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Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
Libro de Texto
Agosto 2021 β Enero 2022
Plantel: ___________________________________________
Nombre del Alumno: __________________________________
_________________________________________________
Carrera: __________________________________________
Semestre: _______ Grupo: ______
CΓ‘lculo Integral
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
Eje: Pensamiento y lenguaje variacional. Componentes: Cambio y acumulaciΓ³n: Elementos del CΓ‘lculo integral.
Contenido central: Antiderivada de funciones elementales (algebraicas y
trascendentes) Contenido especΓfico: TΓ©cnicas para obtener la antiderivada. ΒΏQuΓ© significa integrar una funciΓ³n?, ΒΏpodrΓas imaginar el llenado y vaciado de un recipiente en tΓ©rminos de la integraciΓ³n? ΒΏQuΓ© patrones reconoces para la integral de x, x2, x3 ...?
Aprendizajes esperados: AE1. Descubre relaciones inversas entre derivaciΓ³n e integraciΓ³n: βSi de una funciΓ³n se obtiene su derivada, quΓ© obtengo si de esa derivada encuentro su antiderivadaβ. AE2. Interpreta, por extensiΓ³n o generalizaciΓ³n, la integral indefinida de funciones polinomiales y trigonomΓ©tricas bΓ‘sicas (inmediatas). AE3. Encuentra la integral de funciones mediante el cambio de variable. AE4. Obtiene la integral de productos de funciones (algebraicas con trigonomΓ©tricas, logarΓtmicas y exponenciales) β integraciΓ³n por partes β.
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En este parcial se abordarΓ‘ una segunda e importantΓsima Γ‘rea de estudio del cΓ‘lculo: el cΓ‘lculo integral. El cΓ‘lculo diferencial es ΓΊtil para estudiar las razones de cambio y las pendientes de tangentes, por lo que desarrolla mΓ©todos y aplicaciones que involucran a la derivada de una funciΓ³n conocida. Un aspecto fundamental del cΓ‘lculo integral es determinar las Γ‘reas que se encuentran entre curvas y otras fronteras definidas. Asimismo, si se conoce la derivada de una funciΓ³n, con el cΓ‘lculo integral podrΓ‘ obtenerse la funciΓ³n original.
Hallar una funciΓ³n de la que es conocida su derivada es lo que se conoce habitualmente por IntegraciΓ³n. Sin embargo, este proceso adquiere una relevancia sustancial, cuando mediante la Regla de Barrow, es posible relacionar el cΓ‘lculo de antiderivadas con el de Γ‘reas de regiones planas y sΓ³lidos de revoluciΓ³n.
El sΓmbolo de la integral β« fue introducido por Leibniz en el siglo XVII y es como una S
alargada, ya que la integral es el lΓmite de una suma. La integraciΓ³n de funciones es la
operaciΓ³n inversa de la derivaciΓ³n, es decir, integrar una funciΓ³n π significa encontrar una funciΓ³n π cuya derivada es πΒ΄.
Se pretende profundizar en el proceso recΓproco al de la derivaciΓ³n, o cΓ‘lculo de la integral indefinida para lo cual se abordarΓ‘n las integrales indefinidas algebraicas, trigonomΓ©tricas, exponenciales, asimismo, se explicarΓ‘n dos mΓ©todos de integraciΓ³n, el primer mΓ©todo se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo: integraciΓ³n por sustituciΓ³n o cambio de variable; en tanto, en el segundo mΓ©todo de integraciΓ³n se encuentra la integral de un producto de funciones en tΓ©rminos de la integral de sus derivadas y antiderivadas, se trata de la integraciΓ³n por partes.
Actividad diagnΓ³stica
1. Transforma una expresiΓ³n con exponentes Negativos en una expresiΓ³n
equivalente con exponentes positivos (ley del exponente negativo):
a) π₯β4 =
c) π₯β1 =
b) π₯β3 =
d) 3
2π₯β5 =
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2. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales (ley de radicales):
a) βπ₯ =
c) βπ₯3
=
b) βπ₯35=
d) βπ₯7 =
3. Escribe como radical las potencias siguientes (ley de exponente
fraccionario):
a) π₯1 2β =
c) π₯3 4β =
b) π₯1 3β =
d) π₯β3 4β =
4. Deriva las siguientes funciones:
a) π(π₯) = π₯ πΒ΄(π₯) =
c) π(π₯) = 3π₯4 πΒ΄(π₯) =
b) π(π₯) = π₯2 πΒ΄(π₯) =
d) π(π₯) = 2π₯3 β 5π₯2 + 4π₯ β 2 πΒ΄(π₯) =
AutoevalΓΊate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja mejor los
conocimientos previos que posees.
Indicador de desempeΓ±o
Nivel
Excelente Bueno Elemental Insuficiente
Utilizo la ley del exponente negativo.
Utilizo la ley de radicales.
Utilizo la ley de exponentes fraccionarios.
Calculo las derivadas de funciones
algebraicas bΓ‘sicas.
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1. FunciΓ³n primitiva y la integral indefinida
Sabemos que en matemΓ‘ticas las operaciones tienen sus inversas; por ejemplo, la adiciΓ³n y la sustracciΓ³n, la multiplicaciΓ³n y la divisiΓ³n, elevar a una potencia y extraer una raΓz, etcΓ©tera. En el cΓ‘lculo integral sucede exactamente lo mismo; la integraciΓ³n es una operaciΓ³n inversa a la derivaciΓ³n. En el cΓ‘lculo diferencial aprendimos que si π¦ = π(π₯), entonces la derivada de la funciΓ³n
es ππ¦
ππ₯= πΒ΄(π₯); o bien si empleamos diferenciales, la de la funciΓ³n es:
ππ¦ = πΒ΄(π₯)ππ₯ (definiciΓ³n de diferencial) El problema fundamental del cΓ‘lculo integral depende de la operaciΓ³n inversa a la diferenciaciΓ³n, es decir:
Lo anterior se puede resumir con la siguiente ilustraciΓ³n:
π(π) es antiderivada o primitiva de π(π)
La condiciΓ³n que debe caracterizar a π π para que admita la funciΓ³n primitiva sobre un intervalo es que debe tener continuidad en el intervalo.
FunciΓ³n primitivaπ¦ = π(π₯)
Derivada
ππ¦
ππ₯= πΒ΄(π₯)
Diferencial
ππ¦ = πΒ΄ π₯ ππ₯
Antiderivada o Integral
ΰΆ± ππ¦ = ΰΆ± πΒ΄ π₯ ππ₯ = πΉ π₯ + πΆ
Hallar una π¦ = π(π₯) cuya diferencial ππ¦ = πΒ΄(π₯)ππ₯ es conocida.
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La funciΓ³n primitiva π(π) que asΓ se obtiene se llama integral o antiderivada de la expresiΓ³n diferencial dada; el procedimiento para hallarla se llama integraciΓ³n y la
operaciΓ³n se indica escribiendo el signo integral β« delante de la expresiΓ³n diferencial; de
manera que:
β« πΒ΄(π) π π = π(π) + πͺ, donde C es una constante.
FunciΓ³n Derivada Diferencial Integral (Antiderivada)
1. π¦ = π₯3
ππ¦
ππ₯= 3π₯2
ππ¦ = 3π₯2ππ₯ ΰΆ± 3π₯2ππ₯ = π₯3 + πΆ
2. π¦ = π₯3 + π
ππ¦
ππ₯= 3π₯2
ππ¦ = 3π₯2ππ₯
ΰΆ± 3π₯2ππ₯ = π₯3 + πͺ
3. π¦ = π₯3 β π
ππ¦
ππ₯= 3π₯2
ππ¦ = 3π₯2ππ₯
ΰΆ± 3π₯2ππ₯ = π₯3 + πͺ
4. π¦ = π₯3 βπ
π
ππ¦
ππ₯= 3π₯2
ππ¦ = 3π₯2ππ₯
ΰΆ± 3π₯2ππ₯ = π₯3 + πͺ
Cuando se integra una diferencial dada, lo que realmente se estΓ‘ obteniendo es una
familia de funciones de la forma π(π₯) + πΆ, donde C se denomina constante de integraciΓ³n; y es una constante arbitraria porque se le puede asignar cualquier valor real. En la tabla anterior se observar una familia de funciones de la forma π₯3 + πͺ en la que la constante es diferente en cada ejemplo. De ahΓ viene el nombre de Integral Indefinida y siempre va acompaΓ±ada de C, la constante de integraciΓ³n.
2. Integrales indefinidas de funciones algebraicas
Las fΓ³rmulas de integrales inmediatas o antiderivadas que se utilizarΓ‘n en este apartado son:
1. β« π π = π + πͺ
2. β« π π π = ππ + πͺ
3. β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ, donde π β βπ
Cuando π = π, entonces:
π) ΰΆ± πππ π =ππ+π
π + π+ πͺ
4. β«π π
π= β« πβπ π π = ππ |π| + πͺ, donde π = βπ
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Propiedades de linealidad de la integral indefinida
Calcula las siguientes integrales algebraicas:
Ejemplo 1. β« π π π
SoluciΓ³n. Se aplica la fΓ³rmula 2. β« π π π = ππ + πͺ:
ΰΆ± π π π = ππ + πͺ
Ejemplo 2. β« ππ π π SoluciΓ³n. Se aplica el segundo principio de linealidad y despuΓ©s la fΓ³rmula 3a)
β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ
ΰΆ± ππ π π = π ΰΆ± π π π
= π (ππ+π
π + π) + πͺ
=πππ
π+ πͺ
ΰΆ± ππ π π =πππ
π+ πͺ =
π
πππ + πͺ
1. La integral indefinida de la suma algebraica de dos o mΓ‘s funciones es igual a
la suma algebraica de sus integrales.
ΰΆ±[π(π) + π(π)]π π = π(π) π π + π(π) π π + πͺ
2. El factor constante se puede ubicar fuera del signo de la integral, es decir,
ΰΆ± π π(π) = π ΰΆ± π(π) π π
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Ejemplo 3. β« ππ π π
SoluciΓ³n. Se utiliza la fΓ³rmula 3a) β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ y se resuelve:
ΰΆ± ππ =ππ+π
π + π+ πͺ
= ππ
π+ πͺ
ΰΆ± ππ =ππ
π+ πͺ
Ejemplo 4. β« ππππ π
SoluciΓ³n. Se utiliza la fΓ³rmula 3a) β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ considerando el segundo principio
de linealidad:
ΰΆ± ππππ π = π ΰΆ± πππ π
= π (ππ+π
π + π) + πͺ
ΰΆ± ππππ π =πππ
π+ πͺ
Ejemplo 5. β« πππ
πβ π π
SoluciΓ³n. Se utiliza la fΓ³rmula 3a) β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ considerando el segundo principio
de linealidad:
ΰΆ± πππ
πβ π π = π ΰΆ± ππ
πβ π π
= π (π
π
π+
π
π
π
π+
π
π
) + πͺ
= π π
ππ
π
π
+ πͺ
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donde: 99
5
=9
π9
5
=9(5)
π(9)=
5
1= 5, se trata de multiplicar extremo por extremo 9(5) y medios
por medios 1(9).
β« πππ
πβ π π = πππ
π + πͺ
Como el exponente de π es fraccionario ππ
πβ se usa la Ley de radicales βπππ= π
π
π
ΰΆ± πππ
πβ π π = πβπππ+ πͺ
Recuerda que: 1 =2
2=
3
3=
4
4=
5
5=
6
6=
7
7=
8
8β¦ =
π
π
Ejemplo 6. β«π
ππ π π
SoluciΓ³n. Primero se usa la ley del exponente negativo πβπ =π
ππ para que la potencia
π₯4 pase al numerador con signo contrario, π₯β4:
ΰΆ± πππ = π ΰΆ± πππ π
= πππ+π
π + π+ πͺ
β«π
ππ π π = β« ππβπ π π
= 6 β« π₯β4 ππ₯
= 6π₯β4+1
β4+1+ πΆ
=6π₯β3
β3+ πΆ
= β2π₯β3 + πΆ
β«π
ππ π π = β
π
ππ+ πͺ
Al final del ejercicio se utilizΓ³ la ley del exponente negativo β2π₯βπ = βπ
ππ
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Ejemplo 7. β« π βππ
π π
SoluciΓ³n. Primero se usa la Ley de radicales βπππ= π
π
π para convertir a exponente
fraccionario, luego se aplica la fΓ³rmula 3a) β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ y se resuelve:
β« π βππ
π π = β« π ππ
π π π = π β« ππ
π π π
=π π
π
π+
π
π
π
π+
π
π
+ πͺ
=πππ πβ
π
π
+ πͺ 24
3
=2
π4
3
=2(3)
π(4)=
6
4=
3
2
= π
πππ πβ + πͺ Usando la ley de radicales, queda:
β« πβππ
π π =π
π βπππ
+ πͺ
Ejemplo 8. β«π π
βπππ
SoluciΓ³n. Primero se aplica la ley de radicales, luego la ley del exponente negativo y se resuelve:
ΰΆ±π π
βπππ = ΰΆ±π π
ππ
π
= ΰΆ± πβπ
π π π
=π
β ππ
+ππ
β π
π+
π
π
+ πͺ
=π
ππ
π
π
+ πͺ Se divide π Γ·π
π
ππ
π
=π
ππ
π
=π(π)
π(π)=
π
π= π
= πππ
π + πͺ
β«π π
βπππ = πβππ
+ πͺ
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Ejemplo 9. β«(πππ β π ππ β ππ + π)π π SoluciΓ³n. Se utiliza el primer principio de linealidad y se resuelve usando las fΓ³rmulas 2b) y 1.
ΰΆ±(πππ β π ππ β ππ + π) π π = ΰΆ± πππ π π β ΰΆ± πππ π π β ΰΆ± ππ π π + ΰΆ± π π π
= π β« ππ π π β π β« ππ π π β π β« π π π + π β« π π
=πππ+π
π+πβ
πππ+π
π+πβ
πππ+π
π+π+ ππ + πͺ
=πππ
πβ
πππ
πβ
πππ
π+ ππ + πͺ
β«(πππ β π ππ β ππ + π) π π =πππ
πβ ππ β πππ + ππ + πͺ
Ejemplo 10. β« (πππ+πππβπ
π) π π
SoluciΓ³n. Primero se resuelve la divisiΓ³n, enseguida se aplica el primer principio de linealidad, luego las fΓ³rmulas 1, 2b) y se resuelve:
πππ + πππ β π
π=
πππ
π+
πππ
πβ
π
π= πππ + ππ β π
ΰΆ± (πππ + πππ β π
π) π π = ΰΆ±(πππ + ππ β π)π π
= ΰΆ± πππ π π + ΰΆ± ππ π π β ΰΆ± π π
= π β« ππ π π + π β« π π π β β« π π
=πππ+π
π+π + πππ+π
π+π β π + πͺ
ΰΆ± (πππ + πππ β π
π) π π =
πππ
π+
πππ
πβ π + πͺ
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Ejemplo 11. β« (ππβπ +π
ππβ
π
π β π + π) π π
SoluciΓ³n
ΰΆ± (ππβπ +π
ππβ
π
π β π + π) π π = ΰΆ± ππβπ π π + ΰΆ±π
ππβ
π
π π π β ΰΆ± π π π + ΰΆ± π π
= π β« πβπ π π +π
πβ« πβ
π
π π π β β« π π π + β« π π
= ππβπ+π
βπ+π+
π
π π
β ππ+
ππ
β π
π+
π
π
βππ+π
π+π+ π + πͺ
=ππβπ
βπ+
π
π π
β ππ
β π
π
βππ+π
π+π+ π + πͺ
Se divide π
πΓ· β
π
π=
(π)(π)
(π)(βπ)= β
π
π = βππβπ β
π
π πβ
π
π + π + πͺ
Se usa la ley del exponente negativo: = βπ
πβ
π
ππππ
+ π + πͺ
Se usa la ley de radicales para πππ
π
β« (π
ππβ
π
π β π β ππβπ) π π = βπ
πβ
π
πβπ+ π + πͺ
Hasta ahora se han abordado las integrales indefinidas inmediatas de tipo ππ, siempre
que π β βπ, esta fΓ³rmula es resultado de la fΓ³rmula:
β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ,
donde π β βπ, veamos algunos ejemplos del uso de la integrales tipo ππ, para ello, hay
que recordar quΓ© es una diferencial.
La fΓ³rmula de una diferencial es π π = πΒ΄(π) π π, es decir: diferencial = derivada * dx.
En la fΓ³rmula de la integral de tipo ππ en lugar de π π se utiliza π π. Por ejemplo: si π’ = 3π₯, su diferencial es ππ’ = 3 ππ₯ (la derivada de 3x es 3 y se multiplica por dx)
1. Si π’ = 3, su diferencial es ππ’ = 0, recuerda que la derivada de una constante es cero.
2. SΓ π’ =1
2π₯ su diferencial es ππ’ =
1
2 ππ₯
3. SΓ π’ = π₯2, su diferencial es ππ’ = 2π₯ ππ₯
4. SΓ π’ = 6π₯3, su diferencial es ππ’ = 18π₯2 ππ₯
5. SΓ π’ = 4π₯2 β6
5π₯ + 2 su diferencial es ππ’ = (8π₯ β
6
5) ππ₯
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Ejemplos de integrales tipo β« ππ π π
Ejemplo 1. β«(π + π)ππ π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ
Datos
π = π π = π + π π π = π β π π = π π
β«(π + π)ππ π =(π+π)π+π
π+π+ πͺ
β«(π + π)ππ π =(π+π)π
π+ πͺ
Ejemplo 2. β«(ππ β π)ππ π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ
Datos
π = ππ β π π π = π π π
β«(ππ β π)ππ π =π
πβ«(ππ β π)4[π]π π
=π
π (ππβπ)π+π
π+π+ πͺ
=π
π (ππβπ)π
π+ πͺ
Se divide 1
2Γ· 5 =
1
2Γ·
5
1=
1β1
2β5=
1
10
β«(ππ β π)ππ π =π
ππ (ππ β π)π + πͺ π
(ππβπ)π
ππ + πͺ
La fΓ³rmula β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ se utiliza cuando el exponente π es diferente de -1, pero
si el exponente llega a ser π = β1, entonces la fΓ³rmula a utilizar es:
β«π π
π= ππ |π| + πͺ para π = βπ
Si consideramos la ley del exponente negativo, entonces π sube al numerador
ΰΆ±π π
π= ΰΆ± πβπ π π = ππ |π| + πͺ
Se obseva que el diferencial π π estΓ‘ incompleto, por lo que se procede a completar, como lo que hace falta es un 2, se aΓ±ade
el 2 al lado de π π, y para no alterar la integral, Γ©sta se multiplica por el recΓproco de 2,
osea π
π, luego se integra.
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Ejemplos de integrales tipo β«π π
π
Ejemplo 1. β«π
π π π
SoluciΓ³n
Datos FΓ³rmula: β«π π
π= ππ |π| + πͺ
π = π
π π = π π π = π π β«π
π π π = ππ |π| + πͺ
Ejemplo 2. β«π
π π π
SoluciΓ³n
Datos FΓ³rmula: β«π π
π = ππ |π| + πͺ
π = π
π π = π π β«π
π π π = π β«
π π
π= π ππ |π| + πͺ
β«π
π π π = π ππ |π| + πͺ
Ejemplo 3. β«π
ππ+π π π
SoluciΓ³n
Datos FΓ³rmula: β«π π
π = ππ |π| + πͺ
π = ππ + π
π π = π π π β«π
ππ+π π π = β«
π π π
ππ+π
β«π
ππ+π π π = ππ |ππ + π| + πͺ
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Importante: RecΓproco (inverso multiplicativo): Tiene la propiedad de que al multiplicarlo por el nΓΊmero el resultado es la unidad.
π
π recΓproco
π
π,
π
πβ
π
π=
πβπ
πβπ=
π
π= π
π
π recΓproco π,
π
πβ π =
πβπ
π=
π
π= π
π
π recΓproco
π
π,
π
πβ
π
π=
πβπ
π.π=
ππ
ππ= π
π
π recΓproco
π
π,
π
πβ
π
π=
πβπ
πβπ=
ππ
ππ= π
Ejemplo 4. β«π π
πβππ
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β«π π
π= ππ |π| + πͺ
Datos π = π β ππ π π = βπ π π
ΰΆ±π π
π β ππ π π = β
π
πΰΆ±
[βπ]π π
ππ β π
βπ
πΰΆ±
[βπ]π π
ππ β π= β
π
π ππ |π β ππ| + πͺ
ΰΆ±π π
π β ππ π π = β
π
πππ |π β ππ| + πͺ
Ejemplo 5. β«π
ππβπ π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β«π π
π= ππ |π| + πͺ
Datos
π = ππ β π
π π = π π π
Se saca la constante, 3, del integrando y queda: β«
π
ππβπ π π = π β«
π π
ππβπ
Se observa que el diferencial π π estΓ‘
incompleto, debe ser π π = βπ π π, por
lo que se procede a completar, como lo que hace falta es un - 6, se multiplica el numerador por - 6 y para no alterar la integral, Γ©sta se multiplica por el
recΓproco de - 6, osea βπ
π, luego se
integra.
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Se obseva que el diferencial π π estΓ‘ incompleto, debe ser π π = π π π, se procede a completar, como lo que hace falta es un 4, se multiplica el numerador por 4, y
para no alterar la integral, se agrega su recΓproco fuera del integrando, osea π
π:
π ΰΆ±π π
ππ β π= π.
π
πΰΆ±
[π]π π
ππ β π=
π
πΰΆ±
[π]π π
ππ β π=
Por lo tanto, aplicando la fΓ³rmula se tiene que:
ΰΆ±π
ππ β π π π =
π
πππ |ππ β π| + πͺ
Ejemplo 6. β«π
ππ+π π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β«π π
π= ππ |π| + πͺ
Datos
π = ππ + π
π π = ππ π π
Se obseva que el diferencial π π estΓ‘ incompleto, debe ser π π = ππ π π, se procede a completar, como lo que hace falta es un 2, se multiplica el numerador por 2, y
para no alterar la integral, se agrega su recΓproco fuera del integrando, osea π
π:
ΰΆ±π
ππ + π π π =
π
πΰΆ±
[π]π
ππ + π π π
Por lo tanto, aplicando la fΓ³rmula se tiene que:
ΰΆ±π
ππ + π π π =
π
π ππ |ππ + π| + πͺ
Ejemplo 7. β«π π
π+ππ
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β«π π
π= ππ |π| + πͺ
Datos
π = π + ππ π π = π π π
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Se obseva que el diferencial π π estΓ‘ incompleto, debe ser π π = π π π, se procede a completar, como lo que hace falta es un 5, se multiplica el numerador por 5, y
para no alterar la integral, se agrega su recΓproco fuera del integrando, es decir, π
π:
ΰΆ±π π
π + ππ=
π
πΰΆ±
[π]π π
π + ππ
Aplicando la fΓ³rmula se tiene que:
ΰΆ±π π
π + ππ=
π
π ππ |π + ππ| + πͺ
π. β« ππ π π Respuesta: ππ + πͺ
π. β« ππππ π Respuesta: ππ
π+ πͺ
π. β«π
βππ π π Respuesta: πβπππ
+ πͺ
π. β« ππβππππ π Respuesta: πβπππ
+ πͺ
π. β«π+ππ
ππ π π Respuesta: βπ
π+ π + πͺ
Ejercicios de seguimiento
Calcula las integrales indefinidas algebraicas.
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π. β«(πππ + ππ + π)π π Respuesta: ππ + ππ + π + πͺ
π. β«(π + πππ β πππ)π π Respuesta: ππ + πππ β πππ + πͺ
π. β« π (πππ + π)π π π Respuesta: (πππ+π)
π
ππ+ πͺ
π. β«π
π+ππ π π Respuesta: π
π ππ |π + ππ| + πͺ
ππ. β«π
πππ+ππ π Respuesta:
π
π ππ |πππ + π| + πͺ
AutoevalΓΊate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los
saberes que posees o aΓΊn debes reforzar.
Indicador de desempeΓ±o
Cumple
Si No
Identifico y aplico las fΓ³rmulas de integraciΓ³n adecuadamente.
Resuelvo las integrales siguiendo un proceso ordenado y coherente.
Utilizo las propiedades aritmΓ©ticas y algebraicas.
Obtengo la soluciΓ³n correcta.
Resuelvo todas las integrales.
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3. Integrales exponenciales
Las funciones exponenciales se utilizan para modelar el crecimiento o decrecimiento a
travΓ©s del tiempo ya sea de una poblaciΓ³n de individuos, los intereses generados por un
capital depositado en el banco, la desintegraciΓ³n radiactiva de una sustancia o la cantidad
del ingrediente activo de un medicamento que se mantiene en la sangre de un individuo.
Las integrales exponenciales se abordan como un tema auxiliar a la integraciΓ³n por
partes. Las fΓ³rmulas a utilizar son:
ΰΆ± πππ π = ππ + πͺ
ΰΆ± πππ π =ππ
ππ π+ πͺ
Ejemplo 1. Obtener la integral β« ππππ π
Datos
π = ππ
π π = ππ π
Es necesario completar el diferencial agregando el recΓproco de la constante que
completa el diferencial fuera del integrando:
ΰΆ± ππππ π =π
πΰΆ± πππ [π]π π
Se aplica la fΓ³rmula β« πππ π = ππ + πͺ:
=π
ππ
ππ+ πͺ
ΰΆ± ππππ π =π
ππππ + πͺ
Ejemplo 2. Resolver la integral β« πππ π π π
Datos
π = ππ
π π = ππ π π
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Se completa el diferencial con 2, por lo que se agrega tambiΓ©n fuera del integrando π
π:
ΰΆ± πππ π π π =
π
πΰΆ± πππ
[π]π π π
Se aplica la fΓ³rmula β« πππ π = ππ + πͺ:
=π
ππππ
+ πͺ
ΰΆ± πππ π π π =
π
ππππ
+ πͺ
Ejemplo 3. Calcular la integral β«π
ππππ π
Primero se usa la ley del exponente negativo:
ΰΆ±π
πππ π π = ΰΆ± π πβπππ π
Datos
π = βππ
π π = βππ π π
Se deja el 6 fuera del integrando, se completa el diferencial con βπ , por lo que se
agrega tambiΓ©n fuera del integrando βπ
π:
= π β βπ
πΰΆ± πβππ [βπ]π π π
Se aplica la fΓ³rmula β« πππ π = ππ + πͺ:
= βπ
ππβππ + πͺ
= βπ
ππβππ + πͺ
ΰΆ±π
πππ π π = β
π
ππππ+ πͺ
Al final se utilizΓ³ la ley del exponente negativo.
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Ejemplo 4. Resolver la integral β«(ππ +π
πβ π) π π
Se trata de una integral con un tΓ©rmino exponencial y dos tΓ©rminos algebraicos:
ΰΆ±(ππ +π
πβ π) π π = ΰΆ± πππ π + π ΰΆ±
π π
πβ ΰΆ± π π
= ππ + π ππ |π| β π + πͺ
β«(ππ +π
πβ π) π π = ππ + π ππ |π| β π + πͺ, con |π₯| > 0
Ejemplo 5. Resolver la integral β« ππ π π
Datos
π = π
π = π
π π = π π
Se aplica la fΓ³rmula β« πππ π =ππ
ππ π+ πͺ
ΰΆ± ππ π π =ππ
ππ π+ πͺ
Ejemplo 6. Resolver la integral β« πππ+π π π
Datos
π = π
π = ππ + π
π π = ππ π
Se completa el diferencial:
ΰΆ± πππ+π π π =π
πΰΆ± πππ+π[π] π π
Se aplica la fΓ³rmula β« πππ π =ππ
ππ π+ πͺ
ΰΆ± πππ+π π π =π
πβ
πππ+π
ππ π+ πͺ
ΰΆ± πππ+π π π =πππ+π
π ππ π+ πͺ
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π. β« πβπππ π Respuesta: βπ
π πβππ + πͺ = β
π
ππππ + πͺ
π. β« πππ+π π π Respuesta: π
π πππ+π + πͺ
π. β«π
πβππ π π Respuesta: π
π πππ + πͺ
π. β« πππ π π Respuesta: πππ
π ππ π + πͺ
π. β« ππβπ π π Respuesta: ππβπ
ππ π + πͺ
AutoevalΓΊate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los
saberes que posees o aΓΊn debes reforzar.
Indicador de desempeΓ±o
Cumple
Si No
Identifico y aplico las fΓ³rmulas de integraciΓ³n adecuadamente.
Resuelvo las integrales siguiendo un proceso ordenado y coherente.
Utilizo las propiedades aritmΓ©ticas y algebraicas.
Obtengo la soluciΓ³n correcta.
Resuelvo todas las integrales.
Ejercicios de seguimiento
Calcula las integrales indefinidas exponenciales.
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Integrales indefinidas de funciones trigonomΓ©tricas
La integraciΓ³n de funciones trigonomΓ©tricas depende casi por completo de saber identificar y ordenar bien las partes que componen cada fΓ³rmula. Es como un rompecabezas en el que se debe buscar la forma de adecuar cada segmento de la expresiΓ³n de acuerdo con el orden establecido. Este proceso se resume en los siguientes pasos:
Identificar el argumento π y su diferencial π π.
Comparar el diferencial del argumento con el diferencial del integrando. Si
hace falta una constante, agregarla conservando el equivalente en ambas
partes (completar el diferencial).
Una vez completado el diferencial, aplicar la fΓ³rmula de integraciΓ³n.
Sustituir los argumentos y simplificar la expresiΓ³n final.
Es indispensable que el diferencial estΓ© completo antes de aplicar cualquiera de estas fΓ³rmulas. Resuelve las integrales indefinidas de funciones trigonomΓ©tricas.
Ejemplo 1. β« πππ ππ π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula 1 β« πππ π π π = β ππ¨π¬ π + πͺ
Datos
π = ππ π π = π π π
Las fΓ³rmulas a utilizar son:
1. β« π ππ π’ ππ’ = β cos π’ + πΆ
2. β« πππ π’ ππ’ = sen π’ + πΆ
3. β« π‘ππ π’ ππ’ = ln | sec π’| + πΆ = β ln |cos u| +πΆ
4. β« πππ‘ π’ ππ’ = ππ Η sen π’ Η + πΆ
5. β« π ππ π’ ππ’ = ππ Η sec π’ + tan π’ Η + πΆ
6. β« ππ π π’ ππ’ = ππ Η csc π’ β cot π’ Η + πΆ
7. β« π ππ2 π’ ππ’ = tan π’ + πΆ
8. β« ππ π2 π’ ππ’ = βcot π’ + πΆ
9. β« π ππ π’ tan π’ ππ’ = sec π’ + πΆ
10. β« ππ π π’ cot π’ ππ’ = βcsc π’ + πΆ
du: es el diferencial de u
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Se obseva el diferencia que la integral estΓ‘ incompleta, le falta un π al diferencial π π, por lo que se procede a completar, se aΓ±ade el 6 al lado de ππ₯, y para no
alterar la integral, Γ©sta se multiplica por el recΓproco de 6, osea π
π, luego se integra:
ΰΆ± πππ ππ π π =π
πΰΆ± πππ ππ [π] π π
=π
π (βπππ ππ) + πͺ
β« πππ ππ π π = βπ
π πππ ππ + πͺ
Ejemplo 2. β« πππ (π
ππ) π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula 2 β« πππ π π π = π¬ππ§ π + πͺ
Datos
π =π
ππ
π π =π
π π π
La integral estΓ‘ incompleta, le falta un π
π al diferencial, se procede a completarla y
a resolverla:
ΰΆ± πππ π
ππ π π =
π
πΰΆ± πππ
π
ππ [
π
π] π π
β« πππ π
ππ π π =
π
ππππ
π
ππ + πͺ
Ejemplo 3. β«(π πππ π β π πππ π) π π SoluciΓ³n. Se trata de una diferencia (resta) de dos integrales que se integran por separado.
Datos
π = π π π = π β π π = π π
Como du es dx, ambas integrales estΓ‘n completas, se aplica la fΓ³rmula respectiva:
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ΰΆ±(π πππ π β π πππ π) π π = ΰΆ± π πππ π π π β ΰΆ± π πππ π π π
= π β« πππ π π π β π β« πππ π π π
= π πππ π β π(βπππ π) + πͺ
β«(π πππ π β π πππ π) π π = π πππ π + π πππ π + πͺ
Ejemplo 4. β« πππ ππ π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π π π = ππ |π¬ππ π + πππ§ π| + πͺ
Datos
π = ππ
π π = π π π
La integral estΓ‘ incompleta, le falta un 5 al diferencial π π, se procede a completar y a resolver:
ΰΆ± πππ ππ π π =π
πΰΆ± πππ ππ [π]π π
β« πππ ππ π π =π
π ππ |π¬ππ ππ + πππ§ ππ | + πͺ
Ejemplo 5. β« ππππ(π β ππ) π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« ππππ π π π = βππ¨π π + πͺ
Datos
π = π β ππ π π = βπ π π
La integral estΓ‘ incompleta, le falta un -2 al diferencial π π, se procede a completar y a resolver:
ΰΆ± ππππ(π β ππ) π π = βπ
πΰΆ± ππππ(π β ππ) [βπ]π π
= βπ
π[βπππ (π β ππ)] + πͺ
β« ππππ(π β ππ) π π =π
π πππ (π β ππ) + πͺ
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Ejemplo 6. β« πππ (ππ) πππ (ππ) π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π πππ§ π π π = π¬ππ π + πͺ
Datos
π = ππ π π = π π π
Se completa el diferencial y se resuelve:
ΰΆ±(πππ ππ πππ ππ) π π =π
πΰΆ±(πππ ππ πππ ππ)[π]π π
β«(πππ ππ πππ ππ) π π =π
π πππ ππ + πͺ
Ejemplo 7. β« π πππ ππππ π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π π π = ππ |πππ π| + πͺ
Datos
π = πππ
π π = ππ π π
Se completa el diferencial y se resuelve:
β« π πππ ππππ π =π
πβ« π πππ πππ [π]π π
=π
πβ« πππ πππ ππ π π
β« π πππ ππππ π =π
πππ |πππ πππ| + πͺ
Ejemplo 8. β« π πππ ππ π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π π π = ππ Η π¬ππ§ π Η + πͺ
Datos
π = ππ π π = π π π
Se completa el diferencial y se resuelve:
ΰΆ± π πππ ππ π π = π ΰΆ± πππ ππ π π = π βπ
πΰΆ± π πππ ππ [π]π π
ΰΆ± π πππ ππ π π = π ππ |πππ ππ| + πͺ
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Resuelve las siguientes integrales trigonomΓ©tricas.
π. β« πππ ππ π π Respuesta: π
π πππ ππ + πͺ
π. β« πππ π
ππ π π Respuesta:β
π
π πππ
π
ππ + πͺ
π. β« πππ (ππ β π)π π Respuesta: π
π ππ |πππ (ππ β π)| + πͺ
π. β« πππ (π β ππ)π π Respuesta:βπ
π ππ |πππ (π β ππ) β πππ (π β ππ)| + πͺ
π. β« π πππ πππ π Respuesta: π
π ππ |πππ ππ| + πͺ o β
π
π ππ |πππ ππ| + πͺ
AutoevalΓΊate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los
saberes que posees o aΓΊn debes reforzar.
Indicador de desempeΓ±o
Cumple
Si No
Identifico y aplico las fΓ³rmulas de integraciΓ³n adecuadamente.
Resuelvo las integrales siguiendo un proceso ordenado y coherente.
Utilizo las propiedades aritmΓ©ticas y algebraicas.
Obtengo la soluciΓ³n correcta.
Resuelvo todas las integrales.
Ejercicios de seguimiento
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4. IntegraciΓ³n por sustituciΓ³n o cambio de variable
Del curso de cΓ‘lculo diferencial sabes que para calcular derivadas de funciones compuestas se requiere la regla de la cadena. La integraciΓ³n por sustituciΓ³n proporciona un mΓ©todo que permite reconocer cuΓ‘ndo un integrando es resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena. Al utilizar el mΓ©todo de integraciΓ³n por sustituciΓ³n o cambio de variable se requiere de
una integral de la forma β« π(π) π π se convierta en otra de la forma β« π(π) π π, donde π
sustituye la derivada de dicha funciΓ³n interna.
Pasos para emplear la tΓ©cnica de integraciΓ³n por sustituciΓ³n.
1. Escoge una expresiΓ³n para π. Una elecciΓ³n comΓΊn es la expresiΓ³n interior de una
funciΓ³n compuesta.
2. Calcula π π =π π
π π π π.
3. Reemplaza todos los tΓ©rminos del integrando original con expresiones que
impliquen π y π π.
4. Calcula la integral resultante en funciΓ³n de π; si no puedes hacerlo, debes repetir
estos pasos pero con un valor diferente para π.
5. Sustituye todos los tΓ©rminos en π de la antiderivada con la correspondiente
expresiΓ³n en π.
Calcula las integrales indefinidas siguientes por el mΓ©todo de sustituciΓ³n.
Ejemplo 1. β«(ππ β π)π π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ
Datos
π = ππ β π π π = π π π
El diferencial π π = π π π estΓ‘ incompleto se procede a completar:
ΰΆ±(ππ β π)π π π =π
πΰΆ±(ππ β π)π [π]π π
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Se reemplazan todos los tΓ©rminos del integrando original con expresiones que
impliquen π y π π (cambio de variable):
=π
πΰΆ± ππ π π
Se calcula la integral resultante en funciΓ³n de π’:
=π
πβ
ππ+π
π + π+ πͺ
=π
πβ
ππ
π+ πͺ
=π
πππ + πͺ
Se sustituyen todos los tΓ©rminos en π de la integral con la correspondiente
expresiΓ³n en π:
=π
π(ππ β π)π + πͺ
ΰΆ±(ππ β π)π π π =π
π(ππ β π)π + πͺ
Ejemplo 2. β« πβππ β π π π
SoluciΓ³n. Dado que se tiene una raΓz se hace necesario expresar con exponente
fraccionario utilizando la ley de radicales βπππ= π
π
π :
ΰΆ± πβππ β π π π = ΰΆ± π (ππ β π)π
π π π
Datos
π = ππ β π
π π = ππ π π
El diferencial π π = ππ π π estΓ‘ incompleto se procede a completar:
ΰΆ± π (ππ β π)π
π π π =π
πΰΆ±(ππ β π)
π
π [π]π π π
Se realiza el cambio de variable:
ΰΆ± πβππ β π π π =π
πΰΆ± π
π
π π π
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Se resuelve la integral, la fΓ³rmula a utilizar es: β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ:
=π
πβ
ππ
π+
π
π
π
π+
π
π
+ πͺ
=π
πβ
ππ
π
π
π
+ πͺ
Al dividir 1 entre 3
2 se tiene:
π
ππ
π
=πβπ
πβπ=
π
π
=π
ππ
π
π + πͺ
Al usar la ley de radicales:
=π
πβππ + πͺ
Se sustituyen todos los tΓ©rminos en π de la integral con la correspondiente
expresiΓ³n en π:
=π
πβ(ππ β π)π + πͺ
ΰΆ± πβππ β π π π =π
πβ(ππ β π)π + πͺ
Ejemplo 3. β«π π
(πβππ)π
SoluciΓ³n. Primero se usa la ley del exponente negativo πβπ =π
ππ para que la potencia
(π β ππ)π pase al numerador con signo contrario, (π β ππ)βπ:
ΰΆ±π π
(π β ππ)π= ΰΆ±(π β ππ)βππ π
Datos
π = π β ππ π π = βπ π π
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El diferencial π π = βπ π π estΓ‘ incompleto se procede a completar:
ΰΆ±π π
(π β ππ)π π π = β
π
π ΰΆ±(π β ππ)
βπ [βπ] π π
Se realiza el cambio de variable:
= βπ
π ΰΆ± πβπ π π
Se resuelve la integral, la fΓ³rmula a utilizar es β« πππ π =ππ+π
π+π+ πͺ:
= βπ
π β
πβπ+π
βπ + π+ πͺ
= βπ
π β
πβπ
βπ+ πͺ
Al realizar la multiplicaciΓ³n de fracciones: β1
4β
1
β2= +
π
π
=π
π πβπ + πͺ
Al usar la ley del exponente negativo:
=π
πππ + πͺ
Se sustituyen todos los tΓ©rminos en π de la integral con la correspondiente
expresiΓ³n en π:
=π
π(π β ππ)π + πͺ
ΰΆ±π π
(π β ππ)π π π =
π
π(π β ππ)π + πͺ
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
Ejemplo 4. β«π π π
πππβπ
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β«π π
π= ππ ΗπΗ + πͺ
Datos
π = πππ β π π π = ππ π π
El diferencial π π = ππ π π estΓ‘ incompleto se procede a completar:
ΰΆ±π π π
πππ β π =
π
πΰΆ±
[π]π π π
πππ β π
Se realiza el cambio de variable y se resuelve la integral:
=π
πΰΆ±
π π
π
=π
πππ ΗπΗ + πͺ
Se sustituyen todos los tΓ©rminos en π de la integral con la correspondiente
expresiΓ³n en π:
=π
πππ |πππ β π| + πͺ
β«π π π
πππβπ =
π
π ππ |πππ β π| + πͺ
Ejemplo 5. β« πππ (πππ + π) ππ π π
SoluciΓ³n. Se usa la fΓ³rmula β« πππ π π π = βπππ π + πͺ
Datos
π = πππ + π
π π = ππ π π
El diferencial π π = ππ π π estΓ‘ incompleto se procede a completar:
ΰΆ± πππ (πππ + π) ππ π π = π ΰΆ± πππ (πππ + π) π π π = π βπ
πΰΆ± πππ (πππ + π) [π]π π π
Se realiza el cambio de variable y se resuelve la integral:
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=π
πΰΆ± πππ π π π
=π
πβ βπππ π + πͺ = β
π
ππππ π + πͺ
Se sustituyen todos los tΓ©rminos en π de la integral con la correspondiente expresiΓ³n en π:
ΰΆ± πππ (πππ + π) ππ π π = βπ
ππππ (πππ + π) + πͺ
π. β«(πππ β π)π π π π Respuesta: (πππβπ)
π
ππ+ πͺ
π. β« π βπππ + π π π Respuesta: π
πβ(πππ + π)π + πͺ
π. β«ππ
πππβππ π Respuesta:
π
π ππ |πππ β π| + πͺ
π. β«π π
πβππ Respuesta: β
π
π ππ |π β ππ| + πͺ
π. β«π
(πππ+π)π π π Respuesta: β π
ππ (πππ+π)π + πͺ
Ejercicios de seguimiento
Resuelve las siguientes integrales mediante el mΓ©todo de integraciΓ³n por
sustituciΓ³n o cambio de variable.
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
AutoevalΓΊate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los
saberes que posees o aΓΊn debes reforzar.
Indicador de desempeΓ±o
Cumple
Si No
Identifico y aplico las fΓ³rmulas de integraciΓ³n adecuadamente.
Resuelvo las integrales siguiendo un proceso ordenado y coherente.
Utilizo las propiedades aritmΓ©ticas y algebraicas.
gObtengo la soluciΓ³n correcta.
Resuelvo todas las integrales.
5. IntegraciΓ³n por partes
La integraciΓ³n por partes tiene por objeto calcular la funciΓ³n primitiva del producto de una funciΓ³n por la diferencial de otra funciΓ³n de la misma variable. Se basa en la fΓ³rmula de la derivada de un producto de dos funciones, vista en el curso de cΓ‘lculo diferencial:
π
π π(ππ) = π. π π + π. π π
Despejando el tΓ©rmino π. π π queda:
π. π π =π
π π(ππ) β π. π π
Integrando ambos miembros de esta ecuaciΓ³n:
ΰΆ± π π π = ΰΆ±π
π π(ππ) β ΰΆ± π π π
La integraciΓ³n es la operaciΓ³n inversa de la derivada:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
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Regla mnemotΓ©cnica: "un dΓa vi una vaca vestida de uniforme".
La fΓ³rmula que se obtiene sugiere que el integrando sea separado en dos partes, π y π π (junto con π π); por eso se llama integraciΓ³n por partes. El primer paso importante es aplicar este proceso de integraciΓ³n es elegir correctamente dichos factores, por lo que se deben considerar los siguientes criterios:
La parte que se iguala a π π debe ser fΓ‘cilmente integrable.
La β« π π π, no debe ser mΓ‘s complicada que β« π π π.
Desde un punto de vista didΓ‘ctico se recomienda escoger la funciΓ³n π de acuerdo con el orden, ayudΓ‘ndose de la regla nemotΓ©cnica "ILATE": El orden de jerarquΓa es:
1. Inversa trigonomΓ©trica.
2. LogarΓtmica.
3. Algebraica.
4. TrigonomΓ©trica.
5. Exponencial.
Calcula las integrales utilizando la integraciΓ³n por partes.
Ejemplo 1. β« π πππ π π π
De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n Algebraica tiene mayor prioridad que la
trigonomΓ©trica; por lo tanto, serΓ‘ π. Al desarrollar la integraciΓ³n por partes se elimina la constante de integraciΓ³n C (piensa por quΓ©) y se escribe hasta finalizar el proceso de integraciΓ³n.
Se obtienen los datos π, π π y π:
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Datos
π = π, se calcula su diferencial π π = πππ π π π, se calcula su integral Diferencial Integral
π π = π π π β« π π = β« πππ π π ππ π = π π π = πππ π
Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula:
Se resuelve la integral β« πππ π π π = βπππ π + πͺ y se sustituye:
= π πππ π β (βπππ π) + πͺ
ΰΆ± π πππ π π π = π πππ π + πππ π + πͺ
Ejemplo 2. β« π πππ ππ π π
De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n algebraica tiene mayor prioridad que la
trigonomΓ©trica; por lo tanto, serΓ‘ π.
Se obtienen los datos π, π π y π:
Datos
π = π π π = πππ ππ π π Diferencial Integral
π π = π π β« π π = β« πππ ππ π π
Completar el diferencial π =π
πβ« πππ ππ [π]π π
π = βπ
ππππ ππ
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Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula y se realizan las operaciones
pertinentes:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
ΰΆ± π πππ ππ π π = π (βπ
ππππ ππ) β ΰΆ± β
π
ππππ ππ π π
= βπ
ππ (πππ ππ) β (β
π
π) ΰΆ± πππ ππ π π
= βπ
ππ (πππ ππ) +
π
πΰΆ± πππ ππ π π
Para resolver esta integral de la forma β« πππ π π π falta completar el diferencial
con 4, por lo que se agrega tambiΓ©n fuera del integrando π
π:
= βπ
ππ (πππ ππ) +
π
π[π
π] ΰΆ± πππ ππ [π]π π
La expresiΓ³n resultante tiene un integrando compuesto por una expresiΓ³n
trigonomΓ©trica que se integra en forma directa:
ΰΆ± π πππ ππ π π = βπ
ππ (πππ ππ) +
π
ππ πππ ππ + πͺ
La anterior respuesta se puede dejar asΓ, tambiΓ©n es posible factorizar para
obtener la expresiΓ³n en su forma mΓ‘s simple:
ΰΆ± π πππ ππ π π =π
π(βπ πππ ππ +
π
π πππ ππ) + πͺ
Es posible ordenar para que el primer tΓ©rmino de la respuesta no sea negativo:
ΰΆ± π πππ ππ π π =π
π(
π
π πππ ππ β π πππ ππ) + πͺ
Ejemplo 3. β« π ππ πβ π π
Se trata del producto de una expresiΓ³n Algebraica con una Exponencial. De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n algebraica tiene mayor prioridad que la
exponencial; por lo tanto, serΓ‘ π.
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π: funciΓ³n Algebraica π π: funciΓ³n Exponencial
Se obtienen los datos π, π π y π:
Datos
π = π π π = ππ πβ π π Diferencial Integral
π π = π π β« π π = β« ππ πβ π π
Completar el diferencial π = π β« ππ πβ [π
π] π π
π = π ππ πβ
Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
ΰΆ± π ππ πβ π π = π (π ππ πβ ) β ΰΆ± π ππ πβ π π
ΰΆ± π ππ πβ π π = ππ ππ πβ β π ΰΆ± ππ πβ π π
Para resolver la integral β« ππ πβ falta completar el diferencial con π
π, por lo que se
agrega tambiΓ©n fuera del integrando un 2:
= ππ ππ πβ β π[π] ΰΆ± ππ πβ [π
π] π π
La expresiΓ³n resultante se integra en forma directa, [π] β« ππ πβ [π
π] π π = πππ πβ + πͺ
= ππ ππ πβ β π(πππ πβ ) + πͺ
β« π ππ πβ π π = ππ ππ πβ β πππ πβ + πͺ
Es posible factorizar la respuesta anterior:
β« π ππ πβ π π = π ππ πβ (π β π) + πͺ
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Ejemplo 4. β« π πβππ π π
Se trata del producto de una expresiΓ³n Algebraica con una Exponencial. De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n algebraica tiene mayor prioridad que la
exponencial; por lo tanto, serΓ‘ π. π: funciΓ³n Algebraica
π π: funciΓ³n Exponencial
Se obtienen los datos π, π π y π:
Datos
π = π π π = πβππ π π Diferencial Integral
π π = π π β« π π = β« πβππ π π
Completar el diferencial π = βπ
πβ« πβππ [βπ]π π
π = βπ
π πβππ
Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
ΰΆ± π πβππ π π = π (βπ
π πβππ) β ΰΆ± β
π
π πβππ π π
= βπ
ππ πβππ +
π
πΰΆ± πβππ π π
Para resolver la integral β« πβπ πβ π π falta completar el diferencial con -2, por lo que
se agrega tambiΓ©n fuera del integrando un βπ
π:
= βπ
ππ πβππ +
π
π[β
π
π] ΰΆ± πβππ [βπ]π π
La integral queda: [βπ
π] β« πβππ [βπ]π π = β
π
ππβππ + πͺ
= βπ
ππ πβππ +
π
π(β
π
ππβππ) + πͺ
ΰΆ± π πβππ π π = βπ
ππ πβππ β
π
ππβππ + πͺ
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Es posible factorizar la respuesta anterior:
ΰΆ± π πβππ π π = βπ
π πβππ (π +
π
π) + πͺ
Recuerda: La fΓ³rmula para hallar la derivada de ππ (π) es π
π πππ (π) =
πΒ΄
π
FunciΓ³n Derivada
π(π) = ππ π
π’ = π₯ π’Β΄ = 1
πΒ΄(π) = ππ π
π
π(π) = ππ ππ π’ = 3π₯
π’Β΄ = 3
πΒ΄(π) = ππ 3
3π₯= ππ
π
π
π(π) = ππ ππ π’ = 5π₯
π’Β΄ = 5
πΒ΄(π) = ππ 5
5π₯= ππ
π
π
π(π) = ππ ππ
π’ = π₯4
π’Β΄ = 4π₯3
πΒ΄(π) = ππ 4π₯3
π₯4= ππ
π
π
π(π) = ππ πππ
π’ = 2π₯3
π’Β΄ = 6π₯2
πΒ΄(π) = ππ 6π₯2
2π₯3= ππ
π
π
Ejemplo 5. β« ππ ππ π π
Se trata del producto de una expresiΓ³n LogarΓtmica con π π como parte Algebraica.
De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n LogarΓtmica tiene mayor prioridad que la
Algebraica; por lo tanto, serΓ‘ π:
π: funciΓ³n LogarΓtmica π π: funciΓ³n Algebraica
Se obtienen los datos π, π π y π:
Datos
π = ππ ππ π π = π π
Diferencial Integral
π π =π
πππ π β« π π = β« π π
π π =π
π π π π = π
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Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula y se resuelve:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
β« ππ ππ π π = ππ ππ(π) β β« π βπ
ππ π
= π ππ |ππ| β β«π
π π π
= π ππ |ππ| β β« π π
Se resuelve la integral β« π π = π + πͺ y se sustituye:
ΰΆ± ππ ππ π π = π ππ |ππ| β π + πͺ
Se factoriza:
ΰΆ± ππ ππ π π = π (ππ |ππ| β π) + πͺ
πππππ |π| > π
Ejemplo 6. β« ππ ππ π π π Se trata del producto de una expresiΓ³n Algebraica con una LogarΓtmica. De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n LogarΓtmica tiene mayor prioridad que la
Algebraica; por lo tanto, serΓ‘ π: π: funciΓ³n LogarΓtmica π π: funciΓ³n Algebraica
Se obtienen los datos π, π π y π:
Datos
π = ππ π π π = ππ π π Diferencial Integral
π π =π
ππ π β« π π = β« ππ π π
π =πππ
π
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
ΰΆ± ππ ππ π π π = ππ π (πππ
π) β ΰΆ±
πππ
πβππ
π π
=πππ
πππ |π| β β«
πππ
ππ π π Recuerda que en la divisiΓ³n los
exponentes se restan.
=πππ
πππ |π| β
π
πΰΆ± π π π
Se resuelve la integral β« π π π =ππ
π+ πͺ y se sustituye:
=πππ
πππ |π| β
π
π(
ππ
π) + πͺ
=πππ
πππ|π| β
πππ
π+ πͺ
Se factoriza:
ΰΆ± ππ ππ π π π =πππ
π(ππ |π| β
π
π) + πͺ π πππ π |π| > π
Ejemplo 7. β« ππ πππ ππ π π Se trata del producto de una expresiΓ³n Exponencial con una TrigonomΓ©trica. De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n TrigonomΓ©trica tiene mayor prioridad que la
Exponencial; por lo tanto, serΓ‘ π:
π: funciΓ³n TrigonomΓ©trica
π π: funciΓ³n Exponencial
Se obtienen los datos π, π π y π:
Datos
π = πππ ππ π π = πππ π Diferencial Integral
π π = βπ πππ ππ π π β« π π = β« πππ π π = ππ
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Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
ΰΆ± ππ πππ ππ π π = πππ ππ(ππ) β ΰΆ± ππ β βπ πππ ππ π π
ΰΆ± ππ πππ ππ π π = πππππ ππ + π ΰΆ± ππ πππ ππ π π
Se aplica de nuevo la fΓ³rmula de integraciΓ³n por partes para resolver la integral
β« ππ πππ ππ π π, para ello se identifican los argumentos del nuevo integrando y se
sustituyen en la fΓ³rmula:
ππ = πππ ππ π ππ = πππ π
Diferencial Integral
π ππ = π πππ ππ π π β« π ππ = β« πππ π ππ = ππ
ΰΆ± ππ π ππ = ππππ β ΰΆ± ππ π ππ
ΰΆ± ππ πππ ππ π π = πππ ππ (ππ) β ΰΆ± ππ β π πππ ππ π π
El resultado de la segunda integraciΓ³n se sustituye en la primera integraciΓ³n:
ΰΆ± ππ πππ ππ π π = πππππ ππ + π πππ ππ (ππ) β ΰΆ± ππ β π πππ ππ π π
ΰΆ± ππ πππ ππ π π = πππππ ππ + π ππ πππ ππ β π ΰΆ± ππ πππ ππ π π
Se observa que se obtuvo de nuevo la integral original β« ππ πππ ππ π π por lo que, se
traspone al lado izquierdo de la ecuaciΓ³n con su operaciΓ³n contraria (como estΓ‘ restando
se traspone sumando) y se realiza la suma:
Primera
integraciΓ³n
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ΰΆ± ππ πππ ππ π π + π ΰΆ± ππ πππ ππ π π = πππππ ππ + π ππ πππ ππ + πͺ
π ΰΆ± ππ πππ ππ π π = πππππ ππ + πππ πππ ππ + πͺ
El 4 que estΓ‘ multiplicando se traspone dividiendo al lado derecho de la ecuaciΓ³n:
ΰΆ± ππ πππ ππ π π =πππππ ππ + π πππππ ππ
π+ πͺ
ΰΆ± ππ πππ ππ π π =π
π(πππππ ππ + πππ πππ ππ) + πͺ
Se factoriza:
ΰΆ± ππ πππ ππ π π =π
πππ(πππ ππ + π πππ ππ) + πͺ
Ejemplo 8. β« ππ πππ π π Se trata del producto de una expresiΓ³n Algebraica con una Exponencial. De acuerdo al mΓ©todo de ILATE la funciΓ³n Algebraica tiene mayor prioridad que la
Exponencial; por lo tanto, serΓ‘ π:
Sea π = ππ , y π π = ππππ π; luego: Datos
π = ππ π π = ππππ π
Diferencial Integral
π π = ππ π π β« π π = β« ππππ π
Completar el diferencial π =π
πβ« πππ [π]π π
π =π
ππ
ππ
Los datos obtenidos se sustituyen en la fΓ³rmula:
ΰΆ± π π π = ππ β ΰΆ± π π π
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ΰΆ± ππ πππ π π = ππ (π
ππππ) β ΰΆ±
π
ππππ(ππ π π)
(π
π) (ππ ) =
π
ππ
ΰΆ± ππ πππ π π =π
ππππππ β
π
πΰΆ± π πππ π π
Se aplica de nuevo la fΓ³rmula de integraciΓ³n por partes para resolver la integral
β« π πππ π π, para ello se identifican los argumentos del nuevo integrando:
ππ = π π ππ = ππππ π
Diferencial Integral
π ππ = π π β« π ππ = β« ππππ π
ππ =π
ππππ
ΰΆ± ππ π ππ = ππππ β ΰΆ± ππ π ππ
ΰΆ± π πππ π π = π (π
ππππ) β ΰΆ±
π
ππππ π π
=π
ππ πππ β
π
πΰΆ± πππ π π
Se integraβ« πππ π π =π
ππππ
=π
ππ πππ β
π
π(
π
ππππ)
ΰΆ± π πππ π π =π
ππ πππ β
π
ππππ
Se sustituye la segunda integraciΓ³nβ« π πππ π π =π
ππ πππ β
π
ππππ en el resultado de
la primera integraciΓ³n y se resuelve:
ΰΆ± ππ πππ π π =π
ππππππ β
π
πΰΆ± π πππ π π
=π
ππππππ β
π
π(
π
ππ πππ β
π
ππππ) + πͺ
=π
ππππππ β
π
ππ πππ +
π
πππππ + πͺ
Primera
integraciΓ³n
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Se observa que el resultado tiene un tΓ©rmino comΓΊn [π
ππππ] por lo que, se factoriza:
ΰΆ± ππ πππ π π =π
ππππππ β
π
ππ πππ +
π
πππππ + πͺ
β« ππ πππ π π =π
ππππ (ππ β
π
ππ +
π
π) + πͺ
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π. β« π πππ ππ π π Respuesta: βπ
ππ πππ ππ +
π
ππ πππ ππ + πͺ
π. β« π πππ π
ππ π π Respuesta: ππ πππ
π
ππ + π πππ
π
ππ + πͺ
π. β« π πππ π π Respuesta: π
ππππ (π β
π
π) + πͺ
Ejercicios de seguimiento
Calcula las integrales indefinidas mediante el mΓ©todo de
integraciΓ³n por partes.
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π. β« ππ ππ ππ π π Respuesta: π
πππ (ππ ππ β
π
π) + πͺ
π. β« ππ πβππ π π Respuesta: βπ
ππβππ (ππ +
π
ππ +
π
π) + πͺ
AutoevalΓΊate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los
saberes que posees o aΓΊn debes reforzar.
Indicador de desempeΓ±o
Cumple
Si No
Identifico y aplico las fΓ³rmulas de integraciΓ³n adecuadamente.
Resuelvo las integrales siguiendo un proceso ordenado y coherente.
Utilizo las propiedades aritmΓ©ticas y algebraicas.
Obtengo la soluciΓ³n correcta.
Resuelvo todas las integrales.
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Actividad de aprendizaje 1
Calcula las integrales indefinidas de funciones algebraicas.
π. ΰΆ±(ππ + π) π π
π. ΰΆ± πβππ
π π =
π. ΰΆ±π
ππ π π
π. ΰΆ±(πππ β ππ + π) π π
π. ΰΆ±(ππππ β πππ + ππ β π) π π
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
π. ΰΆ± (πππ β πππ + π
π) π π
π. ΰΆ±(πππ + πππ β πππ β ππ + π) π π
π. ΰΆ±(ππ β π)π
π
π. ΰΆ±π π
ππ + ππ π
ππ. ΰΆ±π π
π β ππ
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Actividad de aprendizaje 2
Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones trigonomΓ©tricas.
π. ΰΆ± π πππ π π π
π. ΰΆ± πππ ππ π π
π. ΰΆ± πππ ππ π π
π. ΰΆ± πππ ππ π π
π. ΰΆ± ππππ π
ππ π π
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
π. ΰΆ± πππ (ππ ) πππ (ππ) π π
π. ΰΆ± πππ (π β ππ) π π
π. ΰΆ± π πππ (πππ + π) π π
π. ΰΆ± ππππ (π β ππ) π π
ππ. ΰΆ± πππ (ππ) πππ§(ππ) π π
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Actividad de aprendizaje 3
Calcula las integrales indefinidas mediante el mΓ©todo de integraciΓ³n por
SustituciΓ³n o cambio de variable.
π. ΰΆ±π π π
ππ β π
π. ΰΆ± π π
(ππ β π)π
π. ΰΆ± πππ+π π π
π. ΰΆ± β(ππ + π) π π π
π. ΰΆ± πππ (π β ππ) π π
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
π. ΰΆ±π π π
πππ β ππ
π. ΰΆ±(ππ + π)π π π π
π. ΰΆ±π π
π β ππ
π. ΰΆ± πππππ π π
ππ. ΰΆ±π π
(π + π)π
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Actividad de aprendizaje 4
Calcula las integrales indefinidas mediante el mΓ©todo de integraciΓ³n por partes.
π. ΰΆ± π πππ ππ π π
π. ΰΆ± π πππ π
π π π
π. ΰΆ± π πππ π π
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
π. ΰΆ± ππ ππ ππ π π
π. ΰΆ± ππ πβππ π π
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INSTRUMENTO DE EVALUACIΓN ESCALA DE VALORES CΓLCULO INTEGRAL
NOMBRE DEL ALUMNO:
CARRERA: PARCIAL: PRIMERO
CICLO ESCOLAR 2021-2022
SEMESTRE:
GRUPO:
APRENDIZAJE ESPERADO: AE1, AE2
PRODUCTOS ESPERADOS: Ejercicios de integrales algebraicas y trigonomΓ©tricas.
PLAN DE EVALUACIΓN
NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIΓN
EJERCICIOS SUMATIVA HETEROEVALUACIΓN 50%
CRITERIOS A EVALUAR
NO CUMPLE
CUMPLE PARCIALMENTE
CUMPLE MAYORMENTE
SΓ CUMPLE
OBSERVACIONES: Puntaje asignado
0 1 1.5 2
1. Realiza las operaciones utilizando las propiedades aritmΓ©ticas y algebraicas correspondientes.
2. Calcula correctamente todas las antiderivadas de funciones algebraicas.
3. Calcula correctamente todas las integrales de funciones trigonomΓ©tricas.
4. Resuelve todos los ejercicios solicitados.
5. Entrega los productos esperados a tiempo, de forma clara y entendible.
PUNTAJE OBTENIDO POR NIVEL DE CUMPLIMIENTO:
CALIFICACIΓN FINAL:
COMPETENCIAS GENΓRICAS:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciΓ³n de medios, cΓ³digos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingΓΌΓsticas, matemΓ‘ticas o grΓ‘ficas.
4.5 Maneja las tecnologΓas de la informaciΓ³n y la comunicaciΓ³n para obtener informaciΓ³n y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mΓ©todos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALΓA
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
INSTRUMENTO DE EVALUACIΓN
ESCALA DE VALORES CΓLCULO INTEGRAL
NOMBRE DEL ALUMNO:
CARRERA: PARCIAL: PRIMERO
CICLO ESCOLAR 2021-2022
SEMESTRE:
GRUPO:
APRENDIZAJE ESPERADO: AE3, AE4
PRODUCTOS ESPERADOS: Ejercicios de integrales por los mΓ©todos de integraciΓ³n por sustituciΓ³n y por partes.
PLAN DE EVALUACIΓN
NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIΓN
EJERCICIOS SUMATIVA HETEROEVALUACIΓN 50%
CRITERIOS A EVALUAR
NO CUMPLE
CUMPLE PARCIALMENTE
CUMPLE MAYORMENTE
SΓ CUMPLE
OBSERVACIONES: Puntaje asignado
0 1 1.5 2
1. Realiza las operaciones utilizando las propiedades aritmΓ©ticas y algebraicas correspondientes.
2. Calcula correctamente todas las integrales por el mΓ©todo de integraciΓ³n por sustituciΓ³n.
3. Calcula correctamente todas las integrales por el mΓ©todo de integraciΓ³n por partes.
4. Resuelve todos los ejercicios solicitados.
5. Entrega los productos esperados a tiempo, de forma clara y entendible.
PUNTAJE OBTENIDO POR NIVEL DE CUMPLIMIENTO:
CALIFICACIΓN FINAL:
COMPETENCIAS GENΓRICAS:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciΓ³n de medios, cΓ³digos y herramientas apropiados. 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingΓΌΓsticas, matemΓ‘ticas o grΓ‘ficas.
4.5 Maneja las tecnologΓas de la informaciΓ³n y la comunicaciΓ³n para obtener informaciΓ³n y expresar ideas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mΓ©todos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
NOMBRE Y FIRMA DE QUIEN EVALΓA
Colegio de Estudios CientΓficos y TecnolΓ³gicos del Estado de Campeche
REFERENCIAS
Libros
CuΓ©llar, J. (2013). MatemΓ‘ticas VI. Ed. Mc Graw Hill. MΓ©xico. JimΓ©nez, R. (2011). MatemΓ‘ticas VI. CΓ‘lculo Integral. Pearson EducaciΓ³n. MΓ©xico. SΓ‘nchez, O (2019). CΓ‘lculo integral, ed. KeepReading. MΓ©xico.
ArtΓculos de la web Budnick (2007). CΓ‘lculo integral: una introducciΓ³n. Recuperado de https://eva.fcs.edu.uy/pluginfile.php/89331/mod_folder/content/0/BUDNICK%20%282007%29_Cap%2018a.pdf?forcedownload=1 MartΓnez, E. (2001). Integral definida. Ministerio de educaciΓ³n, Cultura y Deporte. Recuperado de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Integral_indefinida/indice.htm VΓ‘zquez, O (s.f). IntegraciΓ³n por partes. Recuperado de https://repository.uaeh.edu.mx/bitstream/bitstream/handle/123456789/19717/integracion-partes.pdf?sequence=1&isAllowed=y Material adicional Llopis, J. (s.f). IntegraciΓ³n por partes: ejercicios resueltos. Disponible en https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm Rondero, L. (2010). CΓ‘lculo integral: soluciΓ³n de problemas propuestos en guΓas y problemas especiales. Disponible en https://www.ipn.mx/assets/files/cecyt11/docs/Guias/UABasicas/Matematicas/calculo-integral-solucion-de-problemas.PDF