tema iii. deformación en vigas

8/18/2019 TEMA III. Deformación en Vigas

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TEMA III. DEFORMACIÓN EN VIGAS. 3.1. El círculo de Mohr. Propiedde!. A"#li!i! de De$or%cio"e!. C!o&e"erl. Circulo de Mohr pr l! De$or%cio"e!. De$or%cio"e! por 'e%per'ur. E"er&í de de$or%ci(". Teore% de C!'i&li"o. Aplicci(".)ipere!''icidd. Superpo!ici(".

3.1.1.* El círculo de Mohr.

Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano se puedenrepresentar en forma grafica mediante un trazo conocido como círculo de Mohr.Esta representación grafica es muy útil ya que permite visualizar las relacionesentre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios planos inclinadosen un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos. Tambin proporciona un medio

para calcular esfuerzos principales! esfuerzos cortantes m"#imos y esfuerzossobre planos inclinados. $dem"s! el círculo de Mohr es v"lido no solo paraesfuerzos sino tambin para otras cantidades de naturaleza matem"tica similar!incluyendo deformaciones unitarias y momentos de inercia.

Ecucio"e! del círculo de Mohr

Las ecuaciones del círculo de Mohr se pueden deducir a partir deecuaciones de transformación para esfuerzo plano %ecuaciones &.'a y &.'b(. Lasdos ecuaciones se repiten aquí! pero con un reacomodo ligero de la primera

ecuación)

*e la geometría analítica! podríamos reconocer que estas dos ecuaciones son lasde un circulo en forma paramtrica. El "ngulo +, es el par"metro y los esfuerzos- x y / x y son las coordenadas. 0in embargo! no es necesario reconocer la

naturaleza de las ecuaciones en esta etapa! si eliminamos el par"metro! laimportancia de las ecuaciones ser" aparente.1ara eliminar el par"metro +,! elevamos al cuadrado los dos lados de cadaecuación y luego sumamos las dos ecuaciones. La ecuación que resulta es

Esta ecuación se puede escribir en una forma m"s simple al emplear la notaciónde la sección &.2 %consulte las ecuaciones &.+& y &.+! respectivamente()


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$hora la ecuación %&.23( se convierte en

que es la ecuación de un circulo en forma algebraica est"ndar. Las coordenadasson - x y / x y ! el radio es R y el centro del circulo tiene coordenadas - x 4-prom y / x y 4 3.

0e puede demostrar que las dos ecuaciones! de los esfuerzos normal y cortanteen un punto situado en cualquier dirección pueden combinarse y ordenarse en laforma de la ecuación de un círculo. 1resentado por primera vez por 5tto Mohr en678! el círculo permite un c"lculo r"pido y e#acto de)

•

9alcular los esfuerzos principales.• Los esfuerzos cortantes m"#imos.

• : los esfuerzos en planos inclinados.

• 1ermiten conocer los "ngulos de orientación del elemento sometido al

esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante m"#imo.

El círculo de Mohr se traza en un sistema de e;es perpendiculares con el esfuerzocortante! /! marcado verticalmente y los esfuerzos normales! -! horizontalmente!como se muestra en la figura 3


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. =dentifique la condición de esfuerzo en el punto de inters y represntelo comoel elemento sometido a esfuerzo inicial como se muestra en la figura 3


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5bserve que la ecuación de R es idntica a la ecuación %3


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3. =dentifique los puntos en el e;e - s en los e#tremos del di"metro horizontalcomo - a la derecha %el esfuerzo principal m"#imo( y -+ a la izquierda %elesfuerzo principal mínimo(. 5bserve que el esfuerzo cortante es cero en estospuntos.. *etermine los valores de σ y σ + con

%3?7( y %3?+3(donde @OA representa la coordenada del centro del círculo! σ prom! y B es su radio.1or tanto! las ecuaciones %3


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9on trigonometría se puede demostrar que esto equivale a determinar la tangenteinversa de a"b! el recíproco del argumento utilizado para determinar + !. 1or tanto!

es una evaluación efectiva de la ecuación %3( derivada para determinar el"ngulo de orientación del elemento en el cual actúa el esfuerzo cortante m"#imo.

*e nueva cuenta los problemas con signos para el "ngulo resultante seevitan considerando la direcci#n del e$e x al e$e τ m"# en el círculo! en el sentido delas manecillas del relo; en este e;emplo. Entonces el elemento sometido a esfuerzocortante m"#imo se hace girar en la misma direcci#n a partir del e;e x en unacantidad !% para localizar la cara en la cual actúa el esfuerzo cortante m"#imo.8. Trace el elemento sometido a esfuerzo cortante m"#imo en su orientaciónapropiada! determinada con el paso '! con los esfuerzos cortantes y el esfuerzonormal promedio en las cuatro caras Dvea la figura 33! se dibu;ó un punto de abscisa igual a ladeformación normal y de ordenada igual a la mitad de la deformación cortanteg xy ! y un punto %figura &.>'(. *ibu;ando el di"metro &' ! se define el centro ( del círculo de Mohr para deformación plana. La abscisa de ( y el radio R delcírculo son respectivamente)

De$or%cio"e! por 'e%per'ur.

0ea una viga en condiciones isost"ticas %con las reacciones necesarias ysuficientes para estar en equilibrio( de longitud L %m( y de coeficiente de dilatación

trmica

ºC

¿

α ¿

¿

(! que est" sometida a un incremento de temperatura HT %I9(. el

incremento de longitud HL %m( e#perimentando por la viga vendr" dado por lae#presión)


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HL 4 JKLKHT

En las dos vigas de la figura! al estar en equilibrio isost"tico! no aparecentensiones a lo largo de la viga ni reacciones en los apoyos por efecto delincremento de la temperatura.La viga se puede deformar libremente sin encontrar restricciones a dichadeformación.

0in embargo! si la viga se encontrarse en equilibrio hiperest"tico! %con m"sreacciones de las estrictamente necesaria para estar en equilibrio( apareceríantensiones en la viga! así como reacciones en los apoyos! que impedirían a la vigadeformarse libremente. En este caso! no se podría aplicar directamente laecuación para calcular las posibles deformaciones.

De$or%ci(" de/id u" +rici(" li"el.

La ecuación permite calcular el alargamiento de una viga al ser sometida a unincremento de temperatura uniforme! HT. En caso de que el incremento de

temperatura no sea igual en las caras superior e inferior de la viga! esta securvara! ya que el incremento de la longitud de la fibra superior ser" distinto al deinferior.La curvatura de la deformada depender" de la diferencia entre el incremento detemperatura de la cara superior! HTsup y el de la cara inferior! HTinf)


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Las vigas de la figura est"n sometidas a un HTinf HTsup! por lo que la fibrainferior se alargara m"s que la superior. Esto hace que la curvatura de la viga seapositiva %cóncava vista desde arriba(.

0e aplica este mismo an"lisis a un diferencial de longitud %d#( sometido auna variación de temperatura lineal entre la fibra superior! cuyo incremento detemperatura es HT+! e inferior! cuyo incremento de temperatura es HT! se obtienela e#presión de la curvatura para el elemento diferencial d#.

E"er&í de de$or%ci(".La energía de deformación es un concepto fundamental en la mec"nica

aplicada! y sus principios se usan ampliamente para determinar la respuesta demaquinas y estructuras sometidas a cargas est"ticas y din"micas.9uando se aplica una carga a una estructura! la carga realiza traba;o y en la

estructura se desarrolla una energía de deformación.

Los conceptos generales relativos a la energía de deformación se e#plicaronantes en los an"lisis de barras sometidas a cargas a#iales y e;es sometidos atorsión %secciones +.& y 2.7! respectivamente(. En esta sección aplicaremos losmismos conceptos a vigas. 1uesto que emplearemos las ecuaciones paracurvatura y defle#ión deducidas antes en este capítulo! nuestro an"lisis de la

energía de deformación se aplica sólo a vigas que se comportan de maneralinealmente el"stica. Este requisito significa que el material sigue la ley de ooNe yque las defle#iones y rotaciones deben ser pequeOas.


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=niciemos con una viga simple )* en fle#ión pura ante la acción de dospares! cada uno con un momento M %figura 7.23a(. La curva de defle#ión %figura

7.23b( es un arco circular casi plano con curvatura constante N 4 M P+, %consulte laecuación 7.>(. El "ngulo u subtendido por este arco es igual a -Pr! donde - es lalongitud de la viga y r es el radio de curvatura.

1or tanto!

%7.&&(Esta relación lineal entre los momentos M y el "ngulo u se muestra de maneragr"fica por la línea O) en la figura 7.2. 9onforme los pares de fle#ión aumentangradualmente su magnitud desde cero a sus valores m"#imos! realizan un traba;o. representado por el "rea sombreada deba;o de la línea O). Este traba;o! igual ala energía de deformación / almacenada en la viga! es

%7.&6(Esta ecuación es an"loga a la ecuación %+.28( para la energía de deformación deuna barra cargada a#ialmente. $l combinar las ecuaciones %7.&&( y %7.&6( podemose#presar la energía de deformación almacenada en una viga en fle#ión pura encualquiera de las dos siguientes formas)


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%7!&7 a! b(

La primera de estas ecuaciones e#presa la energía de deformación en

trminos de los momentos aplicados M y la segunda ecuación la e#presa entrminos del "ngulo u. Las ecuaciones tienen una forma similar a las que dan laenergía de deformación en una barra cargada a#ialmente %ecuaciones +.2&a y b(.

0i el momento fle#ionante en una viga varía a lo largo de su longitud %fle#iónno uniforme(! entonces podemos obtener la energía de deformación aplicando lasecuaciones %7.&7a( y %7.&7b( a un elemento de la viga %figura 7.2+( e integrando alo largo de la misma. La longitud del propio elemento

Fi&ur 0.31 *iagrama que muestrala relación lineal entre los momentosfle#ionantes M y el "ngulo u.

es dx y el "ngulo d u entre sus caras laterales se puede obtener a partir de lasecuaciones %7.'( y %7.8( como sigue)

%a(1or tanto! la energía de deformación d/ del elemento est" dada por

cualquiera de las ecuaciones siguientes %consulte las ecuaciones 7.&7a y b()

$l integrar las ecuaciones anteriores para toda la longitud de la viga!podemos e#presar la energía de deformación almacenada en una viga encualquiera de las siguientes formas)


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5bserve que M es el momento fle#ionante en la viga y que puede variar como una función de x . Ctilizaremos la primera ecuación cuando conozcamos elmomento fle#ionante y la segunda cuando conozcamos la ecuación de la curva dedefle#ión. %Los e;emplos 7.8 y 7.> ilustran el uso de estas ecuaciones.(

Fi&ur 0.3- Qista lateral de un elementode una viga sometida a momentos

fle#ionantes M .

En la deducción de las ecuaciones %7.63a( y %7.63b(! consideramos sólo losefectos de los momentos fle#ionantes. 0i tambin est"n presentes fuerzascortantes! se almacenar" energía de deformación adicional en la viga. 0inembargo! la energía de deformación del cortante es relativamente pequeOa %encomparación con la energía de deformación por fle#ión( para vigas en las que laslongitudes son mucho mayores que los anchos %digamos! -Pd 6(. 1or tanto! en lamayor parte de las vigas la energía de deformación del cortante se puede ignorar con seguridad.

De$leio"e! cu!d! por u" !ol cr&

0i una viga soporta una sola carga! ya sea una carga concentrada 0 o bienun par M 3! la defle#ión correspondiente d o el "ngulo de rotación u!respectivamente! se pueden determinar a partir de la energía de deformación de laviga.

En el caso de una viga que soporta una cr& co"ce"'rd! la deflexi#ncorrespondiente d es la defle#ión del e;e de la viga en el punto donde se aplica lacarga. La defle#ión se debe medir a lo largo de la línea de acción de la carga y es

positiva en la dirección de sta.En el caso de una viga que soporta un par como una carga! el ángulo de

rotaci#n correspondiente u es el "ngulo de rotación del e;e de la viga en el puntodonde se aplica el par.

9omo la energía de deformación de una viga es igual al traba;o realizadopor la carga y puesto que d y u corresponden a 0 y M 3! respectivamente!obtenemos las siguientes ecuaciones)


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La primera ecuación se aplica a una viga cargada s#lo por una fuerza 0 y lasegunda ecuación se aplica a una viga cargada s#lo por un par M 3. *e lasecuaciones %7.6a( y %7.6b( se deduce que

9omo se e#plicó en la sección +.&! este mtodo para determinar defle#iones y "ngulos de rotación est" e#tremadamente limitado en su aplicacióndebido a que sólo se puede determinar una defle#ión %o un "ngulo(. $dem"s! laúnica defle#ión %o "ngulo( que se puede determinar es la correspondiente a lacarga %o par(. 0in embargo el mtodo en ocasiones es útil y se ilustra m"sadelante en el e;emplo 7.>.

TEO REMA DE CASTIG2IANO

El 'eore% de C!'i&li"o proporciona un medio para determinar lasdefle#iones de una estructura a partir de su energía de deformación.

E#isten mtodos mediante los cuales puede aplicarse la energíacomplementaria para hallar defle#iones y analizar estructuras. 0e destaca que losmtodos de la energía complementaria son aplicables a estructura decomportamiento no lineal. Limitemos ahora esta e#plicación a estructuras que secomportan linealmente y para las cuales es aplicable el principio de superposición.En estas condiciones! la energía complementaria CK y la energía de deformaciónde la estructura son iguales.

0upóngase ahora que una estructura lineal se somete a cargas 1! 1+!RR1n y que esas cargas producen desplazamientos correspondientes S! S+!RR.Sn! como se muestra en la figura. =gual que en nuestros an"lisis anteriores de


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defle#iones y energía de deformación! suponemos que el principio desuperposición es aplicable a la viga y a sus cargas.

$hora determinaremos la energía de deformación de esta viga. 9uando seaplican las cargas a la viga! aumentan de manera gradual su magnitud desde cerohasta sus valores m"#imos. $l mismo tiempo! cada carga se mueve a travs de su

desplazamiento correspondiente y realiza traba;o. El traba;o total . realizado por las cargas es igual a la energía de deformación / almacenada en la viga y puedene#presarse como funciones cuadr"ticas de las cargas y obtener)

Esta ecuación se conoce como segundo teorema de 9astigliano! y puedeenunciarse como sigue) 1ara una estructura lineal la derivada parcial de la energíade deformación con respecto a cualquier carga 1! es igual al desplazamiento

correspondiente S! siempre y cuando la energía de deformación se e#prese comouna función de las cargas.

Aplicci(" del 'eore% de C!'i&li"o

9omo una aplicación del teorema de 9astigliano! consideremos una viga envoladizo )* que soporta una carga concentrada 0 y un par de momento M 3 queactúa en el e#tremo libre %figura 7.2&a(. ueremos determinar la defle#ión verticald ) y el "ngulo de rotación u ) en el e#tremo de la viga %figura 7.2&b(. 5bserve qued ) es la defle#ión correspondiente a la carga 0 y u ) es el "ngulo de rotación

correspondiente al momento M 3.

El primer paso en el an"lisis es determinar la energía de deformación de la

viga. 9on ese fin! escribimos como sigue la ecuación para el momento fle#ionante)


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en donde x es la distancia desde el e#tremo libre %figura 7.2&a(. La energía dedeformación se determina al sustituir esta e#presión para M en la ecuación %7.63a()

en donde - es la longitud de la viga y +, es la rigidez a la fle#ión. 5bserve que laenergía de deformación es una función cuadr"tica de las cargas 0 y M 3.

1ara obtener la defle#ión vertical d ) en el e#tremo de la viga empleamos elteorema de 9astigliano %ecuación 7.6&( y obtenemos la derivada parcial de laenergía de deformación con respecto a 0 )

Esta e#presión para la defle#ión se puede verificar compar"ndola con lasfórmulas de los casos ' y > de la tabla U. del apndice U.

*e manera similar! podemos encontrar el "ngulo de rotación u ) en ele#tremo de la viga obteniendo la derivada parcial con respecto a M 3)

)ipere!''icidd

Cna viga o una estructura se dice que es hiperest"tica cuando)

Vúmero de ecuaciones de equilibrio W número de incógnitas de las reacciones

Xstos casos suelen presentarse cuando la viga o la estructura tiene apoyos%ligaduras( de m"s 0e denomina @grado de hiperestaticidadA )a la diferencia entreel número de incógnitas de las reacciones y el número de ecuaciones de equilibriode la est"tica.

U4 VB < VE

Tambin vimos que para resolver la hiperestaticidad era necesario aOadir @ecuaciones de deformaciónA! tantas como sea el grado de hiperestaticidad! de talforma que)

nI ecuaciones de equilibrioY nI ecuaciones de deformación4nI incógnitas

El mtodo de resolución ser" el transformar la viga hiperest"tica en una viga

isost"tica equivalente! liber"ndola de sus ligaduras de m"s y sustituyendo sus


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acciones por fuerzas o momentos de magnitudes tales que la viga isost"ticaconserve las coacciones que las ligaduras e;ercían sobre la viga hiperest"tica.En este tema estudiaremos las vigas hiperest"ticas de un solo tramo y las de dos om"s tramos %vigas continuas(! traba;ando a fle#ión.

Superpo!ici("

El principio de superposición se utiliza para determinar para determinar el esfuerzoo el desplazamiento en un punto de un elemento cuando este se encuentrasometido a una carga complicada. $l subdividir la carga en sus componentes! el principio de superposición establece que el esfuerzo o el desplazamientoresultante en el punto puede determinarse mediante la suma algebraica delesfuerzo o el desplazamiento causado por cada componente de la carga aplicadopor separado al elemento.

1ara que el principio de superposición pueda aplicarse deben cumplirse lassiguientes dos condiciones.

. La carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el desplazamiento que se va a determinar .

+. La carga no debe cambiar significativamente la geometría original o laconfiguración del elemento. 0i se produce cambios significativos! ladirección y la ubicación de las fuerzas aplicadas y sus momentos tambincambiaran.

3.-. Relcio"e! e"'re E!$uero! 4 De$or%cio"e! pr el cuerpo el#!'ico. 2e4de )oo5e &e"erl.

3.3. Ecuci(" di$ere"cil de l el#!'ic. Flei(". Tipo de +i&!. Grdo! deli/er'd. Ví"culo! de cr&!. Crc'erí!'ic! de !olici'cio"e!. Relcio"e!di$ere"cile! e"'re %o%e"'o6 cor'e6 $uer il 4 cr&. Di&r%!. M7'odode do/le i"'e&rci(".

3.. M7'odo! pr el c#lculo de de$or%ci(" e" +i&!

3.8. Re!oluci(" de e9ercicio! pr de'er%i"r l de$lei(" +er'icl e"cul:uier pu"'o de l el#!'ic de u" +i& e!'#'ic%e"'e de'er%i"d6u'ili"do el %7'odo de do/le i"'e&rci(" 'e"die"do l! di$ere"'e!co%/i"cio"e! de cr& 4 co"dicio"e! de po4o :ue e!'e !o%e'ido.

2.>. Besolución de e;ercicios para determinar la defle#ión vertical en cualquier punto de la el"stica de una viga est"ticamente determinada! utilizando el mtodo


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de superposición atendiendo a las diferentes combinaciones de carga ycondiciones de apoyo a que este sometido.

3.;. )ipere!''icidd e" $lei(". Superpo!ici(". M7'odo del

tema iii. deformación en vigas

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