mensual está ofreciendo el promotor?

La tasa de interés mensual ofrecida es 2.202%.

12

9 367

+ / - 129 870

Tasa de interés


VF = 129.870 C = 9.367

0 1 110 1 11

i m = ? %

meses

N = 12 N = 12



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Anualidad anticipada con cuota global

Como ocurre con problemas de las anualidades ordinarias, las anualidadesanticipadas también presentan muchos problemas que comprenden Cuota glo-

bal; entre otros se destacan las operaciones de Arrendamiento financiero (Leas-ing).


Valor del crédito en una operación de LeasingUna compañía de Arrendamiento Financiero (Leasing) ofrece a un industrial como opción paraadquirir equipos, un canon de arrendamiento anticipado de 1.100.000 durante 36 meses ¿Cuáles el valor presente equivalente a esa serie de pagos, si cobran una tasa de interés de 3.5%mensual y una opción de compra que asciende a 6.552.997 ?

25.000.000 es la suma presente equivalente al canon propuesto.

36

3.5

1 100 000

6 552 997

Valor Presente

Líneas de tiempo

equivalentes0 1 350 1 35

VP = ?i m = 3.5 % C = 1.100.000

N = 36 N = 36

C g = 6.552.997

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del valor de la Cuota

Compra de maquinaria por el sistema de LeasingSe piensa adquirir maquinaria por la modalidad de arrendamiento financiero (leasing) con opción

de compra del 20% sobre el precio. Si este es de 15 millones, el plazo de 48 meses y la tasade interés de 4% mensual ¿Cuál es el valor de la cuota que corresponde cancelarmensualmente?.

659.777 es el valor de la cuota mensual.

48

4

15 000 000

3 000 000

Cuota uniforme


0 1 470 1 47

VP = 15.000.000i m = 4 % C = ?

N = 48 N = 48

meses

Cg = 3.000.000



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la Cuota Global

Valor de la opción de compra en una operación de LeasingSi la compañía de leasing de los ejercicios anteriores acepta las cuotas mensuales de 625.406,

pero decide no ampliar el plazo ¿Cual será el valor de la cuota global , a cancelar al cabo delplazo?

7.978.037 es el valor de la Opción de compra que debe cancelar la empresa al culminar elplazo.

48

4625 406

15 000 000

Valor Futuro

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 470 1 47

VP = 15.000.000i m = 4 % C = 625.406

N = 48 N = 48

meses

Cg = ?



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cuando el período de la tasa es diferente al período del plazo.

Cálculo del valor futuro

Ahorro programado en Cuenta de ahorroRaúl Obregón deposita 24.650, el primero de cada mes, en cuenta de ahorro de unestablecimiento bancario, que le reconoce una tasa efectiva trimestral de 6.17%. Si hacedepósitos durante 25 meses, ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de ese plazo?

25

6.1724 650

Valor Futuro


807.085 es la suma acumulada al cabo de los 25 meses.

VF = ? C = 24.650

0 1 240 1 24

i t = 6.17 %

meses

N = 25 N = 25



VP = C1− 1+ ip( )−N

ip

1+ ip ⋅k( )+Cg 1+ ip( )

−NFórmula

Líneas

de tiempo

equivalentes

Definición

de variables

VF = C1+ ip( )

N+1

ip

1+ ip ⋅k( )+Cg

INFORMACION BASICA

VP Valor Presente

VF Valor Futuro

C Valor de la cuota


n Número de años


Líneas

de tiempoequivalentes


Cg Cuota global





2 . Cuando se trata de AHORRO

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

VPCg

i p %

Períodos

C

C g

VFC

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

i p %

Períodos



10 Anualidad

diferida

'




Este tema es de amplia aplicación en los créditos de Fomento Industrial,

agropecuario y educativo en los cuales por su objetivo, en general contem- plan plazos de gracia.


Crédito para un largometrajeEl Fondo de Fomento Cinematográfico concede al Director, Lisandro Duque, un crédito para laproducción de un largo metraje colombiano. Las condiciones del crédito son: período de gra-cia: un año, plazo: 5 años; amortización: cuotas trimestrales iguales de 166.434 ; tasa de inte-rés: 12% anual T. V. . Se pregunta, ¿Cuál fue el valor del préstamo?

Crédito educativo para postgradoGabriel solicitó un crédito para adelantar un programa de posgrado en el país. Se le concedióun plazo de 60 meses para cancelarlo después de transcurrir un período de gracia de 1 año yle cobran una tasa de interés del 12% , liquidable mensualmente. Si la cuota mensual es de49.635 y se cobra anticipada, ¿Cuál fue el valor del préstamo?.




Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Nº de Períodos


Borrar Datos

Tasa de interés




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

APLICACION

Anualidad diferida vencida

Cálculo del Valor PresenteProducción de un largometrajeEl Fondo de Fomento Cinematográfico concede al Director, Lisandro Duque, un crédito para laproducción de un largo metraje colombiano. Las condiciones del crédito son: período de gra-cia: un año, plazo: 5 años; amortización: cuotas trimestrales iguales de 166.434 ; tasa de inte-rés: 12% nominal trimestre vencido. Se pregunta, ¿Cuál fue el valor del préstamo?

2.200.000 fue el valor del préstamo.

Valor Presente

6

12166 434


VP = ? C = 166.434

trimestres

00 5 23 N = 24 5 23 N = 24

i t = 12 % T.V.



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Nº de Períodos


Borrar Datos

Tasa de interés




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del valor de la Cuota uniforme

Financiación de viviendaSe crea una línea de crédito para vivienda de empleados del sector público. Ella considera unplazo muerto de dos años, y cinco años adicionales para saldar la deuda. ¿Cuál es el valor lacuota mensual anticipada que debe abonarse por cada 100.000 de crédito, si la tasa de interéscontemplada en el proyecto fue de 18%, liquidable mensualmente?

3.576 es el valor de cada una de las 60 cuotas que tendrán que pagar los beneficiarios de estalínea de crédito por cada 100.000 de préstamo que obtenga.

Cuota uniforme

5

18

100 000


Anualidad

Rentas perpetuas

X Cancel

OK

Tipo de anualidad

Anticipada

Vencida

•

00

i p = 18 % M. V.

meses

C = ?VP = 100.000

24 83 N = 84N = 8424 83



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Nº de Períodos


Borrar Datos

Tasa de interés




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Diferidas vencidas

Cálculo del valor Presente

Crédito de Fomento

Una institución de fomento concede un crédito bajo las siguientes condiciones: período degracia con capitalización del interés: 1 año; y 7 cuotas anuales vencidas de $643.285; tasa deinterés: 24 % mes vencido, ¿Cuál será el valor del crédito concedido?

1.532.616 es el Valor Presente del préstamo.

Valor Presente

7

24643 285

Líneas de tiempo

equivalentes

Anualidad

Rentas perpetuas

X Cancel

OK

Tipo de anualidad

Anticipada

Vencida

•

VP = ? C = 643.285

años

00 2 7 N = 8 2 7 N = 8

i = 24 % M. V.



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Nº de Períodos


Borrar Datos

Tasa de interés




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Diferidas anticipadas


Crédito de Fomento con cuotas anticipadas

Resolver el problema anterior asumiendo que las cuotas anuales se pagan anticipadas. Lascaracterísticas del crédito se repiten: período de gracia con capitalización de intereses, 1 año;y 7 cuotas anuales anticipadas de, $643.285; tasa de interés: 24 % mes vencido, ¿Cuál fue elvalor del crédito concedido?.

7

24643 285

Valor Presente

Líneas de tiempo

equivalentes

1.943.728 es el Valor Presente del préstamo.

Anualidad

Rentas perpetuas

X Cancel

OK

Tipo de anualidad

Anticipada

Vencida

•

VP = ?C = 643.285

años

00 2 7 N = 8 2 7 N = 8

i = 24 % M. V.



VP = C1− 1+ ip( )

−N

ip

1+ ip ⋅k( ) + Cg 1+ ip( )−N

1+ ip( )

−NFórmula

Líneas

de tiempo

equivalentes

Definición

de variables

VF = C1+ ip( )

N+1

ip

1+ ip ⋅k( )+ Cg

INFORMACION BASICA

VP Valor Presente

VF Valor Futuro

C Valor de la cuota


n Número de años


Líneas

de tiempoequivalentes


N' Periodos Diferidos

Cg Cuota global





2 . Cuando se trata de AHORRO

Fórmula

VP, Valor Presente

C g , Cuota global

i p , Tasa de interés periódica C , Cuota uniforme


0 N' N-1 N 0 N' N - 1 N

C g

VFC

0 N' N-1 N0 N' N-1 N

i p %

Períodos

N '




El tema aunque no es de uso frecuente en el sector financiero es de gran

utilidad en ciertos sectores como el público en los cuales es necesario a veces calcular el costo capitalizado o de reposición de un Activo Público como un

puente, carretera, etc...


Renta perpetua para un ancianato

Un Filántropo desea asegurar 500.000, mensual y a perpetuidad a un ancianato. El depositauna suma en una compañía de financiamiento comercial que le asegura una tasa de 2.36%,efectivo mensual ¿Cuánto depositó el filántropo?

Costo capitalizado de una ampliación telefónicaSe ejecuta el proyecto de 10.000 líneas telefónicas para una ciudad intermedia. El costo deeste proyecto fue de 22 millones de dólares y la vida útil, se estima , será de 15 años. Si la tasade interés efectiva pactada fue de 12% anual y el valor de reposición es de 24 millones, ¿Cuáles el costo capitalizado de esta obra?




Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

APLICACION


Renta perpetuaSe colocan US $100.000, al 34.49 % efectivo anual. Si se decide retirar mensualmente losintereses y se conserva intacto el capital ¿Cual es el valor del pago mensual a perpetuidad?

Líneas de tiempo

equivalentes

1

34.49

100 000

Cuota uniforme

Anualidad

Rentas perpetuas

X Cancel

OK

Tipo de anualidad

Anticipada

Vencida

x

2.500 dólares es el valor de la cuota de la Renta perpetua

0 2 7 N-> ∞

i a = 34.49 %

meses

VP = 100.000C = ?

0 1 7 N ->∞



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,


Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Como se puede apreciar en el ejemplo tratado, al colocar y conservar elmismo depósito indefinidamente a la misma tasa de interés, generará una cuota periódica igual, también de manera indefinida. Es decir,que aquella suma es el valor presente de la renta perpetua.

Renta perpetua para los ancianosUn Filántropo desea asegurar 500.000, mensual y a perpetuidad a un ancianato. El depositauna suma en una compañía de financiamiento comercial que le asegura una tasa de 2.36%,efectivo mensual ¿Cuánto depositó el filántropo?

Líneas de tiempo

equivalentes

21.186.441 Que es la suma que el filántropo debe depositar en la compañía de financiamiento,

para asegurar la renta de 500.000 mensuales a perpetuidad.

1

2.36

500 000

Valor Presente

0 2 7 N->∞

i m = 2.36%

meses

VP = ?C = 500.000

0 1 7 N->∞



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del Valor Presente cuando el período de la tasa es

diferente al período del plazo

Fundación para beneficenciaUna fundación desea asegurar la entrega de $765.400 semestrales, a perpetuidad, a unainstitución de beneficencia. Se conviene con una compañía fiduciaria una tasa de interésefectiva anual de $38.08%, ¿Qué suma debe depositar la fundación?

Líneas de tiempo

equivalentes

4.371.853 es la suma que la fundación debe depositar en la compañía fiduciaria, para asegurarla renta de 765.400 semestrales a perpetuidad.

1

38.08765 400

Valor Presente

i a = 38.08 %

semestre

VP = ?C = 765.400

0 1 7 N->∞

0 2 7 N->∞



Capitalización y Costo Capitalizado

La operación de hallar el valor presente de una Renta Perpetua, comose acaba de hacer, se denominará por este capítulo, Capitalización.

Costo capitalizado

Generalmente un activo debe ser reemplazado con cierta periodicidad:edificios, maquinarias, obras de infraestructura como puentes, redeseléctricas, etc. Se supone que siempre se necesitará el puente o la maquinaria para darle continuidad a la producción; luego, habrá ne-cesidad de reponer con cierta periodicidad esos bienes.

Si una máquina tiene una vida útil de 10 años, significa que habrá que

reemplazarla cada 10 años. Si además suponemos que el costo perió-dico de reposición es, C, y su costo inicial, Co, luego, se define comoCosto Capitalizado al costo inicial más el valor presente de las cuotasperiódicas de reposición.

Si se denomina al costo capitalizado, Cc, luego por definición:

Fórmula

Cc = C0 + VP

Cc = C0 + C

ip

Donde,

Cc, Costo capitalizado

C0, Costo inicial

C , Costo de reposiciónip , Tasa efectiva del período de reposición



Segundo, se soluciona el problema

Fórmula

Cc = C0 + VP

Cc = C0 + C

ip

Donde,

Cc ,Costo capitalizado, ?

C0 ,22

C , 24

ip , i 15 , Tasa efectiva del período de reposición

Se reemplaza,

Cc = 22 + 24

4.4736

Cc = 27.36

Que es el costo capitalizado de la obra.

Líneas de tiempo

equivalentes

i 15 = 447.36%

15 años

C = 24VP = ?

0 1 7 N->∞ 0 1 2 N->∞



Fórmula

Líneas

de tiempo

equivalentes

Definición

de variables

INFORMACION BASICA

VP Valor Presente

C Valor de la cuota


N Numero total de períodos o cuotas(1) Se calcula con la fórmula general de Conversión de tasas

VP = Cip

(1)

0 1 N-1 N ->∞

i p %

Períodos

VP C

0 1 N-1 N -> ∞



12 Evaluaciónfinanciera



"Si encaras el triunfo o el desastre esos dos impostores por parejo...'

Rudyard Kipling

U n conocido exportador de café hizo un mal negocio y prácticamente quedó en la ruina. Su hijo, más convencido de las ayudas técnicas, me

solicitó que le evaluara un nuevo proyecto con el cual su padre aspiraba a larecuperación.

—El estima que sembrar un pino cuesta hoy 100 pesos; y en 15 años, cadauno se vendería por 1.000 pesos. Afirma, que seremos ricos de nuevo.

Nos sentamos a confrontar esa dichosa hipótesis. El flujo neto variable queresultó de los cálculos permitió ver que la tasa interna de retorno (TIR) del proyecto era del 18%, muy inferior a la que se obtendría depositando sudinero en establecimientos bancarios que por la época ofrecían tasas efecti-vas de interés del 40% por los depósitos .

El hijo, más bien preocupado, me pidió discreción con su padre ¡ para no

matar las ilusiones del viejo ! Aunque un proyecto de inversión es muchomás que una TIR, acepté su pedido.

Algún tiempo después, cuando supe que el padre se había enterado de los cálculos, me acerqué a él y le pregunté como se sentía.

—Formidable, repuso: las tasas de captación han bajado al 24 por ciento, pero mis pinos siguen creciendo obstinadamente.



Proyecto de inversión

Un proyecto puede ser tan sencillo como constituir un depósito a tér-mino o tan complejo como la construcción de un edificio o la amplia-ción de una fábrica de cemento; pero todos ellos se pueden denominar Proyectos de inversión.

Evaluación financiera

En cualquier caso, la inversión debe estar precedida por estudios quepermitan identificar la factibilidad del proyecto y haga posible la deci-sión. A uno de los apartes de tales estudios se le denomina Evaluación

financiera del proyecto y se efectúa con base en el plazo del proyecto y el Flujo de Fondos.

Plazo del proyecto

Todo proyecto comprende un plazo durante el cual se identifican tresetapas así: la primera, es aquella en la cual se realizan las inversiones;la segunda, en la que se opera el proyecto y la tercera en la que seliquida.

Flujo de Fondos

El Flujo de Fondos lo conforman dos grandes títulos: la Inversión y el Flujo neto de operación.

La Inversión la componen la Inversión Fija y el Capital de trabajo.El Flujo neto de operación se obtiene de las proyecciones durante elplazo de operación del proyecto del Estado de Resultados más el ren-glón Depreciación y Amortización.

Con esta información: Flujo de Fondos y Plazo de las proyecciones seestructura la tabla básica que se ilustra en detalle en la página si-guiente.

Flujos de fondos variables

En general los flujos estimados resultan variables y la evaluación noes posible con los procedimientos explicados en los módulos anterio-res. Para este propósito la matemática financiera desarrolló dos técni-cas denominadas: Tasa interna de retorno, TIR y Valor presente neto, VPN. que se explican adelante.

Inversión en Activos Financieros

Para el caso de proyectos de inversión en Activos Financieros, el Flujode Fondos se limita a la Inversión y los intereses que devuelve el proyecto menos los impuestos.



Herramientas para evaluar

Tasa interna de retorno, TIR

Es la Tasa de interés efectiva periódica que genera una inversión.Puede definirse también como la tasa que iguala en valor presente la inversión con los ingresos que ella genera.

La decisión se toma con base en los resultados, así:

Si la TIR es mayor que la tasa de interés de equivalencia del inversio-nista se acepta la inversión;

Si la TIR es menor que la tasa de interés de equivalencia del inversio-nista no se recomienda la inversión;

Valor presente neto, VPN

Está definido como la suma algebráica de los Ingresos y los egresos en valor presente, calculados con una tasa de interés de equivalencia.

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

InversiónTIR

C 1

C N-1C N

Ingresos

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VP Ingresos

i p

Ingresos del Proyecto

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VP Inversióni p

Inversiones en el Proyecto



La decisión se toma con base en los resultados, así:

Un VPN mayor que cero significa que los ingresos que genera la inver-sión, calculados en valor presente con esa tasa, son superiores a la inversión misma y por consiguiente las sumas invertidas producenuna tasa de interés superior a la tasa de interés que se utilizó para elcálculo.

Conclusión: el proyecto es recomendable

Un VPN igual a cero significa que los ingresos son iguales a la inver-sión, en valor presente, y que las sumas invertidas producen una tasa de interés igual a la tasa de interés de equivalencia.

Conclusión: El proyecto se acepta Un VPN menor que cero, significa que los ingresos son inferiores a la inversión y que las sumas invertidas producen una tasa de interésinferior a la tasa de interés utilizada para el cálculo.

Conclusión: El Proyecto no es atractivo






+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Evaluación Financiera

Opciones Ver

Salida de Datos

Tasa Interna de retorno

Tasa efectiva anual

Valor Presente neto

Flujo Neto

0 1 2 3 4

TIR VPN

π

Datos

Plazo 4

Período

Tasa de Oportunidad

Respuesta


Evaluación

2. Limpiememorias,

4. Calcule las respuestas:

TIR

APLICACION

Cálculo de la Tasa Interna de Retorno, TIR

Plan de expansión de una fábrica de cementosUna fabrica de cementos planea invertir 1.811 millones este año en una expansión. El flujo netoestimado para los próximos cinco años se presenta adelante . Si el interés de equivalencia dela empresa es de 30 % efectivo anual, ¿Es recomendable la inversión ?

Flujo Neto de operación

años 0 1 2 3 4 5

millones - 1.811 374 669 720 727 693

Plazo 5

Período AñoTasa de Oportunidad 30

0 - 18111 374

2 6693 7204 7275 693

20.2513 % es la Tasa Interna de Retorno, inferior a la TIE y - 358.5421 es el Valor PresenteNeto. Por consiguiente la inversión no es recomendable.


0 1 40 1 4 N = 5 N = 5

años

C 0 = 1.811 TIR = ? %

C 1 = 374

C 4 = 727C 5 = 693






+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α


Opciones Ver

Salida de Datos


Tasa efectiva anual

Valor Presente neto

Flujo Neto

0 1 2 3 4

TIR VPN

π

Datos

Plazo 4

Período

Tasa de Oportunidad

Respuesta


Evaluación

2. Limpiememorias,


TIR

Costo del crédito bancarioLos costos de una de las líneas de crédito de un Banco comercial son los siguientes : Tasa dedescuento, 32% liquidable trimestralmente; Descuento por comisión, 4.5% anual ; Timbre yotros gastos, 0.7%. Si el flujo neto es el que se presenta enseguida, ¿ Cuál es el costo efectivo

trimestral y anual de esa línea por cada 100 de crédito ?Flujo Neto

trimestre 0 1 2 3 4

-100 000

13.075 30.906 28.937 26.968 25.000

-86.925 30.906 28.937 26.968 25.000

Plazo 4

Período TrimestresTasa de Oportunidad 45.829

0 - 86 9251 30 906

2 28 9373 26 9684 25 000

11.33% es la TIR trimestral y 53.62% es la tasa efectiva anual equivalente.

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

trimestres

C 0 = 86.925 TIR = ? %

C 1 = 30.906

C 3 = 26.968C 4 = 25






+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α


Opciones Ver

Salida de Datos


Tasa efectiva anual

Valor Presente neto

Flujo Neto

0 1 2 3 4

TIR VPN

π

Datos

Plazo 4

Período

Tasa de Oportunidad

Respuesta


Evaluación

2. Limpiememorias,


TIR

Cálculo del Valor Presente Neto, VPN

Valor máximo de inversión en la fábrica de cementoHallar el valor de la inversión máxima que puede hacerse en la fábrica de Cementos del Nortede acuerdo al interés de equivalencia de la empresa, que se estima en el 30% efectivo anual.

Plazo 5Período AñoTasa de Oportunidad 30

0 0

1 374

2 6693 7204 7275 693

1.452,5 millones

Se calcula el Valor presente con base en la tasa de interés de equivalencia . Para ello seproporciona como inversión un valor de cero ( 0 ) y se calcula el Valor Presente Neto.

VPN

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 4 N = 50 1 4 N = 5

años

VPN = ? i a = 30%

C 1 = 374

C 4 = 727C 5 = 693






+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α


Opciones Ver

Salida de Datos


Tasa efectiva anual

Valor Presente neto

Flujo Neto

0 1 2 3 4

TIR VPN

π

Datos

Plazo 4

Período

Tasa de Oportunidad

Respuesta


Evaluación

2. Limpiememorias,


TIR

Descuento máximo en un crédito bancarioSi la Superintendencia Bancaria estableciera como tope máximo del costo de un crédito en lasinstituciones financieras el 43.33% efectivo anual que equivale al 9.42% efectivo trimestral¿Cuál sería la cantidad que deben reembolsarle al cliente por cada 100.000 de crédito, en el

ejemplo del crédito bancario, si la suma que recibió en el primer desembolso fue de 86.925 y elflujo de pagos es el mismo de dicho crédito ?

Se calcula el Valor presente con base en la tasa de interés de oportunidad . Para ello se entracomo inversión un valor de cero ( 0 ) y se calcula el Valor Presente Neto. Al resultado se resta86.925 y ese valor constituye la suma que debe reembolsarse al cliente.

90.440 - 86.925 = 3.515 es la suma que se debe reembolsar.

VPN


Plazo 4Período TrimestresTasa de Oportunidad 9.42

0 0

1 30 9062 28 9373 26 9684 25 000

0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

trimestres

VPN = ? i t = 9.42%

C 1 = 30.906

C 3 = 26.968C 4 = 253



INFORMACION BASICA

Esta fórmula hace posible que usted evalúe un flujo de caja variable con cada cuota ubicadaen cualquier fecha.

VPN Valor Presente Neto. Diferencia entre el VP de los Ingresos y el VP de los egresos

f0

Flujo neto en el período cero ( 0 )

f1... f

nFlujos netos en los períodos desde el uno ( 1 ) hasta el período ene ( n )

ia

Tasa efectiva anual

d 1

... dN Días transcurridos desde el día cero (0)

da Días del año: 360 , 365 , 366IRR Tasa Interna de Retorno. Es la tasa de interés efectiva anual que hace VPN igual a cero.

Líneas

de tiempo

equivalentes

Definición

de variables

Fórmula

VPN= f0 + f

1 1+ i

a( )− d1

da +...+ fN−1 1+ i

a( )−dN−1

da + fN 1+ i

a( )−dN

da

período

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

f 1f Nf 0 fN - 1



13 Sistemas

de amortización



"Debemos encontrar un camino o construirlo".

Aníbal

En innumerables ocasiones mis alumnos e interlocutores me pedían

explicación acerca de algo que para ellos era incomprensible: por qué

la cuota mensual para amortizar el crédito de su vivienda aumentaba cadames y el saldo también.

La razón es simple: ellos habían escogido un sistema de pagos (amortiza-

ción) que iniciaba con cuotas mínimas, con las que no se alcanzaba a cubrirni siquiera el total de los intereses; por consiguiente, la diferencia que falta-

ba cada mes se debía sumar a la deuda original lo cual acrecentaba el saldo

pendiente de pago.

Sólo hacia los últimos años del crédito cuando las cuotas alcancen la mag-nitud apropiada -superior a los intereses- empezarán en firme los abonos a

capital y por consiguiente a disminuir el saldo de la deuda.

No obstante el malestar que estos sistemas han despertado en los beneficia-rios de este tipo de crédito, hay que aceptar que miles de familias obtuvie-ron vivienda debido a ellos , lo que no hubiera pasado de ser un sueño con

los sistemas de amortización tradicionales.




En el año 2.005 cuando se estima que el manejo del dinero será completa-

mente electrónico y no se requiera el papel moneda, los bienes de mayor

valor se tendrán que seguir financiando, a fin de que puedan ser vendidos.

Por ello cada día será necesario abrir nuevos caminos de financiación a

través del diseño de nuevos sistemas de amortización. De esta manera se

potenciarán las ventas a crédito para un mayor número de personas.

En este documento se explican los sistemas de amortización más comunesaplicados a casos reales de la experiencia latinoamericana.


Cancelación de tiquete aéreo con tarjeta de créditoSe cancela un pasaje aéreo con tarjeta de crédito, por valor de 94.000 diferido a 12 meses. Sila tasa de interés nominal aplicada es del 30%, liquidada mensualmente, ¿Qué suma se debeabonar mensualmente?

Cuotas crecientes para cancelar un crédito¿Cuáles serán los valores de las cuotas mensuales en moneda corriente, que se han de pagar

para amortizar un crédito individual, de 100.000, con 15 años de plazo, si la tasa de interésefectiva mensual es de 2.25% y se adopta un incremento de 21 mensuales para cada cuotasobre la anterior?

Cuota para cancelar un crédito por leasingLeasing Libertador S.A. presenta la siguiente oferta a un posible cliente: Comprar un equipopor 2.000.000 para entregarlo en arrendamiento por 60 meses, al cabo de los cuales, si elcliente lo desea, podrá adquirirlo cancelando un valor residual del 10% sobre el valor inicial. Sila tasa efectiva mensual cobrada por la Compañía es de 3%, ¿Cuál será la cuota mensual a

pagar?




Amortización

El término AMORTIZACION puede mirarse desde dos puntos de vista:del acreedor y del deudor. Para el primero, amortización es: El proceso

de Recuperación de su Inversión y para el segundo, El Proceso de Pago

de una Deuda.

AMORTIZAR comprende abono a capital y pago de interés conjunta-mente. Por consiguiente no son correctas expresiones como “Amorti-zación de Capital” o “Amortización de Intereses”.

Variables de la amortización

Básicamente la amortización como la mayoría de problemas de la ma-

temática financiera comprende cinco variables:• Valor presente, VP

• Cuota periódica, C

• Tasa de interés periódica, ip• Número de períodos del plazo, N

• Cuota global, Cg.

Pero cuando las cuotas crecen o decrecen lineal o geométricamente,aparecen otras dos:

• Incremento o decremento periódico, ∆• Tasa de incremento o decremento, ∆% .

Cuota Global

Cuando una deuda contempla un pago final diferente de la cuota uni-forme que se paga en todos los períodos del plazo, se denomina cuota global, Cg .

0 1 N - 10 1 N - 1

VPi p C

N N

períodos

C g



Incremento o decremento lineal

Obedece a una progresión aritmética.

Incremento o decremento geométrico

Obedece a una progresión geométrica.

Sistema de amortización

Se define como un plan de pagos para cancelar una deuda.

Los elementos que participan en el diseño de un sistema de amortiza-ción son los siguientes:

1. La función que define el comportamiento de las cuotas o del saldo

2. La fórmula para el cálculo de la primera cuota de la cual deriva elcálculo de las demás.

3. La tabla de amortización en la cual se consignan:

Período Valor Interés Abono Saldo

Nº de la cuota del período a capital

0 900,000 900,000 10,000,000

1 3,175,000 675,000 2,500,000 7,500,000

2 2,950,000 450,000 2,500,000 5,000,000

3 2,725,000 225,000 2,500,000 2,500,000

4 2,500,000 0 2,500,000 0

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VP i p

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VP i p

∆

∆ %

La cuota aumenta en unasuma fija en cada período

La cuota crece a una tasafija en cada período



Clasificación

Los sistemas de amortización más comunes pueden clasificarse en 3categorías de acuerdo al comportamiento y conformación de las cuotas

de pago: SIMPLES, INTEGRADOS Y AGREGADOS.

Sistemas simples.

Son aquellos en los que la Cuota o permanece constante o crece odecrece de acuerdo a una función matemática. Ellos son de:

Cuota decrecientelinealmente

Cuota crecientelinealmente

Cuota uniforme

Cuota única

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

VPi p

períodos

C

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VPC N

C1

i p

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

CN

C 1VP i p

0 10 1

períodos

VP ip VF



Cuota decrecientegeométricamente

Cuota crecientegeométricamente0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VPC N

C 1

i p

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

Períodos

VPC N

C 1

i p



Sistemas integrados

Son aquellos en los cuales el comportamiento de las cuotas es el resul-tado de fusionar dos sistemas simples.

Los más comunes son:

Anualidad crecientelinealmente

Anualidaddecrecientelinealmente

Anualidad crecientegeométricamente

Anualidaddecrecientegeométricamente

i p

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VPC N

C 1

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

C N

C 1i p

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

VPC N

C 1

i p

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

C N

C 1i p



Sistemas agregados

Son aquellos que resultan de combinar dos o más sistemas simples ointegrados u otras posibles combinaciones.

A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación para ilus-trar las tres categorías, sin considerar todos los casos, que se ilustranampliamente en el manual del programa.

La totalidad de los sistemas se trata en el libro SISTEMAS DE AMORTI-

ZACION

Anualidad y CuotaGlobal

0 1 N - 10 1 N - 1

VPC

N N

períodos

C g

i p



4. Proporcione la información:

Respuesta

Tabla

1. Seleccioneel Modulo

Amortización

2. Seleccioneel Sistema


3. Limpiememorias,

Borrar Datos

Tabla

Variación

Tasa de interés

Nº de Períodos

Valor Presente




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Variación

Recordar Valor P resente



Tabla

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Sistemas de amortización

Anticipado

Vencido

OK

X Cancel

Sistema Bancario

Cuota Uniforme

Cuota Global

Creciente Linealmente

Decreciente Linealmente

Creciente Geométricamente

Decreciente Geométricamente

Anualidad creciente Geométricamente

Anualidad decreciente Geométricamente

APLICACION

Sistemas simples

Crédito de las empresas comerciales y de servicioAgencias de viajes aéreosSe cancela un pasaje aéreo con tarjeta de crédito, por valor de 94.000 diferido a 12 meses. Sila tasa de interés nominal aplicada es del 30%, liquidada mensualmente, ¿Qué suma se debeabonar mensualmente?

9.164 mensuales es la suma que se debe pagar durante doce meses para cancelar la totalidadde la deuda .

12

30

94 000


Cuota Uniforme

0 1 110 1 11

VP = 94.000i = 30 % M.V. Cuotas = ?

N = 12 N = 12

meses



Tabla de Amortización

Con el objeto de disponer de una información periódica de las sumasque se abonan con cada cuota, a Capital e intereses; conocer el Saldo( Capital insoluto), se acostumbra elaborar una Tabla de Amortizaciónen la cual quedan consignados estos valores que permiten elaborar lospresupuestos financieros y de cartera. A continuación se presenta la que corresponde al ejemplo anterior:

Procedimiento para calcular la Tabla de Amortización

El procedimiento para calcular los valo-

res de la tabla según la columna es elsiguiente:

1. Se obtiene el "Valor de la cuota"

C = 9.164

2. Se obtiene el "Interés del período"multiplicando el saldo pendiente porla tasa de interés periódica :

94.000 X 0.025 = 2.350.03

3. El "Abono a Capital" se obtiene res-tando ""Interés del período" del "Va-lor de la Cuota"

9.163.90 - 2.350.03 = 6.813.87

1 2 3 4



0 94,000

1 9,164 2,350 6,814 87,186

2 9,164 2,180 6,984 80,202

3 9,164 2,005 7,159 73,043

4 9,164 1,826 7,338 65,706

5 9,164 1,643 7,521 58,184

6 9,164 1,455 7,709 50,475

7 9,164 1,262 7,902 42,573

8 9,164 1,064 8,099 34,474

9 9,164 862 8,302 26,172

10 9,164 654 8,509 17,663

11 9,164 442 8,722 8,940

12 9,164 224 8,940 0

4. Se resta "Abono a Capital" del " Saldo" anterior para obtener el nuevo valor de éste,.

94.000 - 6.813,87 = 87.186,13

5. Se repite sucesivamente el ciclo hasta llegar, finalmente, al período en el cual la deuda ha sido total-mente amortizada.



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

Definiciónde variables

VP Valor del préstamo

C Valor de la cuota


n Número de años

p Frecuencia anual de la cuota periódica

N Numero total de períodos o cuotas , n.p


k = 1 Si la anualidad es anticipada(1) Se calcula con la fórmula general de Conversión de tasas

VP = C1− 1+ ip( )

−N

ip

1+ ip ⋅k( )

0 1 N - 1 N0 1 N - 1 N

VPi p C

períodos

Cuota Uniforme -INFORMACION BASICA




Respuesta

Tabla


Amortización



3. Limpiememorias,

Borrar Datos

Tabla

Variación

Tasa de interés

Nº de Períodos

Valor Presente




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Variación




Tabla

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Anticipado

Vencido

OK

X Cancel

Sistema Bancario

Cuota Uniforme

Cuota Global







Cuota periódica creciente linealmente

Crédito de vivienda

¿Cuáles serán los valores de las cuotas mensuales en moneda corriente, que se han de pagarpara amortizar un crédito individual, de 100.000, con 15 años de plazo, si la tasa de interésefectiva mensual es de 2.25% y se adopta un incremento de 21 mensuales para cada cuotasobre la anterior?

1.428.59 es el valor que corresponde a la primera cuota.

A partir de ésta, para obtener las siguientes, se incrementa en 21, sucesivamente.

Líneas de tiempo

equivalentes


15

2.25

100 000

21

∆

0 1 179 1800 1 179 180

meses

VP=100.000 im = 2.25% = 21

Cuotas = ?



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula


VP Valor PresenteC

1Valor de la primera cuota

CN

Valor de la última cuota


N Número total de períodos o cuotas, n.p.

n Número de años

p Frecuencia anual de la cuota periódica.

∆ Incremento periódico

p( N , ip )

Valor presente de la anualidad con cuota cuyo valor es la unidad.

f( N , ip )

Valor futuro de la anualidad con cuota cuyo valor es la unidad.




C1 = VP

(1+ ip ⋅k)pN, ip( )

− ∆ip

1− N

fN, ip( )

Cuota creciente linelamente - INFORMACION BASICA

∆

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

períodos

VP ipC 1

C N




Respuesta

Tabla


Amortización



3. Limpiememorias,

Borrar Datos

Tabla

Variación

Tasa de interés

Nº de Períodos

Valor Presente




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Variación




Tabla

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Anticipado

Vencido

OK

X Cancel

Sistema Bancario

Cuota Uniforme

Cuota Global







Cuota periódica decreciente linealmente

Crédito bancario

Se solicita un crédito ordinario a un año por 10.000.000. El banco cobra una tasa del 36%trimestre anticipado (Descuento). Calcular la tabla de amortización correspondiente a estecrédito.

1

36

10 000 000Sistema bancario

Líneas de tiempo

equivalentes



0 900,000 900,000 10,000,000

1 3,175,000 675,000 2,500,000 7,500,000

2 2,950,000 450,000 2,500,000 5,000,000

3 2,725,000 225,000 2,500,000 2,500,000

4 2,500,000 0 2,500,000 0

0 1 3 40 1 3 4

meses

VP=10.000.000 d = 36 % T.A. Cuotas = ?

trimestre



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

Definición

de variables

Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

VP Valor Presente

C1

Valor de la primera cuota

d Tasa nominal de descuento

C0 = VPdp

C1 = VP

N(1+ dp (N −1)

∆ = VP

Ndp

Sistema Bancario( Descuento )

Sistema Bancario

( Interés Vencido )

C1 = VP( 1

N+ ip )

∆ = VP

Nip

dp Tasa de descuento periódica = d / f

N Numero total de períodos o cuotas, p . n

∆ Decremento periódico

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

períodos

VP i pC 1

C N

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

períodos

VP i pC 1

C N

INFORMACION BASICA

)



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula


VP Valor PresenteC

1Valor de la cuota de la primera anualidad


ia

Tasa efectiva anual

i∆ Tasa de incremento entre anualidades

na, Numero de anualidades en el plazo

n' Número de cuotas de la anualidad




C1 = VP ia − i∆( )

1+ ip( ) ′n

−1

ip

1− 1+ i∆

1+ ia

na

(1+ ip ⋅k)

0 1 N-1 N0 1 N-1 N

períodos

VP ∆ %i p C1

C N

i ∆

Anualidad creciente geométricamente - INFORMACION BASICA



Tabla

Cuota Global

Valor Presente

Tasa de interés

Nº de Períodos

Borrar Datos


Respuesta


Fondos


3. Limpiememorias 5. Calcule la Tabla

Tabla




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Anticipado

Vencido

OK

X Cancel

Sistema Bancario

Cuota Uniforme

Cuota Global


Decreciente LinealmenteCreciente Geométricamente




60

3

2 000 000

2 00 000Cuota Global


Sistemas agregados

Anualidad todo el plazo y cuota global al final

Crédito de las compañías de arrendamiento financieroLeasing Libertador S.A. hace la siguiente oferta a un cliente potencial: Comprar un equipo por2.000.000 para entregarlo en arrendamiento por 60 meses, al cabo de los cuales, si el cliente lodesea, podrá adquirirlo si paga un valor residual del 10% sobre el valor inicial. Si la tasaefectiva mensual cobrada por la Compañía es de 3%, ¿Cuál será la cuota mensual a pagar?

71.039 es el Valor de la cuota uniforme.

0 1 590 1 59

VP = 2.000.000 i m = 3 % C = ?

N = 60 N = 60

C g = 200.000

meses



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula


VP = C1− 1+ ip( )

−N

ip

1+ ip ⋅k( )+ Cg 1+ ip( )−N

VP Valor Presente

C Valor de cuota uniforme


N Numero total de períodos o cuotas, n.p.

n Número de años

p Frecuencia de cuotas en el año

Cg

Cuota Global




0 1 N-1 N0 1 N-1 N

VPi p C

C g

períodos

Anualidad y Cuota global - INFORMACION BASICA



14 Fondos

de amortización



“Usted no puede cambiar la dirección del viento,

pero si la de la vela”

James Dean

U na institución de previsión social, venía de conflicto en conflicto por los reclamos de los afiliados en el cumplimiento de sus compromi-

sos, no obstante disponer de recursos suficientes para que dicha situaciónno se presentara.

El gerente estaba incómodo con el problema. Nos reunimos a revisarlo condetalle y encontramos que la oficina financiera de la entidad no lograba conciliar el desfase entre las fechas de los ingresos y de los egresos. Los primeros provenían de las transferencias que se recibían del Gobierno cen-tral -que la entidad colocaba en títulos a término- y los segundos de los compromisos laborales y la cancelación de prestaciones por retiro.

Estas circunstancias producían dos efectos: en algunas ocasiones el repre- samiento de las obligaciones a pagar, y en otras la acumulación de recursos, que dormían en las cuentas corrientes por largos períodos sin intereses.

-¿Qué hacemos?, me preguntó el gerente de la entidad.

-Ofrezcamos a varios establecimientos financieros una colocación de dineroatractiva para depositarla a largo plazo, creando así un fondo que solucio-ne nuestros problemas.

Lo iniciamos con una suma que hizo posible retirar, en fechas previstas, los fondos para cancelar los sueldos de los empleados durante dos años. Mástarde, al hacer la evaluación estadística de los retiros, se constituyeron otros fondos que mejoraron la liquidez de la entidad.

La caja regresó a la normalidad, pero el gerente financiero no fue reelegido.




El tema de los Fondos es uno de los más útiles: se constituyen Fondos deahorro, de medicina prepagada, para seguro vitalicio, de capitalización, pero todos ellos adoptan el mismo sistema de ahorro con cuotas iguales .

Se me ocurre que las instituciones financieras y las compañías fiduciarias, encargadas de captar tales recursos no han encontrado razón para desarro-llar nuevos productos..

Este documento presenta la propuesta de utilizar los sistemas de amortiza- ción como base para el diseño de Sistemas de Fondos equivalentes, lo cual

ofrece nuevas posibilidades para abordar el tema sin complicaciones adicionales..


Fondo para estudioMario Arias estima que requerirá 1’500.000 al cabo de un tiempo para asegurar el ingreso ypermanencia de sus hijos en la universidad. Para su tranquilidad lee el siguiente aviso publici-tario: “¿Cómo reunir el dinero para el estudio de sus hijos? venga a Corfinunión y le diremoscomo hacerlo”. Allí, le aseguran que con una cuota mensual de 10.000 y con la tasa de interés

que le reconocen, 33.25% capitalizable mes vencido, el dispondrá de la suma de dinero, justa,en el plazo previsto. ¿Durante cuántos meses debe hacer, Mario, los depósitos?

Fondo de pensionesMartha Lucía, Gerente de una Caja de Pensiones, constata que los pasivos de esa institución,por concepto de cesantías, ascenderán a 75’810.000, en tres años. Así mismo, ha estimadoque la tasa de incremento salarial anual será del 30%. Por ley, el gobierno debe transferirle pordoceavas, mensualmente, el valor total anual correspondiente.

Ella desea configurar un Fondo de Amortización, colocando las transferencias en una corpora-

ción financiera que le reconoce una tasa de interés del 34% capitalizable mensualmente, ¿Cuálesserán los valores de la anualidad (las doceavas), para cada año?




Fondo de amortización

Lo conforman depósitos de ahorro programados que ganan interés a fin de reunir una suma de dinero en un tiempo determinado, para

pagar una deuda a su vencimiento ó cumplir cualquier compromisofuturo.

Se Constituyen fondos para reponer maquinaria, equipo o edificios;amortizar emisiones de bonos; cancelar hipotecas; pagar cuotas depensionados; cubrir pasivos de cesantías; etc.

Métodos para constituir Fondos de amortización

Los Fondos de amortización se clasifican, como los sistemas de amor-tización en Simples, Integrados y Agregados, en los cuales la cuota periódica puede aumentar o disminuir y cuyo comportamiento obede-ce a una función matemática específica; pero en este capítulo se ilus-tran solamente dos métodos: anualidad y Anualidad crecientegeométricamente.



Tabla

Valor Futuro

Tasa de interés

Nº de Períodos

Borrar Datos


Respuesta


Fondos


Tabla




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

4. Calcule la Tabla

APLICACION

Cálculo del valor de la cuota uniforme

Fondo para reponer un vehículoSe estima en 10.000.000, la suma necesaria al cabo de un año para reponer un vehículo detransporte urbano. Si el propietario del vehículo puede colocar su dinero en una corporaciónfinanciera al 29.87% efectivo anual. ¿Cuánto debe depositar mensualmente para acumular esasuma?

737.169 es el valor del depósito mensual, para alcanzar la suma prefijada al cabo de cincoaños.

1

29.87

10 000 000

Fondos

Anticipado

Vencido

OK

X Cancel

Sistema Bancario

Cuota Uniforme

Cuota Global







Líneas de tiempo

equivalentes

VF = 10.000.000C = ?

0 1 11 N = 120 1 11 N = 12

i a = 29.87 %

meses



Elaboración de la tabla del Fondo de amortización

Como en el caso de los sistemas de amortización, es necesario elaborarla Tabla del Fondo de amortización a fin de conocer el valor acumuladopor intereses, y el valor total del fondo, en un momento dado.

Las etapas para su elaboración se describirán, más adelante, despuésde presentar la Tabla completamente confeccionada.

Procedimiento para elaborar la tabla

Fin del Valor Interés Total agregado Valor Fondomes cuota sobre fondo al Fondo fin de mes

1 737,166 737,166 737,166

2 737,166 16,232 753,398 1,490,564

3 737,166 32,822 769,988 2,260,552

4 737,166 49,777 786,943 3,047,495

5 737,166 67,106 804,272 3,851,767

6 737,166 84,816 821,982 4,673,748

7 737,166 102,916 840,082 5,513,8308 737,166 121,415 858,580 6,372,410

9 737,166 140,320 877,486 7,249,896

10 737,166 159,643 896,808 8,146,705

11 737,166 179,390 916,556 9,063,261

12 737,166 199,573 936,739 10,000,000

1. En esta columna se colocan los períodos del plazo.2. Se halla la cuota periódica con la fórmula y se coloca en la columna 2.

3. Puesto que la primera cuota se deposita al finalizar el mes, en la primera casilla de esta columna nose calcula interés. En las demás casillas se consigna el producto de la tasa de interés por el valor delfondo del período anterior.

4. En esta columna se consigna la suma de las columnas dos y tres

5. Los datos de esta columna se obtienen de sumar el valor del fondo del periodo anterior el valor de lacolumna 4 del periodo corriente.

1 2 3 4 5



Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos

Borrar Datos

Proporcione la información:Seleccioneel Modulo

Respuesta

Calcular

Compuesto




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del valor futuro

Calcular el valor futuro al finalizar el octavo mes, bajo las condiciones del problema anterior.

6.372.420 es el valor del Fondo al culminar el período octavo, como puede constatarse con latabla de amortización.

Observe que se presenta una pequeña diferencia, que obedece a que la cuota es ligeramente inferior a laque arrojan las aproximaciones.

8

29.87

737 169

Valor Futuro

Líneas de tiempo

equivalentes

VF = ?C = 737.166

0 1 7 N = 80 1 7 N = 8

i a = 29.87 %

meses



Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos

Borrar Datos


Respuesta

Calcular

Compuesto




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la tasa de interés

Ahorro programado para cancelar una deudaGuillermo Chica espera recibir, en promedio, una prima anual de 50.000. Quiere constituir unFondo de amortización que le permita cancelar una deuda por 313.710 que vence al cabo decuatro años. Si el gerente de una corporación de ahorro y vivienda se compromete a entregar-le esa suma en ese tiempo, si deposita la prima al concluir cada año, ¿Qué tasa de interésanual están ganando los depósitos?

En consecuencia la tasa de interés que ganarían los depósitos sería de 31% efectivo anual.

4

50 000

313 710

Tasa de interés


VF = 313.710C = 50.000

0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

i a = ? %

años



Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos

Borrar Datos


Respuesta

Calcular

Compuesto




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del número de períodos

Ahorro programado para costear estudios superioresMario Arias estima que requerirá 1’500.000 al cabo de un tiempo para asegurar el ingreso ypermanencia de sus hijos en la universidad. Para su tranquilidad lee el siguiente aviso publici-tario: “¿Cómo reunir el dinero para el estudio de sus hijos? venga a Corfinunión y le diremoscomo hacerlo”. Allí, le aseguran que con una cuota mensual de 10.000 y con la tasa de interésque le reconocen, 33.25% capitalizable mes vencido, el dispondrá de la suma de dinero, justa,en el plazo previsto. ¿Durante cuántos meses debe hacer, Mario, los depósitos?

60 es el número de depósitos que debe constituir Mario para alcanzar la suma propuesta.

33.25

10 000

1 500 000

Nº de Períodos

Líneas de tiempo

equivalentes

VF = 1.500.000C = 10.000

0 1 N - 1 N = ?0 1 N - 1 N = ?

i = 33.25 % M.V.

meses



VF = C1 + ip( )N − 1

ip

1 + ip ⋅ k( )

VP Valor Presente

C Valor de cuota uniforme



Cg

Cuota Global




Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

Definición

de variables

Cuota uniforme - INFORMACION BASICA

VFC

0 1 N - 1 N0 1 N - 1 N

ip

períodos



Tabla

Valor Futuro

Variación

Tasa de interés

Nº de Períodos

Borrar Datos


Respuesta


Fondos


3. Limpiememorias 5. Calcule la Tabla

Tabla




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


%↓↑

?

√α

Valor Futuro

Recordar Variación


Nº Períodos

Decimales

Fondos de Amortización Sistema Bancario

Tabla

Cálculo de las tablas con otros sistemas

Sistema de anualidad creciente geométricamente

Constitución de un Fondo para cancelar cesantías

Martha Lucía, Gerente de una Caja de Pensiones, constata que los pasivos de esa institución,por concepto de cesantías, ascenderán a 75’810.000, en tres años. Así mismo, ha estimadoque la tasa de incremento salarial anual será del 30%. Por ley, el gobierno debe transferirle pordoceavas, mensualmente, el valor total anual correspondiente.

Ella desea configurar un Fondo de Amortización, colocando las transferencias en una corpora-ción financiera que le reconoce una tasa de interés del 34% capitalizable mensualmente, ¿Cuálesserán los valores de la anualidad (las doceavas), para cada año?

987.045 es el valor de la cuota de la primera anualidad. Los valores de las demás anualidades

se obtienen multiplicando el valor obtenido el año anterior por 1.30

Fondos

Anticipado

Vencido

OK

X Cancel

Sistema Bancario

Cuota Uniforme

Cuota Global


Decreciente LinealmenteCreciente Geométricamente




3

34

30

75 810 000

Líneas de tiempo

equivalentes0 1 35 N = 360 1 35 N = 36

meses

i = 34% M.V.

VF =75'810.000∆% = 30%

C 1 = ?i ∆



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula


Anualidad creciente geométricamente - INFORMACION BASICA

VF Valor del Fondo

C1

Valor de cuota uniforme de la primera anualidad


i a Tasa de interés efectiva de la anualidad

i ∆ Tasa de incremento

N Número total de períodos del plazo

n' Número de períodos de la anualidad




C1 = VF 1+ ip( )

−Nia − i∆( )

1+ ip( ) ′n

−1

ip

1− 1+ i∆

1+ ia

na

(1+ ip ⋅k)

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

períodos

C 1

C N

i p

VFi ∆ i∆



15 Bonos



“El secreto del éxito en la vida consiste

en estar preparado cuando llegue la oportunidad”

Disraeli

U n inesperado fenómeno atmosférico en Brasil dió origen a unas heladas que diezmaron la producción cafetera de ese país, redujeron la

oferta mundial del grano y dispararon los precios de cincuenta centavos atres dólares en poco tiempo.

Colombia fue el productor beneficiado. No obstante, las autoridades mone-tarias y del café con buen criterio entendieron que la inyección de ese nuevodinero a la economía desbordaría la inflación y crearon un tipo de bono quedenominaron Títulos de Ahorro Cafetero, TAC, con los cuales se retendríaal productor parte del precio cuando este efectuara las ventas de café. Esostítulos se redimirían en tres años y sus cupones reconocerían una tasa deinterés del 9 por ciento semestral.

Los cafeteros no estaban acostumbrados a negociar con esos papeles de dise-

ño idéntico a los bonos, y prefirieron venderlos hasta con descuentos del 80 por ciento de su valor. Muchos hombres de negocios, con excedentes de liqui-dez o acceso privilegiado a los créditos, estaban haciendo con esos bonos unnegocio descomunal.

En uno de mis seminarios relaté este caso a mis alumnos. Uno de ellos, quetambién había sido mi alumno en la facultad de economía, decidió apostartodos sus ahorros a esa opción. Vendió sus propiedades y canceló activida-des en el área de la construcción, adquirió TACs e inició así una próspera secuencia de éxitos financieros.

Quizás iba demasiado rápido y murió joven, pero cumplió con el sueño de ser un hombre millonario.



Valores para financiar las empresas a largo plazo

Cuando la sociedad anónima requiere dinero a largo plazo para sus programas recurre a laemisión de acciones o a la emisión de bonos. En el primer caso quiere atraer inversionistas que

confíen en su desempeño ofreciendo en venta porciones de la empresa. En el segundo buscaprestamistas que les satisfaga la tasa de interés que reconocen. Existen por consiguiente, dosclases fundamentales de valores para financiar las empresas a largo plazo: las acciones y losbonos.

Acción La acción es un título que representa propiedad, como una escritura.

Bono Un bono es un título que representa deuda y es el respaldo documentario que entrega laempresa que lo emite.

Tenedor Es el propietario del bono o dicho en otra palabra el acreedor.

El tenedor del bono tiene todos los derechos propios de un acreedor, de acuerdo con las cuan-tías y las condiciones de su préstamo, las cuales van contenidas en forma explícita en el títulode cada bono.

Condiciones Las condiciones se refieren al valor nóminal , al plazo de amortización, a la tasa de interés quereconocen y a la serie. El interés periódico se especifica claramente en cupones adheridos altítulo del bono.

Valor nominal Es el valor que aparece escrito en el título

Plazo Es el número de períodos durante los cuales se acuerda el crédito

Tasa de interés Es la tasa que reconoce el bono y con la cual se calcula el Valor del Cupón

Serie Es el numero que identifica el título

Liquidaciónde intereses La liquidación del interés puede ser en cualquier período , pero, lo más usual son las liquida-

ciones mensual, trimestral o semestral, muchas veces anticipadas.

Denominación Las denominaciones de los bonos, casi siempre son múltiplos de 10, 100, 500, 1000, etc, ycada denominación corresponde a una serie. Se presentan casos de excepción como lostítulos de ahorro cafetero que se emitieron con denominación hasta de 8.

El bono tiene un valor nominal que es reembolsado al concluir el período de maduración. Esteperíodo comprende desde la fecha de emisión hasta la fecha de redención.

En fin, un bono es un préstamo que se reembolsa al culminar el plazo pactado y por el cual serecibe un interés periódico.

Los bonos pueden ser emitidos por el gobierno nacional o por la empresa privada, según lalegislación de cada país. Generalmente se entregan a los intermediarios financieros para queellos administren su manejo mediante un contrato que se denomina FIDEICOMISO. Quienejecuta el mandato se denomina FIDUCIARIO y quien delega se llama FIDEICOMITENTE.



Amortizaciónde la emisión Es el plan de pagos para cancelar la deuda a los tenedores de los bonos.

Compra a premio A veces los bonos son adquiridos por un valor superior al valor nominal.

Compraa descuento Es común negociar los bonos a un precio inferior al valor nominal. Ello asegura al comprador

que obtendrá un rendimiento mayor del estipulado en el título del bono.

Rendimiento Es la rentabilidad que ofrece un bono y se mide con la tasa efectiva anual equivalente.



Respuesta


Calcular

Bonos

2. Limpiememorias,

Valor nominal

Precio

Cupón

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Bonos

Valor Presente

Recordar Cupón



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

APLICACION

Precio de un Bono en la fecha de pago de cupones

Comentarios

Cuando se negocian bonos en una rueda de bolsa o en cualquier otra circunstancia es casi seguro que lafecha no coincida con la de pago de cupones. Pero cuando ello ocurre, el cálculo del precio es mássencillo.

Bono comprado a descuentoPor cuánto debe adquirirse un bono -al culminar el tercer semestre de su emisión y después dehaber sido pagado el cupón correspondiente a ese período- si su valor nominal es de 100 ; elplazo de 4 años ( 8 semestres )el interés es de 8% liquidable semestralmente y el compradordesea ganarse el 30% semestre vencido?

76.53 es el precio que debe pagar el comprador si quiere asegurar en rendimiento del 15

semestral sobre su inversión.

5

30

8

100

Precio


Precio = ? i = 30 % S.V.

semestres

0 1 4 N = 50 1 4 N = 5

Cupón = 8

Valor Nominal = 100



Respuesta


Calcular

Bonos

2. Limpiememorias,

Valor nominalPrecio

Cupón

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Bonos

Valor Presente

Recordar Cupón



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Precio de un Bono entre fechas de pago de cupones

Comentarios

Por lo general cuando se negocian bonos en una rueda de bolsa o en cualquier otra circunstancia es

casi seguro que la fecha no coincida con la de pago de cupones. En este caso se utiliza la fórmulageneral, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Precio de un bonoSe desea negociar un bono emitido hace 3 semestres y 106 días. Sus características son lassiguientes: Plazo 36 semestres, valor del cupón semestral 3.5 para un valor nominal de 100;¿por cuánto debe adquirirse si el comprador desea un rendimiento del 8% semestre vencido yse asume año de 365 días?

36 - 3 =

8

3.5

100

Precio

93.05 es el precio que debe pagar el comprador si quiere asegurar un rendimiento del 4%

semestral sobre su inversión.


Precio = ? i = 8 % S.V.

semestres

0 1 32 N = 330 1 32 N = 33

Cupón = 3.5

Valor Nominal = 100

106días



Respuesta


Calcular

Bonos

2. Limpiememorias,

Valor nominal

Precio

Cupón

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Bonos

Valor Presente

Recordar Cupón



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

DISEÑO DE UN BONO

Valor de colocación y valor de los cupones.

ComentariosEn muchos casos resulta más atractivo para el inversionista ofrecerle bonos a descuento con un interésmenor, que bonos al 100% pero con un interés mayor.

Emisión de bonos para capitalización de una empresaUna empresa industrial necesita 500’000.000 para capital de trabajo y decide emitir bonos a unaño de plazo que produzcan un rendimiento de 30% efectivo anual, equivalente al 2.21% efec-tivo mensual. Si consideran conveniente pagar 2% por cupón mensual, ¿Cuál debe ser elprecio de colocación por cada 100 de valor nominal, para asegurarle al inversionista el rendi-miento ofrecido ?

97.80 es el precio al cual se deben emitir los bonos para asegurar un rendimiento del 30%

efectivo anual al comprador.

12

30

2

100

Precio


Precio = ? i a = 30 %

meses

0 1 11 N = 120 1 11 N = 12

Cupón = 2

Valor Nominal = 100



Respuesta


Calcular

Bonos

2. Limpiememorias,

Valor nominalPrecio

Cupón

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Bonos

Valor Presente

Recordar Cupón



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Compra a premio o a descuento

Comentario

Quienes invierten en activos financieros y llegan a tener problemas transitorios de liquidez, es probable

que decidan negociarlos a un precio inferior a fin de solucionar el problema de manera rápida. En lastransacciones con bonos es frecuente negociarlos con precios inferiores al valor nominal, por consiguien-te, si el precio de compra de un bono es inferior al valor de redención se dice que ha sido comprado adescuento.

De otra parte, si el precio de compra es superior al valor de redención, se dice que ha sido comprado apremio.

Compra a descuentoGerardo Eusse tiene la oportunidad de colocar su dinero al 32% semestre vencido. Un corre-dor de bolsa le asegura que puede obtener el mismo rendimiento comprando bonos a cuatrosemestres de su redención, cuyos cupones valen cada uno 4 y su Valor nominal es de 100, ¿aqué precio debe comprarlos para garantizar esa rentabilidad?

Gerardo debe comprar los bonos a 66.42 si quiere asegurar un rendimiento del 16% efectivo

semestral sobre su inversión. Tabla de inversión de un bono.

4

32

4

100

Precio


Precio = ? i = 32 % S.V.

semestres

0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

Cupón = 4

Valor Nominal = 100



TABLA DE INVERSION DE UN BONO

Comentarios

El inversionista en activos financieros, en general, necesita conocer la evolución del precio, del título

adquirido, a fin de establecer el valor de sus asientos contables o para definir, previamente, el preciode negociación futuro que asegure la rentabilidad correspondiente a su tasa de interés de oportunidad;para ello, se elabora una tabla en la que se consigna, entre otras cosas, la valorización del título y suvalor en libros, a lo largo de la vida del mismo. Esta tabla se denomina, Tabla de Inversión.

Cabe agregar, que el precio de compra de un bono, en una fecha dada, es su valor en libros en la mismafecha. De igual manera, el valor en libros en la fecha de maduración es su valor de redención

Así que, para el ejemplo anterior, el valor en libros inicial coincide con el precio: 66.42; y suvalor en libros, a la maduración, con su valor de redención: 100.

Hechas estas aclaraciones, y teniendo en cuenta que la tasa de interés de oportunidad definidafue de 16%, se presenta la tabla de inversión, e inmediatamente después, se explica el procesode elaboración.

Elaboración de la tabla.

1. En la primera columna se consigna el perío-

do.

2. Se inicia la segunda columna con el valor enlibros.

3. En la tercera columna se consigna el interéssobre el valor en libros que resulta del pro-ducto del valor en libros, columna 2, por latasa de interés de oportunidad.

4. En la columna, 4 , se ubica el valor del cupón

de cada período.

5 . La valorización que se relaciona en esta colum-na resulta de restar el valor del cupón (Colum-na 4) del interés (columna 3).

Este valor se sumará al valor en libros del pe-ríodo corriente, para obtener el valor en librosdel período siguiente.

Tabla de inversión

1 2 3 4 5

Semestre Precioen libros

Interés sobreprecio en libros

Valordel cupón

Valorización

0

1

2

3

4

66.42

73.05

80.73

89.65

100.00

10.63

11.69

12.92

14.34

4.00

4.00

4.00

4.00

6.63

7.69

8.92

10.34




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Rentabilidad de los bonos

Comentario

En el aparte anterior, se calculó el precio que podría ofrecerse por un bono y obtener así el rendimiento

deseado para la inversión. En otros casos por el contrario, se desea conocer la rentabilidad para unprecio dado. Es el caso de los bonos que se emiten con descuento y que se negocian, muchas vecesa precios inferiores al de emisión, en las Bolsas de Valores .

Rentabilidad de los Bonos de Desarrollo UrbanoSe emiten bonos de Desarrollo urbano con plazo de tres años y tasa de interés de 24% liquida-ble semestralmente, ¿ Qué rentabilidad ofrecen estos papeles ?

25.44 % es la rentabilidad efectiva anual equivalente que percibe quien adquiera este tipo debonos.

Anual• Vencida• Efectiva

24 Semestral• Vencida• Nominal

Líneas de tiempo

equivalentes

i a = 24% S.V. i a = ? %

semestres

0 f = 10 1 1 f = 2

año

Semestral

Anual



Respuesta


Calcular

Bonos

2. Limpiememorias,

Valor nominal

Precio

Cupón

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Bonos

Valor Presente

Recordar Cupón



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Rentabilidad de un Bono comprado a descuento.

Títulos de ahorro cafeteroUn Título de ahorro cafetero que es similar a un bono se adquiere por el 75% de su valornominal al momento de la emisión. Si estos títulos reconocen una tasa de 18% liquidable se-mestralmente y tienen un plazo de redención de tres años, ¿Que rentabilidad percibirá el com-prador ?

15.74 % es la tasa efectiva semestral.

33.95 % , es la rentabilidad efectiva anual de estos títulos comprados a descuento

3

9

75

100

Tasa de interés

Líneas de tiempo

equivalentes

Precio = ?i s = ? %

semestres

0 1 5 N = 60 1 5 N = 6

Cupón = 9

Valor Nominal = 100

75



Tabla de amortización

eríod Valor Interés Abono Saldo

N º e la cuot del período a capital

0 4,500

1 346 203 143 4,357

2 346 196 150 4,207

3 346 189 157 4,050

4 346 182 164 3,886

5 346 175 171 3,715

6 346 167 179 3,537

7 346 159 187 3,350

8 346 151 195 3,1559 346 142 204 2,951

10 346 133 213 2,737

11 346 123 223 2,515

12 346 113 233 2,282

12 346 103 243 2,039

12 346 92 254 1,784

12 346 80 266 1,519

12 346 68 278 1,241

12 346 56 290 951

12 346 43 303 648

12 346 29 317 331

12 346 15 331 0

En la columna 3: interés aparecen losvalores de los cupones que se debenpagar trimestralmente.

En la columna 4: Abono a capital-, apa-recen las sumas de dinero que habríande reembolsarse, en cada sorteo, a lostenedores de bonos favorecidos.

Finalmente, cabe aclarar que en los bo-nos comprados a descuento, quienes

resultan favorecidos en los primeros sor-teos, obtienen una rentabilidad mayorque quienes resulten favorecidos en losposteriores, como se podrá apreciar en-seguida.



Respuesta


Calcular

Bonos

2. Limpiememorias,

Valor nominal

Precio

Cupón

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Bonos

Valor Presente

Recordar Cupón



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

1

3.5

95

100

Tasa de interés

Líneas de tiempo

equivalentes

42.25% , es la rentabilidad de los bonos amortizados en el primer sorteo .

Rango de rentabilidad

Entonces, el rango de rentabilidad entre un bono redimido al culminar el último período y unbono redimido en el primer sorteo es:

17% < ia < 42.25%

Rentabilidad de un bono redimido en el primer sorteo.

Precio = 95 VF = 103.75

trimestres

i t = ? %

0 0N = 1 N = 1



16 Métodos

de depreciación



" Nunca, Nunca, Nunca te des por vencido! "

Wiston Churchill

A compañaba a mi hermana con un agente de bienes raíces amigo a visitar una casa en venta. No le gustó: demasiada área para sus necesida-

des. Durante la visita me limité a expresar que me encantaba el silencioimperante en ese rincón de barrio por donde no transitaba vehículo alguno.

Fue suficiente acicate para la iniciativa vendedora del agente.

Pareciera que hacía rato no concretaba una venta. Montó un verdaderodispositivo para comprometerme a negociar. Me llamó una y otra vez, pararepetirme que el podría conseguir un buen precio, porque sabía que la com- pañía donde trabajaba el propietario le había notificado a este su trasladoa otra ciudad.

Mis circunstancias eran estas: recientemente me había comprometido enmatrimonio y necesitaría una nueva vivienda; contaba con algún efectivo,

pero el precio no estaba a mi alcance; por consiguiente opté por alejarlo deuna vez por todas, hice una oferta que supuse rechazaría de inmediato : sólo el 50% del valor pedido, pero de contado.

Para mi sorpresa, disimuló el enfado por mi despropósito y dijo: - Bueno, eso al menos es algo concreto. Ese mismo día me concertó una cita con el propietario y finalmente adquirí el inmueble por el 60% del precio original. La mitad al recibir la propiedad y el resto, seis meses más tarde.

En resumen como si la hubiera comprado de contado por el 55% del precio original.




La depreciación se define como la disminución o pérdida del valor de losactivos fijos tangibles por desgaste, deterioro u obsolescencia.

La depreciación acumulada se resta, en el Balance general, de los activosbrutos a fin de conocer el Valor en Libros, es decir, cuánto posee la empresa en Activos netos. La reserva de depreciación del período se registra como un gasto en el Estado de Resultados.

Este gasto disminuye el monto de tributación y es una fuente de efectivo

para la empresa.

Los métodos de cálculo de la depreciación son diversos y la aplicación dealguno de ellos depende de la preferencia de la empresa, sujeta a la legislaciónde cada país.

Este documento presenta los métodos más conocidos y sus tablas se calculande manera sencilla con el programa.




Depreciación Es la disminución o pérdida del valor de los activos fijos tangibles por desgaste, deterioro uobsolescencia”

Costo inicial - C0 - Es el valor de adquisición del activo. Comprende el precio de adquisición incluido el

impuesto a las ventas, los de aduana y timbre, más las adiciones y gastos necesarios paraponerlo en condiciones de iniciar la prestación de un servicio normal.

Costo dereemplazo - Cr - Es el valor que se debe acumular en el Fondo para reemplazar un activo depreciado.

Cuota dedepreciación - C - Cantidad que hay que reservar periódicamente para el fondo de depreciación.

Vida útil - N - Es el tiempo que, se estima, durará un activo. Se considera como vida útil probable de losbienes depreciables, hasta 20 años para la propiedad inmueble, 10 años para la propiedadmueble y 5 años para aviones y vehículos automotores en general”

Valor en libros - V L - Es el costo del activo menos la reserva puesta aparte para cubrir la depreciación.

Valor desalvamento - Vs - Es el valor que, se estima, tendrá el activo al terminar su vida útil. La legislación colombiana

ha eliminado el valor de salvamento.

Valor de uso - Vu - Es la diferencia entre el costo inicial del activo y el valor de salvamento.

Fondo dedepreciación Llamado también fondo para reserva o reemplazo, está constituido por la suma periódica,

generalmente anual, que se asigna para reemplazar un activo al término de su vida útil. Cuandolas cuotas devengan interés, éstos también hacen parte del fondo.

Métodos de depreciación Los más conocidos son:

• Linea recta• Reducción de saldos en progresión geométrica• Suma de dígitos que representan la vida útil del activo

• Fondo de amortización• Amortización

Tabla de

depreciación

En los métodos de depreciación se hace necesario la elaboración de una tabla que permitaobservar la evolución periódica de las cuotas, del valor en libros y la acumulación del fondo dereposición.A continuación se estudia cada sistema y se incluye el concepto del valor de salvamento enalguno de ellos, no obstante en muchos países no se considere.



Vida Util

Vr. Salvamento

Costo

Borrar Datos


Tabla


Depreciación

2. Seleccioneel método

3. Limpiememorias




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Depreciación Linea Recta

%↓↑

?

√α

Recordar Vida Util

Borrar datos Vr. Salvamento

Calcular Costo

Tabla

Decimales

tipo...

Sistemas de depreciación

OK

X Cancel

Línea Recta

Saldo decreciente Geométrico

Suma de dígitos


Sistema por amortización

Tabla

5. Calcule la Tabla:

LINEA RECTA

Este método que es el más simple, consiste en apropiar cada año, comocuota de depreciación, una suma igual, enésima parte del Valor de

uso, durante la vida del activo.

APLICACION

Reposición de vehículos en una empresa de transporteUna empresa de transporte adquiere cuatro vehículos para reponer equipo automotor de serviciourbano, por 24.000.000. Se considera que después de cuatro años de servicio diurno y nocturno,los automotores tendrán un valor de salvamento de 4.000.000, ¿Cuál debe ser la reserva anualpara depreciación? Calcular la tabla de depreciación.

Cabe aclarar que, en los países con inflación, los activos al transcurrir el tiempo, tienen mayorvalor monetario.

24 000 000

4 000 000

4

Líneas de tiempo

equivalentes

Línea Recta

0 1 30 1 3

Co = 24.000.000i p = 0 %

N = 4 N = 4

años

CD = ?

V s = 4.000.000



Valor del Fondo

0

5,000,000

10,000,000

15,000,000

20,000,000

1 2 3 4 5

Valor en Libros

0

5,000,000

10,000,000

15,000,000

20,000,000

0 1 2 3 4

Observaciones

Este sistema, el más utilizado por su sencillez, adolece de dos fallasfundamentales: primero que no asigna ningún interés a las cuotas del

fondo y, segundo, que no tiene en cuenta el impacto de la inflaciónsobre el costo del activo.

Tabla dedepreciación

Representación Gráfica del Valor en Libros y Fondo

Año Cuota Valor Valor

depreciación del fondo en libros

0 24,000,000

1 5,000,000 5,000,000 19,000,000

2 5,000,000 10,000,000 14,000,000

3 5,000,000 15,000,000 9,000,000

4 5,000,000 20,000,000 4,000,000



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula


0 1 N - 10 1 N - 1

C oi p = 0 %

N N

períodos

CD

Vs

INFORMACION BASICA

Este método que es el más simple, consiste en apropiar cada año, comocuota de depreciación, una suma igual, enesima parte del Valor de uso,durante la vida del activo.

CD =

Costo − Vs

N

CD, Cuota de depreciación

Co , Costo incial

Vs , Valor de salvamento

N , Vida útil

Valor de uso, Vu = Co - Vs



Vida Util

Vr. Salvamento

Costo

Borrar Datos


Tabla


Depreciación


3. Limpiememorias




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+



%↓↑

?

√α

Recordar Vida Util


Calcular Costo

Tabla

Decimales

tipo...


OK

X Cancel

Línea Recta


Suma de dígitos



Tabla


10 000 000

2 000 000

4

Saldo decreciente geométricamentes

0 1 30 1 3 N = 4 N = 4

años

Costo = 10.000.000i p = 0

CD1 = ? Vs = 2.000.000

SALDO DECRECIENTE GEOMETRICAMENTE

Este sistema consiste en asignar, como reserva, el producto de una tasa fija de depreciación por el valor en libros del período anterior,

durante la vida útil del activo. Queda entendido que, como el valor enlibros decrece, la reserva de depreciación será menor cada año.

APLICACION

Depreciar un montacargasSe desea depreciar un vehículo de transporte interno de una fábrica por el método de saldodecreciente geométricamente.

Con un costo inicial es de 10.000.000, el valor de salvamento, 2.000.000 y la vida útil de 4años, elaborar la tabla de depreciación.



Año Cuota Valor del Fondo Valor en libros

depreciación

0 10,000,000

1 3,312,597 3,312,597 6,687,403

2 2,215,267 5,527,864 4,472,136

3 1,481,438 7,009,303 2,990,697

4 990,698 8,000,000 2,000,000

Tabla dedepreciación

Observaciones

Como el sistema anterior, las cuotas no ganan interés ni se consideran el efectode la inflación sobre el costo del activo.



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

Definición

de variables

0 1 N - 10 1 N - 1 N N

Períodos

Costoi p = 0

tCD1

Vs

INFORMACION BASICA

Este sistema consiste en asignar, como reserva, el producto de una

tasa fija de depreciación por el valor en libros del período anterior,durante la vida útil del activo. Queda entendido que, como el valor enlibros decrece, la reserva de depreciación será menor cada año.

CD1 = Costo 1 − Vs

Costo

1

N

CD1

, Cuota del primer año

Costo, Costo inicial

Vs, Valor de salvamento

N, Vida útilt , Tasa fija, que es el valor entre corchetes

Por definición las demás cuotas se obtendrán: t x VLN



Vida Util

Vr. Salvamento

Costo

Borrar Datos


Tabla


Depreciación


3. Limpiememorias




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+



%↓↑

?

√α

Recordar Vida Util


Calcular Costo

Tabla

Decimales

tipo...


OK

X Cancel

Línea Recta


Suma de dígitos



Tabla


47 000 000

2 000 000

5

Suma de dígitos

0 1 40 1 4 5 5

Años

Costo = 47.000.000i p = 0

t

CD1 = ? Vs = 2.000.000

SUMA DE DIGITOS QUE REPRESENTAN LA VIDA UTIL

DEL ACTIVO

Este método como los anteriores es muy sencillo de aplicar y elprocedimiento para la obtención de las cuotas se ilustra con ayuda deun ejemplo.

APLICACION

Depreciar un tractorCalcular las cuotas de depreciación y elaborar la tabla correspondiente para un tractor quecuesta 47.000.000, tiene un valor de salvamento de 2.000.000 y una vida útil de cinco años.




depreciación

0 47,000,000

1 15,000,000 15,000,000 32,000,000

2 12,000,000 27,000,000 20,000,000

3 9,000,000 36,000,000 11,000,000

4 6,000,000 42,000,000 5,000,000

5 3,000,000 45,000,000 2,000,000

Tabla de

Depreciación



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

Definición

de variables

0 1 N-10 1 N-1 N N

Períodos

Costoi p = 0

t

CD1 = ?

INFORMACION BASICA

Este método como los anteriores es muy sencillo de aplicar y el

procedimiento para la obtención de las cuotas se ilustra con ayuda deun ejemplo.

CD1 =

2 ⋅Costo

N +1

CD1

, Primera cuota

Costo , Costo del activo

N , Vida util



PROCEDIMIENTO

1. Se suman los números correspondientes a los distintos años.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

S = 15

2. Se ordenan los números de mayor a menor y se dividen por la suma anterior.

5/15 ; 4/15 ; 3/15 ; 2/15 ; 1/15

3. Se obtiene el valor de uso

Vu = Costo - Vs

Donde,

Co = 47.000.000

Vs = 2.000.000

Se reemplaza,

Vu = 47.000.000 - 2.000.000

Vu = 45.000.000

4. Se multiplica el valor de uso por cada uno de los factores correspondientes obtenidos en elpunto, 2, y los resultados constituyen las cuotas correspondientes a los distintos años.

1 5/15 x 45.000.000 = 15.000.000

2 4/15 x 45.000.000 = 12.000.000

3 3/15 x 45.000.000 = 9.000.000

4 2/15 x 45.000.000 = 6.000.000

5 1/15 x 45.000.000 = 3.000.000



Vida Util

Vr. Salvamento

Costo

Borrar Datos


Tabla


Depreciación


3. Limpiememorias

Tasa de Interés





+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+



%↓↑

?

√α

Recordar Vida Util


Calcular Costo

Tabla

Decimales

tipo...

Tasa de Interés


OK

X Cancel

Línea Recta


Suma de dígitos



Tabla

1 400 000

3

29.47



V u = 1.400.000 C D = ?

0 1 20 1 2

i a = 29.47 %

años

N = 3 N = 3

FONDO DE AMORTIZACION

Este método de depreciación se comporta exactamente como el sistema de fondo de amortización de anualidad tratado en el capítulo de Fondos.

En consecuencia, las cuotas de amortización son uniformes, gananinterés y su valor futuro es igual al valor del uso del activo.

APLICACION

Depreciar moldesSe desea depreciar moldes de fibra de vidrio, en tres años. El costo de ellos es de 1’400.000 yno tienen valor de salvamento. ¿Qué cuota anual debe reservarse si la tasa de interés, quedevengan los depósitos del fondo, es de 29.47%?




depreciación

0 1,400,000

1 352,561 352,561 1,047,439

2 352,561 809,021 590,979

3 352,561 1,400,000 0

Tabla de Depreciación

Observaciones

Para el proceso de elaboración de la tabla debe remitirse al capítulo del fondode amortización.

Como se observa, este sistema aventaja los anteriores porque sus cuotasdevengan interés; pero no contempla el efecto de la inflación sobre el costo delactivo.



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

Definición

de variables

VFC

0 1 N - 1 N0 1 N - 1 N

i p

períodos

INFORMACION BASICA

Este método de depreciación se comporta exactamente como el sistema

de fondo de amortización de anualidad tratado en el capítulo de Fondos.En consecuencia, las cuotas de amortización son uniformes, gananinterés y su valor futuro es igual al valor del uso del activo.

C D , Cuota de depreciación

V F , Valor de uso

ip , Tasa de interés periódica

N, Vida util

CD = VF

1+ ip( )N

−1

ip



Vida Util

Vr. Salvamento

Costo

Borrar Datos


Tabla


Depreciación


3. Limpiememorias

Tasa de Interés





+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+



%↓↑

?

√α

Recordar Vida Util


Calcular Costo

Tabla

Decimales

tipo...

Tasa de Interés


OK

X Cancel

Línea Recta


Suma de dígitos



Tabla

2 000 000

10

29.87


Amortización

0 1 90 1 9

Co = 2.000.000i a = 29.87 %

N = 10 N = 10

años

CD = ?

AMORTIZACION

Este sistema considera el costo inicial del activo como una inversiónen activos financieros y, en consecuencia, le asigna un interés.

Asimismo, las cuotas que se reservan para el fondo también gananinterés. El capítulo de las cuotas se hace con la fórmula del sistema deamortización de anualidad.

APLICACION

Depreciar equipo de oficinaSe compra equipo de oficina por valor de 2’000.000 que será depreciado en 10 años. Si la tasade interés del mercado es de 29.87%, ¿Cuál será la cuota anual de depreciación?.



Valor del Fondo

Líneas de tiempo

equivalentes

Vu

= 27.297.198 C D = 644.630

0 1 90 1 9

i a = 29.87 %

años

N = 10 N = 10



Líneas

de tiempo

equivalentes

Fórmula

Definición

de variables

CD = Vu

1− 1+ ip( )−N

ip

0 1 N-10 1 N-1

Costo

i a

N N

Períodos

CD

INFORMACION BASICA

Este sistema considera el costo inicial del activo como una inversión

en activos financieros y, en consecuencia, le asigna un interés. Asimismo, las cuotas que se reservan para el fondo también gananinterés. El capítulo de las cuotas se hace con la fórmula del sistema deamortización de anualidad.

CD , Cuota de depreciación

Vu , Valor de uso

ip , Tasa de interés periódica

N , Vida util



17 Bienesraíces



“No hay victoria sin dolor”

Franklin

D ictaba una conferencia y me esmeraba en explicar el principiode equivalencia financiera mediante la representación gráfica que ideé

y decidí denominar "Líneas de tiempo equivalentes".

Mientras hablaba, dos ingenieros de una misma empresa constructora con-versaban y sonreían en voz baja al punto que empecé a sentirme molesto con esa interrupción en la sala y de alguna manera expresé mi malestar .

Al día siguiente, apenados, quisieron explicar la causa del comportamien-to.

Como constructores de un plan de vivienda campestre, habían venido ofreciendo a sus clientes cinco modalidades de cancelación de la cuota inicial. El diseño de los planes, que ellos mismos habían hecho, no contemplaba para nada el principio de la equivalencia financiera que había explicado eldía anterior.

El proyecto se había vendido en su totalidad, pero la risa nerviosa y los comentarios en voz baja obedecían a saber de quién sería la responsabili-dad ante la junta directiva cuando se comprobara que el plan escogido porla mayoría de los clientes no era, financieramente, el mejor para la compa-ñía..

Y en efecto: al utilizar el método de líneas de tiempo equivalentes para comparar todas las opciones, se puso en evidencia que se dejaban de ganar 100

mil dólares adicionales en esa promoción. Como el plan de todos modoshabía sido un éxito de ventas, y se habían conjurado ya los sobrecostos fi-nancieros, ellos decidieron contar a sus socios lo ocurrido como un chiste financiero que había ocurrido en un salón de clase.




El negocio de bienes raíces es considerado como uno de los más dinámicos y es el preferido por el grueso de inversionistas sin formación en finanzas. Estas inversiones que se realizan en general, con criterios subjetivos, debenredituar mucho mejor si se apoyan en sólidos criterios financieros.

Con este propósito, el tema se ilustra con una secuencia de casos prácticos,a fin de que usted se familiarice con él y quede en condiciones de decidir entre algunas de las opciones que plantea.

En los enunciados, se han omitido algunos costos secundarios para no dis-traer la atención del objeto principal del problema, sin dejar de advertir que en todo proyecto de inversión se deben tener en cuenta la totalidad de losingresos y egresos para que los resultados reflejen con fidelidad la reali-dad.


Venta de una casaUn establecimiento de crédito prestó a Pedro 9.000.000, al 26%, por 15 años, para comprar

una casa. La cuota que Pedro cancela al Banco es de 200.000 mensual. Dos años más tarde,exactamente después del pago 24, Pedro tiene que viajar y decide vender. Si un inversionistaofrece hacerse cargo de la deuda y entregarle 2.630.508 a Pedro, ¿Cuánto le ofreció a Pedropor la casa ?

Deuda pendiente en un crédito hipotecarioEl préstamo original para compra de un apartamento fue de 15.000.000, y se han pagado 79cuotas. Si el crédito fue obtenido a una tasa efectiva anual es de 30 % y las cuotas mensualesde 350.000. ¿Cuál es la suma que aún se adeuda?

Valorización de una propiedadUna casa ha sido avaluada en 50.000.000. Esta propiedad se compró hace cinco años conlas siguientes condiciones: tasa de interés 26% liquidable mensualmente; el plazo de 15 añosy 180 cuotas mensuales. Como se tiene actualmente una deuda pendiente de 12..000.000 yla cuota inicial ascendió al 30%, se desea saber primero: ¿Cuál fue el precio original de la casa,y segundo: si vende la casa por los 50.000.000, ¿Cuál será la tasa promedio de valorizaciónanual?




APLICACION

Crédito para vivienda

Las entidades de crédito hipotecario utilizan factores para determinar el valor máximo de los créditos , deacuerdo con el Ingreso Familiar Mensual (IFM) de sus clientes. Su utilidad práctica se ilustra con elsiguiente ejemplo.

Crédito máximo que se puede otorgar con base en el IFMUn establecimiento de crédito utiliza un factor de 13.55 veces el IFM para determinar el valormáximo que puede otorgar en créditos a 15 años, con el 26% de interés anual, liquidablemensualmente. Si un funcionario posee un IFM de 2.500.000, ¿Cuál es el crédito máximo quepuede obtener del banco?.

Préstamo máximo = I.F.M x Factor

Donde,

I.F.M = 2.500.000

Factor = 13.55 veces el IFM

Préstamo máximo = 2.500 000 x 13.55Préstamo máximo = 33.875.000

A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar la manera como se obtiene el factor.



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo del factorLa cancelación de los créditos para vivienda comprometen hasta el 30% del ingreso familiarmensual (IFM) del beneficiario. Obtener el factor con el cual se pueda calcular el monto máxi-mo del crédito que puede otorgarse a los clientes, por cada peso (1) de ingreso mensual, para

un plazo de 15 años y el 26% de interés.

45.17987173

Este resultado significa que, 45.18, unidades monetarias de hoy, son equivalentes a 180 men-sualidades de 1, y el 30% de esta cantidad constituye el monto máximo que puede otorgarseen crédito por cada unidad monetaria (1) de IFM.

Crédito máximo = 0.30 x 45.17987173

Factor Crédito máximo = 13.55396152

Que significa que el banco prestará, 13.55, por cada unidad de IFM que se posea.


15

261

Valor Presente

0 1 1790 1 179

VP = ?i = 26 % M.V. C = 1

N = 180 N = 180

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cupo posible de créditoUn nuevo ejecutivo tiene ingresos familiares mensuales de 900.000. Desea adquirir vivienda yrecibe una oferta de la Urbanización Torres del Norte para comprar un apartamento cuyo precioes de 35 millones con financiación de 30 millones a una tasa del 24% anual, mes vencido. Si

el desea pagarlo en 5 años, por mensualidades ¿Podría el banco otorgarle dicho crédito?

31.284.798

El 30% de este valor constituye el monto máximo del crédito que se puede obtener, es decir:

Crédito máximo = 31.284.798 x 0.30

Crédito máximo = 9.385.439

Es decir que con ese plazo no se puede acceder al crédito.

NOTA: Obsérvese que el monto del crédito será menor cuanto más reducido sea el plazo escogido.

El valor presente de los ingresos familiares es:

Líneas de tiempo

equivalentes

5

24900 000

Valor Presente

0 1 590 1 59

VP = ?i = 24 % M.V. C = 900.000

N = 60 N = 60

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Cálculo de la cuota para pagar un crédito hipotecario

Crédito individual en pesos corrientes

Un establecimiento de crédito desea calcular el factor que permita la obtención de las cuotasmensuales uniformes que deben pagar los usuarios de la línea tradicional de crédito, cuya tasaes del 30% , mes vencido, para cada 100.000 de préstamo efectivo y para ser pagados en 15años. ¿Cuál es el factor?

2.530 Que es el factor de la línea tradicional para calcular el valor de la cuota que debepagarse durante 180 meses, por cada 100.000 de crédito.

Líneas de tiempo

equivalentes

15

30

100 000

Cuota uniforme

0 1 1790 1 179

VP = 100.000i = 30 % M.V. C = ?

N = 180 N = 180

meses




Respuesta

Calcular

Conversión


Chequee:

2 Tasas



2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Crédito individual en Valor constanteGustavo Adolfo Arias solicita un crédito de 125 millones a una Corporación de Ahorro y Vivien-da para financiar la compra de un apartamento. Si la corrección monetaria es del 21%, la tasaefectiva sobre las UPACs que cobra la corporación es de 7.5% y el plazo de 15 años, ¿Cuál

será la cuota mensual que debe pagar Gustavo Adolfo, si escoge el sistema de cuota unifor-me?.

Primero, se halla la tasa efectiva anual equivalente.

30.075 %

Líneas de tiempo

equivalentes

21

7.5

0 10 1

i 1 = 21 %

años

i 2 = 7.5 %

años

Anual Anual



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Segundo, se calcula la cuota uniforme

2.823.891 Que es la cuota uniforme que Gustavo Adolfo debe pagar durante los 180meses.


15

30.075

125 000 000

Cuota uniforme

0 1 1790 1 179

VP = 125.000.000i a = 30.075 % Cuota = ?

N = 180 N = 180

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Segundo, se calcula el valor de las subrogaciones

1.379.715.982 Que sería la suma que tendría que reembolsar Arcila y Cía en el evento deque no hubiese pagado intereses mensuales y no se hubiera presentado una subrogación.

Líneas de tiempo

equivalentes

21

31.89

850 000 000

Valor Futuro

0 1 20 N = 210 1 20 N = 21

VP = 850.000.000i a = 31.89 % VF = ?

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Segundo, se calcula el saldo pendiente de pago

Como el número total de períodos es de 144 meses, significa que aún se adeudan ,

144 - 79 = 65, cuotas de 347.099. Para determinar cuánto es el saldo, se debe hallar el valorpresente de las 65 cuotas.

11.896.827 es el saldo pendiente de pago equivalente a 65 cuotas.

Líneas de tiempo

equivalentes

65

30.075347 099

Valor Presente

0 10 1

VP = ?i a = 30.075 % C = 347.099

N = 65 N = 65

meses

64 64



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Plazo de un crédito hipotecarioSe otorga crédito por 8.500.000 a un interés de 33% anual, liquidable mensualmente. Si lacuota mensual que corresponde pagar es de 235.534 mensual, ¿A cuántos años es el crédi-to?.

180 es el plazo en meses, y 15 el plazo en años.

Líneas de tiempo

equivalentes

33235 534

8 500 000

Nº de Períodos

0 1 N - 1 N = ?0 1 N - 1 N = ?

VP = 8.500.000i = 33 % M.V. C = 235.534

meses



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Subrogación de un crédito hipotecarioEl Banco Latino prestó a Pedro 9.000.000, al 26% anual, mes vencido, por 15 años, paracomprar una casa. La cuota que Pedro cancela al Banco es de 199.204 mensual. Dos añosmás tarde, exactamente después del pago 24, Pedro tiene que viajar y decide vender. Si un

inversionista ofrece hacerse cargo de la deuda y entregarle 2.630.508 a Pedro, ¿Cuánto leofreció a Pedro por la casa ?

Como Pedro ha pagado 24 cuotas, aún debe 156. El valor presente de esas cuotas más lacantidad que ofreció entregarle adicionalmente, constituyen la oferta.

8.869.492 es el saldo pendiente de pago equivalente a 156 cuotas.

OFERTA = 8.869.492+ 2.630.508

OFERTA = 11.500.000

Líneas de tiempo

equivalentes

180 - 24 =

26199 204

Valor Presente

0 10 1

VP = ?i = 26 % M.V. C = 199.204

N = 156 N = 156

meses

155 155



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Inversiones en bienes raíces

Valorización de una propiedad

Se compró una casa hace 5 años por 3.000.000 ; hoy, está avaluada en 12’500.000 . Se deseasaber: a) ¿Cual ha sido la valorización anual? b) Si esta tendencia persiste, ¿Cual sería elvalor de la propiedad en dos años?

Primero, se calcula la valorización anual

33.03 % que es la valorización anual a interés compuesto.


5

3 000 000

12 500 000

Tasa de Interés

VP = 3.000.000 VF = 12.500.000

años

i a = ? %

0 0N = 5 N = 51 4 41



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Segundo, se calcula el valor de la propiedad en dos años

Si persiste la tendencia de la valorización del 33.03% anual, ¿Cuál será el valor de la propiedaden dos años?.

22.121.226 será entonces el precio estimado de la propiedad en dos años.

Líneas de tiempo

equivalentes

2

33.03

12 500 000

Valor Futuro

VP = 12.500.000 VF = ?

años

i a = 33.03 %

0 0N = 2 N = 21 1 11



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Costo original y valorizaciónUna casa comprada hace cinco años ha sido avaluada en 500.000. La tasa de interés acorda-da fue del 26% liquidable mensualmente; el plazo de 15 años y 180 cuotas mensuales. Si setiene actualmente una deuda pendiente de 120.000 y la cuota inicial fue de 30%, se desea

saber primero: ¿Cuál fue el precio original de la casa, y segundo: si vende la casa por los500.000, ¿Cuál será la tasa promedio de valorización anual?

Este problema comprende varias etapas: Primero, se halla el valor de la cuota mensual origi-nal; segundo, con base en este dato, se debe obtener el precio de compra para calcularfinalmente la valorización.

Primero, se calcula el valor de la Cuota mensual.

2.815 es la cuota uniforme que se debía pagar durante los 120 meses.


120

26

120 000

Cuota uniforme

0 1 119 N = 120

VP = 120.000i = 26 % M.V. C = ?

meses

0 1 119 N = 120



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Segundo, se calcula el Precio de Compra.

127.180 constituye el 70% del precio de la casa, puesto que se entregó el 30% como cuotainicial. Luego, el precio fue:

PRECIO = 127.180 ÷ 0.7

PRECIO = 181.686

Líneas de tiempo

equivalentes

180

262 815

Valor Presente

0 10 1

VP = ?i = 26 % M.V. C = 2.815

N = 180 N = 180

meses

179 179



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Tercero, se calcula la Valorización

22.44 % es la tasa de valorización anual.

Líneas de tiempo

equivalentes

5

181 688

500 000

Tasa de Interés

VP = 181.688 VF = 500.000

años

i a = ?%

0 0N = 15 N = 151 14 141



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Compra de un inmueble para saldar la deuda con una cuota globalSe quiere comprar una casa campestre cuyo precio de contado es de 26.000.000. El propieta-rio que en cualquiera de sus inversiones gana el 32.25% efectivo anual, como mínimo, aceptala siguiente propuesta: a. 10’000.000 en bonos, que ganan interés semestral de 900.000 y se

redimen en dos años, y b. El saldo, inmediatamente. ¿Cuál es esta suma?

Primero, se calcula el valor presente equivalente, de los bonos y de sus cupones.

8.287.013

El saldo a pagar, inmediatamente, será entonces,

SALDO = 26.000.000 - 8.287.013

SALDO = 17.712.987

Líneas de tiempo

equivalentes

2

32.25900 000

10 000 000

Valor Presente

0 1 30 1 3

VP = ?i a = 32.25% C = 900.000

N = 4 N = 4

10.000.000

semestres



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Plazo para pagar un préstamo con cuota globalUna fábrica paga 2.500.000 mensuales de arrendamiento por una bodega. El propietario de-sea comprar la edificación y solicita crédito, por 95.000.000 a una Corporación para completarla suma necesaria. Si se piensa pagar la deuda con las cuotas actuales de arrendamiento y la

tasa de interés que cobra la corporación es de 26.58 % nominal, mes vencido.

a. ¿Cuántos meses requiere el propietario para cubrir la obligación?

b. ¿Cuál es el valor de la cuota global para saldar la deuda?

Primero, Se calcula el plazo

84.14 meses


26.58

2 500 000

95 000 000

Nº de Períodos

0 10 1

VP = 95.000.000i = 26.58% M.V. C = 2.500.000

N = ? N = ?

meses

N - 1 N - 1



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Segundo, Se calcula el valor de la cuota global.

Del cálculo anterior se observa, que el número de períodos no es exacto. Podría, entonces,aceptarse 84 cuotas de 2.500.000 y una cuota menor, al final, en el mes 84, para saldar total-

mente la deuda.

334.733 es la cuota global necesaria para saldar el crédito en el mes 84.

Líneas de tiempo

equivalentes

84

26.582 500 000

95 000 000

Valor Futuro

0 1 830 1 83

VP = 95.000.00i = 26.58 % C = 2.500.000

N = 84 N = 84

meses

C g = ?



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Precio de compra de una propiedad para arrendarSe estima que el precio de venta de una residencia, al cabo de 2 años, será, 25.000.000 ; hoy,está arrendada en 160.000 mensuales. Si se tiene en cuenta a.- Que los costos que generaesa propiedad ascienden a 30.000 mensuales por concepto de impuestos, seguros y manteni-

miento; b. Que el arrendamiento, como los costos, permanecen constantes en los dos años yc.- que quién desea comprarla, puede obtener para cualquiera de sus inversiones una tasaanual del 26.42 % mes vencido ¿Cuánto debe ofrecer por ella?.

17.226.976 es la suma de dinero que se puede pagar para asegurar un rendimiento a la inver-sión de 26.42 % mes vencido.


24

26.42130 000

25 000 000

0 1 230 1 23

VP = ?i = 26.42 % M.V. C = 130.000

N = 24 N = 24

meses

C g = 25.000.000

Valor Presente



“Donde existe una meta, existe un camino"

Proverbio Inglés

U n fabricante de equipos electrónicos asistió a un seminario denomiado“Evaluación de descuentos” -que yo dictaba por la época en la ciudad

de Cali- con el único propósito de consultarme la solución de su problema particular.

El se anticipó a presentarlo antes que nadie porque consideró que las 8horas asignadas al tema podían no ser suficientes y temía quedarse sinrespuesta y perder el dinero de su inversión.

Expuso su política de venta: Con la orden del cliente exigía el 50% del valorde los equipos; el resto lo recibía a los 45 días, fecha de entrega del pedido.

Para presionar el pago anticipado, ofrecía un descuento de 2 millones, equi-valente al 10% del precio que era de 20 millones.

La primera observación que hice fue que el descuento otorgado no era del10% sino del 20%, puesto que se debía calcular sobre la suma pendiente derecibir y no sobre el total. Enseguida pregunté si las ventas mejorarían au-mentando el plazo a 90 días; la respuesta fue afirmativa.

Con base en este hallazgo sugerí la siguiente solución: Proponga a los clientes que garanticen la operación con Aceptación Bancaria, con venci-miento a 90 días, por el valor pendiente de pago, con el compromiso de que su empresa asume los costos de apertura de la misma. Luego, solicite que sela descuenten en su banco; con toda seguridad el descuento más los costosde apertura no ascenderán a más del 8% trimestral, es decir a 800 mil fren-

te a su costo de 2 millones por 45 días. De esta manera usted recibirá1.2millones más y sus clientes 45 días adicionales.

El no lo podía creer. Había dejado de vender varios millones. Se incorporó, extendió su mano para despedirse, dió las gracias y se retiro. No dió tiempode preguntarle si sus clientes estarían dispuestos a solicitar la aceptación.




El descuento es una operación común en los negocios y en muchos casos setoman decisiones equivocadas que implican pérdida de sumas significati-vas de dinero.

En este documento se presentan los casos más comunes a fin de familiarizaral lector con procedimientos claros para evaluar operaciones que impliquendescuento, con base en la tasa de interés efectiva anual como medida derendimiento o de costo.


Descuento en publicidadUna cadena radial ofrece a una agencia de publicidad dos tasas de descuento: 20% por prontopago (90 días) y 15% por volumen. ¿Se justifica tomar un crédito al 60% efectivo anual parapagar de contado?

Descuento de una Aceptación bancariaSe expide Aceptación Bancaria a 120 días por 25.000.000 para cancelar materias primas a unproveedor. Este decide negociarla en Bolsa y recibe neto del comisionista 22.150.600, ¿Esmejor para el proveedor vender a descuento la aceptación o solicitar un crédito bancario conun costo del 45.83 % efectivo anual?

Tabla de descuentoUn laboratorio ofrece una tabla de descuento diaria para cuarenta y cinco días con base en lassiguientes condiciones:

Días Dcto

De 0 a 15 3.5%

60 Neto

Se desea saber: Qué tasa efectiva de interés reconoce el laboratorio y si es convenienteconseguir dinero en el mercado al 50% para pagar anticipadamente.




Descuento

El descuento es el interés cobrado por anticipado.

Clasificación

El descuento puede ser Simple o Compuesto

Evaluación de descuentos

La evaluación se efectúa con base en la tasa efectiva anual equivalente.

Tipos de descuento

El crédito es un poderoso mecanismo para incrementar las ventas.Los industriales, por ejemplo, acostumbran conceder a sus clientes30, 60 y 90 días de plazo para cancelar las facturas. Este hecho genera una corriente de cuentas por cobrar que es muy importante en el flujode caja.

Cuando se presentan problemas de liquidez, una de las estrategiasque adoptan los empresarios consiste en ofrecer descuento a los clien-tes para que anticipen el pago de las facturas. En general, el descuentodebe ser mayor que la tasa equivalente cobrada por los establecimien-tos de crédito a fin de que resulte atractiva para el cliente y se motivena endeudarse con los bancos.

Pero existen también estrategias de mercadeo, para algunas líneas deproductos, en las cuales los fabricantes insinúan el precio de venta (Lista de precios) a fin de incentivar al intermediario con un margen dedescuento llamativo.

Se trata entonces de evaluar qué es más conveniente desde el punto de

vista financiero: tomar el plazo o comprar de contado y asumir el costofinanciero equivalente al descuento.

Este documento aporta elementos conceptuales y enseña a realizarcálculos que impliquen descuento y a evaluar financieramente las op-ciones más comunes que se ofrecen en el mercado.

El lector encontrará sorpresas; y será mayor cuando constate de pron-to que uno de los casos coincide con el suyo, y cuánto dinero puedehaber perdido.



Procedimientos para evaluar

El objetivo de este documento es enseñar procedimientos sencillos conayuda del programa para evaluar operaciones comerciales que impli-

quen descuento, con base en la tasa de interés efectiva anual comomedida del costo o la rentabilidad de tales operaciones.

Todo se reduce, como se ha insistido en este libro, a representar demanera adecuada los ingresos y los egresos por medio de las líneas detiempo equivalentes y buscar el procedimiento adecuado con el pro-grama para llegar a la tasa efectiva anual, que será la que nos indiquequé decisión tomar.

Las opciones serán: Pagar hoy o pagar otras sumas en el futuro.

La representación de los descuentos considerados como préstamos serepresentan también como cualquier otro problema de la matemática financiera con las líneas de tiempo equivalentes.



APLICACION

Ventas al comercio

En general la industria vende al comercio con plazo de 90 días. Así mismo ofrece descuento variable sila factura se cancela en una fecha anterior al vencimiento. Este descuento se denomina Descuento porpronto pago.

Venta de calzadoUna fábrica de calzado ofrece la siguiente tabla de descuentos de acuerdo al plazo que setome el cliente, se desea saber ¿cual de las opciones es la mejor para el cliente ?

Opción Si cancela entre Descuento

1 0 - 30 días 15%

2 31 - 60 días 10%

3 61 - 90 días Neto

Opción 1 Como el descuento ofrecido es para cualquier fecha entre cero y 30 días, el cliente se tomarálos 30 días y pagará en la fecha 30, es decir 60 días antes del vencimiento del plazo. O sea que

recibe un descuento del 15% por 60 días.


0 1 5 N = 6 0 f = 1

d b = 15%

bimestre año

i a = ?




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Opción 2 Como el descuento ofrecido es para cualquier fecha entre 30 y 60 días el cliente se tomará los60 días y pagará en la fecha 60, es decir 30 días antes del vencimiento del plazo. Es decir querecibe un descuento del 10% por 30 días.

El procedimiento que sigue se utiliza para calcular las tasas efectivas anuales correspondien-tes a estas dos opciones.

Líneas de tiempo

equivalentes

10 • Mensual • Anticipada • Efectiva

• Anual • Vencida • Efectiva

0 11 f = 12 0 f = 1

d m = 10% .

meses año

i a = ?

1

Mensual

Anual

Primera opción, 165%

Segunda opción, 254%

Nota.- Observe como el cliente que demore más su pago obtendrá una tasa equivalente mayor.

Como se deduce de los resultados, la mejor opción es la segunda, que se presenta a simple vista comomenos atractiva.

Este hecho permite concluir que la tabla está mal elaborada.




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Descuento bancario

La banca tienen como política cobrar tasas de descuento (Interés anticipado) por los créditos y sus clien-tes firman un documento denominado pagaré. Esto significa que efectúan un descuento y quien solicita

crédito recibe una suma inferior a la solicitada. El descuento se conoce como Descuento bancario y lasuma recibida por el cliente como Valor Líquido del pagaré.

Crédito ordinarioEl Banco de Santander concede crédito ordinario a sus clientes a 90 días y cobra una tasa de36% trimestre anticipado. Se desea saber, ¿ Cual es la tasa de interés efectiva anual equiva-lente a esa tasa de descuento?

Tasa de interés anual equivalente

45.83 % , es la tasa de interés efectiva anual equivalente al 36 % t. a.

36 • Trimestral • Anticipada • Nominal

Líneas de tiempo

equivalentes


0 1 3 f = 4 0 f = 1

d t = 36 % t . a.

trimestre año

i a = ?

Anual

Trimestral



Comparación de opciones

Como se dijo en la introducción, el propósito de este módulo es señalar los procedimientos decálculo para obtener la tasa efectiva anual equivalente en dos o más operaciones de descuen-to propuestas y compararlas a fin de seleccionar la mejor.

En el evento de que un comerciante se encuentre frente a las opciones expuestas en los dosejemplos anteriores debería preguntarse ¿Es recomendable el crédito bancario para cancelarel creedito otorgado por el comerciante? La decisión resulta sencilla: Toma dinero prestado al46% y lo presta al 165%.



Aceptaciones bancarias

Las Aceptaciones bancarias son títulos equivalentes a letras de cambio pero avaladas por un Banco, esdecir, el Banco paga a la redención y cobra a su cliente. Se utilizan para garantizar compra de mercancía

a plazo, en general, hasta de 6 meses .

El funcionamiento de las operaciones con estos papeles es el siguiente: Quien vende, concede plazo a su cliente y le solicita garantía con aceptación banca-ria. El cliente solicita a su banco que expida una aceptación a nombre de suproveedor con el plazo acordado. Por su lado el banco hace el estudio delcrédito y cobra una tasa por la apertura de la aceptación. Al cumplirse el plazode la aceptación, el banco exige su pago al cliente.

El proveedor con el título en su poder, puede esperar que transcurra el plazo

para recibir el dinero del banco o puede negociar el papel, vendiéndolo a des-cuento en el mercado secundario.

Cliente

Proveedor

Banco del cliente

1. Solicita aceptación

El cliente solicita a subanco expida Aceptacióna nombre de su proveedor

2. Expide aceptaciónque entrega al cliente

3. Entrega mcía yrecibe aceptación

Es decir el banco expide la aceptación y se compromete con el beneficiario a pagarle en la fecha convenida contra presentación del título.

4. El proveedor cobra la aceptaciónen el banco en la fecha de suvencimiento

Proceso de una operación garantizada con aceptación bancaria



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Descuento de una Aceptación bancariaSe expide Aceptación Bancaria a 120 días por 25.000.000 para cancelar materias primas a unproveedor. Este decide negociarla en Bolsa y recibe neto del comisionista 22.150.600, ¿Fuemejor para el proveedor descontar la aceptación o hubiera sido mejor solicitar un crédito ban-

cario con un costo del 45.83 % efectivo anual?

43.77% Este resultado señala como mejor opción el descuento de la Aceptación Bancaria

El resultado se interpreta así: el costo por descontar la aceptación fue 43.77% , el del créditohubiera sido 45.83%.


120 ÷ 360 =

22 150 000

25 000 000

Tasa de interés

VP = 22.150.600 VF = 25.000.000

días

i a = ?%

0 1 0 1119 N = 120 119 N = 120




Respuesta

Calcular

Conversión


Chequee:

2 Tasas




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...


Calcular X Cancel OK2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

Descuentos encadenados

Los descuentos encadenados son dos o más descuentos aplicados de manera progresiva que buscanproporcionarle un estímulo adicional al cliente con el propósito de que compre más y cancele cuanto

antes.

Descuento en la publicidad radialUna cadena radial ofrece a una agencia de publicidad dos tasas de descuento: 20% por prontopago (90 días) y 15% por volumen. ¿Se justifica tomar un crédito al 60% efectivo anual parapagar de contado?

Se calcula la tasa efectiva anual equivalente

368% La evaluación señala como mejor opción, tomar el crédito al 60% efectivo anual para

cancelar a la cadena radial y así obtener una tasa de interés equivalente al 368%.

Líneas de tiempo

equivalentes

20 • Trimestral • Anticipada • Efectiva

15 • Trimestral • Anticipada • Efectiva

0 3 f = 4 0 f = 1

d t 2 = 15 %

trimestre año

i a = ?

1

d t 1 = 20 %

TrimestralTrimestral



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Descuento vs. Cuotas uniformes

Suscripción anual anticipadaUn diario plantea la siguiente opción de descuento: Pagar 90.000 anticipados por una suscrip-

ción anual de ese periódico, en vez de 360 cuotas de 400. ¿Es conveniente tomar un créditoal 45% efectivo anual para pagar anticipadamente la suscripción?

178% es la tasa efectiva anual equivalente.

De acuerdo al resultado, la evaluación señala como conveniente tomar el crédito paracancelar la suscripción.

Líneas de tiempo

equivalentes

360

400

90 000

Tasa de interés

VP = 90.000i a = ?%

días

00

C = 400

1 359 N = 360 1 359 N = 360



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Descuento e IVA

Descuento en la tarifa de un hotelUn hotel otorga a sus clientes el 20% de descuento; si en los dos casos se liquida el 16% de

IVA, ¿Cuál es la tasa de interés efectiva que gana el cliente?Pago por cada 100: 100 + 16 = 116.0

Con descuento, 80 + 14.8 = 92.8

25%

Líneas de tiempo

equivalentes

1

92.8

116

Tasa de interés

VP = 92.8 VF = 116

período

i p = ?%

0 0N = 1 N = 1




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Tablas de descuento

Un laboratorio ofrece una tabla de descuento diaria para cuarenta y cinco días con base en lassiguientes condiciones:

Días Dcto

De 0 a 15 3.5%

60 Neto


Tasa efectiva anual equivalente

32.98% No es conveniente conseguir dinero más caro para cancelar de contado.

Líneas de tiempo

equivalentes

3.5 • 45 días • Anticipada • Efectiva


0 0 f = 1

d 360/45 = 3.5 %

año

i a = ?

1 7 f = 8

bi-trimestral

Anual Otra



Cómo elaborar fácil y rápido una tabla de descuento.

La elaboración de una tabla de descuento se fundamenta en el princi-pio de equivalencia para la conversión entre tasas de interés y des-

cuento y se puede elaborar fácil y rápido con los procedimientos des-critos atrás.

Con base en el ejemplo anterior se puede desarrollar una tabla de fac-tores de descuento para la unidad. Es decir, se calculan -con la tasa deinterés escogida- la porción de la unidad que se debe entregar hoy, a cambio de una unidad en el futuro. El procedimiento ilustrado con laslíneas de tiempo equivalente hacen posible comprender el método.

El método básicamente consiste en lo siguiente:

1. Se define el período de la tabla: Día, semana, mes, etc...

2. Con base en la tasa escogida que se quiera reconocer, se calcula la tasa efectiva para elperíodo escogido en la modalidad Conversión.

3. Se selecciona la modalidad Compuesto

4. Se almacena la unidad en "Valor Futuro" y la tasa periódica en "Tasa de interés"

5. Se proporciona sucesivamente el período en "Nº período"

6. Se calcula "Valor presente"

7. Se repite 5 y 6 para los períodos siguientes.




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Se repite el enunciado:

Un laboratorio ofrece una tabla de descuento diaria para cuarenta y cinco días con base en lassiguientes condiciones:

Días Dcto

De 0 a 15 3.5%

60 Neto


Tasa efectiva diaria equivalente

3.5 • 45 días • Anticipada • Efectiva

• días• Vencida• Efectiva

0.07920285% es la tasa efectiva diaria con base en la cual se calculará la tabla.

Diaria

Otra

Líneas de tiempo

equivalentes

i d = ?

mes y medio

0 1 359 3600 1 7 8

d 45 = 3.5 %

días



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Se selecciona la modalidad "Compuesto" y se proporciona la información como se indicó paracalcular la tabla:

1

0.07920285

1

Valor presente

0.9992086 es el factor de descuento para el primer día.

Para proseguir en la obtención de los factores basta con proporcionar de manera sucesiva elvalor del período y calcular "Valor presente"

Líneas de tiempo

equivalentes

VP = ? VF = 1

días

i d = 0.07920285 %

0 1 0 1



19 Cálculo

de rentabilidadde Activos

financieros



“Me prepararé y algún día mi oportunidad llegará”

Lincoln

Algún suspicaz gerente de banco, alumno de mis seminarios, le dió por suponer que sólo por mis conocimientos teóricos de Matemática Finan-

ciera estaba en condiciones de emprender cualquier negocio y que ganaríamucho dinero con ello. Además suponía también que mi dinero estaba colo-

cado en las mejores condiciones dentro del mercado financiero.

Me sentí un poco apenado tener que responderle primero, que no era unhombre acaudalado, y segundo, añadí:

—El dominio de la matemática financiera significa ganancias extraordi-narias para los intermediarios financieros y para quienes manejan a dia-rio grandes sumas de efectivo , pero no para quienes la utilizamos como unagradable ejercicio académico y vivimos de su pedagogía.

Luego rematé:

—Alguna vez estuve preocupado por el vencimiento de una obligación y de- posité mi última esperanza en un gerente amigo a quien solicité un sobregi-ro. Cuando lo aprobó, obedecí a mi instinto evaluador: calculé la tasa efectiva, y comenté que el costo me parecía exagerado. Se frotó sus ojos conla yemas de los dedos, levantó lentamente la mirada y preguntó:

-¿Lo tomas o lo dejas?

-¿ Qué supones que hice?




Estar en condiciones técnicas de decidir si se debe invertir en algún título-valor o qué portafolio de inversión es el recomendable o por cuánto se debeadquirir una aceptación bancaria, un depósito a término o un bono, por ejemplo, es una condición envidiable a la cual aspira todo administrador financiero. Este capítulo ilustra una amplia variedad de problemas de la práctica financiera con los cuales se aspira cubrir la mayor parte del tema.

La importancia práctica quedará demostrada cuando culmine su estudio yusted constate que fue posible resolver de manera sencilla todos los problemas propuestos, que no son ni más ni menos que los problemas que enfrentan en su trabajo diario los gerentes financieros o los corredores de Bolsa.


Rentabildad de una cédula de capitalización“El Negoción Completo lo convierte en millonario sin arriesgar un solo peso. Con una inversiónfija mensual, por ejemplo: 7.000, usted participa en 48 sorteos mensuales y en cada uno ustedpuede ganar. Además, se dá un rendimiento del 22.4% sobre el capital total que usted obtiene

en los 48 meses”.

Depósitos a término en Upac“Concasa aumentó sus rendimientos: Sus depósitos en Certificados de depósito a 12 meses,al 29.47% ”. ¿ Confirmar la rentabilidad de los títulos si la tasa de corrección monetaria es del21% y la tasa de interés adicional es de 7% ?

Rentabilidad de las accionesEl manual de Mercado Bursátil proporciona la siguiente información para el Banco de Caldas:Valor de la acción al iniciar el año 1 : 23.6 ; valor de la acción al iniciar el año 2, 33.14 ;

Dividendo mensual decretado por acción , 0.25. ¿Cuál fué la rentabilidad efectiva mensual yanual de estas ACCIONES?

Rentabilidad de los títulos en dólares¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente de los Títulos Canjeables por certificadosde cambio, que se adquirieron hace un año, si la tasa de devaluación vigente es del orden del18% efectivo anual?




Activo Financiero

“Un ACTIVO FINANCIERO es todo y cualquier título representativo de deuda o parte patrimo-nial” . Caben, en consecuencia, bajo esta denominación: Las cuentas de ahorro en pesoscorrientes y en Valor constante, los Certificados de depósito a término, los bonos, las accio-nes, las cédulas hipotecarias, los títulos de capitalización, los títulos del gobierno ; certificadosde cambio, etc.

Este capítulo intenta una clasificación de acuerdo a la estructura de rentabilidad de los activos;con ejemplos, se ilustra el método de cálculo, la aplicación de las fórmulas y su demostración.

Acción Título de propiedad , negociable , representativo de una fracción del capital social de unasociedad

Acción que identifica el nombre de su propietario .Su transferencia debe ser registrada en unlibro especial en la empresa denominado “ Libro de Registro de Acciones “

Acción que no identifica el nombre de su propietario , pertenece a quien la tiene en su poder .El cambio de propiedad se realiza por la simple entrega de los títulos al nuevo propietario .

Acción que tiene la característica de conceder a su titular el derecho de voto en las asambleas

Acción que da a su poseedor prioridad en el pago de dividendos y/o en caso de disolución dela empresa , el reembolso de capital . Tienen prerrogativa de carácter económico .

Propietario de la acción .

Es la reunión de los accionistas , convocada e instalada en la forma establecida por la Ley y losestatutos , a fin de deliberar sobre uno o varios temas específicos de interés social . Se reuneen momento diferente al establecido .

Convocada en la forma establecida por los estatutos de una sociedad para verificación de losresultados , lectura, discusión y votación de los informes de administradores y elección dedirectores .

Acta aprobada por la Asamblea General Extraordinaria ( o reunión de directorio en caso decapital autorizado ) por el cual se incorporan al capital de la empresa , reservas y/o nuevosrecursos . El aumento de capital normalmente es efectuado mediante derechos de suscripciónpara los accionistas .

Reducciones graduales de la deuda a través de pagos periódicos .

Es la diferencia entre los ingresos y los gastos del gobierno .

Aumento

de capital

Asamblea generalordinaria

Asamblea general

extraordinaria

Accionista

Accion

preferencial

Accion al goce

Accion al

portador

Acciónnominativa

Ahorro público

Amortización



Es la diferencia entre los ingresos y el consumo de las unidades familiares y de las empresas .

Informe contable del estado patrimonial de la situación económica financiera de una empresa ,siempre referente al fin de un ejercicio fiscal .

Persona a la cual el título fue trasferido o a favor de quien es emitido el título .

Establecimiento público o privado donde personas calificadas realizan operaciones de compra-venta de títulos de valores .

Título valor representativo de una deuda contraída por la entidad emisora con su poseedor ,previo el compromiso del pago de unos intereses en un tiempo dado . Pueden ser públicos oprivados .

Es la suma de todos los recursos , bienes y valores movilizados para la constitución de unaempresa . Es su razón económica .

(Sociedad de ).- Sociedad anónima que tiene sus acciones distribuidas entre un número deter-minado de accionistas , de acuerdo con las normas establecidas por el gobierno nacional y laComisión Nacional de Valores .

(Sociedad de ). - Sociedad anónima cuyo capital fue aprobado como meta futura por la asam-blea general .

( Sociedad de ) .- Sociedad anónima con capital de propiedad limitada .

Es la parte del capital social o autorizado que los suscriptores de acciones se han obligado apagar en un tiempo determinado.

Es la parte del Capital suscrito que se ha pagado .

Reinversión o Reaplicación de los resultados al Patrimonio de la empresa . Ampliación delcapital pagado mediante nuevas emisiones de acciones .

Canalización de recursos para aplicación en inversiones de corto , mediano o largo plazo .

Número de unidades del respectivo título o papel negociadas en un determinado período .

Papeles emitidos por el BCH para financiación de vivienda ; devengan interés y tienen unperíodo de vencimiento preestablecido . Artículos , 40 y 41 de Estatutos del Banco .

Son promesas de pagos futuros de las categorías depositadas y constituyen obligaciones delas instituciones que los emiten .

Cédulas

hipotecarias

Cantidad transada

Captación

Capitalización

Capital pagado

Capital suscrito

Capital cerrado

Capital autorizado

Capital abierto

Capital

Bono

Bolsa de valores

Beneficiario

Balance

Ahorro privado

Certificado dedeposito a término



Operación destinada a actualizar el poder adquisitivo de la moneda, según tasas fijadas por elgobierno. Normalmente calculadas para los reajustes de las unidades de poder adquisitivo.

Diferencia, en menos, entre el valor nominal y el valor comercial de un activo financiero.

Devaluación Reducción del valor de la moneda nacional en términos de monedas extranjeras.

Es la diferencia entre el precio de venta y de compra de una acción, es decir, el incremento desu valor comercial.

Los intereses y el dinero a la redención del activo se paga en la entidad que lo emite.

Las características del activo permiten negociarlo y obtener dinero por fuera de la entidad quelo emite.

Es la participación del Banco central en el mercado de valores a través de la emisión de Títulosdel Gobierno a fin de restringir el volumen de dinero en circulación y controlar la inflación.

Para hacer comparables las distintas opciones de inversión en activos financieros, se adopta elaño como período base para el cálculo de la rentabilidad.

Nota Varias de las anteriores definiciones fueron tomadas de distintos informes de la Bolsa de Bogotá.

Período basepara el cálculo

de Rentabilidad

Operación de

Mercado Abierto

Liquidez

secundaria

Liquidez primaria

Valorizaciónde la acción

Descuento

Corrección

monetaria



Clasificación

Los Activos financieros se pueden clasificar de acuerdo a la estructura de su rentabilidad en:Activos financieros de rentabilidad simple y Activos financieros de rentabilidad agregada, . Es

decir, de acuerdo al número de factores básicos que participen como determinantes del rendi-miento y de la manera como se combinen. Los factores básicos considerados son: el interés,el descuento, la corrección monetaria, la devaluación y la valorización (desvalorización).

Activos financieros de rentabilidad simple.

Son aquellos en los cuales la rentabilidad la determina un sólo factor básico.

Ellos son:

1. Activos financieros que devengan interés- Con interés periódico vencido

- Con interés periódico anticipado

- Con interés a la redención

2. Activos financieros que se ofrecen o se negocian a descuento.

3. Activos financieros con corrección monetaria

4. Activos financieros con el componente devaluación

5. Activos financieros con valorización

Activos financieros de rentabilidad agregada.

Son aquellos en los cuales la rentabilidad está determinada por la combinación de factoresbásicos. Ellos son:

1. Con interés en dos tasas combinadas periódicas distintas

2. Con interés y descuento

3. Con interés y corrección monetaria

4. Con interés y devaluación

5. Con interés y valorización

6. Con descuento y devaluación

Cabe aclarar, finalmente, que la tasa efectiva anual equivalente que representa la rentabilidad,en este capítulo, supone la reinversión automática del interés con iguales condiciones.




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

APLICACION

Activos financieros de rentabilidad simple

Con interés periódico vencido.

CUENTAS DE AHORRO: Bancos y Cajas de Ahorro“Si su dinero está inactivo y no le produce interés, piense en las cuentas de ahorro del BancoCafetero. Usted recibe un interés anual del 21% , liquidable trimestralmente sobre saldo míni-mo y participa por derecho propio en fabulosos sorteos trimestrales”. ¿Cuál es la tasa derendimiento efectivo anual equivalente, de los saldos en Cuentas de Ahorro?

22.71 % Que es la rentabilidad efectiva anual equivalente que se reconoce a los saldos míni-

mos en las cuentas de ahorro.



Las líneas de tiempo indican que, por un depósito de 100, se recibirán trimestralmente 5.25 porinterés (21% /4 = 5.25%) y si no se hace ningún retiro, al final del año, se tendrá el capital más

el interés capitalizado en los trimestres.

Líneas de tiempo

equivalentes0 3 0

i = 21% t.v.

trimestres año

i a = ?

1 f = 4 f = 1

Anual

Trimestral




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Con interés periódico anticipado

CERTIFICADOS DE DEPOSITO A TERMINO, CDT: Bancos, Corporaciones Financieras.

Características

Documentos emitidos por Bancos y Corporaciones Financieras que representan deudas de esas entida-des con su tenedor. Devengan interés y tienen un período de vencimiento preestablecido, al cabo delcual, se pueden prorrogar por un período igual o hacerse efectivos; tienen plazo mínimo, en general, de 3meses; la liquidación del interés puede ser vencida o anticipada.

“Salud, dinero y amor... Salud, es problema de mi médico. Amor, es problema mío. Dinero,para eso tengo el Banco Internacional. Un banco que me brinda la posibilidad de ahorrar midinero con CDT a un año y me reconoce una tasa nominal de 30% liquidable trimestral yanticipadamente” ¿Cuál es la tasa de rendimiento efectivo anual equivalente?

36.59 % Es el rendimiento efectivo anual equivalente

30 Trimestral•Anticipada•Nominal


Las líneas de tiempo indican que, por un depósito de 100, se recibirán 7.5 al iniciar cada

trimestre : (30%/4 = 7.5%) que se reinvertirán automáticamente al iniciar cada período y seconsolidarían al finalizar el año.

Líneas de tiempo

equivalentes0 3 0

i = 30% t.a.

trimestres año

i a = ?

1 f = 4 f = 1

Anual

Trimestral



Con interés a la redención

CEDULAS DE CAPITALIZACION: Compañías de capitalización.

Características

La cédulas de capitalización son un contrato de ahorro por medio del cual el ahorrador se compromete acubrir una determinada suma de dinero en cuotas periódicas. La compañía por su parte se comprometea devolver, al vencimiento del contrato, esa misma cantidad más el interés correspondiente pactado. Enmuchos casos se realizan sorteos, para presentarlos más atractivos, en los cuales las personas favoreci-das reciben, de una vez una suma prefijada.

“El Negoción Completo lo convierte en millonario sin arriesgar un solo peso. Con una inversiónfija mensual, por ejemplo: 7.000, usted participa en 48 sorteos mensuales y en cada uno ustedpuede ganar. Además, se da un rendimiento del 22.4% sobre el capital total que usted obtieneen los 48 meses”.

De la tabla de beneficios para este plan se tomó la siguiente información:

Inversión mensual fija : 7.000

Su capital a los 48 meses: 336.000

Rendimiento sobre su capital a los 48 meses: 75.400

Con esta información, determinar las tasas de rendimiento efectivas mensual y anual de éstasCédulas.

La pregunta es, ¿Cuál tasa de interés hace equivalentes las líneas de tiempo?. (Es importanteaclarar que la rentabilidad no es el 22.4% como lo afirma la Cía, puesto que esta obtiene el

resultado de la relación entre el valor adicional que se reconoce (75.400) y la suma entregada(336.000).


VF = 411.400C = 7.000

0 1 470 1 47

i m = ?%

meses

N = 48 N = 48



0.80445% es la tasa efectiva mensual que le reconocen al ahorrador y 10.09 % es la tasaefectiva anual equivalente a la rentabilidad de la cédula.

Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos

48

7 000

411 400

Tasa de interés




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Activos financieros que se ofrecen o negocian a descuento

CERTIFICADOS DE REEMBOLSO TRIBUTARIO, CERT

Características

Son emitidos al momento de recibir las divisas originadas por exportaciones, en cuantías determinadaspor el gobierno. Se utilizan para pagar impuestos de renta, patrimonio y complementarios. No tieneninterés y de ahí que su rendimiento resulte del descuento con que se negocien en el mercado.

Si, en Diciembre, la cotización de los CERT, a 30 días de su redención, en la bolsa de Valores,fue del 95% de su valor, ¿Cuál fue la rentabilidad anual equivalente?

Observe que se adquieren con un descuento del 5%, por consiguiente es una tasa de interésanticipada.

85.06% que representa la rentabilidad anual efectiva equivalente.


5 Mensual•Anticipada•Efectiva

Tasa efectiva anual

Líneas de tiempo

equivalentes0 0

d m = 5 %

meses año

i a = ?

1 f = 111 f = 12

Anual

Mensual



Activos financieros con corrección monetaria

CUENTAS DE AHORRO: Corporaciones de Ahorro y Vivienda

Características

Estas cuentas reconocen una tasa efectiva anual de corrección monetaria y una tasa de interés anualadicional sobre saldos mínimos trimestrales.

Cabe aclarar que pese a que las cuentas de ahorro ganan interés trimestral este no será paga-do por la entidad si la totalidad del capital es retirado antes de cumplir el trimestre. En conse-cuencia, aquí no se justifica hacer cálculos puesto que la rentabilidad anual equivalente estádada por definición. Es decir, el rendimiento anual equivalente será igual a la tasa de correc-ción monetaria.

Los depósitos que se retiren antes de culminar el trimestre devengan una tasa de correcciónmonetaria equivalente al 21%.



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Activos financieros con factor devaluación

CERTIFICADOS DE CAMBIO: Títulos del Banco de la República.

Características

El banco de la república expide Certificados de Cambio contra entrega de las divisas. El valor nominalcorresponde al valor del tipo de cambio oficial el día de la entrega. Su rentabilidad está determinada por

el tipo de cambio a la conversión.

“Cómo guardar bien su dinero?... Adquiera Certificados de Cambio y protéjalo de la devalua-ción. Si se adquieren a 628 y un año después su valor es de 741 , ¿Cuál fue la rentabilidad deesta inversión?

18% es la tasa de devaluación que corresponde a la rentabilidad equivalente de estos títulos.

1

628

741

Tasa de interés


VP = 628 VF = 741

año

i a = ?%

0 0N = 1 N = 1




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Activos financieros de rentabilidad agregada

Combinación de dos tasas de interés con diferente períodos.

CEDULAS HIPOTECARIAS VALORIZABLES

CaracterísticasLa Cédula percibe una valorización diaria equivalente al 12.34% anual efectivo, más una valorización

escalonada por cada trimestre vencido del 2.5% sobre la inversión valorizada diariamente. Plazo: Dos

años y medio.

¡Decídase ahora y valorice su inversión!. El rendimiento de la cédula con alta valorización esdel 24% efectivo anual. Verificar la tasa de rendimiento efectivo anual equivalente.

24 % Que corresponde a la tasa ofrecida en la propaganda.

12.34 Anual

• Vencida

• Efectiva

2.5 Trimestral

• Vencida• Efectiva


0 0 f = 1

i t = 2.5 %

trimestres año

i a = ?

1 3 f = 4

i a = 12.34 %

Anual

Trimestral



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Con interés y descuento

CEDULAS CONFIABLES

Características

Las cédulas hipotecarias se adquieren al 96.74% de su valor nominal y su período de maduración es deun año. Su interés nominal es de 18% anual liquidable trimestralmente.

¿Cuáles son las tasas de rendimiento efectivo trimestral y anual de las cédulas confiables?

5.426 % es la tasa efectiva trimestral y 23.55% es la tasa efectiva anual equivalente.

4

4.5

96.74

100

Tasa de interés

Si se conocen el precio, el interés trimestral, los períodos, y el valor de redención, entonces sepuede encontrar la tasa de interés que reconocen.


0 1 30 1 3

VP = 96.74i t = ?%

trimestres

C = 4.5

N = 4 N = 4

Valor Nominal = 100

Tasa de Interés

Tasa de interés

Períodica

Anual




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Con interés y corrección monetaria

CERTIFICADOS DE AHORRO DE VALOR CONSTANTE: Corporaciones de Ahorro yVivienda .

CaracterísticasLos Certificados de Ahorro de Valor Constante son títulos con corrección monetaria más tasa de interésefectivo anual adicional, del 6% y 7%, para depósitos a 6 y 12 meses respectivamente.

“Concasa aumentó sus rendimientos: Sus depósitos en Certificados de depósito a 12 meses,al 29.47%, además, amplios beneficios tributarios”. ¿ Cual es la rentabilidad de los títulos a 12meses si la tasa de corrección monetaria es del 21% y la tasa de interés adicional es de 7% ?

29.47 % que corresponde a la tasa ofrecida en la propaganda.

21 Anual• Vencida

• Efectiva

7 Anual

• Vencida

• Efectiva

Líneas de tiempo 0 f = 10 f = 1

t i = 7 %

años

t c = 21 %

AnualAnual

i a = ?




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

Con interés y devaluación

TITULOS CANJEABLES POR CERTIFICADOS DE CAMBIO -

Características

Son expedidos por el Banco Central y expresados en dólares de los Estados Unidos. Se colocan convencimiento de un año, devengan el 12% de interés anual liquidable trimestralmente sobre el valor que se

obtenga con base a la tasa de cambio vigente el día de su pago.

¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente de los Títulos Canjeables por certificadosde cambio, que se adquirieron hace un año, si la tasa de devaluación vigente es del orden del18% efectivo anual?

32.81 % es la rentabilidad efectiva anual para los Títulos Canjeables.

18 Anual


12 Trimestral

• Vencida

• Efectiva


Anual

Trimestral

0 0 f = 1

i = 12 % T.V

trimestres año

i a = ?

1 3 f = 4

t D = 18 %



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Con interés y Valorización

Acciones de un Banco

El manual de Mercado Bursátil, publicación de la Bolsa de Valores, proporciona la siguienteinformación para el Banco de Caldas: Valor de la acción al iniciar el año 1 : 23.6 ; valor de laacción al iniciar el año 2, 33.14 ; Dividendo mensual decretado por acción , 0.25. ¿Cuál fuela rentabilidad efectiva mensual y anual de estas ACCIONES?

3.78% es la tasa efectiva mensual y 56.14% es la tasa efectiva anual equivalente.

12

0.25

23.6

33.14

Tasa de interés

Líneas de tiempo

equivalentes0 1 110 1 11

VP = 23.6i m = ?%

meses

Dividendo = 0.25

N = 12 N = 12

C g = 33.14



Respuesta


Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente

Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Con descuento y devaluación

Certificados de cambio negociados en bolsa

Características

El Certificado de Cambio es un título representativo de moneda extranjera que expide el Banco de laRepública como una operación de mercado abierto a fin de participar en el mercado y contraer la ofertamonetaria. Estos documentos pueden negociarse a descuento en las bolsas de valores.

Se negocian Certificados de cambio a 21 días de su maduración, a un precio de 624 Si el tipode cambio en esa fecha era de 631 y la tasa de devaluación para el año se estima en un 18%,¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente para esta operación?

Primero, se calcula la tasa efectiva anual equivalente al descuento.

21

624

631

Tasa de interés

Líneas de tiempo

21.07 % es la tasa efectiva anual equivalente al descuento.

VP = 624 VF = 631

días

i a = ?%

0 1 0 120 N = 21 20 N = 21




Respuesta

Calcular

Conversión

2. Entretasa dada




2 Tasas

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

X Cancel OKCalcular

18 Anual


21.07 Anual• Vencida• Efectiva

Segundo, se calcula la tasa equivalente que resulta de combinar las dos tasas..

42.86 % es la rentabilidad efectiva anual equivalente para los Certificados de cambionegocios a descuento.

0 f = 10 f = 1

td = 18 %

años

i a = 21.07 %

i a = ? %

AnualAnual



20 Costo

del crédito



“Nada es particularmente difícil

si se divide en pequeñas tareas”

Henry Ford

L os establecimientos de crédito denominados intermediarios financieros están autorizados para captar habitual y masivamente di-

nero del público y prestarlo a sus clientes. El margen de intermediación, es

decir, la diferencia entre lo que cobran por los préstamos ( Operaciones acti-vas) y lo que pagan por lo que reciben en depósito (Operaciones pasivas)determinan en gran parte su desempeño. Ellos además, exigen que el beneficiario pague algunos costos adicionales como seguros, etc... que minimi- cen el riesgo.

De otra parte, la industria y el comercio también conceden crédito a sus clientes a fin de facilitar la venta de sus productos.

Todos los créditos, en general, tienen un costo cuyo cálculo exige mucha dela información expuesta en los capítulos antecedentes.

Un gerente financiero después de escuchar una de mis conferencias acercadel tema supuso que mis conocimientos me convertían en un poderoso ad-versario para negociar cualquier operación de crédito y me lo hizo saber.

-De que me vale, le respondí, saber calcular la tasa efectiva que expresa el costo de un crédito, manifestárselo al gerente del banco, advertirle que el costo es exagerado, para que imperturbable me responda: ¿Necesitas el cré-dito o reconocimiento por lo que sabes?




El cálculo del costo del crédito es un tema fundamental para tomar decisionesacertadas en los negocios.

Su dominio hace posible que usted obtenga economías significativas dedinero, si evalúa las opciones a su alcance.


Costo del crédito en dólares

Una empresa de teléfonos recibe financiación en dólares para el proyecto de ampliación deredes. Si la tasa de interés del crédito es de 8.5% liquidable semestralmente y la tasa promediode devaluación durante el plazo se estima en el 30%, ¿ Cual será el costo financiero estimadodel proyecto ?

Costo de los créditos de las Corporaciones de ahorro y vivienda¿ Cuál será el costo del crédito para adquisición de vivienda de las líneas de crédito de lascorporaciones cuyas características son las siguientes :

Valor Tasa Corrección Tasa interés

Hasta 1300 upac 21% 6.0%

Desde 1300 upachasta 5000 upac 21% 7.5%

Costo del crédito de las Comañías de Leasing

Una empresa editorial solicita crédito por 15 millones a una compañía de leasing para la comprade maquinaria. La compañía la otorga con las siguientes condiciones: Canon mensual anticipado.813.638; plazo 36 meses; opción de compra por valor de 746.900, al culminar el plazo. ¿Cualserá el costo de esa operación?.




Costo del crédito

Es el número de unidades adicionales que se deben pagar por cada cien de crédito, expresada en porcentaje.

Medida del costo

La medida del costo del crédito es la tasa efectiva anual equivalente.

Métodos de cálculo

Los métodos para calcular la tasa efectiva anual equivalente comomedida del costo, depende del tipo de problema, pero básicamentepueden resolverse con la fórmula general de las anualidades; la fórmula general de conversión de tasas y la fórmula de la tasa interna de re-torno.

Componentes del costo

En general, los componentes básicos del costo del crédito son: La tasa de interés o descuento, la tasa de corrección monetaria en lasoperaciones en valor constante, la tasa de devaluación en lasoperaciones en moneda extranjera; combinaciones de ellos; y los costosde apertura: sobretasas, avales, comisiones, reciprocidades, timbres,etc... .

Clasificación

El tema del cálculo del costo del crédito se puede dividir en trescategorías el cálculo del costo de las operaciones en moneda corriente,

operaciones en valor constante y operaciones en moneda extranjera.




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,


Cuota uniforme

Tasa de interés

Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

APLICACION

Operaciones en moneda corriente

CREDITO EN EL COMERCIO

Compra de electrodomésticosSe compra un equipo de sonido bajo las siguientes condiciones : Saldo a financiar, 85.000;Valor de la cuota mensual, 18.900 ; número de cuotas, 6. S e desea saber, ¿Qué tasa deinterés se está cobrando por financiación ?

Primero, Se calcula la tasa efectiva del período

8.91 % es la tasa efectiva mensual y 178.64 % es la tasa efectiva anual equivalente que

representa el costo del crédito.

6

18 900

85 000

Tasa de interés


0 1 50 1 5

VP = 85.000i m = ?% C = 18.900

N = 6 N = 6

meses

Tasa de Interés

Tasa de interés

Períodica

Anual




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Compra de vehículosSe adquiere un automovil bajo las siguientes condiciones: Precio 20 millones; Cuota incial, 5millones; 36 cuotas de 845.692 cada una, pagadera cada mes. ¿Qué tasa de interés efectivaanual paga el cliente por financiación?

4.47 % es la tasa efectiva mensual y 69 % es la tasa efectiva anual equivalente que representael costo del crédito.

36

845 692

15 000 000

Tasa de interés


0 1 350 1 35

VP = 15.000.000i m = ?% C = 845.692

N = 36 N = 36

meses

Tasa de Interés

Tasa de interés

Períodica

Anual




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

Compra de pasaje aéreo con tarjeta de créditoSe compra un pasaje por valor de 300.000 con tarjeta de crédito y pagos diferidos 12 meses.El extracto indica que se tendrán que cancelar cuotas de 31.045, cada mes ¿Qué tasa deinterés se está cobrando por financiación ?

3.5 % es la tasa efectiva mensual y 51.11 % es la tasa efectiva anual equivalente.

12

31 045

300 000

Tasa de interés

Líneas de tiempo

equivalentes

0 1 110 1 11

VP = 300.000i m = ?% C = 31.045

N = 12 N = 12

meses

Tasa de Interés

Tasa de interés

Períodica

Anual




Calcular

Compuesto

2. Limpiememorias,

Valor Futuro

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

Respuesta




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...

CREDITO DE LAS INSTITUCIONES FINANCIERAS

Descuento de Aceptaciones BancariasUn Banco otorga una aceptación (Letra de cambio avalada por el banco) para que uno de sus

clientes cancele 25 millones por compra de mercancía a su proveedor principal en un plazo de120 días. Este decide negociarla inmediatamente en Bolsa Si el comisionista entrega22.150.000, ¿Cual es la tasa efectiva anual equivalente, que representa el costo para elempresario de esta operación ?

43.78% es la tasa efectiva anual equivalente.

Nota.- Observe que en las operaciones en las cuales no se presenta anualidad se puede hallar directamentela tasa efectiva anual entrando la fracción de año.

120 ÷ 360 =

22 150 000

25 000 000

Tasa de interés

Líneas de tiempo

equivalentes

VP = 22.150.000 VF = 25.000.000

días

i a = ?%

0 1 0 1119 N = 120 119 N = 120






+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Simple

Valor Presente

Recordar Interés



Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α


Opciones Ver

Salida de Datos


Tasa efectiva anual

Valor Presente neto

Flujo Neto

0 1 2 3 4

TIR VPN

π

Datos

Plazo 4

Período

Tasa de Oportunidad

Respuesta


Evaluación

2. Limpiememorias,


TIR

Crédito ordinario en Bancos ComercialesUn banco concede crédito con las siguientes condiciones: Valor nominal del crédito, 1’000.000;Tasa de descuento nominal, 36% liquidable trimestralmente; Descuento por comisión anual,6%; Costos de apertura del crédito, 6.154 , ¿ Cuál es la tasa efectiva anual equivalente, que

representa el costo de este crédito ?

La tabla siguiente muestra el valor líquido que recibe el cuentahabiente y el flujo de pagostrimestral:

Trimestre 0 1 2 3 4

Flujo neto 903. 846 317.500 295.000 272.500 250.000

Desembolso Pagos

10.22% es la tasa efectiva trimestral y 47.57 % es la tasa efectiva anual equivalente que

representa el Costo de ese crédito.

Líneas de tiempo

equivalentes

10.2172

47.5698

Plazo 4Período Trimestre

0 1 000 000 - 96 154 = +/ -

1 317 500

2 295 0003 272 5004 250 000

- 903 846 317 500 295 000 272 500 250 000

0 1 3 N = 40 1 3 N = 4

VP = 903.846 i t = ?%

trimestres

317.500272.500

250.000




Respuesta

Calcular

Conversión


Chequee:

2 Tasas




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...



Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

Operaciones en Valor constante

CREDITO DE LAS CORPORACIONES DE AHORRO Y VIVIENDA

Crédito para adquisición de vivienda¿ Cuál será el costo del crédito para adquisición de vivienda de las líneas de crédito de lascorporaciones cuyas características son las siguientes :

Valor en Upac Tasa de Corrección Tasa de interés

1. Hasta 1300 21% 6.0%

2. Desde 1300 hasta 5000 21% 7.5%

3. Desde 5000 hasta 10.000 21% 8.0%

4. Desde 10.000 hasta 15.000 21% 11.0%

1. 28.26%

2. 30.075%

3. 30.68%

4. 34.31%

Que corresponden a la tasas efectivas anuales que representan el costo de cada línea.


6 Anual


AnualAnual




Respuesta

Calcular

Conversión


Chequee:

2 Tasas




+ 1/x % ÷

7 5 9 x

4 8 6 -

1 2 3

o . =

←

AC+


Interés Compuesto

Valor Presente




Valor Futuro

Decimales

%↓↑

?

√α

Tipo...



Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa dada

Tasa

0 1 364 365

Días

Período

Diaria

Mensual

Trimestral

Cuatrimestral

Semestral

Anual

Otra

Modalidad

Vencida

Anticipada

Tipo de Interés

Nominal

Efectiva

Tasa Convertida

Tasa

0 1 364 365

Días

Operaciones en moneda extranjera

CREDITO EN DOLARES DE LOS ESTABLECIMIENTOS DE CREDITO

Crédito para la ampliación de la infraestructura telefónicaUna empresa de teléfonos recibe financiación en dólares para el proyecto de ampliación deredes. Si la tasa de interés del crédito es de 8.5% liquidable semestralmente y la tasa promediode devaluación durante los períodos del mismo se estima en el 30%, ¿ Cual será el costofinanciero del proyecto ?

41.28 % es la tasa efectiva anual equivalente al costo del crédito.

8.5 Semestral• Vencida• Nominal

30 Anual


Líneas de tiempoequivalentes0 1 1 N = 2 0 f = 1

i = 8.5% s.v.

semestres año

i a = ?t D = 30%

Anual

Semestral



Indice

A

A., Thomas Edison 40Acción 224, 304Accion al goce 304Accion al portador 304Acción nominativa 304Accion preferencial 304Accionista 304Aceptaciones bancarias 292Activo Financiero 304Activos financieros de rentabilidadagregada 307Activos financieros de rentabilidad simple.

307Ahorro 19Ahorro programado en Cuenta de ahorro

150Ahorro programado para cancelar unadeuda 216Ahorro público 304Amortización 192, 304Amortización de bonos 233Amortización de la emisión 225Amortización por sorteos 233Aníbal 190

AnónimoAnualidad 104Anualidad eventual 106Anualidad a término 106Anualidad anticipada 107, 135Anualidad anticipada con cuota global 145Anualidad cierta 106Anualidad cierta a término con cuota global

108Anualidad con cuota global 122Anualidad creciente geométricamente 205

Información básica 206

Anualidad diferida 107, 153Anualidad diferida anticipada 155Anualidad diferida vencida 155Anualidad todo el plazo y cuota global alfinal 207Anualidad vencida 107, 111Anualidades 101Asamblea general extraordinaria 304Asamblea general ordinaria 304Aumento de capital 304

B

Balance 305Beneficiario 305Bienes raíces 259

Bolsa de valores 305Bono 224, 305Bono comprado a descuento 226Bonos 221

Información básica 237Tabla de amortización 234

C

Cálculo de la Cuota Global 126Cálculo de la cuota periódica 131Cálculo de la Tasa conocido el Valor futuro

120

Cálculo de la Tasa de interés 59, 73Cálculo de la Tasa Interna de Retorno 182Cálculo de la TIR y del VPN 186Cálculo de los valores diarios de la UPAC

75Cálculo de rentabilidad

Acciones 315, 320–322CDTs 309Cédulas de capitalización 310Cédulas hipotecarias 316Certificados de ahorro Valor constante318

Certificados de cambio 314, 321CERTs 312Cuentas de ahorro 308

Cálculo de rentabilidad de Activosfinancieros 301Cálculo del Número de períodos 74Cálculo del Costo conocido el MP 49Cálculo del Costo conocido el Precio y elMC 47Cálculo del Interés 58Cálculo del interés ordinario 64Cálculo del Margen sobre el Costo 45

Cálculo del Margen sobre el Precio 46Cálculo del Número de períodos 61Calculo del plazo conocido el Valor futuro

119Cálculo del Precio conocido el MC 48Cálculo del Precio conocido el MP 50Cálculo del Valor Futuro 62, 71Cálculo del Valor Presente 60, 72, 157Cálculo del Valor Presente Neto 184Cambio de preciosCancelación de cuotas pendientes de pago

114

Cantidad transada 305Capital 305Capital abierto 305Capital autorizado 305Capital cerrado 305

Capital insoluto de un crédito hipotecario270Capital pagado 305Capital suscrito 305Capitalización 70, 305Capitalización de intereses 86Captación 305Categorías del interés y del Descuento 35Cédulas hipotecarias 305Certificado de Deposito a término 305Certificados de Deposito a término 56Churchill 54, 240

Comparación de opciones 291Componentes del costo 326Compra a descuento 225Compra a premio 225Compra a premio o a descuento 229Concordancia del período de la tasa con elperíodo 34Conversión de tasas 88Corrección monetaria, 306Costo 42Costo capitalizado 170Costo de reemplazo 242

Costo de un Sobregiro 64Costo del crédito 323, 326En dólares 333En el comercio

Compra de vehículos 328Pasajes aéreos 329Venta de electrodomésticos 327

Instituciones financieras 330Leasing 334

Costo del crédito bancario 183Costo inicial 242Costo original y valorización 276

Crédito a constructores 98, 268Crédito bancario 203Crédito de Fomento 161Crédito de Fomento con cuotas anticipadas

162Crédito de las compañías de arrendamientofinancie 207Crédito de las empresas comerciales y deservicio 198Crédito hipotecario 205Crédito individual en Valor constante 266Crédito máximo 262



Crédito para la construcción de un edificio268

Crédito para vivienda 262Cuenta de ahorro en dólares 97Cuota anticipada en un crédito hipotecario

136, 138Cuota creciente linelamente -INFORMACION BASICA 202Cuota de depreciación 242Cuota Global 29, 192cuota global 279, 280Cuota para pagar crédito hipotecario 265Cuota periódica 104Cuota periódica creciente linealmente 201Cuota periódica decreciente linealmente

203Cuota uniforme 29

Cuota Uniforme -INFORMACION BASICA200Cupo posible de crédito 264

D

Dean, James 210Denominación 224Depreciación 242Descuento 32, 42, 286, 306Descuento bancario 290Descuento de una Aceptación bancaria 293Descuento e IVA 296

DESCUENTO efectivo 86Descuento vs. Cuotas uniformes 295Descuentos encadenados 294Deuda en la compra de un automóvil 113Devaluación, 306Diferencia entre tasas nominales y efectivas

86Diferida Vencida 107Diferida Anticipada 107Dinero 19DISEÑO DE UN BONO 228Disraeli 222

E

Einstein 102Elaboración de la tabla del Fondo deamortización 214Emisión de bonos 228Equivalencia 87Evaluación de descuentos 283, 286Ventas al comercio 288Evaluación financiera 175, 178

F

Factor de descuentoFactor de incrementoFinanciación de estudios de postgrado 159

Financiación de vivienda 160Flujo de Fondos 178Flujo Neto de operación 179Flujos de fondos variables 178Fondo con depósitos anticipados 141Fondo de amortización 212Fondo de depreciación 242Fondo en Valor constante 127Fondo para reponer un vehículo 213Fondos de amortización 209

Sistema de anualidad crecientegeométricamente 219Información básica 220

Fondosde amortizaciónInformación básica 218

Ford, Henry 324Fórmula 77, 151, 163, 173, 187Fórmulas, 51, 65, 133Franklin 260Frecuencia de cuotas 105Frecuencia de la tasa en el año 21Frecuencia de liquidación 83Fundación para beneficencia 169

H

Herramientas para evaluar 180

I

Importancia de las Líneas de tiempoequivalentes 36Incremento o decremento geométrico 193Incremento o decremento lineal 193InflaciónINFORMACION BASICA 109Integración de dos tasas 88Interés 20, 32Interés Compuesto 70Interés compuesto 67INTERES efectivo 85Interés Simple 53Interés simple 57Interés simple exacto y ordinario 63Interés simple vs. Interés compuesto 70Intermediación financiera 82Inversión 179Inversión en Activos Financieros 178Inversiones en bienes raíces 274

K

Kipling, Rudyard 176

L

Leasing 126, 145, 146, 147, 148, 149Lincoln 302Línea de fomento para edición de películas

158Línea de tiempoLíneas de tiempo equivalentes 25Liquidación de intereses 224Liquidez primaria 306Liquidez secundaria 306Lombardi 80

M

Margen sobre el costo 43Margen sobre el Precio 44Márgenes 39, 43Medida del costo 326Métodos de cálculo 326Métodos de depreciación 239, 242

Amortización 256Información básica 258

Fondo de Amortización 253Información básica 255

Línea Recta 243Información básica 245

Saldo decreciente geométricamente246Información básica 248

Suma de dígitos 249Información básica 251

Métodos para constituir Fondos deamortización 212Modalidades de depósitos en los ahorros

27Modalidades de pago en los préstamos 26

N

Número de cuotas para acumular un Fondo119

Número de depósitos para acumular unFondo 143

O

Operación de Mercado Abierto 306Operación garantizada con aceptación 292Operaciones con corrección monetaria 98Operaciones en dólares 97

texto portalio cd libro

Documents