Ejercicio 9

Una senal continua de electrocardiograma (ECG) contiene frecuencias utileshasta 100Hz

1 ¿Cual es la frecuencia de Nyquist de esta senal?

2 Suponga que muestreamos esta senal a una tasa de 250muestras/s ¿Cuales la frecuencia mas alta que puede representarse de forma unıvoca paraesta tasa de muestreo?.

Solucion:

1 Se tiene que Fmax = 100Hz, entonces F(Nyquist) = 2Fmax = 200Hz

2 Del enunciado del ejercicio se tiene que Fs = 250muestras/s, entonces lafrecuencia maxima que se puede representar es F = Fs/2 = 125Hz

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Ejercicio 10

Sea una senal analoga x(t) = sen(480πt) + 3sen(720πt) se muestrea 600 vecespor segundo.

1 Determine la frecuencia de muestreo de x(t)

2 Determine la frecuencia de solapamiento.

3 ¿Cuales son las frecuencias en radianes de la senal discreta en el tiemporesultante x[n]?

4 Si x[n] se pasa a traves de un convertidor ideal D/A, ¿Como es la senalreconstruida y(t)?

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Solucion:

1 Fmax = 360Hz de donde F ′

s= 2Fmax = 720muestras/s

2 La frecuencia de solapamiento o maxima que se puede representar conesta frecuencia de muestreo es Fs/2 = 300Hz

3

x[n] = x(nT ) = x(n/Fs)

= sen(

480πn

600

)

+ 3sen(

720πn

600

)

= sen

(

2πn2

5

)

+ 3sen

(

2πn

[

1−2

5

])

= sen

(

2πn2

5

)

− 3sen

(

2πn2

5

)

= −2sen

(

2πn2

5

)

Por consiguiente, ω = 4π5

4 y(t) = x[Fst] = −2sen(480πt)

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Ejercicio 11

Un enlace de comunicaciones digital transporta palabras codificadas en binarioque representan muestras de una senal de entrada

x(t) = 3cos(600πt) + 2cos(1800πt)

El enlace trabaja con una velocidad de 10000bits/s y cada muestra de entradala cuantifica en 1024 niveles de tension distintos.

1 Determine las frecuencias de muestreo y de solapamiento.

2 ¿Cual es la frecuencia de Nyquist de la senal x(t)?

3 ¿Cuales son las frecuencias de la senal discreta en el tiempo resultantex[n]?

4 ¿Cual es la resolucion ∆?

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Solucion:

1 El numero de bits que se necesitan para representar una muestra esNbits/muestra = log2(1024) = 10 Entonces la frecuencia de muestreo esFs = total de bits/(Nbits/muestra)

Fs =10000bits/s

10bits/muestra= 1000muestras/s

Ffold = Fs/2 = 500Hz

2 Fmax = 900Hz, de donde FNyquist = 2Fmax = 1800Hz

3

f1 =F1

Fs

=3

10

f2 =F2

Fs

=9

10

Como f2 > 1/2 entonces f2 = 1− 1/10, de lo anterior se tiene

x[n] = 3cos

(

2π3

10n

)

+ 2cos

(

2π1

10n

)

Entonces las frecuencias son: f1 = 0,3ciclos/muestra y f2 = 0,1ciclos/muestra

4

∆ =xmax − xmin

m− 1=

5− (−5)

1024− 1=

10

1023

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Ejercicio 12

Considere la siguiente senal sinusoidal continua en el tiempo

x(t) = sen(2πF0t), −∞ < t <∞

Puesto que x(t) esta descrita de forma matematica, su version muestreada puededescribirse mediante sus valores cada T segundos. La senal muestreada se de-scribe mediante la formula siguiente

x[n] = x(nT ) = sen

(

2πF0

Fs

n

)

, −∞ < n <∞

Donde Fs = 1/T es la frecuencia de muestreo.

1 Represente graficamente la senal x[n], 0 ≤ n ≤ 99 para Fs = 5KHz yF0 = 0,5; 2; 3 y 4,5KHz Explique las similitudes y diferencias entredistintas representaciones.

2 Suponga que F0 = 2KHz y Fs = 50KHz1 Represente graficamente la senal x[n]. ¿Cual es la frecuencia f0 de la senal

x[n]?2 Represente graficamente la senal y[n] obtenida tomando las muestras pares

de x[n]. ¿Es una senal sinusoidal? ¿Por que? En caso afirmativo, ¿cual essu frecuencia?.

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Solucion:

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1

muestra(n)0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

muestra(n)

x[n]

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1

muestra(n)0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

muestra(n)

x[n]

Fs = 5KHz Fs = 5KHz

Fs = 5KHz Fs = 5KHz

F0 = 500Hz F0 = 2000Hz

F0 = 3000Hz F0 = 4500Hz

Figura: Senal con diferentes frecuencias

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1 De la figura 1 se puede ver que la senal de 500Hz y la de la senal de 4500Hz

son identicas, esto se debe a que la senal de 4500Hz es un alias de la de 500Hz,

lo mismo pasa con las otras dos frecuencias.

2

� � �� �� �� �� ��

��

�

��

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�� ��������

� � �� �� �� ���

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��

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Figura: Senal con F0 = 2KHz a) Fs = 50KHz b)Fs = 25KHz

1 La representacion es la figura 2 a) su frecuencia f0 = 1

25

2 La representacion de la senal y[n] se muestra en la figura 2 b), la senal essinusoidal ya que la frecuencia de muestreo (Fs = 25KHz es mucho mayora la frecuencia de Nyquist, y su frecuencia es f0 = 2

25

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