Solucin a los Ejercicios Propuestos

Instructor: Oscar Yupanqui Huamn

Parte 1: Tringulos Congruentes y Tringulos Similares

1. El permetro de un triangulo ABC es 80 cm. Se tiene otro triangulo MNP cuyos lados son

2, + 3 y 3 + 5. Hallar el valor de m si se sabe que ABC y MNP son congruentes.

Como sabemos, ABC y MNP son tringulos congruentes, por tanto sus lados son iguales. Esto

quiere decir que su permetro tambin va a ser el mismo. Luego, tenemos:

2 + + 3 + 3 + 5 = 80

6 + 8 = 80

6 = 72

= 12

2. Cules de los siguientes tringulos son congruentes?

Para determinar cules de los tringulos mostrados son congruentes buscamos aquellos

tringulos que tengan los mismos ngulos y los mismos lados.

Los tringulos que cumplen estas condiciones son: ACB, DEF y MNO.

3. Los tringulos ABC y DEF mostrados a continuacin son congruentes. Determinar el valor de

DE+EF.

Como sabemos que ABC y DEF son congruentes, entonces buscamos la correspondencia entre

sus respectivos lados y ngulos.

Completamos los ngulos faltantes en cada uno de los tringulos tomando en cuenta que la

suma de los ngulos internos de un triangulo es igual a 180.

DE es el lado opuesto al ngulo de 40 en el triangulo DEF.

AC=9 es el lado opuesto al ngulo de 40 en el triangulo ABC

Por tanto, DE=9

EF es el lado opuesto al ngulo de 60 en el triangulo DEF.

BC=15 es el lado opuesto al ngulo de 60 en el triangulo ABC

Por tanto, EF=15

Nos piden: + = 9 + 15 = 24

4. Si un rbol de 20 metros proyecta una sombra de 48 metros. Qu sombra proyectar un rbol

de 30 metros?

Este problema podemos representarlo de la siguiente manera:

Estos tringulos son semejantes porque tienen la misma forma (esto significa que tienen los

mismos ngulos), lo nico que va a cambiar son los lados. Entonces establecemos la relacin

entre sus lados:

48

20=

30

Despejamos x:

4830

20=

Finalmente, obtenemos:

= 72

20

48 X

30

5. Hallar el valor de x+y:

Los tringulos ABE y CDE tienen los mismos ngulos pero tienen lados diferentes, esto significa

que son semejantes.

El lado AB del triangulo ABE se relaciona con el lado CD del triangulo CDE

El lado BE del triangulo ABE se relaciona con el lado DE del triangulo CDE.

El lado AE del triangulo ABE se relaciona con el lado EC del triangulo CDE.

Para hallar y establecemos la siguiente relacin:

=

9

5=

12

=125

9

=20

3

Para hallar x establecemos la siguiente relacin:

=

9

5=

15

=515

9

=25

3

Recordemos que nos piden + =

+

=

= 15

Parte 2: La circunferencia

1. Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro 5, 6 y radio 3.

Sabemos que la ecuacin de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r est dada por:

+ " = #

Para nuestro caso, , " = 5, 6 y # = 3

Reemplazando en la ecuacin de la circunferencia tenemos:

$ 5% + $ 6% = 3

+ 5 + 6 = 3

2. Hallar la ecuacin de la circunferencia de centro 7, 15 y radio 52.

Como en el ejercicio anterior, para este caso tenemos que , " = 7, 15 y # = 52

Reemplazando en la ecuacin de la circunferencia tenemos:

$ 7% + $ 15% = 52

+ 7 + 15 = 50

3. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a. 1 + 5 = 4

Escribimos la ecuacin en la forma: + " = #

$ 1% + $ 5% = 2

De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en 1, 5 y radio igual a 2.

b. + 12 + 7 = 20

Escribimos la ecuacin en la forma: + " = #

$ 12% + $ 7% = 20

De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en 12, 7 y radio igual a 20.

c. + 2 6 + 6 = 0

Reescribimos la ecuacin 2 + 6 + 6 = 0

Agregamos y quitamos para obtener 2 trinomios cuadrado perfecto, pero teniendo siempre

cuidado de no alterar la ecuacin original:

2 + 1 + 6 + 9 4 = 0

2 + 1 + 6 + 9 = 4

1 + 3 = 2

De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en 1, 3 y radio igual a 2.

d. + 10 = 0

Reescribimos la ecuacin:

+ 10 + 25 25 = 0

+ 10 + 25 = 25

0 + 5 = 5

De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en 0, 5 y radio igual a 5.

4. Probar que la ecuacin + + 4 2 + 7 = 0 no define una circunferencia.

Reescribimos la ecuacin:

+ 4 + 4 + 2 + 1 + 2 = 0

+ 4 + 4 + 2 + 1 + 2 = 0

+ 4 + 4 + 2 + 1 = 2

+ 2 + 1 = 2

Si analizamos la segunda parte de este resultado, para que esta ecuacin defina una

circunferencia se debera de cumplir que # = 2, esto significa que # = 2

Pero sabemos que en el conjunto de los nmeros reales no existe la raz cuadrada de un nmero

negativo, por tanto concluimos que la ecuacin anterior NO define una circunferencia.

5. La rueda de un camin tiene 120 cm de dimetro. Cunto ha recorrido el camin cuando la

rueda ha dado 40 vueltas?

Primero vamos a determinar cunto recorre el camin cuando da una vuelta. Para esto tenemos

que hallar la longitud de la circunferencia de la rueda.

Sabemos que la longitud de la circunferencia est definida como: 2

Como el dimetro es igual a 120 cm, entonces su radio es 60 cm.

Luego: 2&60 = 120& '

El resultado obtenido nos indica que el camin recorre 120& ' cuando da una vuelta.

Si la rueda ha dado 40 vueltas, entonces el camin habr recorrido: 120&40 = 4800& '

Parte 3: rea y permetro de Figuras Compuestas

1. Determinar el permetro de la siguiente figura:

Completamos las medidas faltantes:

Como nos piden hallar el permetro, tenemos que sumar la medida de todos los lados:

28 + 3 + 7 + 15 + 9 + 15 + 12 + 3 = 92

2. Determinar el permetro de la siguiente figura:

Como nos piden hallar el permetro, podemos proyectar los lados:

Y la figura obtenida ser un rectngulo como el que se muestra a continuacin:

Entonces nuestro problema se reduce a encontrar el permetro de este rectngulo, esto es:

223 + 212 = 70 (

3. Considerando que cada casilla tiene un rea de 1(, determinar el rea de la siguiente figura:

Como sabemos que cada casilla tiene un rea de 1(, entonces nuestro problema se reduce a determinar el nmero de casillas que componen la figura.

Se puede ver que la figura est formada por 34 casillas. Por consiguiente el rea de la figura es

igual a 34(

4. Un tablero de ajedrez est formado por ocho casillas en cada fila y otras ocho casillas en cada

columna. Si el lado de cada casilla cuadrada mide 4 cm. Cul es el rea total del tablero?

Determinamos el nmero total de casillas del tablero: 88 = 64

Como el lado de cada casilla mide 4 cm, entonces el rea de cada casilla ser igual a 16 '

Finalmente, multiplicamos el rea de cada casilla por el nmero de casillas:

16 '64 = 1024 '

El rea total del tablero es: 1024 '

5. El rea de un triangulo ABC es de 312 ', su base mide 26 cm y su altura x cm. Hallar el rea

del triangulo DEF si su base mide (2x+8) cm y su altura mide (3x-5) cm.

El rea de un triangulo esta dado por: )*

Reemplazando con los datos del problema tenemos:

26

2= 312

= 24

Para hallar el rea del triangulo DEF necesitamos conocer su base y su altura:

Base: 2x+8=2(24)+8=56 cm

Altura: 3x-5=3(24)-5=67 cm

Finalmente, el rea del triangulo DEF est dado por:

5667

2= 1876 '

6. Un parque tiene la forma de un cuadrado de 22 metros de lado. Al centro del parque existe una

zona circular de 5 metros de radio donde se encuentra una fuente de agua y el resto del parque

est cubierto de csped. Determinar el rea del parque que est cubierto por csped.

El problema consiste en hallar el rea del cuadrado de lado igual a 22 metros y luego restarle el

rea del crculo de 5 metros de radio:

rea del Cuadrado: 22 = 484

rea del Crculo: &5 = 25&

Ahora determinamos el rea del csped:

rea del Csped= rea del Cuadrado-rea del Circulo

rea del Csped=484 25&