tema 1

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José R. Narro

Tema 1

1. Números reales2. Números complejos3. Función real de variable real4. Límite y continuidad5. Derivabilidad6. Concavidad-convexidad7. Gráficas de funciones8. Integral de Riemann.9. Integral impropia

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Números reales

• Los números mas usuales son los enteros: 0,±1,±2,±3,…• Llamamos números racionales a los que tienen la forma

a/b, donde a y b son enteros con b≠0. Se caracterizan porque tienen una expresión decimal periódica.

• Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal no es periódica.

• Al conjunto que resulta de unir los racionales con los irracionales le llamamos conjunto de los números reales y lo representamos por R, se suelen representar en una recta, que llamarémos recta real, de tal forma que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a la inversa.

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• Podemos separar los números reales distintos de cero en

dos conjuntos disjuntos: los números reales positivos y los

números reales negativos.

• Se definen en R las operaciones usuales: suma y producto.

• Los números reales se pueden ordenar mediante la relación

<, que se define de la forma:

a b b a es positivo

a b

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Propiedades de la relación de orden:

1. Si a y b son números, una y solo una de las siguientes afirmaciones es cierta:

2. Si

3.

4. Si c es positivo, Si c es negativo

a b o a b o b a

a b y b c a c

a b a c b c

a b ac bc a b ac bc

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La relación de orden “≤” se define de forma análoga a “<“, poniendo:

Las propiedades de la relación ≤ son las mismas que las de la relación “<“

a≤b ⇔ b-a espositivoocero

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El valor absoluto de un número real es un concepto de frecuente utilización en cálculo.

Si x es un número real, su valor absoluto |x| se define así:

x si x 0x =

-x si x 0

Números reales

Valor absoluto

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Propiedades del valor absoluto

1. |xy| = |x| |y|

2. |x/y| = |x| / |y|

3. |x+y| ≤ |x| + |y|

4. |x-y| ≥ | |x| -|y| |

5. |x| < a -a < x < a

6. |x| > a x <-a ó x >a

7. |x|= 2x

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Algunas de estas propiedades son útiles en la

resolución de inecuaciones (desigualdades con

incógnitas).

Ejemplo. Un vaso cilíndrico de 500 centímetros cúbicos tiene un radio interno de 4 centímetros.¿Con qué precisión debemos medir la altura h del agua en el vaso para asegurar que tenemos ½ litro de agua con un error de menos de 5 centímetros cúbicos.

Solución: El volumen V del agua en el vaso es V=16πh.

Queremos que: |V-500|<5 o lo que es igual:

|16h-500|<5|16(h-500/16)|<516|h-500/16|<5|h-

500/16 |< 5/16 |h-9.947|< 0.0947≈0.1.

Luego, se debe medir la altura con una precisión de un milímetro.

Números reales

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Intervalos

Definición de intervalo: Un subconjunto I de números reales es un

intervalo, si dados x, y I con x < y; para todo z que verifica x < y < z,

se tiene que z I.

Definición de intervalos acotados:

Siendo a, b R se define

(a, b)={x Є R /a < x < b } intervalo abierto

[a, b]={x Є R /a ≤ x ≤ b } intervalo cerrado

(a, b]={x Є R /a < x ≤ b } intervalo semiabierto o semicerrado

[a, b)={x Є R /a ≤ x < b } intervalo semiabierto o semicerrado

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(a,b)

[a,b]

(a,b]

[a,b)

a b

a b

a b

a b

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Definición de intervalos no acotados o semirrectas:

Si a R definimos

(a, ∞) = { x Є R / x > a }

[a, ∞) = { x Є R / x ≥ a }

(-∞, a) = { x Є R / x < a }

(-∞, a] = { x Є R / x ≤ a }

Luego se puede escribir R = (-∞, ∞)

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Definición de conjuntos acotados

1) Un subconjunto A de R se dice que está acotado superiormente si para cualquier x de A se cumple x ≤ M, para algún M R. Se dice que M es una cota superior de A.

2) Un subconjunto A de R se dice que está acotado inferiormente si para cualquier x de A se cumple m ≤ x, para algún m R. Se dice que m es una cota inferior de A.

3) Un subconjunto A de R se dice que está acotado si para cualquier x de A se cumple |x| ≤ M, para algún M R. Se dice que M es una cota de A.

4) Luego A está acotado sí y sólo sí lo está superior e inferiormente.

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Números complejos

Una ecuación que no puede resolverse en R: 012 x . Su solución debería ser 1x . Llamemos 1i (unidad imaginaria), siendo i R. Usando i podemos resolver ecuaciones mas complicadas, como por ejemplo 2 1 0x x , cuya solución es

1 1 4 1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2

ix i

.

Los números obtenidos son dos ejemplos de lo que llamaremos “números complejos”. Un número complejo es una expresión de la forma a+bi, llamada forma binómica, siendo 1i , a y b son números reales; al conjunto de los números complejos lo designamos por C. Sea z=a+bi, a se llama parte real de z y b se llama parte imaginaria de z, que simbolizamos: Re(z)=a, Im(z)=b. Los complejos con parte imaginaria cero se identifican con los números reales: a+0i=a.

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Números complejos

El número z = a+bi se puede representar en el plano por el punto P(a,b), que se denomina afijo de z. (a,b) es otra forma de escribir el complejo z como un par ordenado de números reales; de esta forma estamos identificando con 2 : a+bi=(a,b). La representación geométrica conduce a los conceptos de módulo y argumento:

=|a+bi|= 2 2a + b , α=arg(a+bi)=arctg b

a=arcsen b

ρ=arccos a

ρ

Y

X

P(a,b)

b

ao

El módulo es único y existe siempre

El argumento solo está definido cuando ≠0, y entonces hay infi nitos argumentos: +2k

Si [0,2 ], se le llama argumento principal.

Forma polar:

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Números complejos

Y

X

P(a,b)

b

ao

acosα = a =ρcosα

ρ

bsenα = b = ρsenα

ρ

Luego: a+bi = ρcosα +ρsenαi = ρ(cosα +isenα)

Paso de polar a binómica

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Números complejos

Y

X

P(a,b)

b

ao

22ρ = a

bα = arctg

a

b

Paso de binómica a polar

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Números complejos

Resumiendo, se tienen las distintas formas de escribir un número complejo: Binómica: a + bi

Par ordenado: (a,b)

Polar o módulo argumental:

Trigonométrica: ρ( cosα+isenα)

Luego: a + bi = (a,b) = = ρ( cosα+isenα)

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Números complejos

Sobre la igualdad de números complejos se obtienen conclusiones distintas según la forma de escribirlos:

En forma binómica a+bi=c+di a=c, b=d En forma polar '´

2 0 1 2'´, , , , , ...k k

Se pueden definir en C las mismas operaciones que en R, con análogas propiedades, utilizamos, en principio, la forma binómica . Sean u=a+bi, v=c+di dos complejos

Suma: u+v=(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i Se ha definido como si todos los números que intervienen fuesen reales. Usamos la misma idea para definir el producto, recordando que 2 1i .

Producto: uv=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd 2i =ac-bd+(ad+bc)i

El elemento nulo de la suma es 0+0i=0, la unidad para el producto es 1+0i=1, el

opuesto de a+bi es –a-bi, el inverso a+bi lo representamos por -1 1(a+bi) =

a+bi , que

lógicamente debe cumplir -1(a+bi)(a+bi) =1+0i .

Igualdad entre complejos. Suma y producto

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Números complejos

La resta y la división, al igual que con los reales, son casos particulares de la suma y el producto y, se tiene por tanto:

u-v=(a+bi)-(c+di)=a-c+(b-d)i

1u a+bi( )

v c+dia bi

c di

Luego para dividir se precisa obtener 1

c di. Más adelante daremos un método

mas práctico para dividir.

Restar y dividir

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EJERCICIOS: 1. Obtener todas las formas del número -2+2i. 2. Obtener un número complejo sabiendo que al multiplicarlo por

1-2i se obtiene 1+i. 3. Calcular el inverso de 2-3i. ¿Existe siempre el inverso de un

complejo? Dar las condiciones para que exista. 4. Calcular el valor de x para que el número complejo (-2+i)(x-i)

sea: a) real (parte imaginaria nula) b) imaginario puro (parte real nula)

Números complejos

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Números complejos

Dado un complejo z=x+yi, a veces, es necesario considerar el complejo de igual

parte real y parte imaginaria opuesta que representamos por z =x-yi, y que

llamamos conjugado de z.

Las propiedades mas usuales del conjugado son:

1. Si z C z z

2. Si ,u v C u v u v y uv uv . Si 0 ( )u u

vv v

3. Si z2 2

Re( ) Im( )z z z z

C z y zi

Conjugado de un número complejo

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Números complejos

a) 0| |z z C . b) 0 0| |z z .

c) 2| |zz z z C . d) 1 2 1 2 1 2| | | | | | , .z z z z z z C

e) 1 2 1 2 1 2| | | || | ,z z z z z z C

Propiedades del módulo:

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Números complejos

La propiedad c) se puede utilizar para calcular el inverso de un complejo y el

cociente de complejos:

2 12 2

11| |

| | | |

z zzz z z z

z z z

Ejercicios

1) Obtener el inverso de 3-i

2) Calcular 2

1 2

i

i

2 2

u uv uv 1= = = uv

v |v| |v|vv

Uso del conjugado para dividir

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Números complejos

Determinados cálculos se pueden simplificar si se utiliza la forma conveniente del

número complejo, así para productos y cocientes, se puede usar la forma polar

como muestran las siguientes fórmulas:

a)

1 2 1 21 2 1 2

b) 1

1 2

2

1 1

2 2

( )

Ejercicios:

1) Calcular 3 3 1 3( )( )i i , usando la forma polar.

2) Calcular 3

1

i

i

, usando la forma polar.

3) Demostrar el resultado a)

Multiplicación y división en forma polar

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Números complejos

Al igual que ocurre con los números reales, podemos considerar potencias de

números complejos:

nz =z...z, donde aparecen n factores, para n entero positivo

Análogamente se define -nn

1z =

z

Si n es un número grande el cálculo puede resultar muy laborioso si se utiliza la

forma binómica y el binomio de Newton; sin embargo, si se tiene la forma polar del

complejo el trabajo se simplifica notablemente si se emplea la fómula:

( )n nn , o lo que es igual ( (cos )) (cos( ) ( )n n nz sen i n sen n i

Fórmula que recibe el nombre de De Moivre, y además es útil en la obtención de

ciertas fórmulas trigonométricas.

Potencias de números complejos

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Números complejos

Ejercicios 1) Calcular 501( )i 2) Obtener las formulas que expresan 4 4cos( ) ( )y sen , en función de sen y cos . 3) Demostrar la fórmula de De Moivre.

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Números complejos

Se puede obtener a partir de la forma binómica, directamente ó aplicando una fórmula de fácil obtención: Calculemos a+bi , siendo a+bi un número complejo conocido:

2 2 2a+bi=x+yi (x+yi) =a+bi x -y +2xyi=a+bi

Luego 2 2x -y =a

2xy=b

elevando al cuadrado 4 4 2 2 2

2 2 2

x +y -2x y =a

4x y =b

sumando

4 4 2 2 2 2x +y +2x y =a +b , llamando r =|a+bi| 2 2a +b 2 2 2r =a +b , Luego se tiene:

4 4 2 2 2x +y +2x y =r 2 2 2 2 2 2(x +y ) =r x +y =r .

Raíz cuadrada en forma binómica

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Números complejos

Se tienen las igualdades (*) 2 2

2 2

x -y = a

x +y = r

sumándolas

2 2 r+a2x = r+a x =2

Luego r+ax=±

2.

Restando las igualdades de (*) 2 r-a2y =r-a y=±

2 .

Para asignar los signos correctos usamos 2xy =b sig(xy)=sig(b) . Luego si b>0 sig(x)=sig(y) y si b<0 sig(x) sig(y) . Todas estas posibilidades se resumen en la fórmula:

2 2( ( ) )

r a r aa bi sig b i

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In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Ejercicio

a) Calcular 1-2i resolviendo el sistema del que se parte para obtener la fórmula y, comprobando el resultado obtenido mediante la fórmula.

b) Calcular 16-30i . c) Resolver la ecuación 2z +(-1-3i)z+2i-2=0 .

Números complejos

30

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Se define una función f : A , como una aplicación de un subconjunto A en , en consecuencia a cada x A , le corresponde un valor f(x) .

Algunos ejemplos son: 3

2 x2

x +7f(x)=x -1, f(x)=e , f(x)=

x +5

Se denomina dominio de f, que simbolizamos por Dom f, el conjunto de números

reales x para los que tiene sentido f(x).

Si Dom f = A, representaremos la función de la forma f : A . La imagen o recorrido de f, que representamos por Im f, es el conjunto de números reales “y” para los que existe x , con y = f(x).

Función real de una variable real

Definición de: función, dominio e imagen

31

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Una función real de variable real se representa normalmente por una grafica o curva en el plano XY, representando en el eje de abscisas la variable independiente x, y en el eje de ordenadas la variable dependiente y=f(x).

Im f

Dom f

Gráfica

y = f(x)

Y

X

32

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Sea f: A una función real de variable real, y B A a) Se dice que f es creciente en B si para 1 2 1 2 1 2x , x B con x < x f(x ) f(x ) .

(Si ) 2f(x )<f(x ) , f se dice estrictamente creciente en B)

b) Se dice que f es decreciente en B si para 1 2 1 2 1 2x , x B con x < x f(x ) f(x ) .

(Si ) 2f(x )>f(x ) , f se dice estrictamente decreciente en B)

La función f se dice monótona en B si es creciente o decreciente en B.

Monotonía: crecimiento, decrecimiento

33

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Ejemplo de crecimiento-decrecimiento

Crecienteen B

Decrecienteen C

B C

Y

X

34

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Si f es una función con dominio A verificando: x A -x A . Se dice que f es una función par si f(-x)=f(x) x A Se dice que f es una función impar si f(-x)=-f(x) x A Luego la gráfica de una función par es simétrica respecto al eje OY, y la de una impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Definición: función par e impar


35

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


4 2( )f x x x

Función par

3( )f x x x

Función impar

Ejemplos

36

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Una función f se dice acotada superiormente, si existe H R , tal que f(x) H para todo x de Dom f.

Una función f se dice acotada inferiormente, si existe K R , tal que K f(x) para todo x de Dom f. Una función se dice acotada si lo está superior e inferiormente, o lo que es igual, si existe un M tal que |f(x)| M para todo x de Dom f.

Definicion de función acotada

37

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


2( )f x xAcotada inferiormente

No acotada superiormente

( ) cosf x x

Función acotada

Ejemplos

38

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Se dice que f es periódica si existe un pR, p>0 tal que se verifica: f(x)=f(x+p) para x Dom f. Se llama período de f al menor valor de p con la propiedad anterior.

( )f x sen x

Función periódica

El período es 2π

Definición de función periódica

39

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Una de las operaciones usuales entre funciones es la composición: Consideremos dos funciones f : A R y g: B R, verificándose f(A) B, definímos la función compuesta g o f : A R así (g o f)(x) = g[f(x)] x A.

Si la función f es inyectiva existe una función h : Im f R, tal que (hof)(x)=x

xDom f

También se cumple que h es inyectiva y se verifica (f o h)(x) = x x Dom h .

Esta función h se denomina inversa de f y se denota por h = 1f , por lo tanto

también se cumple 1h = f.

Definición de inversa de una función

40

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer- tercer cuadrante. Algunos ejemplos de funciones inversas son: Si f(x) = log x, 1f (x) = xe . Si f(x) = sen x, 1f (x) = arcsen x.

Gráficas de funciones inversas

y=ex

y=log x

y=x

41

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

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José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

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In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

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s b

ási

cos

José R. Narro


La mayor parte de las funciones que utilizamos se denominan funciones elementales y son aquellas que pueden obtenerse a partir de polinomios, exponenciales, funciones trigonométricas mediante un número finito de pasos en los que intervengan las operaciones de suma, producto, composición y cálculo de inversas. Las llamadas funciones hiperbólicas son un ejemplo más de funciones elementales, que se definen a partir de la exponencial , de la siguiente forma:

Seno hiperbólico, senh x = x -xe - e

2.

Coseno hiperbólico, cosh x = x -xe e

2

.

Tangente hiperbólica, tgh x = x -x

x -x

senh x e - e=

cosh x e +e

Definición de función elemental: ejemplos

42

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Análogamente al caso trigonométrico se definen las funciones:

Cotangente hiperbólica, coth x = 1

tgh x

Secante hiperbólica, sech x = 1

cosh x

Cosecante hiperbólica, cosech x = 1

senh x

Ejemplos de funciones elementales

43

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


y=cosh x y=senh x

Gráficas de coseno y seno hiperbólicos

44

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Análogamente al caso de las funciones trigonométricas, se tienen las funciones inversas de las hiperbólicas, que se denominan anteponiendo la palabra “argumento”. Así, por ejemplo, la función inversa del seno hiperbólico se llama “argumento seno hiperbólico”, y se escribe argsh x, con lo que se tiene: y = argsh x x = senh y. La inversa del coseno hiperbólico es el ”argumento coseno hiperbólico” simbólicamente: argch x, luego: y = argch x x = cosh y. Se procede de igual forma para las restantes funciones. Ejercicio Obtener las funciones inversas del seno y del coseno hiperbólicos, o lo que es igual las fórmulas que definen argsh x y argch x.

Funciones inversas de las hiperbólicas

45

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Límite y continuidad

Con lenguaje poco preciso, se dice que la función f : A R, tiene por límite l R, para x tendiendo a “a”, (a R), si al darle a la variable x valores muy próximos a “a”, los valores correspondientes de f(x) también son muy próximos a “l”. De forma más precisa, lo anterior, se puede escribir en la forma:

x alim f(x) = l ( ε > 0 δ > 0 / 0 <| x - a |< δ | f(x) - l |< ε )→

⇔ ∀ ∃ ⇒

Hay que destacar que depende de y de “a”. La condición 0 |x-a| , indica que no es necesario que la función esté definida en el número “a”. La condición |x-a| , equivale a - x-a a - δ x a + δ x (a-δ,a+δ) Al intervalo (a- , a+ ) se le llama entorno de centro “a” y radio , y se simboliza por E(a). Análogamente se tendría: |f(x)-l| f(x) E (l)

Definición de límite

46

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


l

l+

l-

a a+a-

x alimf(x)=I

y

x

y=f(x)

Límite

47

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Utilizando el lenguaje de entornos la definición de límite diría: Para todo entorno

de centro l y radio , εE (l) , existe un entorno de centro “a” y radio , E(a), de

forma que si x (E(a)-{a}) entonces f(x) εE (l) .

En esta definición x se aproxima a “a”, tomando tanto valores superiores a “a” (a

la derecha de “a”), como valores inferiores a “a” (a la izquierda de “a”). Si

imponemos que x se aproxime a “a” solo por la izquierda o solo por la derecha

llegamos al concepto de límite lateral.

Se dice que el límite por la derecha de la función f en a es igual a l y escribimos

+x alim f(x) = l ε>0 δ>0 / 0<x-a<δ |f(x)-l|<εsi

.

Se dice que el límite por la izquierda de la función f en a es igual a l y escribimos

- x alim f(x) = l ε>0 δ>0 / 0<a-x<δ |f(x)-l|<εsi

.

Una condición necesaria y suficiente para que exista x alimf(x)

, es que existan los

límites laterales y que coincidan + -x a x a

lim f(x)= lim f(x)

.

Límites

48

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


También podemos definir los límites infinitos. Se dice que el límite de f para x ten

diendo a “a” es , si al tomar x valores muy próximos a “a” f(x) puede superar a

cualquier número y escribimos x alimf(x)

= .

De forma mas precisa escribímos:

x alimf(x)

=+∞ ( M R δ>0 / 0<|x-a|<δ f(x)>M)

Análogamente definimos x alim f(x)

= ( M R δ>0 / 0<|x-a|<δ f(x)<M)

De la misma forma se definen los límites laterales infinitos:

+x alim f(x)=+

( M R δ>0 / 0<x-a<δ f(x)>M)

-x alim f(x)=+

( M R δ>0 / 0<a-x<δ f(x)>M)

Análogamente se definen para .

Límites

49

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Decimos que la recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si al menos

uno de los límites laterales en a es +∞ o -∞.

También se pueden considerar límites finitos en el infinito si f(x) es una función

cuyo dominio contiene un intervalo de la forma (a, +∞). Se dice que f tiende a l

cuando x tiende a +∞, y se escribe x +lim f(x)=l

, si ε>0 R / si x>N |f(x)-l|<εN

Análogamente si el dominio de la función f contiene a un intervalo de la forma (-∞,

a), se dice que f tiende a l cuando x tiende a -∞, y se escribe xlim f(x)=l

, si

ε>0 N R / si x<N |f(x)-l|<ε .

Se dice que la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si

x -x +limf(x)=b o lim f(x)=b

.

Asíntotas

50

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


lim ( )x a

f x

lim ( )x a

f x

X

Y

x = a

x = a, es una asíntota vertical, tanto a la izquierda como a la

derecha

Asíntotas

51

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


1

2y

x

X=2 es una asíntota

vertical de

Tanto a la izquierda como a la derecha.

1f(x)=

x-2

Ejemplo

52

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


23

1

3lim

( )x x

x=-3, es una asíntota

vertical de 2

1

3( )

( )f x

x

2

1

3( )y

x

Ejemplo

53

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


2

2

5( )y

x

x=5, es una asíntota vertical de

2

2

5( )y

x

25

2

5lim

( )x x

Ejemplo

54

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


2

2

2 1

3 7( )

xf x

x x

2

2

2 1

3 7

xy

x x

2lim ( ) lim ( )x x

f x f x

y=2, es una asíntota

horizontal de f(x)

Ejemplo

55

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


3

5( )f x

x

0lim ( ) lim ( )x x

f x f x

y=0, es una asíntota

horizontal

5 5lim ( ) , lim ( )x x

f x f x

x=5,es una asíntota

vertical

3

5y

x

Ejemplo

56

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Otro tipo de asíntota, distinta de las anteriores, es la asíntota oblicua de la función

f(x), que tiene por ecuación: y = mx+n, con m 0, siendo

x + x +

f(x)m= lim y n= lim (f(x)-mx)

x , con 0, ,m n R m . Se llama asíntota oblicua

a la derecha.

Análogamente se tendría para x , y se llama asíntota oblicua a la izquierda.

En el caso de funciones racionales ambas coinciden.

Ejercicio Obtener las asíntotas de las siguientes funciones

a) f(x) = log(x2+3x+2) b) g(x) = xe1/x

c) h(x) = 3

2

x

(x +1)

Asíntotas

57

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


22 7 2( )

3

x xf x

x

22 7 2

3

x xy

x

lim ( ) , lim ( )x x

f x f x

( )lim 2, lim ( ( ) 2 ) 1x x

f xf x x

x

y = 2x+1,es una asíntota

oblicua de f(x)

3 3lim ( ) , lim ( )x x

f x f x

x = -3, es una asíntota

Vertical de f(x)

Ejemplo

58

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro


Algunas propiedades fundamentales sobre límites son: Si 1 2 1 2lim ( ) lim ( ) ,

x a x af x l y g x l con l l R

, a puede ser real ó

1) 1 2lim[ ( ) ( )]

x af x g x l l

2) 1 2lim[ ( ) ( )]x a

f x g x l l

3) Si 2l1

2

0( )

, lim( )x a

lf x

g x l .

Si algunos de los límites 1 2l y l o ambos es infinito se cumplen resultados análogos y

pueden presentarse indeterminaciones que recordaremos más adelante.

Límites

59

Intr

odu

cció

n a

l Cál

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In

fin

ites

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Tem

a 1

: C

once

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s b

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José R. Narro

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Tem

a 1

: C

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José R. Narro


Casos interesantes se presentan cuando el límite de una función es infinito o cero.

Se dice que una función f es un infinito para x a , si lim ( )x a

f x

, a puede ser

real o . Vale la misma definición para x a .

Por ejemplo la función 1

x es infinita para 0x , pero no lo es para 1x .

Análogamente diremos que una función f es un infinitésimo para x a , si

0lim ( )x a

f x

, suponiendo para a las mismas hipótesis anteriores.

Por ejemplo la función 1

x es un infinitésimo para x pero no lo es para

7x .

Luego una función f es un infinito para x a si y solo si 1

f es un infinitésimo

para x a .

Infinitos e infinitésimos

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José R. Narro


Podemos comparar infinitésimos entre si e infinitos entre si. Diremos que dos infini

tésimos f y g para x a , son comparables si existe ( )

lim( )x a

f x

g x, diremos que f y g

son del mismo orden si dicho límite no es nulo y que f es de orden mayor que g si el

límite es nulo. Esto último indica que f se acerca a 0 mucho más “rápidamente”

que g.

De forma análoga procedemos con los infinitos. Diremos que dos infinitos f y g

para x a , son comparables si existe ( )

lim( )x a

f x

g x, diremos que f y g son del mismo

orden si dicho límite no es nulo y que f es de orden inferior a g si el límite es nulo.

Esto último indica que g crece mucho más “rápidamente” que f.

Por ejemplo x2 y x son infinitésimos para 0x , siendo x2 de orden superior a g ,

pues 2

00lim

x

x

x .

Estas mismas funciones son infinitos para x , y se tiene: 2 0lim

x

x

x , luego

x2 es de orden superior a x.


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José R. Narro


Infinitos e infinitésimos (ejemplo)

x2 es un infinitode orden superior a x para x

x2 es un infinitésimode orden superior ax para x 0

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José R. Narro



Entre las funciones elementales consideramos cuatro infinitos, para x , que

llamamos fundamentales y que son:

logarítmico potencial exponencial potencial-exponencial

(log x)m xp ax xkx

(m>0) (p>0) (a>1) (k>0)

Se verifica que cada uno de los infinitos anteriores son de orden inferior a los

siguientes, pues se verifica:

m p x

p x kxx + x + x +

(log x) x alim =0, lim =0, lim =0.

x a x

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azúl:xx

amarilla: ex

roja: xverde: log x

Infinitos para x

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José R. Narro



Si tomamos los inversos de los infinitos fundamentales para x , se tienen los

llamados infinitésimos fundamentales y que son:

logarítmico potencial exponencial potencial-exponencial

(log x)-m x-p a-x x-kx

(m>0) (p>0) (a>1) (k>0)

Análogamente se cumple que cada uno de estos infinitésimos es de orden inferior a

los que le siguen, pues teniendo en cuenta los resultados anteriores se cumpliría:

-p -x -kx

-m -p -xx + x + x +

x a xlim = lim = lim =0

(log x) x a .

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José R. Narro


Funciones equivalentes

En el cálculo de ciertos límites resulta útil el manejo de las funciones

“equivalentes”.

Las funciones f y g se dicen equivalentes en “a” si se verifica x a

f(x)lim =1

g(x). Por

ejemplo sen x y x son funciones equivalentes en 0, ya que x 0

sen xlim =1

x.

La utilidad mencionada se basa en la siguiente propiedad:

Si en una expresión se reemplaza el factor o divisor f(x) por otro equivalente F(x)

el limite de la expresión no se modifica.

Para comprobarlo supongamos que se quiere calcular el limx a

f(x)g(x), el cual no

cambiará si se multiplica por una función con limite igual a 1: x a

F(x)lim f(x)g(x)

f(x), es

decir, se tiene el limite limx a

F(x)g(x).

Si se tuviese un cociente x a

g(x)lim

f(x), multiplicando por

f(x)

F(x) que tiene por limite 1, se

tendrá x a x a

g(x) ( ) g(x)lim lim

f(x) ( ) F(x)

f x

F x .

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José R. Narro



Como ejemplo apliquémoslo al cálculo de 0 3

tg x-xlim

xx, que es una indeterminación

de forma 0

0, por lo que podemos aplicar L’Hopital

0 0 0

2 22

2 2 2 2 2

1-1 1-cos x sen xcos xlim lim lim

3x 3x cos x 3x cos xx x x

que de nuevo está indeterminado, se podría seguir aplicando L’Hopital, pero esto

conduce a derivadas cada vez más complicadas. Sin embargo el límite del último

cociente puede calcularse mucho más fácilmente sustituyendo sen x por su equiva-

lente x, 2

2 20

1

3 3lim

cosx

x

x x .

Dado que tg x también es equivalente a x en 0, ¿se puede sustituir tg x por x en la

primera expresión del límite? Esto es un error, pues se obtendría que el límite es 0.

El error consiste en haber sustituido un “sumando” por otro equivalente.

La equivalencia de f(x) y g(x) en “a” la indicamos así: f(x) ~ g(x), para x=a.

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Algunas equivalencias de uso frecuente son:

sen x ~ x, para x=0

1 – cos x ~ 2x

2, para x=0

tg x ~ x, para x=0 arc sen x ~ x, para x=0 arc tg x ~ x, para x=0 ax-1 ~ x log a, para x=0 ex-1~ x, para x=0 log(1+x) ~ x, para x=0 (1+x) -1 ~ x, para x=0

x -1~ (x-1), para x=1

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Ejercicio

Demostrar las equivalencias anteriores.

Las dos últimas equivalencias son útiles en el cálculo de límites donde intervienen

raíces.

Veamos algunos ejemplos:

a)

13 3

1 1 1

111 0 1 13

1 0 1 1 3

( )lim lim limx x x

xx x

x x x

b)

144 44

4 4 4

3

1 1 1 11 1 1 1 1

41

04

lim ( ) lim ( ) lim [( ) ] lim ( )

lim

x x x x

x

x x x x xx x x

x

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José R. Narro

La mayor parte de las funciones que estudiamos tienen la propiedad de ser

continuas. De forma intuitiva esto significa, para y = f(x), que pequeños cambios de

x dan lugar a variaciones pequeñas de y, es decir, la grafica de una función

continua no debe presentar “agujeros”.

Precisando más, diremos que la función f(x), es continua en x = a, si se cumplen las

condiciones siguientes

1) Existe f(a)

2) Existe limx a

f(x)

3) limx a

f(x) = f(a) limx a

f(x) = f( limx a

x)


Continuidad

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Continuidad

Como la existencia de límite equivale a la existencia de los límites laterales y a su

coincidencia, también se tendrá el concepto de continuidad lateral :

Se dice que f es continua a la izquierda de a si:

1) Existe f(a)

2) Existe limx a

f(x)

3) limx a

f(x) = f(a) limx a

f(x) = f( limx a

x)

Se dice que f es continua a la derecha de a si:

1) Existe f(a)

2) Existe limx a

f(x)

3) limx a

f(x) = f(a) limx a

f(x) = f( limx a

x)

Luego una condición necesaria y suficiente para que f sea continua en a es que sea

continua a la izquierda y a la derecha de a.

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Para la composición de funciones y la continuidad se tienen los resultados: 1) Si f : A R es continua en a y g : f(A) R, es continua en b = f(a), entonces

g o f : A R es continua en a.

2) Si f y g son dos funciones tales que existe limx a

f(x) = l R y g es una función

continua en l, entonces limx a

g(f(x)) = g(l).

Respecto a las operaciones elementales se tiene el resultado:

Si f,g :A R son dos funciones continuas en a, entonces las funciones f g y fg son

también continuas en a. Si además g(a) 0, entonces f

g es también continua en a.


Continuidad

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Si f no es continua en a, se le llama discontinua en a. Se pueden dar los siguientes

casos:

1) Existe limf(x)x a

, pero no coincide con f(a), o bien no existe f(a). en este caso la

discontinuidad en a se llama evitable , y es posible conseguir que f sea continua

en a.

2) No existe limf(x)x a

. En este caso la discontinuidad en a se dice inevitable,

llamándose de salto (finito o infinito) si existen limx a

f(x) y limx a

f(x), siendo

evidentemente distintos.

3) Si alguno de los limites laterales no existe la discontinuidad se llama esencial.


Continuidad

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Sea f(x) = 2 9

3

x

x

, no está definida en x = 3, pero 3 3

3 6lim ( ) lim( )x x

f x x

.por

tanto en x = 3, hay una discontinuidad evitable. Se puede eliminar esta discontinuidad definiendo f(3) = 6. Para los restantes puntos es continua por ser cociente de funciones continuas.


Continuidad

y

x

f(x) = x+3, si x ≠ 3

X = 3

y = x+3

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Continuidad

Sea f(x) = 1

xe , no existe para x=0, y se tiene 1

0lim x

xe e

,

1

0

10lim x

xe e

e

. Luego en x = 0, hay una discontinuidad inevitable de salto

infinito. En los restantes puntos es continua por ser composición de funciones continuas.

y = e1/x

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Sea f(x) = 1

x1

e senx

, tampoco está definida en x = 0. Cuando x 0 , 1

xe ,

y, sen 1

x oscila entre -1 y 1, por lo que no existe

0lim ( )x

f x

, con esto es suficiente para

afirmar que f(x) tiene en x = 0 una discontinuidad esencial, aunque el otro limite lateral

valga 0, puesto que 1

0 0xe para x ,y sen 1

x está acotado por 1.


Continuidad

y = e1/xsen(1/x)

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José R. Narro

El concepto de continuidad estudiado hasta ahora se refiere a un punto del

dominio de la función. Ampliamos el concepto de continuidad a todo un conjunto.

Decimos que la función f : A R es continua en el conjunto A si es continua

para cada punto de A.

Si el conjunto A es un intervalo cerrado [a , b] , decimos que f es continua en [a , b]

si lo es en cada punto interior, es decir en (a , b), es continua a la derecha de a y a

la izquierda de b.

Los resultados mas interesantes respecto a la continuidad se obtienen

considerando funciones continuas en un intervalo cerrado.


Continuidad

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Teorema de Bolzano Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a , b ] y en los extremos del intervalo toma valores de signo contrario (sig f(a) sig f(b), entonces existe, al menos, un punto c en (a , b), tal que f(c) = 0.


Continuidad

a bc d e

y

x

f(c) = f(d) =f(e) = 0

y = f(x)

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Teorema de Darboux de los valores intermedios. Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a , b ], entonces f toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).


Continuidad

a b

f(a)

f(b)

y

x

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Continuidad

Teorema (de acotación) Si f es continua en [a , b], entonces f está acotada en [a , b].

a b

M

m

m f(x)

m es una cota inferiorde f(x) en [a, b]M es una cota superiorde f(x) en [a, b]

M

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Teorema de Weierstrass Si f es continua en [a , b], entonces f alcanza el máximo y el mínimo en el intervalo [a , b], es decir, existen x1, x2 [a , b] tales que f(x1) f(x) f(x2) x [a , b]


Continuidad

f(x1)

f(x2)

a b

y = f(x)

y

x

f(x) alcanza en x1 y x2

el mínimo y el máximoabsolutos, respectivamente,en [a, b]

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José R. Narro

El concepto de derivada está relacionado con el problema de obtener la recta

tangente a la curva, que representa la grafica de la función f(x), en un punto (a ,

f(a)).

Sea f definida en un entorno del punto a, se dice que f es derivable en a si el

siguiente limite existe y es real

h 0 x a

f(a + h) - f(a) f(x) - f(a)lim = lim

h x - a→ →

A este límite se le llama derivada de f en el punto a y se representa por f´(a).

Al definirse la derivada mediante un límite, tienen sentido las definiciones de

derivadas laterales.

Al número + +

´ +

h 0 x a

f(a + h) - f(a) f(x) - f(a)f (a ) = lim = lim

h x - a

en caso de existir se llama derivada a la derecha en el punto a.

Análogamente, al número - -

´ -

h 0 x a

f(a + h) - f(a) f(x) - f(a)f (a ) = lim = lim

h x - a

en caso de existir, se le llama derivada a la izquierda en el punto a.

Derivabilidad

Derivadas

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Derivabilidad

Derivadas

Aplicando la condición de existencia de límite se tiene la siguiente propiedad:

La derivada f´(a) de una función f en un punto a existe si y sólo si existen las

derivadas laterales, son finitas y coinciden.

Ejercicios

1) Estudiar la derivabilidad de la función

1

xsen( ), si x 0f(x)= x

0, si x=0

en el punto a=0.

2) Estudiar la derivabilidad de la función

2 1

x sen( ), si x 0f(x)= x

0, si x=0

en el punto a=0.

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Derivabilidad

Derivadas

Estudiemos ahora el significado geométrico de la derivada. Sea la curva y = f(x), y en ella los puntos A(a, f(a)) y B(a+h, f(a+h)); la recta

secante AB tiene por pendiente f(a+h)-f(a)

h , cuando h 0 , la recta secante AB

tiende a la recta tangente en A; luego si una curva admite recta tangente en un punto, su pendiente debe coincidir con el valor de la derivada en dicho punto. Luego admitimos que la existencia de tangente geométrica en un punto equivale a la a la existencia de derivada en dicho punto.

f´(a) = tg

tg tg, cuandoh 0

tg =(f(a+h)-f(a))/h

a a + h

B

y = f(x)

y

xf(a)

f(a+h)

A

84

Intr

odu

cció

n a

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In

fin

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Tem

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: C

once

pto

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Tem

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José R. Narro

Derivabilidad

Derivadas

La ecuación de la recta tangente en el punto A(a, f(a)) es y – f(a) = f´(a)(x-a). Luego la ecuación de la recta normal (perpendicular a la tangente en el mismo punto) en A(a, f(a)) es

y – f(a) = -1

f´(a)(x-a) , si f´(a) 0 .

y = f(x)/2

A

Normal en A

Tangente en Ay

x

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José R. Narro

Derivabilidad

Derivada infinita

Si el límite que define la derivada existe pero es infinito, se dice que f tiene derivada infinita en a, es decir, si f´(a) = +∞ o si f´(a) = -∞, entonces decimos que en x = a, la curva y = f(x) tiene tangente vertical en x = a.

Así, por ejemplo la función f(x) = 3 x , tiene derivada +∞ en x = 0.

y = 3 x

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Derivadas

La función f(x) =- 3 x ,tiene derivada -∞ en x = 0.

3y=- x

Derivabilidad

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Derivabilidad

Derivadas

La función f(x) = 3 2x , tiene derivada por la izquierda -∞, y derivada por la derecha +∞, en x=0.

3 2y= x

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Derivabilidad

Derivadas

Si ocurre, como en el ultimo ejemplo, f´(a-) = -∞ y f´(a+) = +∞, o bien, f´(a-) = +∞ y f´(a+) = -∞, decimos que la fución f tiene un punto de retroceso en x = a. Si en un punto a donde la función es continua existen las derivadas laterales finitas y distintas, la grafica de f presenta un pico en el punto x = a y se dice que (a, f(a)) es un punto anguloso, por ejemplo, la función f(x) = |x2-4|, presenta puntos angulosos para x = 2, x = -2.

y = |x2-4|

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Derivabilidad

Derivadas

Ejercicios 1) Obtener las derivadas laterales de la función f(x) = |x2-4|, en los puntos x = 2,

x = -2. 2) Estudiar la derivabilidad en x = 0 de la función

1 0

10 0

x

x, si x

f(x)

, si xe

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Derivabilidad

Derivadas

La derivabilidad implica la continuidad, es decir, si f es derivable en a, también es

continua en a. El reciproco no es cierto, como se puede comprobar, por ejemplo,

con la función f(x) =|x|, en x = 0.

Ejercicios

1) Demostrar la afirmación anterior.

2) Obtener la derivada de la función constante y de la función identidad en un

punto arbitrario

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Derivabilidad

Derivadas

Teorema Si f y g son funciones derivables en el punto a y c R, entonces tambien son

derivables en a las funciones f+g, cf, fg y se cumple:

(f+g)´(a) = f´(a) + g´(a) (cf)´(a) = cf´(a) (fg)´(a) = f´(a)g(a) + f(a)g´(a)

Si tambien se tiene g(a) 0 entonces también f

g es derivable en a y

2

´f´(a)g(a)-f(a)g´(a)f (a)=

(g(a))g

Luego las funciones polinómicas son derivables en cualquier punto y las funciones

racionales son derivables en los puntos donde el denominador no se anula.

92

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Derivabilidad

Derivadas

Teorema Si f es una función derivable en a y g es derivable en f(a), entonces la función compuesta es derivable en a y (g o f)´(a) = g´(f(a))f´(a) Como consecuencia de esta fórmula se obtiene el siguiente resultado para la derivada de la función inversa: Si f es derivable en a, siendo f´(a) 0, y existiendo f-1, entonces f-1 es derivable en f(a) y se verifica

(f-1)´(f(a)) = 1

f (́a)

Ejercicio Como aplicación de la fórmula anterior, obtener las derivadas de

1) arcsen x 2) arctg x

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Derivabilidad

Derivadas

Otra aplicación útil de la regla de la cadena es la llamada “derivación

logarítmica”, que se emplea para derivar funciones de la forma h(x) = (f(x))g(x) ,

con f y g derivables en a y f(x)>0 en cierto entorno de a, tomando logaritmos y

derivando, para, finalmente despejar h´(a).

Ejercicio Aplicando la derivación logarítmica, obtener las derivadas de:

1) f(x) = (x2+7)tg x 2) g(x) = [cos (2x)]arcsen x

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Derivabilidad

Derivadas

Recordemos ahora el concepto de función derivada: si f es una función derivable en un conjunto A, se dice que f es derivable en A si lo es en cada uno de sus puntos. Si f es derivable en A, la función que en cada punto x de A toma el valor f´(x) se llama función derivada de f y se simboliza por f´. Utilizando las propiedades de la derivada, se puede obtener la siguiente lista de funciones derivables en su dominio con sus funciones derivadas: 1) (k)´= 0, k R 2) (x)´= 1

3) (xk)´ = kxk-1, k R 4) (log x)´= 1

x

5) (ax)´= ax log a 6) (sen x)´= cos x

7) (cos x)´= - sen x 8) (tg x)´= 1+tg2 x = 1

2cos x

9) (arcsen x)´= 2

1

1 x 10) (arcos x)´= -

2

1

1 x

11) (arctg x)´= 2

1

1 x

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Derivabilidad

Derivadas (en forma implícita)

Las funciones consideradas hasta ahora están escritas en forma “explícita”, es decir, y = f(x), como por ejemplo y = x2+x+7, pudiéndose obtener su derivada sin dificultad. Pero si consideramos la ecuación x2+y2 = 25, que representa una circunferencia, “y” no está en forma explícita (despejada), aunque podemos despejarla y obtenemos:

y = 225 x

que representa dos funciones: y(x) = 225 x , y(x) = 225 x , que vienen definidas “implícitamente” (sin despejar) por la ecuación x2+y2 = 25. La primera función corresponde a la semicircunferencia situada por encima del eje OX, y la otra a la semicircunferencia inferior. Si queremos obtener la pendiente de la tangente en un punto de la curva, podemos derivar una de las funciones anteriores

(la que corresponda al punto en cuestión) por ejemplo si es el punto ( 21 , 2 ),

derivamos: y = 225 x

obteniendo y´(x) = 2

x

25-x

y´( 21 ) =

21 21

225 21

.

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José R. Narro

Se podría haber obtenido y´de forma mas facil: derivando “implícitamente”, es

decir, derivando directamente en la ecuación sin despejar “y” considerada como

función de x: x2+y2 = 25

derivando ambos lados 2x+2yy´ = 0 y´= x

y

, con lo que sustituyendo se

obtiene el mismo resultado anterior. Hay que hacer notar que y´ se obtiene en

función de x e y.

Este procedimiento consistente en derivar los dos lados de una ecuación con

respecto a x despejando a continuación y´ se denomina derivación implícita.

Ejercicio

Calcular y´(x) sabiendo que se verifica x2+y3-2y = 3. Obtener también las

ecuaciones de la tangente y la normal a la curva ,que define la ecuación dada, en el

punto (2, 1).

Derivabilidad

Derivadas (en forma implicita)

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José R. Narro

Aplicando la derivación reiteradamente, se obtienen las derivadas sucesivas . Si f es derivable en a, y si a su vez, la función f´es derivable en a, a la derivda de f´ en a se le llama derivada segunda de f en a, que se denota f´´(a), verificándose por tanto

f´´(a) = 0h

f´(a+h)-f´(a)lim

h

dicho límite debe existir y ser finito. Si f está definida en A, de forma que para cada x de A existe f´´(x), entonces a la función que a cada x asigna f´´(x), se le llama derivada segunda de f, y se simboliza por f´´. Análogamente se definen las derivadas terceras, cuartas, quintas, …y en general la derivada n-ésima f(n : Si f es n-1 veces derivable en a, definimos

f(n(a) = 0

(n-1 (n-1

h

f (a+h)-f (a)lim

h

siempre que el límite anterior exista y sea finito. Hay funciones que son indefinidamente derivables, como por ejemplo: las funciones seno, coseno, polinómicas y exponenciales.

Derivabilidad

Derivadas (derivación sucesiva)

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Ejercicio Estudiar la derivabilidad de la siguiente función f así como la continuidad de su derivada f´:

0

0 0

2 1x sen si x

f(x) xsi x

Derivabilidad

Derivadas

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Derivabilidad

Derivadas

Enunciemos ahora los teoremas del valor medio, en los que se consideran funciones

definidas en un intervalo cerrado y acotado, continuas en dicho intervalo y

derivables en el correspondiente intervalo abierto.

Comenzamos recordando el concepto de extremo relativo o local.

Si f es una función con dominio A, decimos que

1) c es un mínimo relativo o local de f si existe un entorno de c, (c- , c+ ), tal que

f(c) f(x) x (c- , c+ ) A 2) c es un máximo relativo o local de f si existe un entorno de c, (c- , c+ ), tal

que f(x) f(c) x (c- , c+ ) A

A los máximos y mínimos relativos se les llama extremos relativos o locales.

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Derivabilidad

Derivadas

Una condición necesaria de extremo en términos de derivada la da el: Teorema Sea f : (a, b) R y c (a, b). Si f tiene un máximo (mínimo) en c y f es derivable en c entonces f´(c) = 0. Una función puede tener extremos relativos sin ser derivable. Así mismo la anulación de la derivada no es una condición suficiente de extremo.

y = |x| y = (x-3)3 + 2

No existe f´(0) En x= 3, hay punto de inflexióncon tangente horizontal: f´(3) =0

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Derivabilidad

Derivadas

Teorema de Rolle Si f : [a, b] R, es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) siendo f(a) = f(b), entonces existe al menos un c (a, b) tal que f´(c) = 0.

c1

c2

y = f(x)

a b

f´(c1) = f´(c2) = 0, pues, (c1, f(c1)) y (c2,f(c2)) sonPuntos con tangente horizontal

y

x

f(a) = f(b)

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Derivabilidad

Derivadas

Teorema del valor medio de Lagrange Si f : [a, b] R, es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe un c (a, b) tal que f(b) – f(a) = f´(c)(b – a) (este teorema se llama también “teorema de los incrementos finitos”).

Tiene la interpretación geométrica siguiente: si A = (a, f(a)) y B = (b, f(b)) entonces

el número f(b)-f(a)

b-a representa la pendiente de la cuerda AB. El teorema anterior

afirma que hay un punto c entre a y b en el que la tangente a la curva y = f(x) es paralela a la cuerda AB.

tg = f´(c) =

f(b)-f(a)

b-a

a b

f(a)

f(b)

c

y

x

A

B

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Derivabilidad

Derivadas

Teorema del valor medio generalizado de Cauchy Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un c (a, b)

tal que

f´(c)(g(b) – g(a)) = g´(c)(f(b) – f(a))

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Regla de L´Hôpital Sea E un entorno del punto a R, f y g derivables en E-{a}. Si

x x alimf(x)= lim g(x)=0

a

y existe ´

´x a

f (x)lim

g (x), entonces también existe

x a

f(x)lim

g(x), verificándose:

x a

f(x)lim

g(x)=

´

´x a

f (x)lim

g (x)

El teorema también es cierto cuando

x a x alimf(x) y lim g(x)=

.

También es válido para x a , x a , x , x . Por tanto la Regla de L´Hôpital puede ser útil para resolver indeterminaciones de

la forma 0

0,

.

Recordemos ahora los casos de indeterminación en el cálculo de límites: 0

0,

, 0 , .

No existen reglas generales para resolverlos aunque todos ellos se pueden reducir a

la forma 0

0 y aplicar entonces L´Hôpital.

Derivabilidad

Derivadas

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Derivabilidad

Derivadas

Por ejemplo si 0x a x alim ( ) lim ( )f x y g x

, basta poner f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x)),

para llevar la indete rminación 0 a la forma 0

0.

Si a a

lim ( ) lim ( )x x

f x g x

, y hay que estudiar a

lim( ( ) ( ))x

f x g x

, se puede poner

f(x)-g(x) =

1 1g(x) f(x)

1f(x)g(x)

con lo que la indeterminación se reduce a la forma 0

0.

Las indeterminaciones de la forma 00, ∞0, 1∞ se reducen a las anteriores utilizando

la identidad f(x)g(x) = eg(x)log f(x), suponiendo f(x)>0.

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Derivabilidad

Derivadas

Ejercicio Calcular los siguientes límites:

1) 0

2

1

xlim (cos ax)x

2)

0

sen xlim xx

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Derivabilidad

Extremos

Recordemos ahora algunas de las aplicaciones de la derivada para el estudio de

una función.

Las definiciones de extremos relativos, ya dadas, difieren de las de extremos

absolutos:

a) La función f tiene un máximo absoluto en c si f(x) f(c) para todo x Dom

f.

b) La función f tiene un mínimo absoluto en c si f(c) f(x) para todo x Dom

f.

Los máximos y mínimos absolutos se llaman extremos absolutos. Se definen de la

misma forma para cualquier subconjunto del dominio de la función

Teorema

Si f es derivable en un intervalo I, entonces se verifica:

1) f es creciente en I si y solo si f´(x) 0 x I .

2) f es decreciente en I si y solo si f´(x) 0 x I .

3) Si f´(x)>0 para todo x I entonces f es estrictamente creciente en I.

4) Si f´(x)<0 para todo x I entonces f es estrictamente decreciente en I

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José R. Narro

Derivabilidad

Extremos

Caracterizamos ahora los extremos relativos utilizando las derivadas. Recordemos que una condición necesaria de extremo es: Sea f : (a, b) R y c (a, b). Si f tiene un máximo (mínimo) en c y f es derivable en c entonces f´(c) = 0. Teorema (condiciones suficientes de extremo) Sea c (a, b) y f continua en c,

1) Si existe R+ tal que f´(x)>0 x (c- , c), ( f crece a la izquierda de c)

f´(x)<0 x (c, c+ ), ( f decrece a la derecha de c)

entonces f tiene un máximo relativo en c (la función pasa de creciente a decreciente)

2) Si existe R+ tal que f´(x)<0 x (c- , c), ( f decrece a la izquierda de c)

f´(x)>0 x (c, c+ ), ( f crece a la derecha de c)

entonces f tiene un mínimo relativo en c (la función pasa de decreciente a creciente)

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Derivabilidad

Extremos

f´(x)>0f´(x)<0)

a bc

No existe f´(c).En x=c hay max.relativo

f es creciente en (a, c)f es decreciente en (c, b)

f´(x)<0f´(x)>0

a c b

f es decreciente en (a, c)f es creciente en (c, b)

Existe f´(c).En x = c hay min.Relativo.

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Derivabilidad

Extremos

Veamos ahora otra condición suficiente de extremo que se basa en la paridad de la

primera derivada que no se anula en elpunto considerado.

Teorema

Sea c Dom f; f tiene n derivadas continuas en c, siendo n el orden de la primera

derivada que no se anula, es decir, f´(c) = … =f(n-1(c) = 0, f(n(c) 0.

Si n es par

f(n(c) >0 f tiene un mínimo relativo en c

f(n(c) <0 f tiene un máximo relativo en c

Si n es impar , f no tiene extremo en c (en c presenta un punto de inflexión con

tangente horizontal).

Si se quieren obtener los extremos absolutos de una función continua en un

intervalo cerrado [a, b], que siempre existen, se deben comparar los valores que

toma la función en los puntos:

1) Donde f no es derivable

2) Donde se anula f´(posibles extremos relativos)

3) Los extremos del intervalo.

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José R. Narro

Recordemos los conceptos de concavidad, convexidad y punto de inflexión. Sea f una función derivable en el punto a, por tanto su gráfica admite tangente en dicho punto, decimos que f es cóncava en a, cuando existe un entorno de a, para el cual el arco de curva correspondiente está por encima de la recta tangente en el punto (a, f(a)). Decimos que f es convexa en a, cuando existe un entorno de a, para el cual el arco de curva correspondiente está por debajo de la recta tangente en el punto (a, f(a)).

Concavidad-convexidad

Conceptos:

a a

Cóncava en x = a

Convexa en x = a

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José R. Narro

Cuando el arco de curva correspondiente a un entorno de a se encuentra, a la derecha de a por encima de la recta tangente en (a, f(a)), y a la izquierda por debajo (o viceversa), se dice que el punto (a, f(a)) es un punto de inflexión, es decir, a un lado de un punto de inflexión la función es cóncava y al otro lado es convexa. La recta tangente en un punto de inflexión debe cortar a la gráfica de la función.

Punto de Inflexión

a

y

x

A la izquierda de x = a esconvexa y a la derecha escóncava

(a, f(a)) es un puntode inflexión


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José R. Narro

Decimos que una función es cóncava (o convexa) en un conjunto A R, cuando lo

es en todos los puntos de dicho conjunto.


Concavidad, convexidad en un intervalo.

a b a b

f es cóncava en (a, b) f es convexa en (a, b)

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Teorema Si f tiene derivada segunda en el intervalo I, siendo f´´>0 en I, entonces f es cóncava en I (por ser f´estrictamente creciente). Si f´´<0 en I, entonces f es convexa en I (al ser f´ estrictamente decreciente). Luego si f tiene derivada segunda en I, en un punto de inflexión c debe ser f´´(c) = 0.


y = (x-2)4 + 5

y´´ = 12(x-2)2 0,

x R

y = -(x-2)4 + 5

y´´ = -12(x-2)2 0,

x R

f = (x-2)4+5, es cóncava en R f = -(x-2)4+5, es cóncava en R

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José R. Narro

La representación gráfica de una función f debe ser el reflejo del estudio que se

haya realizado sobre ella, y que puede resumirse en los siguientes apartados:

1. Estudio del dominio de f.

2. Obtención de los posibles cortes con los ejes coordenados.

3. Estudio de simetrías sencillas: respecto de eje OY y de origen de

coordenadas

4. Estudio de la periodicidad.

5. Obtención de las asíntotas y, de los posibles puntos de corte con la asíntota

oblícua.

6. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Gráficas de funciones

Representación gráfica

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José R. Narro

Gráficas de funciones

Representación gráfica

Ejercicio

Obtener la gráfica de la función y = 3

2

x

(x 1)

Ejercicio

Dada la función y = |x-1|

| x |

e, estudiar:

a) Dominio y continuidad.

b) Derivabilidad.

c) Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos.

d) Extremos absolutos en el intervalo [-2, 3].

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José R. Narro

Integral de Riemann

Integral Indefinida: Primitivas Nos ocupamos ahora del problema inverso de la derivación: dada una función f(x),

obtener una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), es decir

F´(x) = f(x).

Sea f: I R , siendo I un intervalo cualquiera.

Decimos que una función F: I R, es una primitiva de f, si existe F´en I, y se

verifica F´(x) = f(x) para todo x I.

Si f admite una primitiva F en I, entonces f admite infinitas primitivas que

son todas las funciones de la forma F(x)+k, donde k es un número real

cualquiera, ya que se tiene (F(x)+k)´= F´(x)+k´= f(x)+0 = f(x).

El conjunto de todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y

se escribe

f(x) dx = F(x) + C,

siendo F una primitiva cualquiera de f y C una constante arbitraria.

El símbolo se llama signo integral y, f(x) integrando

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No toda función admite primitiva en un intervalo I. Sin embargo se verifica el siguiente Teorema Toda función continua f en el intervalo [a, b] tiene una función primitiva y, por consiguiente integral indefinida. Es importante resaltar que mientras que la derivada de una función elemental es una función elemental, la primitiva de una función elemental puede no ser una función elemental, es decir, no se puede expresar operando un número finito de veces funciones elementales. Así, por ejemplo, las siguientes integrales existen, pero no son funciones elementales:

2-xe dx , sen x

dxx ,

cos xdx

x , 1

lndx

x .

Integral de Riemann

Integral Indefinida: Primitivas

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Integral de Riemann

Integral Indefinida: Integrales inmediatas

Consecuencia inmediata de esta definición es ( f(x) dx)´= f(x).

Veamos una tabla de integrales inmediatas

1. xkdx = 1kx

k+1

+ C ,(k -1). 2. dx

x = log |x|+C.

3. sen x dx = -cos x + C. 4. cos x dx = senx dx + C

5. 2

dx

cos x = (1 + tg2x) dx = tg x + C. 6. 2

dx

sen x = -cotg x + C.

7. tg x dx = -log |cos x| + C. 8. cotg x dx = log |sen x| + C.

9. ex dx = ex + C. 10. ax dx = xa

loga + C.

11. 2

dx

1+x = arctg x + C. 12. 2 2

dx

a +x =

1 xarctg

a a + C, a 0 .

13. 2

dx

1-x = arcsen x + C . 14. 2 2

dx

a -x = arcsen

x

a + C, a>0.

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Integral de Riemann

Integral Indefinida: Propiedades

La integral indefinida es lineal, es decir se verifican las igualdades siguientes,

donde f y g son dos funciones que admiten primitivas y k R:

a) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx.

b) kf(x) = k f(x) dx.

Estudiemos ahora algunos métodos que permiten transformar integrales difíciles

en otras más sencillas.

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Integral de Riemann

Integral Indefinida: Cálculo de Primitivas

Integración por cambio de variable o sustitución.

Si se quiere calcular la integral f(x) dx , se puede realizar el cambio de variable

x = (t), suponiendo que f y son funciones continuas, verificándose entonces la igualdad:

f(x) dx = f( (t)) (́t) dt.

Entendiéndose que al variable t será sustituida después de la integración del segundo miembro de la igualdad por su expresión en función de x. A veces, es mas práctico elegir la sustitución de la variable en la forma t = (x) y no en x = (t). Aclaremos esto con un ejemplo:

Supongamos que se quiere calcular la integral : 2

3 2

3x +2xdx

x +x

haciendo el cambio x3 + x2 = t, se tiene (3x2 +2x) dx = dt, y la integral se convierte

en dt

t= log |t| + C = log |x3 + x2| + C.

Otro ejemplo: 2 2

dx

a +x, haciendo el cambio x = at, dx = adt, sustituyendo queda

2 2 2

adt

a +a t =

2

1 dt

a 1+t = 1

a arctg t + C =

1

a arctg

x

a + C.

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Integral de Riemann

Integral Indefinida: Cálculo de Primitivas

Integración por partes Si f y g son dos funciones derivables se verifica

f´(x)g(x) dx = f(x)g(x) - g´(x)f(x) dx.

Este método convierte la integral en una parte ya integrada mas una integral por

calcular, tendrá éxito si esta última integral es mas facil de calcular que la inicial.


a) I = x2 log x dx

Haciendo f´= x2, y g = log x f = 3x

3, g´=

1

x; sustituyendo en la fórmula

queda I = 3xlog x

3-

2x

3dx =

3xlog x

3-

3x

9 + C

b) I = arcsen x dx =

Haciendo f´= 1, y g = arcsen x f = x, g´=2

1

1-x; sustituyendo en la

fórmula queda I = x arcsen x - 2

x

1-xdx = x arcsen x + 21-x + C.

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Integral de Riemann

Integral Indefinida: Integración de funciones racionales

Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante un cociente de

polinomios. Cualquier función racional se puede expresar como suma de un

polinomio mas una función racional propia (grado del numerador menor que el

grado del denominador) sin mas que realizar la división entre el numerador y el

denominador; luego la integración de una función racional se reduce a la

integración de un polinomio (que es inmediata) mas la integración de una función

racional propia, por tanto nos ocuparemos de la integración de funciones

racionales propias.

El procedimiento para integrar estas funciones se basa en la descomposición en

fracciones simples.

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Integral de Riemann


Distinguimos dos casos fundamentales:

a) El denominador solo tiene raíces reales.

En este caso descomponemos la función racional en tantas fracciones simples como

indica el grado del denominador: entendiendo por fracciones simples aquellas que

tienen la forma A

x-a o n

A

(x-a), donde A es un número por determinar y a es una de

las raíces del denominador.

Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos, calculemos I = 3

3

x +1

x -x dx :

Como la fracción a integrar no es propia efectuamos la división de x3+1 entre x3-x

obteniéndose 1 de cociente y x+1 de resto.

Luego I = (1 + 3

x+1

x -x)dx = x + 3

x+1

x -xdx

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Integral de Riemann


Descompongamos la fracción 3

x+1

x -x, que es propia, en fracciones simples, para lo

cual descomponemos en factores el denominador, que equivale a calcular sus

raíces:

x3-x = x(x2-1) = x(x-1)(x+1), luego sus raices son 0, 1, -1, y la descomposición es:

3

x+1

x -x =

2

3

A B C A(x -1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)+ + =

x x-1 x+1 x -x, luego se debe cumplir la

identidad: A(x2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) = x+1, cierta para todo x R.

Las incógnitas A, B, C se calculan dando valores a x, lo mas cómodo es dar a x los

valores de las raíces del denominador

x = 0 -A = 1 A = -1

x = -1 2C = 0 C = 0

x = 1 2B = 2 B = 1

Luego se tiene:

3

x+1

x -xdx = (

-1 1+

x x-1) dx = - 1

xdx + 1

x-1dx = -log |x| + log |x-1| +C.

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Integral de Riemann

Integral Indefinida:Integración de funciones racionales En el ejemplo anterior todas las raíces del denominador eran simples, veamos

ahora un ejemplo con alguna raíz múltiple:

Calculemos I = 4 2

x-3dx

x -3x +2x

La fracción a integrar es propia por lo que ya podemos descomponerla en

fracciones simples; para ello descomponemos en factores el denominador

utilizando Ruffini:

x4-3x2+2x = (x-1)(x-1)(x+2)x = (x-1)2(x+2)x, luego las raices son 1(doble),- 2 y 0

(simples).

Descomponemos en 4 fracciones simples (como indica el grado):

4 2

x-3

x -3x +2x= 2

A B C D+ + +

x-1 (x-1) x+2 x=

2 2

4 2

A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1) x+D(x-1) (x+2)

x -3x +2x

Debe ser A(x-1)(x+2)x+B(x+2)x+C(x-1)2x+D(x-1)2(x+2) = x-3, cierta para todo x.

Dando valores a x:

x = 1 3B = -2 B = 2

3

x = -2 -18C = -5 C =

5

18

x = 0 2D = -3 D = 3

2

x = -1 2A-B -4C+4D = -4 A =

11

9

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Integral de Riemann


Luego I = 11

9 1

x-1dx +

2

3

2

1

(x-1)dx +

5

18 1

dxx+2

+ 3

2

1

x dx =

11

9log|x-1| +

2

3

1

x-1+

5

18log|x+2| -

3

2log|x| + C.

b) El denominador tiene al menos una raíz compleja (no real) .

En este caso las raíces aparecen por pares conjugadas (¿Por qué?), y en la

descomposición en fracciones simples aparecen fracciones de la forma: 2

Mx+n

x +px+q ,

siendo p2-4q < 0 (¿Por qué?).

Antes de calcular la integral de la fracción anterior calculemos otra más sencilla

2 2

Mx+N

x +a dx = M2 2

x

x +a dx + N 2 2

1

x +a dx = 2 2 2

2x

x +a

M dx + N

1

aarctg

x

a =

M

2log (x2 + a2) +

N

a arctg

x

a + C.

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Integral de Riemann


La integral I = 2

Mx+N

x +px+q dx, se reduce a la anterior completando un cuadrado en

el denominador:

I = 2 2

2

Mx+N

p p px +2 x+ +q-

2 4 4

dx = 2

2

Mx+N

p 4q-p(x+ ) +

2 4

dx

Haciendo el cambio x + p

2= t, y siendo

24q-p

4>0 (¿Por qué?), se convierte en una

integral del tipo anterior. Llamando 24q-p

4= a2, y siendo dx = dt

I = 2 2

pM(t- )+N

2t +a dt =

2 2

pN-M

2t +a dt +

2 2

Mt

t +a dt = 2 2

p dt(N-M )

2 t +a + 2 2

M 2tdt

2 t +a

I = p 1

(N-M )2 a

arctg t

a +

M

2log( 2 2t +a ) + C, y sustituyendo t y a queda

I = 2

2N-Mp 2

2 4q-parctg (

2

2x+p 2

2 4q-p) +

22M p 4q-p

log((x+ ) + )2 2 4

+ C

I = 2

2N-Mp

4q-parctg(

2

2x+p

4q-p) + 2M

log(x +px+q)2

+ C.

129

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Integral de Riemann


Luego se ha encontrado la fórmula:

2

Mx+N

x +px+q dx = 2

2N-Mp

4q-parctg(

2

2x+p

4q-p) + 2M

log(x +px+q)2

+ C.

Resolvemos un ejemplo numérico:I = 2

3 2

x -2

x +2x -2x+3 dx

Como la fracción es propia podemos descomponerla en fracciones simples.

Descomponiendo el denominador en factores se obtiene:

x3+2x2-2x+3 = (x+3)(x2-x+1), el factor x2-x+1, tiene raíces no reales como

fácilmente se comprueba.

2

3 2

x -2

x +2x -2x+3 =

2

A Mx+N+

x+3 x -x+1 =

2

3 2

A(x -x+1)+(Mx+N)(x+3)

x +2x -2x+3

A(x2-x+1) + (Mx+N)(x+3) = x2-2, igualdad válida para todo x.

Obtenemos las incógnitas A, M y N, dando valores arbitrarios a x:

x = -3 13A = 7 A = 7

13

x = 0 A + 3N = -2 N = -2-A

3 =

11

13

x = 1 A + (M+N)4 = -1 M= -1-A-4N

4 =

6

13

130

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Integral de Riemann


Por tanto I = 7

13

1

x+3 dx + 2

6 11x-

13 13x -x+1 dx =

7

13log |x+3| +

1

13 2

6x-11

x -x+1 dx. + C

Calculamos 2

6x-11

x -x+1 dx, completando un cuadrado en el denominador

2

6x-11

x -x+1 dx = 2

6x-111 1 1

x -2 x+ +1-2 4 4

dx = 2

6x-111 3

(x- ) +2 4

dx;

hacemos el cambio x-1

2= t dx = dt, sustituyendo queda

2

16(t+ )-11

23

t +4

dt =

2

6t-83

t +4

dt = 32

2t3

t +4

dt -82

13

4t

dt = 3log( 2 3t + )

4 - 8

2

3arctg(

2

3

t) + C

Sustituyendo t por x - 1

2, y el valor que se obtenga en I, se termina el cálculo.

131

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

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s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

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n a

l Cál

culo

In

fin

ites

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Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Integral de Riemann


Las integrales de funciones trigonométricas, es decir, funciones racionales de seno

y coseno, simbólicamente I = R(sen x, cos x)dx , se reducen a integrales de

funciones racionales mediante el cambio x

tg = t2

, llamado usualmente cambio

universal, ya que al aplicarlo siempre se obtiene la integral de una función

racional, aunque en algunos casos puede dar lugar a cálculos largos. Haciendo

dicho cambio obtenemos:

sen x = 2

2 2 2

x x x2 sen cos 2tg 2t2 2 2= =

x x x 1+tsen +cos 1+tg2 2 2

cos x =

2 2 22

22 2 2

x x xcos -sen 1-tg 1-t2 2 2= =

x x x 1+tsen +cos 1+tg2 2 2

132

Intr

odu

cció

n a

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culo

In

fin

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Tem

a 1

: C

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José R. Narro

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fin

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Tem

a 1

: C

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José R. Narro

Integral de Riemann


xtg = t

2

x

2 = arctg t x = 2arctgt dx =

2

2dt

1+t

Sustituyendo en I se obtiene:

I = 2

2 2 2

2t 1-t 2R( , ) dt

1+t 1+t 1+t

Apliquémoslo al cálculo de la integral

I = 2

2

2

2dx 11+t= dt=2 dt

2t1+2sen x t +4t+11+21+t

, resolvemos la última integral.

Descomponiendo en factores el denominador:

t2+4t+1 = 0 t = -2 3 t2+4t+1 = (t + 2- 3)(t+2+ 3)

2 2

A(t+2+ 3)+B(t+2- 3)1 A B= + =

t +4t+1 t +4t+1t+2- 3 t+2+ 3 A(t+2+ 3 )+ B(t+2- 3) 1

dando valores adecuados a t

t = -2- 3 -2 3 B = 1 B = 1

2 3

, t = -2 + 3 2 3 A = 1 A =

1

2 3

133

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Tem

a 1

: C

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: C

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José R. Narro

Integral de Riemann


Luego 2

1 1 1 1 1dt= dt- dt

t +4t+1 2 3 t+2- 3 2 3 t+2+ 3 =

1 1log|t+2- 3|- log|t+2+ 3|

2 3 2 3+C, sustituyendo en I

I = 1 1

log|t+2- 3|- log|t+2+ 3|3 3

+ C, deshaciendo el cambio

I = 1 x 1 x

log|tg +2- 3|- log|tg +2+ 3|2 23 3

+ C

134

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José R. Narro

Integral de Riemann

Integral Definida El concepto de integral definida (según Riemann) está fundamentalmente

relacionado con el cálculo de áreas de regiones planas, en particular el área

determinada por:el eje OX, la gráfica de la curva y = f(x), y las rectas x = a, y = b.

y

xx = a x = b

y = f(x)

135

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José R. Narro

Integral de Riemann

Definimos en primer lugar el concepto de partición:

Sea el intervalo [a, b], llamamos partición de [a, b] a cualquier colección finita de

puntos del intervalo, P = {x0, x1, …, xn }, siendo x0 = a < x1 < … <xn = b.

Luego [a, b] queda dividido en n subintervalos [xi, xi+1], i = 0, …,n-1.

Integral Definida: Partición

a x1 x2 Xn-1 b…

y

x

136

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José R. Narro

Si f : [a, b] R, es una función acotada, definimos la “suma de Riemann” de f

respecto de la partición P = {x0, x1, …, xn } de [a, b], como el número

S(P, f) = n

i i i-1i=1

f(ξ )(x -x ) , siendo i [xi-1, xi].

Integral de Riemann

Integral Definida: Suma de Riemann

S(P, f) es una suma de áreas de rectángulos que aproxima el áreade la región limitada por: y = f(x), x = a, x = b y el eje OX.

a 1 x12 x2

Xn-1 bn

y

x

y = f(x)

…

137

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José R. Narro

Consideremos la partición Pn, resultado de dividir [a, b] en n subintervalos de

igual longitud, o sea

Pn = { a, a + b-a

n , a + 2

b-a

n, …, a + n

b-a

n = b }

Decimos que f es integrable si existe nlim

S(Pn, f) y es independiente de la elección

de los puntos i , entonces definimos b

af(x) dx =

nlim

S(Pn, f), siendo a b.

Si b a definimos:

b

af(x) dx = -

a

bf(x) dx

así como:

a

af(x) dx = 0.

Integral de Riemann

Integral Definida: Definición

138

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José R. Narro

Integral de Riemann

Integral Definida: Propiedades

Enunciemos ahora las principales propiedades de la integral: Linealidad Si f, g :[a, b] R son funciones integrables y R, entonces

1) f + g es integrable y b

a(f(x)+g(x)) dx=

b

af(x) dx +

b

ag(x) dx

2) α f es integrable y b

aαf(x) dx = α

b

af(x) dx

Monotonía Si f, g :[a, b] R son funciones integrables y f(x) g(x) x [a, b]

b

af(x) dx

b

ag(x) dx

Acotación Si f: [a, b] R es una función integrable, existen m, M R tales que

m(b-a) b

af(x) dx M(b-a)

Aditividad respecto del intervalo Si f: [a, b] R es una función acotada y c (a, b); entonces f es integrable en [a, b] si y solo si lo es en [a, c] y en [c, b], y se verifica

b

af(x) dx =

c

af(x) dx +

b

cf(x) dx

139

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José R. Narro

Teorema

a) Toda función f: [a, b] R monótona es integrable .

b) Toda función f continua en [a, b] es integrable en [a, b].

Teorema

Si f: [a, b] R es integrable, entonces | f | también lo es, y se verifica

|b

af(x) dx |

b

a|f(x)| dx

Teorema del valor medio

Si f: [a, b] R es una función continua, entonces existe un c (a, b) tal que

b

af(x) dx = f(c)(b-a).

Integral de Riemann

Integral Definida: Teoremas fundamentales

140

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José R. Narro

Teorema fundamental del cálculo

Sean f, F : [a, b] R, funciones continuas en [a, b]. Entonces F es derivable en (a,

b) y F´(x) = f(x) x (a, b) si y solo si

x

af(x) dx = F(x) – F(a), para todo x [a, b].

Regla de Barrow

Si f es una función continua en [a, b] y F es continua en [a, b], derivable en (a, b) y

verificando F´(x) = f(x) x (a, b) entonces

b

af(x) dx = F(b) – F(a).

La Regla de Barrow permite calcular la integral definida a partir de los valores en

los extremos del intervalo de una primitiva de la función f, y que usualmente para

abreviar se escribe

b b

aaf(x) dx [F(x)]

Integral de Riemann


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José R. Narro


π

0sen x dx = π

0[-cos x] = 1 + 1 = 2

2 21 x x 1

00

1xe dx = [ e ]

2 = e 1 e -1

- =2 2 2

2 2

11

dx=[log x]

x = log 2 – log 1 = log 2

Teorema (Integración por partes) Sean f, g:[a, b] R, derivables y con derivada continua en[a, b], entonces se verifica:

b bb

aa af(x)g´(x) dx=[f(x)g(x)] - f´(x)g(x) dx

Como ejemplo calculamos I = π

0xsen x dx .

Llamando f = x, g´= sen x f´= 1, g = -cos x sustituyendo en la fómula

I = ππ π

o 00[-xcos x] - (-cos x) dx = (π-0)+[sen x] = π

Integral de Riemann


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José R. Narro

Teorema (Cambio de variable o sustitución) Sea j :[α, β] R , una función derivable con derivada continua en [α, β] , si f es una

función continua en el intervalo ([α, β]) , y siendo (α) = a, (β) = b , entonces

haciendo el cambio x= (t) , se verifica

b β

a αf(x) dx = f( (t)) ´(t) dt

Apliquemos el cambio de variable al cálculo de I = 2 2

04 - x dx :

haciendo el cambio x = 2sen t dx = 2cos t dt

x = 2 2 = 2 sent sen t = 1 t = π

2

x = 0 0 = 2 sen t sen t = 0 t = 0 Luego:

I= π π π

2 2 22 2 2

0 0 04 - 4sen t 2cos t dt = 4 1- sen t cos t dt = 4 cos t dt = 4

π

2

0

1+ cos 2tdt =

2

=2π π

2 200

1 π(1+ cos 2t) dt = 2[t + sen 2t] = 2 = π

2 2

Integral de Riemann


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José R. Narro

Estudiemos algunas aplicaciones geométricas de la integral definida: Cálculo de áreas de regiones planas Área entre una curva y el eje OX: si f es una función continua definida en el

intervalo [a, b], el área de la región limitada por la curva y = f(x), el eje OX y

las rectas x = a y x = b tiene por valor

A = b

a| f(x) | dx

Área encerrada entre dos curvas: si f y g son dos funciones continuas definidas

en [a, b], entonces el área de la región limitada por la curva y = f(x), la curva

y = g(x), la recta x = a y la recta x = b tiene por valor:

A = b

a| f(x) - g(x) | dx

Integral de Riemann

Integral Definida: Aplicaciones geométricas

144

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José R. Narro

Ejemplo: Obtener el area de la región encerrada entre las curvas y = x3 - x2 - 2x + 2

e y = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2.

Se puede tomar: f(x) = x3 - x2 - 2x + 2, g(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2 Calculamos en primer lugar los puntos de corte de las dos curvas f(x) = g(x) x3 - x2 - 2x + 2 = x4 – 4x3 + x2 + 6x + 2 x4 – 5x3 + 2x2 + 8x = 0 x(x3 – 5x2 + 2x + 8) = 0 x = 0, o x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0 x = -1,2, 4. Luego los puntos de corte corresponden a los valores de x: -1, 0, 2, 4; por lo tanto a = -1, b = 4. Como en la fórmula aparece el valor absoluto es necesario obtener el signo de f-g en cada subintervalo: [-1, 0], [0, 2], [2, 4], ya que dicho signo permanece constante en cada uno de ellos; para ello basta con obtener el valor de f-g en un punto interior de cada subintevalo llamando h(x) = f(x) – g(x) = - x4 + 5x3 – 2x2 – 8x

-1 -1 45(-1, 0) h( ) = > 0

2 2 16∈ ⇒

1 (0, 2) h(1) = -6 < 0 3 (2, 4) h(3) = 12 > 0

Integral de Riemann


145

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José R. Narro

Por tanto se tiene:

b

a|f(x)-g(x)| dx =

4

1|

- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx = 0

1 |- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx +

2

0 |- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx +4

2 |- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x| dx =

0

1 (- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x) dx + 2

0 ( x4 - 5x3 + 2x2 + 8x) dx +

4

2 (- x4 + 5x3 – 2x2 – 8x) dx = 5 4 3 2

01

x x x x[- +5 -2 -8 ]

5 4 3 2 +5 4 3 2

20

x x x x[ -5 +2 +8 ]

5 4 3 2

+5 4 3 2

42

x x x x[- +5 -2 -8 ]

5 4 3 2 =

113 116 244

60 15 15 =

1553

60

Integral de Riemann


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José R. Narro

Integral de Riemann


y = x4 - 4x3 + x2 + 6x + 2

y = x3 – x2 - 2x + 2

Gráficas de las funciones

147

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José R. Narro

Volumen de un cuerpo de revolución: el volumen engendrado por la región

encerrada por las curvas y = f(x) e y = g(x) para x [a, b], con f(x) g(x), al girar

dicha región alrededor del eje OX es:

V = b 2 2

a[g (x)-f (x)] dx .

Si se tratase del volumen generado por la región determinada por la curva y = g(x),

el eje OX, para x [a, b], con g 0, su valor se obtendría poniendo f(x) = 0 en la

fórmula anterior, pues la ecuación de eje x es y = 0

V = b 2

ag (x) dx .

Integral de Riemann


148

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José R. Narro

Ejemplo Obtener el volumen de cuerpo de revolución que genera el circulo de centro C(0, 2), y radio 1, al girar alrededor del eje OX (la superficie formada se denomina “toro”). La ecuación de la circunferencia que delimita el círculo es: x2 + (y-2)2 = 1

y – 2 = 21-x y = 2 21-x . Luego en este caso se tiene:

g(x) = 2 + 21-x , f(x) = 2 - 21-x , con lo que el volumen pedido será:

V = 1 2 2 2 2

-1π [(2+ 1-x ) -(2- 1-x ) ] dx =

1 2

-18π 1-x dx

Resolvemos la última integral con el cambio x = sen t dx = cos t dt

x =1 t = π

2 ; x = -1 t =

3π

2; 21-x = 21-sen t = 2cos t |cos t|,

luego 1 2

-18π 1-x =

π

23π

2

8π |cos t| cos t dt = -3π

2π

2

8π (-cos t)cos t dt = 3π

22π

2

8π cos t dt =

3π

2π

2

1+cos 2t8π dt

2 = 3π

2π

2

14π[t+ sen 2t]

2= 23π π

4π( - ) = 4π2 2

.

Integral de Riemann


149

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Integral Impropia: Introducción

Ahora se trata de generalizar el concepto de integral de Riemann a aquellos casos

donde el intervalo de integración no es acotado o bien la función a integrar no está

acotada.

En definitiva diremos que la integral b

af(x) dx es impropia si se da al menos una

de las siguientes hipótesis:

1. El intervalo [a, b] no está acotado.

2. La función f(x) no está acotada en el intervalo [a, b].

Este tipo de integral tiene bastantes aplicaciones en otras áreas científicas: Física,

Economía, …, etc.

Ejemplos

1) 0

x dx

, el intervalo [0, +∞] no está acotado.

2) 5

1

1dx

x , 1

x no está acotada en cualquier entorno de x = 0.

3) 5

2

1dx

x , el intervalo (-∞, 5] no está acotado y, 2

1

x no está acotada en

cualquier entorno de x = 0.

150

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

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s b

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José R. Narro

Intr

odu

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n a

l Cál

culo

In

fin

ites

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Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

También se les suele llamar de primera especie

Por ejemplo serían de la forma:

20

1dx

1+x

, 2-1 -x

-xe dx

.

Consideremos ahora otro ejemplo e intentemos darle un significado:0

-xe dx

.

La integral b -x

0e dx , tiene sentido para cualquier b (por muy grande que sea este)

y podemos calcular:

b -x

0e dx =

b -x

0(-1)e dx = -x b

0[e ] = -[e-b-e0] = -b1 e .

Se tiene -b

blim (1-e )

= 1, luego parece lógico definir:

0

-xe dx

= 1.

Integrales impropias en intervalos no acotados (o con límites de integración infinitos)

Integral Impropia

151

Intr

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Tem

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: C

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Tem

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: C

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José R. Narro

Interpretación geométrica

Se puede interpretar geométricamente diciendo que el área de la región (no acotada)

determinada por y = e-x, el eje OX, y la recta x= 0 , vale 1.

-xy=e

1

Integral Impropia

152

Intr

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Tem

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: C

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Tem

a 1

: C

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s b

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José R. Narro

Utilizando la misma idea del ejemplo anterior podemos dar la definición general:

1) b

a abf(x) dx lim f(x) dx

Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la forma [a, b], siendo a un valor fijo y b uno cualquiera verificando b a.

2) b

-f(x) dx

= b

aa -lim f(x) dx

Donde se supone que f(x) es una función acotada e integrable en todo intervalo de la forma [a, b], siendo b un valor fijo y a uno cualquiera verificando b a. Si los límites existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes integrales impropias convergen y tienen estos valores. En otro caso se dice que la integral diverge.

3) f(x) dx f(x) dx f(x) dxc

c

=

b

a blim f(x) dx lim f(x) dx

c

ca ,

donde c es un número real cualquiera. Decimos que la primera integral es convergente si existen y son finitos los dos límites, y su valor es la suma de estos límites. En otro caso la integral se dice divergente.

Definición

Integral Impropia

153

Intr

odu

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: C

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José R. Narro

Ejemplo Estudiar la siguiente integral calculándola en su caso:

I = 2

1dx

1+x

, tomando c = 0, se tiene:

I = 0 0

020

1

1

b ba2aa b a b

1lim dx lim lim[arctg x] lim [arctg x]

1+xdx

x

[arctg 0 – arctga(- ∞)] + [arctg(+∞) – arctg 0] = [0 – (- /2)] + [ /2 – 0] = . Se puede interpretar este resultado diciendo que el área determinada por la curva

2

1y =

1+x , y el eje OX vale .

2

1y=

1+x

π

Integral Impropia

154

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Tem

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: C

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José R. Narro

Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I =0

sen x dx

.

I = b b

00b b blim sen x dx lim[-cos x] lim (-cos b+1)

, como este límite no existe se

concluye que I diverge.

y = sen x

Integral Impropia

155

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Tem

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: C

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Tem

a 1

: C

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s b

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José R. Narro


Si I es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = b y el eje OX, coincide con el valor de la integral.

Si J es convergente, entonces el área de la región (no acotada) definida por y =f(x), x = a y el eje OX, coincide con el valor de la integral.

b

b

-I= f(x) dx

a

y = f(x)

y

x

a b

y = g(x)

+

aJ= g(x) dx

y

x

Integral Impropia

156

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: C

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Tem

a 1

: C

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José R. Narro


Si I es convergente, entonces el área de la región(no acotada) definida por y = f(x) y el eje OY, coincidecon el valor de la integral.

I f(x) dx

y = f(x)

y

x

Integral Impropia

157

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Tem

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Tem

a 1

: C

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José R. Narro

También se le suele llamar de segunda especie

Consideremos la integral I = 1

3 2

1dx

x , si aplicamos la Regla de Barrow, se tiene

I = -2+1

1 -1 1 -1 -1-3 -3

x 1 -4[ ] = [-x ] = -(1) -(-(-3) = -1- =

-2+1 3 3,

pero este resultado es absurdo, pues el área determinada por una función positiva, por encima del eje OX, no puede ser negativa. El error cometido está en la aplicación

de la regla de Barrow, que en este caso no puede aplicarse, puesto que la función 2

1

x

no está acotada en [-3, 1], y por tanto no es continua en dicho intervalo. Este es un ejemplo de integral impropia con integrando no acotado.

2

1y =

x

Integrales Impropias con integrando infinito (no acotado)

Integral Impropia

158

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: C

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Tem

a 1

: C

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s b

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José R. Narro

Definición

Suponemos que f(x) no está acotada en un solo punto de [a, b].Consideramos los siguientes casos:

1) f(x) no está acotada en el límite superior b solamente, y es integrable en todo intervalo cerrado contenido en [a, b). Se define

-

b t

a at bf(x) dx lim f(x) dx

Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente. En otro caso se dice divergente. 2) f(x) no está acotada en el límite inferior a solamente, y es integrable en todo intervalo cerrado contenido en (a, b]. Se define

b b

a ttf(x) dx lim f(x) dx

a

Si el límite existe y es finito , este es el valor de la integral, que se dice convergente. En otro caso se dice divergente. 3) f(x) no está acotada en un solo punto interior c, a < c< b. Definimos

b c b

a a cf(x) dx f(x) dx f(x) dx .

Cada integral de segundo miembro corresponde a los casos 1 y 2; si cada una

de estas integrales es convergente se dice que b

af(x) dx es convergente y su

valor es la suma del segundo miembro. En otro caso se dice que b

af(x) dx es

divergente.

Integral Impropia

159

Intr

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Tem

a 1

: C

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Tem

a 1

: C

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s b

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José R. Narro


Si I es convergente, entonces el área dela región (no acotada) definida por x = a,y = f(x), la asíntota x = b y el eje OX coincide con el valor de la integral

Si J es convergente, entonces el área dela región (no acotada) definida por x = b,y = f(x), la asíntota x = a y el eje OX coincide con el valor de la integral

y = f(x)

a b

b

aI f(x) dx

y

x

y = g(x)

a b

b

aJ g(x) dx

y

x

Integral Impropia

160

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: C

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José R. Narro


Si I y J son convergentes entonces las sumas de las áreas de las regiones (no acotadas) definidas por: 1) y = f(x), x = a y la asíntotax = c; 2) y = f(x), x = b y x = c, vale I+J

c

aI= f(x) dx

b

cJ= f(x) dx

1 2

y

xa c b

Integral Impropia

161

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: C

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José R. Narro

Estudiar la convergencia de la integral I =2

0 2

dx

4-x .

Calculemos 0

t

2

dx

4-x = t

0

x t 0 t[arcsen ] = arcse -arcsen =arcsen

2 2 2 2

Luego I = 2t

tlim(arcsen )

2= arcsen 1 =

π

2, por tanto I es convergente con valor

π

2.

Ejemplo

I representa el área de la región (no acotada)definida por:

y x = 0, la asíntota x = 2, y el eje OX

2

1y=

4-xπ

2

Integral Impropia

162

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Tem

a 1

: C

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Tem

a 1

: C

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s b

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José R. Narro

Ejemplo

Estudiar la convergencia de la integral I = 3

50

1dx

x .

Se tiene:

13 35

0 0 0 0 0

4 4 455 5

0

5

4

5 5 33

4 4

-1 4+1-1 45 53 3 35 5

t t ttt t t t

t

x xI= lim x dx lim[ ] lim[ ] lim[x ]

-1 4+1

5 5

lim[ t ]

x dx

Luego la integral es convergente con valor 5 45 3

4.

5

1y=

x

5 45 3

4

3

Integral Impropia

163

Intr

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Tem

a 1

: C

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José R. Narro

Intr

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n a

l Cál

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In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Calcular, si es posible, I = 1

0

1dx

x

Por definición, se tiene

I=0 0 0

01 1

ttt t t

dxlim lim[log ] lim[log 1-log t] ( )

xx

Luego la integral es divergente.

Ejemplo

1y=

x

1

Integral Impropia

164

Intr

odu

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n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

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s b

ási

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José R. Narro

Intr

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Tem

a 1

: C

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José R. Narro

Obtener el área de la región del primer cuadrante debajo de la curva y = x-2/3 y, a la izquierda de x = 1. Hagamos un pequeño estudio de la curva:

-5

35

3

-2 -2 1y´= x = <0

3 3x

, para x>0, es decir en el primer cuadrante; luego la curva es

decreciente en el primer cuadrante.

Además 2

3

0

1

0xlim x

, por tanto x = 0 es una asuntota vertical.

El área pedida viene dada por la integral:

21

3

0x dx

=

2 11 13 3

1 3

00 0 0 03 3 3 3

2 11

3 3

-2 11 1 13 3

t t tt tt t t t

x xlim x dx lim[ ] lim[ ] lim[ x ] lim[ t ]

Ejemplo

3

-2

3y=x

1

Integral Impropia

165

Intr

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n a

l Cál

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: C

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Tem

a 1

: C

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s b

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José R. Narro

Ejercicio

Obtener el área de la región definida por la curva 2

3

1y=

(x-1)

, el eje OX y las

rectas x = 0 y x = 3.

Ejercicio

Estudiar la convergencia de la integral 1

0log x dx , calculándola en su caso y

dando una interpretación geométrica del resultado obtenido

Integral Impropia

166

Intr

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n a

l Cál

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In

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Tem

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: C

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Tem

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: C

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José R. Narro

Integral Impropia: De tercera especie

También se pueden considerar integrales de funciones no acotadas en un

número finito de puntos sobre un intervalo no acotado: se llaman

integrales impropias de tercera especie. Para estudiar este tipo de

integrales se utiliza la propiedad de aditividad respecto del intervalo para

descomponerlas en suma de varias integrales de primera y segunda

especie . Si todas las integrales, en las que se descompone la integral dada,

son convergentes, esta se dice convergente y, su valor es esa suma. En caso

contrario se dice divergente.

Integral Impropia

167

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

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Tem

a 1

: C

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s b

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José R. Narro

Intr

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n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Ejemplo

I = 0 1

dx

x( )x

, que está definida en el intervalo no acotado [0, ∞) y el integrando no

está acotado para x = 0.

Siguiendo la idea señalada disponemos: I = 1

0 1

dx

x( )x +1 1

dx

x( )x

.

Calculemos I1=dx

x(x+1) , mediante el cambio x = t2 dx = 2tdt

I1 = 2 2

2tdt 12 dt 2arctg t=2arctg x

t(t +1) t +1

1

0 1

dx

x( )x =0 +

1 1ttt t 0

dxlim = lim[2arctg x]

x(x+1) t

π πlim[2arctg 1-2arctg t]=2 =

4 2o

1 1

dx

x( )x

= 2 2 1b b

11b b b

dxlim = lim [2arctg x] lim [ ]

x(x+1)arctg b arctg

=π π π

2 -2 =2 4 2

Por lo tanto:

I = π π

+ =π2 2

Integral Impropia

168

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

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José R. Narro

Intr

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cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

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Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

La integral calculada tiene la siguiente interpretación geométrica: Representa el área de la región definida, en el primer cuadrante, por la curva

1y=

x(x+1) y los ejes coordenados.

1y=

x(x+1)

π

Integral Impropia

169

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Intr

odu

cció

n a

l Cál

culo

In

fin

ites

imal

Tem

a 1

: C

once

pto

s b

ási

cos

José R. Narro

Ejercicio

Expresar la integral 5 2

xdx

x -9

como suma de integrales de primera y segunda

especie.

Estudiar su convergencia.

Integral Impropia

tema 1

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