teoria de decisiones 2015

INVESTIGACIÓN OPERATIVA I - TEORÍA DE DECISIÓN Prof. JULIA MARCANO I-2015

1

TEORIA DE DECISIÓN

1. DEFINICIÓN Y FORMULACIÓN DEL MODELO

El Proceso de toma de decisión

Una decisión puede definirse como el proceso de elegir la solución para un problema, siempre y

cuando existan al menos dos soluciones alternativas es evidente que deben llevarse a cabo varias

acciones antes de tomar una decisión.

Terminología de modelos de toma de decisiones

Al igual que cualquier tipo de modelo, los modelos de toma de decisiones tienen una terminología

propia. Esta terminología describe tres partes:

1. Las decisiones alternativas (ai), de entre las cuales el tomador de decisiones, puede elegir.

(Variables que se pueden controlar).

2. Los estados naturales (Sj), o acciones externas que enfrenta la persona encargada de

tomar las decisiones. Los estados naturales son las circunstancias que afectan el resultado

de la decisión pero que están fuera del control del tomador de decisión. (Variables que no

se pueden controlar).

3. El resultado (𝒗(𝒂𝒊, 𝑺𝒋)) que se obtiene por el uso de una alternativa determinada cuando

se presenta cierto estado de la naturaleza. Para cada combinación de estrategia y estado

de la naturaleza habrá un resultado. Este resultado puede expresarse en términos de

utilidades o costo de alguna medida no monetaria. En general, si existen m alternativas y n

estados naturales, será necesario calcular m*n resultados, que se expresa en una tabla de

pagos

Tabla de Pago

Estado de la naturaleza

Decisión 𝑺𝟏 𝑺𝟐 … 𝑺𝒋 … 𝑺𝒏

𝒂𝟏 𝑣(𝑎1, 𝑆1) 𝑣(𝑎1, 𝑆2) … 𝑣(𝑎1, 𝑆𝑗) … 𝑣(𝑎1, 𝑆𝑛)

𝒂𝟐 𝑣(𝑎2, 𝑆1) 𝑣(𝑎2, 𝑆2) … 𝑣(𝑎2, 𝑆𝑗) … 𝑣(𝑎2, 𝑆𝑛)

… … … … … … …

𝒂𝒊 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆1) 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆2) 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗) … 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑛)

… … … … …

𝒂𝒎 𝑣(𝑎𝑚, 𝑆1) 𝑣(𝑎𝑚, 𝑆2) .. 𝑣(𝑎𝑚, 𝑆𝑗) .. 𝑣(𝑎𝑚, 𝑆𝑛)


2

2. TIPOS DE DECISIONES

En esencia existen tres tipos principales de decisiones.

1. Decisiones bajo certeza: el que toma las decisiones sabe con precisión cuál estado de la

naturaleza ocurrirá. Su único problema consiste en elegir la mejor decisión. En esta

categoría entra los problemas determinístico, tales como programación lineal y de entero,

los modelos de inventario EOQ.

2. Decisiones bajo riesgo: el que toma las decisiones sabe que existen dato previo que

permiten calcula probabilidades del cuál estado de la naturaleza ocurrirá. En esta

categoría entra los problemas probabilístico, tales como modelos de inventario

probabilísticos, modelos de cola.

3. Decisiones bajo incertidumbre: aquí se supone que el que toma las decisiones no tiene

conocimiento de la probabilidad con la que ocurrirán los estados de la naturaleza.

DECISIÓN BAJO INCERTIDUMBRE

La toma de decisión bajo incertidumbre, al igual que bajo riesgo, implica acciones alternativas

cuyas retribuciones depende de los estados naturales (aleatorio). La matriz de pago es la

siguiente:

Tabla de Pago





… … … … … … …


… … … … …


Para analizar este tipo de decisiones se utilizan varios criterios:

1. Laplace

2. Minimax.

3. Savage.

4. Hurwicz.


3

Criterio de Laplace

Este criterio se basa en el principio de la razón de insuficiente. Como no se conocen las

distribuciones de probabilidades de los estados de la naturaleza 𝑃(𝑆𝑗), no hay razón para creer

que sean distintas. Es decir, 𝑃(𝑆1) = 𝑃(𝑆2) = ⋯ = 𝑃(𝑆𝑛) = 1

𝑛, si la retribución representa

ganancia, la mejor alternativa es la que produce

max𝑎𝑖

{1

𝑛∑ 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑖)

𝑛

𝑗=1

}

Si la retribución representa pérdida, la mejor alternativa es la que produce

min𝑎𝑖

{1

𝑛∑ 𝑣(𝑎𝑖 , 𝑆𝑖)

𝑛

𝑗=1

}

Criterio Maximin (Minimax) se basa en la actitud conservadora de elegir la mejor entre las peores

condiciones posibles. Si 𝑣(𝑎𝑖 , 𝑆𝑖) es una pérdida, se selecciona la acción que corresponde al

criterio minimax

min𝑎𝑖

{max𝑆𝑗

𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑖)}

Si 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑖) es ganancia, se selecciona la acción que corresponde al criterio maximin

max𝑎𝑖

{min𝑆𝑗

𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑖)}


4

EJEMPLO 1.- Considere la siguiente tabla de retribuciones en la cada dato es un rendimiento en

dólares. Suponga que es una decisión en la que no se tiene conocimiento de los estados de la

naturaleza.

a) ¿Cuál es la decisión óptima si se usa el criterio de Laplace?

b) ¿Cuál es la decisión óptima si se usa el criterio maximin?

Decisión 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒

𝒂𝟏 35 22 25 12

𝒂𝟐 27 25 20 18

𝒂𝟑 22 25 25 28

𝒂𝟒 20 25 28 33

Criterio de Laplace

Dada 𝑃{𝑆𝑗} = 𝟏𝒏⁄ = 1

4⁄ , j = 1, 2, 3, 4, los valores esperados para las diversas acciones se

calculan como sigue:

𝐸{𝑎1} = 1

4 (35 + 22 + 25 + 12) = 23.5 $

𝐸{𝑎2} = 1

4 (27 + 25 + 20 + 18) = 22.5 $

𝐸{𝑎3} = 1

4 (22 + 25 + 25 + 28) = 25.0 $

𝐸{𝑎4} = 1

4 (20 + 25 + 28 + 33) = 𝟐𝟔. 𝟓 $ → ó𝒑𝒕𝒊𝒎𝒐

Se selecciona la cuarta alternativa

Criterio maximin

Decisión 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒 Mínimo de reglón

𝒂𝟏 35 22 25 12 12

𝒂𝟐 27 25 20 18 18

𝒂𝟑 22 25 25 28 22 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑛

𝒂𝟒 20 25 28 33 20

Se selecciona la tercera alternativa


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DECISIÓN BAJO RIESGO

A. Toma de decisión sin experimentación

Este modelo se formula considerando las siguientes partes:

1. El tomador de decisiones necesita elegir una de las acciones posibles o alternativas (ai)





se pueden controlar). Se conoce la probabilidad de ocurrencia del estado natural j (P(Sj)).



de la naturaleza habrá un resultado.

4. Criterio de selección: el criterio del valor esperado busca la maximización de la utilidad

(promedio) esperada o la minimización del costo esperado. Se supone que la retribución (o

el costo) asociada con cada alternativa de decisión es probabilística.

Si 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗) es una pérdida, se selecciona la acción que corresponde al mínimo valor esperado

min𝑎𝑖

{ 𝑉𝐸𝐴𝑖}

Si 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗) es ganancia, se selecciona la acción que corresponde al máximo valor esperado

max𝑎𝑖

{ 𝑉𝐸𝐴𝑖}

Siendo 𝑉𝐸𝐴𝑖= 𝑣𝑖1𝑃(𝑆1) + 𝑣𝑖2𝑃(𝑆2) + ⋯ + 𝑣𝑖𝑗𝑃(𝑆𝑗) + ⋯ + 𝑣𝑖𝑛𝑃(𝑆𝑛) = ∑ v(ai, Sj) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)𝑛

𝑗=1

Modelo tabular





… … … … … … …


… … … … …


Probabilidad P(Sj) P(S1) P(S2) P(Sj) P(Sn)


6

Arbol de decisión

Un árbol de decisión es un recurso gráfico para analizar decisiones bajo riesgo, o sea problemas en

los que se han especificado las probabilidades de los estados naturales. Los arboles de decisión se

crearon para usarse en problemas en los que hay una secuencia de decisiones, cada una de las

cuales conduce a uno de entre varios resultados inciertos. Los puntos de ramificación del árbol de

decisión se conocen como nodos y los arcos se llaman ramas. En el árbol se usan dos clases de

nodos: un cuadrado □ que representa un punto de decisión, o nodo de decisión. Un nodo de

decisión indica que en ese punto del proceso debe tomarse una decisión. y un círculo ○ que

representa un evento aleatorio o nodo de evento. Como se muestra en el siguiente gráfico.

P(S1) 𝑣(𝑎1, 𝑆1)

𝑎1

.

.


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EJEMPLO 2.- Cierto producto tiene la siguiente distribución de demanda

𝒏, unidades 12 14 16 18 20

P(n) 0.15 0.40 0.30 0.10 0.05

El producto se vende en 100 Bs.F, pero antes de que se inicie la estación, puede adquirirse por 60

Bs.F. Una vez que la estación comienza, se puede remplazar los faltantes a un costo de 75 Bs.F

cada uno. Si, al final de la estación, queda producto, puede rematarse en 40 Bs.F por pieza.

Encuentre que decisión se debe tomar.

Formulación

1. Curso de acción o alternativas

𝒂𝒊: 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒊 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓)𝒆𝒏 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏

1: 12, 2: 14, 3: 16, 4: 18 y 5: 20

2. Estados naturales

𝑺𝒋: 𝒅𝒆𝒎𝒂𝒏𝒅𝒂 𝒋 (𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓) 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏

1: 12, 2: 14, 3: 16, 4: 18 y 5: 20

𝑫𝒆𝒎𝒂𝒏𝒅𝒂 12 14 16 18 20

P(Sj) 0.15 0.40 0.30 0.10 0.05

3. Resultados (matriz de pagos)

𝒂𝟏: 𝟏𝟐, 𝑺𝟏 = 𝟏𝟐, utilidad = 12*(PV – costo) = 12*(100-60) = 480

𝒂𝟏: 𝟏𝟐, 𝑺𝟐 = 𝟏𝟒, utilidad = 12*(PV – costo) + 2(PV-costo faltante) = 12*(100-60) + 2*(100-75)

= 480 + 50 = 530

𝒂𝟏: 𝟏𝟐, 𝑺𝟑 = 𝟏𝟔, utilidad = 12*(PV – costo) + 4(PV-costo faltante)=12*(100-60)+ 4*(100-75) =

480 + 100 = 580

𝒂𝟏: 𝟏𝟐, 𝑺𝟒 = 𝟏𝟖, utilidad = 12*(PV – costo) + 6(PV-costo faltante)=12*(100-60)+ 6*(100-75) =

480 + 150 = 630

𝒂𝟏: 𝟏𝟐, 𝑺𝟓 = 𝟐𝟎, utilidad = 12*(PV – costo) + 8(PV-costo faltante)=12*(100-60)+ 8*(100-75) =

480 + 200 = 680

𝒂𝟐: 𝟏𝟒, 𝑺𝟏 = 𝟏𝟐, utilidad = 12*(PV – costo) + 2(PV remate - costo)=12*(100-60)+ 2*(40-60) =

480 - 40 = 440


8

𝒂𝟐: 𝟏𝟒, 𝑺𝟐 = 𝟏𝟒, utilidad = 14*(PV – costo) = 14*(100-60) = 560

𝒂𝟐: 𝟏𝟒, 𝑺𝟑 = 𝟏𝟔, utilidad = 14*(PV – costo) + 2(PV-costo faltante)=14*(100-60)+ 2*(100-75) =

560 + 50 = 610

𝒂𝟐: 𝟏𝟒, 𝑺𝟒 = 𝟏𝟖, utilidad = 14*(PV – costo) + 4(PV-costo faltante)=14*(100-60)+ 4*(100-75) =

560 + 100 = 660

𝒂𝟐: 𝟏𝟒, 𝑺𝟓 = 𝟐𝟎, utilidad = 14*(PV – costo) + 6(PV-costo faltante)=14*(100-60)+ 6*(100-75) =

560 + 150 = 710

𝒂𝟑: 𝟏𝟔, 𝑺𝟏 = 𝟏𝟐, utilidad = 12*(PV – costo) + 2(PV remate - costo)=12*(100-60)+ 4*(40-60) =

480 - 80 = 400

𝒂𝟑: 𝟏𝟔, 𝑺𝟐 = 𝟏𝟒, utilidad = 14*(PV – costo) + 2(PV remate - costo)=14*(100-60)+ 2*(40-60) =

560 - 40 = 520

𝒂𝟑: 𝟏𝟔, 𝑺𝟑 = 𝟏𝟔, utilidad = 16*(PV – costo) =16*(100-60) = 640

𝒂𝟑: 𝟏𝟔, 𝑺𝟒 = 𝟏𝟖, utilidad = 16*(PV – costo) + 2(PV – costo faltante)=16*(100-60)+ 2*(100-75)

= 640 + 50 = 690

𝒂𝟑: 𝟏𝟔, 𝑺𝟒 = 𝟐𝟎, utilidad = 16*(PV – costo) + 4(PV – costo faltante)=16*(100-60)+ 4*(100-75)

= 640 + 100 = 740

𝒂𝟒: 𝟏𝟖, 𝑺𝟏 = 𝟏𝟐, utilidad = 12*(PV – costo) + 6(PV remate – costo)=12*(100-60)+ 6*(40-60) =

480 - 120 = 360

𝒂𝟒: 𝟏𝟖, 𝑺𝟐 = 𝟏𝟒, utilidad = 14*(PV – costo) + 4(PV remate – costo)=14*(100-60)+ 4*(40-60) =

560 - 80 = 480

𝒂𝟒: 𝟏𝟖, 𝑺𝟑 = 𝟏𝟔, utilidad = 16*(PV – costo) + 2(PV remate – costo)=16*(100-60)+ 2*(40-60) =

640 - 40 = 600

𝒂𝟒: 𝟏𝟖, 𝑺𝟒 = 𝟏𝟖, utilidad = 18*(PV – costo) = 18*(100-60) = 720

𝒂𝟒: 𝟏𝟖, 𝑺𝟓 = 𝟐𝟎, utilidad = 18*(PV – costo) + 2(PV – costo faltante)=18*(100-60)+ 2*(100-75)

= 720 + 50 = 770

𝒂𝟓: 𝟐𝟎, 𝑺𝟏 = 𝟏𝟐, utilidad = 12*(PV – costo) + 8(PV remate – costo)=12*(100-60)+ 8*(40-60) =

480 - 160 = 320

𝒂𝟓: 𝟐𝟎, 𝑺𝟐 = 𝟏𝟒, utilidad = 14*(PV – costo) + 6(PV remate – costo)=14*(100-60)+ 6*(40-60) =

560 - 120 = 440

𝒂𝟓: 𝟐𝟎, 𝑺𝟑 = 𝟏𝟔, utilidad = 16*(PV – costo) + 4(PV remate – costo)=16*(100-60)+ 4*(40-60) =

640 - 80 = 560


9

𝒂𝟓: 𝟐𝟎, 𝑺𝟒 = 𝟏𝟖, utilidad = 18*(PV – costo) + 2(PV remate – costo)=18*(100-60)+ 2*(40-60) =

560 - 40 = 520

𝒂𝟓: 𝟐𝟎, 𝑺𝟓 = 𝟐𝟎, utilidad = 20*(PV – costo) = 20*(100-60) = 800

Estado de la naturaleza Demanda j

Decisión 12 14 16 18 20

𝒂𝟏 480 530 580 630 680

𝒂𝟐 440 560 610 660 710

𝒂𝟑 400 520 640 690 740

𝒂𝟒 360 480 600 720 770

𝒂𝟓 320 440 560 520 800

Probabilidad P(Sj)

P(S1)=0.15 P(S2)=0.40 P(S3)=0.30 P(S4)=0.10 P(S5)=0.05

4. Criterio de selección: máximo valor esperado

max𝑎𝑖

{ 𝑉𝐸𝐴𝑖}

Siendo 𝑉𝐸𝐴𝑖= ∑ v(ai, Sj) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)𝑛

𝑗=1

Los valores esperados para las diversas acciones se calculan como sigue:

𝐸{𝑎1} = 0.15 ∗ 480 + 0.40 ∗ 530 + 0.30 ∗ 580 + 0.10 ∗ 630 + 0.05 ∗ 680 = 555 𝐵𝑠. 𝐹

𝐸{𝑎2} = 0.15 ∗ 440 + 0.40 ∗ 560 + 0.30 ∗ 610 + 0.10 ∗ 660 + 0.05 ∗ 710 = 574.5 → ó𝒑𝒕𝒊𝒎𝒐

𝐸{𝑎3} = 0.15 ∗ 400 + 0.40 ∗ 520 + 0.30 ∗ 640 + 0.10 ∗ 690 + 0.05 ∗ 740 = 566 𝐵𝑠. 𝐹

𝐸{𝑎4} = 0.15 ∗ 360 + 0.40 ∗ 480 + 0.30 ∗ 600 + 0.10 ∗ 720 + 0.05 ∗ 770 = 536.5 𝐵𝑠. 𝐹

𝐸{𝑎5} = 0.15 ∗ 320 + 0.40 ∗ 440 + 0.30 ∗ 560 + 0.10 ∗ 520 + 0.05 ∗ 800 = 484 𝐵𝑠. 𝐹

Se selecciona la segunda alternativa, es decir se debe mantener una existencia o inventario de 14

unidades, generando una utilidad de 574.5 Bs. F.


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B. Toma de decisión con experimentación

Este modelo se formula considerando las siguientes partes:

1. El tomador de decisiones necesita elegir una de las acciones posibles o alternativas (ai)





se pueden controlar). Se conoce la probabilidad de ocurrencia del estado natural j (P(Sj))

(probabilidad a priori) y el comportamiento del estado natural (probabilidad a posteriori o

de Bayes 𝑃 (𝑆𝑖

𝑋𝑗⁄ ), donde Xi es la variable aleatoria del estado natural).



de la naturaleza habrá un resultado.

4. Criterio de selección: el criterio del valor esperado busca la maximización de la utilidad

(promedio) esperada o la minimización del costo esperado. Se supone que la retribución (o

el costo) asociada con cada alternativa de decisión es probabilística.

Si 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗) es una pérdida, se selecciona la acción que corresponde al mínimo valor esperado

min𝑎𝑖

{ 𝑉𝐸𝐴𝑖}

Si 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗) es ganancia, se selecciona la acción que corresponde al máximo valor esperado

max𝑎𝑖

{ 𝑉𝐸𝐴𝑖}

Siendo

𝑉𝐸𝐴𝑖= ∑ 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗)𝑃 (

𝑆𝑖𝑋𝑗

⁄ )

𝑛

𝑗=1

Considerando la siguiente tabla de probabilidad condicional 𝑃 (𝑆𝑖

𝑋𝑗⁄ )


11

X1 X2 …. Xn

S1 P(X1/S1) P(X2/S1) P(Xn/S1)

S2 P(X1/S2) P(X2/S2) P(Xn/S2)

Las probabilidades conjuntas:

𝑃(𝑆𝑖, 𝑋𝑗) = 𝑃 (𝑋𝑗

𝑆𝑖⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖)

Las probabilidades marginales:

𝑃( 𝑋𝑗) = ∑ 𝑃(𝑆𝑖, 𝑋𝑗)

𝑚

𝑖=1

𝑃 (𝑆𝑖

𝑋𝑗⁄ ): Probabilidades a posteriori

Donde

𝑃 (𝑆𝑖

𝑋𝑗⁄ ) =

𝑃(𝑆𝑖, 𝑋𝑗)

𝑃( 𝑋𝑗)=

𝑃 (𝑋𝑗

𝑆𝑖⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖)

∑ 𝑃 (𝑋𝑗

𝑆𝑖⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖)

𝑚𝑖=1

=𝑃𝑟𝑜𝑏. 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑎

𝑃𝑟𝑜𝑏. 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙

Valor esperado de la información perfecta (VIP)

La pregunta que se hace es ¿Cuanto estaría dispuesta a pagar por la persona que toma las

decisiones para obtener información adicional sobre cuáles serán las circunstancias reales?.

Si sabemos con exactitud cuál estado de la naturaleza ocurrirá, es fácil determinar la alternativa

que debe elegirse. Se elegirá la alternativa que produce mayor pago para cada estado de la

naturaleza.

El valor esperado de la información perfecta (VIP):

𝑉𝐼𝑃 = ∑

𝑁

𝐽=1

𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗)∗

∗ 𝑃(𝑆𝑗)

Donde:


12

𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗)∗: Máxima utilidad (mínima pérdida) para cada estado de la naturaleza.

𝑃(𝑆𝑗): Probabilidad de cada estado de la naturaleza j.

El valor esperado de la información perfecta, es la diferencia entre el valor esperado de la

información perfecta y el valor esperada sin información perfecta.


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EJEMPLO 3. Prado fabrica lotes de un artículo con 8%, 10%, 12% y 14% de piezas defectuosas, con

probabilidades correspondiente 0.4, 0.3, 0.25 y 0.05. Se contrata con tres clientes, A, B y C, para

recibir lotes con no más de 8%, 12% y 14% de piezas defectuosas, respectivamente. Prado tendrá

que pagar 1000 Bs.F de multa por cada punto porcentual si el porcentaje de piezas defectuosas es

mayor que el especificado en el contrato. A la inversa, si suministra lotes de mayor calidad que la

requerida, el costo para Prado es de 500 Bs.F por punto porcentual.

A.- Suponga que no se inspeccionan los lotes antes de enviarlos.

1. Trace el árbol de decisión correspondiente.

2. ¿Cuál de los pedidos de los tres clientes se debe recibir con máxima prioridad?

B.- Suponga que se inspeccionan una muestra de 20 unidades antes de que cada lote se envíe a

los clientes. Si se encuentran cuatro artículos defectuosos en la muestra, teniendo un 8%, 10%,

12% y 14% de piezas defectuosa. ¿Cuál de los pedidos de los tres clientes se debe recibir con

máxima prioridad?

Formulación

Curso de acción o alternativas:

𝒂𝒊: 𝑷𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊 (𝒊 = 𝑨, 𝑩, 𝑪)

Estados naturales:

𝑺𝒋: 𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 % 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐 𝒋 (𝒋 = 𝟎. 𝟖, 𝟏, 𝟏. 𝟐, 𝟏. 𝟒)

% 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐 8 10 12 14

P(Sj) 0.40 0.30 0.25 0.05

Árbol de decisión:

Parte a:


14

8% (0.4) 0

10% (0.3) (10-8)*100 = 200

Cliente A 12% (0.25) (12-8) * 100 = 400

14% (0.05) (14-8) * 100 = 600

Cliente B 8% (0.4) (12-8)*50 = 200

10% (0.3) (12-10)*50 = 100

Cliente C 12% (0.25) 0

14% (0.05) (14-12)*100 = 200

8% (0.4) (14-8)*50 = 300

10% (0.3) (14-10)*50 = 200

12% (0.25) (14-12)*50 = 100

14% (0.05) 0

El Cliente B tiene la máxima prioridad, generando un costo esperado de 120 Bs. F

Parte b:

Xj : artículos defectuosos, sigue una Distribución Binomial con p = P(Sj) = 0.08, 0.10, 0.12 y 0.14 .

N = 20 y X = 4

Las probabilidades condicionales:

𝑃 (𝑋𝑗

𝑆𝑖⁄ ) = 𝐶𝑋

𝑁𝑝𝑋(1 − 𝑝)𝑁−𝑋

𝑃 (𝑋𝑗=4

𝑆𝑖 = 0.08⁄ ) = 𝐶420(0.08)4(0.92)20−4= 0.05227

𝑃 (𝑋𝑗=4

𝑆𝑖 = 0.1⁄ ) = 𝐶420(0.1)4(0.9)20−4= 0.089788

𝑃 (𝑋𝑗=4

𝑆𝑖 = 0.12⁄ ) = 𝐶420(0.12)4(0.88)20−4= 0.129934

𝑃 (𝑋𝑗=4

𝑆𝑖 = 0.14⁄ ) = 𝐶420(0.14)4(0.86)20−4= 0.166640

Las probabilidades conjuntas:

𝑃(𝑆𝑖, 𝑋𝑗) = 𝑃 (𝑋𝑗

𝑆𝑖⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖)

𝑃(𝑆𝑖 = 0.08, 𝑋𝑗 = 4) = 𝑃 (𝑋𝑗 = 4

𝑆𝑖 = 0.08⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖 = 0.08) = 0.05227 ∗ 0.4 = 0.020908

120

1

9

0

190

1

9

0

120

1

9

0

205


15

𝑃(𝑆𝑖 = 0.1, 𝑋𝑗 = 4) = 𝑃 (𝑋𝑗 = 4

𝑆𝑖 = 0.1⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖 = 0.1) = 0.089788 ∗ 0.3 = 0.0269364

𝑃(𝑆𝑖 = 0.12, 𝑋𝑗 = 4) = 𝑃 (𝑋𝑗 = 4

𝑆𝑖 = 0.12⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖 = 0.12) = 0.129934 ∗ 0.25 = 0.0324835

𝑃(𝑆𝑖 = 0.14, 𝑋𝑗 = 4) = 𝑃 (𝑋𝑗 = 4

𝑆𝑖 = 0.14⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖 = 0.14) = 0.166640 ∗ 0.05 = 0.008332

Las probabilidades marginales:

𝑃( 𝑋𝑗) = ∑ 𝑃(𝑆𝑖, 𝑋𝑗) = 0.020908 + 0.0269364 + 0.0324835 + 0.008332 = 0.0886599

𝑚

𝑖=1

𝑃 (𝑆𝑖

𝑋𝑗⁄ ): Probabilidades a posteriori

Donde

𝑃 (𝑆𝑖

𝑋𝑗⁄ ) =

𝑃(𝑆𝑖, 𝑋𝑗)

𝑃( 𝑋𝑗)=

𝑃 (𝑋𝑗

𝑆𝑖⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖)

∑ 𝑃 (𝑋𝑗

𝑆𝑖⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑖)

𝑚𝑖=1



𝑃 (𝑆𝑖 = 0.08

𝑋𝑗 = 4⁄ ) = 0.020908

0.0886599= 0.235 𝑃 (

𝑆𝑖 = 0.1𝑋𝑗 = 4⁄ ) =

0.0269364

0.0886599= 0.304

𝑃 (𝑆𝑖 = 0.12

𝑋𝑗 = 4⁄ ) = 0.0324835

0.0886599= 0.366 𝑃 (

𝑆𝑖 = 0.14𝑋𝑗 = 4⁄ ) =

0.008332

0.0886599= 0.094

8% (0.235) 0

10% (0.304) (10-8)*100 = 200

Cliente A 12% (0.366) (12-8) * 100 = 400

14% (0.094) (14-8) * 100 = 600

Cliente B 8% (0.235) (12-8)*50 = 200

10% (0.304) (12-10)*50 = 100

Cliente C 12% (0.366) 0

14% (0.094) (14-12)*100 = 200

8% (0.235) (14-8)*50 = 300

10% (0.304) (14-10)*50 = 200

12% (0.366) (14-12)*50 = 100

14% (0.094) 0

93.3

190 263.7

19

0

93.3

190 168.2

El Cliente B tiene la

máxima prioridad,

generando un costo

esperado de 93.3 Bs.

F


16

EJEMPLO 4.- Una empresa debe considerar el estado futuro (bueno o malo) del mercado para su producto cuando piensa comprar una máquina. La probabilidad de un buen mercado es 0.4, de uno malo, 0.6. Las utilidades se dan en 1000 Bs. F de la siguiente tabla:

Máquina nueva

Máquina existente

Mercado bueno 20 10

Mercado malo -6 9

Una investigación que cuesta 200 Bs.F está disponible e incluye los datos que se dan en la tabla

El mercado resulto que ha sido

Cuando el estudio arrojo

bueno malo

bueno 0.60 0.25

malo 0.40 0.75

Formulación

1. Curso de acción o alternativas

𝑨𝟏: 𝒔𝒊𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂

𝒂𝟏𝟏: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂𝒓 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂

𝒂𝟏𝟐: 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑨𝟐: 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂

𝒂𝟐𝟏: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒂𝒓 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒏𝒖𝒆𝒗𝒂

𝒂𝟐𝟐: 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆

2. Estados naturales

𝑺𝟏: 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐

𝑺𝟐: 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒎𝒂𝒍𝒐

𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐 bueno malo

P(Sj) 0.40 0.60

3. Criterio de selección: máximo valor esperado

máx𝑎𝑖

{ 𝑉𝐸𝐴𝑖}

Siendo 𝑉𝐸𝐴𝑖= ∑ 𝑣𝑖𝑗 ∗ 𝑃(𝑆𝑗)𝑛

𝑗=1

Sin Considerando la encuesta


17

Mercado bueno

Mercado malo

Máquina nueva 20 -6

Máquina existente 10 9

P(Sj) 0.4 0.6

𝐸{𝑎1} = 0.4 ∗ 20 + 0.6 ∗ (−6) = 4.4 𝐵𝑠. 𝐹

𝐸{𝑎2} = 0.4 ∗ 10 + 0.6 ∗ 9 = 9.4 𝐵𝑠. 𝐹 → ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜 La decisión es mantener la máquina existente con una ganancia de 9.4*1000= 9400Bs.F.

Considerando la encuesta

Se dispone de la siguiente información:

Tabla 1

Estados naturales Mercado bueno Mercado malo

Alternativas 𝑆1 𝑆2

𝑎1 20 -6

𝑎2 10 9

Tabla 2

Estados naturales Mercado bueno Mercado malo

Estudio arrojo 𝑆1 𝑆2

𝑋1: 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜𝐵𝑢𝑒𝑛𝑜 0.60 0.25

𝑋2: 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑙𝑜 0.40 0.75

𝑃(𝑆𝑗) 𝑃(𝑆1) = 0.4 𝑃(𝑆2) = 0.6

La tabla 2, muestra las probabilidades condicionales

𝑃 (𝑋1

𝑆1⁄ ) = 0.60, 𝑃 (

𝑋2𝑆1

⁄ ) = 0.40, 𝑃 (𝑋1

𝑆2⁄ ) = 0.25 𝑦 𝑃 (

𝑋2𝑆2

⁄ ) = 0.75

Se desea calcular la probabilidad posteriori de Bayes:


18

𝑃 (𝑆𝑗

𝑋𝑖⁄ ) =

𝑃 (𝑋𝑖

𝑆𝑗⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)

∑ 𝑃 (𝑋𝑖

𝑆𝑗⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)𝑛

𝑗



Calcular las probabilidades conjuntas:

X1 0.24 0.15 0.39

X2 0.16 0.45 0.61

𝑃(𝑆𝑗) 0.4 0.6 1

𝑃(𝑆1, 𝑋1) = 0.6 ∗ 0.4 = 0.24, 𝑃(𝑆2, 𝑋1) = 0.25 ∗ 0.6 = 0.15

𝑃(𝑆1, 𝑋2) = 0.4 ∗ 0.4 = 0.16, 𝑃(𝑆2, 𝑋1) = 0.75 ∗ 0.6 = 0.45

Calcular las probabilidades marginales:

𝑃(𝑋1) 𝑃(𝑋2)

0.24 + 0.15 = 0.39 0.16 + 0.45 = 0.61

Las probabilidades a posteriori:

S1 S2

X1 0.615 0.385 1,000

X2 0.262 0.738 1,000

𝑃 (𝑆1

𝑋1⁄ ) =

0.24

0.39= 0.615, 𝑃 (

𝑆2𝑋1

⁄ ) =0.15

0.39= 0.385

𝑃 (𝑆1

𝑋2⁄ ) =

0.16

0.61= 0.262, 𝑃 (

𝑆2𝑋2

⁄ ) =0.45

0.61= 0.738

Se determina el valor esperado:

(𝑋 ∗ 𝑆) ∗ (𝑆 ∗ 𝑎) = (𝑋 ∗ 𝑎)

S1 S2 𝑎1 𝑎2

X1 0.615 0.385 S1 20 10

X2 0.262 0.738 S2 -6 9

*


19

𝑎1 𝑎2 Max valor esperado

X1 0.615*20 + 0.385*(-6) = 10.00 0.615*10 + 0.385*9 = 9.62 10

X2 0.262*20 + 0.738*(-6) = 0.81 0.262*20 + 0.738*(-6) = 9.26 9.26

Esta tabla se interpreta de la siguiente manera:

- Si el resultado de la encuesta arroja un mercado bueno, se debe comprar la máquina

nueva.

- Si el mercado es malo se debe mantener la máquina existente

Se escoge el máximo valor esperado, para calcular el valor esperado del resultado que arroja la

encuesta con la probabilidad marginal del mercado.

[0.39, 0.61] ∗ [10

9.26] = 9.55

A este valor se le resta el valor de la encuesta (200Bs.F)

9.55* 1000 – 200 = 9350 Bs.F

Decisión: entre no realizar la encuesta (Valor esperado de 9400) y realizar la encuesta (Valor

esperado de 9350), se debe tomar la decisión de no realizar la encuesta y mantener la máquina

existente, con una ganancia esperada de 9400 Bs.F.


20

VE =0.4(20) + 0.6(-6)= 4.4 20

Merc. Bueno (0.4) Merc. Malo (0.6) -6 Máquina Nueva 10 Merc. Bueno (0.4) Máquina Existente Merc. Malo (0.6) 9 Sin encuesta VE =0.4(10)+0.6(9)=9.4 20 Merc. Bueno (0.615) VE =0.615(20) + 0.385(-6)= 10 Merc. Malo (0.385) -6 Máquina Nueva VE =0.615(10)+0.385(9)= 9.62 10 Merc. Bueno (0.615) Con encuesta Máquina Existente Merc. Malo (0.385) Pronostico Merc. Bueno 9 0.39 VE =0.262(20) + 0.738(-6)= 0.81 20 Merc. Bueno (0.262) 9.55-0.2=9.35 Merc. Malo (0.738) Pronostico Merc. Malo Máquina Nueva -6 0.61 VE= 0.39(10)+0.61(9.26)=9.55 VE=0.262(10)+0.738(9)=9.26 10 Merc. Bueno (0.262) Máquina Existente Merc. Malo (0.738) 9

9.4

9.4

10

9.26


21

EJEMPLO 5. (Problema 4.7, Bierman). La probabilidad de obtener un 7 o un 11 con un par de

dados legítimos es 2/9. Si los dados están cargados de cierta manera, la probabilidad de un 7 o un

11 es 4/9. Un conocido le pide que juegue a los dados con él. Si el lanza un 7 o un 11, usted le paga

tres dólares; de lo contrario, él le paga a usted un dólar. Usted tendría la ventaja en el juego si los

dados fueran legítimos, por lo que se sospecha acerca de esta persona. Específicamente, usted

considera que hay 0.7 de probabilidad de que esté usando dados cargados con probabilidad de

4/9 para el 7 o el 11. Para que usted no tenga sospechas, su oponente le permite lanzar dos veces

los dados, usted lo hace y no aparece ni un 7 ni un 11 en los dos tiros.

0 Prob utilidad 4/9(-3)+5/9(1)=-7/9 No jugar 4/9 -3 7 o 11 0.55 No 7 o 11 5/9 1 Jugar cargados 2/9 -3 0.45 7 o 11 No cargados 0.55(-7/9)+0.45(1/9)= - 0.37 No 7 o 11 7/9 1 2/9(-3)+7/9(1)= 1/9 cargados No cargados cargado No cargado

7 o 11 (2/9)2 (4/9)2 7 o 11 0,14 0,01 0,15

No 7 o 11 (5/9)2 (7/9)2 No 7 o 11 0,22 0,18 0,40

0,7 0,3

cargado No cargado

7 o 11 0,90 0,10

No 7 o 11 0,55 0,45

Decisión: no debe jugar, porque si decide jugar pierde 0.37 dólares.

No jugar


22

EJEMPLO 6. (Problema 4.32, Bierman). Una compañía de gran tamaño puede satisfacer sus

necesidades de combustible con un contrato anual o una serie de contratos mensuales durante el

invierno. El costo del contrato anual es 80 centavos por litros. Si el año es “normal”, el costo medio

del litro de combustible en los contratos mensuales será de 75 centavos, pero si es un año de

“escasez” de combustible, el costo medio de los contratos mensuales será de 95 centavos por

litro. La compañía usará 100 000 litros de combustible en el año y el director estima que la

probabilidad de escasez es de 1/10.

El gerente puede gastar 500 dólares para obtener un pronóstico económico profesional con el fin

de saber si el año será normal o de escasez. A continuación se exhiben los datos de los

pronósticos anteriores y la ocurrencia real en los últimos 20 años.

1. Elabore un árbol de decisión para este problema.

2. ¿Debe comprarse el pronóstico?

3. ¿Cuál es el costo monetario mínimo esperado?

Real Normal Escasez Total

Normal 15 3 18

Escasez 0 2 2

Total 15 5 20

Contrato anual Año normal Contrato mensual Año escasez No comprar el pronóstico Contrato anual Año normal Contrato mensual Año escasez Comprar el pronóstico Pronóstico normal Contrato Anual Pronostico escasez Año normal 500 Contrato Mensual Año escasez


23

Contrato anual 0,80*100 000 = 80 000 Probabilidad Costo 1/10 75 000 Año normal Contrato mensual Año escasez 9/10 95000 No comprar el pronóstico VE= (1/10)7500 + (9/10)95000 = 77000 Contrato anual 80 000 VE= 1(75000)+0(95000)=75000 1 75 000 Año normal Contrato mensual Pronóstico Normal Año escasez Comprar el pronóstico 0.75 0 95 000 Contrato Anual 80 000 Pronóstico Escasez 0,6 75 000 0.25 Año normal 76250 + 500=76750 Contrato Mensual VE= 0.75(75000)+0.25(80000)= 76250 Año escasez 0,4 95 000 0.6(75000)+0.4(95000)= 83000 Tabla de Probabilidad conjunta y Marginal

Real Real Probabilidad Pronóstico Normal Escasez Pronóstico Normal Escasez marginal

Normal 15 0 15 Normal 0,75 0 0,75

Escasez 3 2 5 Escasez 0,15 0,1 0,25

15 5 20 Prob. marginal 0,9 0,1 1

Tabla de probabilidad condicional (P (real/pronostico))

Real

Pronóstico Normal Escasez

Normal 1 0

Escasez 0,6 0,4

Decisión: se debe comprar el pronóstico, generando un costo esperado de 76750 dólares. Si el pronóstico es normal, se debe realizar el contrato mensual. Si el pronóstico es escasez, se debe realizar el contrato anual.

Comprar

77000

75000

0

80000

0


24

EJEMPLO 7. Roberto Barrios, jefe del Consejo de Administración de una Empresa electrónica,

acaba de enterarse de que un competidor ha presentado dos demandas contra su empresa por

violación de patentes. La primera se ventilará en el tribunal superior dentro de tres meses, y la

segundan se resolverá al cabo de seis meses. El Sr. Barrios estima que el primer juicio no tardará

más de cuatro meses. Las opciones disponibles para la empresa electrónica en ambos casos son

llegar a un arreglo en forma privada o bien acudir a los tribunales. La mera preparación para

rebatir una u otra demanda le costará Bs. 7 500, pero parte de la preparación legal para el primer

juicio se usará en el segundo, de modo que el costo de preparar ambas demandas será de sólo

Bs. 12 000. El Sr. Barrios estima que costará Bs. 75 000 llegar a un arreglo en la primera demanda

sin ir a los tribunales y Bs. 45 000 hacer lo mismo con la segunda demanda. Desde luego, si la

empresa llegara a un arreglo fuera de los tribunales se ahorraría los costos de preparación de los

juicios. Si las demandas se llevan a los tribunales y la empresa gana el juicio, no incurrirá en más

costos. El Sr. Barrios estima que perder la primera demanda significaría costos adicionales por Bs.

150 000 y perder la segunda demanda costaría aproximadamente Bs. 90 000. Piensa que su

empresa tiene una probabilidad de 60% de ganar el primer juicio. Las probabilidades de ganar el

segundo juicio depende del desenlace del primero: 40% si llega a un arreglo fuera de los

tribunales, 80% si se llega a de los tribunales y 10% si se pierde el juicio.

Construya un árbol de decisión para que el Sr. Barrios decida cuál opción seguir.


25

Arreglo 2da demanda 75000+45000 = 120 000 Probabilidad Costo 7500+75000= 82500 Ganar (0.40) Ir a tribunales 2da demanda Perder (060) 7500+75000+90000= 172500 VE= (0.40)82500 + (0.60)172500 = 136500 Arreglo 1era demanda Arreglo 2da demanda 7500+45000= 52500 VE= 0.80(12000)+0.20(102000)=30000 12000 Ganar (0.80) Ir a tribunales 2da demanda Perder (0.20) Ir a tribunales 1era demanda 0.60 12000+90000= 102000 Ganar Arreglo 2da demanda 15000+45000+7500=202500

0.40 12000+150000=162000 Perder Ganar (0.10) Ir a tribunales 2da dem

VE= 0.60(30000)+0.40(202500)= 99000 Perder (0.90) 12000+150000+90000=252000 VE= 0.1(162000)+0.9(252000)= 243000

Decisión: se debe ir a los tribunales en la primera demanda, pero:

Si gana la primera demanda, se debe ir a los tribunales para la segunda demanda.

Si pierde la primera demanda, se debe llegar a un arreglo para la segunda demanda.

Esta decisión genera un costo esperado de Bs. 99 000.

99000

120000

0

30000

0

202500


26

EJEMPLO 8. La Fuerza Aérea comprará un nuevo tipo de avión y debe determinar el número de

motores de repuesto que va a ordenar. Estos motores de repuestos se deben ordenar en lotes de

5 y se pueden elegir sólo entre 15, 20 o 25 repuestos. El proveedor de motores tiene dos plantas

y la Fuerza aérea debe tomar sus decisiones antes de saber que planta se usará. Por experiencia, la

Fuerza aérea sabe que dos tercio de los motores de todos tipos se producen en la planta A y sólo

un tercio en la planta B. La Fuerza aérea también sabe que el número de motores de repuestos

requeridos cuando se lleva a cabo la producción en la planta A se aproxima por una Distribución

Poisson con media θ= 21, mientras que el número de motores de repuestos que se requiere

cuando la producción se lleva a cabo en la planta B se aproxima por una Distribución Poisson con

media θ= 24. El costo de un motor de repuesto comprado ahora es Bs. 400000, si se compra

después será de Bs. 900000. Los repuestos siempre se surten si se piden y las máquinas que no se

usen serán chatarra cuando los aviones se vuelvan obsoletos. Los costos de mantener un

inventario y del interés pueden despreciarse. A partir de estos datos se calculó el costo total

(pagos negativos) de la siguiente forma:


Alternativas θ= 21 θ= 24

Ordenar 15 1.155 x 107 1.414 x 107

Ordenar 20 1.012 x 107 1.207 x 107

Ordenar 25 1.047 x 107 1.135 x 107

1. Determine la acción óptima, si no se dispone la información acerca de la producción de

los repuestos de los motores en las plantas A y B.

2. Cuanto dinero puede pagarse para tener la “información perfecta”.

3. Determine la acción óptima, si se requirieron 30 repuestos y se dispone la información

acerca de la producción de los repuestos de los motores en las plantas A y B.

1. Determine la acción óptima, si no se dispone la información acerca de la producción de

los repuestos de los motores en las plantas A y B.

Cursos de Acción:

A1: Ordenar 15 motores de repuestos

Estados naturales:

S1: Planta 1 con producción media de 21




Criterio de Selección:

Min VE(Ai) 𝑉𝐸𝐴𝑖= ∑ 𝑣𝑖𝑗 ∗ 𝑃(𝑆𝑗)𝑛

𝑗=1


27


Alternativas θ= 21 θ= 24 Valor Esperado (VE(Ai))

Ordenar 15 1.155 x 107 1.414 x 107 1.155 x 107*(2/3) +1.414 x 107*(1/3) = 1.241 x 107

Ordenar 20 1.012 x 107 1.207 x 107 1.012 x 107*(2/3) +1.207 x 107*(1/3) = 1.077 x 107

Ordenar 25 1.047 x 107 1.135 x 107 1.047 x 107*(2/3) +1.135 x 107*(1/3) = 1.076 x 107*

PS(Sj) 2/3 1/3

Decisión: se debe Ordenar 25 motores de repuestos, con un costo esperado de Bs. 1.076 x 107

2. Cuanto dinero puede pagarse para tener la “información perfecta”.

VIP = 1.012 x 107*(2/3) +1.135 x 107*(1/3) = Bs. 1.053 x 107

VEIP = [1.076 x 107- 1.053 x 107] = 0.023 x 107 = Bs. 230000

Para obtener la información perfecta se debe pagar un máximo de Bs. 230000

3. Determine la acción óptima, si se requirieron 30 repuestos y se dispone la información

acerca de la producción de los repuestos de los motores en las plantas A y B.

Cursos de Acción:


Estados naturales:





X: Requerimientos de motores (30 motores)

Criterio de selección:

Min VE(Ai) 𝑉𝐸𝐴𝑖= ∑ 𝑣(𝑎𝑖, 𝑆𝑗) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)𝑛

𝑗=1

𝑃 (𝑆𝑗

𝑋𝑖⁄ ) =

𝑃 (𝑋𝑖

𝑆𝑗⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)

∑ 𝑃 (𝑋𝑖

𝑆𝑗⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)𝑛

𝑗



𝑃 (𝑋𝑖

𝑆𝑗⁄ ) → 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 → 𝑓(𝑥) =

𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!, 𝜆 = 𝜃 = 𝑆 𝑆1 = 21 , 𝑆2 =

24, 𝑋 = 30

𝑆1 = 21 → 𝑃 (𝑋𝑖 = 30

𝑆𝑗 = 21⁄ ) = 2130𝑒−21

30!= 0.01326 ≈ 0.013


28

𝑆1 = 24 → 𝑃 (𝑋𝑖 = 30

𝑆𝑗 = 24⁄ ) = 2430𝑒−24

30!= 0.03627 ≈ 0.036

∑ 𝑃 (𝑋𝑖

𝑆𝑗⁄ ) ∗ 𝑃(𝑆𝑗)

𝑛

𝑗

= 0.013 ∗ (23

) + 0.036 ∗ (13

) = 0.0206666 ≈ 0.02067

𝑃 (𝑆𝑗 = 21

𝑋 = 30⁄ ) =

0.013 ∗ (23

)

0.02067= 0.41928 ≈ 0.42

𝑃 (𝑆𝑗 = 24

𝑋 = 30⁄ ) =

0.036 ∗ (13

)

0.02067= 0.5805 ≈ 0.58


Alternativas θ= 21 θ= 24 Valor Esperado (VE(Ai))

Ordenar 15 1.155 x 107 1.414 x 107 1.155 x 107*0.42 +1.414 x 107*0.58 = 1.30522 x 107

Ordenar 20 1.012 x 107 1.207 x 107 1.012 x 107*0.42 +1.207 x 107*0.58 = 1.1251 x 107

Ordenar 25 1.047 x 107 1.135 x 107 1.047 x 107*0.42 +1.135 x 107*0.58 = 1.09804 x 107

PS(Sj) 0.42 0.58

Decisión: se debe Ordenar 25 motores de repuestos, con un costo esperado de Bs. 1.09804 x 107


29

EJEMPLO 1.- Considere la siguiente tabla de retribuciones en la cada dato es un rendimiento en dólares. Suponga que es una decisión en la que no se tiene conocimiento de los estados de la naturaleza.

a) ¿Cuál es la decisión óptima si se usa el criterio de Laplace? b) ¿Cuál es la decisión óptima si se usa el criterio maximin?

Decisión 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒

𝒂𝟏 35 22 25 12

𝒂𝟐 27 25 20 18

𝒂𝟑 22 25 25 28 𝒂𝟒 20 25 28 33

EJEMPLO 2.- Cierto producto tiene la siguiente distribución de demanda

𝒏, unidades 12 14 16 18 20

P(n) 0.15 0.40 0.30 0.10 0.05

El producto se vende en 100 Bs.F, pero antes de que se inicie la estación, puede adquirirse por 60 Bs.F. Una vez que la estación comienza, se puede remplazar los faltantes a un costo de 75 Bs.F cada uno. Si, al final de la estación, queda producto, puede rematarse en 40 Bs.F por pieza. Encuentre que decisión se debe tomar. EJEMPLO 3. Prado fabrica lotes de un artículo con 8%, 10%, 12% y 14% de piezas defectuosas, con probabilidades correspondiente 0.4, 0.3, 0.25 y 0.05. Se contrata con tres clientes, A, B y C, para recibir lotes con no más de 8%, 12% y 14% de piezas defectuosas, respectivamente. Prado tendrá que pagar 1000 Bs.F de multa por cada punto porcentual si el porcentaje de piezas defectuosas es mayor que el especificado en el contrato. A la inversa, si suministra lotes de mayor calidad que la requerida, el costo para Prado es de 500 Bs.F por punto porcentual. A.- Suponga que no se inspeccionan los lotes antes de enviarlos. 1.- Trace el árbol de decisión correspondiente. 2.- ¿Cuál de los pedidos de los tres clientes se debe recibir con máxima prioridad? B.- Suponga que se inspeccionan una muestra de 20 unidades antes de que cada lote se envíe a los clientes. Si se encuentran cuatro artículos defectuosos en la muestra, teniendo un 8%, 10%, 12% y 14% de piezas defectuosa. ¿Cuál de los pedidos de los tres clientes se debe recibir con máxima prioridad? EJEMPLO 4.- Una empresa debe considerar el estado futuro (bueno o malo) del mercado para su producto cuando piensa comprar una máquina. La probabilidad de un buen mercado es 0.4, de uno malo, 0.6. Las utilidades se dan en 1000 Bs. F de la siguiente tabla:

Máquina nueva Máquina existente

Mercado bueno 20 10

Mercado malo -6 9

Una investigación que cuesta 200 Bs.F está disponible e incluye los datos que se dan en la tabla

El mercado resulto que ha sido

Cuando el estudio arrojo bueno malo

bueno 0.60 0.25

malo 0.40 0.75

EJEMPLO 5. (Prob. 4.7, Bierman). La probabilidad de obtener un 7 o un 11 con un par de dados legítimos es 2/9. Si los dados están cargados de cierta manera, la probabilidad de un 7 o un 11 es 4/9. Un conocido le pide que juegue a los dados con él. Si el lanza un 7 o un 11, usted le paga tres dólares; de lo contrario, él le paga a usted un dólar. Usted tendría la ventaja en el juego si los dados fueran legítimos, por lo que se sospecha acerca de esta persona. Específicamente, usted considera que hay 0.7 de probabilidad de que esté usando dados cargados con probabilidad de 4/9 para el 7 o el 11. Para que usted no tenga sospechas, su oponente le permite lanzar dos veces los dados, usted lo hace y no aparece ni un 7 ni un 11 en los dos tiros. EJEMPLO 6. (Problema 4.32, Bierman). Una compañía de gran tamaño puede satisfacer sus necesidades de combustible con un contrato anual o una serie de contratos mensuales durante el invierno. El costo del contrato anual es 80 centavos por litros. Si el año es “normal”, el costo medio del litro de combustible en los contratos mensuales será de 75 centavos, pero si es un año de “escasez” de combustible, el costo medio de los contratos mensuales será de 95 centavos por litro. La compañía usará 100 000 litros de combustible en el año y el director estima que la probabilidad de escasez es de 1/10.


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El gerente puede gastar 500 dólares para obtener un pronóstico económico profesional con el fin de saber si el año será normal o de escasez. A continuación se exhiben los datos de los pronósticos anteriores y la ocurrencia real en los últimos 20 años.

1. Elabore un árbol de decisión para este problema. 2. ¿Debe comprarse el pronóstico? 3. ¿Cuál es el costo monetario mínimo esperado?

Real Normal Escasez Total

Normal 15 3 18

Escasez 0 2 2

Total 15 5 20

EJEMPLO 7. Roberto Barrios, jefe del Consejo de Administración de una Empresa electrónica, acaba de enterarse de que un competidor ha presentado dos demandas contra su empresa por violación de patentes. La primera se ventilará en el tribunal superior dentro de tres meses, y la segundan se resolverá al cabo de seis meses. El Sr. Barrios estima que el primer juicio no tardará más de cuatro meses. Las opciones disponibles para la empresa electrónica en ambos casos son llegar a un arreglo en forma privada o bien acudir a los tribunales. La mera preparación para rebatir una u otra demanda le costará Bs. 7 500, pero parte de la preparación legal para el primer juicio se usará en el segundo, de modo que el costo de preparar ambas demandas será de sólo Bs. 12 000. El Sr. Barrios estima que costará Bs. 75 000 llegar a un arreglo en la primera demanda sin ir a los tribunales y Bs. 45 000 hacer lo mismo con la segunda demanda. Desde luego, si la empresa llegara a un arreglo fuera de los tribunales se ahorraría los costos de preparación de los juicios. Si las demandas se llevan a los tribunales y la empresa gana el juicio, no incurrirá en más costos. El Sr. Barrios estima que perder la primera demanda significaría costos adicionales por Bs. 150 000 y perder la segunda demanda costaría aproximadamente Bs. 90 000. Piensa que su empresa tiene una probabilidad de 60% de ganar el primer juicio. Las probabilidades de ganar el segundo juicio depende del desenlace del primero: 40% si llega a un arreglo fuera de los tribunales, 80% si se llega a de los tribunales y 10% si se pierde el juicio. Construya un árbol de decisión para que el Sr. Barrios decida cuál opción seguir. EJEMPLO 8. La Fuerza Aérea comprará un nuevo tipo de avión y debe determinar el número de motores de repuesto que va a ordenar. Estos motores de repuestos se deben ordenar en lotes de 5 y se pueden elegir sólo entre 15, 20 o 25 repuestos. El proveedor de motores tiene dos plantas y la Fuerza aérea debe tomar sus decisiones antes de saber que planta se usará. Por experiencia, la Fuerza aérea sabe que dos tercio de los motores de todos tipos se producen en la planta A y sólo un tercio en la planta B. La Fuerza aérea también sabe que el número de motores de repuestos requeridos cuando se lleva a cabo la producción en la planta A se aproxima por una Distribución Poisson con media θ= 21, mientras que el número de motores de repuestos que se requiere cuando la producción se lleva a cabo en la planta B se aproxima por una Distribución Poisson con media θ= 24. El costo de un motor de repuesto comprado ahora es Bs. 400000, si se compra después será de Bs. 900000. Los repuestos siempre se surten si se piden y las máquinas que no se usen serán chatarra cuando los aviones se vuelvan obsoletos. Los costos de mantener un inventario y del interés pueden despreciarse. A partir de estos datos se calculó el costo total (pagos negativos) de la siguiente forma:

Estado de la naturaleza Alternativas Θ = 21 Θ = 24

Ordenar 15 1.155 x 107 1.414 x 107

Ordenar 20 1.012 x 107 1.207 x 107

Ordenar 25 1.047 x 107 1.135 x 107

1. Determine la acción óptima, si no se dispone la información acerca de la producción de los

repuestos de los motores en las plantas A y B. 2. Cuanto dinero puede pagarse para tener la “información perfecta”. 3. Determine la acción óptima, si se requirieron 30 repuestos y se dispone la información acerca de la

producción de los repuestos de los motores en las plantas A y B.


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teoria de decisiones 2015

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