Estado de deformación

Mecánica de Materiales

Mg. Ing. Norberto D. Ñique G.

Ingenieria de Materiales

Introducción:Cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo sólido deformable, esta tiende acambiar el volumen (tamaño) y la forma del cuerpo.A estos cambios se les denomina deformación.Esta deformación puede ser visible o prácticamente inadvertida si no se empleanequipos apropiados.

Si un cuerpo esta sometido afuerzas exteriores alterará su estadode movimiento o se deformará, paraprecisar estas condiciones, seconsideran en el cuerpo de la figurados puntos A y B, separados poruna distancia lo , por efecto de lasfuerzas aplicadas, los puntospasaran a ocupar posiciones talescomo A’ y B’, siendo ahora sudistancia l. El segmento AA’ es eldesplazamiento del punto A y BB’,el de B.

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En este caso el cuerpo solo se ha movido, pero no se ha deformado. Si A’B’ esparalelo a AB, solo se produjo un movimiento traslatorio. En caso contrario, elmovimiento habrá sido roto-traslatorio, o de rotación.

Puede ocurrir que : l = lo

Puede ocurrir que : l ≠ lo

Se ha producido un desplazamiento relativo de B respecto de A. Por lo tanto se diceque el cuerpo se encuentra sometido a un estado general de deformación.

Si la deformación es igual en todos los puntos del material, se le denominadeformación homogénea. En lo que subsiguiente solo se analizará deformacioneshomogéneas, dado que las otras conducen a expresiones analíticas muy complejaspara ser prácticas.

Las deformaciones pueden se elásticas en cuyo caso el cuerpo vuelve a su estadoinicial cuando se retiran las fuerzas que actuaban sobre el mismo. Pueden tambiénser plásticas, cuando al retirar las fuerzas quedan deformaciones permanentes en elcuerpo.

Interesa también distinguir entre aquellas deformaciones que provocan cambios devolumen y las responsables del cambio de forma. Las primeras producen dilatacióno contracción. Las segundas distorsión.

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Es una magnitud vectorial que se usa paramedir el movimiento de una partícula o puntode una posición a otra, por tanto en un sólidodeformable sus partículas adyacentes puedendesplazarse entre si cuando se aplican fuerzasexternas al cuerpo.

Cuando una carga externa ocasiona queel cuerpo se deforme y se muevaentonces a su posición final, laspartículas se desplazarán a lasposiciones correspondientes a laspartículas A´, B´ y C´.El desplazamiento del punto A estaindicado por el vector µ(A).

Las líneas rectas AB y AC, seconvierten en las curvas A´B´y A´C´, enconsecuencia, la longitud de AB y ACasí como el ángulo θ, serán diferentesde las longitudes curvas A´B´ y A´C´ ydel ángulo θ´.

La diferencia entre las longitudes y lasorientaciones relativas de las dos líneas en elcuerpo son una consecuencia de losdesplazamientos causados por la deformación.

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Deformación:El concepto de deformación unitaria se desarrolla con el objeto de describir ladeformación por cambios en la longitud de segmentos de líneas y los cambiosen los ángulos entre ellos.

Es el alargamiento ó contracción de un segmento de línea por unidad de longitud.Sea la línea AB que estacontenida dentro del cuerpo nodeformado.

La línea esta situada a lo largodel eje n y tiene una longitud ∆s,durante la deformación, lospuntos A y B se desplazarán alos puntos A´ y B´ y la línea rectase convierte en curva conlongitud ∆s´ el cambio enlongitud de la línea será:

∆s´ - ∆s

sss

prom ∆∆−∆

=´ε

Se define a deformaciónunitaria normal promedio a:

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A medida que el punto B se escoge cada vez mas cercano a punto A, la longitud de la línea se vuelve cadavez mas corta, de tal modo que ∆s→0 , de la misma manera, esto causa que B´ se aproxime a A´, de modoque ∆s´→0, por consiguiente:La deformación unitaria normal en el punto A y en la dirección de n en el limite es:

sss

nABprom ∆∆−∆

=→

´limε

Conocida la deformación unitaria normal, podemos usar esta ecuación para obtener la longitud finalaproximada de un segmento corto de línea en la dirección de n, deformado.

Solido sin deformar

Solido deformado

ss ∆+≈∆ )(´ ε1 ss ∆+=∆ )(´ ε1Por lo tanto si ε es positiva, la línea inicial ∆s se alargará, si no se contraerá

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Unidades:La deformación unitaria normal es adimensional, que es una relación entre dos longitudes.En el SI : (m/m), (µm/m).En el Sistema Ingles: (in/in), (pulg/pulg).

En trabajos experimentales: 0.001mm/mm = 0.1%

480(10-6) = 480(10-6) pulg/pulg = 480 µm/m = 0.0480%=480µ.

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Es el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea que originalmenteeran perpendiculares entre si.Este ángulo se denota por γ (gamma) y se mide en radianes.

´lim2

θπγtAC

ABntn

→→

−=La definición de deformaciónunitaria cortante en el punto Aasociadas con los ejes n y testa dada por:

)( es ,2

´ +⇒⟨ γπθ

)(- es ,2

´ γπθ ⇒⟩

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Se puede advertir que las deformaciones unitarias normales causan un cambio en elvolumen del elemento rectangular, mientras que las deformaciones unitariascortantes causan el cambio en su forma.

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La transformación de las deformaciones unitarias normales y cortantes de un conjunto de ejes giradosa otro es completamente análoga a la transformación de los esfuerzos normales y cortantes.El estado de deformación unitaria plana esta dada por:

Las alteraciones de un elemento causadas por cada una de estas deformaciones se muestran enla figura, en la que se nota que las deformaciones normales son el producto de los cambios delongitud del elemento en las direcciones x e y . Por otro lado la deformación cortante es elproducto de la rotación relativa de dos lados adyacentes del elemento.

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Por ejemplo, si el elemento que se muestraen la figura se somete a esfuerzo biaxial nosolo se producen deformaciones normales,sino que también se tendrá una deformaciónnormal asociada al eje z .

Esto es un caso de esfuerzo plano, perono uno de deformación plana.

En general, a menos que ν =0, el efectoPoisson evitara la ocurrencia simultanea dedeformación plana y esfuerzo plano.

Asimismo hay que señalar que como elesfuerzo cortante y la deformación cortanteno son afectados por la razón de Poisson ,una:

condición de : τxz=τyz= 0

requiere que : γxz=γyz=0.

Si bien la deformación plana y el esfuerzo plano tienen cada una tres componentes en el mismoplano, téngase en cuenta que el esfuerzo plano no necesariamente genera deformación plano oviceversa. Esto se debe al efecto de la razón de Poisson.

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Las deformaciones normales son positivas si generan alargamientos a lo largo de los ejescorrespondientes y la deformacion cortante es positiva si el angulo interno AOB resulta menor de 90° ,esta convencion de signos es consistente con lo establecido en el estado de esfuerzo plano, es decirque los esfuerzos positivos del esfuerzo plano ocasionan que el elemento se deforme en lasdirecciones de las deformaciones cortantes positivas, respectivamente-

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Para deducir las ecuaciones de transformación de la deformación unitaria, el elemento distorsionadopor una deformación de unitaria cortante positiva se tomará como el mostrado en la figura (a).

Si se conocen las deformaciones unitarias εx, εy y γxy asociadas a los ejes xy, y qué, se requiere ladeformación unitaria extensional a lo largo de algún nuevo eje x´.

El nuevo sistema de ejes x´y´, esta relacionado con los ejes xy, como se muestra en la figura (b).

En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx’ de largo, puede imaginarse como unadiagonal de un elemento diferencial rectangular dx por dy en las coordenadas iníciales.

Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por lasdeformaciones unitarias impuestas, sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados.

El desplazamiento en la dirección x es: A A´ = εx dxEl desplazamiento en la dirección y es: A´A´´ = εy dy

Para la deformación unitaria cortante, suponiendo que ella causa:El desplazamiento horizontal mostrado en la figura (a), A’A’’’ = γxy dy.

Considerando que el orden en que esos desplazamientos ocurren es arbitrario, en la figura (b),se muestran primero el desplazamiento AA’, luego el A’A’’´ y finalmente el A’’A’’’.Proyectando esos desplazamientos sobre el eje x’, se encuentra el desplazamiento del puntoA , a lo largo del eje x’.

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Luego, por definición, εx’ dx’ en el sistema coordenado x’y’ es también alargamiento de OA, se obtienela siguiente relación

θθθε ´´´cos´´´´´´cos´´ AAsenAAAAdxx ++=Sustituyendo las expresiones apropiadas para los desplazamientos y dividiendo entre dx’ , se tiene:

θγθεθεε cos´´

cos´´ dx

dysendxdy

dxdx

xyyxx ++= θcos´=

dxdx

θsendxdy

=´θθγθεθεε coscos 22

´ sensen xyyxx ++=

Esta ecuación es la expresión básica para la transformación de la deformación unitaria normal enun plano en una dirección arbitraria definida por el eje x’. Usando identidades trigonométricas

22cos12 θθ +

=sen2

21cos2 θθ sen−=

θγ

θεεεε

ε 22

2cos22´ senxyyxyx

x +−

++

=

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Con el fin de completar el estudio de la transformaron de la deformación unitaria en un punto, debetambién establecerse la transformación de la deformación unitaria cortante.

El elemento OACB con lados OA y OB dirigidos a lo largo de los ejes x’ y y’, como se muestra en (b).Por definición, la deformación unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ángulo AOB.De la figura, el cambio en este ángulo es: α + β .

Para deformaciones pequeñas, el pequeño ángulo α puede determinarse proyectando losdesplazamientos AA’,A’A’’ y A’’A’’’ sobre una normal a OA y dividiendo esta cantidad entre dx’. Al aplicareste enfoque, la tangente del ángulo se supone igual al ángulo mismo. Esto es aceptable ya que lasdeformaciones son pequeñas.

´´´´´´´´cos´´tan

dxsenAAAAsenAA θθθαα −+−

=≈

θγθεθε sendxdy

dxdysen

dxdx

xyyx ´cos

´´−+−=

( ) θγθθεε 2cos sensen xyyx −+−−=Por un razonamiento análogo:

θγθθεεβ 2coscos)( xyyx sen +−−≈

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Como la deformación unitaria cortante γx’y’ de un ángulo incluido entre los ejes x’y’ es β + α se tiene:

)(coscos)(2 22´ θθγθθεεγ sensen xyyxxý −+−−=

θγθεεγ 2cos2)(2´ xyyxxý sen +−−=

θγ

θεεγ

2cos2

222

´ xyyxxý sen +−

−=

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Las deformaciones unitarias principales existen sobre planos perpendiculares con las direccionesprincipales θp los cuáles son determinados por la siguiente ecuación:

yx

xypεε

γθ

−=2tan

Las deformaciones principales pueden calcularse con la ecuación:

222,1 )

2()

2(

2xyyxyx γεεεε

ε +−

±+

=

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Las deformaciones unitarias cortantes máximas en el plano xy se asocian con ejes a 45º respecto de lasdirecciones de las deformaciones unitarias principales. La deformación unitaria cortante algebraicamentemáxima (en el plano xy) esta dada por la siguiente ecuación:

22max )2

()2

(2

xyyxima γεεγ+

−±=

La deformaron unitaria cortante algebraicamente mínima tiene la misma magnitud pero es negativa. Enlas direcciones de la deformación unitaria cortante máxima, las deformaciones unitarias normalespromedio son:

2yx

promedio

εεε

+=

Nota: Las deformaciones unitarias principales y los esfuerzos principales se presentan en las mismasdirecciones.

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2''yxγ

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PROBLEMA Nº 1El material se distorsiona y toma la forma punteada mostrada.Determinar:• Las deformaciones unitarias normales y la deformación unitaria

cortante• La deformación unitaria normal a lo largo de la línea BE.

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PROBLEMA Nº 2La pieza de caucho es inicialmente rectangular. Determine la deformaciónunitaria cortante promedio si las esquinas B y D están sometidas a losdesplazamientos que ocasionen que el caucho se deforme como se muestraen la figura con las líneas punteadas.

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PROBLEMA Nº 3Un elemento de un material en deformación plana experimenta las siguientes deformaciones, lascuales son ilustradas en la figura como deformaciones de un elemento en deformacionesunitarias.

Determinar:(a). Las deformaciones unitarias para un elemento orientado según un ángulo θ= 30º.(b). Deformaciones unitarias principales y las direcciones principales.(c). Las deformaciones unitarias cortantes máximas y sus direcciones.(d). Considerando solo las deformaciones unitarias en el plano muestre todos los resultados obtenidos sobre un croquis de un elemento adecuadamente orientado de manera apropiada.(e). Confirme sus resultado de la parte (a) con el circulo de Mohr.

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BIBLIOGRAFIA

(1) “Mecánica de sólidos”. E. P. Popov. 498-502 pag.(2) “Mecánica de materiales”. R. C. Hibbeler. 69-84 pag.

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