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FACULTAD DE INGENIERÍA MECATRÓNICA

ISEÑO Y JUSTE DE EGULADORES ISCRETOS

Autor:

Ph.D.Dr.Sc. Antonio Faustino Muñoz Moner

mailto:[email protected]

Diseño y Ajuste de Reguladores Discretos

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TABLA DE CONTENIDO:

DISEÑO Y AJUSTE DE REGULADORES DISCRETOS ............................................................2

1.1 INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................2

1.2 ALGORITMO PID DISCRETO (MÉTODO INDIRECTO) ......................................................................2

1.2.1 Determinación de parámetros de ajuste ...............................................................................4

1.3 ALGORITMOS DE TRANSFORMADA Z (MÉTODOS DIRECTOS).........................................................5

1.3.1 Algoritmo de Batimiento (Deadbeat) ....................................................................................7

1.3.1.2 Deadbeat con retardo ......................................................................................................8

1.3.2 Algoritmo de Dahlin..............................................................................................................8

1.3.3 Algoritmo de Kalman ............................................................................................................9

1.3.3.1 Ajustes para cambios en la carga ..................................................................................11

1.4 CRITERIOS PRÁCTICOS PARA LA SELECCIÓN DEL PERÍODO DE MUESTREO ...................................12

1.5 EJEMPLOS DE CÁLCULO Y SIMULACIÓN DE LOS MÉTODOS ANALIZADOS .....................................13

1.5.1 Método Indirecto .................................................................................................................13

1.5.2 Discretización de la función de transferencia ....................................................................14

1.5.3 Algoritmo Deadbeat ............................................................................................................15

1.5.3.1 Algoritmo Deadbeat con retardo...................................................................................16

1.5.4 Algoritmo Dahlin ................................................................................................................17

1.5.5 Algoritmo Kalman...............................................................................................................19

1.6 CONCLUSIONES ..........................................................................................................................20

1.7 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................20


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1.1 Introducción Las mayorías de las técnicas de diseño en el campo de la transformada s, se desarrollaron con limitaciones en la tecnología que sólo era posible implementar con componentes neumáticos o redes eléctricas y amplificadores. En particular, muchas restricciones fueron impuestas para asegurar la implementación de las redes eléctricas de compensación D(s), como redes formadas por resistores y condensadores. Con la computadora digital, estas limitaciones en la implementación ya no son relevantes y pueden ignorarse por su puesto estas restricciones. Uno de los métodos el cual elimina estas restricciones es el diseño directo en plano z, o diseño utilizando la transformada z, para este método de diseño es necesario trabajar con la función de transferencia discretizada G(z) de la planta en cuestión.

1.2 Algoritmo PID discreto (Método Indirecto) Uno de los algoritmos de regulación más empleado es la versión discreta del controlador continuo PID. Como se conoce dicho regulador, en función del tiempo, está dado por la siguiente expresión:

( ) ( ) ( )( ) ( )01

0

mdteTtd

tedTteKtmt

idc +

�

��

�+��

�

��

+= (1.1)

Donde: t Tiempo. m(t) Variable manipulada (salida del controlador). e(t) Señal de error (entrada al controlador). Kc Ganancia proporcional del controlador. Td Tiempo de acción derivativa del controlador. Ti Tiempo de acción integral del controlador.

La implementación de la expresión correspondiente al controlador continuo en forma discreta, se

realiza aproximando las componentes: derivativa ( ) ( ) ��

��

��

�=dt

tedTKtD dc e integral

( ) ( )�

��

�

�= dtte

TK

tIt

i

c

0

de la forma siguiente:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )−

==

−−=

1

0

1

k

iic

dc

ieTTKkI

TkekeTKkD

(1.2)

Donde: T Intervalo de muestreo. e(k) Señal de error en el instante kTt = .

Una forma alternativa de la acción integral más ventajosa es la siguiente:

( ) ( )=

=k

iic ie

TTKkI

1


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Que en la forma recursiva se escribe:

( ) ( ) ( )keTTKkIkI

ic+−= 1 (1.3)

La expresión discreta del controlador PID al sustituir las expresiones (1.2) y (1.3) nos queda:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )011 ´ mkeTTkIkeke

TT

keKkmi

dc +�

�

��

+−+−−+= (1.4)

Siendo:

( ) ( )cK

kIkI 11´ −=−

Este algoritmo se denomina de posición, por cuanto se obtiene como resultado el valor total de la variable manipulada, y requiere que sea informado al algoritmo y almacenado en la memoria de la máquina al valor inicial de esta ( )[ ]0m . A fin de evitar esto, se emplea el llamado algoritmo de velocidad, el cual calcula el cambio de la variable manipulada en lugar de su valor total. La expresión del algoritmo de velocidad se calcula fácilmente dado que:

( ) ( ) ( )1−−=∆ kmkmkm De (1.4) se tiene, para el instante de muestreo 1−k , que:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )012111 ´ mkIkekeTT

keKkm dc +�

�

�� −+−−−+−=−

Y al sustraer esta expresión de la (6.4) se tiene que la del algoritmo de velocidad es la siguiente:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )��

��

+−+−−+−−=∆ keTTkekeke

TT

kekeKkmi

dc 2121 (1.5)

Una forma más ventajosa de la expresión anterior, agrupando términos semejantes, de acuerdo con el tiempo requerido por el algoritmo para su procesamiento es la siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]21 −+−+=∆ keCkeBkeAkm Otra forma aún más compacta en que también puede escribirse es:

( ) ( ) ( ) ( )21 210 −+−+=∆ kekekekm ααα Como se puede observar ambas ecuaciones están planteadas como ecuaciones en diferencias. De forma general para implementar dichos reguladores en la computadora digital, estos se implementan como filtro digital, que es como función de transferencia de pulsos (función de transferencia en transformada z) en potencias de 1−z . Por lo tanto es recomendable llevar estas ecuaciones del regulador a función de transferencia del regulador discreto, como se muestra a continuación. Tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]211 −+−+=−− keCkeBkeAkmkm , ya que ( ) ( ) ( )1−−=∆ kmkmkm Aplicando la transformada z a ambos miembros de la ecuación, obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zEzACzEzABzEAzMzzM 211 −−− ++=− Extrayendo factor común y agrupando términos,

( )( ) ( )( )2111 −−− ++=− zACzABAzEzzM


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De la cual obtenemos la función de transferencia del filtro digital (regulador), la cual sería: ( )( ) 1

21

1 −

−−

−++

=z

zACzABAzEzM

Que llevada a potencias positivas de z obtendríamos, ( )( ) ( )1

2

−++

=zz

ACzABzAzEzM

1.2.1 Determinación de parámetros de ajuste Los coeficientes A, B y C se relacionan con los parámetros de ajuste del algoritmo: dc TK , y

iT mediante las expresiones siguientes:

i

d

d

i

d

d

i

dc

TT

TT

TT

C

TT

TT

TT

BTT

TT

KA++

=++

−−=

��

�++=

11

211

Para su procesamiento, el algoritmo requiere del almacenamiento en memoria de los coeficientes A, B y C, de los dos últimos valores del error y del valor deseado. Para la forma compacta los coeficientes 210 , ααα y quedarían:

ACABA === 210 ααα Cuando el regulador es PI, la acción derivativa sería 0=dt , por lo que el término 0=C y también

02 =α . En el caso del regulador PD no posee acción integral, por lo tanto 01 =iT , lo mismo que ∞=iT y poseería los tres parámetros (A, B y C).

La componente integral ( )keTT

i de la expresión (6.5) se determina al aproximar el área bajo la curva

del error (integral del error) en el intervalo ( ) kTTk −−1 por un rectángulo de lados ( )ke y T (Fig. 1.1). Un resultado más exacto se obtiene aproximando dicha área por un trapecio de altura T y bases

( )1−ke y ( )ke , representado en la misma figura, o sea:

( ) ( ) ( )[ ]2

1−+= kekeTTkIi

Fig. 1.1 Aproximaciones rectangular y trapezoidal de la integral del error


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Esta modificación implica que los coeficientes A, B y C serán ahora:

i

d

d

i

d

d

i

dc

TT

TT

TT

C

TT

TT

TT

BTT

TT

KA

21

21

21

21

++=

++

−−=

��

�++=

Otra modificación del algoritmo se introduce para evitar los valores muy elevados de la componente derivativa cuando se producen cambios en los valores deseados a partir de un estado de equilibrio ( )0=e . Obsérvese que en el instante de cambio la componente derivativa es:

( ) ( )keT

TKkD dc ⋅⋅=

y ( )ke puede tomar un valor muy alto cuando se cambia el valor deseado ( ) ( ) ( )( )kckrke −= . Esto se evita sustituyendo la señal de error por la variable controlada en la expresión de la componente derivativa, ya que el valor de esa variable no se modifica bruscamente entre dos intervalos de muestreo sucesivos. La componente derivativa está dada entonces por:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]212 −−−+−⋅= kckckcTKkD dc Realizar la acción derivativa de esta forma implica el aumento de la utilización de memoria, por cuanto se requiere almacenar los dos últimos valores leídos de la variable controlada c. Una alternativa a utilizar con el mismo propósito consiste en limitar los valores de cambio de la variable manipulada.

1.3 Algoritmos de transformada z (Métodos Directos) Los algoritmos denominados de transformada Z, generalmente, son más ventajosos que el anterior. Según el de control en lazo cerrado básico, en el dominio de la transformada s:

. Fig. 1.2 Diagrama de bloques de un lazo de control con contador discreto

Un diagrama equivalente de la figura anterior en el dominio de la transformada z, sería:

Fig. 1.3 Diagrama de bloques de un lazo de control con contador discreto


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Donde: R(z) Transformada z de la entrada del sistema. C(z) Transformada z de la salida del sistema. D(z) Función de transferencia discreta del controlador (algoritmo). HG(z) Función de transferencia discreta del sistema controlado con el retenedor. E(z) Transformada z de la señal de error. M(z) Transformada z de la variable manipulada.

La expresión general de un algoritmo de transformada z es la siguiente:

( )( ) n

n

pn

zbzb

zazaazEzM

−−

−−

+++

+++=

�

�

11

110

1

Donde:

z Operador de la transformada z. ii ba , Parámetros del ajuste del algoritmo.

Al transformar la expresión anterior al dominio del tiempo se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pkeakeakeankmbkmbkm pn −++−+=−++−+ �� 11 101 y al despejar )(km se obtiene la expresión siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pkeakeakeankmbkmbkm pn −++−++−−−−−= �� 11 101 Esta expresión corresponde al algoritmo de posición, y el de velocidad se obtiene sustituyendo e y m por e∆ y m∆ , respectivamente. Aplicando las reglas de transformación de bloques (reglas de Mason), al diagrama de bloques de la Fig. 1.2 se tiene la siguiente expresión en transformada z:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zCzRzDzGHzC −= (1.6) Siendo

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )��

� −Ζ=Ζ=−

sHsGsesGsGzHG

sT

zoh1

Despejando D(z) de la expresión (6.6) se tiene:

( ) ( )

( )( )

( )( )zRzC

zRzC

zHGzD

−⋅=1

1 (1.7)

Otra forma de escribirla sería,

[ ])z(T1)z(G)z(T)z(D

−⋅=

Donde,

)()()()(

)()()(

zGzD1zGzD

zRzCzT

⋅+⋅

==


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Esta expresión es la fundamental para la determinación de los parámetros de ajuste del algoritmo. A partir de ella es posible calcular dichos parámetros al fijar la relación requerida entre la variable controlada y el valor deseado ( ) ( )zRzC para un estímulo dado. Es necesario destacar que, al fijar esta relación hay que tener en cuenta las características del sistema controlado. Si este introduce un retardo de N T unidades de tiempo no es posible que la variable controlada se modifique antes de que se transcurra al menos un tiempo igual a dicho retardo. Como la transformada z del mencionado término de retardo es Nz − la relación ( ) ( )zRzC tiene que incluir dicho retardo, de lo contrario la expresión de D(z) necesitaría valores futuros del error para calcular el valor de la variable manipulada en un instante dado, lo cual obviamente es imposible.

1.3.1 Algoritmo de Batimiento (Deadbeat) El algoritmo de batimiento o de respuesta mínima es aquel que satisface los requisitos siguientes:

a) El tiempo de establecimiento es finito. b) El tiempo de salida es mínimo. c) El error de estado estacionario es nulo.

Una respuesta que satisface a los anteriores requisitos es aquella en la cual al aplicarse un paso escalón en el valor deseado, el error es nulo en todos los instantes de muestreo posteriores al primero, tal como se indica en la Fig. 1.4.

Fig. 1.4 Respuesta de un algoritmo de batimiento

En este caso, se tiene que la variable controlada es igual al valor deseado retardado en un intervalo de muestreo, o sea:

( )( ) ( ) 1−== zzTzRzC

y al sustituir en la expresión (6.7) se tendría que el algoritmo estaría dado por:

( ) ( ) ( )zHGzzHGzzzD 1

111

1 1

1⋅

−=⋅

−=

−

−


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1.3.1.2 Deadbeat con retardo Si el sistema controlado tiene un retardo puro dado L, para que el algoritmo sea realizable, la relación ( ) ( )zRzC se modifica a:

( )( ) ( ) ( )1+−== NzzTsRsC y por tanto ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )zHGzzHGz

zzDNN

N 11

111 11

1⋅

−=⋅

−=

++−

+−

Donde N es el entero más próximo a la relación del retardo puro del sistema en fracción del período de muestreo (L/T).

1.3.2 Algoritmo de Dahlin El lograr que el error se anule en solo un intervalo de muestreo como se plantea en el algoritmo anterior, es una exigencia muy fuerte para la mayoría de los sistemas industriales. El algoritmo de Dahlin es una modificación del de batimiento en la cual la respuesta del sistema en lazo cerrado a un paso escalón es equivalente a la de un sistema de primer orden con retardo, o sea, la transformada de Laplace de la variable controlada está dada por:

( )sTs

esCLs 1

1⋅

+′=

−

Donde el retardo L y la constante de tiempo T ′ , actúan de hecho como parámetros de ajuste. La transformada z correspondiente a la expresión anterior es:

( ) ( ) ( )

( )( )11

1

11

1−′−−

+−′−

−−

−=

zez

zezC

TT

NTT

Donde N es el entero más próximo al número de intervalos de muestreo del retardo de tiempo L. Si R(z) es un paso escalón, su transformada z es:

( ) 111

−−=

zzR

La relación ( ) ( )zRzC queda:

( )( )

( ) ( )1

1

11

−′−

+−′−

−−

==ze

ze)z(TzRzC

TT

NTT

y al sustituir en la expresión del diseño expresión (1.7) se obtiene para el algoritmo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zHGzeze

zezDNTTTT

NTT 1

11

111

1⋅

−−−

−=

+−′−−′−

+−′−

Al realizar el diseño de un algoritmo atendiendo sólo a la forma deseada de la respuesta se produce, en general, una excesiva oscilación del elemento de acción final que lo afecta mecánicamente y reduce su vida útil. Esta operación excesiva del elemento de acción final se refleja en la existencia de un polo de la función transferencial del algoritmo en las proximidades del punto –1 del plano complejo z. Una forma de evitar la excesiva oscilación mencionada es mediante la eliminación en dicha función transferencial del referido polo y la modificación de la ganancia, para ello se sustituye z=1 en el término que aporta el polo a eliminar.


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1.3.3 Algoritmo de Kalman En este algoritmo se soluciona el problema de las excesivas oscilaciones del elemento de acción final, estableciendo en adición a la relación ( ) ( )zRzC , la forma de variación de la variable manipulada m. Para el estudio del algoritmo de Kalman, se considera un ejemplo en el cual se plantea como requisito, que al aplicarse un estímulo escalón unitario, el error sea nulo a partir del segundo intervalo de muestreo después de la aplicación de este, o sea, ( ) 1=nc para 2≥n . En el primer intervalo de muestreo la variable controlada toma un valor intermedio designado por 1c . Por otra parte, la variable manipulada tomará dos valores distintos desde el instante en que se estimule el sistema hasta que alcance el valor final de estado estacionario. La variable manipulada y controlada en las condiciones definidas se muestra gráficamente en la Fig. 6.5. De acuerdo a los requisitos planteados la transformada z de la variable controlada será:

( ) �+++= −−− 3211 zzzczC

Como R es un escalón unitario, la relación ( ) ( )zRzC queda: ( )( ) ( ) ( )�+++−= −−−− 321

111 zzzcz

zRzC

Al multiplicar y agrupar se tiene: ( )( ) ( ) 2

11

1 1 −− −+= zczczRzC (1.8)

Haciendo 11 cp = y 12 1 cp −= la relación ( ) ( )zRzC queda ( )( )

22

11

−− += zpzpzRzC (1.9)

Por lo que debe cumplirse que: 121 =+ pp (1.10)

Fig. 1.5 Características empleadas en el diseño del algoritmo de Kalman Para la variable manipulada de acuerdo con los requisitos definidos se tiene:

( ) �++++= −−− 32110 zmzmzmmzM ff


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La relación ( ) ( )zRzM será: ( )( ) ( )( )�+++−= −−− 21

1011 zmzmmz

zRzM

f

Que al procesar convenientemente se obtiene: ( )( ) ( ) ( ) 2

11

010−− −+−+= zmmzmmm

zRzM

f

Similarmente, haciendo 00 mq = ; 011 mmq −= y 12 mmq f −= la relación ( ) ( )zRzM queda: ( )( )

21

110

−− ++= zqzqqzRzM (1.11)

Como el valor de la variable c en estado estacionario es 1, si K es la ganancia del sistema, entonces

Km f

1= y la anterior igualdad se convierte en:

Kqqq 1

210 =++ (1.12)

Dividiendo miembro a miembro la Ec. (1.8) por Ec. (1.10) y si se designa por P(z) y Q(z) a los polinomios de la derecha de cada una de dicha expresiones, respectivamente se tiene:

( )( )

( )( )zQzP

zMzC =

Por otra parte, la relación anterior coincide con la función transferencial del sistema controlado

( )zHG , luego se puede decir que:

( ) ( )( )zQzPzHG = (1.13)

Como se puede observar los polinomios P(z) y Q(z) coinciden con los del numerador y del denominador de a función transferencial de pulsos. Es posible que para que se cumplan las igualdades Ec. (1.9) y Ec. (1.11) sea necesario multiplicar el numerador y el denominador de ( )zHG por una constante. Si se hace la sustitución de ( )zHG por la igualdad Ec. (1.13) y ( ) ( )zRzC según la Ec. (1.8) en la ecuación de diseño Ec. (1.6), obtiene la función transferencial de pulsos del regulador:

( ) ( )( )

( )( )zP

zPzPzQzD

−⋅=1

Que al simplificarla finalmente queda:

( ) ( )( )zPzQzD

−=

1 (1.14)

En el ejemplo, se ha supuesto que la variable manipulada toma dos valores antes de alcanzar el valor final, por tanto, la Ec. (1.13) se puede cumplir sólo si el sistema controlado es de segundo orden. En general, el número de dichos valores debe ser igual al del orden del sistema. Si la condición Ec. (1.10) no se cumple, debe de lograrse de todos modos, ya que es la que garantiza cero error en estado estable. Esto se puede logra dividiendo el numerador P(z) y denominador Q(z)


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de la función de transferencia HG(z) por las suma de los coeficientes de P(z) ( )p , para este caso

en particular 21 ppp += . Y con los nuevos valores de P(z) y Q(z) sustituirlos en la Ec. (1.14).

Otra forma más general para los casos que 1≠p sería sustituir los valores de P(z) y Q(z) sin hacer ningún cambio en la siguiente ecuación, la cual es una derivación de la Ec. (1.14).

( ) ( )( )zPp

zQzD−

= (1.15)

1.3.3.1 Ajustes para cambios en la carga Los ajustes anteriores se han determinado para cambios en la referencia o valor deseado, los cuales, en general, dan resultados satisfactorios para cambios en la carga. No obstante, si se requiere realizar el diseño para cambios en la carga se puede utilizar el método general empleado para cambios en la referencia, o sea: a) Determinar la función correspondiente al estímulo. b) Seleccionar la salida deseada para la función anterior. c) Calcular la expresión del controlador D(z). Para determinar la expresión correspondiente a D(z) considere el lazo de control de la figura 1.6 Del diagrama de la figura 1.6 se tiene que la transformada z de la variable controlada es:

( ) ( ) ( ) ( )zHGzMzNGzC += Sustituyendo la transformada z de la variable manipulada por:

( ) ( ) ( )[ ] ( )zDzCzRzM −= Se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )zHGzDzCzRzNGzC −+= Al despejar ( )zC se obtiene:

( ) ( )( ) ( )zHGzD

zNGzC+

=1

De donde se puede despejar D(z) y se obtiene la siguiente expresión para el regulador discreto en transformada z:

( ) ( ) ( )( ) ( )zHGzC

zCzNGzD −=

Fig. 1.6 Lazo de control discreto para cambios en la variable de cargas

Al aplicarse el método de diseño descrito hay que tener en cuenta que si bien los cambios en la referencia se producen sólo en los instantes de muestreo, los de la variable de carga no, ya que son externos al sistema de control. De acuerdo con esto, al calcular el algoritmo de regulación debe suponerse que la variable de carga cambia de valor L unidades de tiempo antes del instante de


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muestreo, siendo L el retardo puro del sistema. Esta es la condición más desfavorable para el lazo de control. En esas condiciones la variable controlada no ha comenzado a variar producto de la perturbación en el instante de calcular el algoritmo y solo en el siguiente intervalo puede comenzar a ejercerse la correspondiente acción de control. Esta a su vez no modifica la variable controlada hasta que no han transcurrido L unidades de tiempo. En esas condiciones está sin control TL +2 unidades tiempo a partir del instante en que se produjo la perturbación. De acuerdo con lo anterior, la selección de D(z) tiene que hacerse teniendo en cuenta el tiempo durante el cual la variable controlada no varía.

1.4 Criterios prácticos para la selección del período de muestreo Factores en la selección práctica de la frecuencia de muestreo:

1. Económico: 1.1. Lo más lento posible siempre que garantice se cumplan las especificaciones de operación.

Pues esto implica componentes más baratos a la hora de la implementación práctica.

2. Efectividad de seguimiento: 2.1. Por ancho de banda:

2.1.1. Frecuencia de muestreo como mínimo 2≥ veces ancho de banda de la entrada de referencia. Se puede llegar a 20 veces en dependencia de los requerimientos.

2.2. Por respuesta en el tiempo requerido: 2.2.1. De 6 a 10 veces tiempo de subida de la respuesta del sistema a entrada escalón.

3. Efectividad en la regulación: 3.1. Dada por error ante disturbios:

3.1.1. Si se designa un control continuo para minimizar el efecto del disturbio, muestreando existe degradación excepto en los momentos de muestreo.

3.1.2. Si ωs es muy rápida con respecto a la respuesta contenida en el ruido, no existe cambio apreciable al digitalizar el control. Sin embargo si es muy baja, la relación no habrá control del disturbio. La selección debe hacerse por el diseñador.

4. Sensitividad ante variaciones del parámetros del proceso: 4.1. La sensitividad a errores en parámetros aumenta cuando disminuye la frecuencia de

muestreo. 5. Errores debido al ruido que introduce el prefiltro analógico:

5.1. Los controles digitales con sensores analógicos generalmente incluyen filtros (prefiltrado). El prefiltrado tiene características pasa bajo ωs /2 debe seleccionarse para atenuar de manera que las componentes de ruido de frecuencia reducen a ωs /2 no deterioren la respuesta del sistema. Diseño conservador es seleccionar la frecuencia de cruce y sω suficientemente altas de manera que el atraso de fase introducido por el prefiltrado no altere la estabilidad del sistema, de esta manera el prefiltrado puede ignorarse sobre el control. Para reducir el ruido en alta frecuencia ωs /2 la frecuencia de muestreo debe seleccionarse de 5 a 10 veces mayor que la frecuencia de corte del prefiltro. Eso puede llevar a frecuencias de muestreo del orden de 20 a 100 veces más rápidas que el ancho de banda del sistema y en este caso el límite de la selección del muestreo lo impone el prefiltrado analógico. La alternativa de permitir significante ángulo de retardo del prefiltrado puede reducir la frecuencia de muestreo de 5 a 10 veces la frecuencia de ancho de banda del sistema pero complica el diseño del regulador.


- 13 -

1.5 Ejemplos de cálculo y simulación de los métodos analizados En esta sección se pretende a forma de ejemplo calcular y simular, por varios de los métodos desarrollados en las secciones anteriores, los reguladores para un sistema con función de

transferencia ( )11+ss

, con retenedor de orden cero (ZOH) y período de muestreo de T=1 seg.

1.5.1 Método Indirecto Para este caso utilizaremos el segundo ejemplo del capítulo 4, donde se determinó que el regulador PI es:

( ) ��

� +=��

� +=ss

ssD4115.0

4145.0

Y como de forma general el regulador PID tiene la función de transferencia,

( ) ��

�++=

sTsTKsD

idc

11

Para el regulador PI como 0=dt ,

( ) ��

��

�+=

sTKsD

ic

11

Por lo que extrayendo los datos del PI, según la expresión anterior obtenemos que 5.0=cK , segTi 4= y por supuesto 0=dT . Además seleccionando el período de muestreo según criterios de

la sección 1.4, podemos considerarlo 10 veces menor que la menor constante de tiempo (τ ). Por lo

que nos quedaría segT 1.0101

10=== τ .

Entonces, según la sección 1.2

( ) ( )( ) 1

21

1 −

−−

−++

==z

zACzABAzEzMzD

Los parámetros A, B y C se calculan a continuación.

i

d

d

i

d

d

i

dc

TT

TT

TT

C

TT

TT

TT

BTT

TT

KA++

=++

−−=

��

�++=

11

211

Obteniendo 5125.0=A , 9.0=B y 0=C . Por lo que el regulador a implementar en el sistema de control digital sería:

( ) 1

1

15.05125.0

−

−

−+=z

zzD


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Simulación:

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5Regulador Indirecto

Tiempo [seg]

Salida

1.5.2 Discretización de la función de transferencia El primer paso para el cálculo de los reguladores por los métodos directos en la transformada z, es discretizar la función de transferencia, en este caso considerando el retenerdor de orden cero y el período de muestreo de 1 segundo.

( ) ( )��

��

��

+��

�

�

� −Ζ=−

111

sssezG

sT

( ) ( ) ��

��

+++Ζ−= −

11 32

211

sK

sK

sKzzG

11

1

01 =

+=

=ssK

( )1

1

111

022 −=

+−=

��

�

�

+==sssd

sd

K 11

123 ==

−=ssK


- 15 -

( )( )

��

��

��

−+

−−

−−= −Tez

zz

zz

Tzz

zzG11

12

Considerando 1=T seg y 368,01 =−e

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )368.01

1368.01368.0368.011

11 2

−−−+−−−−

=−

−+−−

=zz

zzzzz

zz

zG

( ) ( ) ( )( ) ( )368.01

12368.0368.1368.0 22

−−+−++−−−

=zz

zzzzzzG

( ) ( ) ( )( ) ( )368.01

1368.0368.02368.11−−

+−−+−+−=zz

zzG

( ) ( )( )368.01264.0368.0

−−+=

zzzzG

( ) ( )( )11

12

368.011368.0264.0

−−

−−

−−+

=zzzzzG

1.5.3 Algoritmo Deadbeat

Según la expresión obtenida para el diseño por este método: ( ) ( )zGzzzD 1

1 1

1⋅

−=

−

−

( ) ( )( )( )

368.0264.0368.01

368.011368.0264.0

11 1

1

11

121

1

+−

=�

��

�

−−+−

=−

−

−−

−−−

−

zz

zzzzz

zzD

( ) ( )( ) 368.0264.0

368.011

1

+−

==−

−

zz

zEzMzD

( )1

1

264.0368.0368.01

−

−

+−

=z

zzD

Simulación:


- 16 -

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5Regulador deadbeat

Tiempo [seg]

Salida

1.5.3.1 Algoritmo Deadbeat con retardo Si consideramos para este caso una modificación en la función de transferencia con un retardo puro

Td =2, para de esta forma poder efectuar este diseño. Por lo que ( ) ( )se

sssG 2

11 −+

=

Debemos discretizar la nueva función de trasferencia de la planta:

( ) ( )��

��

��

+⋅−Ζ= −

−s

sTe

sssezG 2

111

21

22

==

===

NsegTTLNsegL

( ) ( )( )

Nzss

zzG −− ��

��

��

+Ζ−=

111 2

1 NsNT

s

ze

ze−−

−−

=

= 22

( ) ( )( )2

11

12

368.011368.0264.0 −

−−

−− �

��

�

−−+

= zzzzzzG

( ) ( ) 31 −+− == zzzT N y como ( ) ( )( ) ( )( )zTzG

zTzD−

=1

, entonces

( )

( )( ) ( ) 3211

12

2

1368.011368.0264.0 −−

−−

−−

−

−⋅/⋅�

��

�

−−+

/=

zzzzzz

zzD

( ) ( )( )( )( )

( )( )4152

121

312

111

368.0368.0264.0264.0368.01

1368.0264.0368.011

−−−−

−−−

−−−

−−−

−+−−−

=−+

−−=

zzzzzzz

zzzzzzzD


- 17 -

( )5421

321

264.0368.0264.0368.0368.0368.1

−−−−

−−−

−−++−

=zzzz

zzzzD

( ) 431

21

z264.0z368.0z264.0368.0z368.0z368.11zD −−−

−−

−−++−=

Simulación:

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5Regulador deadbeat con retardo

Tiempo [seg]

Salida

1.5.4 Algoritmo Dahlin Para efectuar este método debemos tomaremos las consideraciones siguientes. O sea:

( ) ( )se

sssG 2

15.01 −

+= , donde N=2 y T’=0.5 seg.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zGzeze

zezDNTTTT

NTT 1

11

111

1⋅

−−−

−=

+−′−−′−

+−′−

( ) ( )( ) ( )[ ]2321

23

111

−−−−

−−

−−−

−=ezezzG

ezzD


- 18 -

( ) ( )

( )( ) ( )[ ]232111

12

23

11368.011368.0264.0

1

−−−−−−

−−

−−

−−−−−+

−=

ezezzzzz

ezzD

( ) ( )( )( )( ) ( )[ ]232112

1123

11368.0264.0368.0111

−−−−−−

−−−−

−−−+−−−

=ezezzz

zzezzD

( ) ( )( )( )3112

2113

865.0135.01368.0264.0368.0368.01865.0

−−−−

−−−−

−−++−−

=zzzz

zzzzzD

( )421532

543

318.005.0368.0234.0036.0264.0318.0183.1865.0

−−−−−−

−−−

−−+−−+−

=zzzzzz

zzzzD

( )54321

543

234.0318.0036.022.0368.0318.0183.1865.0

−−−−−

−−−

−−−++−

=zzzzz

zzzzD

( )4321

432

234.0318.0036.022.0368.0318.0183.1865.0

−−−−

−−−

−−−++−

=zzzz

zzzzD

Simulación:

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5Regulador Dahlin

Tiempo [seg]

Salida


- 19 -

1.5.5 Algoritmo Kalman

( ) ( )( ) 21

21

11

12

368.0368.11264.0368.0

368.011368.0264.0

−−

−−

−

−−

+−+

=−−+

=zz

zzzzzzzG

( ) ( )( )zQzPzG =

Donde, ( ) 21 264.0368.0 −− += zzzP , la suma de los coeficientes =+= 632.0264.0368.0p

( ) 21 368.0368.11 −− +−= zzzQ

Y según este método plantea, la función de transferencia del regulador sería,

( ) ( )( ) 21

21

264.0368.0632.0368.0368.11

−−

−−

−−+−

=−

=zz

zzzPp

zQzD

Simulación

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

Tiempo [seg]

Sal

ida


- 20 -

1.6 Conclusiones

La metodología de ajuste de los reguladores digitales, según los métodos de diseño recogidos en esta monografía, es posible de forma relativamente sencilla diseñar y analizar sistemas de control digital.

El diseño por el método del PID discreto o Método Indirecto, se basa en discretizar el regulador PID, que previamente se determina por métodos de ajuste analógicos. Por lo tanto el cálculo del regulador por este método se realiza en totalmente el dominio de la transformada s, y tan sólo en el dominio digital se implementa la discretización (rectangular o trapezoidal) de dicho regulador. Resulta muy sencillo, ya una vez conocido el regulador analógico, la determinación del regulador digital equivalente se realiza de una forma muy fácil. Dicho regulador digital mantiene los mismos indicadores de la respuesta transitoria que su versión analógica, siempre y cuando, el tiempo de muestreo sea al menos 10 veces menor que la menor constante del sistema.

El diseño directo en el dominio la Transformada Z, también resulta sencillo y sistematizado, los métodos de diseño analizados son Deadbeat, Dahlin, y Kalman. Por los dos primeros métodos también es posible diseñar reguladores para sistemas con retardo puro de tiempo, pues existe una versión del Deadbeat con retardo, y el regulador calculado por el método de Kalman, por definición su diseño parte con un retardo de tiempo.

De la metodología de ajuste de los reguladores digitales, la de mejor resultado es por el método de Kalman, que es un método analítico de diseño directo en la transformada z. Con este método se logra los mejores indicadores de la respuesta transitoria de todos los métodos (la respuesta más rápida posible, responde en N tiempo de muestreo, donde N representa el orden de la planta y sin sobreimpulso alguno, Mp = 0). Aunque hay que tener en cuenta su mayor complejidad de implementación práctica, la cual puede ser un poco elevada en dependencia del orden la planta.

Este trabajo constituye una monografía para el análisis y diseño de sistemas automatizados de control digital, antes esta información se encontraba dispersa, además provee de varios ejemplos que demuestran las metodologías planteadas. Debe de utilizarse para la enseñanza de la asignatura de Automatización del curso regular diurno y el curso para trabajadores de la carrera de Ingeniería Eléctrica.

1.7 Bibliografía

[1]. Åströn, K. J. and T. Hägglund. PID Controllers, 2nd Edition. ISA, USA, 1995.

[2]. Franklin, G. F., J. D. Powell, Digital Control of Dynamic Systems. 1st ed., Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1990.

[3]. A.F. Muñoz Introducción al Control Electrónico. Editorial Marcombo, Madrid, 1999.

[4]. Ogata, K. Modern Control Engineering, 3rd Edition. Prentice Hall, 1997.

[5]. Ogata, K., Sistema de Control en Tiempo Discreto. 2da ed., México: Prentice Hall Hispanoamericana S.A., 1996.

[6]. Santana, J. L. Análisis y diseño de sistemas de control automático. Trabajo de Diploma, Universidad de Camagüey, Cuba, 2001.

[7]. Trejo O., V. Aseguramiento Matemático de los SADPT. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana, 1989.

[8]. Using MATLAB. The MathWorks, USA, 2000.

[9]. Using Simulink,. The MathWorks, USA, 2000.

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