temas 3 y 4-diseño y análisis de experimentos

8/16/2019 Temas 3 y 4-Diseño y análisis de experimentos

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Temas 3 y 4Diseño y análisis de experimentos

4.1 Algunos Principios Generales

Varios de los múltiples aspectos del diseño experimental pueden ilustrarse por medio de

un ejemplo proveniente del importante tema de las mediciones en ingeniería.

Supóngase que una fundidora de acero surte de lámina de hojalata a tres fabricantes de

latas la especificación principal es que el peso del revestimiento de estaño deberá ser almenos de !."# libras en el fondo del envase de hojalata. $a fundidora % cada uno de los

fabricantes de latas tienen laboratorios donde se reali&an mediciones de los pesos de los

revestimientos de estaño tomando muestras de cada cargamento. Supongamos tambi'n

que han surgido algunos desacuerdos sobre los pesos reales de los revestimientos de

estaño de los cargamentos de lámina % se decide planear un experimento para

determinar si los cuatro laboratorios están reali&ando mediciones consistentes. (n factor

que complica las cosas es que parte del proceso de medidas consiste en eliminar con

productos químicos el estaño de la superficie del metal en la base) de manera que es

imposible tener las mismas mediciones en las muestras de cada laboratorio para

determinar qu' tan aproximadas son las mediciones.

(na posibilidad consiste en enviar varias muestras *con forma de discos circulares de

igual área+ a cada uno de los laboratorios. ,un cuando los discos en realidad pueden no

tener pesos id'nticos del revestimiento de estaño se confía en que tales diferencias sean

mu% pequeñas % que más o menos -alcancen un promedio. /n otras palabras se

supondrá que si bien pueden existir diferencias entre las medias de las cuatro

muestras podrán ser atribuidas sólo a diferencias sistemáticas en las t'cnicas de

medición % a variabilidad aleatoria. /sto abre la posibilidad de averiguar si los

resultados obtenidos en los laboratorios son consistentes comparando la variabilidad de

las medias de las cuatro muestras con una medida apropiada de la variación aleatoria.

Ahora queda el problema de decidir cuántos discos deben enviarse a cada laboratorio y cuántos en realidad deben seleccionarse. Supóngase que se toma la decisión de

enviar una muestra de 0" discos a cada laboratorio.

/l problema de seleccionar los 12 discos requeridos % asignar 0" a cada laboratorio no

es tan simple como podría parecer a primera vista. 3ara empe&ar supóngase que una

lámina de hojalata de las dimensiones apropiadas se selecciona % que los 12 discos se

cortan de ella como se aprecia en la Figura 4.1. $os 0" discos cortados de la tira 0 se

envían al primer laboratorio los 0" obtenidos de la tira " se mandan al segundo

laboratorio etc. Si se descubre que las medias de los pesos de los cuatro revestimientos

subsecuentemente obtenidos varían significativamente 4nos permitiría esto concluir que

las diferencias pueden atribuirse a falta de consistencia en las t'cnicas de medición5

1


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Si bien identificamos % contrarrestamos un posible patrón de variación sistemática no

ha% seguridad de que lo podamos hacer con los otros. 3or ejemplo pueden existir

diferencias sistemáticas en las áreas de los discos causadas por un desgastamiento

progresivo del instrumento de corte o pueden presentarse ra%aduras u otras

imperfecciones en una parte de la lámina lo que podría afectar a las mediciones. /n

consecuencia siempre existe la posibilidad de que las diferencias en las mediasatribuidas a inconsistencias entre los laboratorios sean en realidad causadas por alguna

otra variable incontrolable % el propósito de la aleatori&ación es evitar confundir la

variable sujeta a investigación con otras.

8istribu%endo totalmente al a&ar los 12 discos entre los cuatro laboratorios no tenemos

otra opción que incluir cualquier variación atribuible a causas extrañas bajo la etiqueta

de -variación aleatoria . /sto puede darnos una estimación demasiado grande de la

variación aleatoria lo cual a su ve& puede dificultar detectar diferencias entre las medias

reales de laboratorio. 9on el propósito de evitar esto podríamos qui&ás sólo usar

discos cortados de la misma tira *o de alguna otra región homog'nea+. 3or desgracia

esta clase de experimentación controlada nos presenta nuevas complicaciones. 48e qu'serviría por ejemplo efectuar un experimento que nos permitiera concluir que los

laboratorios son consistentes *o inconsistentes+ si tal conclusión se limita a mediciones

reali&adas a una distancia fija a partir de un extremo de la lámina5 3ara ofrecer un

ejemplo más realista supóngase que un fabricante de artículos de plomería desea

comparar el rendimiento de varias clases de materiales que se usarán en tuberías

subterráneas de agua. Si condiciones como la acide& del suelo la profundidad del tubo %

el contenido de minerales del agua que transportará pudieran mantenerse fijas las

conclusiones sobre qu' material es mejor serian válidas sólo para el conjunto de

condiciones dadas. $o que el fabricante quiere saber es cuál material es mejor en una

amplia variedad de condiciones) el diseñar un experimento adecuado sería aconsejable

*en realidad necesario+ especificar que el tubo de cada material será enterrado a

diferentes profundidades en diversos tipos de suelos % lugares en donde el agua tiene

diferente dure&a.

/ste ejemplo sirve para ilustrar que rara ve& se desean mantener fijos todos o la ma%oría

de los factores extraños a lo largo de un experimento) se consigue así una estimación de

la variación aleatoria que no est' -inflada por variaciones debidas a otras causas. */n

realidad es mu% raro sino imposible ejercer un control tan estricto esto es mantener

fijas todas las variables extrañas+. /n la práctica los experimentos deberán planearse de

tal manera que las fuentes conocidas de variabilidad sean deliberadamente consideradas

sobre un rango tan amplio como sea necesario) más aún deberán variarse en tal formaque su variabilidad pueda eliminarse en la estimación de la variación aleatoria. (na

manera de lograrlo es repetir el experimento en varios bloques en los que fuentes

conocidas de variabilidad *esto es variables extrañas+ se mantienen fijas en cada

bloque pero variando de bloque a bloque.

/n el problema del revestimiento de estaño podríamos explicar así las variaciones a

trav's de la lámina de acero asignando aleatoriamente tres discos de cada tira a cada

uno de los laboratorios como en el siguiente arreglo7

3


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TABLA 1. ,signación aleatoria de tres discos de cada tira a cada uno de los laboratorios

Laboratorio Tira 1 Tira 2 Tira 3 Tira 4

, 2 1 0! ": "1 0; "


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Aedia global o gran media ´ y

/n relación con el esquema experimental de la Figura 4.1

yij (i=1,2,3,4 ; j=1,2,… ,12 ) la j−ésima medición del peso del revestimiento de

estaño del i−ésimo laboratorio ´ yi es la media de las mediciones obtenidas en el

i−ésimo laboratorio % ´ y es la media global *o gran media+ de las 12

observaciones.

3ara probar la hipótesis de que las muestras se obtuvieron dek

poblaciones con

medias iguales haremos varias suposiciones. 9on más precisión supondremos estar

trabajando con poblaciones normales que tienen variancias iguales.

Si μi denota la media de las

i−ésima población % σ 2

indica la variancia

común de las k poblaciones podemos expresar cada observación yij como

μi más el valor de un componente aleatorio) es decir podemos escribir7

yij= μi+εij para i=1,2, . . . , k ; j=1,2, … , n .

8e acuerdo con las suposiciones anteriores los εij son valores de variables

aleatorias independientes distribuidas normalmente con medias cero % la variancia

común σ 2

.

3ara lograr uniformidad en las ecuaciones correspondientes a clases de diseño más

complicados se acostumbra reempla&ar μi por

μ+α i donde μ es la media

de las μi %

α i es el efecto deli−ésimo tratamiento) de ahí que7

∑i=1

k

α i=0 .

9on estos nuevos parámetros podemos escribir la ecuación modelo para el criterio de

clasificación7

y ij= μ+α i+ε ij para i=1,2,. . . , k ; j=1,2,… , n

5


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% la hipótesis nula de que las medias de las k poblaciones son iguales puede

reempla&arse con la hipótesis nula de queα

1=α

2=…=α k =0 . $a hipótesis alterna de

que al menos dos de las medias son distintas equivale a queα i ≠ 0

para algunai

.

3ara probar la hipótesis nula de que las medias de las k poblaciones son iguales

compararemos dos estimaciones de σ 2

*una con base en la variación entre las medias

muestrales % la otra con la variación dentro de las muestras+. 8ado que como se ha

supuesto cada muestra proviene de una población que tiene la variancia σ 2

la

variancia puede estimarse por cualquiera de las variancias muestrales7

si2=∑

j=1

n ( yij−´ yi )2

n−1

% entonces tambi'n por su media7

si2

k =¿∑

i=1

k

∑ j=1

n ( yij−´ y i )2

k (n−1)

σ̂ W 2 =

∑i=1

k

¿

?bs'rvese que cada una de las variancias muestrales s i2

está basada enn−1

grados de libertad * n−1 desviaciones independientes de ´ y i + % entonces σ̂ W

2

está basada en k (n−1) grados de libertad. ,hora bien la variancia de las k

medias muestrales está dada por7

s ´ x2=∑

i=1

k

( ́yi−´ y )2

k −1

% si la hipótesis nula es verdadera esta expresión nos da una estimación de σ 2/n . ,sí

una estimación de σ 2

basada en las diferencias entre las medias muestrales está dada

por7

^σ B

2

=n ∙ s ´ x2

=n∙∑i=1

k ( ´ yi−´ y )2

k −1

6


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% está basada enk −1 grados de libertad.

Si la hipótesis nula es cierta puede demostrarse que σ̂ W 2

% σ̂ B2

son estimaciones

independientes de σ 2

% se sigue de ello que7

F = σ̂ B

2

σ̂ W 2

es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución F con k −1 %

k (n−1) grados de libertad. 9abe esperar que la variancia entre muestras σ̂ B2

exceda a la variancia dentro de las muestras σ̂ W 2

cuando la hipótesis nula es falsa)

por eso la hipótesis nula será rechazada si F

excede a F α donde

F α se

obtuvo de la Tabla 4.1 con k −1 % k (n−1) grados de libertad.

/l argumento anterior ha indicado cómo la prueba de la igualdad de las k medias

puede fundamentarse en la comparación de dos estimaciones de variancias. Aás

notable qui&ás. es el hecho de que las dos estimaciones en cuestión Bexcepto por los

divisores k −1 % n−¿k ¿ 0+C pueden obtenerse -partiendo o anali&ando la variancia

total de las nk observaciones en dos partes. $a variancia muestral de las nk

observaciones está dada por7

s2=∑

i=1

k

∑ j=1

n ( y ij−´ y )2

nk −1

D con respecto a su numerador llamado suma de cuadrados total probaremos ahora elsiguiente teorema.

Teorema 4.1 Identidad para el análisis con un criterio de clasificación.

∑i=1

k

∑ j=1

ni

( y ij− ́y )2

⏟

SST

=∑i=1

k

∑ j=1

ni

( y ij− ́y i)2

⏟

SSE

+n∙∑i=1

k

( ´ y i−´ y )2

⏟

SS(Tr)

$a demostración de este teorema se basa en la identidad7

7


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se hicieron en la agricultura dondek

poblaciones representaban distintos

tratamientos tales como fertili&antes aplicados a parcelas agrícolas+. ?bs'rvese que

con esta notación la ra&ón F puede escribirse así7

azón F

para tratamientos7

F = σ̂ B

2

σ̂ W 2 =

SS (Tr)/(k −1)SSE /k (n−1)

$as sumas requeridas para calcular esta última fórmula suelen obtenerse por medio de

las siguientes expresiones que ahorran bastante trabajo. /n primer t'rmino calculamos

!!T % !!%Tr& por medio de las fórmulas7

!uma de cuadrados en muestras de i"ual tama#o$

SST =∑i=1

k

∑ j=1

ni

yij2−C

SS (Tr )=1

n∑i=1

k

T i2

−C

8onde 9 denominado t'rmino de corrección está dado por7

C =T

2

kn

/n estas expresiones

T i es el número total de

n

observaciones en la

i−ésima

muestra mientras que T es el gran total de las kn observaciones. $a suma de

cuadrados del error SS/ se obtiene entonces por sustracción) de acuerdo con el

Teorema 4.1 podemos escribir

!uma de cuadrados del error 7

SSE=SST −SS (Tr)

9


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$os resultados obtenidos al anali&ar la suma total de cuadrados %!!T& en sus

componentes son resumidos de manera conveniente por medio de la siguiente tabla de

análisis de variancia7

%uente de

variación

&rados de

libertad

!uma de

cuadrados 'edia cuadrada %

Eratamientos k −1 SS (Tr) MS (Tr )=SS (Tr)/(k −1)

MS(Tr ) MSE

/rror k (n−1) SSE MSE=SSE /k (n−1)

Eotal nk −1 SST

6ótese que cada cuadrado medio %'!+ *media cuadrada+ se obtuvo dividiendo la suma

de cuadrados correspondiente entre su número de grados de libertad.

EJEMPLO

, fin de ilustrar el an(lisis de variancia *nombre que apropiadamente se da a esta

t'cnica+ para un criterio de clasificación supongamos que según el esquema de la

Figura 4.1 cada laboratorio mide los pesos de los revestimientos de estaño de 0"

discos % que los resultados son los siguientes7

Laboratorio A Laboratorio B Laboratorio C Laboratorio D

!."# !.02 !.0; !.":

!."= !."2 !."# !.:!

!."" !."0 !."= !."2

!.:! !.": !."1 !."2

!."= !."# !.02 !."1

!."2 !."! !."< !.:1

!.:" !."= !."2 !."!

!."1 !.0; !."1 !.02

!.:0 !."1 !."# !."1

!."< !."" !."! !."2

!."0 !."; !."0 !.""

!."2 !.0< !.0; !."0

Totales :."0 ".=" ".=< :.!!

Gran total 00.


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Solución:

$os totales para las cuatro muestras son respectivamente :."0 ".=" ".=< % :.!! el

gran total es 00.


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/rror

k (n−1)

@ 1*0"−0+

@ 11

SSE

@ !.!

corresponde al valor de F

0.05 con : % 11 grados de libertad la hipótesis nula no

puede recha&arse con un nivel de significancia de !.!#) concluimos que los laboratorios

están logrando resultados consistentes.

3ara estimar los parámetros μ , α

1, α

2, α

3 %α

4 o * μ

1, μ

2, μ

3 % μ

4 +

podemos emplear el m'todo de mínimos cuadrados minimi&ando

13


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∑i=1

k

∑ j=1

n

( y ij− μ−α i )2

con respecto a μ % a lasα i sujetas a la restricción de que

∑i=1

k

α i=0 .

/sto puede reali&arse eliminando una de lasα

o mejor aún utili&ando el m'todo de

los multiplicadores de $agrange. /n cualquier caso obtenemos las estimaciones

-intuitivamente obvias7

^ μ=´ y

%α̂ i=´ y i−´ y

para i=1,2,… , k % las estimaciones correspondientes para las μi dadas por

^ μi=´ yi .

EJEMPLO

/stima los parámetros del modelo con un criterio de clasificación para los pesos de los

revestimientos de estaño del ejemplo anterior.

Solución:

3ara los datos de los cuatro laboratorios obtenemos7

^ μ=´ y=11.69

48=0.244,

α̂ A=´ y A−´ y=3.21

12−0.244=0.0235,

α̂ B= ́yB−´ y=2.72

12−0.244=−0.0173,

α̂ C =´ yC −´ y=2.76

12−0.244=−0.014,

14


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α̂ =´ y −´ y=3.00

12−0.244=0.006 .

α i=α A+¿α B+α C +α =0.024−0.017−0.014+0.006=−0.001≅0

∑i= A

k =

¿

/l análisis de variancia descrito en esta sección se aplica a criterios de clasificación en

que cada muestra tiene el mismo número de observaciones. /n caso contrario % si los

tamaños muestrales son7n1

, n2

, … , nk sólo tenemos que sustituir7

! =∑i=1

k

ni

por nk en todo lo anterior % escribir las expresiones para calcular SST %

SS (Tr) en la forma7

!uma de cuadrados para muestras de tama#os distintos

SST =∑i=1

k

∑ j=1

ni

y ij2−C,SS (Tr )=∑

i=1

k T i2

ni−C

/n lo demás el procedimiento es el mismo que antes.

EJEMPLO

9omo parte de la investigación del derrumbe del techo de un edificio un laboratorio

prueba todos los pernos disponibles que conectaban la estructura de acero en tres

distintas posiciones del techo. $as fuer&as requeridas para -cortar cada uno de los

pernos *valores codificados+ son las siguientes7

Posición 1 ;! 2" =; ;2 2: ;0

Posición ! 0!# 2; ;: 0!1 2; ;# 2<

Posición " 2: 2; 2! ;1

15


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/fectúa el análisis de variancia para probar con un nivel de significancia de !.!# si las

diferencias entre las medias muestrales en las tres posiciones son significativas.

Solución:

(tili&ando las etapas para pruebas de hipótesis obtenemos7

0. Hipótesis nula7 μ

1= μ

2= μ

3 .

Hipótesis alterna7 las μ no son iguales.

". 6ivel de significancia7 α =0.05 .

:. Criterio7 Se recha&a la hipótesis nula si F >3.74 el valor de F 0.05 para7

k −1=3−1=2 %

! −k =17−3=14 grados de libertad

donde F es determinado por un análisis de variancia) de lo contrario lo

aceptamos. 3ara ello hacemos uso de la Tabla 4.1 * p#$ina %&+.

1. C#lculos7

Posición 1 Posición ! Posición "

;! 0!# 2:

2" 2; 2;

=; ;: 2!;2 0!1 ;1

2: 2;

;0 ;#

2<

T 1=523 T

2=661 T

3=346

T =∑i=1

3

T i=T 1+T 2+T 3=523+661+346=1,530

n1=6 n2=7 n3=4

! =∑i=1

k =3

ni=n1+n2+n3=6+7+4=17

16


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y2 j

2 +¿∑ j=1

4

y3 j

2

y1 j

2 +¿∑ j=1

7

¿

∑ j=1

ni

yij2=¿∑

j=1

6

¿

∑i=1

k =3

¿

¿ ( y112 + y

12

2 + y13

2 + y14

2 + y15

2 + y16

2 )

+( y212 + y

22

2 + y23

2 + y24

2 + y25

2 + y26

2 + y27

2 )

+( y312 + y

32

2 + y33

2 + y44

2 )

(tili&ando /xcel7

Posición 1 y1 j

2,

j=1,…, 6 Posición !

y2 j2

,

j=1,… , 7 Posición "

y3 j2

,

j=1,… , 4

;! 20!! 0!# 00!"# 2:

;0 2"20 ;# ;!"#

2< =:;<

S(A,7 1#2:;


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∑ j=1

ni

y ij2−C =138,638−¿137,700=938

SST =∑i=1

k

¿

SS (Tr )=∑i=1

k T i2

ni−C =[ T 1

2

n1

+T

2

2

n2

+T

3

2

n3 ]−C =[ 52326 + 661

2

7+346

2

4 ]−137,700

¿ [45,588+62,417+29,929 ]−137,700=137,934−137,700=234.

% tambi'n

SSE=SST −SS (Tr )=938−234=704.

/l resto del trabajo se advierte en la siguiente tabla de análisis de variancia.

'uente de

variación

Grados de

libertad

(u)a de

cuadrados Media cuadrada '

Eratamientos

k −1

@ : F 0@ "

SS (Tr )

@ ":1

MS (Tr )=SS (Tr)k −1

¿ 234

3−1=117

MS (Tr ) MSE

¿ 117

50.3

¿2.33

/rror

! −k

¿17−3

¿14

SSE

@ =!1

MSE= SSE

! −k

¿ 704

17−3=50.3

Eotal

! −1

¿17−1

¿16

SST

@ ;:2

#. Decisión7 8ado que G @ ".:: no sobrepasa :.=1 o sea el valor de

F 0.05

para " %01 grados de libertad la hipótesis nula no puede recha&arse) en otras palabras no

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podemos concluir que existe una diferencia en las resistencias medias a los

esfuer&os desli&antes de los pernos en las tres posiciones sobre el techo.

4.3 Diseños en lo!ues Aleatorios

9omo observamos en la sección 4.1 la estimación de la variación aleatoria *el error experimental+ a menudo puede reducirse esto es liberarse de la variabilidad debida a

causas extrañas dividiendo las observaciones de cada clasificación en bloques. /sto se

logra cuando fuentes conocidas de variabilidad *es decir variables extrañas+ se

mantienen fijas dentro de cada bloque pero varían de bloque en bloque.

/n la presente sección supondremos que el experimentador tiene a su disposición

mediciones relativas aa

tratamientos distribuidos sobre " bloques. /n primer

t'rmino consideraremos el caso en que ha% exactamente una observación de cada

tratamiento en cada bloque) en relación con la Tabla 1 de la página 1 este caso

aparecería si cada laboratorio probara un disco de cada tira. 9onveniendo en que yij

denote la observación relativa el i*+si)o tratamiento % al ,*+si)o bloque´ y i la media

de las " observaciones para el i*+si)o tratamiento´ y j la media de las a

observaciones en el ,*+si)o bloque %´ y .. la gran media de las " observaciones

empleamos el siguiente esquema en esta clase de clasificación con dos criterios7

B#o$%&s

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puede recha&arse. /n cualquier caso la hipótesis alterna establece que al menos uno de

los efectos no es cero.

9omo en el análisis de variancia con un criterio de clasificación fundamentaremos esta

prueba de significancia mediante comparaciones de σ 2

*una basada en la variación

entre tratamientos otra basada en la variación entre bloques % la última que mide el

error experimental+. 6ótese que sólo el último es una estimación de σ 2

cuando

cualquiera *o ambas+ de las hipótesis nulas no son válidas. $as sumas de cuadrados

requeridas son dadas por las tres componentes en que la suma de cuadrados total se

divide por medio del siguiente teorema7

Teorema 4. Identidad para el análisis de una clasificación con dos criterios

∑ j=1"

( y ij−´ y i .−´ y . j+ ´ y .. )2+"∑i=1a

( ´ yi .− ́y ..)2+¿a∑i=1"

( ´ y . j−´ y .. )2

∑ j=1

"

( y ij−´ y .. )2=¿∑

i=1

a

¿

∑i=1

a

¿

/l lado i&quierdo de esta identidad representa la suma de cuadrados totalSST

% los

t'rminos del lado derecho son respectivamente la suma de cuadrados del error SSE

la suma de cuadrados entre tratamientos SS (Tr ) % la suma de cuadrados en bloque

SS (B#) . 3ara probar este teorema empleamos la identidad7

yij−´ y ..=( yij−´ y i .−´ y . j+ ́y ..)+ ( ´ yi .−´ y .. )+( ́y . j−´ y .. )

% seguimos en esencia el mismo argumento de la demostración del Teorema 4.1.

/n la práctica calculamos las sumas necesarias por medio de fórmulas que ahorran

trabajo en lugar de usar las expresiones que definen estas sumas de cuadrados en el

Teorema 4.2. Inicialmente calcularemos SST ,SS (Tr) % SS (B#) por medio de las

fórmulas7

21


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!umas de cuadrados para el análisis de variancia de una clasificación con dos

criterios

SST =∑i=1

a

∑ j=1

"

yij2−C

SS (Tr )=1

"∑i=1

a

T i .2−C

SS (B# )=1a∑ j=1

"

T . j2 −C

donde C es el t+r)ino de corrección dado por

C =T ..

2

a"

/n estas fórmulasT i . es la suma de las " observaciones para el i*+si)o

tratamientoT . j es la suma de las

a observaciones en el ,*+si)o bloque %

T ..

es el gran total de todas las observaciones. 6otemos que los divisores de SS (Tr) % de

SS (B#) son el número de observaciones en los totales respectivos T i . % T . j .

$a suma de cuadrados del error se obtiene entonces por sustracción) de acuerdo con el

Teorema 4.2 podemos escribir7

!uma de cuadrados del error

SSE=SST −SS (Tr )−SS (B#)

/mpleando estas sumas de cuadrados podemos recha&ar la hipótesis nula de que lasα i son todas iguales a cero con un nivel de significación

α si la7

azón % para tratamientos

F Tr= MS (Tr )

MSE =

SS (Tr )/(a−1)SSE /(a−1)("−1)

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excede F α con a−1 % (a−1 ) ("−1 ) grados de libertad. $a hipótesis nula de

que todas las ) j son iguales a cero puede recha&arse con un nivel de significancia

α si7

azón % para bloques

F B#= MS (B#)

MSE =

SS(B#)/(a−1)SSE /(a−1)("−1)

excede F α con a−1 % (a−1) ("−1 ) grados de libertad. 6ótese que las

medias de los cuadrados MS (Tr ) , MS(B# ) % MSE se definen otra ve& como

las correspondientes sumas de cuadrados divididas entre sus grados de libertad.

$os resultados de este análisis se resumen en la siguiente tabla de análisis de variancia7

'uente de

variación

Grados de

libertad

(u)a de

cuadradosCuadrado )edio '

Eratamientos a−1 SS (Tr ) MS (Tr )=

SS(Tr )(a−1)

F Tr= MS(Tr )

MSE

>loques "−1 SS (B#) MS ( B# )=SS (B# )

("−1) F B#= MS(B#)

MSE

/rror (a−1)("−1) SSE MSE= SSE

(a−1)("−1)

Eotal a"−1 SST

EJEMPLO

Se diseñó un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes diferentes.$as siguientes lecturas de -blancura se obtuvieron con un equipo especialmente

diseñado para 0" cargas de lavado distribuidas en tres modelos de lavadoras7

Lavadora 1 Lavadora ! Lavadora " Totales

Deter$ente A 1# 1: #0 0:;

Deter$ente B 1= 1< #" 01#

Deter$ente C 12 #! ## 0#:

23


24/112

Deter$ente D 1" := 1; 0"2

Totales 02" 0=< "!= #10.90, el valor de

F 0.01 para "−1=3−1=2 % (a−1 ) ("−1 )=(4−1 ) (3−1 )=6 grados de

libertad.

1. C#lculos7 sustitu%endo7

a=4,"=3,T 1.=139,T 2.=145,T 3.=153,T 4.=128,T .1=182,T .2=176,T .3=207,T ..=565.

Se debe calcular7

¿(¿¿ y Aj

2 + yBj2 + yCj

2 + y j2 )

yij2=∑

j=1

"

¿

∑ j=1

"

¿

∑i=1

a

¿

y A12 + y A2

2 + y A32 +¿

¿¿¿

+( yC 12 + yC 2

2 + yC 32 )+( y 1

2 + y 22 + y 3

2 )

24


25/112

¿ (452+432+512 )+(472+462+522 )

+(482+502+552 ) +(422+372+492 )

¿ (2,025+1,849+2,601 )+(2,209+2,116+2,704)

+(2,304+2,500+3,025 )+ (1,764+1,369+2,401 )

¿6,475+7,029+7,829+5,534=26,867.

C =T ..

2

a"= (565 )2

(3)(4 )=26,602

SST =∑i=1

a

∑ j=1

"

yij2−C =26,867−26,602=265

SS (Tr )=1"∑i=1

a

T i .2−C =

1

3(1392+1452+1532+1282)−26,602

¿26,713−26,602=111.

SS (B# )=1a∑ j=1

"

T . j2 −C =

1

4(1822+1762+2072 )=26,737−26,602=135

SSE=SST −SS (Tr )−SS ( B# )=265−111−135=19

8espu's dividimos las sumas de cuadrados entre sus respectivos grados de libertad para

obtener las sumas de cuadrados adecuadas los resultados finales se indican en la

siguiente tabla de análisis de varian&a7

'uente de

variaciónGrados de libertad

(u)a de

cuadradosCuadrado )edio '

Eratamientos7

Deter$entes

a−1=¿

¿4−1=3

SS (Tr )=1 MS (Tr )=

SS (Tr )(a−1 )

F Tr= MS (Tr )

MSE

25


26/112

¿ 111

(4−1)=37 ¿

37

3.2=11.6

>loques7

Lavadoras7

"−1

¿3−1=2SS (B# )=1

MS ( B# )= SS ( B# )("−1 )

¿ 135

(3−1)=67.5

F B#= MS ( B#)

MSE

¿67.5

3.2=21.1

/rror

(a−1 ) ("−1 )

¿ (4−1 ) (3−1 )=

SSE=19

MSE= SSE

( a−1 ) ("−1 )

¿ 19

(4−1)(3−1)=3.2

Eotal a"−1=(3) (4 )−1 SST =26

Decisiones7 8ado que F Tr=11.6 sobrepasa a ;.=2 el valor de F 0.01 con : % <

grados de libertad concluimos que existen diferencias en la eficacia de los cuatro

detergentes. Eambi'n puesto que

F B#=21.1 excede a 0!.; el valor de

F 0.01

con "% < grados de libertad concluimos que las diferencias entre los resultados obtenidos por

las tres lavadoras son significativos es decir que la división en bloques fue efica&. 9on

el fin de hacer resaltar aún más el efecto de estos bloques.

/l efecto del i−ésimo detergente puede estimarse por medio de la fórmula7

α̂ i=´ yi .− ́y ..

α̂ 1=´ y1.−´ y ..=

139

3

−565

12

=46.3−47.1=−0.08,

α̂ 2=´ y2.− ́y..=

145

3−

565

12=48.3−47.1=1.2,

α̂ 3=´ y3.− ́y..=

153

3−

565

12=51.0−47.1=3.9,

^α 4=´ y 4.−´ y ..=

128

3 −565

12 =42.7−47.1=−4.4 .

26


27/112

9álculos similares nos llevan a que7

^ ) i=´ y .i− ́y ..

^ )1=´ y

.1− ́y

..=

182

4−

565

12=45.5−47.1=−1.6,

^ )2=´ y

.2− ́y

..=

176

4−

565

12=44−47.1=−3.1,

^ )3=´ y .3− ́y ..=

207

4−

565

12=51.75−47.1=4.65 .

para los efectos estimados de las lavadoras.

8ebería observarse que la clasificación con dos criterios de manera automática nos

permite repetir las condiciones experimentales) por ejemplo en el experimento anterior

cada detergente fue probado tres veces. (n número ma%or de repeticiones pueden

manejarse en varias formas % debemos tener presente que el modelo debe describir de

manera aproximada la situación considerada. (na forma de considerar más repeticiones

en la clasificación con dos criterios es incluir un número ma%or de bloques *por

ejemplo probar cada detergente usando más lavadoras aleatori&ando el orden de prueba

de cada máquina+. ?bs'rvese que el modelo en esencia es el mismo que antes) la únicadiferencia es que se ha aumentado " % un correspondiente incremento en los grados

de libertad de los bloques % del error. /ste último detalle es importante debido a que un

incremento en los grados de libertad del error hace que la prueba de la hipótesis nulaα i=0 para cada i sea )#s sensible a pequeñas diferencias entre las medias de los

tratamientos. /n realidad el objetivo real de esta clase de repetición es aumentar los

grados de libertad del error % por ende incrementar la sensibilidad de las pruebas F .

(n segundo m'todo consiste en repetir el experimento por completo empleando un

nuevo patrón de aleatori&ación para obtener a ∙ " nuevas observaciones. /sto es

posible sólo si los bloques son identificables esto es si las condiciones que definen a

cada bloque pueden repetirse. 3or ejemplo en el experimento descrito en la sección 4.1

en que se pesaba el recubrimiento de estaño los bloques son tiras transversales a la

dirección en que una lámina de hojalata se despla&a hacia los rodillos) % dada una nueva

lámina es posible reconocer que se trata de la tira 0 de la tira " etc. /n el ejemplo de

esta sección este tipo de repetición *denominado por lo general duplicación+ requeriría

que la operación de las lavadoras sea exactamente duplicada. /ste tipo de repetición

será usado en relación con los diseños de cuadros latinos de la sección 4..

27


28/112

(n tercer m'todo de repetición es incluirn

observaciones para cada tratamiento en

cada bloque. 9uando se diseña un experimento en esta forma las n observaciones en

cada -celda se consideran como duplicados % se espera que su variabilidad sea algo

menor que el error experimental. 3ara ilustrar este punto supongamos que los pesos de

los recubrimientos de estaño de los tres discos de posiciones ad%acentes en una tira semiden sucesivamente en uno de los laboratorios empleando las mismas soluciones

químicas. $a variabilidad de estas mediciones probablemente sea considerada menor

que la de tres discos de la misma tira medidos en esos laboratorios en distintas

ocasiones usando diferentes soluciones químicas % qui&ás distintos laboratoristas. /l

análisis de variancia adecuado para este tipo de repetición se reduce en esencia a un

análisis de variancia con dos criterios aplicado a las medias de losn

duplicados en

las a ∙ " celdas) así no habra $anancia en los $rados de libertad del error % en

consecuencia ninguna ganancia en la sensibilidad de las pruebas G. 3uede esperarse sin

embargo que halla alguna reducción en el error de la media cuadrada dado que ahoramide la variancia residual de las medias de varias observaciones.

4.4 Comparaciones "#ltiples

$as pruebas F

utili&adas hasta ahora en este capítulo han indicado si las diferencias

entre varias medias son significativas pero no nos informaron si una media dada *o

grupo de medias+ difieren en forma significativa de otra media considerada *o grupo de

medias+. /n la práctica esto último es la clase de información que un investigador en

realidad desea) por ejemplo habiendo determinado las medias de los pesos de losrecubrimientos de estaño obtenidos por los cuatro laboratoristas difieren de manera

significativa puede ser importante determinar qu' laboratorio *o laboratoristas+ difieren

de los otros.

Si un experimentador tiene ante sí k medias parece ra&onable en primer t'rmino

probar diferencias significativas entre todos los pares posibles esto es efectuar

(k 2)=k (k −1)

2

pruebas(

bimuestrales. ,parte de que esto requeriría un gran número de pruebas aun

cuando k sea relativamente pequeño estas pruebas no serían independientes % sería

casi imposible asignar un nivel de significancia global a este procedimiento.

Se han propuesto varias pruebas de comparaciones m/ltiples para salvar estas

dificultades entre ellas la prueba del rango m/ltiple de 0uncan. $as suposiciones

básicas de las pruebas del rango múltiple de 8uncan son en esencia las del análisis de

variancia en una dimensión para tamaños muestrales iguales. $a prueba compara el

28


29/112

rango de cualquier conjunto de *

medias con un apropiado rango de mnima

significancia + * dado por7

an"o de m/nima si"nificancia

+ *=s´ x ∙ r *

,quís ´ x es una estimación de σ ́ x=σ /√ n % puede calcularse mediante la fórmula7

-rror estándar de la media

s ´ x=√ MSEndonde AS/ es la media de los cuadrados del error en el análisis de variancia. /l valor

der * depende del nivel deseado de significancia % del número de grados de libertad

correspondientes a la AS/ que se obtienen de Tablas 4.2 %a& % %b& para α =0.05 %

α =0.01 para *=2,3, … , 10 % para varios grados de libertad entre 0 % 0"!.

EJEMPLO

9on respecto a los datos de los pesos de los recubrimientos de estaño de la sección %.!

p#$ina 2 se aplica una prueba de rango múltiple de 8uncan para probar cuáles medias

de los laboratorios difieren de las otras empleando un nivel de significancia de !.!#.

Solución:

´ y A=3.21

12=0.268, ´ yB=

2.72

12=0.227, ´ yC =

2.76

12=0.230, ´ y =

3.00

12=0.250

/n primer t'rmino ordenamos en un orden creciente de magnitud las cuatro medias

muestrales como sigue7

$aboratorio > 9 8 ,

Aedia !.""= !.":! !."#! !."


30/112

s ´ x=√ MSEn =√ 0.001512 =0.011./ntonces obtenemos *por interpolación lineal+ de la Tabla 4.2%a& los siguientes valores

de r * para α =0.05 % k (n−1 )=4 (12−1 )=44 grados de libertad7

ara *=2, r *=2.85 .

60−4044−40

=2.83−2.86

x−2.86

x=2.86+(−0.03)(4 )

20=2.86−0.006=2.854

ara *=3, r *=3.004 .

60−4044−40

=2.98−3.01

x−3.01

x=3.01+(−0.03)(4)

20=3.01−0.006=3.004

ara *=4, r *=3.004 .

30


31/112

60−4044−40

=3.07−3.10

x−3.10

x=3.10+(−0.03)(4 )

20=3.10−0.006=3.094

* " : 1

r * ".2#1 :.!!1 :.!;1

Aultiplicando cada valor der * por

s ´ x=0.011 obtenemos finalmente7

* " : 1

r * ".2#1 :.!!1 :.!;1

r * ∙ s´ x !.!:0 !.!:: !.!:1

/l ran$o de las cuatro )edias es !."


32/112

9oncluimos así en nuestro ejemplo que el laboratorio , obtiene pesos medios del

recubrimiento de estaño más altos que los laboratorios > % 9.

4.$ Algunos otros diseños experimentales

/l diseño en bloques aleatorios de la !ección 4.4 es adecuado cuando una fuente de

variabilidad extraña se elimina comparando un conjunto de medias muestrales. (na

característica importante de este tipo de diseño es su balance que se logra asignando el

mismo número de observaciones a cada tratamiento de cada bloque.

$a misma clase de balance puede lograrse en otros tipos de diseño más complicados en

los cuales es conveniente eliminar el efecto de varias fuentes extrañas de variabilidad.

/n esta sección explicaremos otros dos diseños balanceados7 el dise,o de cuadros

latinos % el dise,o de cuadros grecolatinos -ue se usar(n para eliminar los efectos

de dos tres fuentes e5tra,as de variabilidad respectivamente.

Cuadro latino

9on el fin de presentar el dise,o de cuadro latino supongamos que es necesario

comparar tres tratamientos , > % 9 en presencia de otras dos fuentes de variabilidad.

3or ejemplo los tres tratamientos pueden ser tres m'todos de soldadura para

conductores el'ctricos % las dos fuentes extrañas de variabilidad pueden ser *0+

diferentes operadores aplicando la soldadura % *"+ la utili&ación de diversos fundentes

para soldar. Si tres operadores % tres fundentes son considerados el experimento podríadisponerse según el patrón siguiente7

'undente 1 'undente ! 'undente "

4perador 1 , > 9

4perador ! 9 , >

4perador " > 9 ,

,quí cada m'todo de soldadura se aplica una sola ve& por cada operador junto con cadafundente % si existiesen efectos sistemáticos debidos a diferencias entre los operadores

o entre los fundentes dichos efectos estarían presentes de igual manera en cada

tratamiento esto es en cada m'todo de soldadura.

(n arreglo experimental como el que se describió se denomina cuadro latino. (n

cuadro latino n n es un arreglo cuadrado de n letras distintas las cuales

aparecen sólo una ve& en cada renglón % en cada columna. /jemplos de cuadros latinos

conn=4 % n=5 aparecen en la Figura 4.3. 6ótese que en un experimento de

cuadro latino que requieran

tratamientos es necesario incluirn2

observaciones n por cada tratamiento.

32


33/112

(n experimento de cuadro latino sin repetición da sólo (n−1)(n−2) grados de

libertad para estimar el error experimental. ,sí tales experimentos son efectuados en

contadas ocasiones sin repetición cuando n es pequeña esto es sin repetir el patrón

completo de cuadro latino varias veces. Si existe un total de r repeticiones el

análisis de los datos presupone el siguiente modelo donde y

ij( k ) # es la observación en

el i−ésimo renglón en la j−ésima columna de la #−ésima repetición % el

subindicek

entre par'ntesis indica que corresponde alk −ésimo tratamiento7

-cuación del modelo para cuadro latino

yij

(k

)#

= μ+α i+ ) j+- k + #+ϵ ij

(k

)#

parai , j , k =1,2,… , n % #=1,2, … , r , sujeta a las restricciones de que7

∑i=1

n

α i=0,∑ j=1

n

) j=0,∑k =1

n

- k =0, y∑#=1

r

#=0,

,quí μ es la gran mediaα i es el efecto del i−ésimo r'nglon ) j es el

efecto de la j−ésima columna - k es el efecto del k −ésimo tratamiento #

es el efecto de la #−ésima repetición % losϵ

ij ( k ) # son valores de variables

aleatorias independientes normalmente distribuidas con medias cero % la variancia

común σ 2

. ?bs'rvese que por -los efectos de los renglones % -los efectos de las

columnas entenderemos los efectos de las dos variables extrañas % que estamos

inclu%endo los efectos de repetición pues como veremos la repetición puede introducir

una tercera variable extraña. 6ótese tambi'n que el subíndicek

está entre par'ntesis

en y

ij( k ) # debido a que para un diseno de cuadro latino dado k es

automáticamente determinado cuando i % j se conocen.

4 4 , > 9 8 /

, > 9 8 > , / 9 8

> 9 8 , 9 8 , / >

9 8 , > 8 / > , 9

33


34/112

8 , > 9 / 9 8 > ,

Figura 4.3. 9uadros latinos.

$a hipótesis principal que desearemos probar es la hipótesis nula- k =0 para toda

k es decir la hipótesis nula de que no existe diferencia en la eficacia de los n

tratamientos. Sin embargo podemos probar tambi'n si el -bloqueo cru&ado del diseño

en cuadro latino ha sido efica&) esto es podemos probar las dos hipótesis nulasα i=0 para toda i % ) j=0 para toda j *contra las alternativas adecuadas+ con el

fin de comprobar si las dos variables extrañas en realidad tienen algún efecto sobre el

fenómeno que se está considerando. Aás aún podemos probar la hipótesis nula #=0 para toda # contra la alternativa de que no todas las # son iguales a cero

% esta prueba de los efectos de las repeticiones puede ser importante si las partes del

experimento que representan los cuadros latinos individuales fueron reali&adas en

distintos días por varios t'cnicos a diferentes temperaturas etc.

$as sumas de cuadrados requeridas para efectuar estas pruebas suelen obtenerse por

medio de las siguientes fórmulas abreviadas dondeT i .. es el total de las

r ∙n

observaciones en todos los i−ésimos renglones T . j . es el total de las r ∙n

observaciones en todas las j−ésimas columnas T .. # es el total de las n2

observaciones en la#−ésima repetición

T (k ) es el total de todas r ∙n

observaciones relativas al k −ésimo tratamiento % T … es el gran total de todas las

r ∙n2

observaciones7

!uma de cuadrados 0 cuadro latino

C =¿ ( T … )

2

r ∙n2

SS (Tr )=¿ 1r ∙ n

∑k =1

n

T (k )2 −C

SS+=¿ 1r ∙ n

∑i=1

n

T i ..2 −C *para renglones+

SSC =¿ 1

r ∙ n∑ j=1

n

T . j .2 −C *para columnas+

34


35/112

SS ( +&*)=¿ 1

n2∑

i=1

r

T ..#

2 −C *para repeticiones+

SST =¿ ∑i=1

n

∑ j=1

n

∑#=1

r

yij (k ) #2

−C

SSE=¿ SST −SS (Tr )−SS+−SSC −SS( +&*)

?bs'rvese de nuevo que cada divisor es igual al número de observaciones en los

correspondientes totales cuadrados. 3or último los resultados del análisis son los que

aparecen en la siguiente tabla de análisis de variancia7

'uente de

variación Grados de libertad

(u)a de

cuadrado s

Cuadrado )edio '

Eratamiento

sn−1 SS (Tr ) MS (Tr )=

SS(Tr)n−1

F Tr= MS(Tr )

MSE

Jenglón n−1 SS+ MS+=

SS+

n−1 F +=

MS+

MSE

9olumna n−1 SSC MSC =

SSC

n−1 F C =

MSC

MSE

Jepeticiones r−1 SS ( +&* MS ( +&* )=

SS( +&*)r−1

F +&*= MS ( +&

MSE

/rror (n−1)(rn+r−3) SSE MSE=

SSE

(n−1)(rn+r−3)

Eotal r n2−1 SST

9omo antes los $rados de libertad para la su)a de cuadrados total es igual a la su)ade los $rados de libertad de los co)ponentes individuales7

(n−1 )+ (n−1 )+(n−1 )+(r−1)+(n−1 ) (rn+r−3)

¿3n+r−4+r n2+rn−3n−rn−r+3=r n2−1.

,sí en definitiva los grados de libertad del error se encuentran por sustracción.

EJEMPLO. Supón que se efectúan dos repeticiones del %a mencionado experimentode soldadura empleando el siguiente arreglo7

35


36/112

5epetición 6

fundente

5epetición 66

fundente

0 " : 0 " :

4perador 1 , > 9 9 > ,

4perador ! 9 , > , 9 >

4perador " > 9 , > , 9

$os resultados que señalan el número de Kilogramos de fuer&a de tensión requerida

para reparar los puntos soldados fueron como se indica a continuación7

5epetición 6

fundente

5epetición 66

fundente0 " : 0 " :

4perador 1 01.! 0


37/112

(n−1 ) (rn+r−3)=(3−1 ) (2∙3+2−3 )=10 grados de libertad. 3ara repeticiones se

recha&a la hipótesis nula si F >10.0 el valor de F 0.01 para r−1=2−1=1

% 0! grados de libertad.

1. C#lculos7 Se tiene que n=3,r=2.

arai=1:

T 1. .=∑

j=1

n=3

∑#=1

r=2

y1 j#=∑

#=1

r=2

y11#+∑

#=1

r=2

y12 #+∑

#=1

r=2

y13#

¿ y111+ y

112+ y

121+ y

122+ y

131+ y

132

¿14.0+10.0+16.5+16.5+11.0+13.0=81.0

arai=2 :

∑#=1

r=2

y2 j#=∑

#=1

r=2

y21#+¿∑

#=1

r=2

y22 #+∑

#=1

r=2

y23#

T 2. .=∑

j=1

n=3

¿

¿ y211+ y

212+ y

221+ y

222+ y

231+ y

232

¿9.5+12.0+17.0+12.0+15.0+14.0=79.5

ara i=3 :

∑#=1

r=2

y3 j#=∑

#=1

r=2

y31#+¿∑

#=1

r=2

y32 #+∑

#=1

r=2

y33#

T 3. .=∑

j=1

n=3

¿

¿ y311+ y

312+ y

321+ y

322+ y

331+ y

332

¿11.0+13.5+12.0+18.0+13.5+11.5=79.5

ara j=1:

37


38/112

T .1 .=∑

i=1

n=3

∑#=1

r=2

y i1 #=∑#=1

r=2

y11#+∑

#=1

r=2

y21 #+∑

#=1

r=2

y31#

¿ y111+ y

112+ y

211+ y

212+ y

311+ y

312

¿14.0+10.0+9.5+12.0+11.0+13.5=70.0

ara j=2:

T .2 .=∑

i=1

n=3

∑#=1

r=2

y i2 #=∑#=1

r=2

y12#+∑

#=1

r=2

y22 #+∑

#=1

r=2

y32#

¿ y121+ y

122+ y

221+ y

222+ y

321+ y

322

¿16.5+16.5+17.0+12.0+12.0+18.0=92.0

ara j=3:

T .3 .=∑

i=1

n=3

∑#=1

r=2

y i 3#=∑#=1

r=2

y13 #+∑

#=1

r=2

y23#+∑

#=1

r=2

y33 #

¿ y 131+ y132+ y231+ y232+ y331+ y332

¿11.0+13.0+15.0+14.0+13.5+11.5=78.0

ara #=1 :

∑ j=1

n=3

yij 1=¿∑ j=1

n=3

y1 j1+∑

j=1

n=3

y2 j1+∑

j=1

n=3

y3 j 1

T ..1=∑

i=1

n=3

¿

¿ y

111+ y

121+ y

131+ y

211+ y

221+ y

231+ y

311+ y

321+ y

331

¿14.0+16.5+11.0+9.5+17.0+15.0+11.0+12.0+13.5=119.5

ara#=2 :

38


39/112

∑ j=1

n=3

yij 2=¿∑ j=1

n=3

y1 j2+∑

j=1

n=3

y2 j2+∑

j=1

n=3

y3 j2

T ..2=∑

i=1

n=3

¿

¿ y

112+ y

122+ y

132+ y

212+ y

222+ y

232+ y

312+ y

322+ y

332

¿10.0+16.5+13.0+12.0+12.0+14.0+13.5+18.0+11.5=120.5

T ( A )=14.0+13.0+17.0+12.0+13.5+18.0=87.5

T ( B )=16.5+16.5+15.0+14.0+11.0+13.5=86.5

T ( C )=11.0+10.0+9.5+12.0+12.0+11.5=66.0

/l gran total se puede calcular de varias maneras7

T …=T ( A )+T (B )+T ( C )=87.5+86.5+66=240

T i ..=¿T 1. .+T 2. .+T 3. .=81.0+79.5+79.5=240

T …=∑i=1

n=3

¿

T . j .=¿T .1 .+T .2.+T .3.=70+92+78=240

T …=∑ j=1

n=3

¿

T .. #=¿T ..1+T ..2=119.5+120.5=240

T …=∑#=1

r=2

¿

Sumas al cuadrado7

∑i=1

n=3

∑ j=1

n=3

∑#=1

r=2

yij (k ) #2 =∑

j=1

n=3

∑#=1

r=2

y1 j ( k ) #2 +∑

j=1

n=3

∑#=1

r=2

y2 j ( k ) #2 +∑

j=1

n=3

∑#=1

r=2

y3 j ( k ) #2

¿∑#=1

r=2

y11 ( k ) #2 +∑

#=1

r=2

y12 ( k ) #2 +∑

#=1

r=2

y13 (k )#2 +∑

#=1

r=2

y21 (k )#2 +∑

#=1

r=2

y22( k ) #2 +∑

#=1

r=2

y23 (k ) #2

39


40/112

+∑#=1

r=2

y31 (k ) #2 +∑

#=1

r=2

y32 (k )#2 +∑

#=1

r=2

y33 ( k ) #2

¿ y11(k ) 12 + y

11 (k )22 + y

12 (k )12 + y

12( k ) 22 + y

13 (k )12 + y

13 (k )22 + y

21 (k )12 + y

21 (k )22

+ y22( k )12 + y

22( k ) 22 + y

23 (k )12 + y

23 (k )22 + y

31 (k )12 + y

31 (k )22 + y

32 (k )12 + y

32 (k ) 22

+ y33 (k )12 + y

33 (k )22

¿14.02+10.02+16.52+16.52+11.02+13.02+9.52+12.02+17.02+12.02

+15.02+14.02+11.02+13.52+12.02+18.02+13.52+11.52

¿3,304.5

/n las fórmulas de las sumas de cuadrados obtenemos7

C =( T … )

2

r ∙n2 =

2402

2∙32=3,200.0

SS (Tr )= 1r ∙ n

∑k =1

n

T ( k )2 −C =

1

r ∙n (T ( A )2 +T ( B )2 +T (C )2 )−C

¿ 1

2 ∙3(87.52+86.52+66.02)−3,2000=3,249.1−3,200.0=49.1

SS+= 1

r ∙ n∑i=1n

T i ..2

−C = 1

r ∙n (T 1. .

2

+T 2. .2

+T 3. .2

)−C

¿ 1

2 ∙3(81.02+79.52+79.52 )−3,200=3,200.25−3,200=0.25

SSC = 1

r ∙ n∑ j=1

n

T . j .2 −C =

1

r ∙ n (T .1 .

2 +T .2 .

2 +T .3.

2 )−C

¿ 12 ∙3 (702+922+782 )−3,200=3,241.33−3,200=41.33

40


41/112

SS ( +&* )= 1n2∑

i=1

r

T ..#

2 −C = 1

n2 (T ..1

2 +T ..22 )−C = 1

32 (119.52+120.52 )−3,200

¿3,200.05−3,200=0.055

SST =∑i=1

n

∑ j=1

n

∑#=1

r

y ij ( k ) #2 −C =3,304.5−3,200=104.5

SSE=SST −SS (Tr )−SS+−SSC −SS ( +&* )

¿104.5−49.1−0.25−41.33−0.055=13.765

D los resultados son como se indica en la tabla siguiente del análisis de variancia7

'uente de

variaciónGrados de libertad

(u)a de

cuadrado

s

Cuadrado )edio '

Eratamiento

s

*A'todos+

n−1=3−1=2 SS (Tr )

MS (Tr )=SS (Tr )n−1

¿ 49.1

2

=24.6

F Tr= MS (Tr )

MSE

¿24.6

1.4

=17.6

Jenglones

*operador+n−1=3−1=2 SS+=0.

MS+=SS+

n−1

¿0.25

2=0.125

F += MS+

MSE

¿0.125

1.4=0.1

9olumnas*fundentes+

n−1=3−1=2 SSC =4

MSC =SSC

n−1

¿ 41.33

2=20.6

F C = MSC

MSE

¿20.6

1.4=14.7

Jepeticiones r−1=2−1=1 SS ( +&* )

MS ( +&* )= SS ( +&* )

r−1

¿0.055

1=0.055

F +&*= MS ( +&

MSE

¿0.055

1.4=0.04

41


42/112

/rror (n−1 ) (rn+r−3)= SSE=1

MSE= SSE

(n−1) (rn+r−3 )

¿13.765

10=1.4

Eotal r n2−1=2∙32−1 SST =1

#. Decisión 3or lo que respecta a tratamientos *m'todos+ % a columnas *fundentes+ dado

que F =17.6 % 14.7 sobrepasan =.# ,

Aedia 00.! 01.1 01.<

, continuación calculamoss ´ x usando la media del error cuadrado MSE=1.4

que se obtuvo en el análisis de la variancia % tenemos así7

s ´ x=√ MSEn =√ 1.43 =0.677687 .

42


43/112

8e la Tabla 4.2%b& se obtienen los siguientes valores der * para un nivel de

significancia α =0.01 % (n−1)(rn+r−3)=(3−1)(2 ∙ 3+2−3)=10 grados de

libertad7

* " :

r * 1.12 1.


44/112

Aα B) C- /

B/ A- ) Cα

C) α A/ B-

- C/ Bα A)

$a construcción de cuadros grecolatinos tambi'n denominados cuadros latinos

ortogonales da lugar a interesantes problemas matemáticos.

9on el objeto de dar un ejemplo en el cual podría ser adecuado el uso de un cuadrado

latino supóngase que en el ejemplo de la soldadura la temperatura de 'sta es otra fuente

de variabilidad. Si tres temperaturas de soldado denotadas por α , ) % - se

utili&an junto con los tres m'todos *, > % 9+ tres operadores *renglones+ % tres

fundentes *columnas+ la repetición de un experimento apropiado de cuadrado

grecolatino puede establecerse de la siguiente manera7

'undente 1 'undente ! 'undente "

4perador 1 Aα B- C)

4perador ! C- A) Bα

4perador " B) Cα A-

,sí pues el m6todo A sería utili&ado por el operador 1 usando fundente 0 a

temperaturaα

por el operador ! con fundente " a temperatura )

% por el

operador " empleando fundente : a temperatura - . /n forma similar el m6todo B lo

aplicaría el operador 1 usando fundente " % temperatura-

etc.

/n un cuadro grecolatino cada variable *representada por renglones columnas letras

latinas o letras griegas+ está -distribuida equitativamente respecto a las otras variables.

,sí al comparar las medias obtenidas de una variable los efectos de las otras son

promediados por completo. /l análisis de un cuadro grecolatino es similar al de un

cuadro latino sólo que se agrega una fuente extra de variabilidad correspondiente a las

letras griegas.

/xiste una gran variedad de diseños experimentales. /ntre los más utili&ados están los

dise,os en blo-ues incompletos que se caracteri&an por el hecho de que cada

tratamiento no está representado en cada bloque. Si el número de tratamientos que se

44


45/112

investiga en un experimento es grande a menudo es imposible encontrar bloques

homog'neos tales que todos los tratamientos puedan acomodarse en cada bloque.

3or ejemplo sin

pinturas son comparadas aplicando cada una de ellas a una hoja de

metal e introduci'ndolas en un horno qui&á sea imposible poner todas las hojas almismo tiempo dentro del horno. /n consecuencia es necesario valernos de un diseño

experimental en que k


46/112

/l m'todo mediante el cual anali&amos los datos de este tipo es una combinación del

m'todo de regresión lineal % del análisis de variancia de la !ección 4.2. /l modelo

fundamental está dado por7

-cuación modelo para el cálculo de covariancia

yij= μ+α i+/xij+ϵ ij

3ara i=1,2,… , k ; j=1,2, … , n . 8onde μ es la gran media α i es el efecto

i−ésimo % las ϵ ij son valores de variables aleatorias independientes distribuidas

normalmente con medias cero % la variancia común σ 2

)/

es la pendiente de la

ecuación de regresión lineal.

/n el análisis de tales datos los valores de la variable concomitante x ij son

eliminados por m'todos de regresión es decir estimando / con el m'todo de

mínimos cuadrados % despu's efectuando un análisis de variancia sobre las y

ajustadas esto es las cantidades y ij0 = y ij−/̂ x ij . /ste procedimiento recibe el nombre

de análisis de covariancia cuando requiere una partición de la suma de productos

S1T =∑i=1

k

∑ j=1

n

( y ij− ́y .) ( x ij−´ x. )

en la misma forma que un análisis de variancia ordinario requiere la partición de la

suma total de cuadrados. /n la práctica los cálculos se reali&an de la siguiente manera7

0. /l total el tratamiento % la suma de cuadrados del error se calculan para las x

por medio de las fórmulas de un criterio de clasificación) serán denotados por7

SST x , SS (Tr) x % SSE x

3ara las x el t'rmino de corrección es7

C x= T x

2

k ∙ n

". /l total el tratamiento % la suma de cuadrados del error se calculan para las y

mediante las fórmulas de un criterio de clasificación) serán denotados por7

SST y , SS (Tr) y % SSE y

46


47/112

3ara las y

el t'rmino de corrección es7

C y= T y

2

k ∙ n

:. /l total el tratamiento % la suma de productos del error se calculan por medio de las

fórmulas7

!uma de productos análisis de covariancia

S1T =∑i=1

k

∑ j=1

n

xij ∙ y ij−C

S1 (Tr )=1n∑i=1

k

T xi ∙T yi−C

S1E=S1T −S1(Tr )

donde el t+r)ino de corrección C est# dado por

C =T

x∙T

y

k ∙ n

% dondeT xi es el total de las

x para el i*+si)o tratamiento

T yi es el total

de las y para el i−ésimo tratamiento T x es el total de todas las x %

T y es el total de todas las 3.

1. /l total el error % las sumas de cuadrados de tratamientos se calculan para las y

ajustadas mediante las fórmulas7

47


48/112

!umas de cuadrados austadas 0 análisis de covariancia

SS T y 0 =SS T y−( S1T )2

SS T x

SS E y 0 =SS E y−(S1E )2

SS E x

SS (Tr ) y0 =SS T y 0 −SS E y 0

$os resultados en estos cálculos se resumen de manera conveniente en el siguiente

tipo de tabla de an(lisis de covariancia.

'uente de

variación

(u)a de

cuadrado

s para

x

(u)a de

cuadrado

s para

y

(u)a de

productos

Grados de

libertad

para

y .

(u)a de

cuadrados

Cuadro

)edio

Trata)ient

o

SS (Tr ) x SS (Tr ) y S1 (Tr) SS (Tr ) y0 k −1

MS (Tr ) y

0

¿ SS (Tr ) y 0

k −1

9rror SS E x SS E y S1E SS E y 0 nk −k −1

MS E y0

¿ SS E y0

nk −k −1

Total SS T x SS T y S1T SS T y 0 nk −2

6ótese que cada media de cuadrados se obtiene dividiendo la suma de cuadrados

correspondiente entre sus grados de libertad.

3or último la hipótesis nulaα

1=α

2=…=α k =0 se prueba contra la hipótesis

alterna de que no todas lasα i son iguales a cero con base en el estadístico7

azón % para tratamientos austados

F = MS (Tr ) y 0

MS E y 0

48


49/112

Se recha&a con un nivel de significanciaα

si el valor obtenido de F excede a

F α conk −1 % nk −k −1 grados de libertad.

EJEMPLO. Supón que un investigador tiene tres sustancias limpiadoras diferentes A

1, A

2 % A

3 que desea seleccionar la más eficiente para limpiar una superficie

metálica. $a limpie&a de una superficie se mide por su poder de reflexión expresado en

unidades arbitrarias como la ra&ón del poder de reflexión observado con respecto al de

un espejo común. /l análisis de covariancia debe utili&arse debido a que el efecto de la

sustancia limpiadora sobre el poder de reflexión dependerá de la limpie&a original es

decir del poder de reflexión original de la superficie. /l investigador obtuvo los

siguientes resultados7

A1

3oder de reflexión original x

!.#! !.## !.

3oder de reflexión final y

0.!! 0."! !.2! 0.1!

A2


!.=# 0. A3


!.

3oder de reflexión final y

0.!! !.=! !.2! !.;!

8etermina mediante un análisis de covariancia *con un nivel de significancia de !.!#+ siexisten diferencias en las mejoras del poder de reflexión producidas por los tres agentes

limpiadores.

Solución

0. /ipótesis nula7α

1=α

2=α

3=0.

/ipótesis alterna7 no todas lasα i son iguales a cero.

". 0ivel de si$nificancia :α =0.05

:. Criterio se recha&a la hipótesis nula si F >4.46 el valor de F 0.05 para

k −1=3−1=2 % nk −k −1=4 x 3−3−1=8 grados de libertad.

1. C#lculos7 los totales son7

T x 1=0.50+0.55+0.60+0.35=2.00

T x 2=0.75+1.65+1.00+1.10=4.50

49


50/112

T x 3=0.60+0.90+0.80+0.70=3.00

T y1=1.00+1.20+0.80+1.40=4.40

T y2=0.75+0.60+0.55+0.50=2.40

T y3=1.00+0.70+0.80+0.90=3.40

T x=∑i=1

3

T xi=T x 1+T x 2+T x 3=2.00+4.50+3.00=9.50

T y=∑i=1

3

T yi=T y 1+T y 2+T y3=4.40+2.40+3.40=10.20

3ara las x el t'rmino de corrección es7

C x= T x

2

k ∙ n=

(9.50 )2

3∙4=7.52

% las sumas de cuadrados son7

0.50¿¿

x i2−C x=¿

SS T x=∑i=1

i=12

¿

+1.102

+0.602

+0.902

+0.802

+0.702

¿−7.52

¿8.83−7.52=1.31

SS (Tr ) x=1

n∑i=1

k =3

T xi2 −C x=

(T x 12 +T x 2

2 +T x32 )

n −C x

¿ (2.00 )

2

+( 4.50 )

2

+ (3.00 )

2

4 −7.52=8.31−7.52=0.79

50


51/112

SS E x=SS T x−SS (Tr ) x=1.31−0.79=0.52

3ara las y el t'rmino de corrección es7

C y= T y

2

k ∙ n=

(10.20 )2

3 ∙4=8.67

% las sumas de cuadrados son7

1.00¿¿

y i2−C y=¿

SS T y=∑i=1

i=12

¿

+0.502+1.002+0.702+0.802+0.902¿−8.67

¿9.45−8.67=0.78

SS (Tr ) y=1

n∑i=1

k =3

T yi2 −C y= (T

y1

2 +T y

2

2 +T y

3

2

)n −C y

¿(4.40 )2+ (2.40 )2+ (3.40 )2

4−8.67=9.17−8.67=0.50

SS E y=SS T y−SS (Tr ) y=0.78−0.50=0.28

3ara las sumas de los productos el t'rmino de corrección es7

C =T x ∙T y

k ∙ n =

(9.50 ) (10.20 )(3)(4)

=8.08

% obtenemos

∑ j=1

n

xij ∙ y ij−C =¿

S1T =∑i=

1

k

¿

51


52/112

S1 (Tr )=1n∑i=1

k

T xi ∙T yi−C =¿

S1E=S1T −S1 (Tr )=¿

&. Decisión 8ado que F =

0.035

0.026=1.34

no sobrepasa 1.1

0= :.1# :.#; :."! ".;< ".20 ".=! ".


53/112

"0 1.:" :.1= :.!= ".21 ".

0"! :.;" :.!= ".

0 1!#" #!!! #1!: #

0; 2.0; #.;: #.!0 1.#! 1.0= :.;1 :.== :.

0"!


54/112

< :.1< :.#; :.

0"! ".2! ".;# :.!1 :.0" :.0= :."" :."# :."; :.:0

∞ ".== ".;" :.!" :.!; :.0# :.0; :.": :."= :.";

M /sta tabla se tomó de H. $. Harter -9ritical values for 8uncanNs neO multiple range test.

TABLA 4.2%b& 7alores der * para α =0.01 9

p

$. l." : 1 # < = 2 ; 0!

0 ;!.!"

" 01.!1 01.!1

: 2."< 2.:" 2.:"

1


55/112

< #."1 #.11 #.## #.

0" 1.:" 1.#! 1.

1! :.2" :.;; 1.0! 1.02 1."1 1."; 1.:: 1.:2 1.10

0"! :.=! :.2< :.;= 1.!1 1.00 1.0< 1."! 1."1 1."=

∞ :..

c+ 3ara acelerar la prueba se emplean en el experimento agua mu% caliente % tiempos

de lavado de :! segundos.

55


56/112

d+ $as mediciones de -blancura de todas las muestras lavadas con el detergente , se

hacen primero.

Respuesta:

a+ Si el experimento se reali&a con agua suave los resultados solo pueden ser validosen agua blanda. Eambi'n deben utili&arse otros tipos de agua.

b+ 9on 0# resultados para el detergente , % solo # para el detergente > la variabilidad

para el detergente , se conoce con ma%or precisión que para el detergente >. 8eben

usarse muestras del mismo tamaño.

c+ Se emplea en el experimento agua mu% caliente % un tiempo de lavado mu% corto.

6o se consideran las circunstancias normales de lavado usando una baja

temperatura del agua % un ma%or tiempo de lavado.

d+ 3uede haber un efecto del tiempo para el proceso de medición de la determinaciónde la -blancura. 3or ejemplo el instrumento de medición puede requerir de la

calibración despu's de unas cuantas lecturas. $os resultados de la prueba pueden

estar sesgados en este caso.

Problema 4.2. (n bebedor desea averiguar la causa de sus frecuentes malestaresdespu's de las borracheras % reali&a el siguiente experimento. $a primera noche sólo

ingiere OhisKe% % agua) la segunda toma vodKa % agua) la tercera ginebra % agua % en la

cuarta ron % agua. 9ada una de las mañanas siguientes sentía el malestar % conclu%ó

que el factor común el agua era la causa de sus malestares.

a+ /sta conclusión obviamente carece de fundamentos 4pero puedes citar qu'

principios de un diseño experimental firme se han violado5

b+ 8a un ejemplo menos obvio de un experimento que tenga el mismo inconveniente.

c+ Supón que nuestro amigo modificó su experimento de tal forma que ingirió cada

una de las cuatro bebidas alcohólicas con agua % sin ella) así que el experimento

duro ocho noches. 43odrían servir los resultados de este experimento modificado

para apo%ar o refutar la hipótesis de que el agua fue la causa de los malestares5

/xplica tu respuesta.

Respuesta:

a+ /l problema es que el efecto del agua se confunde con el efecto del alcohol.

b+ Auchas veces los experimentos con humanos se reali&an solo con voluntarios % los

resultados se comparan con los resultados observados de la población en general.

/stos resultados se confunden con un efecto de -voluntariado. $a gente de

voluntariado para experimentos particularmente experimentos m'dicos son mu%

diferentes al resto de la población son educados.

c+ /sto elimina al agua como la única causa de los malestares. 6uestro bebedor podría

concluir que amanecerá con resaca independientemente de lo que tome.

Problema 4.3. 3ara comparar la eficiencia de tres m'todos de enseñan&a de programación de cierta computadora *el m'todo , consiste en instrucción directa con la

56


57/112

computadora el m'todo > requiere la intervención de un instructor % de algunas

prácticas directas con la computadora % el m'todo 9 que tan sólo exige atención

personal de un instructor+ se extraen de grandes grupos de personas instruidas por los

tres m'todos muestras de tamaño cuatro. $as calificaciones que se obtuvieron en una

prueba de aprovechamiento adecuada son las siguientes7

A'todo , A'todo > A'todo 9

=: ;0 ="

== 20 ==


58/112

yBj+¿∑ j=1

n=4

yCj

∑ j=1

n= 4

y Aj+∑ j=1

n=4

¿

¿´ y=

1

n∙∑

i= A

k =C

∑ j=1

n=12

yij=1

n∙ ¿

1

n∙ [ ( y A1+ y A2+ y A 3+ y A 4 )+( y B1+ yB2+ yB 3+ yB4 )+( y C 1+ yC 2+ yC 3+ yC 4 ) ]

¿ 1

12∙ [ (73+77+67+71)+ (91+81+87+85 )+ (72+77+76+79 ) ]

¿ 112

[288+344+304 ]=78.

$as desviaciones con respecto a la media son7

A'todo , y¿

Ai−¿ ´ y¿¿

A'todo > y¿

Bi−¿ ´ y¿¿

A'todo 9 y¿

Ci−¿ ´ y¿¿

=: −# ;0 0: =" −<

== −0 20 : == −0


59/112

SST =∑i=1

k

∑ j=1

n

( y ij−´ y )2=546

$as medias para las tres muestras son7

'6todo A

´ y A=1

n ∙∑

j=1

n=4

y Aj= y A 1+ y A 2+ y A 3+ y A 4

n =

73+77+67+714

=288

4=72 '6todo B

´ yB=1

n∙∑

j=1

n=4

yBj= y B1+ y B2+ yB3+ y B4

n =

91+81+87+854

=344

4=86

'6todo :

´ yC =1

n∙∑

j=1

n=4

yCj= y C 1+ y C 2+ yC 3+ yC 4

n =

72+77+76+794

=304

4=76

/n resumen las medias para las tres muestras son7

A'todo , A'todo > A'todo 9

´ y A=72 ´ yB=86 ´ yC =76

$as desviaciones de cada media con respecto a su propia media son7

A'todo , y¿

Ai−¿ ´ y A¿¿

A'todo > y¿

Bi−¿ ´ y B¿¿

A'todo 9 y¿

Ci−¿ ́yC ¿¿

=: 0 ;0 # =" −1

== # 20 −# == 0


60/112

A'todo , y¿

Ai−¿ ´ y A¿¿¿¿

¿

A'todo > y¿

Bi−¿ ´ y B¿¿¿¿

¿

A'todo 9 y¿

Ci−¿ ́yC ¿¿¿¿

¿=: 0 ;0 "# =" 0<

== "# 20 "# == 0


61/112

T =288+344+304=936.

∑i=1

k T i2

ni=

T A2

n A+

T B2

nB+

T C 2

nC =

(288 )2

4+

(344 )2

4+

(304 )2

4

¿20,736+29,584+23,104=73,424

C =T

2

! =

(936)2

12=73,008.

SS (Tr )=∑i=1

k T i2

ni

−C =73,424−73,008=416

$a suma de los cuadrados de todas las observaciones es =:##17

yij y ij2

A'todo , =: #:";

== #;";


62/112

SSE=SST −SS (Tr )=546−416=130 .

/stas cifras concuerdan con las del inciso *a+.

Problema 4.4. Aediante las sumas de cuadrados obtenidas en el roblema 4.3

prueba con un nivel de significancia α =0.05 si las diferencias obtenidas para las tres

muestras son significativas.

Solución:

$a tabla del análisis de variancia es7

'uente de

variación

Grados de

libertad

(u)a de


Eratamientos

k −1

@ : F 0@ "

SS (Tr )

@ 10<

MS (Tr )=SS (Tr )k −1

¿ 416

3−1=208

MS (Tr ) MSE

¿ 208

14.44

¿14.40

/rror ! −k =12−3

SSE

@ 0:!

MSE= SSE

! −k

¿ 130

12−3=14.44

Eotal ! −1=12−1

SST

@ #1<

3uesto que el valor crítico se encuentra en el nivel !.!# para una distribución G con " %

; grados de libertad. 8e la Tabla 4.1 se obtiene el valor de 1."


63/112

T+cnico 6 T+cnico 66 T+cnico 666 T+cnico 6:

< 01 0! ;

01 ; 0" 0"

0! 0" = 22 0! 0# 0!

00 01 00 00

3rueba con un nivel de significancia α =0.01 si las diferencias entre las cuatro

muestras pueden atribuirse al a&ar.

Solución:

$a hipótesis nula es que la media del número de errores es la misma para los cuatrot'cnicos. $a hipótesis alternativa es que las medias no son iguales.

(tili&ando las etapas para pruebas de hipótesis obtenemos7

0. Hipótesis nula7 μ 2 = μ 22 = μ 222 = μ 23 .

Hipótesis alterna7 las μ

no son iguales.

". 6ivel de significancia7 α =0.01 .

:. Criterio7 Se recha&a la hipótesis nula si F >5.29 el valor de F 0.01 para7

k −1=4−1=3 % ! −k =20−4=16 grados de libertad

donde F es determinado por un análisis de variancia) de lo contrario lo

aceptamos.

3ara ello hacemos uso de la Tabla 4.1.

1. C#lculos7

T+cnico 6 T+cnico 66 T+cnico 666 T+cnico 6:

< 01 0! ;

01 ; 0" 0"

0! 0" = 2

2 0! 0# 0!

00 01 00 00

T 2

=49 T 22

=59 T 222

=55 T 23

=50

63


64/112

T =∑i= 2

23

T i=T 2 +T 22 +T 222 +T 222 =49+59+55+50=213

n 2 =5 n 22 =5 n 222 =5 n 23 =5

! =∑i= 2

k = 23 ni=n 2 +n 22 +n 222 +n 23 =5+5+5+5=20

y 22j2 +¿∑

j=1

5

y 222j2 +∑

j=1

5

y 23j2

y 2j2+¿∑

j=1

5

¿

∑ j=1

ni

y ij2

=¿∑ j=15

¿

∑i= 2

k = 23

¿

¿ ( y 2 12 + y 2 2

2 + y 2 32 + y 2 4

2 + y 2 52 )+( y 22 1

2 + y 22 22 + y 22 3

2 + y 22 42 + y 22 5

2 )

+( y 222 12 + y 222 2

2 + y 222 32 + y 222 4

2 + y 222 52 )+( y 23 1

2 + y 23 22 + y 23 3

2 + y 23 42 + y 23 5

2 )

(tili&ando /xcel7

T+cnico

6

y 2j2

,

j=1,… ,T+cnico

66

y 22j2

,

j=1,… , 5T+cnico

666

y 222j2

,

j=1,… ,T+cnico

6:

y 23j2

,

j=1,… , 5

< :< 01 0;< 0! 0!! ; 20

01 0;< ; 20 0" 011 0" 011

0! 0!! 0" 011 = 1; 2


65/112

/n las expresiones para calcular las sumas de cuadrados obtenemos7

SST =∑i=1

k

∑ j=1

ni

yij2−C =2,383−2,268.45=114.55

SS (Tr )=∑i= 2

k = 23 T i2

ni−C =[T 2

2

n 2 +

T 22 2

n 22 +

T 222 2

n 222 +

T 23 2

n 23 ]−C ¿[ 4925 + 59

2

5+55

2

5+50

2

5 ]−2,268.45

¿ [480.2+696.2+605+500 ]−2,268.45=2,281.40−2,268.45=12.95 .

% tambi'n

SSE=SST −SS (Tr )=114.55−12.95=101.60 .

/l resto del trabajo se advierte en la siguiente tabla de análisis de variancia.

'uente de

variación

Grados de

libertad

(u)a de


Eratamientos

k −1

@ 1 F 0@ :

SS (Tr)

@ 0".;#

MS (Tr )=SS (Tr)k −1

¿12.95

4−1=4.3167

MS (Tr ) MSE

¿ 4.3167

6.3500

¿0.68

/rror

! −k

¿20−4

¿16

SSE

@ 0!0.

MSE= SSE

! −k

¿101.60

20−4=6.3500

Eotal

! −1

¿20−1

¿19

SST

@ 001.##

65


66/112

#. Decisión7 8ado que el valor crítico en el nivel de significancia de !.!0 para una

distribución G con : % 0< grados de libertad es #.";. G @ !.5.78 el valor de F 0.01 para7

k −1=3−1=2 % ! −k =24−3=21 grados de libertad

donde F

es determinado por un análisis de variancia) de lo contrario lo

aceptamos.

3ara ello hacemos uso de la Tabla 4.1.

1. C#lculos7

Lubricante A Lubricante B Lubricante C

0"." 0!.; 0".=

66


67/112

00.2 #.= 0;.;

0:.0 0:.# 0:.<

00.! ;.1 00.=

:.; 00.1 02.:

1.0 0#.= 01.:0!.: 0!.2 "".2

2.1 01.! "!.1

T A=74.8 T B=91.4 T C =133.7

T =∑i= A

C

T i=T A+T B+T C =74.8+91.4+133.7=299.90

n A=8 nB=8 nC =8

! =∑i= A

k =C ni=n A+nB+nC =8+8+8=24

yBj2 +¿∑

j=1

5

yCj2

y Aj2 +¿∑

j=1

8

¿

∑ j=1

ni

yij2=¿∑

j=1

8

¿

∑i= A

k =C

¿

¿ ( y A12 + y A 2

2 + y A 32 + y A4

2 + y A 52 + y A6

2 + y A72 + y A 8

2 )+¿

( y B12 + yB2

2 + yB32 + y B4

2 + yB52 + y B6

2 + yB72 + y B8

2 )+¿

( yC 1

2 + yC 22 + y C 3

2 + y C 42 + yC 5

2 + yC 62 + yC 7

2 + yC 82 )+¿

(tili&ando /xcel7

Lubricante

A

y Aj2

,

j=1,… ,5 Lubricante

B

yBj2

,

j=1,… ,5 Lubricante

C

yCj2

,

j=1,… ,5

0"." 012.21 0!.; 002.20 0".= 0


68/112

:.; 0#."0 00.1 0";.;< 02.: ::1.2;

1.0 0


69/112


70/112

α i=α A+¿α B+α C =−3.146−1.071+4.2165=−0.0005≅0

∑i= A

k =C

¿

Problema 4.! 3ara encontrar el efecto de la carga de polvo en la salida de unsistema con un precipitante se efectuaron las siguientes mediciones7

'lu,o total

*)" ;hora+

Car$a del polvo de salida

* $ra)os por )" en el tubo de $as+

"!! 0.# 0.= 0.< 0.; 0.;

:!! 0.# 0.2 "." 0.; "."

1!! 0.1 0.< 0.= 0.# 0.2

#!! 0.0 0.# 0.1 0.1 ".!

/mplea un nivel de significanciaα =0.05 para probar si el flujo a trav's del

precipitante tiene algún efecto sobre la carga del polvo de salida.

Solución:

Problema 4.". 9on objeto de estudiar el rendimiento de un motor fuera de bordarecientemente diseñado se cronometró sobre un tra%ecto determinado en diversas

condiciones acuáticas % del viento7

9ondiciones de calma7 "! 0= 01 "1

9ondiciones moderadas7 "0 ": 0


71/112

8isposición "70!

0"

; = 00 ;

0"

;

0!

0:

; 0!

8isposición :7 00 # ;0!


72/112

T 1=100 T

2=120 T

3=64

T =∑i= 1

3

T i=T 1+T 2+T 3=100+120+64=284

n1=8 n

2=12 n

3=8

! =∑i=1

k =3

ni=n1+n2+n3=8+12+8=28

y2 j

2 +¿∑ j=1

8

y3 j

2

y1 j

2 +¿∑ j=1

12

¿

∑ j=1

ni

yij2=¿∑

j=1

8

¿

∑i=1

k =3

¿

¿ ( y11

2 + y12

2 + y13

2 + y14

2 + y15

2 + y16

2 + y17

2 + y18

2 )+¿

¿ ( y212 + y

22

2 + y23

2 + y24

2 + y25

2 + y26

2 + y27

2 + y28

2 + y29

2 + y210

2 + y211

2 + y212

2 )

¿ ( y312 + y

32

2 + y33

2 + y34

2 + y35

2 + y36

2 + y37

2 + y38

2 )+¿

(tili&ando /xcel7

Disposición

1

y1 j2

,

j=1,… , 8 Disposición

!

y2 j2

,

j=1,… , 12 Disposición

"

y3 j2

,

j=1,… , 8

01 0;< 0! 0!! 00 0"0

0: 0


73/112


74/112

'uente de

variación

Grados de

libertad

(u)a de


Eratamientosk −1

@ : F 0@ "

SS (Tr)

@ 20.1:

MS (Tr )=SS (Tr )k −1

¿81.43

3−1=40.715

MS (Tr )

MSE

¿ 40.715

3.600

¿11.31

/rror

! −k

¿

temas 3 y 4-diseño y análisis de experimentos

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