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Técnicas Experimentales Básicas

Primer curso de Física

Departamento de Física Aplicada

Universidad de Granada

Juan Antonio Morente Chiquero

Departamento de Física Aplicada

Facultad de Ciencias Universidad de Granada

Técnicas Experimentales Básicas. [email protected]

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Prefacio “El trabajo del físico es comprender la naturaleza del espacio y del tiempo, la estructura básica de la materia y la forma de actuar de las fuerzas que gobiernan los objetos que colectivamente llamamos el Universo. La meta final de los físicos es explicar de qué está hecho el mundo, cómo ha sido ensamblado y cómo funciona”. (P. Davies. Superfuerza. Salvat, Barcelona, p. 5, 1988). Apoyándonos en esta definición de la Física, dada por Paul Davies del King’s College de Londres, y en nuestros propios conocimientos de Física, podemos enunciar algunas afirmaciones sobre la Física:

Es una ciencia que desarrolla teorías sobre las leyes que rigen el mundo, pero basándose en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas.

La belleza de la Física radica en la simplicidad de las teorías físicas fundamentales y en la

manera en la que, con un número muy pequeño de conceptos fundamentales, ecuaciones y suposiciones, puede alterar y expandir nuestra visión del mundo que nos rodea.

Siempre que surja una discrepancia entre la teoría y el experimento se deben de

formular nuevas teorías y nuevos experimentos a fin de eliminar dicha discrepancia y explicar así el fenómeno correspondiente.

El lenguaje de la Física, con el cual se desarrollan las teorías y llevan a cabo los

experimentos, es, básicamente, las matemáticas.

Capítulo 1. Introducción


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Capítulo 1. Introducción.

En este capítulo se introduce el curso de Técnicas Experimentales Básicas, se justifica la necesidad del mismo dentro de la actualidad científica y se indica como se va a lograr el objetivo de aprender a hacer experimentos a lo largo de los distintos capítulos que lo componen.

1.1. Objetivo de la asignatura. Una frase derivada de la sabiduría popular, que con frecuencia aplicamos a nuestros quehaceres diarios, es decir que una cosa es la teoría y otra la práctica. Aunque la experiencia personal del lector pueda estar de acuerdo con esta frase, en Física no deja de ser una deformación extrema, bastante fuera de la realidad. Tanto la Física Experimental como la Teórica constituyen los pilares básicos sobre los que se basa el progreso de las Ciencias Físicas, y están hasta tal punto ligadas que no se puede entender ningún desarrollo teórico sin una buena base experimental, ni ningún avance experimental sin un apoyo teórico que guíe la investigación. Así lo demuestra la historia de la Física, en la que periodos de intensa investigación experimental, tal como ocurrió en parte del siglo XIX, quedaron frenados hasta que se desarrollaron teorías que explicaban estos fenómenos e indicaban cuál debía de ser el camino en el que continuase la investigación experimental. El punto inverso también es evidente y una teoría física sin ninguna sustentación experimental no deja de ser una vana especulación intelectual, más cerca de la literatura que de la ciencia. Las Técnicas Experimentales tratan sobre la Física Experimental, aunque en ella inciden numerosos aspectos teóricos. En un intento de dar una definición precisa podríamos decir que esta asignatura trata de dar los conocimientos básicos para interpretar, expresar y comunicar los resultados experimentales en el lenguaje correcto. El trabajo de laboratorio puede servir para:

a) Demostrar teorías físicas. b) Obtener valores de magnitudes de interés. c) Conocer el manejo de aparatos. d) Aprender a realizar experimentos.

Consideraremos, a continuación, con más detalle cada una de estas finalidades: a) A menudo adquirimos una mejor comprensión de los fenómenos que predice cierta teoría

física si estos se pueden observar en la práctica. Por ejemplo, la interferencia de la luz no es un concepto intuitivo. La idea de que dos haces de luz puedan anularse entre sí y producir oscuridad no es algo que se comprenda fácilmente; una demostración visual y palpable sería en este caso, decisiva. Por supuesto que la demostración experimental no sustituye completamente a una explicación teórica apropiada, por lo que, la demostración de las teorías en el laboratorio de enseñanza tiene una utilidad definida pero limitada.

b) Una de las finalidades con la que a veces se monta un experimento, no es solamente la

demostración de una teoría física, sino que a través de la aplicación de esta teoría física, con



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la ayuda de un experimento, podemos encontrar el valor de una magnitud. A veces, las demostraciones experimentales son importantes también por otra razón que, a priori, nos puede resultar un poco más humilde: dar idea de los distintos órdenes de magnitud que intervienen en un fenómeno. Por ejemplo, todos sabemos lo que es una brújula y cual es su fundamento: La atracción entre los imanes hace que una aguja imanada gire en el campo magnético que la Tierra, como un imán que es, crea a su alrededor; pero, ¿cuál es el campo magnético que crea la Tierra y que continuamente esta cruzando nuestro cuerpo? Partiendo de que la unidad de medida del campo magnético en el Sistema Internacional o MKSA es el tesla (T), ¿de qué orden de magnitud es el campo magnético de la Tierra? ¿Se mide en MT, kT, T, mT, mT? Un simple experimento, utilizando una bobinas de Helmholtz y una aguja imanada nos puede indicar que el campo magnético es del orden de mT. (El tesla es una unidad muy grande, para generar campos magnéticos de algunas decenas de teslas se necesitan enormes cantidades de energía, obtener un kT es algo cercano a lo imposible).

c) En cualquier curso de prácticas se manejan un cierto número de instrumentos sencillos tales

como micrómetros calibrados, balanzas, polímetros eléctricos y osciloscopios de rayos catódicos. La experiencia que se gana con el uso de estos instrumentos es evidentemente insustituible. Sin embargo, en el trabajo de investigación científica el número de instrumentos que se pueden concebir es enorme. No es posible llevar a cabo un curso de prácticas en el que se pueda aprender el manejo de todos ellos.

d) El sentido común y una cierta dosis de originalidad hacen que un mismo instrumento cumpla su

misión mejor o peor. Esto está ya en relación con el cuarto objetivo del laboratorio. Con la frase “aprender a realizar experimentos” queremos decir aprender a:

1. Planificar un experimento cuya precisión es la apropiada para su propósito. 2. Conocer y realizar las medidas necesarias para eliminar los errores sistemáticos

en el método y en los instrumentos. 3. Analizar los resultados para extraer las conclusiones correctas. 4. Estimar la exactitud del resultado final. 5. Registrar las medidas y cálculos con claridad.

1.2. Necesidad de la experimentación. Cuando nos enfrentamos con un fenómeno del mundo natural, la forma de proceder en Física es seleccionar lo que creemos que es esencial. Por ejemplo, los griegos veían que un cuerpo en movimiento terminaba siempre deteniéndose y por ello llegaron a la conclusión de que era necesaria una fuerza para mantener el cuerpo en movimiento. Galileo y Newton observaron el mismo fenómeno, pero afirmaban que el que el cuerpo acabara parándose no era un aspecto esencial de la situación: depende del rozamiento. En ausencia de rozamiento un cuerpo no se detiene salvo que actúe una fuerza sobre él. Si intentamos hacer un experimento para demostrar esta afirmación, nos encontramos que no podemos eliminar nunca el rozamiento, aunque sí podemos hacer que sea cada vez más pequeño, hasta un cierto límite, y el resultado será que el cuerpo en movimiento acabará deteniéndose aunque recorriendo más espacio. Es razonable creer que llevando al caso límite de fricción nula, el movimiento permanecerá inalterable tal como se establece en la primera ley de Newton.



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Esta es la forma de enfocar los problemas físicos: Seleccionamos los aspectos esenciales de cada situación física real y de ellos hacemos una generalización, o teoría, y de la teoría, deducciones, y para comprobar una deducción hacemos varios experimentos más. Ahora bien, la deducción se refiere sólo a una situación idealizada o simplista. Para comprobarla tenemos que crear esta situación simple, en el complicado mundo natural, lo cual no siempre resulta fácil de hacer. Conseguirlo significa casi resolver el problema.

Experimento fi Aspectos esenciales fi Generalización fi

fi Teoría fi Deducciones fi Experimentos El mundo físico está descrito por teorías sencillas pero esenciales. Estos aspectos esenciales tienden a convertirse en el único motivo de estudio, y puede llegarse a pensar que realmente constituyen el mundo natural, en vez de ser simplemente una parte de él, o más específicamente, un modelo creado por nuestra mente para dar cabida en ella a una simplificación de la realidad. Además, todo ajusta tan naturalmente que uno puede olvidar fácilmente el esfuerzo y genialidad de que hubo necesidad para ver estos aspectos esenciales. El antídoto más eficaz contra esto es ir al laboratorio y comprobar la complicación de los fenómenos en la vida real.

Modelo físico π Realidad Donde se puede ver de forma más palpable la necesidad de la Física Experimental, su importancia y proceso es observando el progreso industrial, en cualquiera de las áreas de la ciencia o de la ingeniería. Actualmente, antes de llevar a cabo un prototipo, que suele ser caro y complejo, se comienza haciendo simulaciones mediante técnicas numéricas con ordenador. Una vez se haya llegado a conseguir un diseño eficaz del prototipo se pasa a su implementación y se verifica su funcionamiento. Si alguna de las partes falla, por ejemplo se rompe, hay que llevar a cabo nuevos experimentos hasta encontrar unas condiciones que satisfagan plenamente las condiciones previstas. Una vez comprobado que el prototipo funciona correctamente podemos pasar a considerar un proceso industrial que puede depender también de otros aspectos, como son los económicos. 1.3. Programa de la asignatura. El contenido de esta asignatura lo vamos a dividir en los siguientes capítulos:

1. Introducción. 2. El método científico. 3. Errores experimentales. 4. Instrumentación. 5. Magnitudes físicas.

En el capítulo 1. Introducción, estamos presentando la asignatura, justificando cuales son los objetivos de la misma y cuales serán los siguientes capítulos. También se dará una orientación



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bibliográfica que será de utilidad tanto para el contenido teórico de la signatura, como para la parte práctica a realizar en el laboratorio. La aproximación casual a un problema no suele ser ni económica ni fructífera. En el capítulo 2. El método científico hablaremos de la metodología que sigue la ciencia en su desarrollo, desde la planificación inicial hasta la presentación de resultados. No importa cuál sea el experimento, uno de sus productos siempre será alguna forma de datos, y aun en los experimentos más simples dichos datos contendrán ciertos errores y éstos deben ser interpretados correctamente. Este será el objetivo del capítulo 3.Errores experimentales. Así, una parte de la planificación metódica de cualquier experimentación es el estudio de los errores potenciales, ya que por muy cuidadosamente que se lleve a cabo un experimento siempre se producirá cierto tipo de error, aunque sea pequeño. Veremos los distintos tipos de errores y discutiremos las bases matemáticas para el tratamiento adecuado de dichos errores.

Cualquier clase de experimentación lleva consigo cierta clase de instrumentación

que puede variar desde una simple regla hasta un microscopio electrónico. En él capítulo 4. Instrumentación veremos algunos instrumentos simples. A través del uso de instrumentos elementales se trataremos de aprender a apreciar términos tales como: precisión, sensibilidad, respuesta, interferencias, reproducibilidad, y otras características básicas.

En el capítulo 5.Magnitudes físicas trataremos aspectos relacionados con el análisis

dimensional. Existen algunas herramientas sofisticadas disponibles para la planificación de experimentos pero generalmente estarán fuera del alcance de los no expertos. El análisis dimensional es una de dichas técnicas y surgió hace tiempo como una ayuda en la estrategia experimental. Este método tiene gran popularidad en los campos, de la mecánica de fluidos y la transferencia de calor, en donde se aplicó por primera vez, pero a lo largo de los años su uso se ha ido extendiendo a otros campos de la Ciencia. El análisis dimensional es un camino rápido y poderoso de obtener ciertas relaciones funcionales sin necesidad de hacer grandes discusiones teóricas. 1.4. Bibliografía. [1] Penny, R.K. “The Experimental Methods”. Logman, London, 1974. [2] Giamberardino, V. “Teoría de los errores”. Reverté, Caracas, Venezuela, 1986. [3] Squires, C.L. “Física Práctica”. McGraw-Hill, Mexico, 1972. [4] Palacios, J. “Análisis Dimensional”. Espasa-Calpe, Madrid, 1964. [5] Chapra S.C., y R.P. Canale. “Métodos Numéricos para Ingenieros”. McGraw-Hill,

México, 1999.



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[6] Isaacson, E. St. Q. and Isaacson, E. St. Q. “Dimensional Method in Engineering and

Physics”. Arnold, London, 1975. [7] Kirkup, L. “Experimental Method. An Introduction to the Analysis and Presentation of

Data”. Wiley, Australia, 1994.

Capítulo 2. El método científico


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Capítulo 2. El método científico.

Para que un trabajo se pueda realizar en un tiempo razonablemente corto y con unos costes adecuados es necesaria su planificación. En este capítulo hablaremos del método científico y, como parte de éste, del procedimiento experimental que sirve como guía en la planificación del trabajo de investigación en el laboratorio.

2.1. El método científico. Por método científico se entiende el procedimiento que utilizan los científicos para establecerlas teorías que explican los fenómenos que observamos. El físico italiano Galileo Galilei (1564-1642) y el filósofo inglés Francis Bacon (1561-1626) suelen considerarse los fundadores principales del método científico. Eficaz para adquirir, organizar y aplicar conocimientos nuevos. El método científico se basa en dos fuertes pilares:

• El método experimental, de carácter inductivo, ya que supone que el resto de los sistemas físicos, similares al de nuestro laboratorio, reaccionarán de igual forma que el sistema concreto en el que se ha llevado a cabo la experiencia de investigación.

• El método teórico, de carácter deductivo, capaz de seleccionar los aspectos esenciales de una situación física, generar unas leyes o teoría y deducir resultados en futuros experimentos.

Según Bacon, el método científico comprende las siguientes etapas:

1. Observación. 2. Inducción. 3. Hipótesis. 4. Comprobación de la hipótesis por experimentación. 5. Demostración o refutación de la hipótesis. 6. Conclusiones.

El método científico tiene que ir acompañado de una buena actitud científica, capaz de aceptar los hallazgos aun cuando no corresponden con los que se preferirían haber encontrado, a la vez que debe ir cuestionando todos y cada uno de los pasos seguidos en el proceso de experimentación o deducción. A lo largo de los años hemos aprendido que las teorías de la ciencia no son fijas, sino que están sujetas a cambios; aunque también existen hipótesis que se cumplen cada vez que se ponen a prueba, por lo que suelen llamarse leyes o principios. 2.2. El método experimental.

Los experimentos normalmente difieren en el aspecto externo pero generalmente todos ellos siguen la misma forma básica; están sujetos a un modelo secuencial de planificación, implementación y evaluación. Esto es lo que se conoce como método experimental y



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es tan importante en el trabajo experimental como el método analítico que tiene en cuenta la formulación y solución de problemas.

Planificación fi Implementación fi Evaluación

Cada uno de los pasos en la anterior secuencia requiere que el experimentador se cuestione su razón antes de proceder al siguiente paso. A diferencia del método analítico en el que es posible, normalmente, llegar a una única respuesta a través de un camino único, es raramente posible realizar un experimento significativo de la misma manera.

Un programa experimental normalmente consiste en una serie de experimentos cada uno de los cuales es una parte en un proceso iterativo que se combina de forma adecuada con herramientas teóricas y analíticas. El diagrama de flujo muestra esquemáticamente un método que podría ayudar en la obtención de un resultado significativo:

Diagrama de flujo del método experimental

FFoorrmmuullaacciióónn ddee OObbjjeettiivvooss

UUttiilliizzaacciióónn de IdeasUUttiilliizzaacciióónn ddee llaa IInnffoorrmmaacciióónn EExxiisstteennttee

SSeeccuueenncciiaa ddee PPrruueebbaass

RReessuullttaaddooss



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El diagrama puede parecer algo trivial. Sin embargo, reúne las características esenciales, disponiéndolas de forma articulada, lo que permite la interacción entre ellas y una posible repetición, cuando se tengan que realizar varios pasos. A menudo no habrá información previa y el rectángulo correspondiente se llenará por primera vez cuando el experimentador haya realizado ciertas pruebas preliminares para establecer el efecto de una serie de variables, o se hayan probado nuevos instrumentos. Como resultado de las pruebas preliminares el experimentador tiene ahora alguna información sobre su problema que junto a la experiencia inicial del equipo podrá ayudarle a generar nuevas ideas e incluso a reformular objetivos. Este ejercicio, programación sensible de resultados y autointerrogatorio por el experimentador, es vital si los objetivos han de ser realizados económicamente tanto en dinero como en tiempo.

Hasta ahora no se ha introducido ningún concepto que haya restringido la discusión a alguna disciplina particular. Realmente, es un hecho notable que el campo de la experimentación es uno de los vínculos de unión entre los científicos e ingenieros. 2.3. Tipos de experimentos o trabajos de laboratorio. El trabajo de laboratorio puede ser al menos de cuatro tipos:

1. Experimentos que ilustran nociones teóricas 2. Experimentos de investigación. 3. Experimentos de diseño y síntesis. 4. Experimentos para mejora de las técnicas de medida.

2.3.1. Experimentos ilustrativos. Desgraciadamente, es un hecho que la mayoría de los experimentos que se realizan en los laboratorios de enseñanza pertenecen a este grupo, ya que tales experimentos son usualmente análogos a soluciones analíticas de un problema. Uno recuerda el caso de un investigador que afirmaba haber verificado una teoría sobre el movimiento de las mareas mediante la realización de experimentos que concordaban con sus predicciones. Con esto la teoría fue considerada correcta hasta que otro investigador midió el movimiento real del agua del mar de la región en cuestión. Sus resultados no coincidieron con la teoría del primero por la sencilla razón de que la primera teoría no era más que una grosera aproximación de la realidad. Los experimentos del primer hombre se idearon de acuerdo con las hipótesis incluidas en la teoría. Sin embargo, ésta no incluía ciertos rasgos físicos importantes. Si todos los rasgos de un experimento se ordenan cuidadosamente para ajustar la física y las ligaduras incluidas en el análisis, entonces los resultados concordarán. La única parte creativa de estos experimentos, que puede estimular la curiosidad a cada paso y una comprensión del método experimental, es cuando se hace por primera vez. En efecto, el alumno se puede hacer siempre preguntas tales como: ¿Por qué se ha seguido este camino? ¿Qué habría ocurrido si las bolitas, en el experimento de medida de la viscosidad por el método de Stokes, se hubiesen lanzado muy cerca de la pared del tubo de vidrio?



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¿Qué pasaría en la práctica de verificación de la ley de Ohm si el material del que están fabricadas las resistencias fuera no lineal? ¿Por qué utiliza instrumentos de medida capaces de discriminar una micra cuando lo que se necesita es una regla, ya que las cantidades a medir son del orden de los centímetros? Todas estas preguntas fomentan el escepticismo que es una de las esencias vitales de la buena experimentación. 2.3.2. Experimentos de investigación. Este tipo de investigación pretende una apreciación de todos los aspectos del problema en ausencia de un conocimiento apropiado del mismo. Siguiendo el diagrama de flujo del método experimental, podemos formular un objetivo; pero, desgraciadamente, nuestra tarea puede estar fuera de análisis y si nuestra tarea es nueva puede que no exista o sea muy escasa la información existente sobre ella. Se puede comenzar haciendo un primer experimento, a menudo de forma tosca, a partir del cual podremos generar ideas que añadir a nuestro conocimiento del problema. A partir del primer experimento se puede realizar un análisis simple del problema con las consecuencias de que puede plantearse un segundo experimento de forma más cuidadosa. Así mismo se puede encontrar que la información existente es inútil en cuyo caso hay que rechazarla. Frecuentemente, la investigación experimental es el único camino real para obtener la información que se necesita sobre un problema. Cuando esto es así, puede ser muy costosa y consumir mucho tiempo por lo que es vital un método que ponga en juego todas las habilidades de un experimentado especialista para obtener los resultados más significativos. En este caso no hay que perder nunca de vista el objetivo principal, ya que es muy fácil desviarse entre las interesantes avenidas de la investigación hasta tal punto que el objetivo principal llega a hacerse irreconocible. 2.3.3. Experimentos de diseño y síntesis. Este tipo de experimentos intenta mejorar los diseños ya existentes, con el estudio de ciertos aspectos que han sido olvidados o descuidados en procesos de simplificación llevados a cabo en etapas anteriores. Por ejemplo, el comportamiento del ala del avión podría tratarse, de forma simplificada, mediante el análisis teórico de las tensiones sobre una viga de la geometría adecuada. Sin embargo tal análisis normalmente sólo es capaz de describir el comportamiento global y no algunos detalles importantes, y es precisamente el estudio de estos detalles donde se obtiene más éxito con el diseño. Otra forma en la que la experimentación juega un gran papel en el diseño es en la elección de un cierto material para una aplicación determinada. Suponiendo que ya se tiene verificado el análisis correspondiente del conjunto, es posible mejorar el comportamiento global optimizando el comportamiento de una de sus partes, por ejemplo de una pieza. Dicha pieza se puede estudiar en el laboratorio, comparando el funcionamiento de un mismo tipo de pieza, pero realizada con diferentes materiales. La elección final del material vendrá



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impuesta por una serie de propiedades tales como dureza, resistencia a la corrosión, peso, coste, facilidad de fabricación, etc. 2.3.4. Experimentos para mejora de las técnicas de medida. La experimentación es tan importante para un científico como la base teórica que describe los fenómenos a investigar. Una de las habilidades necesarias para el trabajo experimental es el uso y la elección de instrumentos. Por tanto, el entrenamiento en las técnicas de medida es fundamental para la obtención de un conocimiento crítico del valor de la experimentación y el medio de desarrollar de forma más apropiada el curso de la experimentación. Actualmente, aunque las constantes universales, tales como la de gravitación universal, la velocidad de la luz, la permitividad eléctrica del vacío, la constante de Boltzmann o la de Planck se conocen con un número elevado de decimales, se siguen invirtiendo una gran cantidad de dinero y trabajo para mejorar el grado de exactitud con que conocemos estas constantes. También son de especial mención, las técnicas de ayuda al diagnosis médico, tales como ecografías con ultrasonidos, rayos X, resonancia magnética nuclear, etc., donde es claro que la experiencia del especialista es fundamental a la hora de hacer una buena medida y una buena interpretación de resultados. 2.4. Organigrama para una experimentación con método. Cualquiera que sea el tipo de experimento es altamente deseable una aproximación metódica. Deberemos tener en cuenta los efectos del medio que puedan sumarse de forma aleatoria, planear las distintas secuencias, aprender a evaluar y fijar la importancia de los distintos errores, chequear y comunicar nuestros resultados de forma ordenada y que sea fácilmente comprendida por otros investigadores. Aunque cada caso es distinto, las posibles preguntas y acciones a realizar para una experimentación metódica: Sobre el objetivo del experimento. P: ¿Cuál es el objeto del experimento? - Hay que encontrarlo y enunciarlo sin ambigüedades. Sobre las variables que intervienen. P: ¿Cuales son las variables del problema? - Es posible que sean necesarias pruebas preliminares. P: ¿Cuál es su intervalo de acción? P: ¿Son todas las variables independientes? - En este punto nos puede ayudar el Análisis Dimensional. Sobre el equipo y ambiente de trabajo. P: ¿Es necesario un medio ambiente especial? P: ¿Cuáles son los trabajos previos sobre el tema? - Siempre hay que realizar un estudio bibliográfico sobre el tema. P: ¿Qué equipamiento es necesario?



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P: ¿De qué equipamiento se dispone? P: ¿Se podría considerar realizar unas pruebas sobre un modelo simplificado? Sobre los instrumentos de medida. P: ¿Qué intervalo se va a considerar? - Hay que decidirlo en función del intervalo de las variables del problema. P: ¿Qué precisión se requiere? P: ¿De qué instrumentación se dispone? ¿Son dichos instrumentos satisfactorios? - En muchas ocasiones hay que calibrarlos y realizar unas pruebas preliminares. Sobre el procedimiento experimental. P: ¿Qué secuencia hay que seguir al hacer variar los parámetros del problema? P: ¿Qué pruebas nos darían información simultánea sobre varias variables a la vez? P: ¿Puede ser importante una observación cualitativa del fenómeno? - Tomar notas o grabar las observaciones durante las pruebas. Sobre la evaluación de los resultados. P: ¿Son los resultados fiables? P: ¿Qué realizaciones existen entre las variables? y ¿tienen dichas relaciones una significación real? - La realización de gráficas ayuda mucho en la evaluación de los resultados. Sobre la presentación de los resultados. P: ¿Cuáles son los resultados más importantes? - Hay que identificarlos y ponerlos de manifiesto en un informe del experimento. P: ¿Cuál sería la mejor forma de presentar los resultados? - Hay que considerar las representaciones gráficas, gráficas adimensionales, fórmulas empíricas, curvas de ajuste. Sobre las conclusiones. P: ¿Satisfacen las pruebas realizadas el objetivo original? P: Si no es así, ¿dónde están las discrepancias?, ¿son importantes? - Hay que identificar las discrepancias. Evaluar su importancia y proponer nuevas pruebas. 2.5. Presentación de resultados. Tan importante como cualquier otra etapa en el trabajo científico es la etapa de presentación de resultados. Si no comunicamos nuestros resultados al resto de la comunidad científica, nuestro trabajo se vuelve baldío e insolidario ya que no coopera en el avance del conocimiento y en el desarrollo tecnológico que pretende una humanidad con mayor grado de bienestar. Especial importancia tiene esta apartado para un estudiante. El reflejo de su trabajo, aparte de la satisfacción personal por el propio trabajo y los conocimientos adquiridos, se plasma en una calificación que da el profesor. Si después de un trabajo duro, el alumno es incapaz de comunicar al profesor los conocimientos que ha adquirido, parte de su esfuerzo será desechado y no contribuirá a incrementar su calificación. Un examen o unas prácticas son ante todo un ejercicio de comunicación entre alumno y profesor, y el alumno debe de prestar la máxima



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atención a esta parte de su quehacer como aprendiz de científico, si quiere ver compensado su esfuerzo con una calificación adecuada. Un caso especial de científico que falló parcialmente en este apartado y protagonizó una anécdota científica curiosa, fue Henry Cavendish. Afortunadamente, como buen científico, hizo unos buenos informes que se pudieron conocer siglos después. “Hacia la segunda mitad del siglo XVII vivía en Inglaterra un personaje relativamente solitario, llamado Henry Cavendish, hijo de un lord. No tenía amigos íntimos, se atemorizaba ante las mujeres y en su casa de Clapham Common, un barrio de Londres, ordenaba a las sirvientas que se mantuvieran fuera de su vista y les daba las órdenes para sus comidas por medio de notas que dejaba en la mesa del vestíbulo. No le gustaba la música ni arte ninguno y pasaba todo su tiempo haciendo experimentos de física y química en un laboratorio particular de su gran mansión. Su trabajo se interrumpía únicamente por los tradicionales paseos dados para conservar la salud y por alguna asistencia ocasional a la cenas del club de la Real Sociedad para enterarse de lo que estaban haciendo otros físicos y químicos. Durante su larga vida (murió a los 79 años) sólo publicó unos cuantos trabajos relativamente sin importancia. Pero después de su muerte encontraron un millón de libras esterlinas en su cuenta del Banco y veinte paquetes de notas en su laboratorio. Estas notas quedaron en manos de sus parientes durante mucho tiempo, pero cuando fueron publicadas cien años después, se vio que Henry Cavendish era uno de los científicos experimentales más grandes que han existido. Descubrió todas las leyes de las interacciones eléctricas y magnéticas al mismo tiempo que Coulomb y sus trabajos en química desafían a los de Lavoisier. Además aplicó una balanza para el estudio de las fuerzas gravitatorias sumamente débiles entre los pequeños objetos y, sobre la base de estos experimentos, llegó a fijar el valor exacto de la masa de la Tierra. Ninguna unidad física lleva su nombre pero el Laboratorio Cavendish, en Cambridge, es uno de los centros mundiales de estudios científicos más famosos.” (George Gamow. “Biografía de la Física”. Salvat, Barcelona, pp. 99-100, 1998). Sobre la forma y contenido de un informe científico pueden influir numerosos aspectos, entre los que vamos a destacar:

• El receptor o receptores del informe. Evidentemente no debemos plantear de igual forma un artículo para una revista científica que para una revista de divulgación o de información general. Un caso especial es el informe de un alumno dirigido a un profesor, en este caso, aunque se dé por sentado que el profesor es un especialista en el tema, el informe debe de hacerse con un planteamiento didáctico, mostrando al profesor todos los detalles, como si el alumno autor estuviese dando una lección didáctica a un compañero; porque, aunque no se trata de que el profesor aprenda, hay que dejar claro que el autor conoce.

• El tipo de comunicación. El tipo de comunicación puede ser, básicamente, de índole didáctica o investigadora. Entre los didácticos nos encontraremos en esta asignatura los guiones e informes de laboratorio. Un informe de investigación puede ser un artículo científico a una revista (paper or letter), una comunicación (talk or contribution) o póster a un congreso, un informe técnico interno de una empresa, o de otros tipos con uso menos frecuente.



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Los apartados de un informe científico, y el orden de estos apartados, son los que se muestran a continuación, si bien existen multitud de casos más simples, incluyendo los experimentos de laboratorio de estudiantes, en los que algunas simplificaciones son necesarias.

1. Título del trabajo y nombre de los autores. Debe ser corto y procurar dar una idea clara del tema. 2. Sumario o resumen.

Permite al lector decidir rápidamente si el trabajo científico contiene información útil para sus intereses.

3. Índice de contenidos.

Sólo para informes largos. Se debe incluir cuando constituya una ayuda real al lector y no para dar al informe un aspecto más formal.

4. Notación.

Suele incluirse sólo en informes largos y multidisciplinares. En trabajos centrados en una disciplina específica y utilizando la notación estándar de ese campo no suele ser necesario definir todos los símbolos utilizados. Los símbolos se ordenan alfabéticamente, primero las letras y luego los símbolos griegos. Cuando son pocos los símbolos a definir, se suele hacer su definición a medida que aparecen en el texto.

5. Introducción.

Nos debe de colocar en posición de entender la motivación que ha generado el trabajo. Para ello debe enunciar la importancia y/o aplicaciones del tema, hacer una revisión breve de los trabajos previos sobre el tema y del contenido de esos trabajos, dando referencia de las publicaciones existentes. Debe continuar con la justificación de hacer ese trabajo y finalmente debe de dar el contenido del trabajo de investigación llevado a cabo.

6. Teoría.

Si la teoría es innovadora debe explicarse exhaustivamente. Si es conocida, sólo debe de darse las líneas básicas y citar los correspondientes textos o libros donde se desarrolla de forma clara y completa. Si el desarrollo de la teoría necesita cálculos específicos de longitud considerable, pueden colocarse éstos al final del trabajo en un apéndice. No se suelen dar cálculos intermedios lo que hace a veces muy duro la comprensión completa de un trabajo de investigación si no sé es un especialista del tema.

7. Experimentación.

El procedimiento experimental debe de ser descrito de forma completa, de manera que cualquier otro investigador pueda llegar a reproducirlo. Dibujos o incluso fotografías pueden ayudar a su descripción. También es importante decir claramente los aparatos de medida utilizados.

8. Resultados.

Este apartado contiene los resultados obtenidos a partir de la teoría y/o de la experimentación. Frecuentemente se usan gráficos porque éstos son más fáciles de entender dando una visión global y rápida del fenómeno que se está utilizando. Las



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unidades se deben dar para todas las magnitudes físicas y deben de ser las mismas para todo el informe, siendo recomendable utilizar el Sistema Internacional o MKSA.

9. Conclusiones.

Se resumen los resultados principales explicando claramente si significado científico. Se suele recalcar la concordancia o separación entre teoría y experimentación o la aplicabilidad o no para los fines propuestos de un material o diseño. No debe de ser una sección larga de forma que puedan recogidas por un lector ocasional.

10. Discusiones y sugerencias para un trabajo posterior.

Se citan aquí los puntos que deberían de abordarse posteriormente para mejorar el conocimiento del tema bajo estudio. Este apartado suele ser incluido en tesis y trabajos de suficiencia investigadora de tercer ciclo, para mostrar que el investigador, aunque no con excesiva experiencia, conoce bien el entorno del tema de investigación.

11. Agradecimientos.

Como cortesía, se debe dar las gracias a las personas o entidades que han ayudado a realizar la investigación. Es frecuente leer en este apartado los nombres clave de los proyectos de investigación y el nombre de la persona que ha supervisado el texto si éste está en un lenguaje distinto al maternal de los autores.

12. Apéndices. Recoge los detalles específicos y largos de los apartados de Teoría y Experimentación. Permite que se sirva bien a dos tipos de lectores: Quienes sólo están interesados en las conclusiones y a quienes tengan un interés exhaustivo.

13. Referencias.

Este apartado es el último y, salvo en casos muy excepcionales, es obligatorio. Es un listado de todos los trabajos utilizados en la confección del nuestro. Suele hacerse por orden en el que se van nombrando las referencias o por orden alfabético del primer autor. La forma habitual de una referencia es: nombre del autor o autores, título del trabajo, título de la revista o libro, editorial, número de volumen, número de páginas y año de publicación.

Sobre la construcción del informe llamamos la atención sobre los siguientes puntos:

• La longitud de una sección podrá variar desde cero hasta lo que se considere necesario. No todas las secciones son necesarias.

• Es normal escribir los informes científicos en pasiva refleja. Por ejemplo se prefiere decir “se midió el diámetro” a decir “medí el diámetro”. Esta práctica produce informes modestos, impersonales y evita dificultades en la redacción cuando se informa de los operaciones combinadas de un grupo.

• Se suelen utilizar con frecuencia acrónimos, pero hay que decir su significado la primera vez que aparece en el informe.

• Los números hasta diez se suelen escribir con palabras y el resto con números, pero no se deben mezclar, prefiriéndose entonces los números a las palabras.

• Las ecuaciones, gráficas y tablas se enumeran en una serie de números. • Especial atención de debe de poner en la confección de las ilustraciones gráficas:



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Las escalas deben de escogerse adecuadamente para que la información se reparta en todo el gráfico.

Los ejes deben de dividirse utilizando una escala sencilla. Para ello se elegirán escalas con intervalos 1, 2, 5, 10, 20,… unidades.

Sobre los ejes mostraremos la magnitud física representados en ellos y la unidad en que ha sido medida.

Cada gráfica llevará un título que será claro y vendrá indicado en la parte superior. Salvo casos excepcionales, la variable independiente del fenómeno debe ir

representada en abscisas y la dependiente en ordenadas. Si son experimentales, debe de prestarse la suficiente atención como para no

saltarse una zona de interés. La utilización de gráficas logarítmicas o semilogarítmicas está indicada en muchas

ocasiones. Los valores medidos se representan sobre la gráfica por el punto correspondiente a

sus coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominado rectángulo de error, cuya base abarca desde xøDx hasta x+Dx y cuya altura se extiende desde yøDy hasta y+Dy, siendo x e y las coordenadas del punto experimental. En el caso de que Dx o Dy sean despreciables en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, según el caso.

Las gráficas han de ser líneas finas y continuas, nunca quebradas, que han de pasar por todos los rectángulos de error, aunque, para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación, alguno de los rectángulos de error queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental y debe repetirse.

Capítulo 3. Errores experimentales


17

Capítulo 3. Errores experimentales.

No importa cual sea el experimento y lo cuidadosamente que se lleve a la práctica, uno de sus productos siempre será alguna forma de datos, y, aun en los experimentos más simples, dichos datos contendrán ciertos errores y estos deben de ser expresados e interpretados correctamente. En este capítulo hablaremos de las clases de errores, de la expresión correcta de los datos experimentales y de su representación gráfica.

3.1. Introducción. En cierta ocasión, Lord Kelvin, resumió la importancia de la medición como parte primordial de la ciencia:

"Con frecuencia digo que, cuando se quiere medir y expresar con números aquello sobre lo cual se está hablando, se sabe algo a cerca del tema; pero cuando no se puede medir, cuando no es posible expresarlo con números, el conocimiento es mezquino e insatisfactorio; tal vez sea el principio del conocimiento, pero sólo representa un pequeño paso hacia la etapa científica, sea cual fuere el tema de que se trate."

Así la ciencia trata de cuantificar los fenómenos, apartándose en lo posible de lo cualitativo, más cercano a lo subjetivo que lo cuantificado. Aunque en un capítulo posterior definiremos más detenidamente el concepto de magnitud física, podemos decir por ahora que una magnitud física es un ente que asociamos con la medida de un observable. Una magnitud física consta, al menos, de los siguientes elementos:

1. Una cantidad. 2. Una unidad. 3. Grado de confiabilidad en la cantidad (índice de exactitud o error).

Aunque con ciertas magnitudes físicas de tipo tensorial es necesario aportar más información para especificarlas totalmente; como ejemplo, en un vector (tensor de orden 1) debemos especificar su dirección y sentido. Con frecuencia se menosprecia el tercer elemento, el error de la cantidad, que tiene virtualmente la misma importancia que los dos anteriores. Pero nunca debemos de olvidar que todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión inevitable, debida a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la información. Dado que el valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente por medida, bien directa de la magnitud o bien indirecta por medio de los valores medidos de otras magnitudes que están ligadas mediante una fórmula física con la magnitud problema, debe admitirse como postulado físico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud. De este modo, aunque es imposible encontrar en la práctica el valor “cierto” o “exacto” de una magnitud determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los límites dentro de los cuales se encuentra dicho valor. El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales.



18

Debido a que los errores son inevitables, uno debe aprender a vivir con ellos. Se debe ser capaz de evaluar su magnitud y, más aún, aprender a controlarla de acuerdo con las necesidades. Cada científico e ingeniero debe ser capaz de evaluar la importancia relativa de una medición, sea ésta directa o indirecta. Debe desarrollar una "conciencia de error", alerta en todo tiempo, aun cuando no esté en completa operación. Esto es tan importante en el manejo de magnitudes de baja precisión, como en el de magnitudes muy exactas. 3.2. Definición de errores y conceptos relacionados. 3.2.1. Error absoluto.

Se llama error absoluto de una medida, o de un número aproximado, a la diferencia, con su signo, entre el valor medido o aproximado, xm, y el valor exacto o verdadero x:

∆ = −mx x x (1) donde se supone o sería bueno que ∆x x .

3.2.2. Error relativo.

El error absoluto no sirve para juzgar la calidad de una medida cuando se la pretende comparar con otra distinta. Por ejemplo, un error de 1 gramo cometido en la pesada de unos pocos gramos de un metal precioso es inadmisible, mientras que el mismo error al pesar una tonelada de carbón carece de importancia. Para esto se recurre al error relativo, que se define como el cociente de dividir el error absoluto Dx por el valor medido o aproximado xm:

∆=

m

xex

(2)

El error relativo es una cantidad adimensional y con frecuencia se multiplica por 100 para expresarla en tantos por ciento. 3.2.3. Intervalo de confianza. Es la región dentro de la cual se encuentra el valor verdadero, x. Si dmax y dmin denotan los límites de error máximo y mínimo, respectivamente, entonces

maxmin max

minm m mx x x x x

δδ δ

δ+

= ⇒ − ≤ ≤ + − (3)

En el caso de que dmax=dmin=Dx, escribiremos

= ± ∆mx x x (4) Por ejemplo, 51.3±0.4, significa que el valor verdadero se encuentra entre 50.9 y 51.7. El error relativo de esta medida es e =0.4/51.3= 0.008, que en tantos por ciento corresponde al 0.8%. 3.2.4. Error cuadrático medio. A veces llevamos a cabo múltiples medidas de un fenómeno. El error cuadrático medio de un conjunto de medidas x1, x2, ... , xN se define como



19

σ=

= −∑ 2

1

1 ( )N

x ii

x xN

(5)

siendo x el valor medio definido como =

= ∑1

1 N

ii

x xN

y N el número de datos.

3.2.5. Concepto de exactitud, precisión, sensibilidad y error instrumental

de un aparato de medida. En lo que respecta a los aparatos de medida, hay cuatro conceptos muy importantes que vamos a definir: exactitud, precisión, sensibilidad y error instrumental. Exactitud. La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. De modo que un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor “verdadero” de la magnitud medida. Precisión. La precisión hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que un aparato será preciso cuando las diferencias entre diferentes medidas de una misma magnitud sean muy pequeñas. La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que poseen poca exactitud, debido a errores sistemáticos tales como el error de cero u otros. En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud, ya que la exactitud involucra al valor “exacto” que es desconocido, mientras que el concepto de precisión sólo está relacionado con las medidas realizadas.

Figura 3.1. Ejemplo del tirador. a) Inexacto e impreciso. b) Exacto e impreciso. c) Inexacto y preciso. d) Exacto y preciso.



20

Sensibilidad. La sensibilidad de un aparato es el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que, para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviación. La sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división más pequeña en la escala mínima de medida. Error instrumental. El error instrumental es el incremento mínimo de magnitud en que sería necesario incrementar la medida que está realizando un aparato, para que el indicador de medida pase a la siguiente posición. Si se está midiendo en la escala mínima del aparato (la dedicada a las magnitudes físicas más pequeñas que se pueden medir con este aparato) y la escala es homogénea, el error instrumental en esta escala coincide con la sensibilidad del aparato. El error instrumental es el error absoluto con que solemos dotar inicialmente a una medida directa (obtenida directamente con un aparato de medida). 3.2.6. Expresión correcta de las medidas. De ordinario, dado el significado de límite superior que tiene el error absoluto, éste sólo debe tener un dígito significativo (distinto de cero), redondeándose su valor por defecto si el que inicialmente iba a ser el segundo dígito significativo es inferior a 5, y haciéndose un redondeo por exceso si el segundo dígito significativo fuese 5 o mayor que 5. Además, el valor de la medida debe tener sólo los dígitos necesarios para que su último dígito significativo sea del mismo orden decimal del último del error absoluto. Nota: Algunos autores admiten, por convenio, que el error absoluto puede darse con dos dígitos si el primero de ellos es 1 ó si siendo 2 el segundo dígito es inferior a 5. En todos los demás casos debe darse su valor con un solo dígito significativo, forzándolo en una unidad si el segundo fuese cinco o mayor de cinco. Veamos varios ejemplos en la siguiente tabla.

Números incorrectos Números correctos Mejor 3.418±0.123 U 3.4±0.1 U ó 3.42±0.12 U (34±1) 10-1 U 6.3±0.085 U 6.30±0.09 U (630±9) 10-2 U

46.288±1.553 U 46±2 U ó 46.3±1.6 U 46±2 U 428.351±0.27 U 428.4±0.3 U (4284±3) 10-1 U

0.01683±0.0058 U 0.017±0.006 U (17±6) 10-3 U Tabla 1. Valores incorrectos, correctos y mejor expresados de las medidas de magnitudes con unidades U. 3.3. Clasificación de los errores y su naturaleza. Al efectuar repetidamente una medida resultan números distintos de la verdadera medida de ésta, tal sucede por ejemplo si se mide una distancia llevando reiteradamente una



21

regla, sin estar bien alineados los puntos intermedios, en cuyo caso resulta un error por exceso, o si la regla tiene un error por defecto o por exceso,... Atendiendo a las causas que lo producen, los errores pueden clasificarse en dos grandes grupos:

• Errores sistemáticos. • Errores accidentales.

Se denomina error sistemático a aquel que es constante a lo largo del todo el proceso de medida y. por tanto, afecta a todas las medidas de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado. Los errores accidentales, también llamados erráticos o aleatorios, son debidos a causas tan complejas que no es posible conocer ni evaluar. Cuando el número de observaciones es muy grande tienden a compensarse, verificándose estas condiciones: 1. Los errores más pequeños son más frecuentes. 2. Su promedio tiende hacia cero al crecer el número de observaciones. 3. El número de errores superiores a cierto número es sensiblemente nulo. 3.3.1. Errores sistemáticos. Dentro de los errores sistemáticos podemos diferenciar los siguientes: Errores de método. Estos errores aparecen cuando se elige un método experimental equivocado o insuficiente. Puede ocurrir que se mida una magnitud en vez de otra o ciertos efectos desconocidos pueden influir en la medida de una magnitud de forma que el resultado sea erróneo. También conducen a errores de método una extrapolación injustificada de los datos experimentales. Errores instrumentales. Los errores de este tipo se originan por la utilización de un instrumento defectuoso, por el mal uso de un instrumento o por el uso de un instrumento en un medio ambiente para el que no ha sido diseñado. Los errores instrumentales están frecuentemente dirigidos en una dirección, aunque en algunas situaciones pueden ocurrir efectos de histéresis. Errores de calibrado. Muchos instrumentos no producen resultados correctos a menos que sean calibrados antes de su uso frente a una magnitud conocida. Esto puede llevar consigo la determinación de un sencillo punto cero o la determinación de toda una curva de calibración (o escala). Los errores procedentes del proceso de calibración reciben el nombre, lógicamente, de errores de calibrado. Errores humanos. Los errores humanos dependen de las características personales del observador. Un observador puede responder a una señal demasiado de prisa o demasiado lento; en cada caso podrá sobreestimar o subestimar la lectura. Tales errores son normalmente bastante



22

consistentes ya que se cometen continuamente por el mismo observador en una única sesión. Los errores ocasionales cometidos intermitentemente, debidos, por ejemplo a una relajación de la vigilancia, no se han de incluir aquí sino que se deben clasificar en el apartado de errores accidentales. Errores aritméticos. Los cálculos aritméticos incluidos en la experimentación se realizan cada vez más mediante dispositivos de cálculo aritmético tales como ordenadores y calculadoras. Estos dispositivos almacenan los números utilizando un determinado número de bytes (posicionamientos de memoria), produciéndose un continuo redondeo en el proceso de cálculo y almacenamiento. Adicionalmente puede haber fallos en los procedimientos de cálculo utilizados (programas). También contribuye a los errores aritméticos los redondeos incorrectos de los números que intervienen en el cálculo. Errores de respuesta dinámica. Un aparato de medida tiene un tiempo de respuesta: La aguja o marcador no pasa instantáneamente de cero a la indicación final, sino que necesita un tiempo. Si hacemos la medida de una magnitud estática, no encontraremos ningún problema. Si la magnitud que medimos varía con el tiempo, pero lo hace lentamente respecto del tiempo de respuesta del dispositivo de medida, el error achacable a la respuesta dinámica será despreciable, puesto que la variación de la magnitud física en el intervalo de medida será muy pequeña. Pero, conforme el tiempo de variación de la señal se aproxime al tiempo de respuesta del aparato de medida, el error de repuesta dinámica irá aumentando. 3.3.2. Errores accidentales, erráticos o aleatorios. Los tipos más corrientes son: Equivocación o errores de discernimiento. Si se muestra una presión atmosférica estable sobre un manómetro de mercurio estándar y la lectura la realizan diez observadores distintos, aún después de eliminar todos los errores sistemáticos (o después de reducirlos a un mínimo), nos encontraremos que no todas las medidas coinciden. Es decir, la gente tiende a juzgar de forma diferente. Más aún la misma persona puede juzgar de forma diferente la misma lectura en dos ocasiones distintas. Además, existen equivocaciones verdaderas, aunque pueden ser esporádicas. Factores humanos incontrolables tales como distracciones repentinas, cansancio, malinterpretaciones, etc., afectan la corrección de las lecturas y toma de registros. Los cálculos también están sujetos a equivocaciones. Cambio en las condiciones experimentales. Esta es la segunda causa de error accidental. Una subida o bajada temporal de la tensión de la red eléctrica cambiará las condiciones de los dispositivos experimentales o aparatos de medida que tengamos conectados a la red eléctrica. Una súbita e inesperada perturbación del flujo de fluido por una tubería puede alterar temporalmente la lectura de un termómetro en la conducción de la tubería. Si da la casualidad de que se toma una lectura en dicho instante particular, los resultados estarán sujetos a un error accidental. Similarmente un micrófono medidor de sonido puede súbita e inesperadamente registrar un sonido extra del paso de un



23

avión. Generalmente tales fuentes de error son de duración limitada o son debidos a medios ambientes específicos. Errores de especificación en los procesos de fabricación. Se derivan de unas especificaciones de medida no lo suficientemente estrictas. Por ejemplo, una bola esférica metálica puede estar ligeramente ovalada o contener planos. La medida de un diámetro de la bola podría darla como buena sino se especifica nada más, pero de alguna manera debe de controlarse la esfericidad de la bola. 3.3.3. Puntos de reflexión final.

• Una medida es tanto más precisa, cuanto más pequeños son los errores accidentales. • Una medida es tanto más exacta, cuanto más pequeños son los errores sistemáticos. • Cuando el promedio de los errores tiende hacia un valor distinto de 0, es preciso buscar

alguna causa de error sistemática; y si no tiende hacia ningún valor, se dice que el sistema no es normal.

• Los errores sistemáticos se pueden normalmente minimizar en cuánto sean detectables,

previsibles o tenidos en cuenta. Antes de planificar un experimento uno debe considerar todas las fuentes posibles de errores sistemáticos y darse cuenta de su inherente naturaleza acumulativa.

• Los errores accidentales son los de más difícil justificación. Su contribución al nivel total

de error puede ser considerable y a menudo dominante. 3.4. Reglas prácticas para discernir el tipo de error y acciones a realizar

según el tanto por ciento de dispersión. Un punto importante en el tratamiento de los datos experimentales es discernir la causa de error, fundamentalmente si es de tipo aleatorio o sistemático ya que la expresión de los resultados depende del tipo de causa de incertidumbre. Para saberlo en nuestras experiencias de laboratorio, se hacen tres medidas de la magnitud y se halla la dispersión entre ellas, D,

D = diferencia entre los valores extremos. Se pueden, entonces, dar varios casos:

a) Si D es menor o igual que el error instrumental entonces la causa de error es debida a errores sistemáticos y se toma como el valor de la medida:

la medida ( x ) ± el error instrumental (eI).

b) Si D es mayor que el error experimental entonces la causa de error es debida a errores

accidentales o de tipo aleatorio y hay que hacer más medidas. Para saber cuántas medidas son necesarias se calcula el tanto por ciento de dispersión



24

100 DTx

= (6)

y según sea su valor se determina el número de medidas que hay que realizar siguiendo las indicaciones de la tabla 2. En esta tabla también se indica el error final a considerar y cual es la expresión final de la medida. T < 2% 2% <T < 8% 8% <T < 15% T > 15%

Nº de medidas 3 6 15 50 Error Ie { }max / 4, ID eα = xσ / 1x Nσ −

Expresión Ix e± x α± xx σ± / 1xx Nσ± − Tabla 2. Número de medidas a realizar según el tanto por ciento de dispersión de las medidas.

3.5. Propagación lineal de los errores sistemáticos. Sea y = f (xi, aj) con i = 1, 2, ... , n y j = 1, 2, ... , m, donde f es una función que liga a la magnitud que nos interesa hallar, y, con las magnitudes independientes, xi, que se obtienen del experimento y con aj constantes irracionales. Diferenciando se obtiene

1 1

n m

i ji ji j

y ydy dx dax a= =

∂ ∂= +

∂ ∂∑ ∑ (7)

Si se pasan los diferenciales a incrementos, la expresión anterior se transforma en

1 1

n m

i ji ji j

y yy x ax a= =

∂ ∂∆ = ∆ + ∆

∂ ∂∑ ∑ (8)

Identificando los Dy, Dxi e Daj con los errores absolutos de las variables correspondientes, en el caso más desfavorable se obtendrá

1 1

n m

i ji ji j

y yy x ax a= =

∂ ∂∆ = ∆ + ∆

∂ ∂∑ ∑ (9)

Para que los errores en las constantes irracionales no influyan en el resultado de Dy se debe tomar un número suficiente de cifras significativas que pueden valorarse de la siguiente manera:

Llamamos 1

n

ii i

yE xx=

∂= ∆

∂∑ y max jj

yT aa

∂ = ∆ ∂ con lo que y E mT∆ ≤ + . Hacemos

0.1mT E= , quedando el error dado por

1

0.1 1.1n

ii i

yy E E E E y xx=

∂∆ ≤ + = ⇒ ∆ ≅ ∆

∂∑ (10)



25

donde se ha eliminado la influencia de las constantes irracionales, tomando estas con el suficiente

número de cifras decimales. Con 0.1ETm

= y jj

yT aa

∂≤ ∆

∂ se obtiene

0.1 0.1j j

j

j

yE Ea am a ym

a

∂≤ ∆ ⇒ ∆ ≥

∂ ∂∂

(11)

que facilita el número de cifras significativas con las que se debe de evaluar la constante aj. Observamos que en las expresiones anteriores E es la contribución al error de todas las magnitudes independientes, xi. Por tanto, una vez suprimido el error que las constantes irracionales pueden introducir, eligiéndolas con el número de cifras significativas adecuadas, la expresión que facilita el error asociado a la magnitud física representada por la función y es:

1

n

ii i

yy xx=

∂∆ = ∆

∂∑ (12)

• Caso particular. Aunque siempre podemos utilizar la expresión general, de manera que si f=f(x,y,z), entonces

f f fdf x y zx y z

∂ ∂ ∂= ∂ + ∂ + ∂

∂ ∂ ∂ (13)

y por tanto

f f ff x y zx y z

∂ ∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂ (14)

en el caso particular de que a b cf x y z= … , donde a, b y c son constantes, se produce una notable simplificación si antes de diferenciar tomamos logaritmos neperianos:

ln ln( ) ln ln lna b cf x y z a x b y c z= = + + +… … (15) Diferenciando la expresión anterior:

dydf dx dza b cf x y z

= + + +… (16)

y asimilando los diferenciales a errores:

yf x za b cf x y z

∆∆ ∆ ∆= + + +… (17)

Recordando la definición de error relativo, xxe

x∆

= , queda

...x y zfe ae be ce= + + + (18)



26

obteniéndose el intervalo de confianza de la función f, como

ff e f∆ = (19) • Ejemplos típicos de error en magnitudes derivadas.

1 2 1 2y x x y x x= ± ⇒ ∆ = ∆ + ∆ (20)

1 21 2

1 1

y x xy x xy x x

∆ ∆ ∆= ⇒ = + (21)

1 1 2

2 1 1

yx x xyx y x x

∆ ∆ ∆= ⇒ = + (22)

• Ejemplo numérico de cálculo de errores. Vamos a calcular el error de una magnitud f que depende de otras a través de una expresión del tipo

( )( )x y zfu v w

+=

−

Consideremos que se han medido las magnitudes de las variables y se han determinado sus valores absolutos, de modo que

( )( )( )( )( )( )

x

y

z

u

v

w

27.33 0.03 U2.45 0.05 U10.0 0.1 U50.2 0.1 U1.03 0.02 U3.26 0.02 U

xyzuvw

= ±

= ±

= ±

= ±

= ±

= ±

Vamos a obtener el valor de la magnitud f y el error correspondiente a la misma. De la expresión de definición de f:

f1.85783 Uf = Para la cota de error:

f f f f f ff x y z u v wx y z u v w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Realizando los cálculos,



27

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2

2

2

0.06239, 0.03778,

0.06239, 0.03778,

0.18578, 0.56989.

x y zf z fx u v w u u v w

x y zf z fy u v w v u v w

x y zx yf fz u v w w u v w

+∂ ∂= = = − = −

∂ − ∂ −

+∂ ∂= = = =

∂ − ∂ −

++∂ ∂= = = − = −

∂ − ∂ −

Tras aplicar valores absolutos y realizar los cálculos numéricos, se obtiene:

f0.03950 Uf∆ = pero teniendo en cuenta que el error absoluto lo expresamos con una sola cifra significativa:

f0.04 Uf∆ = con lo que la expresión final para la magnitud física representada por la función f es:

( ) f1.86 0.04 Uf = ± 3.6. Tratamiento estadístico de datos. 3.6.1. Definiciones básicas. Imaginad que en un laboratorio se toman un número elevado de datos, n, de una variable x, resultando los valores { } 1, .i i nx

= … .De esta muestra de datos interesa obtener un valor

representativo para nuestra variable y un parámetro de error que indique el grado de aproximación de los datos a ese valor representativo o central. Lógicamente, el valor más representativo viene dado por la media aritmética a simplemente media, definida como

1 2

1

1 nn

ii

x x xx xn n =

+ + += = ∑ (23)

Las medidas más comunes para cuantificar la agrupación o dispersión de la muestra de medidas en torno a la media es la llamada desviación estándar, desviación típica o desviación cuadrática media, sx, definida como

( )2

1

1

n

ii

x

x xs

n=

−=

−

∑ (24)

y la varianza, 2

xs ó Var(x), que es el cuadrado de la desviación típica:

( )2

2 1( )1

n

ii

x

x xVar x s

n=

−= =

−

∑ (25)



28

Así, si las medidas individuales están muy agrupadas alrededor de la media, la suma total

de los cuadrados de los residuos entre los datos y la media, ( )2

1

n

ii

x x=

−∑ , será pequeña y la

desviación típica y la varianza serán pequeñas. Por el contrario si ( )2

1

n

ii

x x=

−∑ es grande, lo serán

también la desviación típica y la varianza. Obsérvese que en la definición de ambas variables interviene el denominador n-1, en lugar del número de datos n. La cantidad n-1 está referida a los grados de libertad. Si observamos las expresiones de sx o 2

xs se basan en la suma de las cantidades 1x x− , 2x x− , …, nx x− , pero estas cantidades no son linealmente independientes porque, conocida x y n-1 valores de x, podemos obtener el valor de x que nos falta. Así, sólo n-1de los valores con que se compone sx están libremente determinados y por esto decimos que tenemos n-1 grados de libertad. Otra justificación de dividir por n-1 es el hecho de que no tiene sentido la dispersión de un solo punto. Para el caso en que n=1, las definiciones de sx y 2

xs dan un resultado sin sentido al infinito y no cero como sería el caso en que utilizásemos n como denominador. Existe una expresión alternativa frecuentemente usada para las magnitudes anteriormente definidas:

( )

{ } ( ) ( ){ }2

2 2 2 2 21 1 1( ) 2 21 1 1

n

ii

x i i i i

x xs Var x x x x x x nx x x

n n n=

−= = = + − = + − =

− − −

∑∑ ∑ ∑

( ){ } ( ){ } ( ) ( )22 2 2 2 2 22

1 1 1 121 1 1i i i ix nx nx x nx x n x

n n n n = + − = − = − ⇒ − − −

∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )22 21 11x i is x x

n n = − −

∑ ∑ (26)

donde todas las sumatorias se extienden desde i=1 hasta n, pero que omitiremos en adelante por simplicidad de las expresiones. También

( ) ( )221 1( )1x i is Var x x x

n n = = − −

∑ ∑ (27)

Una variable estadística que tiene utilidad para cuantificar la dispersión de los datos es el coeficiente de variación (c.v.), definido como la razón entre la desviación típica y la media. Con frecuencia se multiplica por 100 y se expresa en tantos por ciento

. . 100%xsc vx

= (28)



29

Obsérvese que este coeficiente de variación es similar, en esencia, al error relativo y nos puede permitir comparar diferentes conjuntos de datos. Finalmente, vamos a definir la covarianza, Cov(x,y), entre dos series de medidas o cantidades físicas { } 1, .i i nx

= … y { } 1, .i i ny= …

como

( ) ( )

1( , )1

n

i ii

x x y yCov x y

n=

− −=

−

∑ (29)

que podemos transformar y expresar de la siguiente forma:

{ } ( ){ }1 1( , )1 1i i i i i iCov x y x y x y y x x y x y nx y nx y nx y

n n= − − + = − − + =

− −∑ ∑

( ){ } ( ) ( ) ( )1 1 1

1 1i i i i i ix y nx y x y x yn n n

= − = − ⇒ − − ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )1 1( , )1 i i i iCov x y x y x y

n n = − −

∑ ∑ ∑ (30)

3.6.2. La distribución normal de Gauss. Si tomamos muchas medidas de una magnitud física x y agrupamos los datos en intervalos iguales, cada intervalo representado por su valor medio x01, x02, …, x0m, a cada intervalo le

corresponderá un número de medidas n1, n2, …, nm de forma que 1

m

jj

n n=

=∑ . Llamaremos frecuencia

del intervalo j a jj

nf

n= , cumpliéndose que

1 11

m mj

jj j

n nfn n= =

= = =∑ ∑ . Si hacemos un histograma

representando la frecuencia que corresponde a cada intervalo frente a los intervalos, encontramos la denominada forma de la distribución. Normalmente se encuentran más datos (mayor frecuencia) en el intervalo que contiene al valor medio y en los intervalos cercanos a éste, tomando el histograma forma de campana.

Figura 3.2. Forma típica de una distribución de datos experimentales.



30

En muchos casos la forma de la distribución obedece a la forma gaussiana o normal dada por la función

( )2

222

1( ) ( , )2

x x

f x N x e σσπσ

−−

= = (31)

Entonces decimos que nuestra distribución es una distribución normal de Gauss. La expresión anterior está normalizada de manera que el área que encierra la campana debajo de ella es la unidad:

( )2

222

1( ) 12

x x

f x dx e dxσ

πσ

−∞ −∞

−∞ −∞= =⌠

⌡∫ (32)

y alcanza su valor máximo cuando el exponente de la exponencial es nulo; es decir, con

x x= ⇒2

1( )2

f xπσ

= . Por tanto la expresión anterior es una campana de Gauss centrada en el

valor medio x y la máxima altura de la campana es 2

1( )2

f xπσ

= .

En la expresión de la distribución de Gauss: • x es el valor medio y está localizado en el centro de la campana. • 2 ( )Var xσ = es la varianza de la distribución y da idea de la ancha o estrecha que es la

campana. Si 2σ es pequeño, la campana es estrecha y si 2σ es grande, la campana es ancha.

• ( )Var xσ = es la desviación típica o estándar de la distribución. Por estar normalizada la expresión (31) de f(x), a f(x) se la denomina función densidad. La integral 2

1( )

x

xf x dx∫ es el área que hay debajo de la campana entre los puntos x1 y x2 y

nos da la probabilidad de que, al realizar una medida, ésta se encuentre en el intervalo [x1, x2], esto es

{ }2

11 2( )

x

xf x dx P x x x= < <∫ (33)

Algunos casos concretos son los siguientes: De ( ) 1f x dx

∞

−∞=∫ , la probabilidad de que al hacer una medida, ésta salga entre en el

intervalo [-¶, ¶] es la unidad. De ( ) 0.5

xf x dx

−∞=∫ y ( ) 0.5

xf x dx

∞=∫ , la probabilidad de que una medida sea inferior a

la media es 12

, y la probabilidad de que sea superior a la media también es 12

.

Para x x σ= = ± , la función f(x) toma el valor



31

0.52 2

1 0.6065( )2 2

f x eσπσ πσ

−± = (34)

que es 0.6065 del valor máximo. La probabilidad de que una medida está en el intervalo

,x xσ σ− + viene dada por

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )x x x

x x xf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

σ σ σ

σ σ σ

+ ∞ − ∞ − ∞

− −∞ −∞ + −∞ += − − = − − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 2 ( ) 1 2(0.1587) 0.6826x

f x dxσ−

−∞= − = − =∫ (35)

y tiene por tanto una probabilidad del 68.26%. Como hemos visto en el ejemplo anterior, dado que el área que hay debajo de la campana es la unidad, en lugar de calcular la integral en el intervalo marcado, se calculan las llamadas colas de la distribución y las colas se restan de la unidad.

Figura 3.3. Distribución de Gauss en la que se marcan las colas de la distribución.

Otros datos significativos son el área encerrada en los intervalos 2 , 2x xσ σ− + y

3 , 3x xσ σ− + , que vienen dados por las integrales siguientes:

2 2

2( ) 1 2 ( ) 0.9544

x x

xf x dx f x dx

σ σ

σ

+ −

− −∞= − =∫ ∫ (36)

que representa un 95.44% de probabilidad, y

3 3

3( ) 1 2 ( ) 0.9974

x x

xf x dx f x dx

σ σ

σ

+ −

− −∞= − =∫ ∫ (37)

que representa un 99.74% de probabilidad. En general, ( )f x dx representa la probabilidad de encontrar un valor entre x y x+dx.



32

Pasando a otra consideración, si hacemos muchas medidas de una magnitud física y estas medidas siguen una distribución normal de Gauss, es claro que no sería apropiado asignar un error al resultado final, representado por x , un error asociado al error instrumental, sino que la distribución nos da una clara visión de cómo están agrupadas las medidas en torno al valor medio. Así, la medida final se expresa como

x σ± . (38) Este tipo de estudio estadístico es más apropiado cuando los errores predominantes en nuestro experimento sean de tipo aleatorio. Desde esta perspectiva σ no es una cota de error que obligue al valor verdadero a estar dentro del intervalo ,x xσ σ− + , sino una medida de lo dispersos que están los datos alrededor del valor medio. También podíamos elegir como expresión final de nuestra medida 2x σ± ó 3x σ± . Ciertamente, tomando un número elevado de medidas podemos hacer que nuestra estimación del error, desde un punto de vista estadístico dado por la desviación típica de la distribución, disminuya. Pero sólo tiene sentido que disminuya hasta hacerse igual o del orden del error instrumental. No es comprensible que, con una regla graduada con un error instrumental de 1 mm, podamos conseguir, por más medidas que hagamos, una certeza del orden de las micras. Por tanto, la incertidumbre absoluta combinada vendrá dada por

2 2 ,x Ix s e∆ = + (39) alcanzándose un balance óptimo cuando x Is e . Un número de medidas, que suele resultar adecuado en la mayoría de los casos, viene dado por

2

1 x

I

sne

+

. (40)

Otro de los parámetros que se suele utilizar para caracterizar un distribución normal o de Gauss es el FWHM, acrónimo de “Full With Half Maximum”, o ancho a mitad de la altura. Para localizar este parámetro, que será dependiente de la varianza pero no de la media, utilizamos una distribución centrada (centrada en cero) con lo que arrastraremos menos constantes en el cálculo. FWHM será igual a 2h, con h tal que

2

222 2

1 1 1 12ln 1.17742 22 2

h

e hσ σ σπσ πσ

−= ⇒ = =

por lo que FWHM=2.3548σ. Si observamos una campana de Gauss, vemos que comienza en -¶ con una pendiente nula, después la pendiente va aumentando hasta alcanzar un valor máximo a partir del cual vuelve a disminuir hasta hacerse nula de nuevo en el punto central de la campana. El comportamiento en la parte derecha es similar, la pendiente vuelve a aumentar en amplitud, siendo ahora negativa, hasta alcanzar un valor de máxima pendiente negativa. Pasado este punto, la pendiente va disminuyendo su magnitud para acabar siendo cero en el infinito. A los dos puntos en los que la pendiente alcanza su valor máximo, uno con signo positivo y otro con signo negativo, se le llama



33

puntos de inflexión. Estos puntos donde la derivada o pendiente alcanza un máximo y un mínimo, estarán dados por los valores que anulan a la derivada segunda. Vamos a calcular donde están posicionados estos puntos de inflexión, y para ello utilizaremos de nuevo una distribución centrada en el origen para arrastrar menos constantes. De

2 2 2 2

2 2 2 22

2 2 2 22 22 2 2 2

1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2

x x x xx xf x e f x e f x e eσ σ σ σ

σ σπσ πσ σ πσ

− − − − − ′ ′′ = ⇒ = − ⇒ = −

y haciendo ( ) 0f x′′ = , los puntos de inflexión están en x σ= ± . Si la campana tiene una media x , los puntos de inflexión aparecerán en x σ− y x σ+ . Como hemos comentado anteriormente, si tenemos una distribución normal o de Gauss de media x y desviación típica σ, que habitualmente se expresa por N( ,x σ), la probabilidad de hacer una medida en el intervalo [-¶, x] viene dada por

[ ]( )2

222

1( , ) ( )2

x xxP x x e dxσ

πσ

−−

−∞−∞ = Φ = ⌠

⌡ (41)

Haciendo el cambio de variable 1x xt dt dxσ σ−

= ⇒ = ⇒

2

21( )2

ttt e dx

π−

−∞Φ = ∫ (42)

Esta función, que recibe el nombre de “Área bajo la curva normal tipificada” o función integral de Gauss, está tabulada en los libros de fórmulas y tablas matemáticas (Véase “Formulas y Tablas de Matemática Aplicada”. M.R. Spiegel, J. Liu y L. Abellanas. Mc GrawHill, serie Schaum. Madrid, 2000). A la distribución normal de Gauss con 0x = y σ =1, se le denomina distribución normal tipificada y viene dada por

2

21(0,1)2

t

N eπ

−= (43)

Volvamos ahora al comienzo de este apartado donde hablábamos que teníamos n medidas repartidas en m intervalos, siendo xoj el valor representativo de cada intervalo. Dado que la frecuencia del intervalo j viene dada por fj, siempre que tengamos un número muy elevado de medidas podemos expresar la media como

1 1 1

1 m m mj

j oj oj j ojj j j

nx n x x f x

n n= = =

= = =∑ ∑ ∑ (44)

donde nj es el número de veces que aparecen valores en el intervalo que representa xoj y fj un número entre 0 y 1, que representa la probabilidad de obtener un dato en el intervalo j. Si hacemos que el número de datos tienda a infinito, n Ø¶, y también el número de intervalos, mØ¶,



34

la expresión anterior se convierte en una suma continua con xoj Øx y fj Øf(x)dx que será la probabilidad de encontrar un valor entre x y x+dx fl

( )x xf x dx∞

−∞= ∫ (45)

Si volvemos a la distribución de Gauss, también podemos encontrar la expresión anterior:

( )2

222

1( )2

x xx

xf x dx x e dx xσ

πσ

−−∞

−∞ −∞= =⌠

⌡∫ (46)

Análogamente, la varianza la podemos expresar, con las medidas agrupadas, como

( )220

1

11

m

x j jj

s n x xn =

= −− ∑ (47)

Con n grande, nºn-1, y

( )220

1

m

x j jj

s f x x=

= −∑ (48)

Finalmente, si nuestro número de datos fuese enormemente elevado (n y m Ø¶), la sumatoria anterior se convertiría en una integral y la varianza de una serie de muestras infinita tomaría la forma:

2 2( )( )xs f x x x dx∞

−∞= −∫ (49)

Por otra parte, utilizando la distribución normal de Gauss, podemos calcular la siguiente integral:

( )2

22 2 222

1( )( ) ( )2

x x

f x x x dx x x e dxσ σπσ

−∞ −∞

−∞ −∞− = − =⌠

⌡∫ . (50)

Por tanto, comparando las expresiones matemáticas anteriores, podemos ver que las definiciones dadas para la media o la varianza (o desviación típica), tanto como variables estadísticas o como parámetros característicos de una distribución normal de Gauss, son coincidentes cuando el número de medidas o datos tiende a infinito. 3.7. Ajuste de curvas. Regresión lineal por mínimos cuadrados. 3.7.1. Motivación. Existen dos procedimientos generales para el ajuste de curvas que se distingue uno del otro por el grado de error asociado a los datos:

a) Si los datos exhiben un grado significativo de error o ruido, como suele ser lo habitual si los datos proceden de una experiencia de laboratorio, la estrategia será derivar una sola



35

curva que representa la tendencia general de los datos. En este caso, debido a que cualquier dato individual puede ser incorrecto, no se necesita interceptar cada punto.

b) Si los datos son muy exactos y precisos, situación en general extraña, el procedimiento

básico será ajustar una curva o serie de curvas que pasen directamente a través de cada uno de los puntos.

Figura 3.4. Diferentes procedimientos de ajustar unos datos mediante una función. a) Regresión

por mínimos cuadrados. b) Interpolación lineal. c) Interpolación curvilínea. Para llevar a cabo el procedimiento descrito en el punto a) no es suficiente con una inspección visual de los puntos sobre la gráfica y después trazar la que parece la mejor línea. Para dejar de lado la subjetividad, se deben de establecer criterios con los que establecer una base para el ajuste. Una forma de hacerlo es obtener la curva que minimice la discrepancia entre los puntos y la curva. La técnica para cumplir con este objetivo se conoce como “regresión por mínimos cuadrados”. El término “regresión” fue acuñado por sir Francis Galton (1822-1911), primo de Charles Darwin. Galton estudiaba la Eugénica, término también introducido por él mismo para definir el estudio de la mejora de la raza humana a partir de los caracteres hereditarios. Galton estudió la altura de los hijos con relación a la altura de los padres y probó estadísticamente que la altura de los hijos y nietos de los hombres altos “regresaba” hacia la media de la altura de la población a lo largo de sucesivas generaciones. En otras palabras, hijos de padres extraordinariamente altos tendían a ser en promedio más bajos que sus padres, e hijos de padres muy bajos tendían a ser, en promedio, más altos que sus padres. En la actualidad el término regresión se utiliza siempre que se busca predecir una variable en función de otra y ya no está relacionado con el hecho de que se esté produciendo o no una regresión a la media. Anteriormente a Galtón, se debe mencionar a Legendre (1752-1833), quien introdujo el método de los mínimos cuadrados, utilizándolo en el cálculo y definición del metro como diezmillonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. 3.7.2. Ajuste por mínimos cuadrados mediante una línea recta. Supóngase que se han realizado n parejas de medidas (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), siendo las medidas de la variable x bastante más exactas que las de la variable y. Queremos ajustar una línea recta y=ax+b a la nube de puntos (xi, yi)i=1,…,n. El error que se comete en la pareja de puntos (xi,Yi) viene dado por

( )i i i ie y y y ax b= − = − + (51) que puede ser positivo o negativo. Para que los errores positivos no se puedan cancelar con los negativos y viceversa, vamos a calcular lo que llamamos suma de los cuadrados de los residuos:



36

( )22

1 1

n n

r i i ii i

S e y ax b= =

= = − −∑ ∑ (52)

Figura 3.5. El residuo en la regresión lineal es la distancia vertical entre un dato y la línea recta. Los parámetros a y b de la línea recta son todavía desconocidos y los vamos a elegir de manera que se minimice Sr, es decir, los elegiremos a partir de la imposición de las ecuaciones:

0 y 0r rS Sa b

∂ ∂= =

∂ ∂ (53)

Desarrollando estas ecuaciones

( )

( )1

2

1

2 ( 1) 0

2 ( ) 0

nr

i ii ii

nr i i i i

i i ii

S y ax b bn a x ybS b x a x x yy ax b xa

=

=

∂ = − − − = + =∂ ⇒ ∂ + = = − − − =

∂

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑

que resulta ser un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, a y b, que son la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de ajuste que buscamos. El determinante del sistema de ecuaciones viene dado por

( )22 22 ( 1)i

i i xi i

n xn x x n n s

x x∆ = = − = −∑ ∑ ∑∑ ∑

(54)

Ya que 2 ( ) 0xs Var x= ≠ , a no ser que todos los xi sean iguales, D∫0, y el sistema tiene solución que viene dada por

( ) ( )( )22

1 i i i ii

i i i i i

n x y x yn ya

x x y n x x−

= =∆ −

∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑

(55)

Dividiendo numerador y denominador por n (n-1):



37

( ) ( )

( )22

1 1( , )1

1 1 ( )1

i i i i

i i

x y x y Cov x yn naVar xx x

n n

− − = = − −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ (56)

Por tanto son expresiones válidas para la pendiente:

( ) ( )

( )2 22

( )( )( , )( ) ( )

i i i i i i

ii i

n x y x y x x y yCov x yaVar x x xn x x

− − −= = =

−−

∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑

(57)

La ordenada en el origen viene dada de la primera ecuación del sistema por

1 1i ib y a x b y ax

n n= − ⇒ = −∑ ∑ (58)

que expresada solamente en función de los valores toma la forma:

( ) ( )( )22

1 1 i i i ii i

i i

n x y x yb y x

n n n x x

− = − = −

∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2

1 1i i i i i i i i i i i i i i

i i i i

n y x y x n x x y x y n y x n x x yn nn x x n x x

− − + − = = − −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

,

y por tanto la ordenada en el origen viene dada por

( )

2

22

i i i i i

i i

x y x x yb y axn x x

−= − =

−∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ (59)

que también se puede obtener directamente como

21 i i

i i i

y xb

x y x=

∆∑ ∑

∑ ∑

3.7.3. Cuantificación del error en una regresión lineal. La suma de los cuadrados de los residuos que se ha minimizado para encontrar la recta de regresión tenía la forma dada por la ecuación (52):

( )22

1 1

n n

r i i ii i

S e y ax b= =

= = − −∑ ∑

Si recordamos, la expresión de la varianza, para una variable y, tiene la forma:

( )22

1

11

n

y ii

s y yn =

= −− ∑



38

que nos daba idea de cómo estaban los datos de dispersos alrededor de la media. Por la similitud entre ambas expresiones, vamos a definir una “desviación estándar” para la línea de regresión, sy/x, dada por

( )22/

1

12 2

nr

i iy xi

Ss y ax bn n =

= = − −− − ∑ (60)

En la expresión anterior hemos usado el subíndice y/x indicando que el error es para la variable y correspondiente a un valor particular de x. También se observa que se ha dividido por n-2 ya que ahora tenemos un grado de libertad menos porque hemos estimado los parámetros a y b, mientras que antes estimábamos sólo x . Visto de otro modo, dividimos por n-2 porque no tiene sentido asociar un error a un ajuste con una recta cuando sólo tenemos dos parejas de puntos. En este caso, la pareja de puntos definiría la línea recta y el error en la regresión sería nulo. Para este caso, la expresión de sy/x daría un resultado sin sentido al infinito. El error estándar sy/x de la estimación cuantifica la dispersión alrededor de la línea de regresión, en contraste con la desviación estándar original, sy, que cuantifica la dispersión de la media, tal como se aprecia en la figura 3.6.

Figura 3.6. a) Dispersión de los datos alrededor de la media de la variable dependiente. b) Dispersión de los datos alrededor de la mejor línea de ajuste. La reducción en la dispersión indica la mejora debida a la regresión lineal. Los conceptos anteriores se pueden usar para cuantificar la bondad del ajuste. Esto puede ser útil para comparar diferentes regresiones como las de la figura 3.7.

Figura 3.7. Ejemplo de regresiones lineales con diferente error residual. a) Pequeño. b) Grande.

Para llevar a cabo la idea expresada en el párrafo anterior, comparamos la desviación estándar, sy, que es la magnitud de error residual asociado con la variable dependiente antes de



39

la regresión, con la desviación estándar de la regresión, sy/x, que caracteriza el error residual que queda después de la regresión, y esta comparación la hacemos a la manera de un error relativo definiendo el coeficiente de correlación, r, o el coeficiente de determinación, r2, a través de

/2 y y x

y

s sr

s−

= (61)

Para un ajuste perfecto sy/x =0 y r2=r=1, lo que significa que la línea recta explica al 100% la variabilidad de los datos. Para r2=r =0, sy =sy/x y el ajuste no representa ninguna mejora. Con las definiciones de sy/x , sy y haciendo n-1ºn-2, nos queda

( ) ( )

( )

2 2/

2

i i iy y x

y i

y y y ax bs sr

s y y

− − − −−= =

−

∑ ∑∑

Haciendo b y ax= − en la expresión anterior

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

222 2

2 2

i i ii i i

i i

y y y y a x xy y y ax y axr

y y y y

− − − − −− − − − − = = =− −

∑ ∑∑ ∑∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 2 2

2

2i i i i i

i

y y y y a y y x x a x x

y y

− − − + − − − −=

−

∑ ∑ ∑ ∑∑

Sustituyendo en la ecuación anterior la forma de a dada por 2

( )( )( )

i i

i

x x y yax x

− −= ⇒

−∑

∑

( ) ( ) ( )

( )

22

22 2

2

( )( )( )( )2

( ) ( )i ii i

i i ii i

i

x x y yx x y y y y x x x xx x x x

ry y

− −− − − − − −− − = =

−

∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑

( )( )

2

22

( )

( )

i i

i i

x x y y

x x y y

− − =− −

∑∑ ∑

Con lo que definitivamente podemos poner

( )

( )22

( )

( )i i

i i

x x y yrx x y y

− −=

− −

∑∑ ∑

(62)

El coeficiente de correlación r es fácil también encontrárselo expresado en la siguiente forma:



40

( )

( )22

( )1

( )1 1

i i

i i

x x y ynr

x x y yn n

− −−= ⇒

− −− −

∑

∑ ∑( , )x y

Cov x yrs s

= (63)

Con ( ) ( ) ( )1 1( , )1 i i i iCov x y x y x y

n n = − −

∑ ∑ ∑ , ( ) ( )221 11x i is x x

n n = − −

∑ ∑ y

( ) ( )221 11y i is y y

n n = − ⇒ −

∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2

i i i i

i i i i

n x y x yr

n x x n y y

−=

− −

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

(64)

que es la expresión que frecuentemente se emplea para el coeficiente de correlación cuando se implementa en un programa de ordenador ya que en esta última expresión r está expresado sólo en función de las parejas (xi, yi). 3.7.4. Error en la pendiente y en la ordenada en el origen. El error asociado a la pendiente es independiente de la ordenada en el origen ya que si cambiamos el origen de la variable dependiente y para hacer b=0, obtendremos la misma pendiente y la posición relativa de la línea y ax= , respecto de los puntos a los que ajusta, no cambia. Por otro lado, tal como se ha realizado el ajuste, nos hemos apoyado en un conjunto de puntos en los que el error en los datos de la variable y es mayor que el de la variable x. Como la pendiente a representa la cuantía en la variación de y por cada unidad en la variación de x, y x la

suponemos con un error despreciable frente a y, de 1 1 1i iy ax y ax a y

n x n= ⇒ = ⇒ =∑ ∑ ,

vamos a asociar a la pendiente un error que debe ser proporcional a la desviación típica de la regresión, sy/x , y al representar la pendiente la variación de y por cada unidad en la variación de x, vamos a dividir por la desviación típica en la variable x, sx, como magnitud representativa de la dispersión de la variable x. De manera que

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

22 2

2 / /2 22

11 2

11

1

i iy x y x

x i i

y ax bs s nan s x x x xn

n

− −−∆ = = = ⇒

− − −−

−

∑∑ ∑

(65)

( )

( ) ( )

2

22i i

i

y ax ban x x

− −∆ =

− −∑

∑ (66)

donde, como en casos anteriores, las sumatorias se extienden desde i =1 hasta i =n. Lo anterior no es una demostración rigurosa, para la que necesitaríamos unos conocimientos de estadística y un



41

tiempo fuera del alcance de este curso, sino una mera justificación de una expresión que vamos a utilizar con frecuencia en la representación gráfica de datos experimentales.

Para la ordenada en el origen b, de ( )1iy ax b b y ax y ax

n= + ⇒ = − = −∑ , y podemos

asociar a la ordenada en el origen un error dado por

( ) ( )( )

22 2 /2 2 2 2

/ / 21 1

1y x

y x y xx

sb s a x s x

n n n s∆ = + ∆ = + ⇒

− (67)

( )

( )22

21

2i i

i

y ax bxbn nx x

− −∆ = +

−−

∑∑

(68)

3.8. Interpolación en tablas. Las tablas de doble entrada, que con frecuencia se utilizan en los laboratorios, proporcionan el valor de una variable x en función de otra z. Cuando se quiere determinar el valor de z que corresponde a uno dado de x, no tabulado o viceversa, se determinan previamente los valores tabulados de x y z entre los que se encuentra los de nuestro problema. Sean estos

x1 z1 x2 z2

Entonces, la relación que liga x con z puede escribirse aproximadamente según la forma lineal

( )2 11 1

2 1

z zz z x xx x

−= + −

− (69)

que representa una recta que pasa por los puntos (z1, x1) (z2, x2) y que permite determinar z en función de x o viceversa.

Figura 3.8. Interpolación lineal entre dos puntos.



42

De la expresión anterior, el error de z resulta ser:

2 1

2 1

z zz xx x

−∆ = ∆

− (70)

En las tablas de doble entrada, para cada pareja de valores (x, y) se proporciona el valor correspondiente a una tercera variable z, relacionada con las dos anteriores. En este caso, el trazo de las tablas, entre cuyos valores se encuentra el valor buscado de z, presenta el aspecto

y1 y2 x1 z11 z12 x2 z21 z22

Ahora la relación aproximada que permite el cálculo de z es:

( ) ( )21 11 12 1111 1 1

2 1 2 1

z z z zz z x x y yx x y y

− −= + − + −

− − (71)

que también puede ser utilizada en la interpolación inversa; es decir, en la determinación de x o y, conocidos los valores (y, z) o (x, z). El error de z viene dado por

21 11 12 11

2 1 2 1

z z z zz x yx x y y

− −∆ = ∆ + ∆

− − (72)

técnicas experimentales básicas primer curso de física ...andyk/docencia/teb/apuntest123.pdf ·...

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