teoria de decisiones toma de decisiones bajo condiciones de riesgo
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TEORIA DE DECISIONES
Toma de decisiones bajo condiciones de riesgo
Toma de decisiones bajo condiciones de riesgo
Cuando se toman decisiones bajo riesgo, se necesita información que permita proporcionar probabilidades sobre los diversos estados posibles de la naturaleza.
Esta información pueden ser registros previos o el juicio subjetivo del TD.
Se estudiarán 3 criterios:
1. Criterio del valor esperado (o criterio de Bayes)2. Criterio de racionalidad3. Criterio de máxima verosimilitud
Criterio del valor esperado
Se debe seleccionar la alternativa de decisión que tenga el “mejor” valor esperado.
El valor esperado para una alternativa es la suma de los beneficios multiplicados por su probabilidad de ocurrencia.
Por ejemplo, un comerciante vende fresas de tal forma que las ventas es una variable aleatoria discreta.
Las ventas y sus probabilidades se muestran a continuación.
Criterio del valor esperado
El comerciante compra una caja a $3 y la vende a $8.
Este margen relativamente alto refleja lo perecedero del producto y el riesgo de almacenarlo.
Ventas diarias
Frecuencia(días)
Probabilidad
10 18 0,2
11 36 0,4
12 27 0,3
13 9 0,1
Total 90 1,00
Criterio del valor esperado Se va a suponer que el producto no tiene ningún valor
después del primer día en que se ofrece la venta.
El problema es cuánto ordenar hoy para los negocios de mañana.
La tabla siguiente, llamada tabla de utilidades condicionales, muestra la utilidad resultante de cualquier combinación posible de oferta y demanda.
Por ejemplo, si se almacenan 12 cajas y se demandan sólo 10 se tiene una utilidad de 10x5-3x2=44
Criterio del valor esperado
Se calculará el valor esperado de cada alternativa.
Alternativas de almacenamiento
Ventas (cajas)
10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
Estados de la
naturaleza (demanda)
10 50 47 44 41
11 50 55 52 49
12 50 55 60 57
13 50 55 60 65
50501,0503,0504,0502,0 10 cajas
11 cajas
12 cajas
13 cajas
4,53551,0553,0554,0472,0 6,53601,0603,0524,0442,0 4,51651,0573,0494,0412,0
53,6
Criterio del valor esperado Por lo tanto se debe almacenar cada día 12 cajas,
ya que esta cantidad dará el mayor promedio diario de utilidades.
En el problema se ha utilizado la experiencia previa (no se ha introducido certidumbre).
No se sabe cuántas cajas serán solicitadas.
Ni hay garantía de que habrá una utilidad de $53,6 mañana.
Pero si almacena 12 unidades al día promediará utilidades de $53,6 por día.
Criterio del valor esperado
Es lo mejor que puede hacer, porque la elección de cualquier otra alternativa tendrá una utilidad promedio menor al día.
Utilidad esperada con información perfecta
Supongamos que el comerciante del ejemplo pudiera tener información perfecta sobre el futuro.
Quitaría toda incertidumbre del problema.
Esto no significa que las ventas no variarían de 10 a 13 cajas al día.
Las ventas todavía serían 10 cajas al día el 20% del tiempo, 11 cajas el 40% del tiempo, etc.
Sin embargo, con información perfecta sabría por anticipado cuántas cajas se van a pedir cada día.
Utilidad esperada con información perfecta
Entonces almacenaría el número exacto de cajas que se van a vender al otro día.
Y su utilidad sería
Esta es la máxima utilidad posible (UEIP).
Alternativas de almacenamiento
Ventas (cajas)
10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
Estados de la
naturaleza (demanda)
10 50 - - -
11 - 55 - -
12 - - 60 -
13 - - - 65
5,56651,0603,0554,0502,0
Valor esperado de la información perfecta
Suponiendo que se tenga un pronosticador perfecto de la demanda futura.
¿Cuál sería el valor de tal pronosticador?
Se debe comparar lo que cuesta tal información adicional con la utilidad adicional que tendría como resultado de tener dicha información.
Es decir, se puede ganar utilidades diarias promedio de $56,6 si tiene información perfecta sobre el futuro.
Su mejor utilidad diaria esperada sin el pronosticador es $53,6, luego la cantidad máxima que se estaría dispuesto a pagar es la diferencia$56,6 - $53,6 = $2,9
Valor esperado de la información perfecta
Esta diferencia se conoce como valor esperado de la información perfecta (VEIP)
Es la cantidad máxima en la que se puede incrementar la ganancia diaria esperada.
No tiene sentido pagar más de esta cantidad, al hacerlo bajaría la utilidad diaria esperada.
En la práctica se está interesado en el valor de la información que permita tomar una mejor decisión en vez de una perfecta.
Minimización de pérdidas
En vez de maximizar las utilidades también se puede pensar en minimizar las pérdidas.
Consideraremos 2 tipos de pérdidas:
Pérdidas por obsolecencia: causadas al almacenar demasiadas unidades.
Pérdidas de oportunidad: causadas al no tener inventario cuando se demanda el producto.
Para el ejemplo, se tiene la siguiente tabla (llamada tabla de pérdidas condicionales)
Minimización de pérdidas
No hay pérdidas cuando el número almacenado en un día cualquiera es el mismo que el número solicitado (ceros en la diagonal).
Valores sobre la diagonal son pérdidas por obsolecencia (nº almacenado>nº demandados).
Alternativas de almacenamiento
Ventas (cajas)
10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
Estados de la
naturaleza (demanda)
10 0 3 6 9
11 5 0 3 6
12 10 5 0 3
13 15 10 5 0
Minimización de pérdidas
Por ejemplo, si se almacenaron 13 cajas y se demandaron 11 entonces la pérdida fue de 3x2=6
Valores bajo la diagonal representan pérdidas de oportunidad (nº demandados>nº almacenado).
En el ejemplo, consideremos las pérdidas de oportunidad en $5 por caja.
Si se almacenaron 10 cajas y se demandaron 13 entonces la pérdida de oportunidad fue de 3x5=15
Minimización de pérdidas
A continuación se minimizarán las pérdidas esperadas, utilizando la distribución de probabilidades dada anteriormente.
Luego, se almacenan 12 cajas al día con una pérdida esperada diaria mínima de $2,9
Se observa que se llega a la misma conclusión anterior.
5,6151,0103,054,002,0 10 cajas
11 cajas
12 cajas
13 cajas
51,003,034,062,01,3101,053,004,032,0
1,501,033,064,092,0 2,9
Minimización de pérdidas
El valor esperado de la información perfecta (VEIP) es igual a la pérdida mínima esperada.
Se tiene que pérdida esperada = UEIP – utilidad esperada
Alternativas de almacenamiento
10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
Utilidad esperada 50,0 53,4 53,6 51,4
Pérdida esperada 6,5 3,1 2,9 5,1
Optima
Productos con valor de recuperación
Si un producto tiene valor de recuperación, esta cantidad se debe considerar al calcular las utilidades condicionales.
Se aplican los mismos procedimientos.
Criterio de racionalidad
Este criterio se aplica en situaciones donde hay pocos o ningún datos sobre la demanda anterior.
En ausencia de información se supone que todos los EN son igualmente probables.
Al aplicar este criterio al ejemplo de las fresas se le asignaría una probabilidad de 0,25 a cada uno de los 4 EN.
Y la decisión óptima es almacenar 12 cajas con una utilidad esperada de $54.
Criterio de racionalidad
505025,05025,05025,05025,0 10 cajas
11 cajas
12 cajas
13 cajas
546025,06025,05225,04425,0 536525,05725,04925,04125,0
54
535525,05525,05525,04725,0
Criterio de máxima verosimilitud
Primero se elige el EN que tiene la mayor probabilidad de ocurrencia.
Después, suponiendo que este estado ocurrirá, se elige la alternativa de decisión que producirá la utilidad más alta.
En el ejemplo de las fresas la demanda de 11 cajas tiene la mayor probabilidad (0,4)
Y la alternativa de almacenar 11 cajas tiene la mayor utilidad.
Criterio de máxima verosimilitud
Este criterio producirá resultados válidos cuando un EN es mucho más probable que cualquier otro.
Alternativas de almacenamiento
Ventas (cajas)
10 cajas 11 cajas 12 cajas 13 cajas
Estados de la
naturaleza (demanda)
10 50 47 44 41
11 50 55 52 49
12 50 55 60 57
13 50 55 60 65
55
Criterio del valor esperado con variables aleatorias continuas
Sea p la probabilidad de vender una unidad adicional de un producto.
Luego, 1 - p es la probabilidad de no venderla. Si la unidad adicional es vendida se obtendrá un
aumento en las utilidades condicionales, esta es la utilidad marginal UM.
Si no se vende esta unidad adicional se reduce la utilidad condicional, esta es la pérdida marginal PM.
Criterio del valor esperado con variables aleatorias continuas
La utilidad marginal esperada al vender una unidad adicional es la utilidad marginal de la unidad multiplicada por la probabilidad de que será vendida, es decir, pxUM.
La pérdida marginal esperada al no vender una unidad adicional es la pérdida marginal de la unidad multiplicada por la probabilidad de que no será vendida, es decir, (1-p)xPM.
Se deben almacenar unidades adicionales mientras la utilidad marginal esperada sea mayor que la pérdida marginal esperada.
Criterio del valor esperado con variables aleatorias continuas
Luego, se almacenarían productos hasta que
En cualquier problema dado, sólo habrá un valor de p para el que la ecuación sea válida.
Se debe determinar ese valor para conocer la acción de almacenamiento óptimo.
p representa la mínima probabilidad requerida de vender al menos una unidad adicional para justificar el almacenamiento de esa unidad adicional.
PMpUMp )1(PMUM
PMp
Criterio del valor esperado con variables aleatorias continuas
Las unidades adicionales se deben almacenar mientras la probabilidad de vender al menos una unidad adicional sea mayor que p.
Ejemplo, un comerciante compra a $9 la caja de tomates y la revende a $16.
Si no se vende una caja en el primer día de venta, tiene un valor de recuperación de $3.
Los registros previos de venta indican que la demanda está distribuida normalmente con una media de 120 cajas diarias y una desviación estándar de 38.
Criterio del valor esperado con variables aleatorias continuas
¿Cuál debe ser el inventario del comerciante?
Es decir, el comerciante debe estar seguro 0,462 de vender al menos una unidad adicional antes de que le beneficie almacenar esa unidad.
Esta probabilidad es el área sombreada.
Se debe almacenar unidades adicionales hasta que se alcance el punto Q, si almacena una cantidad mayor la probabilidad cae debajo de 0,462.
462,06$7$
6$
p
PMUM
PMp
Criterio del valor esperado con variables aleatorias continuas
Como el área sombreada es 0,462 el área abierta es 1-0,462=0,538.
De la tabla de distribución normal estándar se obtiene Z=0,1
Criterio del valor esperado con variables aleatorias continuas
Esto significa que el punto Q está 0,1 veces la desviación estándar a la derecha de la media.
Es decir, punto Q = 120 + 0,1 x 38 = 124
El inventario óptimo que se debe ordenar es 124 cajas.