tarea 1: teoría de las líneas de transmisión

7/29/2019 Tarea 1: Teora de las Lneas de Transmisin

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Ricardo AlejosDiseo Electrnico a Altas Frecuencias

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TAREA1Ejercicios sobre la teora de las lneas de transmisin

INTRODUCCIN

Los siguientes problemas estn utilizando secciones de l-neas de transmisin con tecnologa microcinta cuya estructurafsica est ilustrada en la Ilustracin 1. Asumiremos que nuestralnea microcinta est montada sobre un dielctrico FR-4 (Nelco4000-13, con = 3.9 y tan = 0.01 medida a 1GHz). Asu-miremos tambin que el substrato tiene una altura fija de =40 mil. Despreciaremos el ancho de las secciones metlicas, ascomo las prdidas por conduccin elctrica (tanto en la lneacomo en el plano de tierra).

Ilustracin 1. Seccin de una lnea microcinta.

La impedancia caracterstica de la microcinta, , se puedeestimar utilizando la grfica que se muestra en la Ilustracin 2(estudiaremos cmo obtener esta funcin de impedancia msadelante, para diferentes constantes dielctricas y despreciandolas prdidas).

Ilustracin 2. Impedancia caracterstica de una lnea microcintasin prdidas en funcin de sus dimensiones fsicas.

Considere que si = 2 la impedancia caractersticaser 50. Si = 0.5, entonces 100.

La velocidad de propagacin , o la velocidad de la ondadentro de la microcinta se calcula utilizando (1).

=

(1)

Donde es la velocidad de la luz en el vaco, y es la constante dielctrica efectiva dada por(2). = 12 121 10 (2)

Resolveremos los siguientes problemas utilizando la teorafundamental de lneas de transmisin, haciendo un modeladoaproximado de las lneas microcinta como lneas de transmisinsin prdidas (ignoraremos las prdidas ocasionadas por el conductor y por el dielctrico). Ms adelante, podremos resolverestos mismos problemas utilizando modelos con mayor exacti

tud, como los modelos electromagnticos. Verificaremos que lateora de lneas de transmisin tiene una exactitud aceptablepara estas frecuencias y dimensiones fsicas.

PROBLEMA 1Enunciado

Considere una lnea microcinta cuya longitud fsica es de = 510mil y cuyo ancho es = 80mil. Dicha lnea terminaen un cortocircuito y opera a 3GHz.a) Calcule la magnitud de la impedancia en la entrada de la

lnea.

b) Calcule la inductancia por unidad de longitud, as como lacapacitancia por unidad de longitud.

c) Utilizando el modelo de circuito con parmetros concen-trados, utilice tantas secciones LC en cascada (Ilustracin3) como sea necesario para que su impedancia de entradaslo tenga un 5% de error respecto a la que se calcul en einciso a).

Ilustracin 3. Conexin en cascada de N secciones del modelosin prdidas de una lnea de transmisin.

SolucinInciso (a)

Para calcular la impedancia de entrada de la lnea podemosutilizar la expresin (3) donde = 50 (de acuerdo con las


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instrucciones de la introduccin, pues = 80mil y por lotanto = 80 40 = 2) y = 0 (porque la carga es enrealidad un cortocircuito).

= tan tan (3)La constante de propagacin puede calcularse utilizando

(4). Donde

= 2(siendo en este caso

= 3 10) y

se

calcula empleando tanto (1) como (2).

= (4)Al realizar los clculos y conversiones correspondientes en-

contramos que para la lnea microcinta de este problema:

3.0420 172 10 m s

18.850 10 rad s 109.59 rad m 12.954 mm

328.24 Por lo que || 328.24 . Hemos encontrado la res-

puesta al primer inciso de nuestro problema.

Inciso (b)Para calcular los valores de inductancia y capacitancia por

unidad de longitud nos podemos valer de las expresiones (5) y(6), aplicables a las lneas de transmisin sin prdidas.

= (5) = (6)

Dado que ya tenemos los valores , y bastar con re-solver el sistema de ecuaciones, para lo cual encontramos que:

= 116.28 pF

= 290.07 nH

Inciso (c)Para hacer el clculo de cuntas secciones necesitamos para

poder medir la impedancia de entrada con un error mximo del5% utilizaremos un programa recursivo en MATLAB.Este programa calcular la impedancia de una seccin LC

conectada a un cortocircuito. Posteriormente ir agregando sec-ciones LC en la entrada de la seccin anterior hasta que elclculo de la impedancia de entrada cumpla con los requeri-mientos. Una vez cumplidos, el programa arrojar el nmero desecciones que fueron empleadas para tal fin.

Al terminar de ejecutar el programa, se encontr que el n-mero de secciones necesarias para cumplir con los requisitosdictados por el enunciado del problema son = 113. El programa puede encontrarse en el apndice de estos ejercicios (pgina 7).

PROBLEMA 2

EnunciadoConsidere una lnea microcinta cuya longitud fsica es de = 10,211 mil (que son aproximadamente 26 cm) y su ancho

es de = 80 mil. Dicha lnea est conectada a una fuente devoltaje sinusoidal cuyo voltaje tiene una amplitud de 3 V yopera a una frecuencia de 1 GHz; adems dicha fuente est co-nectada en serie con una fuente de 100 . La lnea microcintatermina en una carga que consiste de una resistencia de 80 en

paralelo con un capacitor de 3.98 pF.a) Calcule la impedancia de entrada de la lnea.

b) Calcule el voltaje de entrada de la lnea.c)

Calcule el voltaje en la carga.d) Calcule el voltaje incidente en la carga en estado estable.

e) Calcule el coeficiente de reflexin en la carga.f) Grafique la magnitud del voltaje a lo largo de la lnea

desde la fuente hasta la carga.

Ilustracin 4. Circuito del problema 2. Considere como lacombinacin en paralelo de una resistencia y un capacitor.SolucinInciso(a)

Para el clculo de la impedancia de entrada podemos utilizarde nueva cuenta la expresin (3) considerando que para este

problema = 50 (porque nuevamente la relacin es2) y que adems: = 35.9861.

3.0420 6.2832 10 rad s 172 10 m s 36.528 rad m

259.36 mm 32.7696.


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Inciso (b)Habiendo calculado la impedancia de entrada al princi-

pio de la lnea de transmisin, podemos calcular el voltaje endicha entrada como lo haramos con un divisor de voltaje (comose muestra en la Ilustracin 5).

Ilustracin 5. Divisor de voltaje utilizando la impedancia de en-trada de la lnea de transmisin.

El clculo del voltaje de entrada se reduce entonces a resol-ver este divisor de voltaje:

= 100 0.82722. VIncisos (c), (d) y (e)

La razn de contestar todos estos incisos en esta seccin espor la necesidad de resolverlos en un orden alterno. Para podercalcular el voltaje en la carga es necesario conocer el voltajeincidente a lo largo de la lnea de transmisin, y para conocereste voltaje incidente es necesario conocer el coeficiente de re-flexin en la carga.

El coeficiente de reflexin en la carga lo calculamos con laexpresin (7). Una vez aplicados los datos que conocemos hastaahorita en el problema, obtenemos = 0.63406..

= (7) = +( ) (8)Para obtener el voltaje incidente nos valdremos de la expre-

sin (8), vlida para la referencia de distancia es como la quese muestra en la Ilustracin 6.

Ilustracin 6. Referencia de distancia z.El valor del voltaje incidente + se obtiene al despejarlo de

dicha expresin evaluada en = , donde = :+ = 0.901305. V

Para obtener el voltaje en la carga, no ser necesario msque evaluar la expresin (8) en = 0, pues ya conociendo +la nica incgnita ser 0 = .

= +1 0.881615. VInciso (f)

Utilizando la expresin (8)podemos graficar la magnitud y

la fase voltaje a lo largo de la lnea de transmisin. Dichas gr-fica se muestran en la Ilustracin 7 y en la Ilustracin 8.

Ilustracin 7. Magnitud del voltaje a lo largo de la lnea detransmisin.

Ilustracin 8. Fase del voltaje a lo largo de la lnea de transmi-sin.

PROBLEMA 3Enunciado

Considere una lnea microcinta cuya longitud fsica es de = 1,361 mil (aproximadamente 3.5 cm) y cuyo ancho es de = 80 mil. Dicha lnea opera a 2 GHz y se termina en unacarga que consiste de una resistencia de 60 en serie con uninductor de 3.98 nH. Utilizando la carta de Smith, calcule:

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

0.5

1

1.5

Magnitud del voltaje a lo

largo de la lnea de transmisin

z

|V

|

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

-200

-100

0

100

200

Fase del voltaje a lo

largo de la lnea de transmisin

Frecuencia (GHz)

V


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a) La razn de onda estacionaria (SWR) de la lnea.b) El coeficiente de reflexin en la carga.c) La admitancia equivalente en la carga.d) La impedancia de entrada de la lnea.e) La distancia desde la carga hasta el primer mnimo de vol-

taje.f) La distancia desde la carga hasta el primer mximo de vol-

taje.

SolucinLa carta de Smith utilizada para este ejercicio se encuentra

en la pgina 8.

Para encontrar la impedancia de carga normalizada utiliza-mos la expresin (9). Para este caso = 50 mientras que laimpedancia de carga es 60 50.014 . De modo quela impedancia de carga normalizada es , 1.2 1.

, = (9)Incisos (a) y (b)Despus de localizar la impedancia de carga normalizada enla carta de Smith, se procede a encontrar los valores de SWR yel coeficiente de reflexin en la carga:

2.465 0.42.

Inciso (c)Para calcular la admitancia equivalente en la carga, refleja-

mos el punto de la impedancia de carga respecto al centro de lacarta de Smith, encontrando una admitancia de carga normali-

zada de , 0.49 0.41 la cul hay que multiplicar por elinverso de la impedancia caracterstica para obtener su valor no-minal:

= , 9.8 8.2 mSInciso (d)

Para encontrar la impedancia a la entrada de la lnea utili-zando la carta de Smith deberemos conocer la longitud de ondaa la que opera (pues la unidad de desplazamiento por longituden la carta de Smith es la longitud de onda ), la cual podemoscalcular utilizando (10).

= (10)Empleando los datos disponibles sobre la lnea de transmi-

sin en conjunto con las expresiones (1), (2) y (10) encontramosque la longitud de onda actual es 86 mm.

Conociendo la longitud de onda, podemos normalizar la lon-gitud de la lnea de transmisin para conocer el desplazamientoque necesitamos en la carta de Smith para conocer las caracte-rsticas de la entrada de la lnea (y de manera ms especfica, suimpedancia de entrada).

34.569 mm 0.40194Es decir, en la carta de Smith nos tenemos que desplazar0.40194 longitudes de onda para encontrar el punto de entrada

de nuestra lnea de transmisin. Al realizar dicho desplaza-miento, encontramos la impedancia de entrada normalizada, 4.95 0.42 que equivale a una impedancia de entradade

= , 247.5 21 .

Inciso (e)El primer mnimo de voltaje se encuentra en el primer cruce

por la zona donde el ngulo del coeficiente de reflexin es 180avanzando en direccin hacia el generador, lo cual est a0.325 27.952 mm de la carga.Inciso (f)

El primer mximo de voltaje se encuentra en el primer crucepor la zona donde el ngulo del coeficiente de reflexin es 0avanzando en direccin hacia el generador, lo cual est a0.075 6.4504 mm de la carga.PROBLEMA 4Enunciado

Una lnea microcinta que opera a 3 GHz tiene un ancho de = 20 mil y debe ser acoplada a una carga de 150 . Utiliceun transformador de cuarto de onda con tecnologa microcinta

para evitar reflexiones a la frecuencia de operacin.

a) Calcule la impedancia caracterstica requerida para etransformador de cuarto de onda.

b) Calcule el ancho y la longitud requerida para la seccin demicrocinta a aadir.

c) Grafique el coeficiente de reflexin a la entrada del trans-formador diseado poniendo en el eje X el rango de fre-cuencias comprendido entre 1 GHz y 5 GHz.

SolucinInciso (a)

Para acoplar la impedancia de carga y la impedancia dela lnea de transmisin original con un transformador decuarto de onda, es requerido que este ltimo tenga una impe-dancia dada por(11).

=

(11)Para el clculo de sabemos que = 100 (pues la relacin = 0.5) y que = 150 . Al realizar el clculo

obtenemos que:

122.47 Inciso (b)

Para determinar el ancho del transformador podemobasarnos en la grfica de la Ilustracin 2 ya que tambin estarconstruido con tecnologa microcinta sobre el mismo substratoque hemos estado utilizando en los dems ejercicios. Despusde una observacin podemos notar que la relacin que


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necesitamos para obtener una impedancia caracterstica de 122.47 es alrededor de 0.275. Por lo tanto: 0.275 = 0.27540 = 11 mil

Como su nombre lo sugiere, el transformador de cuarto deonda debe tener una longitud igual a un cuarto de la longitudde onda de operacin 4 . Pero para ello necesitamos antesdeterminar la velocidad de propagacin en el transformador

, como lo sugiere la ecuacin (10).Despus de emplear las ecuaciones (1), (2) y (10) con los

datos disponibles de nuestro transformador ( = 11 mil y = 3 GHz) encontramos que:, 2.6872

, 183.01Mm s , 61.003 mm

15.251 mm

Siendo , la permitividad efectiva de nuestro transforma-dor, , la velocidad de propagacin a travs del mismo, ,la longitud de onda aplicable a nuestro transformador y lalongitud del mismo.

Inciso (c)Una vez colocado el transformador de cuarto de onda lo que

esperamos notar es que a la frecuencia de operacin no hayareflexiones. Numricamente esto significa que el coeficiente dereflexin entre la lnea microcinta y el transformador de cuartode onda debe ser cero a la frecuencia de operacin.

Lo anterior puede notarse visualmente observando las gr-ficas de la Ilustracin 9 y de la Ilustracin 10 en el punto quecorresponde a la frecuencia de operacin (3 GHz).

Ilustracin 9. Magnitud del coeficiente de reflexin entre la lneamicrocinta original y el transformador.

Ilustracin 10. Fase del coeficiente de reflexin entre la lnea mi-crocinta original y el transformador.

PROBLEMA 5

EnunciadoUna lnea microcinta que opera a 3 GHz con un ancho de = 80 mil tiene que acoplarse a una carga compleja que con-

siste de una resistencia de 100 en serie con un inductor de4.77 nH. Utilice dos secciones de lneas microcinta entre la l-nea de transmisin original y su carga para evitar reflexiones ala frecuencia de operacin.

a) Calcule el ancho y el largo de cada una de estas dossecciones de microcinta.

b) Grafique el coeficiente de reflexin en la entrada delas secciones aadidas poniendo en el eje X el rango

de frecuencias comprendido entre 1 GHz y 5 GHz.SolucinInciso (a)

Disearemos dos secciones de microcinta: un transformadorde impedancias y un transformador de cuarto de onda.

Para disear el transformador de impedancias, basaremosnuestro procedimiento en la carta de Smith (la cul puede serencontrada en la pgina 9).

Lo primero ser definir la impedancia caracterstica deltrazo que corresponde a nuestro transformador de impedancias

. Por conveniencia y simplicidad haremos que dicha impe-dancia caracterstica sea igual a la resistencia que tenemos en lacarga = 100 (lo cual implica tambin que el ancho deltrazo de este transformador sea = 20 mil para lograr la relacin correspondiente a este valor de impedancia). Deeste modo la impedancia de carga normalizada ser: , 1 0.89912j.

Despus de avanzar radialmente una distancia de 0.0915, en la carta de Smith encontramos que para una l-nea microcinta con esa longitud conectada a nuestra carga en

1 2 3 4 5

0

0.05

0.1

0.15

Magnitud del coeficiente de reflexin en laentrada del transformador.

Frecuencia (GHz)

|

|

1 2 3 4 5

-100

-50

0

50

100

Fase del coeficiente de reflexin en laentrada del transformador.

Frecuencia (GHz)

|

|


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cuestin su impedancia de entrada normalizada sera ,, 2.4. Entonces que su impedancia de entrada sera entonces, = 240 .No obstante an tenemos la incgnita sobre el valor, el

cual puede ser calculado utilizando las ecuaciones (1), (2) y (10)con los datos que tenemos hasta ahora del transformador. Des-

pus de hacer dichos clculos obtenemos los siguientes valores:

, 2.7664, 180.37Mm s , 60.123 mm 5.5013 mm

El procedimiento para disear el transformador de cuartode onda es muy similar al utilizado en el problema anterior. Enesta ocasin las impedancias que pretendemos acoplar son laimpedancia caracterstica de la lnea microcinta original =50

y la impedancia de entrada del transformador de impedan-

cias , = 240 .La impedancia caracterstica de nuestro transformador de

cuarto de onda puede calcularse utilizando la expresin (11)junto con los datos mencionados en el prrafo anterior. Una vezhecho el clculo encontramos que:

= 50240 109.54 En base a esta cantidad, podemos saber por la grfica de la

Ilustracin 2 que el ancho de esta nueva seccin ser 0.4 = 16 mil.La longitud del transformador ser de un cuarto de su longi-

tud de onda correspondiente ,. Aplicando nuevamente lasexpresiones (1), (2) y (10) llegamos a los siguientes valores:

, 2.7344, 181.42Mm s

, 60.473 mm = , 4 15.118 mm

Inciso (b)Considerando los efectos de la frecuencia sobre las impe-

dancias de la carga y de ambas secciones, tanto la magnitudcomo la fase del coeficiente de reflexin se muestran en las gr-ficas de la Ilustracin 11 y de la Ilustracin 12.

Ilustracin 11. Magnitud del coeficiente de reflexin en la en-trada de ambos transformadores.

Ilustracin 12. ngulo del coeficiente de reflexin en la entradade ambos transformadores.

1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Magnitud del coeficiente de reflexin en laentrada de ambos transformadores .

Frecuencia (GHz)

|

|

1 2 3 4 5

-50

0

50

100

Fase del coeficiente de reflexin en laentrada de ambos transformadores .

Frecuencia (GHz)

|

|


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APNDICEPrograma de MATLAB para el inciso (c) del problema 2.

f0=3e9;w0=2*pi*f0;Ll=290.070e-9;

Cl=116.28e-12;Zin= 328.24j;

l=1.2954e-2;N=0;Ztest=0Error=abs(1-Ztest/Zin);

while (Error>0.05)N=N+1;dl=l/N;L=Ll*dl;C=Cl*dl;

ZL=1j*w0*L;ZC=1/(1j*w0*C);Ztest=ZL;for index=2:N,

Ztest=ZL+((ZC*Ztest)/(ZC+Ztest));end

Error=abs(1-Ztest/Zin);end


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Carta de Smith utilizada para el problema 3.


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Carta de Smith utilizada para el problema 5

tarea 1: teoría de las líneas de transmisión

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