Técnicas experimentales. Física

M. Pintos1

2009

1Departamento de Física Aplicada. Facultad de Física. Universidad de Santiago de Compostela

Indice

1. Introducción a la teoría de errores 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Clasificación de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Algunos términos metrológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Cifras significativas. Reglas de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Métodos de medida de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7. Medidas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8. Medidas indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9. Media pesada o ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10. Comparación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Análisis de regresión 132.1. Análisis de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Regresión polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Aceptación o rechazo de valores discordantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Memoria de prácticas 213.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Cuaderno de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Memoria de prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Tablas 25

5. Práctica 1: Circuitos de corriente continua 29

6. Práctica 2: Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor 33

7. Práctica 3: Medida de pequeñas resistencias 39

8. Práctica 4: Condensador de placas plano-paralelas 45

9. Práctica 5: Constante dieléctrica de diferentes materiales 49

10. Práctica 6: Curva de carga de un capacitor 55

11. Práctica 7: Campo magnético alrededor de un conductor lineal 61

12. Práctica 8: Campo magnético creado por bobinas de Helmholtz 67

13. Práctica 9: Momento magnético en un campo magnético 71

14. Práctica 10: Balanza electrodinámica: Fuerza sobre un conductor de corriente 77

iii

iv Prácticas

15. Multímetro 81

Bibliografía 83

1

Introducción a la teoría de errores

1.1 Introducción

El objetivo de todo experimento físico es el estudio cuantitativo ya sea de ciertas propiedadesde la materia, ya sea del estado de un cuerpo y los cambios que en dicho estado puedan produ-cirse y que no afecten a su composición. Este estudio se realiza midiendo las magnitudes o laspropiedades físicas que lo caracterizan, o bien el estado del cuerpo que interesa al investigador,estableciendo una relación entre ellas que denominamos ley del fenómeno.

Las magnitudes que interesan al investigador se determinan utilizando aparatos de medida ytratando posteriormente los datos obtenidos. Si bien el dispositivo de medida puede tener distintogrado de complejidad, dependiendo de la naturaleza de la magnitud que se quiera determinar, losdatos experimentales siempre estarán afectados de imprecisiones (incertidumbres). Es necesarioentonces saber valorar la incertidumbre del resultado de la medición para tener un criterio clarode cuales de las deducciones obtenidas a partir de los datos experimentales son ciertas, cualesson dudosas y cuales son simplemente infundadas. Sin esta valoración no se puede obtener unamedida cuantitativa de la propiedad que se estudia ni establecer con ella leyes objetivas.

En la práctica no es sencillo determinar la incertidumbre de una magnitud medida, y la mayordificultad radica en que la medición depende de un gran número de factores como la calidad delos aparatos, las circunstancias en que fueron realizadas las medidas en el laboratorio, el métodoque se utilice, la habilidad del experimentador, . . . , que influyen en mayor o menor grado sobreel resultado de la medición. Dado que es imposible analizar, para un experimento concreto, todoslos factores que influyen sobre el resultado de la medición, el valor real de la magnitud medidapermanece desconocido. Así pues, toda medida es inexacta e implica una incertidumbre que esdeseable estimar y, en consecuencia, el resultado de una medición únicamente se halla completocuando está acompañado de su incertidumbre. La Teoría de errores se encarga de estudiar,fundamentalmente, entre qué valores está comprendido el valor real de la medida realizada y conqué grado de probabilidad se hallará entre dichos valores límite.

La Metrología es la ciencia de la medida y comprende todos los aspectos, tanto teóricoscomo prácticos que se refieren a las mediciones (conjunto de operaciones que tienen por finalidaddeterminar el valor de una magnitud), cualesquiera que sean sus incertidumbres, y en cuales-quiera campos de la ciencia o la tecnología en que tengan lugar.

1.2 Clasificación de los errores

Puesto que los errores son de naturaleza muy variada e impredecible, los vamos a clasificarde acuerdo con sus características específicas.

Fundamentalmente se dividen en tres grandes grupos:

1

2 Introducción a la teoría de errores

1) Errores sistemáticos

2) Errores casuales o aleatorios

3) Errores ilegítimos

Vamos a analizar las características generales de cada uno de los grupos de esta clasificación.

1) Errores sistemáticos son aquellos que se repiten constantemente en el transcurso de unexperimento o de una serie de medidas, afectando a los resultados finales siempre en un mis-mo sentido (incrementándolo o disminuyéndolo). Entre las fuentes de errores sistemáticospodemos citar el mal calibrado de los aparatos de medida, tanto por parte de la casa fabri-cante como por parte del experimentador; condiciones experimentales no apropiadas,cuando se utilizan aparatos bajo condiciones de trabajo distintas de las recomendadas porel fabricante (temperatura, humedad, voltaje o frecuencia de la red eléctrica de alimenta-ción, . . . ); técnicas imperfectas, muy frecuentes en los laboratorios y que disminuyen conla experiencia del investigador y consisten fundamentalmente en no realizar el experimen-to de una forma correctamente planificada introduciendo errores durante su realización;fórmulas incorrectas, que consiste en la utilización de ecuaciones matemáticas que rigenel proceso físico sin respetar las condiciones ideales para las cuales dichas ecuaciones sonválidas; . . . Estos errores no son en principio evitables pero si se identifican y se trata deeliminar sus causas pueden, con frecuencia, reducirse notablemente.

2) Errores casuales, accidentales o aleatorios, son aquellos cuya causa es imposible dedeterminar y que van a estar presentes en la determinación de cualquier magnitud física,afectando el resultado final, indistintamente, en uno u otro sentido. Entre ellos cabe destacarlos errores de apreciación, fluctuación de las condiciones ambientales durante eltranscurso de un experimento (temperatura, presión, voltaje de la red de alimentación,. . . ). Estos errores son incontrolables pero, ya veremos cómo, cuantificables.

3) Errores ilegítimos, también conocidos como impropios, inaceptables, extraexperimenta-les o equivocaciones, son de naturaleza bien diferente a los anteriores y dependen funda-mentalmente de factores personales, como pueden ser errores de cálculo, mala lectura omala utilización de un instrumento por cansancio del experimentador o por distracción,. . .

Las fuentes de error citadas no son necesariamente independientes y algunas de ellas puedencontribuir a las otras. Un efecto sistemático no identificado no puede ser tenido en cuenta en laestimación del error de una medición, aunque contribuirá a dicho error.

Los errores sistemáticos no admiten, en general, un tratamiento estadístico, siendo necesarioeliminarlos mediante un análisis previo de la experiencia que se va a realizar, en tanto quelos errores casuales admiten, también en general, un tratamiento estadístico. Posteriormentedetallaremos el tratamiento matemático de ambos tipos de errores.

1.3 Algunos términos metrológicos

De acuerdo con lo hasta aquí expuesto vamos a definir una serie de conceptos que utilizaremosen el desarrollo de la teoría de errores.

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1.3 Algunos términos metrológicos 3

- Exactitud (accuracy). Una medida es tanto más exacta cuanto menores son los erroressistemáticos. Este término cuantifica el grado de dispersión de una medida en torno al valorverdadero.

- Precisión (precision). Una medida es tanto más precisa cuanto menores son los errorescasuales o accidentales. La precisión nos indica el grado de variabilidad en la salida de uninstrumento cuando este mide una magnitud constante. Si un gran número de medidas deuna magnitud constante tienen aproximadamente el mismo valor, el instrumento posee unaprecisión alta, mientras que si existe dispersión en las medidas suministradas, la precisiónes baja.

- Repetitividad y reproducibilidad significan lo mismo, pero aplicados a contextos dis-tintos. La repetitividad describe una pequeña dispersión de lectura del aparato cuando semide el valor de una magnitud constante en un corto período de tiempo, con las mismascondiciones de medida: mismo instrumento, mismo operador, idénticas localización y con-diciones de uso. La reproducibilidad describe una pequeña dispersión en la lectura de unamagnitud constante cuando se cambia el método de medida, el operador, las condicionesde uso,. . .

La precisión es una medida de la repetitividad del valor experimental y si existen suficientesgarantías de ausencia de errores sistemáticos, se considera que un resultado es tanto másexacto cuanto más preciso. En la figura 1.1 se puede observar la comparación entre exactitudy precisión aplicada a tres robots que disparan sobre una diana.

(a) Baja Precisión yBaja Exactitud

(b) Alta Precisión yBaja Exactitud

(c) Alta Precisión y Al-ta Exactitud

Figura 1.1: Comparación entre exactitud y precisión.

- Sensibilidad (sensitivity) de medida de un instrumento es el cambio producido en lalectura de salida del aparato cuando la magnitud de medida cambia en una cantidad dada.

- Resolución (resolution) de un aparato de medida es el valor más pequeño de una mag-nitud que puede detectar el instrumento, es decir, cuando un instrumento está mostrandouna lectura, hay un valor mínimo en el cambio que tiene que sufrir la magnitud medidade forma que este cambio se refleje en la lectura del aparato. Si bien deberíamos distinguireste concepto del concepto anterior, en la práctica ambos conceptos suelen emplearse in-distintamente. Una de las causas que limitan la resolución son las divisiones en un aparatoanalógico o la última cifra en un aparato digital.

- Discrepancia (discrepancy) es la diferencia entre distintos valores numéricos obtenidospara una misma magnitud, bien sean realizados por un misma persona o por diferentespersonas. Este término no representa una medida de error.

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4 Introducción a la teoría de errores

1.4 Cifras significativas. Reglas de redondeo

Todas las magnitudes físicas medibles directamente son aproximadas, ya que no podemosdeterminar experimentalmente su valor exacto, al igual que el de ciertas constantes matemáticas(π, e,. . . ) y el del resultado de ciertas operaciones también matemáticas (funciones trigonomé-tricas, logaritmos, raíces,. . . ), de ahí que todas las magnitudes determinadas indirectamente apartir de aquellas a través de relaciones matemáticas sean también aproximadas.

Por otra parte, cualquier medida que se realice conducirá a un valor de la magnitud a deter-minar que deberá ser expresado con un número concreto de cifras; dicho número estará limitadopor la incertidumbre de la medida.

Se denomina número de cifras significativas al número de cifras, empezado a contar des-de la primera a la izquierda distinta de cero, hacia la derecha y hasta la cifra del mismo ordendecimal que la última cifra de su incertidumbre, inclusive, con que se expresa el valor de cualquiermagnitud. Cuando los ceros que figuren en el valor de una magnitud sirvan sólo para designarel orden decimal, se recomienda especialmente emplear una notación en potencias de diez (no-tación científica) en la que figuren sólo las cifras significativas; en este caso debe de usarse una

sola cifra entera para el valor del mensurando y la potencia de diez debe afectar también a laincertidumbre de dicho resultado.

Se deduce de lo hasta aquí expuesto, que siempre será necesario redondear el número fi-nal correspondiente a un resultado, es decir, eliminar los guarismos superfluos, para expresarlocorrectamente con el número de cifras significativas apropiado. Así, el valor de la magnitud seredondeará de tal manera que la última cifra significativa de la magnitud sea del mismo orden

decimal que la última cifra de la incertidumbre.

Para llevar a cabo el redondeo de una cifra se emplearán los criterios siguientes, que si bien sonarbitrarios, su uso está prácticamente generalizado, y que se conocen como reglas de redondeo.

Supongamos que después de redondear un número deben de quedar n cifras significativas, ental caso:

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es menor que 5, la n-ésima cifra conservada no varía.

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es mayor que 5, la n-ésima cifra conservada se incrementaen una unidad.

- si la (n+1)-ésima cifra suprimida es igual a 5, pueden ocurrir dos cosas:

1) Entre las cifras suprimidas, además de la cifra 5 hay otras distintas de cero, en estecaso la n-ésima cifra conservada se incrementa en una unidad.

2) Todas las cifras suprimidas, excepto la cifra 5, son ceros, en cuyo caso la n-ésima cifraconservada se incrementa en una unidad si ella es impar, y no se varía si ella es par.

En todo caso se suprimirán todas las cifras de orden superior al n y se eliminarán todas a la

vez, no una a una.

Para redondear una cantidad es necesario evaluar primero la incertidumbre de la que éstaviene afectada. Utilizaremos como criterio para expresar las incertidumbres emplear dos cifrassignificativas. Sin embargo, para limitar las incertidumbres debidas al redondeo, en los cálculosintermedios debe obviarse el criterio anteriormente indicado, y todo valor numérico que vaya a serempleado en un cálculo posterior, debe conservar al menos una cifra significativa suplementaria,

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1.5 Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática 5

respecto a las que figuren en su expresión final. El valor obtenido de dicho cálculo debe de serdefinitivamente redondeado suprimiendo estas cifras no significativas empleadas temporalmente.

1.5 Incertidumbre aleatoria e Incertidumbre sistemática

Se define error (según Webster) como la diferencia entre un valor observado o calculado y elvalor real de la magnitud. Dado que una magnitud se mide porque se ignora su valor verdadero,no se puede determinar su error y, en consecuencia, sólo se pueden estimar los errores inherentesa un experimento.

Denominamos incertidumbre de una medida a la estimación de su error. Se puede entoncesdefinir la incertidumbre como un parámetro, asociado al resultado de una medición, que carac-teriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando,magnitud particular objeto de medición.

Una de las mejores formas de estimar la fiabilidad de una medida es por repetición y compara-ción posterior de los valores obtenidos. Sin embargo, no todas las incertidumbres experimentalespueden ser estimadas mediante un análisis estadístico de medidas repetidas. Se distingue entoncesentre dos tipos de incertidumbres: las que se ponen de manifiesto tras medidas reiteradas, que sedenominan incertidumbres aleatorias (en metrología evaluación de tipo A), y aquellas en lasque no sucede esto, que se denominan incertidumbres sistemáticas (en metrología evaluaciónde tipo B). Para clarificar estos conceptos, vamos a poner algunos ejemplos. Se cronometra eltiempo de revolución de un disco que gira. Una fuente de incertidumbre proviene de los reflejosdel experimentador, más o menos vivos, al disparar o detener el cronómetro. Si el tiempo dereacción fuese siempre idéntico, se compensaría en la expresión del resultado. En la práctica,sin embargo, nuestros reflejos variables pueden retardar el disparo del cronómetro, subestimandola duración de la rotación, o pueden retardar la detención del cronómetro, sobreestimando laduración de la rotación. Estas dos posibilidades equivalentes se traducen en un efecto aleatorio.La repetición del experimento conduce así a resultados, unas veces subestimados y otras vecessobreestimados. El análisis estadístico de su dispersión proporciona una estimación fiable de estetipo de incertidumbre.

Por el contrario, un cronómetro mal calibrado, no puede detectarse por este procedimientode medidas reiteradas. Este tipo de incertidumbre sistemática, desplaza siempre el resultado enel mismo sentido, siendo inaccesible al análisis estadístico.

Un segundo ejemplo de incertidumbre, tanto aleatoria como sistemática, se encuentra al rea-lizar medidas de una longitud con ayuda de una regla graduada. La necesidad de interpolar losresultados entre las graduaciones de la regla, constituye generalmente, una fuente de incertidum-bres aleatorias. Pero cualquier deformación de la regla ocasiona una incertidumbre sistemática.O, con este mismo ejemplo, la lectura de la regla da lugar a resultados diferentes según la posiciónde los ojos respecto a ella. Este efecto de paralaje significa que la lectura de la regla sólo es correc-ta colocándose perpendicularmente a ella. Pero, por cuidadoso que sea el experimentador, nuncaestará exactamente paralelo a las graduaciones, ocasionando una ligera incertidumbre aleatoriadebida al paralaje. Un experimentador distraído que efectúe todas las medidas desde un mismo

lado, introduce una incertidumbre sistemática de lectura. Un mismo efecto (de paralaje) puedeproducir pues incertidumbres aleatorias o sistemáticas.

Casi todas las medidas están sujetas simultáneamente a incertidumbres aleatorias y sistemá-ticas. Las incertidumbres aleatorias provienen frecuentemente de pequeños errores de apreciación

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6 Introducción a la teoría de errores

del experimentador, de pequeñas perturbaciones en el dispositivo de medida,. . . La causa másevidente de incertidumbres sistemáticas proviene de un mal calibrado de los instrumentos demedida.

El tratamiento de las incertidumbres aleatorias difiere del de las incertidumbres sistemáticas.Los métodos estadísticos conducen a una estimación fiable de las incertidumbres aleatorias, pro-porcionando un método probado para reducirlas. Por el contrario, las incertidumbres sistemáticasson habitualmente difíciles de evaluar y más aún, de detectar. Un experimentador avezado debepoder descubrir las posibles incertidumbres sistemáticas y debe asegurarse de que no influyan enla precisión requerida para el experimento.

La Teoría de errores nos proporciona un método matemático para estimar, con buenaaproximación, el error de que viene afectada la medida de una determinada magnitud. Dichateoría se basa en una serie de postulados y principios no siempre evidentes, cuya justificaciónmatemática rigurosa no es objeto de esta guía:

• El postulado de accidentalidad se fundamenta en el hecho de que el resultado o valor mediode un número grande (en el límite, infinitamente grande) de observaciones es prácticamenteuna magnitud no aleatoria, independiente de la influencia de valores individuales.

• Otro de los postulados válido para este nivel de experimentación es el de la media aritméticacomo el valor más probable de la magnitud que se mide, es decir, se admite que las medidassujetas a pequeñas incertidumbres aleatorias y a incertidumbres sistemáticas despreciables,se corresponde en el límite con una distribución normal (o de Gauss).

• El cálculo preciso de los limites de confianza a partir de un número pequeño de medidas(n<20) necesita admitir como válida la distribución t de Student (debida a W. S. Gosset).

• La mejor aproximación a los parámetros buscados de cualquier dependencia funcional seráaquella para la cual la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores observadosy calculados a partir de la función es mínima.

Sin embargo, por riguroso que sea el método matemático empleado en el tratamiento de datosexperimentales, será de por sí impotente si la medición se ha realizado sin observar los requisitoselementales de las metodologías.

Evitaremos, en la medida que sea posible, ciertas demostraciones matemáticas, para centrar-nos en el fin que nos proponemos y que no es otro que trabajar en un laboratorio.

Analizaremos uno a uno, los dos métodos de medida que se emplean habitualmente en loslaboratorios, medida directa utilizando aparatos calibrados y medida indirecta a través de ladependencia funcional de la magnitud a determinar con otra u otras magnitudes previamentedeterminadas.

1.6 Métodos de medida de una magnitud

La medida de cualquier magnitud física se reduce a encontrar un número real que sea múltiploó cociente entre la magnitud a determinar y una magnitud tomada como patrón.

Para la determinación de una magnitud se utilizará uno de los tres métodos indicados acontinuación y que describiremos seguidamente:

1) Medida directa

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1.7 Medidas directas 7

2) Medida con aparatos calibrados

3) Medida indirecta

1) Se adopta como unidad de medida una unidad patrón, efectuándose la medida por compara-ción directa con el patrón escogido. Este método se conoce también como de medida relativa,porque los números que nos dan la medida de la magnitud dependen de la unidad de medidaseleccionada y ésta puede ser fijada de manera totalmente arbitraria.

2) Los inconvenientes que el método anterior presenta, se eliminan en buena parte efectuando lasmedidas con aparatos realizados por casas comerciales que disponen de muy buenos patronesde medida, calibran y contrastan los instrumentos de tal manera que la medida se reduce auna simple lectura bien de la posición del índice del aparato sobre escalas graduadas o bienen una pantalla digital. Balanzas, termómetros, amperímetros, voltímetros, cronómetros,. . .son ejemplos de aparatos calibrados.

3) Cuando una magnitud física no puede ser determinada por comparación con una unidadpatrón y aquella está relacionada con otras magnitudes físicas a través de funciones cono-cidas, su determinación se realiza de forma indirecta midiendo las magnitudes con las queestá relacionada y calculando su valor a través de la ecuación matemática que expresa su de-pendencia funcional de aquellas. La medida indirecta es una medida absoluta y sus unidadesserán función de las unidades de medida de las magnitudes de que dependa.

1.7 Medidas directas

Cuando se lleva a cabo la determinación de una magnitud física utilizando aparatos cali-brados (balanzas, cronómetros, multímetros,...) pueden presentarse situaciones que requieren untratamiento diferente, según se realice la medida una única vez (bien sea por la dificultad de surealización, por el tiempo empleado en la misma, por un coste elevado o porque la sensibilidaddel aparato haga que resulte inútil su repetición) o se realice una serie de medidas de la mismamagnitud. Vamos a estudiar cada uno de estos casos.

1- Se realiza una única medida

Un instrumento analógico da una salida que varía continuamente a medida que la magnitudmedida cambia. La salida tiene un infinito rango de valores dentro del intervalo de medida y laincertidumbre del aparato está determinada por las divisiones de la escala. Ejemplos de este tipode instrumentos son una regla graduada, un termómetro de varilla,. . . En este caso, se denominaincertidumbre de resolución, instrumental o de lectura directa de una medida con dichoinstrumento, a la resolución del mismo, amplitud del menor intervalo de medida, es decir, el valorde la magnitud entre dos divisiones consecutivas de la escala de lectura del aparato, que repre-sentaremos por ∆x. Si el aparato no tiene el cero ajustado, la medida realizada será x=xlect-x0,y se tratará como una medida indirecta.

En un instrumento digital, la lectura de la medida varía en pasos discretos y el número devalores que puede proporcionar dicho aparato de medida es finito. Ejemplos de este tipo de apa-ratos son un polímetro digital, un cronómetro digital,. . . En este caso, salvo que en el manualde instrucciones del instrumento el fabricante facilite la incertidumbre (exactitud del aparato)asociada al mismo, se considerará como incertidumbre de resolución una unidad de la últimacifra aparecida en pantalla.

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8 Introducción a la teoría de errores

Veamos como se procede para evaluar tanto el mensurando como su incertidumbre en el casode que las especificaciones técnicas del aparato no suministren información acerca de su incerti-dumbre o inexactitud.

Si el aparato de medida es analógico, al realizar la lectura de la medida, ésta se encuentraentre las divisiones x− y x+. En este caso la estimación del valor del mensurando viene dada por

x =x− + x+

2(1.1)

Mientras que si el aparato es digital la lectura de la medida nos indica un valor único, que seconsidera la estimación del mensurando.

En cualquiera de estos dos casos, la magnitud medida viene afectada por una incertidumbre

s(x) = sB(x) =∆x√12

(1.2)

que representa la desviación típica sB(x) obtenida mediante evaluación tipo B (sistemática),para lo cual se ha supuesto a priori , que la información relativa a la lectura suministrada por elinstrumento viene descrita por una distribución de probabilidad rectangular simétrica.

Si se conoce la incertidumbre asociada al aparato de medida, proporcionada por el fabricanteen las especificaciones técnicas del aparato, por un certificado de calibración,. . . , entonces debe-rá ser analizada la información suministrada para ser tenida en cuenta a la hora de evaluar laincertidumbre de la medida.

El intervalo de confianza de la medida realizada viene dado por

x − sB(x) ≤ xverd ≤ x + sB(x) (1.3)

con una probabilidad del 58% y para una probabilidad del 95% el intervalo de confianza es±1, 65 sB(x).

El resultado de la medida debe expresarse en la forma

x, sB(x) (1.4)

En las medidas de calidad normal ∆x debe ser mucho menor que x, ∆x$x. A veces, aunquecon poco rigor científico, a ∆x se le denomina también error absoluto de la medida x, para evitarconfusiones con la incertidumbre fraccionaria o incertidumbre relativa, magnitud adimensionalque indica la calidad de una medida y no es más que el porcentaje que representa la incertidumbrede dicha medida respecto a su propio valor, es decir

ε(x) =

[

sB(x)

|x|

]

100 (1.5)

Es necesario indicar que las medidas realizadas con un mismo aparato no tienen por quétener igual calidad, a pesar de que se hayan determinado con idéntica resolución. En efecto,supongamos que para determinar la masa de un cuerpo utilizamos una balanza que aprecia1·10−3 g; efectuamos la medida para dos cuerpos diferentes, una resulta ser de 5,000 g y la otrade 0,200 g. Aunque el error de resolución de ambas medidas es el mismo, no sucede igual con lasincertidumbres relativas

ε(1) = 100

[

1 · 10−3/√

12

5, 000

]

= 0, 0058% ε(2) = 100

[

1 · 10−3/√

12

0, 200

]

= 0, 14%

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1.7 Medidas directas 9

es decir, la primera de las medidas indicada es más fiable que la segunda.

2- Se realiza una serie de medidas

Supongamos que hemos realizado n medidas directas, xi, i=1,. . . n, de una cierta magnitud x.Si estas medidas han sido efectuadas con un mismo aparato y con la misma resolución, la mejoraproximación al verdadero valor de la magnitud que puede hacerse, supuesto que la poblaciónposea distribución normal, a partir de las n medidas realizadas es el valor medio o media dela muestra, que viene dado por la expresión

x =x1 + x2 + · · · + xn

n=

n∑

i=1xi

n(1.6)

La dispersión de datos en torno al valor medio para dicha serie de medidas viene dada porla desviación típica o standard de la muestra, sA(x) obtenida mediante evaluación tipo A(aleatoria), cuya expresión matemática es

s(x) = sA(x) =

√

√

√

√

√

n∑

i=1(xi − x)2

n − 1(1.7)

en dónde n-1 representa el número de grados de libertad que es la diferencia entre el número deobservaciones y el número de parámetros calculados (en este caso el valor medio). Al cuadradode esta expresión, s2

A(x), se le conoce como varianza o desviación cuadrática media de lamuestra. La desviación típica de la muestra representa la incertidumbre de una cualquiera delas medidas realizadas o de cualquier otra medida de la misma magnitud realizada con el mismo

instrumento y en las mismas condiciones.

El valor medio, o media, de la muestra se calcula mediante la expresión (1.6) para una muestrade n observaciones mutuamente independientes. La desviación típica o standard de la mediade dicho conjunto de n datos es igual a

s(x) = sA(x) =sA(x)√

n(1.8)

Además, cada una de la medidas xi presenta una incertidumbre de medida directa, es decir,una incertidumbre tipo B, por lo que el valor medio se verá afectado por una incertidumbremayor que la indicada en (1.8) y que se denomina incertidumbre combinada, sC(x), que sedetermina mediante la expresión

sC(x) =√

[sA(x]2 + [sB(x)]2 (1.9)

El intervalo de confianza de la media nos indica entre qué valores límite estará compren-dida la media con una determinada probabilidad, que se ha elegido previamente. Dicho intervalode confianza se expresa matemáticamente por:

x ± k · sC(x) (1.10)

en dónde k es un parámetro que representa la amplitud del intervalo en torno al valor medioy que aparece tabulado en función de la probabilidad deseada y del número de medidas de lamuestra. A este parámetro se le denomina en la actualidad factor de cobertura y al productok · sC(x) se le denomina incertidumbre expandida. Así, si n>20, k se obtiene a partir de ladistribución de Gauss y si n≤20 se calcula a partir de la distribución t de Student (Tabla II).

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10 Introducción a la teoría de errores

Al cociente sC(x)/x se le denomina incertidumbre típica relativa y, en este caso concreto,de la media.

Vamos a analizar, paso a paso, como a partir de un conjunto de n datos de xi obtenemos elvalor de la magnitud así como el de su incertidumbre. Procederemos de la siguiente forma: enprimer lugar se calculará el valor medio x de la muestra, utilizando la expresión (1.6), así comola desviación típica de la muestra, sA(x), mediante la expresión (1.7).

Se denomina valor discordante a aquel valor que resulta dudoso porque es muy diferente alos demás valores de la muestra o bien porque es muy diferente al valor que se esperaba. Com-probaremos a continuación si todos los valores xi medidos son válidos o bien debemos desecharalguno, lo que se conoce como aceptación o rechazo de valores discordantes.

Para ello, adoptaremos el criterio de que los valores de xi son correctos si se encuentrancomprendidos en el intervalo dado por:

x − k · sA(x) ≤ xi ≤ x + k · sA(x) (1.11)

en dónde k es el factor de cobertura.

Así, si n>20, con una probabilidad del 95% (1-0,95=0,05), resulta adecuada la distribuciónde Gauss para describir la muestra, con lo que cada valor de xi debe verificar que

x − 1, 96 · sA(x) ≤ xi ≤ x + 1, 96 · sA(x) (1.12)

Mientras que si n≤20, la descripción adecuada es la que proporciona la distribución de Stu-dent, a partir de la cual habrá que determinar la magnitud del parámetro t, factor de cobertura,para una probabilidad dada y para φ= n-1 grados de libertad, de forma que cada valor xi debeverificar (1.11).

Cualquier valor xi del conjunto de n datos que caiga fuera de los intervalos dados por las ex-presiones (1.11) ó (1.12), según el valor de n, debe ser desechado y volver a comenzar los cálculosdesde el primer paso. Este criterio sólo debe aplicarse al conjunto de valores una vez y rechazartodos los datos de la muestra que no verifiquen el citado requisito.

Para finalizar, calcularemos la desviación típica, sA(x), con los valores de xi correctos, uti-lizando las expresiones (1.6) a (1.8) y posteriormente sC(x) mediante la expresión (1.9). Elresultado final se expresa en la forma

x, sC(x),φ (1.13)

1.8 Medidas indirectas

Sea y una magnitud que depende de n magnitudes distintas x1, x2,. . . , xn mediante la de-pendencia funcional

y = y (x1, x2, · · · , xn) (1.14)

Si conocemos el valor de las magnitudes x1, x2,. . . , xn, así como las incertidumbres de quevienen afectadas, trataremos ahora de determinar la incertidumbre de la magnitud y conocidala dependencia funcional dada por la ecuación (1.14), lo que se conoce como propagación de

incertidumbres.

M. Pintos

1.9 Media pesada o ponderada 11

Si todas las magnitudes xi de las que depende el valor de la magnitud y son mutuamente

independientes, la desviación standard combinada de que viene afectada dicha magnitudviene dada por la expresión

s(y) =

√

√

√

√

∑

i

(

∂y

∂xi

)2

s2(xi) (1.15)

que se denomina ecuación general de propagación de incertidumbre.

NOTA: Podemos justificar ahora la expresión (1.8) utilizando para ello la expresión (1.15).En efecto, si realizamos n medidas xi mutuamente independientes, teniendo en cuenta la expre-sión (1.6) obtendríamos

∂x

∂xi=

1

n

y dado que todas las xi pertenecen a la misma muestra, presentan la misma desviación típicas(x), por lo que resulta

s(x) =

√

√

√

√

∑

i

(

1

n

)2

s2(x) =s(x)√

n

1.9 Media pesada o ponderada

Supongamos que disponemos de varias medidas xi de una misma magnitud realizadas condistinta precisión y queremos obtener un único valor de dicha magnitud, así como la incertidum-bre de que viene afectada.

Si para los n datos xi conocemos sus desviaciones standard s(xi), bien la incertidumbresistemática si se trata de medidas directas realizadas una sola vez, bien la incertidumbre aleatoriasi la medida se ha realizado repetidas veces para cada uno de los n datos, el valor más probablede x se obtiene mediante la expresión

x =

∑

i xi

(

1s(xi)

)2

∑

i

(

1s(xi)

)2 =

∑

i xi wi∑

i wi(1.16)

en dónde, como ya se ha visto, wi=1/[s(xi)]2 se denomina peso estadístico del valor xi, y enconsecuencia las medidas más precisas tienen mayor contribución al valor más probable de x.

La desviación típica o standard de la media ponderada viene dada por

s(x) =

√

√

√

√

1∑

i

(

1s(xi)

)2 =1

√∑

i wi(1.17)

En cuanto a la coincidencia o no de los resultados experimentales de varias series de medidas,veamos cómo se procede.

1.10 Comparación de resultados

Supongamos que tenemos dos series de medidas de la misma magnitud, realizadas por distin-tos experimentadores y/o por distintos métodos, una x1, x2,. . . , xn y otra y1, y2,. . . , ym, cuyos

M. Pintos

12 Introducción a la teoría de errores

valores medios son respectivamente x e y. Aceptaremos que la diferencia entre los valores mediosno es significativa, y por lo tanto es válida la hipótesis de que ambos son iguales, si

|x − y| = t · s (x − y) (1.18)

y rechazaremos la hipótesis en caso contrario. El valor del coeficiente de cobertura (t de Studento de Gauss, según el caso) será el que corresponde al grado de confianza (probabilidad) elegidoy a los grados de libertad φ=n+m-2.

En la expresión (1.18) el valor de s (x − y) viene dado por

s (x − y) =

√

s2(x)

n+

s2(y)

m=√

s2(x) + s2(y) m,n > 20 (Gauss)

s (x − y) =√

(n − 1)s2(x) + (m − 1)s2(y)

√

1n + 1

m

n + m − 2m,n ≤ 20 (Student)

M. Pintos

2

Análisis de regresión

2.1 Análisis de regresión

El problema de la Ciencia experimental no es solamente medir ciertas cantidades con la má-xima precisión posible, sino también, y fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre doso más magnitudes relacionadas entre sí mediante una función matemática.

Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar, dependa de un conjunto de magnitudesy, x1, x2, . . . , xn; la ley que rige el fenómeno relaciona la magnitud y con el conjunto de magni-tudes xi, de tal forma que durante una serie de experimentos se determinan los valores de unade ellas, y, en correspondencia con los distintos valores que asumen las otras magnitudes xi.

La cuestión que se plantea es si es posible conocer de forma explícita la dependencia funcionalentre las magnitudes xi e y, averiguando cuál es la función más exacta que relaciona las variables.Este estudio se lleva a cabo estadísticamente mediante el denominado análisis de regresión.

En primer lugar estudiaremos el caso en que la dependencia funcional sea lineal y posterior-mente analizaremos una dependencia funcional polinómica.

2.2 Regresión lineal

Supongamos que dos magnitudes dadas x e y verifican una dependencia funcional lineal dadapor la ecuación

y = α + βx (2.1)

que denominaremos dependencia teórica.

El problema que se plantea ahora es cómo, a partir de un conjunto de n pares de valoresxi, yi, se puede determinar la mejor aproximación, a y b, a los parámetros correspondientesα y β, así como las incertidumbres accidentales de que vienen afectados y su correspondienteintervalo de confianza. Por lo tanto la expresión que vamos a obtener será

y = a + b x (2.2)

Para determinar dichos parámetros a y b se pueden emplear diversos métodos, entre los quecabe señalar el método de mínimos cuadrados como uno de los más extendidos (junto con elde máxima verosimilitud). Este es un método de tratamiento de datos según el cual se minimizala suma de los productos del peso estadístico de cada punto por los cuadrados de las desviacionesde los datos respecto a los valores predichos por la función a determinar.

Analizaremos escuetamente cómo se aplica el método.

13

14 Análisis de regresión

Al sustituir en la ecuación (2.2) un valor xi concreto, habrá, en general, una discrepanciaentre el valor de yi correspondiente y el obtenido a través de dicha ecuación, figura 2.1, debidoprecisamente a que a y b son aproximaciones a los parámetros verdaderos α y β

yi,cal

yi

x

y

xi

Figura 2.1: Regresión lineal. Método de los mínimos cuadrados

yi − (a + b xi) %= 0

La suma de los productos de los cuadrados de estas desviaciones por el peso estadístico decada punto es la cantidad a minimizar:

χ2 =n∑

i=1

wi [yi − (a + b xi)]2 (2.3)

Así pues, los valores de los parámetros a y b deben ser tales que el parámetro χ2 sea mínimo,por lo tanto

∂χ2

∂a= 0,

∂χ2

∂b= 0 (2.4)

Antes de desarrollar las expresiones anteriores veamos , en líneas generales, qué casos sepueden presentar:

1) Las variables xi presentan incertidumbres despreciables frente a las incertidumbres de lasvariables yi. En este caso la expresión a emplear para el peso estadístico es

wi =1

[s(yi)]2 (2.5)

2) Las variables xi presentan incertidumbres no despreciables frente a las correspondientesincertidumbres de las variables yi. En este caso el tratamiento matemático de los datosexcede el nivel de un curso introductorio y por lo tanto, no será analizado aquí.

Vamos a analizar en primer lugar el caso en el que s(yi) = cte, es decir, wi = w = cte, que sedenomina regresión lineal simple. En consecuencia, la expresión (2.3) tome la forma

χ2 = wn∑

i=1

[yi − (a + b xi)]2 (2.6)

Con lo cual, al realizar las operaciones indicadas en las ecuaciones (2.4), se obtiene el sistemade ecuaciones

−2n∑

i=1

(yi − a − bxi) = 0

M. Pintos

2.2 Regresión lineal 15

−2n∑

i=1

[xi(yi − a − bxi)] = 0

desarrollando los sumatorios y reordenando las expresiones obtenemos el siguiente sistema deecuaciones:

an + b∑

i xi =∑

i yi

a∑

i xi + b∑

i x2i =

∑

i xiyi

(2.7)

en dónde para simplificar hemos notado, por ejemplo,n∑

i=1xi =

∑

i xi.

El sistema de ecuaciones (2.7) expresado en notación matricial resulta

(

n∑

i xi∑

i xi∑

i x2i

) (

ab

)

=

( ∑

i yi∑

i xiyi

)

(2.8)

La resolución de dicho sistema conduce a

a =(∑

i yi)(∑

i x2i

)

− (∑

i xi) (∑

i xiyi)

n(∑

i x2i

)

− (∑

i xi)2 (2.9)

b =n (

∑

i xiyi) − (∑

i xi) (∑

i yi)

n(∑

i x2i

)

− (∑

i xi)2 (2.10)

ecuaciones que nos permiten obtener las mejores aproximaciones a y b a los parámetros α y β apartir de los n pares de datos (xi, yi).

La desviación típica del ajuste para la muestra dada viene dada por la expresión

s =

√

∑

i (yi − a − bxi)2

n − 2(2.11)

en dónde n-2 representa los grados de libertad, en este caso el 2 es debido a que son dos losparámetros que aparecen en la función, a y b.

La determinación de las incertidumbres de que están afectados los parámetros a y b se llevaa cabo mediante las expresiones

s(a) = s

√

∑

i x2i

n(∑

i x2i

)

− (∑

i xi)2 (2.12)

s(b) = s

√

n

n(∑

i x2i

)

− (∑

i xi)2 (2.13)

IMPORTANTE ver NOTA (*) al final del tema.

El coeficiente de regresión lineal, r, es un parámetro que nos indica el grado en que elconjunto de datos (xi, yi) verifican la ley funcional propuesta, en este caso la lineal, y se calculapara este caso mediante la expresión

r =n (

∑

i xiyi) − (∑

i xi) (∑

i yi)√

[

n(∑

i x2i

)

− (∑

i xi)2] [

n(∑

i y2i

)

− (∑

i yi)2]

(2.14)

M. Pintos

16 Análisis de regresión

cuando r=0, la relación funcional entre los valores x e y es inexistente, es decir, los valores deambos conjuntos son independientes entre sí. Cuando r = ±1 con n ≥ 3, la regresión es perfec-ta, es decir, todos los puntos se encuentran sobre la recta. En general, tendremos valores de rcomprendidos entre esos valores extremos y se puede decir que una regresión será tanto mejorcuanto más próximo a 1 sea el valor de |r|.

El coeficiente de regresión lineal debe expresarse con tres cifras significativas, tanto en estecaso como en cualquiera de los siguientes.

En el caso de una regresión lineal simple y sin término independiente, es decir

y = bx (2.15)

las expresiones correspondientes son las siguientes

b =

∑

i xiyi∑

i x2i

(2.16)

s =

√

∑

i(yi − bxi)2

n − 1(2.17)

s(b) =s

√

∑

i x2i

(2.18)

r =

∑

i xiyi√

(∑

i x2i

) (∑

i y2i

)

(2.19)

En segundo lugar, analizaremos el caso en el que s(yi) %= cte, regresión lineal ponderada.Para estimar los parámetros a y b, se procede de forma totalmente análoga a la anterior, si bienen este caso debe minimizarse la suma ponderada de los cuadrados de las desviaciones dada porla ecuación (2.3), con lo que se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:

( ∑

i wi∑

i wixi∑

i wixi∑

wix2i

) (

ab

)

=

( ∑

i wiyi∑

i wixiyi

)

(2.20)

que va a permitir obtener los parámetros buscados. Por otra parte, las incertidumbres de queestán afectados dichos parámetros vienen dadas por las expresiones

s(a) =

√

∑

i wix2i

∆(2.21)

s(b) =

√

∑

i wi

∆(2.22)

en dónde ∆ es el determinante de los coeficientes de la ecuación matricial (2.20), es decir, el valordel determinante asociado a la primera de las matrices del primer miembro.

IMPORTANTE ver NOTA (*) al final del tema.

La desviación típica para este tipo de ajuste viene dada por la expresión

s =

√

√

√

√

n

(n − 2)∑

i wi

[

∑

i

wi (yi − a − bxi)2

]

(2.23)

M. Pintos

2.3 Regresión polinómica 17

y, finalmente, el coeficiente de regresión para este ajuste ponderado se calcula empleando laecuación:

r =(∑

i wi) (∑

i wixiyi) − (∑

i wixi) (∑

i wiyi)√

[

(∑

i wi)(∑

i wix2i

)

− (∑

i wixi)2] [

(∑

i wi)(∑

i wiy2i

)

− (∑

i wiyi)2]

(2.24)

Si se trata de una regresión lineal ponderada y sin término independiente, ecua-ción (2.15), las expresiones correspondientes son

b =

∑

i wixiyi∑

i wix2i

(2.25)

s(b) =1

√

∑

i wix2i

(2.26)

s =

√

√

√

√

n

(n − 1)∑

i wi

[

∑

i

wi (yi − bxi)2

]

(2.27)

r =

∑

i wixiyi√

(∑

i wix2i

) (∑

i wiy2i

)

(2.28)

2.3 Regresión polinómica

Cuando el conjunto de n puntos experimentales (xi, yi), i=1,. . . ,n, no presenta una relaciónlineal, sino que su dependencia funcional es más compleja, podría darse alguno de los supuestossiguientes:

- la función pueda transformarse matemáticamente a una expresión lineal. Por ejemplo, elcaso de y = AeBx, la cual se transforma al tomar logaritmos en ln y = ln A + Bx, queresulta ser una relación lineal de ln y frente a x, con lo que se procedería a realizar unaregresión lineal ponderada, como ya se ha visto.

- la relación entre las variables sea una una función polinómica. Este caso se analiza a con-tinuación.

- la función matemática sea de otro tipo. Este supuesto no será analizado porque excede elobjetivo de la presente guía.

Supongamos entonces que la variable dependiente, y, se ajusta a un polinomio de grado m(m+1 coeficientes, m<n) con x como variable explicativa, es decir, una función de la forma

y = a0 + a1x + a2x2 + · · · + amxm (2.29)

Empleando, al igual que en el apartado anterior el método de la mínima χ2, la cantidad aminimizar en este caso será

χ2 =∑

i

wi(

yi − a0 − a1xi − a2x2i − · · ·− amxm

i

)2(2.30)

y así, al aplicar la condición de mínimo resulta:

∂χ2

∂a0= 0,

∂χ2

∂a1= 0, · · ·

∂χ2

∂am= 0 (2.31)

M. Pintos

18 Análisis de regresión

si se realizan todas estas derivadas y se hacen las oportunas operaciones, se obtiene expresadoen notación matricial

∑

i wi∑

i wixi · · ·∑

i wixmi

∑

i wixi∑

wix2i · · ·

∑

i wixm+1i

∑

i wix2i

∑

wix3i · · ·

∑

i wixm+2i

......

. . ....

∑

i wixmi

∑

wixm+1i · · ·

∑

i wixm+mi

a0

a1

a2...

am

=

∑

i wiyi∑

i wixiyi∑

i wix2i yi

...∑

i wixmi yi

(2.32)

a la matriz cuadrada (m+1) (m+1) del primer miembro se le denomina matriz de curvatura,y la notaré por [C] , lo que nos conduce a la siguiente ecuación simplificada

[C][A] = [Y ] (2.33)

Para obtener los parámetros ai basta con multiplicar ambos miembros de la ecuación anteriorpor la matriz inversa de [C], [C]−1, que se denomina matriz error por estar íntimamente ligadaa las incertidumbres de los coeficientes del polinomio:

[A] = [C]−1[Y ] (2.34)

La desviación típica del ajuste, s, se define por la expresión

s =

√

√

√

√

n

(n − m − 1)∑

i wi

[

∑

i

wi(

yi − a0 − a1xi − a2x2i − · · · − amxm

i

)2

]

(2.35)

en dónde n-m-1= n-(m+1)=Φ (número de puntos - número de parámetros -1) representa elnúmero de grados de libertad del ajuste.

Utilizando las ecuaciones habituales para el cálculo de la transmisión de incertidumbres,puede demostrarse que las desviaciones típicas de cada uno de los parámetros del ajuste vienendadas por las expresiones

s(a0) =√ε11

...s(am) =

√εm+1m+1

(2.36)

y sin ponderars(aj) = s

√εjj (2.37)

en dónde εjj representa el elemento de la diagonal principal correspondiente a la fila j de lamatriz error [C]−1.

Determinamos, finalmente, el coeficiente de regresión múltiple mediante la expresión

r =

√

√

√

√

∑

j

(

aj

s2jy

s2y

)

j = 1, . . . ,m (2.38)

en dónde

sjy =

√

√

√

√

n

∑

i

[

wi

(

xji − xj

)

(yi − y)]

(n − 1) (∑

i wi)(2.39)

sy =

√

√

√

√

n

∑

i

[

wi (yi − y)2]

(n − 1) (∑

i wi)(2.40)

M. Pintos

2.4 Aceptación o rechazo de valores discordantes 19

xj =

∑

i wixji

∑

i wi(2.41)

y =

∑

i wiyi∑

i wi(2.42)

2.4 Aceptación o rechazo de valores discordantes

Se denomina valor discordante a aquel valor que resulta dudoso porque es muy diferente alos demás valores de la muestra o bien porque es muy diferente al valor que se esperaba.

Ya hemos visto cómo se rechazaba un valor discordante en una muestra, vamos a ver ahoracómo se rechaza un valor en una regresión.

El criterio de rechazo o de aceptación de un valor discordante se basa en el examen delas desviaciones de los valores experimentales yi respecto a los valores calculados yi,calc predichospor la función que se está ensayando. Cada valor yi se considera perteneciente a una poblacióncuyo valor medio (central) está estimado por el valor predicho por la función. El procedimientoconsiste entonces en calcular el intervalo yi,calc± t ·s(yi,calc) y comprobar si el valor yi cae dentro,se acepta, o fuera, se rechaza, del intervalo de confianza, siendo en este último caso necesariorehacer el cálculo de regresión. El valor del parámetro t mediante la distribución normal o la deStudent, según el caso, depende del número de grados de libertad del ajuste y de la probabilidadpreviamente elegida.

Consideremos ahora otra situación importante en la cual interesa una decisión con un ciertogrado de confianza. Supongamos que se determinan experimentalmente n valores de la variableindependiente x correspondientes a los valores de la variable dependiente y, y se desea decidir siestos resultados justifican la hipótesis de que ambas variable están relacionadas por la funcióny = f(x). Como índice de la bondad del ajuste se toma la expresión (2.3) ó:

χ2 =∑

i

wi [yi − f (xi)]2 (2.43)

extendida a los n pares de valores (xi, yi), y en la que aparecen los pesos estadísticos de los datosproporcionados por el experimento. La expresión anterior se llama chi-cuadrado, y por eso elcriterio de decisión que vamos a aplicar se conoce con el nombre de prueba chi-cuadrado.

Es obvio que si el ajuste de los datos a la función fuera perfecto, sería χ2 = 0. Esto no ocu-rrirá, sin embargo, en un experimento real, aunque la hipótesis y = f(x) sea correcta, porque losdatos tienen dispersiones. Para decidir sobre la hipótesis elegiremos, en primer lugar, un gradode confianza P y buscaremos en la Tabla III el valor de χ2

C correspondiente a dicho grado deconfianza y al número de grados de libertad del caso concreto que consideremos, es decir, ladiferencia entre el número n de pares de datos y el número m de parámetros que intervienen enel cálculo de χ2, y que han sido determinados a partir de los datos.

Si se cumple la desigualdad

χ2 ≤ χ2C (2.44)

aceptaremos la hipótesis de que y = f(x) se ajusta bien a los datos experimentales. Si la de-sigualdad no se cumple, rechazaremos la hipótesis.

M. Pintos

20 Análisis de regresión

(*) NOTA:

Las expresiones (2.12) y (2.13) son correctas multiplicadas por s cuando se verifica la con-dición wi = cte. y las expresiones (2.21) y (2.22) son correctas sin multiplicar por s cuandowi %= cte, y aunque parezca que a partir de (2.21) y (2.22) no se pueden obtener (2.12) y (2.13)no es correcto. Véase explicación en páginas 72 y 117 del P.R. Bevington (1969).

M. Pintos

3Memoria de prácticas

3.1 Introducción

El trabajo experimental es una de las actividades más estimulantes y satisfactorias entre lasque desarrollan científicos y tecnólogos. Un experimento bien diseñado y ejecutado, seguido de unanálisis correcto de los datos obtenidos, ofrece una visión de un proceso o fenómeno cualesquieraque es imposible de obtener del estudio exclusivamente teórico de los mismos.

El análisis de datos se basa en técnicas matemáticas perfectamente establecidas, si bien suaplicación práctica, y sobre todo el diseño y ejecución de los experimentos forma parte de esesaber hacer en el arte de medir, que se aprende por el contacto continuo con expertos en lamateria, pues "una cosa es medir y otra que los aparatos suministren números" (A. H. Roux ).

Todas las ciencias experimentales, entre ellas la Física, se basan en observaciones cuantitati-vas de magnitudes (observables medibles), que se obtienen al efectuar experimentos (experiencias

en dónde se controlan algunas variables), a las que llamamos medidas, pues el método científicodistingue claramente entre experiencias y experimentos.

La medida de cualquier magnitud se expresa por un número, su valor, acompañado siemprede su correspondiente unidad, que da significado a dicho número. El valor de la magnitud queresulta de un proceso de medida adolece siempre de cierta imprecisión. Por este motivo, cualquiermedida debe incluir además de su valor y unidad otro número, que denominaremos error, queindica la imprecisión con la que se ha efectuado dicha medida.

Los errores de las medidas son desconocidos, pero pueden estimarse. El conjunto de principiosy métodos que se utilizan en el tratamiento de datos experimentales forma un cuerpo de doctrinaque se denomina Teoría de errores, cuyo conocimiento es muy importante, pues la aplicaciónsistemática de las reglas a las que conduce dicha teoría, permite que los errores estimados pordistintos experimentadores sean comparables y, en consecuencia, que las medidas realizadas porunos científicos sean aprovechables por otros científicos. La teoría de errores se explica de formamuy sucinta en otro apartado de esta guía.

Los avances científicos y técnicos se basan esencialmente en la información que un experi-mento (o series de experimentos) bien diseñado y ejecutado pueda proporcionar, confirmando orechazando una hipótesis , una idea o una teoría conocida, o revelando nuevos efectos que re-quieren que las explicaciones conocidas hasta entonces deban ser modificadas, es decir, descubriralgo interesante e inesperado.

Todo experimento científico debe partir de un objetivo a alcanzar y una planificación decómo llevarlo a cabo. Para ello debe decidirse qué magnitudes deben medirse, qué equipamientoes necesario para su realización y qué variables deben controlarse, para a continuación organizarsu puesta en práctica, comenzando entonces la fase de recogida de datos en la que debe ponerseel máximo cuidado y prestar la máxima vigilancia. En esta última fase se hace imprescindible el

21

22 Memoria de prácticas

cuaderno de laboratorio, que debe ser un registro fiel y cuidadoso de todos los aspectos intere-santes del experimento.

3.2 Cuaderno de laboratorio

Todo lo que ocurre durante la realización de un experimento debe ser registrado de algu-na forma con el fin de tener constancia de todo lo sucedido, siendo el cuaderno de laboratorio

la forma más directa de hacerlo. En él se debe tomar nota de todo lo realizado, hasta el másmínimo detalle o la más mínima incidencia que haya tenido lugar durante la realización de lapráctica. Cuanto más complejo sea el experimento, más detallado ha de exponerse todo el proceso.

En el cuaderno de laboratorio deben anotarse:

• La fecha y la hora de ejecución, para poder relacionar entre sí las distintas partes realizadas.

• El título, indicando claramente a que experimento corresponde todo lo que sigue y cualesson los objetivos a alcanzar.

• El material de que se dispone, realizando una descripción un poco más detallada de aquellosaparatos que se estime oportuno junto con un esquema o un dibujo de los mismos.

• La explicación del método experimental empleado, de forma suficientemente clara, pueshay cosas que se pueden olvidar y pueden ser de gran importancia a la hora de analizar elexperimento.

• Las medidas que se han ido tomando, normalmente presentadas en forma de tablas, in-cluyendo claramente a que corresponde cada fila o columna, las unidades en que se estámidiendo y el error de escala.

• Un borrador de la representación gráfica de los resultados, antes de hacer ningún cálculo,indicando que se representa en cada eje y en que unidades.

• Los cálculos realizados para la obtención de la magnitud objetivo final del experimento.

3.3 Memoria de prácticas

Una vez concluido el trabajo de laboratorio, los resultados obtenidos, el fundamento teórico,cómo se ha realizado la parte experimental, así como una discusión e interpretación de dichos re-sultados, deben ser presentados en una memoria de prácticas , de forma individualizada por cadaalumno, en soporte papel y en el plazo que se indique al comienzo del curso.

Toda memoria o informe de prácticas debe tener los siguientes apartados:

• Título.

• Resumen, en el que se recogerán los objetivos y la técnica empleada, sin dar detalles quese puedan encontrar en las siguientes secciones.

• Una breve introducción teórica, es decir, el fundamento del experimento, sin excesivosdetalles, ni demasiado escueto que confunda.

• Una breve descripción del dispositivo experimental, materiales y método empleado, propor-cionando todos los detalles que se crea oportuno dar acerca del dispositivo y, si se estimanecesario, un esquema del mismo.

M. Pintos

3.3 Memoria de prácticas 23

• La presentación de resultados, en forma de tablas y gráficos, el tratamiento de datos y lasmagnitudes obtenidas junto con sus incertidumbres.

• Discusión y conclusiones, en dónde debe figurar la interpretación de los resultados quese han expuesto hasta este punto. Deben discutirse aquí, las bondades y los defectos delmétodo experimental empleado, si se ha logrado obtener el valor de la magnitud buscaday con que fiabilidad. Por ejemplo, si se ha llegado a una cantidad que está determina-da con suficiente exactitud en libros de datos, debe referenciarse esa fuente y, junto conlas incertidumbres obtenidas defender, si es posible, los resultados obtenidos o el métodoempleado.

• Bibliografía utilizada, indicando si fuese necesario en el texto, cerca del punto donde sequiere hacer la referencia, con un número en superíndice. A continuación, la forma típicaen que se presenta esta bibliografía de be incluir: autor, título del libro, editorial y año depublicación y, si fuese necesario número de la página.

En lo relativo a la presentación de las gráficas deben tenerse en cuenta algunos consejos:

• Toda gráfica debe tener un título, pie de figura, en dónde se indique a que corresponde yque se representa en ella.

• En los ejes deben indicarse claramente las magnitudes físicas que se representan y con suscorrespondientes unidades.

• La escala elegida en cada eje debe permitir transformar las divisiones de la figura en lamagnitud representada de una forma fácil, por ejemplo, operando con un número enterocomo 2, 5, 10, · · ·

• El origen de los ejes se debe elegir en función de los valores a representar y no siempre hade ser el (0, 0), pues en ocasiones este valor está muy alejado de los valores que se van arepresentar.

• En los ejes, se elegirán los intervalos desde un valor ligeramente inferior al del dato menorhasta un valor ligeramente superior al del dato mayor. No hay que indicar los valoresconcretos de cada dato sobre los ejes.

• Los valores experimentales deben estar representados por un punto, un aspa o cualquier otrosímbolo puntual, junto con sus barras de error, que nos indican los límites entre los cualescabe esperar que se encuentre el valor de la magnitud con una probabilidad determinada(intervalo de confianza), siempre que éstas sean mayores que el punto que representa eldato.

• Si los datos experimentales siguen una relación determinada, se dibujará la curva (rec-ta, parábola, exponencial,· · · ) obtenida del ajuste de dichos datos, junto con los puntosexperimentales.

Lo que siempre se debe tener presente a la hora de elaborar una memoria, es que ésta va aser un recordatorio de lo realizado, al que se pueda acudir a la hora de intentar volver a repetirla experiencia o de emplear los resultados es decir, debe contener toda la información necesariapara poder comprobar el proceso de medición). Por ello, hay que esforzarse en la redacción, enla presentación y en lo que se incluye en la memoria.

M. Pintos

24 Memoria de prácticas

3.4 Sistema de unidades

La descripción detallada del Sistema Internacional de Unidades SI declarado legal en Españadesde 1987 puede encontrarse en:http://www.cem.es/cem/es_ES/ metrologia/sistemaunidades_basicas.jsp?op=sistemaunidades_ basicas

En este sistema de unidades deberán expresarse todas las medidas realizadas.

M. Pintos

4Tablas

Tabla IProbabilidad para distintos valores de z = |x − µ|/σ

(Distribución de Gauss)

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0 0,00798 0,01596 0,02393 0,03191 0,03988 0,04784 0,05581 0,06376 0,0717l0,1 0,07966 0,08759 0,09552 0,10343 0,11134 0,11924 0,12712 0,13499 0,14285 0,150690,2 0,15852 0,16633 0,17413 0,18191 0,18967 0,19741 0,20514 0,21284 0,22052 0,228180,3 0,23582 0,24344 0,25103 0,25860 0,26614 0,27366 0,28115 0,28862 0,29605 0,303460,4 0,31084 0,31819 0,32551 0,33280 0,34006 0,34729 0,35448 0,36164 0,36877 0,375870,5 0,38292 0,38995 0,39694 0,40389 0,41080 0,41768 0,42452 0,43132 0,43809 0,444810,6 0,45149 0,45814 0,46474 0,47131 0,47783 0,48431 0,49075 0,49714 0,50350 0,509810,7 0,51607 0,52230 0,52847 0,53461 0,54070 0,54674 0,55274 0,55870 0,56461 0,570470,8 0,57629 0,58206 0,58778 0,59346 0,59909 0,60467 0,61021 0,61570 0,62114 0,626530,9 0,63188 0,63718 0,64243 0,64763 0,65278 0,65789 0,66294 0,66795 0,67291 0,677831,0 0,68269 0,68750 0,69227 0,69699 0,70166 0,70628 0,71085 0,71538 0,71985 0,724281,1 0,72866 0,73300 0,73728 0,74152 0,74571 0,74985 0,75395 0,75799 0,76199 0,765951,2 0,76985 0,77371 0,77753 0,78130 0,78502 0,78869 0,79232 0,79591 0,79945 0,802941,3 0,80639 0,80980 0,81316 0,81647 0,81975 0,82298 0,82616 0,82930 0,83240 0,835461,4 0,83848 0,84145 0,84438 0,84727 0,85012 0,85293 0,85570 0,85843 0,86112 0,863771,5 0,86638 0,86895 0,87148 0,87397 0,87643 0,87885 0,88123 0,88358 0,88588 0,888161,6 0,89039 0,89259 0,89476 0,89689 0,89898 0,90105 0,90308 0,90507 0,90703 0,908961,7 0,91086 0,91272 0,91456 0,91636 0,91813 0,91987 0,92158 0,92326 0,92491 0,926541,8 0,92813 0,92969 0,93123 0,93274 0,93422 0,93568 0,93711 0,93851 0,93988 0,941231,9 0,94256 0,94386 0,94513 0,94638 0,94761 0,94882 0,95000 0,95115 0,95229 0,953402,0 0,95449 0,95556 0,95661 0,95764 0,95864 0,95963 0,96059 0,96154 0,96247 0,963382,1 0,96426 0,96513 0,96599 0,96682 0,96764 0,96844 0,96922 0,96999 0,97074 0,971472,2 0,97219 0,97289 0,97358 0,97425 0,97490 0,97555 0,97617 0,97679 0,97739 0,977972,3 0,97855 0,97911 0,97965 0,98019 0,98071 0,98122 0,98l72 0,98221 0,98268 0,983152,4 0,98360 0,98404 0,98448 0,98490 0,98531 0,98571 0,98610 0,98648 0,98686 0,987222,5 0,98758 0,98792 0,98826 0,98859 0,98891 0,98922 0,98953 0,98983 0,99012 0,990402,6 0,99067 0,99094 0,99120 0,99146 0,9917l 0,99195 0,99218 0,99241 0,99264 0,992852,7 0,99306 0,99327 0,99347 0,99366 0,99385 0,99404 0,99422 0,99439 0,99456 0,994732,8 0,99489 0,99504 0,99520 0,99534 0,99549 0,99563 0,99576 0,99589 0,99602 0,996152,9 0,99627 0,99638 0,99650 0,99661 0,99672 0,99682 0,99692 0,99702 0,99712 0,99721

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

3,0 0,9973002 0,9980648 0,9986257 0,99903315 0,999326143,5 0,99953474 0,99968178 0,99978440 0,99985530 0,9999038054,0 0,999936656 0,999958684 0,999973308 0,999982920 0,9999891744,5 0,9999932043 0,9999957748 0,9999973982 0,9999984132 0,999999041495,0 0,99999942657 0,99999966024 0,99999980061 0,99999988410 0,999999933275,5 0,99999996193 0,99999997847 0,99999998793 0,99999999328 0,99999999627

25

26 Tablas

Tabla IIValores de t para cada nivel de significación y para φ grados de libertad

(Distribución de Student)

φp

0,50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005

1 1,00000 2,4142 6,3138 12,706 25,452 63,657 127,322 0,81650 1,6036 2,9200 4,3027 1,2053 9,9248 14,0893 0,76489 1,4226 2,3534 3,1825 4,1765 5,8409 7,45334 0,74070 1,3444 2,1318 2,7764 3,4954 4,6041 5,59765 0,72669 1,3009 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4,77336 0,71756 1,2733 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4,31687 0,71114 1,2543 1,8946 2,3646 2,8412 3,4995 4,02938 0,70639 1,2403 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3,83259 0,70272 1,2297 1,8331 2,2622 2,6850 3,2498 3,689710 0,69981 1,2213 1,8125 2,2281 2,6338 3,1693 3,581411 0,69745 1,2145 1,7959 2,2010 2,5931 3,1058 3,496612 0,69548 1,2089 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3,428413 0,69384 1,2041 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3,372514 0,69242 1,2001 1,7613 2,1448 2,5096 2,9768 3,325715 0,69120 1,1967 1,7530 2,1315 2,4899 2,9467 3,286016 0,69013 1,1937 1,7459 2,1159 2,4729 2,9208 3,252017 0,68919 1,1910 1,7396 2,1098 2,4581 2,8982 3,222518 0,68837 1,1887 1,7341 2,1009 2,4450 2,8784 3,196619 0,68763 1,1866 1,7291 2,0930 2,4334 2,8609 3,173720 0,68696 1,1848 1,7247 2,0860 2,4231 2,8153 3,153421 0,68635 1,1831 1,7207 2,0796 2,4138 2,8314 3,135222 0,68580 1,1816 1,7171 2,0739 2,4055 2,8188 3,118823 0,68531 1,1802 1,7139 2,0687 2,3979 2,8073 3,104024 0,68485 1,1789 1,7109 2,0639 2,3910 2,7969 3,090525 0,68443 1,1777 1,7081 2,0595 2,3846 2,7874 3,078226 0,68405 1,1766 1,7056 2,0555 2,3788 2,7787 3,066927 0,68370 1,1757 1,7033 2,0518 2,3734 2,7707 3,056528 0,68335 1,1748 1,7011 2,0484 2,3685 2,7633 3,046929 0,68304 1,1739 1,6991 2,0452 2,3638 2,7561 3,038030 0,68276 1,1731 1,6973 2,0423 2,3596 2,7500 3,029840 0,68066 1,1673 1,6839 2,0211 2,3289 2,7045 2,971260 0,67862 1,1616 1,6707 2,0003 2,2991 2,6603 2,9146120 0,67656 1,1559 1,6577 1,9799 2,2699 2,6174 2,8599∞ 0,67449 1,1503 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070

Grado de confianza: es la probabilidad calculada teóricamente de que haya sucedido lo que resultó si lahipótesis era cierta. Se expresa en %.

Nivel de significación: es la probabilidad de que siendo la hipótesis cierta hubiera sido el resultado distintodel que se encontró. Es un número menor que la unidad.

Un grado de confianza del 95% (probabilidad del 0,95) es lo mismo que un nivel de significación de 0,05.

M. Pintos

Tablas 27

Tabla IIIValores de χ2

c para cada nivel de significación y para φ grados de libertad(Distribución χ2)

φp

0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 0,00051 0,708 1,07 1,64 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,8 12,12 1,83 2,41 3,22 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 13,8 15,23 2,95 3,67 4,64 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 16,3 17,74 4,04 4,88 5,99 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 18,5 20,05 5,13 6,06 7,29 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 20,5 22,16 6,21 7,23 8,56 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 22,5 24,17 7,28 8,38 9,80 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 24,3 26,08 8,35 9,52 11,0 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 26,1 27,99 9,41 10,7 12,2 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 27,9 29,710 10,5 11,8 13,4 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2 29,6 31,411 11,5 12,9 14,6 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 31,3 33,112 12,6 14,0 15,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3 32,9 34,813 13,6 15,1 17,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8 34,5 36,514 14,7 16,2 18,2 21,1 23,7 26,1 21,1 31,3 36,1 38,115 15,7 17,3 19,3 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 37,7 39,716 16,8 18,4 20,5 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 39,3 41,317 17,8 19,5 21,6 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 40,8 42,918 18,9 20,6 22,8 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2 42,3 44,419 19,9 21,7 23,9 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 43,8 46,020 21,0 22,8 25,0 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 45,3 47,521 22,0 23,9 26,2 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4 46,8 49,022 23,0 24,9 27,3 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 48,3 50,523 24,1 26,0 28,4 32,0 35,2 38,1 41,6 44,2 49,7 52,024 25,1 27,1 29,6 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 51,2 53,525 26,1 28,2 30,7 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 52,6 54,926 27,2 29,2 31,8 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 54,1 56,427 28,2 30,3 32,9 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6 55,5 57,928 29,2 31,4 34,0 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0 56,9 59,329 30,3 32,5 35,1 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3 58,3 60,030 31,3 33,5 36,3 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7 59,7 62,231 32,3 34,6 37,4 41,4 45,0 48,2 52,2 55,0 61,1 63,632 33,4 35,7 38,5 42,6 46,2 49,5 53,5 58,3 62,5 65,033 34,4 36,7 39,6 43,7 47,4 50,7 54,8 57,6 63,9 66,434 35,4 37,8 40,7 44,9 48,6 52,0 56,1 59,0 65,2 67,835 36,5 38,9 41,8 46,1 49,8 53,2 57,3 60,3 66,6 69,236 37,5 39,9 42,9 47,2 51,0 54,4 58,6 61,6 68,0 70,637 38,5 41,0 44,0 48,4 52,2 55,7 59,9 62,9 69,3 72,038 39,6 42,0 45,1 49,5 53,4 56,9 61,2 64,2 70,7 73,439 40,6 43,1 46,2 50,7 54,6 58,1 62,4 65,5 72,1 74,740 41,6 44,2 46,3 51,8 55,8 59,3 63,7 66,8 73,4 76,141 42,7 45,2 48,4 52,9 56,9 60,6 65,0 68,1 74,7 77,542 43,7 46,3 49,5 54,1 58,1 61,8 66,2 69,3 76,1 78,843 44,7 47,3 50,5 55,2 59,3 63,0 67,5 70,6 77,4 80,244 45,7 48,4 51,6 56,4 60,5 64,2 68,7 71,9 78,7 81,545 46,8 49,5 52,7 57,5 61,7 65,4 70,0 73,2 80,1 82,946 47,8 50,5 53,8 58,6 62,8 66,6 71,2 74,4 81,4 84,247 48,8 51,6 54,9 59,8 64,0 67,8 72,4 75,7 82,7 85,648 49,8 52,6 56,0 60,9 65,2 69,0 13,7 77,0 84,0 86,949 50,9 53,1 51,1 62,0 66,3 70,2 14,9 78,2 85,4 88,250 51,9 54,7 58,2 63,2 67,5 71,4 76,2 79,5 86,7 79,5

M. Pintos

5Práctica 1: Circuitos de corriente continua

Objetivos

• Aprender el manejo del polímetro (o multímetro) para las diversas funciones en que puedeser empleado.

• Familiarizarse con la visualización de diversos tipos de circuitos de resistores (serie, paraleloy mixto) alimentados por una fuente de continua (CC ó DC).

• Verificar las leyes de Ohm y de Kirchhoff.

Material

• Panel D300-1-1 DC, circuito #3.

• Polímetro.

• Diversos cables.

• Puentes de conexión.

Procedimiento experimental

Se determinará en primer lugar, por medida directa, la resistencia de cada uno de los resistoresdel circuito #3, figura 5.1. Para ello se conectan sendos cables desde los extremos del resistor en

estudio a los conectores del multímetro, uno en COM y otro en V/Ω . Seleccione, mediante el

selector de función y de rango/escala, la función Ω y el rango de medida adecuado y tome notadel valor que aparece en la pantalla del polímetro. Cuando determine la resistencia de un resistoro de una parte de un circuito, asegúrese de que esté desconectado de la fuente de alimentación.Preste especial atención a la resolución del aparato en el rango seleccionado. Repita las medidaspara todos los resistores objeto de estudio y anote en una tabla los valores obtenidos junto consu correspondiente incertidumbre.

A continuación, construya un circuito serie con al menos tres de las resistencias del panel,cuyos valores se han determinado con anterioridad. Para realizarlo, seleccione los resistores quedesee emplear y mediante puentes de conexión y/o cables cierre el circuito desde uno de los termi-nales de la fuente de alimentación al extremo del primero de los resistores, desde el otro extremode este resistor al extremo del siguiente y así sucesivamente, para finalizar conectando el extremodel último resistor al otro terminal de la fuente de alimentación, debiendo verificar que el caminoque pueda seguir la corriente sea único. Realice un esquema del circuito en cuestión. Determineprocediendo de igual manera que en el caso de un único resistor y sin que circule corriente por elcircuito, la resistencia total de la asociación de resistencias y compruebe que se verifica la relación

R =n∑

i=1

Ri n=no de resistores (5.1)

29

30 Circuitos de corriente continua

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V20020

70010

AA

10

200m

20m2m

OFFON

Figura 5.1: Conexión para la medida de una resistencia

Seleccione ahora en la fuente de alimentación el potencial deseado y determine su valor, fi-gura 5.2. Para ello sitúe el selector del polímetro en la función voltímetro en corriente continua(V/DC ó DCV) y conecte este aparato en paralelo a los extremos de la fuente de alimenta-

ción (¡atención! no se despiste), con un borne al conector COM y el otro borne al conector V/Ω .

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V20020

70010

AA

10

200m

20m2m

OFFON

Figura 5.2: Conexión para la medida de la tensión de la fuente

Accione el interruptor de la base del panel de manera que circule corriente y establecido elrégimen estacionario, seleccione el rango de medida apropiada al caso; tome nota del valor obte-nido, de la escala en que realiza la medida y de la incertidumbre de dicha medida en esta escala.Corte, accionando el interruptor, el suministro de corriente al circuito.

M. Pintos

Circuitos de corriente continua 31

Para determinar la intensidad de corriente que circula por el circuito, figura 5.3, se emplearáahora el polímetro como amperímetro en corriente continua, seleccionando esta función (A/DCó DCA) y conectándolo en serie con el circuito (en cualquier tramo del mismo), un borne al

conector COM y el otro borne al conector mA . Igual que antes haga circular la corrienteaccionando el interruptor de la fuente de alimentación en la base del panel, seleccione la escalaapropiada y realice la medida.

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V20020

70010

AA

10

200m

20m2m

OFFON

Figura 5.3: Conexión para la medida de la intensidad

Obtenga a partir de las medidas experimentales de V e I, la resistencia total del circuitoempleando la ley de Ohm

V = I R (5.2)

Compare este valor con el valor obtenido como suma de las resistencias de cada uno de losresistores que componen el circuito, ecuación (5.1), y que fueron determinadas inicialmente pormedida directa. Compruebe también que el potencial de la fuente es igual a la suma de las caídasde potencial entre los extremos de las resistencias, para lo cual deberá conectar el voltímetro enparalelo a los extremos de cada una de las resistencias, seleccionar la escala adecuada y tomarla lectura, junto con su incertidumbre.

Repita el proceso con otro circuito serie compuesto por otro conjunto de resistencias, a suelección. Igualmente dibuje un esquema del circuito realizado.

A continuación se analizará un circuito en paralelo, para lo cual se dispondrán dos de lasresistencias del circuito en paralelo entre sí, conectando el extremo de una con el extremo de laotra y a un terminal de la fuente de alimentación y los otros dos extremos de ambas tambiénentre sí y conectadas al otro terminal de la fuente de alimentación. Dibuje un esquema delcircuito realizado. Determine el potencial seleccionado en la fuente de alimentación (conexióndel voltímetro en paralelo con la fuente) y la diferencia de potencial entre los extremos de cadaresistencia (conexión del voltímetro en paralelo con las resistencias), así como las intensidadesde corriente que circulan por cada una de las ramas (conexión del amperímetro en serie en cadauna de las ramas) y por el circuito (conexión del amperímetro en serie entre el conjunto de las

M. Pintos

32 Circuitos de corriente continua

resistencias y la fuente de alimentación). Calcule teóricamente la resistencia total del circuito

1

R=

n∑

i=1

1

Ri(5.3)

y, empleando la ley de Ohm, ecuación (5.2), contraste este valor con el valor obtenido a travésde las medidas realizadas con el multímetro (no se olvide de las incertidumbres). Compruebeigualmente que la intensidad de corriente total que circula por el circuito es igual a la sumade las intensidades de corriente en las dos ramas de la conexión en paralelo, primera ley deKirchhoff

I =n∑

i=1

Ii n=no de ramas (5.4)

Repita todo el proceso montando otro circuito en paralelo con otras resistencias diferentes alas empleadas anteriormente.

Finalmente, construya un circuito mixto empleando todas las resistencias del panel. Com-pruebe la intensidad total como suma de las partes que se estimen oportunas y el potencial dela fuente como suma igualmente de las diferencias de potencial de las partes oportunamenteescogidas.

!

"

#

$¡Atención! No se olvide en cada caso de hacer un esquema de los circuitos realizados enla práctica, ni de anotar la incertidumbre para cada medida realizada con el polímetro.

M. Pintos

6Práctica 2: Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor

Objetivos

• Aprender el manejo del polímetro (o multímetro) para las diversas funciones en que puedeser empleado.

• Familiarizarse con la visualización de diversos tipos de circuitos de resistores (serie, paraleloy mixto) alimentados por una fuente de continua (CC ó DC).

• Verificar las leyes de Ohm y de Kirchhoff.

• Obtener la dependencia entre la longitud de un conductor y su resistencia eléctrica.

Material

• Placa base.

• Fuente de alimentación de corriente con-tinua (DC ó CC).

• Resistores montados en cajas de metacri-lato.

• Placa rectangular de plástico con conec-tores.

• Puentes de conexión.

• Polímetro.

• Diversos cables.

Procedimiento experimental

Se determinará en primer lugar, por medida directa, la resistencia de cada uno de los resistoresde que se dispone para montar los diversos circuitos, figura 6.1.

Para ello se colocan en la placa base las cajas de metacrilato que contienen a los resistores y seconectan sendos cables desde los extremos del resistor en estudio a los conectores del multímetro,

uno en COM y otro en V/Ω . Seleccione, mediante el selector de función y de rango/escala,

la función Ω y el rango de medida adecuado y tome nota del valor que aparece en la pantalladel polímetro. Cuando determine la resistencia de un resistor o de una parte de un circuito,asegúrese de que esté desconectado de la fuente de alimentación. Preste especial atención a la re-solución del aparato en la escala seleccionada. Repita las medidas para todos los resistores objetode estudio y anote en una tabla los valores obtenidos junto con su correspondiente incertidumbre.

A continuación, construya un circuito serie con al menos tres de los resistores de que se dis-pone, cuyos valores se han determinado con anterioridad. Para realizarlo, seleccione los resistoresque desee emplear y mediante puentes de conexión y/o cables cierre el circuito desde uno de losterminales de la fuente de alimentación al extremo del primero de los resistores, desde el otroextremo de este resistor al extremo del siguiente y así sucesivamente, para finalizar conectando el

33

34 Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V

2002070010

AA

10

200m

20m

2m

OFFON

Figura 6.1: Conexión para la medida de una resistencia

extremo del último resistor al otro terminal de la fuente de alimentación, debiendo verificar queel camino que pueda seguir la corriente sea único. Realice un esquema del circuito en cuestión.Determine, procediendo de igual manera que en el caso de un único resistor y con el circuitoabierto, la resistencia total de la asociación de resistencias y compruebe que se verifica la relación

R =n∑

i=1

Ri n=no de resistores (6.1)

Seleccione ahora en la fuente de alimentación el potencial deseado y determine su valor,figura 6.2. Para ello sitúe el selector del polímetro en la función voltímetro en corriente continua(V/DC ó DCV) y conecte este aparato en paralelo a los extremos de la fuente de alimentación

(¡atención! no se despiste), con un borne al conector COM y el otro borne al conector V/Ω .

Accione el interruptor de la fuente de alimentación de manera que circule corriente y establecidoel régimen estacionario, seleccione la escala de medida apropiada al caso; tome nota del valorobtenido, de la escala en que realiza la medida y de la resolución del aparato en esta escala.Corte, accionando el interruptor, el suministro de corriente al circuito.

Para determinar la intensidad de corriente que circula por el circuito, figura 6.3, se emplearáahora el polímetro como amperímetro en corriente continua, seleccionando esta función (A/DCó DCA) y conectándolo en serie con el circuito (en cualquier tramo del mismo), un borne al

conector COM y el otro borne al conector mA . Igual que antes haga circular la corrienteaccionando el interruptor de la fuente de alimentación, seleccione la escala apropiada y realice lamedida.

Obtenga a partir de las medidas experimentales de V e I, la resistencia total del circuitoempleando la ley de Ohm

V = I R (6.2)

Compare con el valor obtenido como suma de las resistencias de cada uno de los resistores quecomponen el circuito y que fueron determinadas inicialmente por medida directa. Compruebe

M. Pintos

Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor 35

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V

2002070010

AA

10

200m

20m

2m

OFFON

Figura 6.2: Conexión para la medida de la tensión de la fuente

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V

2002070010

AA

10

200m

20m

2m

OFFON

Figura 6.3: Conexión para la medida de la intensidad

también que el potencial de la fuente es igual a la suma de las caídas de potencial entre los ex-tremos de las resistencias, para lo cual deberá conectar el voltímetro en paralelo a los extremosde cada una de las resistencias, seleccionar la escala adecuada y tomar la lectura, junto con suincertidumbre.

Repita el proceso con otro circuito serie compuesto por otro conjunto de resistencias, a suelección. Igualmente dibuje un esquema del circuito realizado.

A continuación se analizará un circuito en paralelo, para lo cual se dispondrán dos de lasresistencias del circuito en paralelo entre sí, conectando el extremo de una con el extremo de laotra y a un terminal de la fuente de alimentación y los otros dos extremos de ambas tambiénentre sí y conectadas al otro terminal de la fuente de alimentación. Dibuje un esquema delcircuito realizado, determine el potencial seleccionado en la fuente de alimentación (conexióndel voltímetro en paralelo con la fuente) y la diferencia de potencial entre los extremos de cadaresistencia (conexión del voltímetro en paralelo con las resistencias), así como las intensidadesde corriente que circulan por cada una de las ramas (conexión del amperímetro en serie en cada

M. Pintos

36 Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor

una de las ramas) y por el circuito (conexión del amperímetro en serie entre el conjunto de lasresistencias y la fuente de alimentación). Calcule teóricamente la resistencia total del circuito

1

R=

n∑

i=1

1

Ri(6.3)

y, empleando la ley de Ohm, ecuación (6.2), contraste este valor con el valor obtenido a travésde las medidas realizadas con el multímetro (no se olvide de las incertidumbres). Compruebeigualmente que la intensidad de corriente total que circula por el circuito es igual a la sumade las intensidades de corriente en las dos ramas de la conexión en paralelo, primera ley deKirchhoff

I =n∑

i=1

Ii n=no de ramas (6.4)

Repita la operación montando otro circuito en paralelo con otras resistencias diferentes a lasempleadas anteriormente.

Finalmente, construya un circuito mixto empleando todas las resistencias del panel. Com-pruebe la intensidad total como suma de las partes que se estimen oportunas y el potencial dela fuente como suma igualmente de las diferencias de potencial de las partes oportunamenteescogidas.

!

"

#

$¡Atención! No se olvide en cada caso de hacer un esquema de los circuitos realizados enla práctica, ni de anotar la incertidumbre para cada medida realizada con el polímetro.

Para determinar la dependencia de la resistencia eléctrica de un hilo conductor con su lon-gitud, se cortará un trozo de alambre de Níquel-Cromo (aproximadamente de 1 metro). Se fijaun extremo a uno de los casquillos de la placa de plástico y se enrolla el alambre en la placa,fijando el otro extremo del hilo al segundo casquillo de dicha placa de plástico. Para realizar elarrollamiento comience por un número pequeño de vueltas, procurando que el hilo quede rectoy las vueltas paralelas entre sí, de este modo le será más fácil determinar su longitud. Despuésde fijar el hilo en el otro casquillo de la placa, deje libre el hilo sobrante.

Se conecta el arrollamiento de alambre antes realizado, en serie con el amperímetro y la fuentede tensión y se cierra el circuito conectando el otro terminal de la fuente al borne libre de laplaca de plástico, figura 6.4. Determine la intensidad que circula por el hilo cuando la tensiónaplicada es de 3 V.

Vuelva a realizar las medidas anteriores variando la longitud del hilo enrollado en la placa deplástico, determinando de cada vez tanto la longitud del hilo empleado como la intensidad quecircula por él.

Calcule aplicando la ley de Ohm, ecuación (6.2), los valores de la resistencia del hilo paracada longitud empleada y represente la resistencia R frente a la longitud L, figura 6.5. La relaciónentre ambas magnitudes viene dada por

R = ρL

S= ρ

L

πr2(6.5)

siendo S la sección del hilo metálico y r el radio medio de su sección.

M. Pintos

Circuitos de corriente continua. Resistividad de un conductor 37

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V

2002070010

AA

10

200m

20m

2m

OFFON

Figura 6.4: Medida de la intensidad que circula a través de la resistencia de longitud variable

0

20

40

60

R/!

0 0,5 1,0 1,5 2,0L/m

Figura 6.5: Dependencia de la resistencia eléctrica con la longitud del hilo

Determine a partir de los valores obtenidos y realizando el tratamiento de datos oportuno,la resistividad del hilo empleado, junto con su incertidumbre.

M. Pintos

7Práctica 3: Medida de pequeñas resistencias

Objetivos

• Determinación de la resistividad de materiales.

• Determinación de la conductividad de materiales.

• Determinación de resistencias en CC por el método de cuatro hilos.

Material

• Fuente de alimentación de DC/AC.

• Amplificador universal.

• 2 Polímetros.

• Cilindro de Cu (∅= 2,5 cm, S = 4,91cm2).

• Cilindro de Al (∅= 2,5 cm, S = 4,91 cm2).

• Caja de conexiones.

• Diversos cables de conexión: amarillo(100, 750 y 2000 mm), azul (250, 500 y750 mm), rojo (250, 500 y 750 mm).

Introducción

Un conductor filiforme es aquel que posee una sección transversal S mucho menor que sulongitud. Si el material conductor es lineal u óhmico, la diferencia de potencial ∆V entre losextremos del hilo, cuando por él circula una corriente continua de intensidad I, viene dada porla ley de Ohm para conductores filiformes

∆V = VA − VB = I

B∫

A

dl

σdS= I

B∫

A

ρdl

dS= IR (7.1)

en dónde R es la resistencia eléctrica del hilo, σ la conductividad eléctrica del material y ρla resistividad eléctrica del material. Estas dos últimas magnitudes varían con la temperatura,la densidad y otras propiedades físicas del conductor, pero son independientes de la forma delmismo. La conductividad eléctrica puede variar enormemente de un material a otro, siendo lapropiedad física con el rango de valores más amplio. En el caso particular de que el hilo tengaconductividad σ y sección S uniformes, la resistencia se reduce a la conocida expresión

R =L

σS= ρ

L

S(7.2)

en dónde L es la longitud del conductor entre A y B.

39

40 Medida de pequeñas resistencias

R1 R2 R3

(a) serie

R1

R2

R3

(b) paralelo

Figura 7.1: Asociación de resistencias

Se denomina resistor a un dispositivo eléctrico cuya principal característica es su resistenciaeléctrica. Los resistores se pueden asociar entre sí, entre otras formas, en serie o en paralelo. Sedenomina red pasiva en corriente continua a una red constituida sólo por resistores, de tal formaque al establecer una diferencia de potencial VA − VB entre dos puntos A y B de la red, por elpunto A entra una cierta intensidad I y sale la misma intensidad I por el punto B. Se denominaresistencia equivalente de la red pasiva entre los puntos A y B a una única resistencia Re devalor tal que al establecer la misma diferencia de potencial VA−VB que había entre los extremos,circula la misma intensidad I por ella.

Dos resistores conectados en la forma indicada en la figura 7.1(a) se dice que están conectadasen serie, están recorridas por la misma corriente, pero la diferencia de potencial entre los extremosde cada una de ellas es, en general, diferente. La resistencia equivalente para N resistores en serieRi viene dada por

Re =N∑

i=1

Ri (7.3)

y es mayor que cualquiera de las resistencias individuales.

Dos resistores conectados en la forma indicada en la figura 7.1(b) se dice que están conectadasen paralelo, estando sometidas a la misma diferencia de potencial, pero cada una está recorrida, engeneral, por una corriente de distinta intensidad. La resistencia equivalente para una asociaciónde N resistores en paralelo viene dada por

1

Re=

N∑

i=1

1

Ri(7.4)

y es menor que cualquiera de las resistencias individuales.

Procedimiento experimental

Para determinar la resistividad de los cilindros conductores se realiza un montaje experimentalcomo el mostrado en la figura 7.2.

Se conecta el cilindro de metal (Cu o Al) mediante cables de conexión, que van desde uno delos extremos del cilindro a uno de los bornes de salida +/- de la fuente de alimentación y desde

el otro extremo del cilindro, al conector COM del polímetro, para continuar desde la salida

10 A del polímetro al otro borne de salida de la fuente de alimentación, es decir, el polímetrose encuentra conectado en serie con el cilindro conductor y la fuente de alimentación.

Para medir la diferencia de potencial a través del cilindro, se conecta éste mediante cablesde conexión, desde los orificios situados en la superficie lateral del mismo hasta los bornes deentrada (in) del amplificador, situados en su parte frontal, abajo a la izquierda. Finalmente se

M. Pintos

Medida de pequeñas resistencias 41

0

0.2

0.4

0.6

0.81 1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

2

4

68

10

12

0.3

V

A

DC

0...12V /0...2AAC

0 6V 12Vmax. 5A

Power

0.3

+

_

0

0,10,3

1

3100

101

102

103

104

105

0R =10 !4

eR >10 !13

e

0

Out0... 10V_+

In

max. 10V_+

Time ConstantElectrometer Low Drift Amplification

Figura 7.2: Montaje experimental para la medida de pequeñas resistencias

termina el montaje, conectando el otro polímetro en sus terminales COM y V a los bornesde salida (out) del amplificador situados en su parte frontal, abajo a la derecha, es decir, estepolímetro se encuentra conectado en paralelo con el cilindro conductor. Este método se conocecomo método de los cuatro hilos.

Para la determinación de la resistencia de diversos cables de conexión y de la resistencia decontacto se sustituye el cilindro conductor por uno de los cables de conexión, de la longitud que sevaya a estudiar, pero en vez de conectarlo directamente, tal como se llevó a cabo con el cilindro,se realiza la conexión a través de la caja de conexiones de la forma que se indica a continuaciónen la figura 7.3. Se conectan los bornes que antes estaban unidos a los extremos del cilindro, a losconectores señalados con 3. A los bornes señalados como 1 se conecta el hilo conductor a estudiary, por último, los cables de conexión que estaban unidos al lateral del cilindro, se conectan a losbornes 1, lo que nos proporcionará la medida de ∆V1, o a los bornes 2, lo que nos proporcionará∆V2.

"V

"V

#V1

#V2

1 1

2 2

3 3

Figura 7.3: Determinación de la resistencia de contacto y la resistividad de los cables de conexión

M. Pintos

42 Medida de pequeñas resistencias

Para llevar a cabo la determinación práctica de las medidas, seleccione en el polímetro conec-tado en serie, por lo tanto funcionando como amperímetro, la escala 10 A y CC. En el polímetroconectado en paralelo, por lo tanto funcionando como voltímetro, seleccione una escala conve-niente en V y CC. En el amplificador debe seleccionarse baja resistencia de entrada (low drift)Re = 104 Ω mediante el conmutador negro situado en la parte frontal del aparato y más a suizquierda, factor de amplificación 103 en el conmutador negro segundo por la derecha y, final-mente, constante de tiempo (time constant) 0 s en el conmutador negro situado el primero de laderecha.

%

&

'

(

¡Atención! Debe encenderse el amplificador 15 minutos antes de tomar medidas, paraestabilizar temperaturas en el interior del aparato. La tensión de salida no debe superarlos 10 V.

Conecte la fuente de alimentación y seleccione el potencial de salida con el mando giratorioque indica 0, 2, · · · 12V comenzando, por ejemplo, por 0,5 V. En el mando giratorio situado a laderecha del anterior se puede limitar la intensidad de salida. Mediante el amperímetro determinela intensidad I que circula a través del cilindro conductor (Cu o Al) y mediante el voltímetroconectado a la salida del amplificador determine la diferencia de potencial entre los puntos deconexión al cilindro. El valor real de la diferencia de potencial medida es el indicado por el vol-tímetro dividido por el factor de amplificación, es decir, dividido por 103. Anote los pares devalores I, ∆V junto con sus incertidumbres. Realice de nuevo las medidas anteriores, variando elpotencial de salida de la fuente de alimentación. Represente ∆V en µV frente a la intensidad Ien A, tal como se muestra en la figura 7.4(a).

60

50

40

30

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3

# "V/ V

I/A

(a) cilindros conductores

L=2000mmL=2000mm

L=750mm

L=750mm

L=100mm

L=100mm

1

2

2

2

1

1!V/mV

40

35

30

25

20

15

10

5

00,5 1,0 1,5 2,0 I/A

(b) conductores de diversa longitud

Figura 7.4: Diferencia de potencial frente a la intensidad

Realice la regresión de los datos experimentales y obtenga la dependencia funcional entre Ve I. Teniendo en cuenta la ley de Ohm, ecuación (7.1), indique el valor de la resistencia eléctricaR del cilindro que haya utilizado, junto con su incertidumbre. Una vez determinada ésta y te-niendo en cuenta la expresión (7.2), calcule la resistividad del material del que está constituidoel cilindro conductor.

Sustituya el cilindro conductor por el del otro material (Al o Cu) y realice de nuevo todoel proceso indicado anteriormente. Para contrastar los valores experimentales obtenidos paraambos materiales con los valores que figuren en la bibliografía, debe saber que los cilindros estánconstituidos por una aleación rica en cada uno de los metales, pero que no es cada metal puro.

M. Pintos

Medida de pequeñas resistencias 43

Para realizar la segunda parte de la práctica sustituya el cilindro conductor por un cablede conexión, el de 2000 mm de longitud, y realice el montaje empleando la caja de conexionestal como se ha indicado anteriormente. Seleccione el potencial de alimentación inicial y vayadeterminando I, ∆V1 y ∆V2. Represente, de forma análoga a los casos anteriores, ∆V1 y ∆V2

frente a I, figura 7.4(b), y del tratamiento de datos oportuno obtenga las resistencias R1 y R2.La primera de ellas, R1, se corresponde con la resistencia eléctrica del cable únicamente, en

tanto que la segunda, R2, corresponde a la misma resistencia más las dos resistencias de contactoentre los puntos 1 y 2 de la caja de conexiones, por lo tanto

RC =R2 − R1

2(7.5)

Vuelva a realizar toda la experiencia anterior, pero cambiando ahora el cable por el de 750mm y después por el de 100 mm.

Teniendo en cuenta la ecuación (7.2) y que los cables de conexión están constituidos por Cu(diámetro de los hilos 2 mm), calcule la resistencia eléctrica R1 para cada una de las longitudesestudiadas, empleando como dato la resistividad del material que ha sido obtenida en la primeraparte del desarrollo de esta práctica ¿son coherentes los resultados obtenidos?

M. Pintos

8Práctica 4: Condensador de placas plano-paralelas

Objetivos

Aprender el manejo y realizar la caracterización de un condensador de placas plano-paralelascon aire entre las armaduras:

• Determinar la relación entre la intensidad del campo eléctrico y la tensión aplicada a lasarmaduras.

• Determinar la relación entre la intensidad del campo eléctrico y la separación entre lasarmaduras.

Material

• Condensador de láminas plano-paralelascuadradas de 283 mm de lado, con sopor-te.

• Fuente de alimentación de continua, 0-250V.

• Medidor de campo eléctrico.

• 2 Polímetros.

• Regla graduada.

• Diversos cables de conexión.

Introducción

Un condensador (más correctamente capacitor) es un dispositivo que permite almacenar car-ga eléctrica, constituido por dos conductores (denominados armaduras) próximos uno a otro yaislados entre sí bien por el vacío, bien por un medio no conductor (dieléctrico). Para que uncondensador adquiera carga, se conectan cada una de sus armaduras a sendos terminales de unabatería o de cualquier fuente de potencial.

Para que los cuerpos exteriores no ejerzan influencia sobre el condensador, a las armadurasse les da tal forma y se disponen de tal modo una con respecto a la otra, que el campo elec-

trostático que crean las cargas que en ellas se acumulan se concentre entre dichas armaduras.Esta condición la cumplen, por ejemplo, dos láminas planas paralelas entre sí, lo que se conocecomo condensador plano-paralelo, que es el dispositivo con el que se va a trabajar en esta práctica.

Por otra parte en el caso estático el campo que se genera entre las armaduras de este tipo decondensadores es un campo conservativo, campo electrostático, pudiéndose emplear la relación

+E = −grad V (8.1)

45

46 Condensador de placas plano-paralelas

50050

10

20

0

30

40

V-

50

100

0

150

200

V-

5

0

10

V-

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

10V 1000V100

V1kV/m

100kV/m

10kV/mtest

+

max. 100mA

6,3V

max. 5A!

-

250V-

+0...12V- 0...50V- 0...250V-

0,6A50mA50mA

50mA

Figura 8.1: Montaje experimental para el estudio de un condensador de placas plano-paralelas

Si consideramos que el eje X es perpendicular a la superficie de las armaduras, d es la distanciaentre ellas, despreciando la distorsión del campo en los bordes de las armaduras debida al tamañofinito de éstas, podemos concluir que el campo electrostático entre las armaduras es uniforme,verificándose entonces

E =∆V

d(8.2)

en dónde ∆V es la diferencia de potencial entre las armaduras y d es la distancia entre ellas.

Procedimiento experimental

El montaje experimental del conjunto de aparatos necesarios para la realización de estapráctica es el que se muestra en la siguiente figura 8.1

En este montaje disponemos el condensador con sus armaduras conectadas con sendos cablesa la fuente de potencial, a los bornes de salida 0-250V. Igualmente, se conectan dichas arma-duras con otro par de cables, a uno de los polímetros, el cable que proviene de una armadurase conecta en COM y el que proviene de la otra armadura se conecta en DCV . Girando elmando situado en la fuente de alimentación, justo encima de la conexión a las armaduras, sepuede variar la diferencia de potencial entre las mismas, determinándose su valor con ayuda delvoltímetro conectado a ellas.

M. Pintos

Condensador de placas plano-paralelas 47

Además, una de las armaduras del condensador tiene encastrado el medidor de campo quea su vez, está conectado desde las conexiones +/- existentes en la parte trasera de dicho medi-dor, a la misma fuente de alimentación pero a los bornes de salida 0-50V- . De los otros bornesexistentes en la parte trasera del medidor de campo, se conectan sendos cables al otro políme-tro, uno en COM y el otro en DCA . Girando el mando situado en la fuente de alimentación,justo encima de la conexión al medidor, se puede variar el potencial con el que se alimenta éste,determinándose su valor con ayuda del voltímetro conectado al mismo.

Se sitúa ahora una de las armaduras del condensador en una posición fija, que se determinacon el índice situado en la base de su soporte sobre la regla graduada fijada al carril. Se ponela otra armadura en contacto con la anterior y se anota su posición de igual forma que antes.A partir de aquí se separan las armaduras una distancia preestablecida, con ayuda de la reglagraduada fijada al carril, teniendo cuidado de que queden perfectamente enfrentadas y paralelasentre sí.

Para realizar las medidas se ajusta en primer lugar a cero el medidor de campo. Para ellodicho medidor debe de estar alimentado con un potencial de 10 V, que se selecciona en la fuentede alimentación, tal como ya hemos indicado. A continuación se selecciona 0 V en la salida dela fuente que controla el potencial de las armaduras y se pulsa el interruptor situado en la partesuperior del medidor, en el rango de 1 kV/m, con lo que el polímetro conectado al medidor debeindicar 0 mA. De no ser así, se gira suavemente el mando de la parte posterior del medidor (el

mando que indica 0 ) hasta conseguir que dicho voltímetro marque 0 mA.

Seguidamente se selecciona un potencial de salida determinado en la fuente de alimentación ycon ayuda del medidor de campo y el polímetro a él conectado se obtiene el valor de la intensidaddel campo electrostático existente entre las armaduras. Dependiendo del rango seleccionado en elmedidor de campo (1 kV/m, · · · ) se obtiene el valor real de su intensidad sin más que multiplicarla lectura del polímetro por el rango seleccionado en el medidor. Así, si el polímetro indicase 0,1mA, el valor real sería de 0,1·1 kV/m = 100 V/m. Si el medidor de campo se satura, es decir,la medida a realizar excede el valor máximo del rango de lectura, en la pantalla del polímetroaparecerá 1, lo que indica que se debe modificar el rango de lectura del medidor, pulsando ahora10 kV/m.

%

&

'

(

¡Atención! cuando lleve a cabo las medidas de la intensidad del campo eléctrico no seolvide de anotar tanto el rango de lectura seleccionado en el medidor de campo, comola incertidumbre de dicha medida.

Para obtener la relación entre la intensidad del campo eléctrico E y la tensión aplicada alas armaduras ∆V, se va variando el potencial (tensión) de alimentación de las armaduras, porejemplo 50 V, 100 V, · · · 250 V, manteniendo fija la distancia entre ellas. Se representan ahoralos valores de la intensidad de campo E frente a ∆V, figura 8.2, y de la recta de regresióncorrespondiente se obtiene la relación buscada, ¿cuál es el significado físico de la pendiente deesta gráfica? ¿obtiene el valor esperado?

Repita la operación anterior para distintos valores de la distancia entre las placas del con-densador.

!

"

#

$¡Atención! no se olvide de anotar los valores de las distintas magnitudes que vayadeterminando junto con su incertidumbre y las unidades en las que se expresan.

M. Pintos

48 Condensador de placas plano-paralelas

00

50 100 150 200 250

#V/V

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

E/k

V.m

-1

Figura 8.2: Intensidad del campo eléctrico frente a la diferencia de potencial entre del condensador

Para obtener la relación entre la intensidad del campo eléctrico E y distancia entre las arma-duras d, se va variando la distancia entre las placas del condensador, por ejemplo 2 cm, 4 cm, · · ·12 cm, manteniendo fija la diferencia de potencial entre ellas. Se representan ahora los valoresde la intensidad de campo E bien frente a d, figura 8.3(a), o bien frente a 1/d, figura 8.3(b), ydel tratamiento de datos correspondiente se obtiene la relación buscada, ¿cuál es el significadofísico de los valores obtenidos? ¿tienen el valor esperado?

00

2 4 6 8 10 12d/cm

2

4

6

8

10

12

E/k

V.m

-1

(a) frente a la distancia entre las armaduras d

E/k

V.m

-1

0 0,2 0,4 0,60

2

4

6

8

10

12

d /cm-1-1

(b) frente al inverso de la distancia 1/d

Figura 8.3: Intensidad del campo eléctrico

M. Pintos

9Práctica 5: Constante dieléctrica de diferentes materiales

Objetivos

• Manejar y caracterizar un condensador de placas plano-paralelas.

• Determinar la permitividad del vacío.

• Determinar la permitividad de un dieléctrico.

• Determinar la permitividad relativa de un dieléctrico.

Material

• Condensador de placas plano-paralelas,∅= 260 mm.

• Fuente de potencia de alto voltaje.

• Amplificador de señal.

• Voltímetro.

• Resistor, 10 MΩ.

• Condensador, 220 nF, montado en carca-sa.

• Lámina de metacrilato.

• Lámina de plástico.

• Diversos cables de conexión.

Introducción

Un condensador (más correctamente capacitor) es un dispositivo que permite almacenar car-ga eléctrica, constituido por dos conductores (denominados armaduras) próximos uno a otro yaislados entre sí bien por el vacío, bien por un medio no conductor (dieléctrico). Para que uncondensador adquiera carga, se conectan cada una de sus armaduras a sendos terminales de unabatería o de cualquier fuente de potencial.

Se define capacidad de un condensador, C, al cociente entre la carga de una de sus armadurasy la diferencia de potencial entre ellas

C =Q

∆V(9.1)

es decir, esta magnitud nos indica cuanta carga puede almacenar el dispositivo al conectarlo auna determinada diferencia de potencial.

Para que los cuerpos exteriores no ejerzan influencia sobre la capacidad del condensador, a lasarmaduras se les da tal forma y se disponen de tal modo una con respecto a la otra, que el campo

electrostático que crean las cargas que en ellas se acumulan se concentre entre las armaduras.Esta condición la cumplen, por ejemplo, dos láminas planas paralelas entre sí, lo que se conoce

49

50 Constante dieléctrica de diferentes materiales

como condensador plano-paralelo, que es el dispositivo con el que se va a trabajar en esta práctica.

La magnitud de la capacidad depende de la geometría del sistema (forma y tamaño de lasarmaduras, distancia entre ellas, disposición relativa) y de las propiedades dieléctricas del medioque llena el espacio entre armaduras. Para un condensador plano-paralelo con el vacío entre lasarmaduras, la expresión de la capacidad viene dada por

Co = εoA

d(9.2)

en donde εo es la permitividad eléctrica del vacío (más correctamente capacidad inductiva especí-

fica del espacio libre), A el área de cualquiera de las armaduras y d la separación entre ambas. Siel espacio entre armaduras se encuentra completamente relleno de una única sustancia dieléctrica

lineal y homogénea (en esta práctica una lámina de plástico o una lámina de vidrio), la expresiónde la capacidad viene dada por

C = εA

d= κ εo

A

d(9.3)

en donde ε es la permitividad eléctrica del dieléctrico (más correctamente capacidad inductiva

específica del dieléctrico) y κ (κ = ε/εo) la constante dieléctrica del medio (o capacidad inductiva

relativa de ese medio).

Si igualamos las expresiones (9.1) y (9.2) podemos expresar la carga almacenada en elcondensador con el vacío entre armaduras como

Q = εoA

d∆V (9.4)

y de forma análoga si igualásemos (9.1) y (9.3) obtendríamos la carga almacenada por elcondensador con dieléctrico entre armaduras

Q = κ εoA

d∆V (9.5)

Por otra parte, los condensadores pueden asociarse entre sí con el fin de aumentar bienla capacidad de almacenamiento de carga de las individualidades (paralelo), bien la diferenciade potencial máxima que puede soportar cada uno de ellos por separado (serie) o bien ambascosas a la vez (mixta). La asociación en serie se realiza uniendo la armadura positiva de unode los condensadores a la negativa del siguiente, y así sucesivamente. En el caso de este tipo deasociación, la carga que tienen almacenada cada uno de los condensadores es idéntica entre sí eigual a la carga total de la asociación, es decir, se verifica

Q1 = Q2 = Q3 = · · · = Q (9.6)

o bienC1 ∆V1 = C2 ∆V2 = C3 ∆V3 = · · · (9.7)

mientras que la diferencia de potencial total entre los extremos de la asociación viene dada por

∆VT =∑

i

∆Vi (9.8)

Procedimiento experimental

El montaje experimental del conjunto de aparatos necesarios para el método que se ha selec-cionado es el que se muestra en la figura 9.1 y el diagrama correspondiente es el esquematizado

M. Pintos

Constante dieléctrica de diferentes materiales 51

kV !

0 10kV

MAX 2,5 mA

R >10 !e13

R =10 !e4

0

100

101 10

2

103

104

105 0

0,1 0,31

3

IN

0 10V...

OUT

...

0

10

M!

Figura 9.1: Montaje experimental para la medida de la constante dieléctrica

10 M!

0...5 kV 220 nF

+ -B

D V

P

Figura 9.2: diagrama esquematizado

M. Pintos

52 Constante dieléctrica de diferentes materiales

en la figura 9.2.

En este montaje disponemos de dos condensadores, el condensador plano-paralelo de arma-duras circulares (que denominaremos problema y notaremos con el subíndice P) cuya capacidadno conocemos y otro condensador (que denominaremos dato y notaremos con el subíndice D) decapacidad conocida (220 nF). Además, en el nudo B hay un conmutador que permite conectarbien la fuente de alimentación, bien el condensador D según interese.

Para llevar a cabo las medidas, conectaremos la fuente de alimentación y el amplificador a lared (interruptores en la parte posterior de estos aparatos) y antes de proceder a ninguna lectura

descargaremos el condensador D, para lo cual se pulsa el interruptor0

del amplificador, en

el esquema representado por . En la salida OUT del amplificador se conecta el voltímetroque nos medirá ∆VD, es decir, la d.d.p. entre las armaduras del condensador D.

Situamos las armaduras del condensador P a la distancia que deseemos, valiéndonos del tor-nillo micrométrico situado en el soporte de las placas. Seleccionamos en la fuente de alimentaciónla diferencia de potencial a la que se va a someter el condensador P, ∆VP . Con el conmutadorB en la posición que corta la circulación de corriente al hilo que puentea P, cargamos el conden-sador P. Cambiamos ahora la posición del conmutador B para que corte el paso de la corrienteque proviene de la fuente de alimentación, con lo cual haremos que los condensadores P y D seconecten en serie entre sí, y medimos con el voltímetro ∆VD.

De forma análoga se procede para realizar cualquier otra medida: diferentes distancias entrearmaduras con vacío entre ellas, distintas diferencias de potencial entre armaduras, bien con elcondensador vacío, bien con el dieléctrico entre placas.

Teniendo en cuenta las expresiones (9.1) para el condensador D, (9.4) para el condensadorP y (9.6) para la conexión en serie, podemos calcular la carga de P en función de los datosconsiderados:

QP = QD = CD ∆VD = εoA

d∆VP (9.9)

Para el condensador con el dieléctrico entre armaduras toma la forma

QP = κ εoA

d∆VP (9.10)

%

&

'

(

¡Atención! No se debe permanecer próximo al condensador durante las medidas pa-ra no distorsionar el campo eléctrico entre armaduras. No se olvide de descargar elcondensador D después de cada medida.

En la primera parte de la práctica se mantiene una diferencia de potencial constante y co-nocida ∆VP entre las armaduras del condensador vacío, es decir, con aire entre armaduras, yse calcula Q según el procedimiento descrito anteriormente para distintas distancias entre lasarmaduras. Se representa Q frente a la inversa de la distancia, figura 9.3, y a partir del ajustelineal de Q frente a 1/d, ecuación (9.9), se determina la permitividad eléctrica del vacío (cuyovalor tabulado es de εo = 8, 8542 · 10−12 C2/N.m2).

En la segunda parte se determinará la permitividad relativa de dos medios dieléctricos di-ferentes. Para ello, se introduce una lámina de plástico entre las armaduras del condensador,ajustando la distancia entre las placas al espesor de la lámina. A continuación, manteniendoconstante la distancia entre las armaduras, se irá variando la diferencia de potencial aplicada a

M. Pintos

Constante dieléctrica de diferentes materiales 53

0

200

400

600

800

Q/nC

0 2 4 6 8 10 1d

cm-1

Figura 9.3: Carga del condensador en función del inverso de la distancia entre las placas

las mismas calculándose en cada caso la correspondiente carga.

Se retira ahora la lámina de plástico y se repite todo el proceso con aire entre las placas. Asegú-rese de que la distancia entre las armaduras sea la misma que cuando tenia la lámina introducida.

Represente la carga del capacitor en función de la diferencia de potencial entre las armadurascon y sin dieléctrico entre ellas, figura 9.4. Se puede observar como para una diferencia de potencialdada, la carga almacenada aumenta al introducir el dieléctrico entre las armaduras.

0

200

400

600

800

Q/nC

0 1 2 3 4

#V /kVp

1000

plástico

aire

Figura 9.4: Carga del condensador en función de la diferencia de potencial entre las armaduras

De acuerdo con las ecuaciones (9.9) y (9.10), resulta impediato obtener que

Qplástico

Qaire= κ (9.11)

por lo tanto, para determinar la constante dieléctrica κ del medio, bastará con dividir las pen-dientes de las rectas de regresión de Q frente a ∆V con la lámina de plástico entre las armadurasentre la pendiente de la correspondiente al aire.

Por último, repita todo este proceso con la lámina de metacrilato.

M. Pintos

10Práctica 6: Curva de carga de un capacitor

Objetivos

Obtener la curva de carga de un capacitor en función del tiempo, empleando

• Diversos capacitores, manteniendo constantes el potencial aplicado y la resistencia eléctrica.

• Diversos resistores, manteniendo invariables el capacitor y el potencial aplicado.

• Un único capacitor y un único resistor, variando el potencial aplicado.

A partir de las medidas anteriores, obtener la ecuación que nos proporciona la intensidad decorriente cuando el capacitor se está cargando.

Material

• Fuente de alimentación.

• Polímetro.

• Capacitor de 2x32 µF.

• Capacitor en caja de 1 µF y de 4,7 µF.

• Resistor de carbón de 100Ω y 1 w.

• Tres resistores de carbón de 2,2 MΩ, 4,7MΩ, 10,0 MΩ y 0,5 w.

• Dos cajas de conexiones.

• Conmutador de dos vías.

• Diversos cables de conexión.

• Dos clavijas de conexión blancas de 19mm de paso.

• Cronómetro.

Introducción

Un condensador (más correctamente capacitor) es un dispositivo que permite almacenarcarga eléctrica, constituido por dos conductores (denominados armaduras) próximos uno a otroy aislados entre sí bien por el vacío, bien por un medio no conductor (dieléctrico). Para que uncondensador adquiera carga, se conectan cada una de sus armaduras a sendos terminales de unabatería o de cualquier fuente de potencial.

Vamos a estudiar la carga y descarga de un condensador en un circuito que sólo incluye unaresistencia externa, tal como se muestra en la figura 10.1.

Admitamos que inicialmente el capacitor se encuentra descargado. Si conectamos la fuentede potencial, teniendo en cuenta la ley de Ohm generalizada podemos escribir

∆V = ∆VR + ∆VC = IR +Q

C=

dQ

dtR +

Q

C(10.1)

55

56 Curva de carga de un capacitor

R

"A

#V

C

Figura 10.1: Esquema de un circuito de carga de un capacitor

ya que la intensidad que llega al condensador ideal es igual a la derivada respecto al tiempode la carga acumulada. La solución de esta ecuación diferencial lineal de coeficientes constantescuando la fuente de alimentación es de corriente continua, viene dada por

Q(t) = C ∆V(

1 − e−t/RC)

(10.2)

que nos indica que la carga almacenada por el condensador tiende asintóticamente a su valorestacionario.

Igualmente si el circuito se cortocircuita, es decir, se desconecta de la fuente de alimentación,la carga decae exponencialmente

Q(t) = Qo e−t/RC (10.3)

en dónde Qo representa la carga inicial del condensador.

Teniendo en cuenta la expresión (10.2), la intensidad que circula por el circuito mientras elcondensador se carga a través de una resistencia R , viene dada por

I(t) =∆V

Re−t/RC (10.4)

Procedimiento experimental

El material se dispone según el montaje que se indica en la figura 10.2Uno de los bornes de salida +/- de la fuente de alimentación se conecta a uno de los conectores

de una de las cajas de conexión en la que se encuentra montada la resistencia R y desde el otroextremo de esta resistencia al borne mA del polímetro. Desde el borne COM del polímetroparte otro cable a uno de los bornes de la otra caja de conexiones en la que está conectada la otraresistencia R1 y un capacitor (de los montados en cajas de metacrilato), que se han unido entre sípor uno de sus extremos mediante un pequeño cable. Del otro extremo de la resistencia R1 parteun cable hasta una de las vías del conmutador de doble vía y de la otra vía de este conmutadorparte un cable que lo une al otro borne de la fuente de alimentación. Finalmente el otro extremodel condensador que está en la caja de conexiones se une a la entrada del conmutador de doble vía.

Según el caso, puede que en vez de una única resistencia R tenga que montar una asociaciónen serie de resistencias en la misma caja de conexiones. También puede que en vez de uno de loscondensadores montados en cajas de metacrilato, tenga que utilizar el condensador de 2x32 µFmontado en su propia caja de conexiones.

El esquema del montaje experimental es el que se representa en la figura 10.3 en dónde R1

es un resistor de protección que limita la intensidad de corriente cuando el capacitor se descarga

M. Pintos

Curva de carga de un capacitor 57

0

0.2

0.4

0.6

0.81 1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

2

4

68

10

12

0.3

V

A

DC

0...12V /0...2AAC

0 6V 12Vmax. 5A

Power

0.3

+

_

Figura 10.2: Montaje experimental

"A

#V

CR

R1100!

a b

Figura 10.3: Esquema del montaje experimental: a) cargando; b) descargando

(posición b).

Para llevar a cabo las medidas, seleccione un potencial de 9 V en la fuente de potencial yuna resistencia R=2,2 MΩ. Instale el capacitor de 2x32 µF en la misma caja de conexiones queR1= 100Ω, para lo cual debe unir los extremos de este capacitor a los conectores de la caja deconexiones en dónde estaría instalado el capacitor en caja. Seleccione en el polímetro con ayudadel mando selector una escala de medida mA/DC, pues está conectado en serie y por lo tantofunciona como amperímetro. Sitúe el conmutador de doble vía de tal forma que cortocircuite ala resistencia R1, es decir, se encuentre cortado el paso de corriente a través de dicha resistencia.Tenga a mano el cronómetro y familiarícese con su uso. ¡Ya tiene listo su montaje!

Ahora conecte la fuente de potencial y vaya midiendo la intensidad que circula en distintosinstantes de tiempo, hasta que la corriente se anule. Anote sus valores junto con sus correspon-dientes incertidumbres. Si no le ha dado tiempo de realizar las medidas o se ha despistado, antesde iniciar una nueva medida debe descargar el condensador, para lo cual debe cambiar la posicióndel conmutador de doble vía, de tal forma que cortocircuite el condensador y circule intensidad

M. Pintos

58 Curva de carga de un capacitor

por R1, hasta que dicha intensidad se anule.

Represente I en A frente a t, y represente también Ln I frente a t, tal como se muestra enla figura 10.4. Haga el oportuno tratamiento de datos en el segundo caso. ¿Qué representa lapendiente de la recta obtenida teniendo en cuenta la expresión (10.4)?

3603002401801206000

1

2

3

4

I/ A"

t/s

64 F"

$%"F

4 F"

&"F

64 F"

$%"F

4 F"

&"F

360300240180120600 t/s

0

2

4

-2

-4

-6

-8

Ln(I/ A)"

Figura 10.4: Curva de carga de un condensador

Vuelva a realizar todo el proceso anterior, cambiando el condensador por uno de 32 µF, luegopor el 4 µF y, finalmente, por el de 1 µF.

!

"

#

$¡Atención! No se olvide de anotar junto al valor experimental de cada magnitud quevaya determinando, su correspondiente incertidumbre.

Repita el proceso con el condensador de 2x32 µF, pero utilice sucesivamente las resistenciasR=4,7 MΩ, 6,9 MΩ y 10,0 MΩ, manteniendo constante el potencial de salida en 9 V. Lasrepresentaciones obtenidas deben ser análogas a las mostradas en la figura 10.5

200 600 t/s

-1

0

1

2Ln(I/ A)"

-2

0

400

2,2 M!

4,4 M!

6,6 M!

8,8 M!

Figura 10.5: Ln I frente al tiempo para diversos valores de la resistencia R

Para llevar a cabo la última parte de la práctica, monte una resistencia R=4,7 MΩ , elcondensador de 2x32 µF y seleccione en la fuente de alimentación un potencial de salida de 2V. Tome ahora las medidas I en µA para distintos instantes de tiempo y represente Ln I frentea t. Haga el oportuno tratamiento de datos y determine la pendiente de la recta de regresión.Teniendo en cuenta la ecuación (10.4), ¿qué representa dicha pendiente? Repita todo el procesovariando el potencial de salida a 4 V, 6 V y 8 V. Las gráficas correspondientes a todos estoscasos se muestran en la figura 10.6

M. Pintos

Curva de carga de un capacitor 59

200 600 t/s

-1

0

1Ln(I/ A)"

-2

0

400

2 V-3

4 V

6 V

8 V

Figura 10.6: Intensidad frente al tiempo para diversos potenciales de la fuente

Finalmente, represente la intensidad de corriente inicial, Io, en función del potencial aplicado,para el caso anterior, es decir R=4,7 MΩ y C=2x32 µF. La gráfica obtenida debe ser análoga ala mostrada en la figura 10.7

2 4 6 8 #V/V

0,5

0

1,0

1,5

2,0

I /A0

0

Figura 10.7: Intensidad inicial frente al potencial aplicado

M. Pintos

11Práctica 7: Campo magnético alrededor de un conductor lineal

Objetivos

• Determinar la permitividad del vacío.

• Verificar la ley de Biot-Savart.

• Determinar el campo magnético que se genera alrededor de un conductor lineal por el quecircula una corriente eléctrica, en función de la distancia al conductor y de la intensidadde la corriente.

• Analizar el campo magnético creado en un punto del espacio por dos conductores rectilíneosparalelos cuando por ellos circulan corrientes de igual intensidad y sentidos opuestos.

Material

• Fuente de potencia de corriente alterna.

• Teslámetro.

• Sonda axial (sonda Hall) con soporte.

• Pinza amperimétrica (transformador detenaza).

• Polímetro.

• Transformador.

• Diversas espiras conductoras.

• Regla graduada.

• Diversos cables de conexión.

Introducción

Sea +dl un elemento de corriente de un conductor rectilíneo finito por el que circula unacorriente eléctrica de intensidad I. En un punto P del espacio dicho elemento crea un campomagnético infinitesimal de inducción +dB, que según la ley de Biot-Savart viene dado por

+dB =µo

4πI+dl ∧ +ro

r2(11.1)

el cual es un vector perpendicular al plano definido por el hilo y el punto P, entrando en el papelsi la corriente circula hacia arriba y saliendo del papel si circula hacia abajo. Si se integra estaexpresión a toda la longitud del conductor (entre −α2 y α1) se obtiene

B =µo

4π

I

r(senα1 + senα2) (11.2)

siendo la dirección del campo perpendicular al plano formado por el hilo conductor y el punto Pen el que se realiza la medida.

61

62 Campo magnético alrededor de un conductor lineal

P

dl

I

ro

l1

l2

r '2

'1

Figura 11.1: Inducción magnética creada por un elemento de corriente

1

P

a

'2 '1

'1'2

B1B2

2r

r1

bd

x

y

2

Figura 11.2: Inducción magnética creada por dos hilos conductores paralelos

Si la longitud del conductor es muy grande comparada con la distancia r entre el punto y elhilo conductor, entonces senα1 ≈ senα2 ≈ 1, y la expresión anterior toma la forma

B =µo

2π

I

r(11.3)

Para el caso de dos conductores paralelos (orientados en la figura 11.2 según el eje Z) porlos cuales circula la misma intensidad de corriente I, la superposición de los campos magnéticoscreados por cada uno de los conductores en un punto P del espacio nos da el campo magnéticototal +B creado en dicho punto. Las componentes Bx y By del campo magnético total en dichopunto del espacio vienen dadas por las expresiones:

Bx =µoI

2πa

(

sen2 α1 ± sen2 α2)

(11.4)

By =µoI

2π

(

cos2 α1

b + d±

cos2 α2

b

)

(11.5)

El signo positivo corresponde al caso en el que la corriente circule en el mismo sentido porambos conductores y el signo negativo cuando circulan en sentidos opuestos.

M. Pintos

Campo magnético alrededor de un conductor lineal 63

Si el punto P se encuentra situado sobre el eje X (que contiene a los dos hilos conductores)α1 = α2 = 0 con lo que resulta

Bx = 0

By =µoI

2π

(

1

b + d±

1

b

)

(11.6)

Procedimiento experimental

5

10

150...12V_

5A

0 6V 12V

MAX. 6A MAX. 6A0...15V

5A

mT

0

20

2002000

Figura 11.3: Montaje para la determinación del campo magnético creado por uno o varios conductoresrectilíneos

Para la determinación del campo magnético creado por uno o varios conductores rectilíneosse realiza un montaje como el indicado en la figura 11.3, empleando distintas espiras según el caso.

La determinación de la intensidad de corriente que circula por la espira se realizará emplean-do la pinza amperimétrica conectada al polímetro, un terminal al conector COM y el otro al

conector mA , seleccionando en este aparato la función A/DC (ó DCA) y el rango/escala de200 mA. Espere cierto tiempo hasta que se estabilice su lectura. Para obtener el valor real dela intensidad de corriente que circula por la espira es necesario multiplicar la medida indica-da en el amperímetro por el factor de conversión correspondiente, en este caso 1 mA de lecturarepresenta una intensidad de corriente real de 2000 mA, es decir, el factor de conversión es 1:2000.

Para llevar a cabo la realización práctica de las medidas oportunas, conecte a los bornes desalida del transformador los extremos de la espira rectangular grande y coloque la sonda Hallperpendicular al plano de la espira con su extremo libre situado sobre dicho plano, a una distanciade aproximadamente 1 cm del conductor más alejado del transformador (en todo caso inferior a3 cm. para evitar la influencia del otro conductor y del transformador). De esta forma, dado quela sonda axial determina sólo la componente de +B en la dirección de dicha sonda y su extremo

M. Pintos

64 Campo magnético alrededor de un conductor lineal

está situado en el mismo plano que la espira, el valor obtenido coincidirá con el valor de +B y conel de su componente normal a dicho plano.

Ajuste el cero del teslámetro mediante el mando0

y realice todas las medidas antes indica-das con la fuente de potencia desconectada. Conecte ahora la fuente de potencia y vaya variandoel potencial de salida hasta que circule por la espira una intensidad de corriente elevada (entre 20A y 150 A), que determinará con la ayuda de la pinza amperimétrica. Manteniendo la posición

de la sonda fija respecto a la espira, determine pares de valores (B, I). Haga una representacióngráfica de los valores obtenidos, figura 11.4(a), y de la pendiente de su recta de regresión deduzcael valor de µo junto con su incertidumbre, bien empleando la ecuación (11.3), conocida la dis-tancia r al hilo conductor, o bien la ecuación (11.2) conocida dicha distancia r y las longitudes l1y l2 de la figura 11.1 ¿son coincidentes los valores de µo obtenidos con ambas ecuaciones? ¿cuálse aproxima más al valor tabulado de µo?

)*

+,¡Atención! No se olvide de determinar todas las magnitudes con sus incertidumbres.

2,0

1,5

1,0

0.5

0

0 25 50 75 100 125I/A

B1

0/T

3

(a) En función de la intensidad

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0250 50 75

r /m-1 -1

B10

/T3

(b) En función de la inversa de la distancia

Figura 11.4: Campo magnético de un conductor

Haga ahora lo mismo pero manteniendo la intensidad de corriente constante (del orden de100 A), y vaya variando la distancia al conductor, determinando pares de valores (B, 1/r). Re-presente gráficamente los valores obtenidos, figura 11.4(b), y de la pendiente del ajuste deduzcael valor de I, empleando la ecuación (11.3).

A partir del montaje del apartado anterior, cambie ahora la espira y ponga en su lugar larectangular más estrecha. Manteniendo el extremo de la sonda en el plano de la espira y perfec-

tamente perpendicular a ella, determine para una I constante (del orden de 100 A), el valor deB en función de la distancia a cada uno de los conductores; en este caso la intensidad circula ensentidos opuestos por ambos conductores, es decir, por los lados más largos de la espira. ¡No sealeje más de 3 cm. hacia fuera de la espira! Represente los pares de valores (B, r) en una gráfica,figura 11.5(a), ¿qué conclusión extrae del comportamiento experimental?

Repita todo el proceso anterior utilizando ahora la espira rectangular grande que tiene unconductor en paralelo, haciendo circular una corriente con un valor igual o muy próximo al em-pleado con la espira anterior, figura 11.5(b). En este caso la intensidad circula en el mismo sentido

M. Pintos

Campo magnético alrededor de un conductor lineal 65

por ambos conductores, los dos conductores paralelos más próximos entre sí. ¿Qué conclusiónextrae en este caso del comportamiento experimental? Analice los valores obtenidos en este casocon los del caso anterior ¿qué información puede extraer?

-20r/mm

0 20 40 60 80 100

1

2

5

B/mT

(a) Corrientes en sentidos opuestos

-20r/mm

0 20 40 60 80 100

1

3

B/mT

(b) Corriente en el mismo sentido

Figura 11.5: Campo magnético de dos conductores paralelos en función de la distancia

M. Pintos

12Práctica 8: Campo magnético creado por bobinas de Helmholtz

Objetivos

• Determinar la inducción del campo magnético creado por dos bobinas conductoras dispues-tas según Helmholtz.

• Verificar el principio de superposición.

• Analizar la dependencia de la inducción con la distancia entre las bobinas.

• Analizar la dependencia de la inducción con la distancia a las bobinas.

Material

• Un par de bobinas conductoras, cada unacon 154 espiras de 20 cm de radio.

• Teslámetro con sonda Hall axial.

• Amperímetro.

• Fuente de alimentación.

• Metro rígido.

• Diversos cables de conexión.

Introducción

A la asociación de dos bobinas circulares, con arrollamiento muy compacto, radio de lasespiras idéntico, por las que circula corriente eléctrica de la misma intensidad y en el mismosentido, situadas paralelamente entre sí y con eje común, se le denomina bobina de Helmholtz.Esta disposición de bobinas se utiliza para producir un campo magnético cuya inducción es enbuena aproximación constante en una pequeña región.

Admitamos que las bobinas están dispuestas con sus planos paralelos al plano xy y sus centrosse encuentran sobre el eje z a una distancia d uno del otro. Por cada bobina circula la mismaintensidad de corriente I y en el mismo sentido. Consideremos el origen de coordenadas en elpunto medio entre las bobinas. Aplicando la ley de Biot-Savart, puede demostrarse que el campomagnético generado por esta asociación en puntos de su eje de revolución, tiene la dirección deeste eje y su valor viene dado por la expresión

B =µo NIr2

2

1[

r2 +(

z + d2

)2]3/2

+1

[

r2 +(

z − d2

)2]3/2

(12.1)

en dónde r es el radio de las bobinas, N el número de espiras de cada una de ellas, µo la permeabi-lidad magnética del vacío y z la distancia a la que se está determinando el campo tomada desde elpunto medio entre las bobinas. La componente radial en puntos próximos al eje de las bobinas es

67

68 Campo magnético creado por bobinas de Helmholtz

B

zd

(a) d=r/2

B

zd

(b) d=r

zd

B

(c) d=2r

Figura 12.1: Representación del campo frente a la distancia al centro de las bobinas para distintasposiciones relativas de las mismas.

muy pequeña, por lo que si nos alejamos del eje de la bobina el campo magnético es casi uniforme.

El módulo de la inducción magnética dado por la ecuación (12.1), puede tener dos máximos ouno sólo dependiendo de la proximidad de las dos bobinas, tal como se muestra en la figura 12.1.En el punto medio entre los centros de las dos bobinas siempre hay un extremo (un máximo oun mínimo) y cuando d = r , es decir, cuando la distancia entre las bobinas mide lo mismo queel radio de cada espira, se obtiene un campo prácticamente constante en la zona central.

Procedimiento experimental

El montaje del diverso material, para la realización práctica de esta experiencia, es el que semuestra en la figura 12.2.Un cable parte de uno de los conectores de la fuente de alimentación, sobre el que figura indicado

2

4

6

8

10

12

2...15V

MAX. 5A

POWER

15

V

0

510

15

A

0...5A

0...18V

0

1

2 34

5

mT

0

ALTERNATING FIELD

DIRECT FIELD

20

2002000

PROBE

Figura 12.2: Montaje experimental para determinar la inducción del campo magnético creado por dosbobinas conductoras dispuestas según Helmholtz

0· · · 18 V, y se conecta al conector COM del amperímetro, otro cable va desde el conector 10 Adel amperímetro al conector 1 de una de las bobinas, continuando con otro cable que va desde

M. Pintos

Campo magnético creado por bobinas de Helmholtz 69

el conector 2 de esta bobina, al conector 2 de la otra y, finalmente, un último cable va desde elconector 1 de esta última bobina al otro conector que quedó libre en la fuente de alimentación.

Se colocan las bobinas paralelamente entre sí, comenzando por una separación entre ellas d= r. Para asegurarse de que estén perfectamente paralelas se emplean los travesaños de que sedispone. Se sitúa la sonda en su soporte y se coloca su extremo libre en el lugar en el que sevaya a realizar la medida, coincidiendo su posición con la del eje de las bobinas y a la distanciadeseada del punto medio entre ambas. Si se comienza por z = 0, para visualizar mejor este puntose puede utilizar un hilo fino cruzándolo entre las bobinas.

Se conecta el teslámetro a la red accionando el interruptor situado en la parte posterior delaparato y a continuación se procede al ajuste de su cero. Para ello el conmutador -/∼ se sitúahacia la parte de abajo, en dónde indica campo continuo (gleichfeld), se elige el rango de 20 mT(la escala más sensible) girando el mando situado en la parte izquierda del frente del aparato y,sin que circule corriente por las bobinas, se gira muy suavemente el mando situado en la partederecha, marcado con 0 , hasta que la pantalla del teslámetro indique 0. Si no es posible que,a pesar de no circular corriente por las bobinas, la sonda no esté libre de influencias de campo,entonces el botón de ajuste 0 se lleva a la posición media y se gira el mando que indica probe,situado justo sobre la conexión de la sonda, hasta conseguir en la pantalla de lectura el menorvalor posible. Luego se concluye calibrando exactamente de nuevo con el botón de ajuste 0 .Al conmutar después a rangos mayores, escalas menos sensibles del aparato, no será necesariohacer una nueva calibración.

El teslámetro se encuentra ahora en disposición para realizar las medidas. Si al realizar éstas,en la pantalla de lectura aparece la indicación1 sin ceros a la derecha, esto indica que se hasobrepasado el rango de lectura y debe seleccionarse un rango mayor.

Para llevar a cabo las medidas, se hace circular por las bobinas una corriente eléctrica, sumi-nistrada por la fuente de alimentación, que seleccionaremos girando los mandos de dicha fuentey leyendo el valor de la intensidad I en el amperímetro colocado en serie con las bobinas, no

debiendo sobrepasar en ningún caso el valor de 3,5 A.

Determine la lectura de la inducción magnética B que ahora indica el teslámetro. Vaya va-riando la distancia z al punto medio de las bobinas y tome los pares de valores (B, I), tanto haciaun lado como hacia otro de dicho punto medio.

3

2

1

d=2r

d=r

d=r/2B/mT

-240 -200 -160 -120 -80 -40 400 80 120 160 200 240z/mm

Figura 12.3: Inducción del campo magnético B frente a la distancia z para los tres acoplamientos

M. Pintos

70 Campo magnético creado por bobinas de Helmholtz

!

"

#

$¡Atención! no se olvide de anotar los valores de sus magnitudes, junto con sus incer-tidumbres y las unidades en que se expresan.

Haga una representación de B frente a z, tal como se indica en la figura 12.3.

Repita todo el proceso anterior para una separación entre bobinas d = r/2 y de nuevo otravez para d = 2r.

M. Pintos

13Práctica 9: Momento magnético en un campo magnético

Objetivos

Determinar el momento magnético que experimenta una bobina por la que circula una co-rriente eléctrica, al situarla bajo la acción de un campo magnético uniforme:

• En función de la intensidad de la corriente que circula por la bobina.

• En función de la inducción magnética del campo al que se somete la bobina.

• En función del diámetro de la espira.

• En función del número de espiras de la bobina.

Material

• Bobinas de Helmholtz.

• Balanza de torsión con portabobinas y ni-vel de burbuja.

• 2 Fuentes de alimentación de continua.

• 2 Amperímetros.

• Bobinas de diverso diámetro y con diversonúmero de espiras.

• Surtido de cables de conexión.

Introducción

La fuerza resultante que actúa sobre un circuito conductor por el que circula una corrienteeléctrica estacionaria, situada bajo la acción de un campo magnético de inducción +B uniformees nula, con independencia de la forma del circuito y su orientación respecto al campo magné-tico. Para que la fuerza resultante sea nula sólo es necesario que el campo magnético sea uniforme.

Veamos cual es el momento de rotación resultante que crean las fuerzas que ejerce el campomagnético sobre el circuito. Dado que en un campo magnético homogéneo la suma de las fuerzassobre el circuito es nula, el momento resultante con respecto a cualquier punto del espacio seráel mismo.

Consideremos un circuito plano arbitrario C, por el que circula una corriente constante deintensidad I, que se halla situado bajo la acción de un campo magnético uniforme de inducción+B. El momento neto de las fuerzas magnéticas infinitesimales que actúan sobre cada elementode circuito viene dado por la expresión

+M = I

∫

A

d+S ∧ +B = +m ∧ +B (13.1)

en dónde A es una superficie cualquiera cuyo contorno es C. Como la expresión que determina

71

72 Momento magnético en un campo magnético

el momento de rotación que actúa sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico presenta unaforma análoga a la anterior, al vector +m se le denomina momento magnético dipolar del circuito

+m = I

∫

A

d+S = I S +n (13.2)

siendo +n el vector unitario perpendicular al plano del circuito, cuyo sentido es el de avance deun tornillo dextrógiro que gire en el sentido de la corriente.

Si el circuito es una espira circular o un conjunto de espiras circulares planas, de diámetro dy N vueltas, la expresión anterior toma la forma

+m = I Nπ

4d2 +n (13.3)

con lo cual la ecuación (13.1) puede expresarse

M = I Nπ

4d2 B senα (13.4)

siendo α el ángulo que forman +B y +n entre sí.

Finalmente, si el campo magnético está generado por dos bobinas de Helmholtz, que son dosbobinas circulares idénticas, mismo radio y mismo número de vueltas, situadas con el eje comúny separadas una distancia dada, la última de la expresiones anteriores toma la forma

M = I Nπ

4d2 c I ′ senα (13.5)

en dónde I’ es la intensidad de la corriente que circula por las bobinas de Helmholtz y c unaconstante característica de estas bobinas que depende de su tamaño, número de espiras y distanciaentre ellas.

Procedimiento experimental

El montaje del material necesario para la realización práctica de este experimento es el quese muestra en la figura 13.1.

Las bobinas generadoras del campo magnético uniforme están dispuestas paralelas una a laotra y conectadas en serie entre sí (disposición de Helmholtz) a la fuente de alimentación, inter-calando además uno de los amperímetros en serie entre la fuente y una cualquiera de las bobinas,con objeto de determinar la intensidad de corriente que se va a hacer circular por ellas.

El portabobinas, al que se van a conectar cada una de las espiras objeto de estudio, estárígidamente unido al brazo móvil de la balanza de torsión. Mediante cables, que deberán suspen-derse flojos para evitar que se genere un momento adicional, se conecta la espira a la otra fuentede alimentación, intercalando ahora el otro amperímetro en serie entre la espira y la fuente parapoder determinar la intensidad de la corriente que se haga circular por ella.

En primer lugar y antes de realizar ninguna medida, debe verificarse con ayuda del nivel deburbuja la perfecta nivelación de la balanza de torsión. De no estar nivelada debe procederse consumo cuidado a su nivelación.

M. Pintos

Momento magnético en un campo magnético 73

0

10

20 3035

V

A

VOLTAGE

CURRENT

LOW

HIGH

LOW

HIGH

ONOUTPUT

500 mA MAX.

+ 12 V-

5 V

+5

V-

CURRENT LIMITED

V

0

1

23

4

5

0

510

15

2

15

4

6

8

10

12

6

2...15V

MAX. 5A

POWER

A

0...5A0...18V

1

Figura 13.1: Montaje experimental para la medida del momento magnético en un campo magnético

M. Pintos

74 Momento magnético en un campo magnético

Para realizar la primera parte de esta práctica, se coloca en el portabobinas la espira de una

sola vuelta y 120 mm de diámetro, cuyo plano debe quedar perpendicular al plano de las bobinasde Helmholtz, para lo cual se gira suavemente la parte móvil de la conexión roja en dónde estánconectados los bornes de la espira. Esto se hace para simplificar el cálculo, pues de esta formaen la expresión (13.5), senα toma el valor 1, con lo cual

M = c I Nπ

4d2 I ′ (13.6)

A continuación, con las fuentes de alimentación desconectadas, se ajusta el brazo móvil de labalanza a los índices grabados en la barra horizontal fija situada bajo dicho brazo, girando paraello con mucha suavidad el mando situado en la parte inferior de la balanza; en esta posición labalanza está equilibrada.

Se hace circular ahora una corriente por las bobinas de Helmholtz, pulsando el interruptorde la fuente de alimentación que está en serie con ellas y, girando los mandos que están situadossobre la salida de continua +/- de dicha fuente, se selecciona la intensidad deseada. El valornumérico de esta intensidad I’ se determina con el amperímetro en serie con las bobinas, selec-cionando el rango de lectura adecuado. Anótese este valor numérico, junto con su incertidumbrey sus unidades.

Seguidamente se hace circular una corriente por la espira, accionando el interruptor de lafuente que la alimenta y girando los mandos situados en la parte superior derecha de dicha fuen-te, para seleccionar el valor de la intensidad de la corriente que circula por la espira. El valornumérico de esta intensidad I se determina con el amperímetro en serie con la espira, seleccio-nando el rango de lectura adecuado. Anótese este valor numérico, junto con su incertidumbre ysus unidades.

Una vez que se hace circular corriente por la espira se observa que el brazo de la balanzase desplaza de la posición de equilibrio que tenía inicialmente. Girando el mando situado en laparte superior de la balanza se hace que de nuevo coincida la posición del brazo móvil con la deequilibrio, con lo que el índice situado sobre la escala de lectura de dicha balanza podrá leerse enmN el valor de la fuerza F que actúa sobre dicho el brazo. Una vez realizada esta operación, elmódulo del momento de rotación que actúa sobre la espira se obtiene multiplicando dicha fuerza,por la longitud L del brazo de la palanca, distancia entre los extremos del brazo de la balanzaque es de 240 mm, es decir

M = F · L (13.7)!

"

#

$¡Atención! Preste especial atención a las unidades en que exprese el momento derotación.

Se modifica la intensidad de la corriente I que circula por la espira, manteniendo constantela intensidad I’ que circula por las bobinas y se va determinando el momento de rotación sobredicha espira en cada caso. Para analizar la dependencia funcional entre M e I, se representangráficamente los valores de M frente a los de I, figura 13.2(a), y una vez efectuado el oportunotratamiento de datos se obtiene la pendiente de la recta obtenida junto con su incertidumbre¿qué representa dicha pendiente? ¿cabría esperar el resultado obtenido?

En la segunda parte de la práctica, se mantiene constante la corriente I que recorre la espiray se va variando la intensidad I’ de la corriente que circula por las bobinas, determinando encada caso el momento de rotación sobre la espira. Para analizar la dependencia funcional entreM e I’, se representa ahora dicho momento de rotación frente a la intensidad I’, figura 13.2(b), y,

M. Pintos

Momento magnético en un campo magnético 75

0 1 2 3

I/A

0

5

10

15

20

25

30M

10

/Nm

5

0,5 1,5 2,5

(a) Momento de rotación frente a la intensidaden la espira

0 1 2 3 4

I’/A

0

5

10

15

20

25

30

M10

/Nm

5

(b) Momento de rotación frente a la intensidaden las bobinas

0 1 2 3

N

0

5

10

15

20

25

M1

0/N

m5

4

(c) Momento de rotación frente al número de es-piras

0 5 10 150

2

4

6

8M

10

/Nm

5

d 10 /m2 3 2

(d) Momento de rotación frente al cuadrado deldiámetro de la espira

Figura 13.2: Momento de rotación frente a diferentes magnitudes

al igual que en el caso anterior, del tratamiento de datos se obtiene la pendiente de la recta juntocon su incertidumbre ¿qué representa dicha pendiente? ¿cabría esperar el resultado obtenido?

En la tercera parte de la práctica, se cambia la espira del portabobinas por una del mismodiámetro pero con dos vueltas N=2 y después por otra de idéntico diámetro y tres vueltas N=3,determinándose los momentos de rotación M para una I e I’ seleccionadas, las mismas en los trescasos. Se representa M frente a N, figura 13.2(c), y se realiza el tratamiento de datos correspon-diente ¿qué conclusiones puede extraer de este resultado?

Por último realice el mismo proceso, es decir, determine el momento de rotación M para una Ie I’ seleccionadas, las mismas en los tres casos, pero con las otras dos espiras de una única vueltaN=1 y diferente diámetro, 60 mm y 85 mm. Represente ahora M frente a d2, figura 13.2(d), ydespués del oportuno tratamiento de datos extraiga conclusiones.

M. Pintos

14Práctica 10: Balanza electrodinámica: Fuerza sobre un conductor de corriente

Objetivos

Determinar la dirección y la intensidad de la fuerza magnética que actúa sobre un conductorsituado bajo la acción de un campo magnético y por el que circula corriente:

• En función de la intensidad de corriente que circula por el conductor.

• En función de la intensidad del campo magnético aplicado.

• En función de la longitud del conductor.

Material

• Balanza.

• Fuente de alimentación de corriente alter-na.

• Puente rectificador.

• Interruptor.

• 2 Amperímetros.

• Espiras de diverso tamaño.

• Electroimán.

• Diversos cables de conexión.

Introducción

La fuerza magnética +F ejercida sobre un hilo conductor rectilíneo por el que circula unacorriente eléctrica de intensidad IE, bajo a la acción de un campo magnético de inducción +B,viene dada por

+F = IE

∫

L

(

+dl ∧ +B)

(14.1)

Si los vectores que figuran en el segundo miembro de la expresión anterior son perpendicularesentre sí, tal como ocurre en el experimento que se va a llevar a cabo, el módulo de la fuerza +Fpuede expresarse como

F = IE LB (14.2)

siendo L la longitud del conductor situado bajo la acción del campo magnético.

Procedimiento experimental

En el método experimental que se va a exponer a continuación, para la determinación de lafuerza magnética sobre un conductor se emplea una balanza, que se denomina balanza electrodi-

námica. El montaje experimental del conjunto de aparatos necesarios para el método que se ha

77

78 Balanza electrodinámica: Fuerza sobre un conductor de corriente

100

200

0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

30

0

98

7

6

1

00.05

0.10

0

1

23

4

50

510

15

18

2

4

610

12

15

V2 15V

max 5A...

A - V -0 18V-...

0 5A...

Figura 14.1: Montaje experimental para la medida de la fuerza sobre un conductor de corriente

seleccionado es el que se muestra en la figura 14.1.

Las bobinas del electroimán se conectan en serie entre sí y se conectan a la salida de la fuentede alterna intercalando en serie un amperímetro y un puente rectificador, tal como se aprecia enla figura 14.1.

La espira conductora se conecta mediante dos cintas conductoras flexibles, primero al dis-tribuidor y de ahí a la fuente de continua intercalando en serie otro amperímetro. Las cintasconductoras deben de ser lo suficientemente largas y situarse de tal manera que no ejerzan fuerzaalguna sobre la espira, y evitar así que distorsionen la medida de la balanza.

Los polos móviles del electroimán se colocan paralelos entre sí, de forma que quede una distan-cia entre ellos de 4 cm. Se suspende la espira conductora de l = 25 mm del brazo correspondientede la balanza, situando aquella entre los polos del electroimán, de tal forma que el plano quecontiene a la espira sea perpendicular a las líneas de campo magnético, es decir, paralelo a los

M. Pintos

Balanza electrodinámica: Fuerza sobre un conductor de corriente 79

lados enfrentados del electroimán y se equilibra la balanza sin que circule ninguna corriente porla espira. Para la primera parte del experimento, se selecciona en la fuente de alterna un voltajede 12 V y con el amperímetro en serie con ella se mide la intensidad de corriente IB que circulapor las bobinas, junto con su incertidumbre.

A continuación se selecciona mediante los mandos situados a la derecha de la fuente de ali-mentación, la intensidad de corriente que circula por la espira, IE = 5 A y se lee su valor, juntocon su incertidumbre, en el amperímetro colocado en serie con la espira. Se acciona el interruptorpara que la corriente circule por ella, observándose como la balanza se desequilibra sin más queseguir la posición del fiel de la balanza sin y con corriente eléctrica circulando por la espira. Seobserva también cómo se modifican la dirección y la magnitud de la fuerza al variar el sentidode la corriente, así como al rotar el electroimán sobre su base.

Para comenzar las determinaciones cuantitativas de este experimento, se colocan ahora lospolos del electroimán paralelos y a una distancia de 1 cm entre sí. Se cuelga la espira de l =12,5 mm del brazo de la balanza, de forma que se encuentre en la mitad del espacio entre lospolos y su plano se mantenga perpendicular a las líneas de campo (paralelo a los polos) y seequilibra la balanza con campo magnético nulo, es decir, sin que circule corriente por las bobinasy mejor aún, tampoco por la espira. Se hace circular corriente, IE, por la espira accionando elinterruptor y por las bobinas, IB, observándose como la balanza se desequilibra. Se equilibra denuevo la balanza desplazando las pesas correderas situadas sobre su brazo. El peso de las masasañadidas es igual a la fuerza magnética sobre el conductor. Se va variando a intervalos de 0,5 A laintensidad IE que circula por la espira, manteniendo constante la que circula por el electroimán,IB. Se representa la fuerza magnética obtenida frente a la intensidad IE , figura 14.2.

00

1 2 3 4 5

I /AE

20

40

60

80

F /mN

L=100 mm

L=50 mm

L=25 mm

L=12,5 mm

Figura 14.2: Fuerza magnética en función de la intensidad IE, para las distintas espiras, manteniendoIB constante (en la representación IB = 870 mA)

De los datos de esta representación, mediante el tratamiento oportuno, se puede extraer elmódulo de la inducción magnética +B, según la expresión (14.2).

Se repite el procedimiento con la misma espira pero variando ahora la intensidad IB quecircula por el electroimán, para lo cual se seleccionan sucesivamente valores del voltaje 2 V, 4 V,6 V, · · · en la fuente de alterna y se mantiene constante la intensidad que circula por la espiraIE. Se representa la fuerza magnética obtenida frente a la intensidad IB , figura 14.3.

Se repiten las medidas de forma análoga, pero sustituyendo sucesivamente las espiras con-ductoras (tres de diferente tamaño) con una sola vuelta.

M. Pintos

80 Balanza electrodinámica: Fuerza sobre un conductor de corriente

00

200 400 600 800

I /mAB

20

40

60

80

F /mN

Figura 14.3: Fuerza magnética como función de la intensidad IB manteniendo IE constante

Por último se repite el procedimiento con la espira de L = 50 mm y n = 2 vueltas, man-teniendo constante la intensidad que circula por ella, con un valor de IE = 5 A, y variando lacorriente que circula por las bobinas.

Una vez tomados los datos para cada una de las situaciones anteriores se representa la fuerzamagnética obtenida como función de la longitud de los conductores, empleando el dato corres-pondiente para la misma IE y la misma IB, tal como se muestra en la figura 14.4.

00

20 40 60 80

L /mm

20

40

60

80

F /mN

100

Figura 14.4: Fuerza magnética como función de la longitud del conductor para IE e IB constantes

Finalmente se ajustan los datos obtenidos por el método de mínimos cuadrados, teniendo encuenta la relación lineal (14.2), se analizan los resultados y se extraen conclusiones.

!

"

#

$¡Atención! No se olvide en cada caso de hacer un esquema de los circuitos realizados enla práctica, ni de anotar la incertidumbre para cada medida realizada con el polímetro.

M. Pintos

15Multímetro

10 Amax mA COM V/!

200

!

2K 20K 200K2M

200m

V

220

2002000

V20020

70010

AA

10

200m

20m2m

OFFON

3

45

6

7

891011

1

2

Figura 15.1: Multímetro digital

1 Pantalla de cristal líquido.

2 Llave selectora de medición.

3 Escala o rango para medir tensión en con-tinua (puede indicarse DC en vez de unalinea continua y otra punteada).

4 Escala o rango para medir tensión en al-

terna (puede indicarse AC en vez de lalinea sinusoidal).

5 Escala o rango para medir corriente en al-

terna (puede venir indicado AC en lugarde la linea sinusoidal)

6 Escala o rango para medir corriente encontinua (puede venir DC en lugar de unalinea continua y otra punteada).

7 Escala o rango para medir resistencia.

8 Borne de conexión, cuando se quiere me-dir tensión, resistencia o frecuencia (si tu-viera), tanto en corriente alterna como encontinua.

81

82 Multímetro

9 Borne de conexión negativo.

10 Borne de conexión si se va a medir mA(miliamperes), tanto en alterna como encontinua.

11 Borne de conexión cuando se elija el ran-go de 10A máximo, tanto en alterna comoen continua.

M. Pintos

Bibliografía

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ces 3a ed.. McGraw-Hill, (2002).

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83