ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL”

ASIGNATURA:

TEORÍA DE DECISIONES

TEMA:

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA

INTEGRANTES:

DOCENTE:

Ing. Larry Palma Arredondo

CICLO: VII. TURNO: NOCHE.

2015

INDICE

ContenidoIntroducción.......................................................................................................................................2

OBJETIVO GENERAL.....................................................................................................................4

OBJETIVOS ESPECÍFICOS.............................................................................................................4

MARCO TEORICO...........................................................................................................................4

1

1. Variables aleatorias continuas................................................................................................4

1.1. Variable aleatoria...............................................................................................................4

1.2. Variable aleatoria continua.................................................................................................5

2. Distribuciones de probabilidad continua................................................................................6

2.1 Función de distribución......................................................................................................6

2.2 Distribución exponencial..........................................................................................................7

3. Distribución uniforme............................................................................................................9

3.1. Distribución log normal....................................................................................................14

3.2. Parámetros y factor de frecuencia.....................................................................................15

3.4. Distribución gamma (3 parámetros).................................................................................18

3.5 distribución log Pearson tipo III.............................................................................................22

3.6. Distribución Gumbel.............................................................................................................25

Conclusiones....................................................................................................................................27

Bibliografía......................................................................................................................................29

IntroducciónEl concepto de probabilidad surge con las ansias de conocer los sucesos futuros. Por esto, el

estudio de probabilidad nace como una herramienta a la cual recurriría la nobleza para tener

ventaja en los juegos y entretenimientos de la época. En la actualidad se continúa con el

estudio de nuevas metodologías que permitan ampliar el empleo de ordenadores en el

estudio y análisis de las probabilidades, minimizando de esta forma, los márgenes de error

en los procesamientos. La teoría de la probabilidad es utilizada en física, ciencias,

matemática e incluso en filosofía, para así sacar conclusiones sobre la probabilidad de

eventos potenciales y la mecánica en sistemas de gran complejidad.

En este trabajo estudiaremos cuatro de las distribuciones continuas de probabilidad más

importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la

inferencia estadística. 

La distribución normal es uno de los primeros ejemplos de las distribuciones continuas, y

aparece en multitud de fenómenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por Gauss uno de los

más famosos matemáticos de la historia. La gráfica de la distribución normal en forma de

campana se denomina Campana de Gauss. Una de las distribuciones teóricas mejor

estudiadas en los textos de bioestadística y más utilizada en la práctica es la distribución

normal, también llamada distribución gaussiana. 

La distribución binomial es un ejemplo de las llamadas distribuciones de variables

aleatorias (Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir el número

infinitamente grande de valores correspondientes a los puntos sobre un intervalo en una

línea recta). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la

historia. A pesar de que la distribución Normal y Binomial pueden utilizarse para resolver

muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que

requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma,

etc.

Una de las distribuciones de variable continua más importantes es la distribución

exponencial, la cual se utiliza como modelo para representar el tiempo de funcionamiento o

de espera. Cabe destacar que la distribución exponencial es un caso especial de la

distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones

exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en

problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el

tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la

distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la

distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.

OBJETIVO GENERAL1. Desarrollar la Distribución de Probabilidad Continua

OBJETIVOS ESPECÍFICOS1. Describir la importancia de los datos estadísticos

2. Estudiar la variable aleatoria continua

3. Identificar y comprender los Modelos de la Distribución Continua

MARCO TEORICO.1. Variables aleatorias continuas

1.1. Variable aleatoria

Definimos el término Variable Aleatoria: transformación que permite pasar del campo del

experimento al campo o conjunto de los números reales.

“En la mayoría de los experimentos sólo nos interesan números asociados con sus

resultados valores asumidos por las Var. Aleatorias”

Ejemplo: Supongamos un experimento consistente en lanzar una moneda 2 veces: W[ (cc)

(cx) (xc) (xx)]. Definimos una variable aleatoria = nº de caras al lanzar una moneda 2

veces, el ´nuevo espacio muestral B en el entorno de los números reales es:

(cc)2

(cx)1 B[2,1,0]

(xc)1

(xx)0

1

1.2. Variable aleatoria continua

Es aquella que dentro de determinado intervalo su medición puede dar lugar a cualquier

valor, o sea que la variable puede tomar cualquiera del infinito número de valores del

intervalo, como:

Peso de un animal del zoológico

Cantidad de leche que produce una vaca en un día

La medida del voltaje de una batería

Características:

1. Es generada por una variable continua (x). 

X:  Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios. 

X:   1.0, 3.7, 4.0, 4.6, 7.9, 8.0, 8.3, 11.5, .....,∞ 

2. f(x)≥0    Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben

ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de

probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función de

densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II. 

3.     La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los

valores que toma x debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de

probabilidad  deberá ser de 1.

2. Distribuciones de probabilidad continua

Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del

experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables

2

cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso

de medición. (Lopez, Tecnicas estadisticas SPSS, 2001)

Ejemplos de variables aleatorias continuas son:

La estatura de un grupo de personas

El tiempo dedicado a estudiar

La temperatura en una ciudad

2.1 Función de distribución

F(x) función de distribución acumulativa = probabilidad de que la variable aleatoria

continua X como valores menores o iguales a x.

F ( x )=P ( X≤x )=∫−∞

xf (x )dx

2.2 Distribución exponenciali) Definición

La distribución de Poisson calcula el número de eventos sobre alguna área de oportunidad

(intervalo de tiempo o espacio), la distribución exponencial mide el paso del tiempo entre

3

tales eventos. Si el número de eventos tiene una distribución de Poisson, el lapso entre los

eventos estará distribuido exponencialmente. (Docentes Innovadores)

Consideraciones:

• Proceso de eventos aleatorios (los parámetros no cambian con el tiempo).

• No es posible tener más de un evento en cualquier instante.

• Descripción de un proceso Poisson.

Fórmula

La probabilidad de que el lapso de tiempo sea menor que o igual a cierta cantidad x es:

P(X ≤ X )=1−e−λ .t

Donde:

t = Lapso de tiempo

e = Base del logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718281828

λ = Tasa promedio de ocurrencia

Ejemplos ilustrativos

1) Los buses interprovinciales llegan al terminal a una tasa promedio de 10 buses

por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en no más de 5 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en no más de 10 minutos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus entre 5 minutos y 10 minutos?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en más de 5 minutos?

Solución:

λ = 10 por una hora

4

a) Como la tasa promedio está dada por hora, y el problema se plantea en minutos, se

calcula el porcentaje que representa 5 minutos de una hora (60 minutos), el cual es:

560

= 112

Reemplazado valores de la fórmula se obtiene:

P(X ≤ X )=1−e−λ .t

P(X ≤ 5)=1−e−10. 1

12=0,5654

Interpretación: Existe un 56,54% de probabilidad de que el segundo bus llegue al terminal

en 5 minutos o menos del primero si la tasa promedio de llegada es de 10 buses por hora.

b) El porcentaje que representa 10 minutos de una hora (60 minutos) es:

Reemplazado valores de la fórmula se obtiene:

P(X ≤ X )=1−e−λ .t

P(X ≤ 10)=1−e−10. 1

6=0.8111

c) P(5≤X≤10) = P(X≤10) – P(X≤5)

P(5≤X≤10) = 0,8111- 0,5654 = 0,2457

d) P(X>5) = 1 – P(X≤5)

P(X>5) = 1 – 0,5654 = 0,4346

2) En un año en un sitio determinado ocurren 110 tormentas independientes con

una duración promedio (todas) de 5.3 h. El intervalo entre tormentas es:

ht 3.74110

3.51108760 = 1/ λ λ = 1/74.3 = 0.0135 h-1

a) Cuál es la probabilidad de que pasen al menos 4 días (96 h) entre tormentas?

5

P(t 96) =1- F(96)

27.011)96(

1)96(

96*0135.0

96

0

∫eetP

edteF

t

tt

b) Cual es la probabilidad de que el tiempo entre dos tormentas sea exactamente 12 horas?

P(t = 12)= 0, la probabilidad que una V.A continua valga cero en un intervalo es cero.

c) Cual es la probabilidad que la separación entre 2 tormentas sea menor o igual que 12 h?

P ( t ≤ 12 )=F (12 )=1−e−0,0135∗12=0.15

3. Distribución uniforme

Definición

Es una distribución en el intervalo en la cual las probabilidades son las mismas para todos

los posibles resultados, desde el mínimo de a hasta el máximo de b. El experimento de

lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribución uniforme, ya que todos los 6

resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia. (Devor, 2008)

i) Función de densidad de una distribución uniforme (altura de cada rectángulo en la gráfica

anterior) es:

f ( x )=Altura= 1b−a

Dónde:

a = mínimo valor de la distribución

b = máximo valor de la distribución

b – a = Rango de la distribución

ii) La media, valor medio esperado o esperanza matemática de una distribución uniforme se

calcula empleando la siguiente fórmula:

6

E ( x )=μ=a+b2

iii) La varianza de una distribución uniforme se calcula empleando la siguiente fórmula:

σ 2=(b−a)2

12

De donde la desviación estándar es:

σ =√σ2

v) La probabilidad de que una observación caiga entre dos valores se calcula de la siguiente

manera:

P(X1 ≤ X≤ X2) =

Ejemplo ilustrativo

Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante recibe clases en un determinado día

entre las siguientes horas: 7:00 - 8:00 - 9:00 - 10:00 - 11:00 - 12:00 - 13:00

a) ¿Cuál es la función de densidad de la variable X?

b) Elaborar un gráfico de la distribución de probabilidades

c) Calcular el valor medio esperado

d) Calcular la desviación estándar

e) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera media hora

f) Si recibe clases de Estadística Aplicada de 10:00 a 12:15, calcular la probabilidad

de recibir esta asignatura.

Solución:

a) a = 7 y b = 13

Reemplazando valores en la ecuación de la función de densidad se obtiene:

f(x) = Altura = 1

b−a

7

f(x) = Altura = 1

13−7 =

16

= 0.167

b) Elaborando el gráfico de la distribución de probabilidad empleando Excel se

obtiene:

Interpretación:

Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6 = 0,167 de altura.

El área de cada rectángulo es:

A = base. Altura = 1.16

= 16

El área total (rectángulo de base el intervalo 7-13 y altura 1/6=0,167) representa a la suma

de todas las probabilidades, y es igual a uno:

A = base. Altura = (13−7 ).16

= 6. 16

= 1

8

c) Reemplazando valores en la fórmula del valor esperado se obtiene:

E ( x )=μ=a+b2

E ( x )=μ=7+132

= 10

d) Reemplazando valores en la fórmula de la varianza se obtiene:

σ 2=(b−a)2

12

σ 2=(13−7)2

12=¿

(6)2

12=

3612

= 3

Por lo tanto la desviación estándar es: σ=√σ2 = √3 = 1.732

e) Llegar en la primera media hora significa que llega a la 7:30. Por lo tanto se debe

calcular la probabilidad entre las 7:00 y las 7:30.

Como 7:30 = 7 horas + 30 minutos, y el porcentaje que representa 30 minutos de una hora

es:

3060

= 0.5 => 7:30 = 7,5 horas

Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre 7 y 7,5

Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos valores se obtiene:

9

P (7 ≤ X ≤ 7,5) = 7,5−713−7

= 0.56

= 0.0833

En el siguiente gráfico se muestra la probabilidad calculada:

f) Se debe calcular la probabilidad entre las 10:00 y las 12:15

Como 12:15 = 12horas + 15 minutos, y el porcentaje que representa 15 minutos de una hora

es:

1560

= 0.25 => 12:15 = 12,25 horas

Por lo tanto de debe calcular la probabilidad entre 10 y 12,25

Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos valores se obtiene:

P (10 ≤ X ≤ 12,25) = 12,25−10

13−7 =

2,256

= 0.375

10

3.1. Distribución log normal

En general, cuando la variable aleatoria X es el producto de un gran número de otras

variables aleatorias, la distribución de los logaritmos de X puede aproximarse a la Normal,

ya que los logaritmos de X son la suma de los logaritmos de los factores contribuyentes.

Si se tiene una variable aleatoria X y ln X = Y, se ajusta a una distribución Normal,

se dice que la variable aleatoria X es log normalmente distribuida.

3.1.1. Función de Distribución de Probabilidad

Asumiendo Y = loga (X)

3.2. Parámetros y factor de frecuencia

Media (Parámetro de escala)

Desviación estándar (Parámetro de forma)

Estimación de parámetros: Método de los momentos

K es la misma de la distribución normal

11

f ( x ) = K

σX √2 πexp[ - 1

2( y- μ y )2

σ y2 ]

σ Y={( 1N )∑

i=1

N

[ loga (X i )− μY ]2}1/2

μY=1N∑i=1

N

loga(X i)

ln ( XT )=μ ln +k σ ln

Si se quiere trabajar con la variable no transformada en el campo logarítmico se tiene que:

Es el inverso de la función de distribución Normal estandarizada acumulada y Cv es el

coeficiente de variación

3.2.1. Intervalos de confianza

: Nivel de confianza o significancia

ST: Error estándar

12

k =

exp [kT ( ln (1+ cv2 ))1/2−[ ln (1+ cv2)

2 ]]-1cv

k T=F -1(1-1

T I)F

u−1 (1− 1

T )

Ejemplo: Distribución Log Normal

La media y desviación estándar de los Qmax anuales de la estación del río Nare son:

μ=94.35 m3/s y σ=22.45 m3/s

μY=4.52 y σY=0.2337

Hallar el QTR=100 si los Qmax tienen una distribución Log Normal.

K=2.326

QYTr=100=4.52+2.326*0.237

QTr=100=159 m3/s

Intervalos de Confianza: Ln(QTR=100) μ95ST

Es un intervalo de dos colas, con una probabilidad en cada una de 5%

δ=1.92

ST=0.075

5.0711.6*0.075

4.94 QY 5.14 139159 170 m3/s

3.3. Distribución gamma (2 parámetros).

Una de las más usadas en Hidrología.

13

ln ( XT )+¿ST δ=(1+kT

2

2 )1/2

ST=δσ ln

√n

δ=(1+kT

2

2 )1/2

ST=δσ ln

√n

• Crecientes máximas anuales

• Caudales mínimos

• Volúmenes de flujo anuales y estacionales

• Valores de precipitaciones extremas

• Volúmenes de lluvia de corta duración

Tiene 2 ó 3 parámetros (Pearson Tipo III).

3.3.1. Parámetros y Factor de frecuencia.

(Parámetro de escala)

> 0 (Parámetro de forma)

() es la función Gamma completa

Estimación de parámetros: Método de los momentos

14

f ( x )= 1|α|Γ ( β )( X

α )β -1

e− x

α

Γ ( β )=∫ ¿

0

∞

zβ -1 e-z dz ¿

β=1C

v2

α= μβ

K≈KT+(Kt2−1 ) γ

6+ 1

3(KT

3−6KT )( γ6 )2

−(KT

2−1)( γ6 )

3

+KT ( γ6 )

4

−13 ( γ

6 )5

3.4. Distribución gamma (3 parámetros)

Función de distribución de probabilidad

Función de densidad acumulada

Parámetros

y , parámetros de escala y forma respectivamente.

xo parámetro de localización.

3.4.1. Parámetros e Intervalos de confianza (Función Gamma).

Estimación de Parámetros: Método de los momentos

β=(2γ )2

α= σ

γ2 X 0= μ−α β

Que tan cercano puede estar el estimado al verdadero valor desconocido de la

población: Conocer con cierta certeza. Franja grande: mucha incertidumbre.

15

σ 2=α β2

μ=αβ

f ( x )= 1|α|Γ ( β )( x- xo

α )β -1

exp(− x- xo

α )

P(X≤x )= 1αΓ ( β )∫0

X

e−( x−x0

α )( x−x0

α )β−1

dx

Γ ( β )=∫ ¿

0

∞

zβ -1 e-z dz ¿

XT±u1−α /2ST

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad

ST: Error estándar

ST=δσ

√N

16

Tabla Factor de frecuencia Pearson tipo III

17

Valores de para la Distribución Gamma ó Pearson tipo III

18

Ejemplo: Distribución Gamma

Hallar el QTR=100. Si la distribución de los caudales de la estación de Nare es Gamma.

μ = 94.35 m3/s y σ = 22.45 m3/s, γ = 0.845

μY = 4.52 y σY = 0.2337, Y = 0.0069

De tabla: K = 2.32

QTR=100 = 94.35 + 2.32*22.45 = 146.4

Intervalos de confianza:

XT±u1−α /2 ST

De tabla δ=4.7, N= 36 datos.

ST=δσ

√N ST = 17.6

De tabla 95=1.6

146,4 1.6*17.6

146.4 28.16 m3/s

3.5 distribución log Pearson tipo IIIFunción de distribución de probabilidad

f x ( x )= 1x |α|Γ ( β ) [ ln( x )-y o

α ]β -1

e- [ ln(x ) - yo

α ]

Parámetros

y , parámetros de escala y forma y yo parámetro de localización

19

Estimación de Parámetros

Método de los momentos

β=( 2γ y )

2

α= σ y

γ y

2 y0= μ y− α β

Factor de Frecuencia:

Y T=ln XT= μy +K σ y

20

Intervalos de Confianza: Que tan cercano puede estar el estimado al verdadero valor

desconocido de la población: Conocer con cierta certeza. Franja grande: mucha

incertidumbre.

XT±u1- α /2 ST

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad

ST: Error estándar

ST=δσ y

√N ln X T±μ1−α /2ST

3.5.1. Distribución General de Valor Extremo.

Los valores extremos son valores máximos y mínimos seleccionados de unos conjuntos

de datos.

Las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de

cualquier distribución de probabilidad convergen en una de las tres formas de

distribución de valor extremo, llamadas:

• Tipo I: Gumbel, g=1.14

• Tipo II: Frechet g<=1.14

• Tipo III: Weibull g>=1.14

Función de Distribución de probabilidad para la GEV

F ( x )=exp [−(1- κx−β

α )1/κ]

Dónde:

, y son parámetros que deben ser determinados.

21

Los tres casos limitantes son:

1. = 0 Distribución de Valor Extremo Tipo I (Gumbel)

f ( x )= 1α

exp[−x- βα

-exp(−x- βα )]

Rango: −∞<x<∞

Estimación de parámetros: β=x−0.5772 α α=√6

πσ

2. < 0 Distribución de Valor Extremo Tipo II (Frechet)

f ( x )=exp [−(1- κx−β

α )1/κ ]

Rango: ( β+α /κ ) ¿ x ¿ ∞

3. > 0 Distribución de Valor Extremo Tipo III (Weibull)

f ( x )=exp [−(1- κx−β

α )1/κ ]

Rango: −∞ ¿ x ¿ ( β+α /κ )

3.6. Distribución Gumbel.La fda y el factor de frecuencias son:

22

F ( x )=exp [-exp(− x−βα )] −∞≤x≤∞

1-Tln-Tlnln+0.577

6-=K rr

Intervalos de confianza: Que tan cercano puede estar el estimado al valor verdadero

desconocido de la población.

XT±u1- α /2ST

: Nivel de confianza o nivel de probabilidad

ST: Error estándar

ST=δσ¿

√N¿ K1.1+1.1396K+1= 2 1/2

Ejemplo: Distribución Gumbel

Si los caudales de la estación del río Nare tienen una distribución Gumbel:

QTr±μ95 ST

K100=−√6

π {0 . 577+ ln [ lnT R−ln (T R−1) ] } KTr=100 = 3.13

QTr=100=μ+K σQTr=100 94 .35+3 . 13×22 .45=164 .77

Intervalos de confianza:

23

ST=δσ

√N K1.1+1.1396K+1= 2 1/2

Conclusiones1. Al iniciar el análisis estadístico de una serie de datos, y después de la etapa de

detección y corrección de errores, un primer paso consiste en describir la distribución de las variables estudiadas, esta distribución es frecuentemente

24

δ = 3.91S

T = 14.62

QTR

1.6*14.62

141.4 164.77 188.17 m3/s

utilizada en las aplicaciones estadísticas y, en particular, de los datos numéricos; su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por las frecuencia o normalidad con la que las ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Además de las medidas descriptivas correspondientes, el comportamiento de estas variables puede explorarse gráficamente de un modo muy simple.

2. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. Las variables aleatorias, se encuentran asociadas a la circunstancia de un fenómeno aleatorio. Si una de estas variables aleatorias toma determinados valores, la probabilidad que se asocia a cada uno de dichos valores, pueden ser establecidas como forma de distribuir la probabilidad. También pueden ser representadas mediante un gráfico o fórmula. En este caso la norma de correspondencia se llama función de probabilidad. Cuando se aprueba que en una variable aleatoria sea permitido adjudicar un valor cualquiera dentro de límites establecidos, recibirá la denominación, variable aleatoria continua. Dicha variable puede tomar cualquiera de los valores infinitos que se encuentran adentro de un intervalo.

3. La distribución normal tiene una gran importancia que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. La distribución exponencial tiene como función expresar el tiempo transcurrido entre eventos que se contabilizan por medio de la distribución de Poisson. Un ejemplo de esto podría ser el tiempo que transcurre entre dos llamadas por teléfono, número de peatones que llegan a un semáforo, etc. Podemos caracterizar la distribución gamma del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media λ, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros α= n×λ (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma (α,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida). Puesto que esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).Redundando sobre la relación entre la distribución exponencial y la distribución gamma, explicamos el por qué, Si p=1 (parámetro de forma), entonces la gama se convierte en una exponencial cuyo parámetro es igual al parámetro de escala de la gama, λ. Y por último concluimos indicando que la función de distribución gama no se puede calcular analíticamente, salvo en casos especiales.

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BibliografíaDevor, J. L. (2008). Probabilidad y estadistica para Ingenierias y Ciencias. Mexico: Abril Vega

Orozco.

Docentes Innovadores. (s.f.). Recuperado el jueves de abril de 2015, de http://docentesinnovadores.net/Archivos/5734/DISTRIBUCIONES%20CONTINUAS.pdf

Lopez, C. P. (2001). Tecnicas estadisticas SPSS. mexico: Pearson.

Lopez, C. P. (2001). Tecnicas estadisticas SPSS. Mexico: Pearson.

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