sistema de ejercicios para la solución de problemas que
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS
"JOSÉ MARTÍ"
Sistema de ejercicios para la solución de problemas que conducen a ecuaciones en
sexto grado
MATERIAL DOCENTE EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MÁSTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CON MENCIÓN EN EDUCACIÓN PRIMARIA.
Autor: Lic. Guillermo Guillen Leyva. Tutora: MsC. Magdelis Zapata Suárez.
Santa Cruz del Sur Camagüey
2010
SÍNTESIS
Este material docente propuesto para resolver las dificultades en la solución de
problemas en la Escuela Primaria José Oquendo Díaz, contiene variados ejercicios
relacionados con los contenidos de ecuaciones en sexto grado. Para la determinación
del sistema de ejercicios se efectuó una revisión documental y se aplicaron métodos
empíricos como: encuestas, entrevistas, observaciones al proceso docente -
educativo. Estos ejercicios se realizaron tanto en el tiempo de máquina, al concluir el
visionado de las teleclases, como en las actividades de tarea de los alumnos y aporte
de los familiares en la solución de algunos de ellos orientados como olimpiada. La
comparación del estado inicial y final evidencia un ascenso en la preparación de los
alumnos con relación a la solución de problemas y al trabajo independiente, por lo que
el sistema de ejercicios desarrollado favoreció la preparación también de los docentes
para el desarrollo acertado de la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………….. Pág.1
DESARROLLO……………………………………………………………….
Fundamentos teóricos conceptuales acerca de los problemas aritméticos
en el proceso de enseñanza aprendizaje.
Clasificación de los problemas matemáticos. Problemas algebraicos.
La solución de problemas. Consideraciones en el proceso enseñanza -
aprendizaje en la matemática……………………..
Métodos para la solución de problemas aritméticos……………………
La solución de los problemas que conducen a ecuaciones…………...
Tratamiento metodológico de las ecuaciones en sexto grado………..
Análisis de los resultados y diagnóstico inicial………………………..…
Fundamentos teóricos de la propuesta del sistema de ejercicios……
Sistemas de ejercicios. ……………................... …………………….....
Análisis de los resultados finales ……………………………………….…
Validación y evaluación de la aplicación en la práctica…………………
7 22 23 25 29 36 41 45 51 55 57
CONCLUSIONES……………………………………………………………
59
RECOMENDACIONES……………………………………………………...
60
BIBLIOGRAFIAS
ANEXOS
1
INTRODUCCIÓN En el Sistema Nacional de Educación se está llevando a cabo significativos cambios
en el proceso de enseñanza aprendizaje dirigidas en primer orden a elevar el nivel
de los conocimientos de los alumnos, para ello, conocer las habilidades y
potencialidades de los alumnos posibilita al maestro conducir el proceso y
transformar el aprendizaje.
Nuestra Revolución ha puesto todos sus esfuerzos para que se le de cumplimiento
a la finalidad de la educación, para facilitar su logro se ha creado dentro de la
Batalla de Ideas una tercera Revolución Educacional, el propio Fidel con su
extraordinaria visión nos ha definido que”Batalla de Ideas”, no significa solo
principios, teoría, conocimientos, cultura, argumentos, réplicas, destruir mentiras y
sembrar verdades, significa hechos y realizaciones concretas.
La Enseñanza Primaria, en general la educación, tiene como fin lograr la formación
integral de los alumnos: que estudien, que desarrollen el pensamiento lógico que
tenga buena preparación para la defensa; dominio del idioma materno, del lenguaje
matemático y de la historia.
La sociedad actualmente demanda que se instaure un nuevo modelo basado en la
capacidad de producir y utilizar conocimientos. La norma en el tercer milenio será la
de una educación a lo largo de toda la vida que cultive el intelecto, valores y
principios, y que conduzca a modelos mentales tales como el aprendizaje continuo,
el trabajo en equipos y la capacidad de cambio, tomando como guía los cuatros
pilares básicos que constituyen el fundamento de la educación en el siglo XXI.
Estos cuatros pilares básicos determinados por la Organización de Naciones Unidas
para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) y que constituyen una
excelente guía para el perfeccionamiento del proceso de enseñanza- aprendizaje en
los momentos actuales son: aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a vivir
juntos y aprender a ser.
A partir de lo expresado anteriormente, se le concede gran importancia a la
asignatura Matemática como ciencia que tiene la misión de preparar a los alumnos
para la vida, es decir, para enfrentar los retos relacionados con los constantes
cambios científicos y tecnológicos. Es por ello que desde la asignatura se enseña a
pensar, de manera que el estudiante busque las relaciones entre las cosas e
intervenga en ellas de manera creadora y estén en condiciones de emitir juicios y
defender puntos de vista en determinadas situaciones de la vida desde un
adecuado pensamiento y orden lógico.
2
En el aprendizaje de la Matemática los alumnos deben realizar actividades mentales
que exigen mucho de ellos, tal es el caso: formar conceptos y sistematizarlos,
buscar teoremas y demostrarlos, elaborar sucesiones de indicaciones con carácter
algorítmico, realizar construcciones geométricas y resolver problemas entre otras.
Para desarrollar el pensamiento en general, es necesario realizar una constante
actividad intelectual que exija: analizar, sintetizar, generalizar, particularizar,
abstraer y concretar. Estas formas de trabajo y pensamiento matemático requieren
del ejercicio sistemático de estas operaciones; por ello la primaria concede especial
significación al tratamiento de problemas en la enseñanza de la Matemática y
prioriza la capacitación de los estudiantes para resolver problemas, por lo que se
hace necesario analizar de manera especial la forma de guiar a los estudiantes en
la comprensión de textos, organizar su actividad, eliminar la tendencia a la
ejecución y puedan dar una respuesta lógica a lo que se le pide en el problema de
acuerdo a las condiciones que se dan, aspecto aún no resuelto.
La enseñanza de la resolución de problemas debe realizarse como continuación de
los niveles de enseñanza precedentes para que su aprendizaje contribuya a la
formación y desarrollo de capacidades mentales, se estudia en todos los grados de
la Educación General Politécnica y Laboral, por lo que se deben desarrollar
habilidades para garantizar la formación adecuada en grados posteriores.
La enseñanza de los problemas tiene como objetivo general desarrollar el
pensamiento lógico de los estudiantes, por tal razón se requiere que los profesores
de este nivel profundicen en su preparación para estar plenamente capacitados y
pongan todo su empeño en lograr el objetivo de esta área del saber matemático.
Al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática se le han señalado
dificultades producto de que los profesores continúan utilizando la enseñanza
tradicional, como se ha podido apreciar en los controles realizados por diferentes
instancias a las actividades docentes, donde el desempeño intelectual de los
estudiantes para resolver problemas es limitado y no rebasa el plano reproductivo;
esto ha sido plasmado en investigaciones relacionadas con respecto al desempeño
intelectual de los alumnos dadas a conocer por los autores cubanos entre los que
señalamos a Amelia Amador, Pilar Rico, Margarita Silvestre, Orlando Valera entre
otros.
Pérez de Landazábal plantea que: “Los estudiantes aplican los principios lógicos
solamente en problemas similares a los utilizados durante el entrenamiento, pero
3
esas - capacidades desaparecen con el tiempo o no se transfieren a problemas de
diferente naturaleza” (Pérez de Landazábal, M., 1993, p.8).
Las investigaciones realizadas a escala nacional e internacional han incursionado
en el componente matemático referido a la resolución de problemas, evidenciando
que la escuela no realiza, de manera óptima, la función de preparar al alumno para
que se pueda enfrentar y solucionar problemas independientemente tanto dentro
como fuera de ella.
En nuestro país muchos profesores e investigadores se han dedicado al estudio de
la resolución de problemas matemáticos, dentro de los cuales es meritorio señalar
algunos como: Luís Campistrous Pérez y Celia Rizo Cabrera los que han
profundizado en lo relacionado con procedimientos para la resolución de clases de
problemas (problemas aritméticos). Alberto Labarrere Sarduy ha trabajado durante
muchos años la resolución de problemas matemáticos, abordándolos desde el
punto de vista psicológico y ha profundizado en la función de la meta cognición en
la resolución de problemas matemáticos. Paúl Torres Fernández se ha dedicado a
profundizar en el aspecto de los métodos problémicos en la enseñanza de la
Matemática. Alfredo Rebollar ha trabajado lo relativo a la enseñanza de clases de
problemas en la enseñanza de la Matemática. Raúl Delgado Rubí considera la
resolución de problemas como una habilidad matemática.
Por lo que en nuestra provincia, el trabajo con los problemas ha sido objeto de
análisis en varias investigaciones en tesis de opción al título académico de Máster,
entre las que citamos: la MSc Caridad Leiva García “Folleto de ejercicios para
comprender el enunciado de los problemas aritméticos y algebraicos en sexto
grado” (2008), la MSc Irma Valdés “Sistema de tareas para la comprensión de
problemas aritméticos” (2008), el MSc Roberto Hidalgo Mojena “Folleto de
problemas matemáticos en cuarto grado” (2008) la MSc María Aurelia Nápoles
Duruthy “Sistema de ejercicios sobre la habilidad traducir del lenguaje común al
algebraico y viceversa para los estudiantes de séptimo grado” entre otras; sin
embargo, esta área del conocimiento de la Matemática, resolver problemas, todavía
confronta serias insuficiencias en la escuela primaria “José Oquendo Díaz” las
cuales citamos:
� Insuficiente lenguaje y simbología cojuntista relacionada con las ecuaciones.
� Pobre traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa y su utilización en
la interpretación y modelación de ejercicios con textos y problemas.
4
� Pobre solución de ejercicios con textos y problemas utilizando una vía
algebraica.
� Exponen el resultado de forma mecánica sin transitar por los pasos lógicos del
mismo.
Existe consenso en que estas insuficiencias obedecen a un conjunto de factores
entre los cuales pueden citarse entre otras:
• Insuficiente preparación de los maestros y profesores para acometer con éxito el
tratamiento de los problemas.
• Poco trabajo con los problemas desde las otras asignaturas del plan de estudio.
• Dificultades al establecer la relación entre las operaciones y su significado práctico
por presentar escaso dominio de sinónimos y poca inferencia de significados.
• La incapacidad para aplicar conceptos y modelos a situaciones dadas de traducir
un problema de la realidad a uno matemático, en definitiva de poner los
conocimientos y habilidades en acción.
Una de sus causas radica fundamentalmente en la acumulación de insuficiencias en
el resultado del aprendizaje de la resolución de problemas que se incrementa de
grado en grado y que se manifiesta en el limitado desempeño de los alumnos en la
asimilación y uso de los conocimientos que, en general, son débiles y no rebasan el
nivel reproductivo, lo que no les permite utilizar lo aprendido en nuevas situaciones;
por otra parte, la estimulación al desarrollo intelectual y la formación de habilidades
para aprender a aprender se trabaja de forma limitada, en ocasiones de manera
espontánea, y las acciones educativas para la formación de cualidades y valores en
los estudiantes, no se asocian suficientemente al proceso de enseñanza-
aprendizaje, desde la propia clase, al concebir tareas docentes que en su gran
mayoría son reproductivas, sin tener significado para el alumno, lo que influye en
que no se logre el principal objetivo de esta asignatura.
Las reflexiones anteriores han servido de base para plantear como Problema científico: ¿Cómo contribuir a la solución de problemas que conducen a
ecuaciones en los alumnos de 6to grado de la escuela primaria José Oquendo
Díaz? Se determinó, entonces, circunscribir nuestro objeto de investigación a: La
solución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática
en 6to grado. Se ha definido como campo de acción: La dirección del proceso de
solución de problemas en la enseñanza-aprendizaje de la matemática.
5
En correspondencia con lo anterior se formula el siguiente objetivo: Elaborar un
sistema de ejercicios que conducen a ecuaciones en los alumnos de sexto grado de
la escuela primaria “José Oquendo Díaz”.
Lograr el objetivo de este trabajo presupone dar respuestas a las siguientes
preguntas científicas:
1. ¿Cuáles son los fundamentos teóricos y metodológicos que sustentan el proceso
de resolución de los problemas matemáticos y en particular los que conducen a
ecuaciones?
2. ¿Cuál es el estado actual que presentan los alumnos de sexto grado de la
escuela primaria “José Oquendo Díaz” para la resolución de problemas que
conducen a ecuaciones?
3. ¿Cómo elaborar un sistema de ejercicios para la resolución de problemas que
conducen a ecuaciones en los alumnos de sexto grado de la escuela primaria “José
Oquendo Díaz”?
4. ¿Cómo aplicarlo y validarlo en la práctica escolar?
Esta investigación tiene como idea a defender: Con la elaboración de un sistema
de ejercicios relacionados con las ecuaciones, se logran mejores resultados en la
resolución de problemas por los alumnos de sexto grado.
Para dar cumplimiento al objetivo planteado y solucionar las preguntas científicas,
se ejecutaron las siguientes tareas científicas: 1. Determinación de los elementos teóricos-metodológicos que sustentan el
proceso de resolución de los problemas matemáticos y en particular los que
conducen a ecuaciones.
2. Diagnóstico y caracterización del estado actual que presentan los alumnos del
sexto grado de la escuela primaria “José Oquendo Díaz” para la resolución de
problemas que conducen a ecuaciones.
3. Elaboración del sistema de ejercicios para la resolución de problemas que
conducen a ecuaciones en los alumnos de sexto grado de la escuela primaria “José
Oquendo Díaz”. 4. Valoración de la efectividad del sistema de ejercicios en la práctica escolar. Método y Técnicas empleados en la investigación.
El aseguramiento metodológico está dado, en primer lugar, por el empleo de los
métodos teóricos, tales como: Histórico - lógico, Análisis – Síntesis y el Enfoque
sistémico.
Se utilizaron, además, los métodos empíricos que se relacionan a continuación: la
6
observación, encuesta a los estudiantes y la prueba pedagógica.
Métodos Matemáticos Estadísticos: Para el procesamiento de la información
obtenida a través de los instrumentos del nivel empírico aplicados a la muestra y a
las unidades de observación, se utilizó el análisis porcentual y la Estadística
descriptiva para expresar a través de tablas y gráficos los resultados obtenidos en
la constatación del problema y en la medición del impacto.
La población está constituida por 15 escolares de sexto grado de la escuela
primaria José Oquendo Díaz. La muestra intencional la forman 15 alumnos de
sexto grado, los que representan el 100% de la población.
El aporte práctico está dado por la contribución que brinda el sistema de
problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática de sexto
grado para contribuir al desarrollo de la habilidad resolver problemas que conducen
a ecuaciones en esta área del saber matemático del sexto grado de escuela
primaria “José Oquendo Díaz”.
La novedad científica radica en que por primera vez se pone a disposición de los
maestros de la escuela primaria “José Oquendo Díaz” un sistema de ejercicios que
conducen a ecuaciones para contribuir al desarrollo de esta habilidad, tiene en
cuenta las características de los alumnos, constituye un elemento muy importante
necesario para lograr el desarrollo intelectual, permitiendo su formación integral en
correspondencia con el nuevo proyecto de modelo de escuela primaria para el
desarrollo integral y enriquece el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática del sexto grado.
El material docente está estructurado por introducción, desarrollo, conclusiones,
recomendaciones, bibliografía y anexos.
7
DESARROLLO Fundamentos teóricos conceptuales acerca de los problemas matemáticos en el proceso de enseñanza aprendizaje. El trabajo con problemas matemáticos en el proceso de enseñanza aprendizaje en
educación primaria, debe favorecer el desarrollo en los escolares de tres
capacidades básicas: la identificación, la formulación y la resolución de ellos. Desde
el punto de vista epistemológico e histórico, estas tres capacidades han
caracterizado el quehacer matemático y desde el pedagógico la identificación y la
formulación son medios fundamentales para lograr el fin esencial que se persigue
en la escuela, es decir, que los alumnos puedan resolverlos.
Desde la década de los setenta ha sido una tendencia en la enseñanza de la
Matemática el fortalecer la habilidad para plantear y resolver problemas, antecedido
de un fuerte movimiento de innovación surgido en los años 60, con la introducción
de la Matemática moderna que ubicó en un primer plano el estudio de estructuras
algebraicas abstractas, lo que acentuó los aspectos lógicos sobre los aspectos
prácticos, los ejercicios formales en detrimento de los problemas prácticos, lo que
produjo un crecimiento en el estudio de las nociones algebraicas y de la teoría de
conjuntos en deterioro de la geometría elemental y la intuición espacial.
El objeto de la actividad matemática en esta etapa estuvo más encaminado a la
comprensión de las estructuras matemáticas, el rigor en la fundamentación de
proposiciones y en menor medida, a la resolución de problemas, lo que tuvo sus
antecedentes en los auges del formalismo que presenta a la Matemática como un
cuerpo estructurado de conocimientos que tiene como criterio de validación de los
resultados el marco axiomático deductivo.
Al trabajar exclusivamente con las formas y las relaciones entre los objetos
matemáticos, el formalismo se inclina a ignorar el significado de esos objetos y, si
bien se han reconocido los aportes en el desarrollo de la Ciencia Matemática en
este siglo a partir de esta concepción, sus consecuencias, en la práctica educativa,
no se han correspondido, según los estudios realizados por autores como M. De
Guzmán, L. Moreno, G. Waldegg, A. Schoenfeld y otros.
Todos aquellos que han tenido la experiencia de enseñar Matemática y la mayoría
de aquellos que han tratado de aprenderla, deben coincidir seguramente en que
resolver problemas en esta asignatura, es una traba para la mayoría de los
alumnos. De ahí la necesidad de ocuparse de la Didáctica para el tratamiento de los
mismos.
8
La enseñanza de esta ciencia afecta a millones de niños, jóvenes y adolescentes.
Este carácter eminentemente social y cultural, junto a la complejidad y dificultades
detectadas en el aprendizaje de la misma, han contribuido a despertar la
preocupación por el estudio de los procesos de comunicación, transmisión y
comprensión de la Matemática y a interesar al respecto, a una amplia comunidad
científica, que viene investigando desde hace mucho tiempo en este campo.
En diferentes épocas se ha planteado que “hacer matemáticas es por excelencia
resolver problemas”, con lo cual se ha tratado de destacar la esencia del quehacer
matemático. Sin embargo, según Pilar Rico (1988), no es hasta mediados de la
década de los 70 cuando, coincidiendo con la búsqueda de una nueva visión global
para el curriculum de Matemática en la enseñanza obligatoria, se plantea la
resolución de problemas como un campo autónomo sobre el cual trabajar e
investigar sistemáticamente.
En lo referido a la resolución de problemas, según cita de M. del P. Pérez, (1993),
autores como Schoenfeld (1983), Stanic y Kilpatrick (1988) o Wuebster (1979) han
llegado a recopilar hasta 14 significados diferentes de dicho término. Por su parte
Schoenfeld (1985), describe los cuatro enfoques que, en su opinión, han seguido
los trabajos sobre resolución de problemas a nivel internacional:
• Problemas presentados en forma escrita, a menudo problemas muy sencillos pero
que colocan la Matemática en el contexto del “mundo real”.
• Matemáticas aplicadas o modelos matemáticos, es decir, el uso de matemáticas
sofisticadas para tratar los problemas que reflejan el “mundo real”.
• Estudio de los procesos cognitivos de la mente, consistente en intentos de
exploración detallada de aspectos del pensamiento matemático en relación con
problemas más o menos complejos.
• Determinación y enseñanza de los tipos de habilidades requeridas para resolver
problemas matemáticos complejos. Enfoque con base, en gran medida, en la obra
de Polya, G. (1945).
Dentro de estos cuatro enfoques de la resolución de problemas, la aportada por
Schoenfeld, A. (1985), es decir, el uso de problemas o proyectos difíciles por medio
de los cuáles los alumnos aprenden a pensar matemáticamente.
Entendiendo la calificación de “difícil” como una dificultad intelectual para el
resolutor (persona, en este caso el alumno, enfrascado en la tarea de resolver un
determinado problema), es decir, como una situación para la cual éste no conoce un
procedimiento que lo lleve directamente a la solución. De esto se desprende que la
9
dificultad de un problema es relativa pues depende de los conocimientos y
habilidades que posea el resolutor.
De la misma forma, en esta década de los 80, se destacan los trabajos del profesor
Allan Schoenfeld, quien estudia y critica el método heurístico de G. Polya,
perfeccionándolo en buena medida, al derivar subestrategias más asequibles al
trabajo con los alumnos. Este autor, que ha develado cuatro categorías del
conocimiento y comportamiento necesarias para caracterizar adecuadamente las
formas de solucionar problemas, publica en 1985 su obra más importante,
“Mathematical Problem Solving”. (Schonefeld, A.1985.p.7).
En esta etapa también se dan a conocer obras relevantes en la temática, de autores
de la antigua Unión Soviética, ejemplo de ello son L. Fridman y E. Turetsk, quienes
en 1989 publican su libro “Como aprender a resolver problemas” en el cual exponen
elementos teóricos importantes sobre los problemas y su clasificación,
desarrollando algunas estrategias de resolución.
Ya en los años 90 la resolución de problemas ha pasado a ser tema central de
debate en Congresos, Simposios y reuniones entre educadores matemáticos;
aparece continuamente en artículos, memorias y libros relacionados con el tema; es
el motivo de un trabajo sistemático para la puesta en marcha y desarrollo de
proyectos y centros de investigación en muchos países, llegando a constituirse casi
en una disciplina autónoma dentro de la Educación Matemática. .
En Cuba se han realizado algunas investigaciones en la temática, en este sentido
cabe destacar las dirigidas por la Dra. H. Hernández, que ha trabajado en el nivel
superior fundamentalmente; las que ha llevado a cabo el Dr. A. Labarrere (1988),
en el nivel de enseñanza primario.
En cuanto a las funciones de la resolución de problemas en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática, el autor de esta investigación coincide
con Maura Blanco Hernández (1980) cuando plantea que son tres las que se le
atribuyen: objetivo, proceso y destreza básica.
La resolución de problemas es un objetivo general en la enseñanza de la
Matemática, ya que ésta se justifica por su aplicación y utilidad en la vida real. Es un
proceso del pensamiento, pues al resolver un problema se aplican conocimientos
previos a situaciones nuevas o poco conocidas y se intenta reorganizar datos y
conocimientos previos en una nueva estructura mediante un proceso secuencial; en
este sentido son tan importantes los procedimientos y métodos empleados como el
resultado final. Por último, es una destreza básica cuando se consideran los
10
contenidos específicos, los tipos de problemas y sus métodos de solución, de este
modo se pueden organizar el trabajo escolar de enseñanza de conceptos y
aprendizaje de destrezas.
Dentro de esta última función, y con el objetivo de promover la formación de ciertas
habilidades inherentes al quehacer matemático, que facilitasen la resolución de
problemas de diferente índole, surge el Sistema de Habilidades Matemáticas. Dicho
sistema tuvo su origen en los trabajos de la doctora Hernández, H. (1993), quien
tomando como base la teoría psicológica de la actividad, expuso un sistema básico
de habilidades matemáticas para los niveles secundario y terciario de la educación,
sobre la base del análisis de las tareas matemáticas que se ejecutan en esos
niveles.
El sistema en un principio fue compuesto por las habilidades básicas: interpretar,
identificar, recodificar, calcular, algoritmizar, graficar, definir y demostrar
(Hernández, H., 1984); las cuales fueron empleadas como guía en la elaboración de
programas de asignaturas y en la labor formativa realizada por los profesores. Al
resultar, más tarde, insuficientes para el trabajo de formación de los estudiantes; se
continúa profundizando en esta dirección por otros investigadores, ampliándose
dicho sistema con otras habilidades como: modelar Rodríguez, T. (1991),
fundamentar Valverde, L, (1990), comparar Delgado, R, (1995), controlar,
Hernández, H (1993.), resolver, aproximar y optimizar Delgado, R. (1999) y por
último, representar Alonso, I.(2001), pasando a considerarse éste como Sistema de
Habilidades Generales Matemáticas, contentivo del núcleo básico que le dio origen.
Resumiendo, sobre la base de lo planteado por Santos Trigo (1994), las tendencias
que han predominado en el enfoque de la enseñanza de la Matemática y la
resolución de problemas incluyen:
• La existencia de un apartado, identificado al final de un tema o asignatura como
“resolución de problemas” y, en la cual se discuten de manera explícita algunas
estrategias y su papel en la resolución de problemas.
• El uso de problemas seleccionados para aplicar los contenidos, después que
los mismos han sido presentados de forma abstracta a los estudiantes. Mediante
estos problemas se discuten los pasos identificados en el modelo clásico de G.
Polya. Frecuentemente, el proceso de seguir este modelo se vuelve rígido y
rutinario para el estudiante. En ocasiones se le obliga a seguir las fases cuando
puede resolver el problema directamente.
11
• El inicio del estudio de un determinado contenido matemático a través de la
resolución de algún problema, de donde la solución del mismo justifica la necesidad
de estudiar dicho contenido.
• La resolución de problemas presentada, a través de todo el curso, como un arte
donde hay lugar para discutir una variedad de problemas, exponer ideas, hacer
conjeturas, usar ejemplos y contraejemplos y proponer diversos métodos para
resolver los problemas.
En esta dirección, se coincide con lo planteado por Kilpatric (1998), que permite
caracterizar el uso de la resolución de problemas, como vía para enseñar la
Matemática en tres direcciones:
• Análisis de problemas como vehículo para lograr algunas metas curriculares.
Metas que pueden incluir aspectos relacionados con la motivación, recreación,
justificación o práctica (resolución de problemas como contexto).
• Resolución de problemas considerada como una de las tantas habilidades que se
debe enseñar en el currículo.
• Resolución de problemas vista como un arte en el sentido de simular la actividad
matemática dentro del aula. Lo que Schoenfeld (1985) identifica como el desarrollo
de un “microcosmos matemático” en el aula. La resolución de problemas promueve
un aprendizaje desarrollador, motivo por el cual ha tomado un gran auge en los
últimos tiempos, creciendo su inclusión en planes de estudio y constituyéndose casi
en una disciplina autónoma dentro de la Educación Matemática.
Un análisis histórico del desarrollo de la resolución de problemas permite
caracterizar la misma como una vía eficaz para la enseñanza de la Matemática; de
ahí el interés cada vez más creciente de didáctas e investigadores en el estudio y
desarrollo de la resolución de problemas en sus tres funciones fundamentales,
como objeto, método y destreza básica; aportando diferentes conceptos,
paradigmas y modelos que permiten caracterizar didácticamente este complejo e
importante proceso.
Es imprescindible para este trabajo buscar una definición que aclare el significado
de la expresión problema, puesto que a partir de su uso generalizado es cuando
comienzan a surgir contradicciones acerca de lo que los diferentes autores quieren
significar cuando la usan. Partamos para el análisis del significado de la expresión
problema, de su uso en el lenguaje común, en su más amplia acepción, se utiliza
para expresar aquello en lo que se expone una situación de la cual se busca un
resultado a partir de ciertos datos.
12
Problema: Según los diccionarios “Aristos” y “Cervantes”, coinciden
respectivamente y se plantea:
• Cuestión o proposición dudosa que se trata de resolver.
• Proposición encaminada a averiguar el modo de obtener un resultado cuando se
conocen ciertos datos.
• Cuestión que se trata de resolver por procedimientos científicos,
• Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado.
Pero cuando se habla de problemas, para nosotros los dedicados a la enseñanza
de las Matemáticas, encierra un significado más amplio; por lo tanto si pretendemos
realizar un análisis profundo de la definición de problema, debemos investigar lo
que se plantea desde la visión psicopedagógica y desde el punto de vista de la
Didáctica de la Matemática. Se hará el análisis basado en las palabras de
Hadamard cuando planteó:
“... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicología y Matemática, y requerirá, ser
tratada adecuadamente en ese orden, por ambos, tanto por el Psicólogo como por
el matemático. Por la falta de esta composición, el asunto ha sido investigado por
los matemáticos por un lado y por los psicólogos por el otro...” (Hadamard, J. 1945,
p. 1).
Desde el punto de vista de la Psicología, se estudiaron las definiciones, a nuestro
juicio, más representativas. Cabe mencionar las dadas por Rubinstein (1965),
Leontiev (1979) y González (1995). Del análisis de las definiciones dadas por estos
psicólogos podemos hacer notar dos características comunes:
En todo verdadero problema el sujeto desconoce la vía de solución y que frente a
él, adopta un carácter activo.
Dentro del campo de la Didáctica de la Matemática existe diversidad de criterios en
relación con lo que es un problema, al aparecer, en muchos casos, mezclado con el
término de ejercicio y tarea. En tal sentido, para muchos autores los mismos se
solapan. Investigaciones en este campo han puesto de relieve que los maestros y
profesores identifican el concepto de problema con los de ejercicio y tarea, a la vez
que confunden el problema en la enseñanza con el significado general que se le da
al mismo.
Estas deficiencias, en lo fundamental, han sido arrastradas debido a la mala
interpretación que tuvo la enseñanza problémica, en especial sus conceptos en la
escuela y algunos criterios desarrollados e introducidos en Cuba en la década de
13
los ochenta por investigadores de la antigua República Democrática Alemana
(RDA), tales como: situación problémica, método heurístico, etcétera.
Para autores como Ballester (1992):
“Un ejercicio es una exigencia que propicia la realización de acciones, solución de
situaciones, deducción de relaciones, cálculo, etcétera. De cada acción debe
precisarse el objetivo que nos mueve a transformar la premisa para obtener la tesis;
el contenido que comprenden los tipos de acciones (identificar, comparar, clasificar,
fundamentar etcétera), el objeto de las acciones (conceptos, proposiciones,
procedimientos algorítmicos), la correspondencia entre situaciones
extramatemáticas y matemáticas, los procedimientos heurísticos y los medios
heurísticos auxiliares.” (Ballester, S. y otros. 1992, p. 406).
La escuela de la antigua RDA y en especial Jungk (1985) elaboró una clasificación
de los ejercicios tomando como base el grado de abstracción en el reflejo de los
elementos y relaciones, así como el tipo de reflejo que se realiza. Como concepto
superior tomó los ejercicios matemáticos planteados a los alumnos; a este se le
subdividen dos conceptos subordinados: ejercicios de aplicación (los que tienen su
origen en la práctica) y “ejercicios construidos” (aquellos que se conciben con fines
didácticos; o sea para ejercitar, profundizar, aplicar, asegurar las condiciones
previas, entre otras). Los ejercicios construidos sufren a su vez otra división. Por
una parte aparecen los ejercicios formales dentro de ellos cabe mencionar: resolver
una ecuación, etcétera. Por otra parte aparecen los ejercicios con textos
conformados por aquellos cuyo texto es puramente matemático o bien se relaciona
con la práctica.
En relación con esta proposición el propio autor señala que las fronteras existentes
entre los distintos grupos son movibles; en este sentido, pensamos que los
ejercicios con textos matemáticos y los de textos relacionados con la práctica no
son conceptos excluyentes, ya que los primeros son las bases de los segundos y en
ambos casos se necesita encontrar el modelo matemático para abordar su solución.
Pensamos que no se debe asumir de forma absoluta la identidad entre los ejercicios
con texto y los de aplicación como problemas, puesto que aparecen en la
bibliografía ejercicios con texto cuyos objetivos están en función de desarrollar una
determinada habilidad o desarrollar un determinado algoritmo; en este sentido no
coincidimos con la escuela alemana.
Existen otros autores de relativa importancia dentro de este campo que denominan
ejercicios: aquellas tareas que pretenden desarrollar algún tipo de algoritmo, de
14
ellos cabe mencionar: Carreras (1998), Borasi (1986), aunque el mismo no se
puede identificar con la tarea, puesto que en la vida hay un sin número de tareas
que para su solución se requiere solo de una actividad mecánica; no
comprometiendo a la persona con la actividad y por ende no logrando ningún
desarrollo en la personalidad del mismo.
Este último relaciona problemas con texto a los textos formulados con precisión,
donde aparecen todos los datos necesarios para obtener la solución. También
trabaja los problemas para el entretenimiento y las pruebas de conjeturas
refiriéndose a la demostración de teoremas o de una cierta propiedad. Uno de los
problemas más serios a nuestro juicio es que no queda claro la base para la división
de los conceptos.
En Cuba, en los trabajos de M. González, aparece una definición de problema
donde enfatiza fundamentalmente en la parte cuantitativa del mismo, planteando
que: “problema es toda proposición (generalmente de carácter práctico) en que se
pide la determinación de ciertas cantidades (numéricas, geométricas, físicas,
etcétera) mediante las relaciones que existen entre ellas y otras conocidas”
(González, M. 1968, p. 365).
Para Kantowski un problema “es una situación que difiere de un ejercicio en que el
resolutor de problemas no tiene un proceso algorítmico que lo conducirá con
certeza, a la solución”. (Kantowski, M. 1981, p. 111).
Para los doctores L. Campistrous y C. Rizo,(1996) relacionados también con la
enseñanza de la resolución de problemas, en “Aprender a resolver problemas
aritméticos”, plantea que en la resolución de problemas hay al menos dos
condiciones que son necesarias: la vía tiene que ser desconocida y el individuo
tiene que hacer las transformaciones, es decir, quiere resolver el problema, y define
problema como “Toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una
exigencia que obliga a transformarla ¨. La vía para pasar de la situación o
planteamiento inicial a la nueva situación exigida, tiene que ser desconocida;
cuando es conocida deja de ser un problema. ¨ A partir del análisis de estas
definiciones el autor asume esta última para este trabajo investigativo porque
resume de una forma breve y concisa las características generales de un problema
matemático para la enseñanza primaria.
Desde el punto de vista didáctico, la anterior definición es muy importante, pues en
la selección de los problemas a proponer a un grupo de estudiantes hay que tener
en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los conocimientos que la
15
persona requiere para su solución y las motivaciones para realizarla. En ambos
casos, lo antes planteado significa que lo que puede ser un problema para una
persona puede no serlo para otra, o bien porque ya conozca la vía de solución o
porque no esté interesado en resolverlo.
Otra definición que aparece como paradigma en un conjunto de investigaciones
sobre el campo de la resolución de problemas, es la dada por Palacios y Zambrano
que plantea: “El problema puede ser definido como cualquier situación, que produce
por un lado un cierto grado de incertidumbre y, por otro lado, una conducta tendente
a la búsqueda de su solución”. (Palacios, C. y Zambrano, E. 1993, p. 17).
Aunque en la definición anterior y en la dada por Campistrous y Rizo (1996), se
observa una cierta relación en el significado que se le atribuye a los términos
utilizados, entendemos que la de estos últimos autores está más acabada, pues
explican de una manera más directa los elementos esenciales de la definición.
En este mismo sentido Labarrere ha señalado que “... un problema, es determinada
situación en la cual existen nexos, relaciones, cualidades de y entre objetos que no
son accesibles de forma directa e indirectamente a la persona; (...) es toda relación
en la cual hay algo oculto para el sujeto, que este se esfuerza por hallar”.
(Labarrere, A. F.1996, p.6).
Al analizar estas definiciones encontramos elementos que son de suma importancia
en nuestro propósito de encontrar una caracterización de problema escolar que nos
permita poder acceder con mayor precisión a la elaboración de los problemas y que
les permita a los docentes reconocer cuando están realmente en presencia de ellos.
Estos elementos son:
La vía de pasar de la situación inicial a la nueva situación debe de ser desconocida;
estableciendo diferencias esenciales entre ejercicio y problema.
Que la persona debe querer realizar esa transformación; poniendo bien en claro que
lo que puede ser un problema para uno puede no serlo para otro.
A modo de conclusión de esta parte, podemos plantear a raíz del análisis realizado
que aunque existe una gran diversidad de criterios, los autores de manera general
no se contradicen, situación esta que permitió dar una mayor precisión a los rasgos
de la caracterización:
• Debe existir una situación inicial y una situación final.
• La vía de pasar de una situación a otra debe de ser desconocida o que no se
pueda acceder a ella de forma inmediata.
• Debe existir el alumno que quiera resolverlo.
16
• Que el alumno disponga de los elementos necesarios para realizar la
transformación, Además desde posiciones psicopedagógicas se tiene presente, en
primer lugar, el carácter activo del alumno frente al problema y su carácter relativo.
Estos dos aspectos son muy importantes para la finalidad que se persigue, ya que
establece la necesidad de tener en cuenta los conocimientos y la naturaleza de la
actividad que realiza el alumno. Es bueno aclarar que para presentar un problema
que resulte significativo para el alumno, debemos cerciorarnos que esté a su
alcance en relación con el nivel de conocimientos, habilidades que este posee.
La dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje para capacitar a los alumnos en
la resolución de problemas, no es única. “...existen tantas maneras de enseñar
eficazmente a pensar matemáticamente cómo existen profesores de talento.”
(Schoenfeld, 1992, p.13).
Numerosas investigaciones demuestran que existen muchas dificultades en los
alumnos de la enseñanza primaria para resolver problemas en general, al
profundizar en las causas se pudo comprobar que existen insuficiencias con la
metodología de su tratamiento.
El Dr. Luís Campistrous plantea que los procedimientos metodológicos que se dan,
están dirigidos a acciones que debe realizar el maestro, es decir, es una
metodología de enseñanza y no está dirigida a la búsqueda de procedimientos de
actuación para el alumno. (Campistrous, 1996, p.X). Aclara que esto significa que:
• La estimulación es indirecta, mediatizada o mezclada con la acción del maestro,
que por lo general enseña cómo se encuentra la solución del problema específico.
• No se logran formas de actuación generalizadas en el alumno que son muy
necesarias, pues representan un desarrollo en sí mismas y son aplicables, en
general, para la vida.
• Los problemas se utilizan en función de desarrollar habilidades de cálculo y no
como objeto de enseñanza en sí mismos. Por otra parte, no enseñan técnicas de
trabajo que pueden ser muy útiles en la resolución.
• Los parámetros de dificultad establecidos para los problemas son, por lo general,
poco precisos, por lo que la graduación no es buena y no siempre posibilita, por
ejemplo, reconocer analogías y establecer relaciones entre problemas ya resueltos.
• En el caso particular de los problemas aritméticos hay que añadir que no se
trabajan adecuadamente los significados prácticos de las operaciones aritméticas y
en consecuencia, se abusa de la búsqueda de palabras claves en los textos de los
problemas, logrando con esto que los alumnos traten mediante ellas de “adivinar”
17
qué operación u operaciones deben realizar y cometan muchos errores, unido al
poco desarrollo que esta práctica provoca.
En el curso de Matemática los estudiantes se enfrentan sistemáticamente a
ejercicios y problemas que deben aprender a resolver con un mínimo de esfuerzo y
la máxima probabilidad de éxitos, con un uso racional de su labor intelectual.
(Ballester, 1992, p.34)
La enseñanza de la Matemática debe preparar a los alumnos para trabajar de modo
racional, planificado y orientado hacia el cumplimiento de objetivos específicos. Un
trabajo de este tipo tiene como componentes esenciales:
• El conocimiento seguro de conceptos, teoremas y procedimientos de trabajo
matemáticos.
• El empleo razonable de medios auxiliares de cálculo.
• El dominio de los procedimientos de solución y formas de trabajo matemáticos.
• El dominio de acciones para el control del proceso de solución.
El logro de los objetivos de la asignatura Matemática exige que se estimule la
actividad cognoscitiva del alumno en la búsqueda de los nuevos conocimientos, y
en la resolución de problemas. Para ello se requiere la selección de métodos y
procedimientos que propicien un nivel de asimilación productivo y la adecuada
dirección de la actividad de los alumnos en el proceso.
Una vía para lograr este propósito lo constituye el trabajo heurístico de los alumnos,
lo que requiere de la preparación pedagógica adecuada de los profesores para
dirigirlo, aspecto clave para lograr adiestrar a los alumnos en la aplicación
consciente de los procedimientos y medios auxiliares heurísticos.
La heurística, como disciplina científica, es aplicable a cualquier ciencia e incluye la
elaboración de principios, reglas, estrategias y programas que faciliten la búsqueda
de vías de solución a problemas, o sea, para resolver tareas de cualquier tipo para
las que no se cuente con un algoritmo de solución.
Si bien el método heurístico de enseñanza, ha sido utilizado desde la antigüedad, y
es conocido hoy en día por gran parte de los profesores de Matemática, queremos
destacar que existen diferencias entre método heurístico y enseñanza heurística, lo
que aclaramos a continuación.
Por método heurístico entendemos el método de enseñanza mediante el cual se les
plantean a los alumnos preguntas, sugerencias, indicaciones, a modo de impulsos
que facilitan la búsqueda independiente de problemas y de soluciones a estos.
18
“Los procedimientos heurísticos son formas de trabajo y de pensamientos que
apoyan la realización consciente de actividades mentales exigentes.” (Müller, 1987,
p.1) La introducción de estos procedimientos en la clase y su aplicación por parte
de los alumnos propicia la asimilación de los conocimientos, su capacidad para
resolver problemas para los cuales no existen procedimientos algorítmicos y el
desarrollo del pensamiento creador.
En la escuela es imposible tratar tan detalladamente todos los problemas, pero si
debemos lograr que los alumnos se apropien de un grupo de habilidades como:
Localizar datos (observar, leer, preguntar, etc.). Interpretar la información
(comprender e interpretar tablas, gráficos). Concretar y aplicar (planificar,
argumentar, obtener, etc.). Recomponer (elaborar un modelo nuevo).Inventar, crear.
Estas habilidades se pueden lograr planteando a los alumnos según sus
posibilidades, tareas exigentes e interesantes, formulando impulsos precisos,
exigentes y orientadores, que estimulen la búsqueda (tener en cuenta el principio de
las exigencias decrecientes). Estos impulsos pueden ser elaborados en forma de
preguntas, sugerencias u órdenes, de tal manera que cada vez sean menos, hasta
lograr una independencia total en el trabajo de resolución de problemas por parte
de los alumnos. Cuando esto se logra los alumnos han adquirido una instrucción
heurística, que es la máxima aspiración.
En la enseñanza de la resolución de problemas se ha comprobado que inciden
varios elementos, tales como: el papel del maestro, características de los ejercicios
seleccionados, los métodos de enseñanza utilizados, las formas de organización de
la enseñanza, entre otros. Analizaremos algunos de ellos.
El maestro juega un papel como modelo de comportamiento, pues al enseñar tiene
que concientizar en los alumnos las técnicas necesarias para pensar
matemáticamente, debe exponer los pasos que ha ejecutado al pensar, para que
los alumnos puedan seguirlo.
Existen tres maneras parecidas de hacer esto:
• Siguiendo el proceso paso a paso (incluso cuando se sabe la respuesta), en este
caso se hace necesario considerar dos momentos: la comprensión del problema y
detenerse a reflexionar un tiempo, destacar los procesos de pensamiento que nos
llevan al resultado, aunque el razonamiento parezca correcto.
• Destacar cómo la estrategia empleada puede generalizarse y ser útil en otros
casos. El aprender a usarlas ayuda a los alumnos a mejorar su capacidad de
resolver problemas.
19
• Resolver el problema con el alumno, utilizando su idea, es decir, que la clase
conjuntamente solucione el problema, con el maestro como "moderador". El
maestro no está para dar soluciones, sino para ayudar a los alumnos a utilizar lo
mejor posible los recursos de que disponen. (Schenfold1992, p.15)
El maestro aprueba, resuelve problemas "sin preparación previa." Seguir un curso
para aprender a resolver problemas es muy duro para los alumnos, ya que no
existen "reglas"; justo cuando piensan que tienen las cosas claras, un nuevo
problema les desborda. Para darles un descanso y que vean al maestro en una
situación parecida a aquella en la que ellos se encuentran, les permite que le
planteen algunos problemas de la misma manera que el maestro les pregunta a
ellos.
En ocasiones nos conformamos con la primera solución que aparezca de un
problema planteado y cuando se ha resuelto ese problema pasamos al siguiente.
Los alumnos se llevan la impresión de que hay una única forma correcta de llegar
a la solución.
Al asimilar la idea de que los problemas pueden resolverse de muchas formas
diferentes, produce un efecto sobre la manera en que las personas los trabajan. Los
alumnos que piensan que solamente hay una forma correcta de solucionar un
problema, intentan resolverlo durante algún tiempo; si no avanzan en su resolución,
puede que lo dejen y esperen a que se les muestre la técnica adecuada, (esto es,
después de todo, el sistema que implícitamente han aprendido en la escuela). El
alumno que cree que hay lugar para explorar las matemáticas y se beneficia de ello,
está más inclinado a jugar con el problema, a buscar las soluciones pertinentes y
quizás a tropezar con una solución inesperada.
“A fin de enseñarse a resolver problemas se quiere trabajar mucho. Este trabajo, sin
embargo, no se reduce a resolver una gran cantidad de problemas. Si quisiéramos
expresar brevemente lo que se quiere hacer, podríamos decir: hay que
acostumbrarse a enfocar los problemas de tal manera, que éstos se conviertan en
objeto de estudio detallado, y su solución, en objeto de construcción y de inventiva.”
(Fridman, 1993, p.4)
En diferentes momentos del curso, debemos dedicar clases para profundizar los
conocimientos en la resolución de problemas, a través de problemas resueltos por
los alumnos, ejemplos construidos por ellos y aplicaciones descubiertas también por
ellos. Este método enseña más y lo enseña mejor.
20
Aprender matemática es un proceso activo el cual requiere de discusiones, de
conjeturas y pruebas. Este proceso puede guiar a los alumnos al desarrollo de
nuevas ideas matemáticas. Es decir, el planteamiento de preguntas, la búsqueda de
respuestas y de justificaciones. Estas actividades se pueden practicar desde la
enseñanza elemental y su práctica cotidiana puede producir resultados matemáticos
nuevos.
Entre las actividades que ayudan a los alumnos a explorar lo que ellos saben y usar
sus conocimientos en forma efectiva, están las siguientes:
• El resolver periódicamente (uno cada semana) problemas nuevos para el maestro
en el salón de clases. Es importante que los estudiantes observen las diversas
estrategias que se utilizan cuando uno se enfrenta a problemas no estudiados o
resueltos antes de la clase.
• Actuar como moderador mientras los alumnos resuelven problemas. El maestro
puede sugerir algunas direcciones que sean de valor para la discusión. Discutir
problemas que involucren el uso de varios métodos de solución o que incluyan
varias soluciones.
• Que los alumnos participen en el proceso de formular o de rediseñar problemas.
• Los alumnos aprenden haciendo, no mirando. El maestro tiene que diseñar
diferentes formas de organizar sus clases, para animar a los alumnos a participar.
• Discusión de los problemas resueltos en casa. Los problemas que se indicaron de
tarea en la última clase, se expone la solución por un alumno, el resto de los
alumnos de la clase reflexionan sobre: Si es correcto o no la solución propuesta y
por que debemos aceptarla, y de dónde se obtuvo la solución.
Si el problema no fue resuelto, puede trabajarse de manera conjunta todo el grupo
durante algún tiempo o puede orientarse que intenten resolverlo, haciendo o no
alguna sugerencia. (S Trigo.1994, p. 69)Los resultados teóricos sobre la resolución
de problemas que han sido obtenidos del análisis minucioso de las investigaciones
realizadas por: Labarrere (Cuba), Müller (Alemania), Polya (USA) y Schöenfeld
(USA), entre otros, utilizados convenientemente sin posiciones dogmáticas, han
aportado criterios valiosos para lograr el propósito que se pretende lograr en esta
investigación.
Desde el punto de vista de los fundamentos, aceptamos (sin una dependencia
rígida) las implicaciones de la teoría de la actividad, (en particular lo que significa
para la resolución de problemas y muy en especial la necesidad de la motivación
(interés), la orientación y el control Vigotsky, Leontiev); la interiorización de las
21
acciones mentales y sus implicaciones didácticas (Galperin); la importancia de la
formación de procedimientos generalizados, de aprenderlos y por tanto de
enseñarnos y, en particular, la trascendencia de este reconocimiento para la
resolución de problemas (Talizina); las funciones instructiva, educativa y de
desarrollo generalmente reconocidas al trabajo con problemas en la escuela; las
fases en la resolución de un problema y su relación con los momentos de la
actividad (Polya, Müller, Labarrere) así como la caracterización del comportamiento
de solución de problemas y lo que en ella interviene: los recursos, la heurística, el
control y el sistema de creencias (Schöenfeld).
Las formas fundamentales de trabajo y pensamiento de la Matemática son:
variación de condiciones, búsqueda de relaciones y consideraciones de analogía.
A la actividad racional pertenecen también las acciones para el control del proceso
de solución. Para esto no basta controlar el resultado final, es necesario controlar
todo el proceso de solución para evitar arrastrar un error de principio a fin del
trabajo en la solución. Constantemente hay que verificar si el proceso real de
solución coincide con el plan de solución concebido durante el análisis.
Se comparte los criterios de Campistrous que se debe hacer consciente al alumno
sobre las posibilidades para el control que están dadas en la propia Matemática y
educarlos en una actitud crítica ante los resultados de su trabajo y equiparlos con
medios para el control efectivo de los mismos.
Como puede apreciarse, el aprender a resolver problemas no ha figurado como una
de esas razones durante un largo período de tiempo. Realmente hay que decir que
la creencia predominante durante siglos fue el que se aprende a resolver problemas
por imitación, es decir, viendo resolver problemas e imitando las actitudes y el
proceder del que resuelve. No puede negarse que esta vía y también la de ensayo y
error puede servir a algunas personas para aprender, pero la escuela no está hecha
para que algunos aprendan, sino para que todos aprendan y, obviamente, con estos
procedimientos no puede lograrse que todos aprendan.
Se asumieron y contextualizaron las dimensiones e indicadores: propuestos
por la MSc Adnaloy de la Torre González en su tesis en opción al título académico
de Máster en Ciencia de la Educación “Estrategia Metodológica para desarrollar la
habilidad resolver problemas matemáticos”. (2008)
Los indicadores fueron evaluados teniendo en cuenta una escala valorativa de Bien,
Regular y Mal, a la que posteriormente se le hizo corresponder con las categorías
de Adecuada, Poco Adecuada e Inadecuada reflejándose en el (Anexo1).
22
Clasificación de los problemas matemáticos. Problemas algebraicos. En este tópico, se realiza un estudio de las posiciones asumidas por los diferentes
autores, a la hora de establecer las clasificaciones de los problemas matemáticos.
Todos los autores parecen estar de acuerdo en que un elemento fundamental para
dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas, es que
tanto el maestro como el alumno sepan en presencia de qué clase de problemas se
encuentran; en este sentido han aparecido en los últimos años muchos tipos de
clasificaciones.
Sobre la base de la significación semántica de problema como una tarea que debe
ser resuelta e investigada. Para Majmutov (1983), todos los problemas se pueden
clasificar de acuerdo con diferentes bases. Por ejemplo, partiendo de la significación
del término “problema”, como cuestión que debe ser realizada, y como interrogante
que debe ser resuelta. Todos los problemas, por su contenido se pueden dividir en:
Cotidianos, Técnico-prácticos, Jurídicos, Pedagógicos, etcétera.
Evidentemente, todos nuestros esfuerzos están dirigidos al trabajo con los
problemas escolares, especialmente los relacionados con el proceso de enseñanza-
aprendizaje de las Matemáticas. Para adentrarnos en su estudio, empecemos por la
clasificación de los problemas en relación con el carácter de la incógnita, los cuales
se pueden dividir en tres grandes grupos: Problemas prácticos, Problemas
científicos, Problemas del reflejo artístico de la realidad. Dentro de los problemas
más conocidos por nuestros maestros están los que se clasifican, de manera
general, atendiendo a la naturaleza de la asignatura Matemática, de razonamiento
lógico y recreativos.
Ya en los trabajos de Polya (1976) aparece la clasificación de problemas por
resolver y problemas por demostrar; también González (1968) los clasifica en
particulares y generales. Además, en los trabajos de Bertoglia (1990) aparece una
clasificación que a nuestra consideración es la más acabada, ya que el mismo hace
énfasis no solo en el proceso de solución, sino que además, pone al descubierto la
utilización de la lógica dentro del proceso, planteando que:
“Problemas Cerrados: La solución se deduce de forma lógica a partir de la
información que aparece en el planteamiento del problema y que resulta suficiente
para encontrar la respuesta correcta. El resolutor dispone de toda la información,
solo necesita integrarla aplicando los recursos de la lógica; por ello suelen llamarse
“problemas de inferencias lógicas”.
23
“Problemas abiertos: El resolutor necesita ir más allá de la información recibida,
utilizándola de manera y/o modificando los significados atribuidos a los elementos
del problema”. (Bertoglia, L. 1990, p. 111).
Está en boga, también clasificar los problemas dentro de tres grandes campos, los
mismos son:
Según el campo del conocimiento implicado:
Está dado por la diferencia entre los problemas que se plantean en la enseñanza de
la ciencia y aquellos que tienen lugar en la vida cotidiana. En el primer caso lo
importante no es la obtención de la solución sino más bien el proceso para llegar a
ellas. En cambio, ocurre lo contrario en los problemas cotidianos. Por ejemplo es
posible hablar de problemas de Geometría, de tanques, de mezcla, etcétera.
Según el tipo de tarea:
Según la naturaleza del enunciado y características del proceso de solución: Se
pueden dividir según Palacios, en cerrados y abiertos.
“Los problemas cerrados: son enfocados como aquellas tareas que contienen toda
la información precisa y son resolubles mediante el empleo de un cierto algoritmo
por parte del solucionador.
Los problemas abiertos, por el contrario, implican la existencia de una o varias
etapas en su resolución que deben ser aportadas por el solucionador mediante la
acción de pensamiento productivo. Bajo este criterio, los problemas cualitativos
pueden ser considerados en la mayoría de los casos como problemas abiertos y los
cuantitativos como cerrados” (Palacios, C. y Zambrano, E. 1993, p. 19).
Como se puede apreciar esta clasificación es mucho más estrecha que la dada por
Bertoglia al no contemplar los elementos de la lógica. En el trabajo de Blanco
(1991); la resolución de problemas juega un papel importante en cuatro direcciones:
como objetivo de aprendizaje (saber resolver problemas), como actividad docente
(clase dedicada a la solución de problemas), como instrumento de aprendizaje
(aprender resolviendo problemas) y como elemento evaluador (los problemas en los
exámenes).
La solución de problemas. Consideraciones en el proceso enseñanza - aprendizaje en la matemática. Rizo y Campistrous en su libro ¨ Aprender a resolver problemas aritméticos ¨
plantean que para establecer el significado práctico de las operaciones aritméticas
es muy conveniente utilizar la relación parte todo. Esta relación es muy elemental,
relaciona al conjunto completo o todo con sus subconjuntos o partes, la cual admite
24
modelos lineales simples que son un magnífico apoyo para la solución de
problemas aritméticos; además, establecidas entre números o cantidades, tienen
algunas propiedades como:
� La descomposición del todo da lugar a dos o más partes.
� La reunión de todas las partes da como resultado el todo.
� Cada parte es menor que el todo
Los problemas se utilizan en función de desarrollar habilidades de cálculo y no
como objeto de enseñanza en sí mismo. Por otra parte, los maestros no enseñan
técnicas de trabajo que pueden ser muy útiles en la resolución de problemas
aritméticos. Teniendo en cuenta estas dificultades se hace del todo necesario
realizar un análisis exhaustivo de las técnicas de resolución de problemas
aritméticos que permita preparar a los docentes no especializados en la asignatura
propiciando elevar el nivel de desempeño de los estudiantes.
Técnicas para resolver problemas.
1. Técnica de modelación: reproducir las relaciones fundamentales que se
establecen en el enunciado del problema, despejadas de elementos innecesarios o
términos no matemáticos que hacen difícil la comprensión, es una capacidad muy
importante en la resolución de problemas.
Tipos de modelos: los modelos mas utilizados son los lineales, los tabulares, los
conjuntistas y los ramificados.
Forma de modelar los problemas: mediante gráficos.
2. Técnica de la lectura analítica y la reformulación: esta técnica se trata de
conjunto, mediante la lectura analítica se hace un estudio del texto del problema de
modo que se separen claramente sus partes y se distingan las relaciones
esenciales que se dan explícita e implícitamente en él, con el propósito de ayudar a
la comprensión del problema o también en la búsqueda de la idea de la solución 3. Técnica de la determinación de problemas auxiliares: responder la pregunta
o las preguntas a partir de la consideración de los datos dados, es necesario
encontrar primero problemas auxiliares o subproblemas de cuyas soluciones
depende el resultado final del problema. 4. Técnica de tanteo inteligente: en la prueba sistemática debe analizarse cada
vez lo obtenido y compararlo con los resultados anteriores para ver si existen
alguna regularidad que disminuya la cantidad de cálculos a realizar o permita
concluir que no se ha dejado soluciones sin considerar, y tiene como función
25
contribuir a la búsqueda de la idea de la solución en aquellos problemas que por
sus características admitan su utilización. 5. Técnica de la comprobación: propicia el autocontrol, que es una de las formas
de control del aprendizaje más importante a lograr en ellos.
Clasificación de los problemas algebraicos atendiendo a diferentes parámetros de dificultad. � Paso del texto al modelo intuitivo: se refiere a la interpretación del texto y su
tránsito al modelo pictográfico, esquema, etc.
Se distinguen tres niveles de complejidad:
• No hace falta modelar,
• Sale mediante un modelo inmediato y cálculo,
• El modelo es complejo.
� Estructural: la dificultad depende de la estructura aritmética del problema, que
se analizará a partir de la cantidad de subproblemas y operaciones que intervienen
en su solución. Pueden distinguirse como niveles de dificultad:
• Problemas simples, no hay problemas auxiliares; se resuelven directamente
mediante la interpretación inmediata de los significados de las operaciones.
• Problemas compuestos, se necesitan para su solución la realización previa de
subproblemas o problemas auxiliares y la interpretación de uno o varios significados
de las operaciones.
� Dificultades de lenguaje: depende de la forma idiomática en que están
planteadas las relaciones así como de las condiciones del problema.
Niveles de complejidad:
• Directo, el texto se presenta de una forma directa sin términos a interpretar o
relaciones que pueden resultar poco familiares o comprensibles.
• Indirecto o complejo, en el texto se presentan términos que hay que interpretar
su significado, dan relaciones o condiciones poco claras.
Métodos para la solución de problemas. Existen criterios en cuanto al concepto de solución de problemas, de los cuales los
más relevantes son los siguientes:
Solucionar un problema es obtener la respuesta correcta que satisfaga las
condiciones del problema. Por resolución de problemas debe comprenderse
determinado proceso en el curso del cual se arriba a una respuesta determinada.
26
Como puede verse enfatizan aspectos diferentes en la actividad de resolución de
problemas:
• El primero al destacar la respuesta correcta como criterio de lo que es
solucionar, pone en primer plano el momento final en el cual el objetivo que se
plantea en el problema ha sido alcanzado.
• El otro punto de vista hace hincapié, sobre todo, en la solución que conducen al
alcance del objetivo planteado.
De modo general, puede decirse que el primer criterio predomina, por lo común, en
el ámbito de las ciencias y en la Metodología de la Enseñanza de las distintas
asignaturas, y de la Matemática entre ellas. En estos contextos se suele considerar
que un problema ha sido solucionado cuando el alumno llega a la respuesta
correcta.
Los problemas hay que enfrentarlos mediante estrategias, es decir, una
planificación consciente de los pasos o fases (orientación, ejecución y control) que
pueden seguirse teniendo en cuenta el programa heurístico general:
PROGRAMA HEURíSTICO GENERAL
Fases fundamentales Tareas principales
1. Orientar hacia el problema. - Comprensión del problema.
2. Trabajo en el problema. - Búsqueda de la vía de solución.
3. Solución del problema. - Ejecución del plan.
4. Evaluación de la vía de solución. - Reflexión sobre los métodos aplicados.
Análisis de cada una de las tareas principales. Comprensión del problema: Aquí, en primer lugar, surge la pregunta ¿qué
significa comprender el enunciado del problema? A esta pregunta se puede
responder en términos psicológicos, que el alumno comprende el enunciado del
problema cuando es capaz de reproducirlo con sus propias palabras y analizar
cuáles son sus componentes esenciales: ¿qué datos dan?, ¿qué se quiere
obtener? En otras palabras, debe ser capaz de interpretar cuáles son los datos y
qué representan.
Para comprender el enunciado del problema es necesario responder una serie de
preguntas: ¿De qué se trata el problema?, ¿Qué datos dan?, ¿Qué se busca?,
¿Determinan los datos la solución del problema, no son suficientes o sobran?,
27
¿Podría escribirse el problema de otra manera?, ¿Puede hacerse un esbozo o
gráfico que esclarezca la situación?
Búsqueda de la vía de solución: Para facilitar la búsqueda de la vía de solución
pueden sugerirse algunas actividades:
Formular las operaciones entre los datos y las incógnitas.
Tratar de relacionar el problema con otro conocido y cuya solución es más simple e
inmediata, transformar (o introducir una nueva) la incógnita acercándola a los datos,
transformar los datos, obtener (o deducir) nuevos elementos más próximos a la
incógnita, recordar la solución de ejercicios análogos, analizar si se han tenido en
cuenta todos los datos, generalizar el problema, si es posible, analizar casos
particulares, resolver problemas parciales (considerar solo una parte de las
condiciones), hacer gráficos que ilustren las relaciones encontradas.
Ejecución del plan: Para esto se debe fundamentar la corrección de cada paso,
realizar los cálculos necesarios.
Comprensión y reflexión de la solución: En esta tarea es necesario plantearse
preguntas como las siguientes:
¿Es lógico el resultado? ¿Por qué?
¿Es posible comprobar la solución? ¿Cómo hacerlo?
¿Es posible resolver el problema por una vía más corta?
¿Qué otro resultado se puede obtener por esta vía?
La solución de problemas a veces no se da directamente y es necesario encontrar
primero problemas auxiliares o subproblemas de cuyas soluciones depende un
resultado final. Esto no siempre es una tarea simple, pues el análisis solo de la
pregunta del problema, por lo general, no se obtiene, se hace necesario formularse
la pregunta ¿qué necesito saber para contestar la pregunta del problema? Si el
alumno no domina la solución del problema, se formula el problema auxiliar y se
vuelve ha realizar la misma pregunta, hasta llegar aun subproblemas que se pueda
resolver. Un trabajo adecuado con esta técnica, además de la contribución que
hace a la búsqueda de la idea de soluciones de problemas dados, tiene una
importancia especial en el desarrollo del pensamiento lógico, pues es en ella donde
más claramente se utiliza procedimientos típicos de los propios de razonamientos.
El procedimiento en cuestión comprende las fases siguientes, que responden a
preguntas establecidas y sistematizan las técnicas a emplear en cada caso.
Leo Releo
Lectura Global. Lectura Analítica. Modelación.
¿Qué dice?
28
Orientación
Ejecución
¿Puedo decirlo
de otra forma?
¿Como lo puedo
resolver?
¿Es correcto lo que hice?
¿Existe otra vía?
¿Para que otra cosa sirve?
En el material se muestra además como el procedimiento puede verse íntimamente
relacionado con los tres momentos fundamentales de la actividad como se ilustra a
continuación.
Reformulo Lectura Analítica y Reformulación.
Busco la vía de solución mediante ecuaciones
Lectura analítica y reformulación. Modelación. Determinación de problemas auxiliares. Determinación de la ecuación y su solución. Tanteo inteligente. Analogía.
Hago consideraciones (incluye la). Comprobación, análisis de la Solución y análisis del (Procedimiento)
Releo.Leo.
¿Qué dice?
¿Puedo decirlo de otra forma?
Reformulo.
¿Como lo puedo resolver?
Busco la Vía de Solución mediante ecuación.
Resuelvo
29
Control
Se hace necesario comprender, que esta sucesión de pasos no se dan de una
manera esquemática y rígida, ni siempre es posible determinar con precisión los
límites de cada una de estas, pues se dan, implicadas una dentro de otras. ‘’ Ellas
aparecen no como una secuencia lineal, sino más bien en espiral; esto es que en
determinados momentos desarrollo de la solución de un problemas repite, en un
nivel superior, el mismo tipo de actividad que caracteriza una etapa determinada”
Se ha comprobado que los significados de las operaciones aritméticas que tienen
los alumnos son por sinonimia, es decir conocen una serie de palabras que utilizan
como sinónimos de las acciones: sumar, restar, multiplicar y dividir y cuando
aparecen en el texto de un problema inmediatamente operan como señal para
resolverlo utilizando la o las operaciones que les corresponden.
Si revisamos los libros de texto para los alumnos nos encontramos que la inmensa
mayoría de los problemas que se consideran son rutinarios, así tenemos los
problemas clásicos de fracciones y tanto por ciento, que los alumnos los resuelven
desplegando un proceder aprendido casi en forma algorítmica y donde
prácticamente no es necesario ningún procedimiento de búsqueda.
La solución de los problemas que conducen a ecuaciones, son otro ejemplo
típico de este proceder rutinario y lo más lamentable es que después que adquieren
estas herramientas tan poderosas las utilizan indiscriminadamente en situaciones
que requieren recursos menos potentes para resolverlas. Los procedimientos de
solución no rutinarios son entonces aquellos en los que se exige un proceso de
búsqueda propiamente heurístico. Quizás no sea fácil encontrar problemas
escolares con esas características, pero esa es una tarea importante de la Didáctica
de la Matemática. Aunque estos conceptos de rutinarios y no rutinarios también
pueden ser relativos, en dependencia del campo de experiencia del sujeto al cual se
le plantea una situación dada, se pueden encontrar ejemplos como los siguientes,
aún dentro de un contexto donde históricamente los problemas son rutinarios como
¿Es correcto lo que hice?
¿Existe otra vía?
¿Para que otra cosa me sirve?
Hago consideraciones
30
es el caso del trabajo con fracciones y el tanto por ciento. En el marco de las
situaciones escolares, si se quiere uno acercar a una situación didáctica que pueda
ser utilizada como vía para enseñar a resolver problemas, sí es necesario incluir
problemas con procedimientos de solución no rutinarios, que se acerquen lo más
posible a los rasgos generales antes establecidos para la definición del concepto
problema en sentido amplio. En sentido general, somos del criterio de que para
lograr que los estudiantes aprendan a resolver problemas, es necesario plantear
problemas no rutinarios, tratando de no provocar una ruptura entre los hábitos ya
establecidos en la escuela que se acercan mucho a la solución de problemas
rutinarios. En las diferentes investigaciones que hemos revisado se han utilizado
problemas escolares rutinarios y algunos no rutinarios que dan mayores
posibilidades para el desarrollo de estrategias de solución reflexivas mediante el
empleo de técnicas que deben ser objeto de estudio.
Otra de las dificultades generadas por la escuela se asocia al uso del modelo
algebraico ya que el planteo de las ecuaciones se convierte en el estereotipo para
resolver "problemas" asociados a la escuela, de forma tal que se utilizan sin
discriminar la conveniencia del modelo ni atender a la necesidad real de su
utilización. Esto hace que los textos contengan cientos de "problemas algebraicos"
que se resuelven de una forma más simple y rápida sin el uso del modelo
algebraico. Como consecuencia de esa forma de actuación los estudiantes
universalizan el planteamiento de ecuaciones, sin elaborar estrategias que le
permitan utilizar esta herramienta fuera del marco escolar.
El lenguaje algebraico, como todo lenguaje consta de un sistema de signos, unas
relaciones entre ellos para formar frases, una sintaxis y una semántica. El conjunto
de signos con sentido forman una frase.
La semántica estudia la correspondencia entre significantes y significados y permite
distinguir de entre las frases correctamente formadas, aquellas que tienen
significado. La sintaxis algebraica estudia las reglas a que han de someterse los
símbolos para formar frases algebraicamente correctas.
La palabra álgebra casi siempre se asocia al empleo de letra para representar
números, pero en realidad esta disciplina comenzó a surgir cuando los matemáticos
se interesaban más por las relaciones entre números que por los mismos números.
Según recoge la historia, en un pueblo que existió en el Asia Menor, estas ideas
sobre las variables permanecieron ocultas en las tablillas de barro durante miles de
años. En el siglo III a.n.e surgió un matemático griego, Diofanto de Alejandría, que
31
usó métodos del trabajo con variables para resolver maravillosamente problemas y
ejercicios diversos; pese a ellos los matemáticos que le sucedieron no lo
conservaron y fueron creando sus propios símbolos.
El empleo de variables contribuyó notablemente a lograr altos niveles de
abstracción y generalización, lo cual hubiera sido imposible sin la utilización de este
lenguaje simbólico. Las variables se utilizan para expresar situaciones de la vida en
las que aparecen relaciones entre números, para representar a un elemento
cualquiera de un conjunto, para representar a un número cualquiera, etc. De ahí
que llamamos variable a una letra que representa a un elemento cualquiera de un
conjunto, los elementos de este conjunto, pueden ser números, figuras geométricas
u objetos de diversa índole.
Una expresión algebraica es un número, una letra o una cadena de números y de
letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas y eventualmente por
paréntesis y otros signos de agrupación. En una expresión algebraica las letras
pueden designar valores fijos o valores que pueden variar, en este último caso las
letras se llaman variables.
La sintaxis del lenguaje algebraico tiene sus reglas, estas son por ejemplo:
• Los signos de las operaciones no pueden ir seguidos. Los signos de operaciones
relacionan o vinculan elementos de conjuntos en las cuales estas operaciones están
definidas
• La letra que designa la incógnita o variable funcionará como un elemento del
conjunto, que puede ser un número, en un dominio numérico determinado.
• El signo igual (=) no puede ir al lado del signo de las operaciones. El signo igual
relaciona o vincula expresiones matemáticas que pueden ser números, variables.
• Los signos de las operaciones y el de la igualdad no pueden empezar ni acabar
una frase.
Los alumnos deben saber, que para dominar el cálculo algebraico, se requiere
conocer que para trabajar con un modelo algebraico, hay que aprender a hacer
cálculos con las variables y el cálculo se desarrolla a partir del conocimiento de las
propiedades.
La aplicación de estas reglas nos permite resolver problemas algebraicos que son
aquellos que conducen al planteo y la resolución de una ecuación y para su
resolución, durante la clase, se precisa del programa heurístico general para que
los alumnos puedan:
32
• Comprender el texto del problema a través de su lectura analítica y su
reformulación en caso necesario, de modo que pueda introducir y declarar
variables y hacer la traducción del lenguaje común al algebraico.
• Encontrar una vía de solución adecuada, a partir de establecer relaciones entre lo
que se conoce y lo que se desconoce, valorando la posibilidad de elaborar un
modelo lineal, una tabla o una figura para modelar la situación.
• Resolver haciendo uso de algunas de las vías de solución y encontrar los valores
de las variables.
• Realizar el control valorativo del proceso de resolución y de sus resultados
teniendo en cuenta el texto del problema (comprobación), así como valorar para qué
sirve esta experiencia en próximas ocasiones.
• Dar las respuestas que se correspondan con las interrogantes del problema.
Una de las mayores dificultades que confrontan los estudiantes al resolver
problemas algebraicos mediante la modelación por ecuaciones es precisamente
traducir la situación del problema al lenguaje de las variables, es por ello que se
requiere adiestrarlos en la traducción del lenguaje común al lenguaje de las
variables.
La palabra traducción se deriva del sustantivo latino traductio que significa pasar de
un lugar a otro, por lo que traducir quiere decir cambiar de un código a otro y se
emplea fundamentalmente en el campo de la lengua. Para traducir de una lengua a
otra es necesario conocer: ambas lenguas, comprender e interpretar lo leído, tener
práctica en el campo de la escritura y conocer los recursos que permiten expresar
un mismo enunciado en diferentes maneras. Estas recomendaciones no solo son
favoritas para traducir de un idioma a otro, también la debemos tener en cuenta al
realizar una traducción del lenguaje común al de las variables.
Conocer el lenguaje de las variables significa dominar ¿qué es una variable?, una
expresión algebraica, la simbología que se emplea para indicar las operaciones, y
conocer cómo se opera con las variables. No podrá realizar una correcta traducción
quien no domine conceptos tales como el de fracción, razón, tanto por ciento y
otras relaciones que se establecen entre números y cantidades de magnitud.
En el lenguaje común se deben conocer los pronombres numerales con función
multiplicativa y fraccionaria, por ejemplo: triple es un pronombre numeral con
significado multiplicativo que señala que hay que multiplicar por tres, mientras que
un cuarto es un pronombre numeral con significado fraccionario que indica que la
unidad se dividió en cuatro partes iguales y de esta se tomo una.
33
De suma importancia para el éxito en el proceso de resolución de problemas
algebraicos es, comprender e interpretar lo leído, pues muchos de los errores que
cometen los alumnos, sus causas obedecen entre otras, al poco desarrollo
alcanzado en la habilidad traducir del lenguaje común al algebraicos, otras están
dadas por desconocimiento del significado de las palabras claves que aparecen en
el texto y otras por no tener dominio de los conceptos matemáticos que se requieren
aplicar.
Esto demuestra que para desarrollar la habilidad de traducir del lenguaje común al
algebraico y viceversa, es necesario realizar una ejercitación variada, suficiente e
enseñar a los alumnos a descubrir las palabras claves que son aquellas que tienen
un significado matemático que puede ser expresado en el código del lenguaje de las
variables, es decir empleando variables, signos y números.
Las palabras claves más usuales son aumentado en, disminuido en, la misma
cantidad que, en total, excede en, más que, menos que, número de veces, la
enésima parte, números consecutivos, par, impar, antecesor, sucesor, etc. Una de
las palabras claves más conflictivas para los estudiantes es ‘’excede’’ que aparece
en varios problemas que no están recogidos en los libros de textos de Matemática
para la enseñanza primaria.
Es necesario que cuando los alumnos se enfrenten a una situación donde
aparezca esta palabra clave, es conveniente indicarle que busquen su significado
en el diccionario, que comprendan que esta palabra indica que hay una relación de
comparación entre dos números. También es muy útil que realicen un esquema
lineal, que indiquen ejemplos numéricos, etc.
Como excede significa que aventaja, supera, rebasa, sobrepasa, que se pasa, es
decir, hay una parte mayor y otra menor, por lo que en estos casos ante todo hay
que determinar cuál es la mayor y cuál la menor. Por tanto cuando tenemos la
situación ‘’X excede en 10 a Y’’, significa que X supera en 10 a Y, que ‘’X sobrepasa
en 10 a Y’’, luego X es mayor que Y en 10, etc. Es importante señalar que para desarrollar la habilidad de traducir del lenguaje
común al algebraico no hay que esperar a la unidad donde se trabaja con las
variables para comenzar el trabajo. Es necesario desde el inicio de curso
proponerles a los alumnos ejercicios de cálculo en los que tenga que utilizar el
significado de las diferentes palabras claves.
EL proceso de comprensión de texto adquiere gran importancia para el proceso de
resolución de los problemas algebraicos y guarda mucha relación con los saberes
34
que posee el lector. La comprensión de un texto estará, entonces, muy
condicionada por lo que previamente conoce el lector y por cómo actualice o active
sus conocimientos previos durante el proceso de lectura del texto en cuestión.
La comprensión es un proceso asociado al lenguaje y está estrechamente
relacionado con él de ahí que los principios fundamentales que sustentan el proceso
de enseñanza-aprendizaje de la lectura y comprensión de textos se debe tratar en
todas las asignaturas.
La tarea del maestro es guiar al alumno partiendo de qué debe saber hacer y
proporcionarle los recursos necesarios para que con una participación activa y
consciente pueda responder a la exigencia de formar y aplicar el sistema de
habilidades en la resolución de problemas.
La habilidad para resolver problemas matemáticos es la construcción y dominio,
por el alumno, de los modos de actuar y métodos de solución de problemas
utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos, en calidad de
instrumentos y las estrategias de trabajo heurístico para la sistematización de esos
instrumentos en una o varias vías de solución
De forma general se considera que el trabajo con los problemas matemáticos
debería ser un proceso activo, vinculado con la vida, desarrollador de la inteligencia,
que contribuya a la formación de cualidades, y valores positivos de la personalidad,
y al autoaprendizaje.
Por otra parte en investigaciones realizadas se ha comprobado que en la escuela
actual persisten elementos negativos de una enseñanza tradicional caracterizada
porque los alumnos:
1. Tienen tendencia a la ejecución, no al razonamiento.
2. Las situaciones de la vida cotidiana les son más difíciles de solucionar y les son
más necesarias para enfrentarse a ella.
3. Resuelven problemas sencillos, pero presentan dificultades en niveles cada vez
más creciente de complejidad.
4. No muestran creatividad en la elaboración de problemas a partir de datos o
esquemas dados donde se ofrece la relación parte-todo.
Sobre la base del actual Programa de Matemática, se ha reconocido el desarrollo
de las Líneas Directrices siguientes: Dominios numéricos, Trabajo con variables,
Ecuaciones, Geometría y Trabajo con magnitudes, Planteo, formulación y
resolución de problemas, Correspondencia y funciones, Técnicas de la actividad
35
mental y práctica en el aprendizaje de la Matemática y Educación ciudadana,
patriótica e internacionalista.
De esta manera la Línea Directriz que nos ocupa en esta investigación es el
Trabajo con variables desarrollándose en la unidad de Ecuaciones en sexto grado,
al integrar las diferentes áreas matemáticas: la Aritmética, el Álgebra y la
Geometría, lo que implica que desde las unidades referidas al trabajo con los
dominios numéricos se propicia el empleo de las variables, retomando el trabajo
desarrollado en el grado precedente.
"El lenguaje de las variables", es la segunda de las temáticas que se desarrollan en
la unidad de Ecuaciones en sexto grado, abarca prioritariamente los contenidos de
algebra, la misma se desarrolla a continuación de la temática 1"El significado de los
números", que abarca contenidos de aritméticas. Estas temáticas se encuentran
interrelacionadas entre sí con relación al contenido pues a través de cada una de
ellas, se sistematizan los contenidos referentes a estas áreas.
La unidad está caracterizada por la reactivación de conceptos y procedimientos
conocidos por los alumnos en la escuela primaria, la misma tiene un total de 20
horas clases y está dividida en tres epígrafes, el 3.1 Concepto de ecuación.3.2
Procedimiento de solución de una ecuación y la 3.3 Solución de problemas que
conducen a ecuaciones. Los objetivos, contenidos y dosificación aparecen
recogidos en el anexo 2.
Los investigadores MSc. Aurelio Quintana Valdés, MSc. Miriam Ibáñez Fernández,
MSc. Lourdes Báez Arbesú, Lic. Mirta Capote Jaime, MSc. Riaza A. Zayas Pérez,
Dra. Martha Álvarez Pérez recomiendan que al realizar una traducción del lenguaje
común al algebraico:
a) Lean detenidamente el texto a traducir.
b) Identifiquen las palabras claves.
c) Busquen en el diccionario el significado y sinónimos de estas palabras que
desconoces.
d) Interpreten las palabras claves.
e) Indique el significado de las variables.
Otros aspectos que apuntan estos autores referente a la ejercitación para
desarrollar la habilidad de traducir del lenguaje común al algebraico y viceversa es:
1. Presentar primeramente a los alumnos situaciones para traducir del lenguaje
común al algebraico tales como estas: Un número, dos números consecutivos, un
número par, y un número impar, entre otras.
36
2 . Presentar situaciones diferentes que se expresan de la misma forma en el
lenguaje de las variables, tales como: La cuarta parte de, el 25% de. Las dos
quintas parte de, dentro de cinco años, aumentado en cinco, superado en cinco.
3 . Presentar situaciones donde interviene el mismo número con significado
diferente: El triplo de, la tercera parte de, disminuido en tres, aumentado en tres.
4 . Presentar situaciones en las que se establecen relaciones entre dos números:
Tanto como, números consecutivos, excede en, entre otras.
Tratamiento metodológico de las ecuaciones en sexto grado. El contenido de esta unidad se encuentra en el capítulo D del libro de texto de los
alumnos.
Lo fundamental en esta unidad es que el alumno resuelva ecuaciones lineales con
una variable y lo aplique a la solución de problemas sencillos.
Para lograr lo anterior es necesario que los alumnos puedan:
• Dominar los conceptos elementales de la teoría de ecuaciones, en especial,
ecuación, solución de una ecuación, conjunto solución y utilizarlos adecuadamente
cuando lo requiera.
• Continuar desarrollando sus habilidades de cálculo en la solución de
ecuaciones, mediante las relaciones que existen entre una operación y su inversa.
• Utilizar convenientemente el lenguaje y la simbología conjuntista relacionados
con las ecuaciones.
• Traducir el lenguaje común al algebraico y viceversa y utilizar estas habilidades
en la interpretación de y modelación de ejercicios con textos y problemas.
• Resolver ejercicios formales, con textos y problemas, utilizando una vía
algebraica.
Consideraciones generales sobre la solución de problemas que conducen a
ecuaciones en los alumnos.
Este trabajo está encaminado a resolver las dificultades de los alumnos en la
solución de problemas que conducen a ecuaciones. Contenido que se trabaja en la
unidad tres de sexto grado.
Sirve este contenido también de base para el trabajo con las proporciones y se
relaciona con las otras unidades en ciclo como las fracciones, las magnitudes y
tanto por ciento.
37
Desde los primeros grados los alumnos se enfrentan a problemas que incluyen
elementos de la solución de ecuaciones, en los que se les da la variable (sin hacer
referencia a estos términos). Por ejemplo en el primer grado aparecen ejercicios
como estos:
En este caso aparece la correspondencia entre el todo y las partes. Se debe dirigir
la conversación a la formación de la ecuación (a+6=8). Se analiza que su solución
puede realizarse con ayuda de un ejercicio básico conocido (2+6=8) y que otra
posibilidad de solución es mediante la utilización de la relación entre la adición y la
sustracción (8 – 6 = 2).
En segundo grado, ya los alumnos conocen las relaciones entre las magnitudes
correspondientes al programa de estudio y comienzan con problemas donde tienen
que aplicar esa relación, los que continúan y profundizan en los restantes grados.
En el Libro de Texto aparecen ejercicios como:
El primer ejercicio también muestra directamente la búsqueda del todo, mediante
el contenido de esa parte la ecuación seria (10 x 3 = b).
En el segundo ejercicio aunque incluye elementos geométricos, el alumno debe
saber primeramente la conversión para determinar la ecuación por la relación de
que 1cm=10mm, entonces si el segmento mide 5cm la ecuación es (5 x 10 = y)
En el resto de los grados también aparecen ejercicios muy similares incluyendo las
nuevas relaciones entre las diferentes magnitudes de los programas
correspondientes. Uno de los ejercicios más sencillos que aparece en el libro de
texto de sexto grado y en la unidad Ecuaciones puede ser resuelto en los grados
anteriores, la única diferencia con los del primer ciclo es el dato que se expresa en
notación decimal, la vía de solución es la misma:
Problema: Si un kilogramo de arroz cuesta $2,50, ¿cuánto cuestan 6 Kg?
Características psicológicas del escolar de segundo ciclo.
Omar tiene lápices en una caja y 6 en la mano. Si en total tiene 8 lápices, ¿Cuántos lápices tiene Omar en la caja?
1-Una libreta cuesta 10 centavos. ¿Cuánto cuestan 3 libretas?
2-Indica la longitud del segmento EF en centímetros. E_____________F ¿Cuántos milímetros son?
38
A partir del quinto grado, según distintos autores se inicia la etapa de adolescencia
al situarla entre los once y doce años. En ocasiones también se les llama
preadolescencia.
En el desarrollo intelectual, se puede apreciar que sin con anterioridad se han ido
creando las condiciones necesarias para un aprendizaje reflexivo. En estas edades
este alcanza niveles superiores ya que los conceptos científicos y para el
surgimiento del pensamiento que opera con abstracciones. Cuyos procesos lógicos
(comparación, clasificación, análisis, síntesis y generalización, entre otros) deben
alcanzar niveles superiores con logros más significativos en el plano teórico. Ya en
estas edades los escolares no tienen como exigencias esenciales trabajar los
conceptos ligados al plano concreto a su materialización como en los primeros
grados, sino que pueden operar con abstracciones.
Lo antes planteado permite al adolescente la realización de reflexiones basadas en
conceptos o relaciones y propiedades conocidas, la posibilidad de plantearse
hipótesis como juicios enunciados verbalmente o por escrito, los cuales pueden
argumentar o demostrar mediante un proceso deductivo que parte de lo general a lo
particular lo que no ocurriría con anterioridad en que primaba la inducción. Puede
también hacer algunas consideraciones de carácter reductivo (inferencias que
tienen solo cierta posibilidad de ocurrir) que aunque las conclusiones no son muy
importantes en la búsqueda de soluciones a los problemas que se le plantean.
Todas las cuestiones anteriormente planteadas constituyen premisas
indispensables para el desarrollo del pensamiento lógico en los alumnos.
Estas características deben tenerse en cuenta al organizar y dirigir el proceso de
enseñanza aprendizaje, de modo que sea cada vez más independiente, que se
pueda potenciar esas posibilidades de fundamentar sus juicios, de exponer sus
ideas correctamente en cuanto a su forma y en cuanto a su contenido, de llegar a
generalizaciones y ser critico en relación a lo que analiza y a su propia actividad y
comportamiento. También resulta de valor en esta etapa, aunque se inicie con
anterioridad, el trabajo dirigido al desarrollo de la creatividad.
Es de destacar que estas características de un pensamiento lógico y reflexible que
opera aun nivel teórico, tienen su antecedente de los primeros grados y su
desarrollo continúa toda la etapa de la adolescencia.
Al terminar el sexto grado, el alumno debe ser portador, en su desempeño
intelectual de un conjunto de procedimiento y estrategias generales y específicas
para actuar de forma independiente en actividades de aprendizaje, en la que se
39
exija, entre otras cosas, observar, comparar, describir, clasificar, caracterizar, definir
y realizar el control valorativo de sus actividades. Debe apreciarse ante la solución
de diferentes ejercicios y problemas, un comportamiento de análisis reflexivo de los condiciones de las tareas, de los procedimientos para su solución, de vías de
autorregulación (acciones de control y valoración) para la realización de los
reajustes requeridos.
Las diferentes asignaturas y ejes, deben contribuir al desarrollo del interés por el
estudio y la investigación. En estas edades comienza adquirir un nivel superior la
actitud cognoscitiva de la realidad, potencialidades que debe aprovechar el maestro
al organizar el proceso.
El desarrollo moral se va a caracterizar por la aparición gradual de un conjunto de
puntos de vistas, juicios y opiniones propias sobre lo que es moral. Estos criterios
que se inician en estas edades alcanzar también a los adolescentes de séptimo
grado (de once a trece años) empiezan a incidir en la regulación de su
comportamiento y representan fundamentalmente los puntos de vista de los grupos
de compañeros, ganando más fuerza entre los de catorce y quince años.
A partir de quinto grado, la aprobación del maestro comienza hacer sustituido por la
aprobación del grupo, se plantea incluso que una de las necesidades y aspiraciones
fundamentales en la adolescencia es encontrar un lugar en el grupo de iguales.
Gradualmente a partir del quinto grado, el bienestar emocional del adolescente se
relaciona con la aceptación del grupo. Algunos autores plantean que la causa
fundamental de la indisciplina en las escuelas es que tratan de buscar el lugar no
encontrado en el grupo, de ahí que no adopten, en ocasiones, las mejores
posiciones en sus relaciones tratando de llamar la atención. Estos comportamientos
de inadaptación total del adolescente pueden conducir a la aparición de conductas
delictivas.
Las investigaciones también han demostrado, que si bien las opiniones del grupo
tienen un papel fundamental en el comportamiento del adolescente, la opinión de
los padres sigue teniendo gran importancia para su bienestar emocional.
En este momento, las adquisiciones del niño desde el punto de vista cognoscitivo
del desarrollo intelectual y afectivo motivacional expresados en formas superiores
de independencia, de regulación, tanto en su comportamiento como en su accionar
en el proceso de aprendizaje, así como el desarrollo de su pensamiento que es una
etapa más reflexible y reflexivo, deben alcanzar un nivel de consolidación y
estabilidad que le permitan enfrentar exigencias superiores en la educación.
40
En estas edades, tanto los educadores, como la organización pioneril deberán
aprovechar al máximo las potencialidades de los alumnos para elevar su
protagonismo, tanto en las actividades de aprendizaje, como en las extraclases y
pioneriles.
Las investigaciones destacan que en este sentido los alumnos consideran que
tienen las condiciones para asumir cada vez más, posiciones activas en las
diferentes actividades, hecho que si no se tiene en cuenta frena la obtención de
niveles superiores en su desarrollo.
En los momentos anteriores, la estructuración y organización de las acciones
educativas se orientaron primero a la adquisición de determinado proceso
(preescolar a segundo) y con posterioridad a su consolidación (tercero y cuarto). En
esta última etapa debe evidenciarse una mayor estabilidad en estas adquisiciones.
Tanto el comportamiento (regulación, orientaciones valorativas y normas de
comportamiento, entre otras) como en el conjunto de estrategia y procedimiento
intelectuales. De igual modo, las actividades de aprendizajes tales como las
habilidades para la observación, comparación, clasificación y argumentación, así
como habilidades para la observación, orientación, planificación, control y
valorización del aprendizaje deben constituir logros importantes para la edad de
once a doce años.
Este momento del nivel primario requiere, igual que los precedentes, atención
pedagógica como sistema, donde la articulación del quinto con el sexto grado se
vea como una sola etapa que debe dar respuesta a los logros a obtener los niños al
terminar la escuela primaria.
El adolescente en este ciclo presenta un desarrollo social que se amplia
considerablemente en relación con los alumnos del primer ciclo. Se van convirtiendo
en sujetos que comienzan a tener una mayor participación y responsabilidad social.
Ya hace mandados, vela por sus hermanos pequeños (si los tiene), actúa en cierta
forma, comunicándoles formas de conductas, patrones y hábitos. Se incorporan
activamente a las tareas pioneriles, comienzan a participar en fiestas. Hay aumento
de la independencia personal y la responsabilidad ante las tareas. Experimentan un
aumento notable, en las posibilidades cognoscitivas, en sus funciones procesos
psíquicos lo cual sirve de base para que se haga más altas exigencias a su
intelecto.
En esta etapa los alumnos ve a acrecentares sus posibilidades de trabajar con
contenidos abstractos, organizándolos y operándolos en la mente, es decir en el
41
plano interno, es capaz de hacer deducciones, juicios, formular hipótesis, con un
alto nivel de abstracción. Por tal motivo las asignaturas deben mantener un nivel de
exigencia que este acorde con sus posibilidades y constituyen un incentivo para sus
fuerzas intelectuales.
El aumento de la capacidad de reflexión que se produce en esta etapa unido a las
posibilidades creciente de autorregulación y actitud crítica ante sucesos y
situaciones constituyen aspectos importantes a tener en cuenta por los maestros,
sobre todo al formar su actividad cognoscitiva. El adolescente de quinto y sexto
grado en ocasiones al plantearse hipótesis lo demuestra mediante un proceso
deductivo que parte de lo general a lo particular, lo que no ocurría con anterioridad
pensamiento del desarrollo lógico. También resulta de valor en esta etapa, aunque
se inicie con anterioridad, el trabajo dirigido al desarrollo de la creatividad.
Al terminar el sexto grado, el alumno debe ser portador en su desempeño intelectual
de un conjunto de procedimientos y estrategias generales y específicas para
actividades de aprendizaje. Ante la solución de diferentes ejercicios y problemas
debe asumir un comportamiento de análisis reflexivo del análisis de las tareas, de
los procedimientos para su solución.
En este momento, las adquisiciones del niño desde el punto de vista cognoscitivo,
del desarrollo intelectual y afectivo-motivacional, se expresan en forma superiores
de independencia, de regulación, tanto en su comportamiento como en su accionar,
en el proceso de aprendizaje, así como en el desarrollo de su pensamiento que en
esta etapa es más reflexivo debe de alcanzar un nivel de consolidación y estabilidad
que le permitan enfrentar exigencias superiores. Sino se propicia que los alumnos
asuman cada vez más, posiciones activas en las diferentes actividades se frena la
obtención de niveles superiores en su desarrollo.
Este momento de nivel primario requiere, igual que los precedentes, atención
pedagógica como sistema, donde la articulación del quinto con el sexto grado se
vea como una sola etapa que debe dar respuestas a los logros a obtener en el niño
al término de la enseñanza primaria.
Análisis de los resultados y diagnóstico inicial. El diagnóstico es un proceso con carácter instrumental, que permite recopilar
información, en función de modificar o transformar algo, desde un estudio inicial
hasta un potencial, lo que permite una atención diferenciada.
El diagnóstico inicial, fue aplicado a una muestra seleccionada de forma intencional
conformada por 15 alumnos de sexto grado (de ellos 7 hembras y 8 varones), cuyas
42
edades oscilan entre 11 y 12 años, donde el autor se desempeña como maestro. El
grupo docente seleccionado para la investigación es heterogéneo en cuanto a
desempeño cognoscitivo, y en su composición se encuentran estudiantes de alto,
medio y bajo rendimiento. Pertenecientes a la escuela José Oquendo Díaz está
ubicada en el Consejo Popular La Caobita del municipio Santa Cruz del Sur. Se
tomaron como muestra escolares de sexto grado porque estos alumnos cierran el
segundo ciclo de la enseñanza primaria. Además esta etapa es muy importante
para la acción educativa encaminada al desarrollo de los sentimientos sociales y
morales.
Para diagnosticar el estado real de la preparación de los alumnos de la muestra
seleccionada en cuanto al proceso de resolución de problemas algebraicos, fue
necesario utilizar métodos de carácter empírico teniendo en cuenta las precisiones
para la comprensión y el control valorativo de las dimensiones e indicadores que
midan la efectividad del material docente propuesto se refleja en el siguiente
cuadro:
Dimensión 1- Generalización conceptual para resolver problemas que conducen a
ecuaciones.
Indicadores:
1. Expresar en el lenguaje algebraico las condiciones que contienen los enunciados
en el lenguaje común.
2. Reconocer procedimientos para resolver ecuaciones lineales de primer grado que
propicien la búsqueda de soluciones en los problemas que conducen a ecuaciones.
Dimensión # 2- Concreción de la solución.
Indicadores:
3. Aplicar algoritmo que propicie la búsqueda de soluciones en los problemas que
conducen a ecuaciones.
Dimensión #3- Actividad emocional positiva hacia resolver problemas que
conducen a ecuaciones.
Indicadores:
4. Acepta con agrado el estudio de los contenidos la asignatura Matemática, con
énfasis en la solución de problemas que conducen a ecuaciones.
5. Les gusta resolver ejercicios y problemas que conducen a ecuaciones.
43
La observación facilitó determinar el comportamiento de los alumnos, verificado en
su participación y motivación en la solución de ejercicios y problemas que conducen
a ecuaciones que se plantean en las tareas docentes durante las clases. Para su
implementación se requirió constatar el estado inicial de aspectos tales como: el
dominio de los referentes teóricos-metodológicos sobre la aplicación de conceptos,
propiedades y relaciones básicos para el desarrollo de habilidades en la resolución
de ejercicios y problemas que conducen a ecuaciones.
En la constatación se aplicaron diferentes instrumentos, encuestas a los alumnos,
prueba pedagógica inicial y final (Anexos 3, 4 y 6 respectivamente).
La encuesta aplicada a los alumnos de la muestra seleccionada (Anexo 3), con el
objetivo de obtener información sobre el conocimiento que tienen los alumnos
acerca de la resolución de los problemas que conducen a ecuaciones, en la
asignatura Matemática, arrojaron las regularidades siguientes:
De los 15alumnos, 9 manifiesta que le gusta la asignatura Matemática, los que
representan el 60%, 3, que representan el 20%, aluden que no le gusta y los
restantes 3, que representan el 20%, plantean que solo les gusta a veces.
La segunda pregunta referida a las dificultades que presentan para solucionar un
problema donde intervienen las variables, los por cientos más significativos (más del
60%) estuvieron en los incisos del a) al e), donde la mayoría del grupo
seleccionaron los mismos. En la tercera pregunta, referida a la satisfacción que
sienten por resolver problemas, la gran mayoría (casi el 80%) marcaron la opción de
que no les gusta.
En la cuarta pregunta el 86,7% marcaron que no les gusta resolverlo solo y el resto
a veces. Con relación a las dos últimas preguntas lo más significativo fue que la
mayoría (casi el 86,7%) marcaron que sí se preocupan por mejorar los resultados y
que sus maestros los motivan y orientan correctamente para solucionar los
problemas.
Al aplicar la prueba pedagógica inicial (Anexo 4) se evidencia que las principales
dificultades que poseen los estudiantes al solucionar problemas que conducen a
ecuaciones, fueron:
• Identificar las palabras claves y su significado, en específico la palabra excede.
• Traducir del lenguaje algebraico al común.
• Sustituir las variables y realizar el cálculo.
• Aplicación de definiciones y propiedades a la solución de problemas. `
• Resolver problemas en los que hay que modelar con una ecuación lineal.
44
La aplicación de la prueba pedagógica inicial permitió constatar el estado actual de
los alumnos en los contenidos algebraicos a partir de las dimensiones e indicadores
establecidos para evaluar este aspecto a transformar; sus resultados aparecen
reflejados en el (Anexo 5).
Al evaluar el primer indicador de la dimensión 1, referido a expresar en el lenguaje
algebraico las condiciones que contienen los enunciados en el lenguaje común,
cuatro alumnos, que representa el 26,7%, se ubican en la categoría de bien, siete,
en la de regular, que representa el 46.7%, y los cuatro restantes, en la de mal, para
un 26,7%.
El indicador 2 de esta dimensión referido a reconocer procedimientos para resolver
ecuaciones lineales de primer grado que propicien la búsqueda de soluciones en los
problemas que conducen a ecuaciones, alcanzaron la categoría de bien, tres
alumnos, que representan el 20%, tres en la de regular, para un 20%, y los nueve
restantes, la de mal, que representa el 60%. El indicador 3 de esta dimensión 2,
referido a aplicar el algoritmo que propicie la búsqueda de soluciones en los
problemas que conducen a ecuaciones, alcanzaron la categoría de bien seis
alumnos, que representan el 40%; cuatro, la de regular, para un 26,7%, y los cinco
restantes, la de mal, que representa el 33,3%.
El indicador 4 de la dimensión 3, que se refiere a si acepta con agrado el estudio de
los contenidos la asignatura Matemática, con énfasis en la solución de problemas
que conducen a ecuaciones, tres alumnos se ubican en la categoría de bien, que
representa el 20%; en la de regular, cuatro, para un 26,7% y los ocho restantes la
de mal, que representan el 53,3%. El indicador 5 de esta dimensión referido a si le
gusta resolver ejercicios y problemas que conducen a ecuaciones el 26,7%
resultaron evaluados de bien que representan 4 alumnos; de regular, cuatro para el
26,7% y los siete restantes que representa el 46,7%, evaluados de mal.
Al tabular los resultados de los indicadores de las tres dimensiones del diagnóstico
inicial (Anexo 5, tabla 1) en la dimensión 1, 2 alumnos alcanzan la categoría de
adecuada para un 13,3 %; 8 la de poco adecuada, para el 53,3%, y los 5 restantes,
la de inadecuada para un 33,3%. La dimensión 2 en la categoría de adecuada la
alcanzan 6 que representa el 40 %, la de poco adecuada, 4, para un 26,7%, y 5 la
de inadecuada, para un 33,3%. En la dimensión 3, en la categoría de adecuada, 3,
para un 20%; 5 la de poco adecuada, que representa el 33,3% y los restantes 7, la
de inadecuada, para un 46,7%.
45
Al analizar los resultados de la medición de los indicadores de las tres dimensiones
que permiten evaluar la variable del cambio educativo se pudo constatar que en el
proceso de resolución de problemas que conducen a ecuaciones los alumnos del
sexto grado obtienen como resultado una evaluación de inadecuada teniendo en
cuenta que seis alumnos, que representan el 40 %, se encuentran en esta categoría
y solo dos en la de adecuada, para un 13,3% (Anexo 5, tabla 2).
Los resultados reflejan que los alumnos al ingresar en el sexto grado, presentan
insuficiencias para enfrentar la resolución de problemas que conducen a
ecuaciones, al constatar coincidencia entre las dificultades que sustentan el
problema de la investigación y la realidad que presentan en cuanto a su aprendizaje
en este nivel de enseñanza lo cual se muestra en los bajos resultados alcanzados
en la prueba pedagógica de entrada.
A criterio del autor, una de las causas que también incide en estos resultados es: la
forma en que se presentan las tareas docentes relacionadas con el trabajo con
variables, particularmente los problemas que conducen a ecuaciones, que en la
mayoría de los casos son poco significativos para los alumnos; por otra parte la
tendencia que tienen los maestros a bajar el nivel de exigencia al presentarlos en
las diferentes actividades docentes que se imparten, motivado por la acumulación
de insuficiencias en el contenido con que ingresan los alumnos en este nivel, y esto
repercute en su motivación e interés para su realización.
Fundamentos teóricos de la propuesta del sistema de ejercicios.
Son numerosas las tesis de maestría que se han realizado en nuestra provincia en
las que se ha abordado el concepto de sistema, después de un minucioso análisis
de las mismas se asume el criterio de Valle Lima A. (2001). El que expresa que
cada sistema en sí mismo, además de caracterizarse por sus interrelaciones
internas, al estar sujeto a las condiciones del medio donde se encuentra, establece
relaciones externas con otros sistemas mayores, adquiriendo connotación de
subsistema o componente de estos.
El sistema es un todo único respecto a las condiciones circundantes y a otros
sistemas. Son características esenciales las cualidades que resultan de la unidad
de sus componentes, dirigidas al logro de los objetivos que se persiguen. En
correspondencia con ello surge la necesidad de una estructura organizativa y la de
determinar las relaciones externas que establece con otros sistemas mayores y con
el medio donde se encuentra.
46
Por tanto para Valle Lima A, Sistema es: “...un conjunto de componentes
lógicamente interrelacionados que tienen una estructura y cumple ciertas funciones
con el fin de alcanzar determinados objetivos”. (Valle, L.2001.p.17).Se asume este
concepto por considerarlo más abarcador, más explicito y esclarecedor para los
propósitos que se pretende lograr con esta investigación:
En la literatura consultada existen diferentes criterios del concepto ejercicio. La
mayoría de los autores lo definen como una exigencia para la realización de
acciones, solución de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, etc.
El concepto de ejercicio en la enseñanza de la Matemática, ha sido tratado por
varios especialistas, en este sentido H. Müller, destaca: “como ejercicio en la
enseñanza de la Matemática una exigencia para actuar que es caracterizada por: el
objetivo de las acciones, el contenido de las acciones las condiciones para las
acciones. (Horst Müller, 1982.p.33)
El objetivo de todas las acciones en la resolución de un ejercicio es en cada caso
transformar una situación inicial (elementos dados, premisas) en una situación final
(elementos que se buscan, tesis).
El contenido de las acciones en la resolución de un ejercicio es caracterizado de
una parte por el objeto de las acciones y por otra parte por cierto tipo de acciones.
Como objetos de las acciones aparecen en los ejercicios:
• Elementos de materia matemáticos (conceptos, proposiciones y procedimientos).
• Correspondencia entre situaciones extramatemáticas y elementos de materia
matemáticos.
• Procedimientos Heurísticos (principios, estrategias, reglas y programas) de
carácter general y específico, así como medios heurísticos auxiliares.
Como condiciones para las acciones en el trabajo con un ejercicio se encuentran en
primer lugar las exigencias que el ejercicio pone al alumno. Estas exigencias que se
presentan por la forma de representación o codificación, por la complejidad de las
condiciones, de los medios matemáticos o del proceso de pensamiento, por la
actualidad de los conocimientos necesarios o por la cantidad y extensión de las
operaciones necesarias se expresan mediante el grado de dificultad del ejercicio.
En el libro de Metodología de la Enseñanza de la Matemática I, Ballester y otros
plantean que: “Un ejercicio matemático está formado por tres componentes que
son: La situación inicial (los elementos que se dan, premisas), la vía de solución
(las transformaciones que hay que llevar a cabo para resolverlo), a situación final
(elementos que se buscan, tesis)”. (Ballester, 1992. Pág.231.)
47
Estas tres definiciones tienen puntos de contacto cuando se destaca que un
ejercicio es una exigencia para actuar y en todas se plantea la existencia de una
situación inicial, una vía de solución y una situación final. En nuestro criterio estos
elementos precisan las características esenciales de los ejercicios en la enseñanza
de la Matemática.
En la didáctica de la Matemática se utiliza con frecuencia la clasificación de
ejercicios dada por Werner Jungk, para este autor “Como concepto superior se
elige el concepto de ejercicios matemáticos planteados a los estudiantes. Como
conceptos subordinados aparecen ejercicios construidos y de aplicación. Los
ejercicios construidos son aquellos que han sido elaborados por razones didácticas,
con el fin de ejercitación, profundización y aplicación y que no son ejercicios de
aplicación. Tales ejercicios pueden subdividirse nuevamente en dos grupos:
ejercicios formales y ejercicios con texto. Estos últimos pueden clasificarse
nuevamente en ejercicios con textos matemáticos y ejercicios con textos
relacionados con la práctica.
Los ejercicios de aplicación no se basan en problemas matemáticos, sino en
problemas que surgen directamente en la práctica, pero en la solución de estos se
aplican procedimientos matemáticos. (Junk. W. 1979)
Coincidimos totalmente con lo planteado por Johon Peña, Martín (2005) en que esta
clasificación presenta algunas ambigüedades e imprecisiones entre los ejercicios de
aplicación y los ejercicios con texto relacionados con la práctica, y por otra parte
lleva implícita una concepción limitada de lo que se entiende por problema en la
enseñanza de la Matemática sobre todo entre los ejercicios con texto relacionados
con la práctica y los de aplicación.
Los ejercicios deben ser utilizados en el proceso de consolidación,
fundamentalmente cuando se dedican sistemas de clases a ello, donde
constantemente los alumnos activen los nodos establecidos para su aplicación,
recuperación y transformación, en dependencia del nivel alcanzado en una etapa
determinada, de allí la necesidad de utilizar ejercicios llamados "integradores" por
muchos docentes y didáctas, pero que en la bibliografía consultada no tienen una
definición.
A criterio del MSc. Oscar S. Marrero Ramírez, los ejercicios integradores en
Matemática pueden caracterizarse como exigencias para transformar una situación
inicial en otra final que requiere de la utilización de diferentes conocimientos
48
(conceptos, teoremas y procedimientos) de una misma o de diferentes ramas de la
Matemática.
Son ejercicios construidos con la intención didáctica de contribuir a la
retroalimentación de los conocimientos y al desarrollo de las habilidades y del
pensamiento de los alumnos, pues a través de ellos se puede propiciar:
• La fijación de conocimientos sobre conceptos, proposiciones matemáticas (en
particular teoremas), procedimientos de trabajo matemático y símbolos y fórmulas
matemáticas.
• El desarrollo de hábitos y habilidades para la realización de operaciones básicas
de cálculo y la resolución de ecuaciones.
• El desarrollo de capacidades para aplicar los conocimientos, hábitos y habilidades
matemáticos, tales como: fundamentar la validez de proposiciones matemáticas,
entender y realizar independientemente demostraciones sencillas, aplicar
correctamente a terminología, simbología y el lenguaje matemático, así como
reconocer, analizar y solucionar problemas matemáticos.
• El desarrollo del pensamiento en general, a través de la realización de las
operaciones mentales tales como: analizar y sintetizar, comparar y clasificar,
generalizar y concretar, abstraer y particularizar y diversas formas del pensamiento
específico de las matemáticas - el pensamiento lógico-deductivo, creativo , la
formación lingüística, el pensamiento geométrico espacial, el desarrollo del
pensamiento final (convergente y divergente), el desarrollo del pensamiento
algorítmico, el desarrollo del pensamiento funcional y la racionalización del trabajo
mental de los alumnos.
La resolución de ejercicios y problemas es una vía fundamental para realizar la
enseñanza de la Matemática. Es por ello que los maestros deben conocer formas
efectivas de explotar al máximo las posibilidades que estos brindan para contribuir
al mantenimiento y desarrollo de habilidades y hábitos; al desarrollo del
pensamiento y la educación ideológica de los alumnos.
El carácter de problema de un ejercicio está en dependencia del alumno al que se
encuentra dirigido. En un sentido didáctico, se requiere que:
• El alumno tenga disposición interna, interés, motivos para enfrentar el ejercicio.
• Los medios necesarios y suficientes para la solución, y los recursos intelectuales
que permiten solucionar el ejercicio, estén en el entorno entre lo conocido y lo
posible de conocer de forma independiente, o con una ayuda comprensible.
49
El autor se afilia al concepto de ejercicio dado por Ballester, (1992) en el libro
Metodología de la Enseñanza de la Matemática tomo I ya que considera que es el
más apropiado al sistema propuesto donde se parte de una situación inicial, la vía
de solución y la situación final.
Por su parte Sonia Remis Solana (1986) define el sistema de ejercicios como:”Una
organización de las acciones docentes interrelacionadas ubicadas según el nivel de
las dificultades, teniendo en cuenta el orden del proceso de formación de las
habilidades.”(Remis Solana, 1986. p. 18).
Esta definición tiene en cuenta las habilidades específicas adquiridas por los
alumnos y su interrelación, haciendo énfasis en los niveles cognitivos para lograr el
éxito del aprendizaje de cualquier materia, siendo estas las condiciones previas
que se tuvieron en cuenta para realización de este material docente, por lo que se
tiene a bien tomar esta definición para aplicarlo posteriormente.
De lo expuesto anteriormente se puede deducir que los elementos del sistema de
ejercicios al cual se afilia el autor están relacionados entre sí, y se justifica de
acuerdo a la selección que se realizó de cada una de los ejercicios, de manera que
las primeras constituyen elementos necesarios para los restantes, lo que permite
avalar esa interrelación y la formación íntegra que plantea la definición elaborada
por el autor y los objetivos de cada uno de los ejercicios contribuyen al logro del
objetivo general que es favorecer el aprendizaje de la resolución de problemas de
los alumnos de sexto grado.
Desde el punto de vista psicológico el sistema de ejercicios se sustenta en el
enfoque histórico cultural en el que se asumen los principios y postulados de esta
teoría y de su máximo representante L. S. Vigotsky, al considerar el aprendizaje del
hombre como una resultante de su experiencia histórica-cultural, que el
conocimiento es el resultado de la interacción dialéctica entre el sujeto cognoscente
y el objeto dentro de un contexto histórico-socio-cultural; en su obra se señala la
importancia del proceso de enseñanza como fuente del desarrollo psíquico del
hombre, con un adecuado vínculo entre instrucción, desarrollo y educación, que le
permitan su preparación para el desempeño de sus funciones.
El sistema propuesto consta de 35 ejercicios variados, de ellos. El primer sistema se
concibió para preparar a los alumnos en la traducción del lenguaje común al
algebraico y su propósito fundamental es el trabajo con la comprensión del texto, los
mismos se elaboraron para solucionar las dificultades existentes; intencionándose
entre otras cosas a el trabajo con las palabras claves y el significado de las
50
operaciones de cálculo, condiciones previas para la formación y desarrollo de la
habilidad resolver problemas que conducen a una ecuación lineal.
El segundo sistema se intencionó a modelar mediante una ecuación el texto del
problema sin que el alumno tenga que solucionar el mismo en la propia clase y en el
tercero los problemas que se proponen su objetivo fundamental es lograr que los
alumnos lo resuelvan. Es importante aclarar que esta organización puede ser
flexible y su inserción en el sistema de clases puede variar en dependencia de las
necesidades de los alumnos y los propósitos que se quieran lograr en las clases de
la unidad, en ningún momento fue intensión del autor organizarlos por parámetros
de dificultad, niveles de dificultad, ni por niveles de desempeño cognitivo.
El sistema de ejercicios integra las tres áreas del saber aritmética, álgebra y
geometría cumplimentando una de los lineamientos de la asignatura a lograr con los
alumnos de este grado, tiene además, un carácter sistémico, porque fue elaborado
para alcanzar determinados objetivos, es decir, contribuir al desarrollo de la
habilidad resolver problemas que conducen a ecuaciones; por otra parte cada uno
de los ejercicios propuestos en el sistema están interrelacionados lógicamente entre
sí, y cumplen con las funciones instructiva, educativa y de desarrollo, lográndose
que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática sea más efectivo y
cumpla con los objetivos de esta asignatura.
Los ejercicios confeccionados por otra parte logran la sistematización, fijación de
conocimientos, conceptos, procedimientos, relaciones entre números y magnitudes
necesarias para lograr el principal objetivo que exige el programa de este grado,
garantizarse un aprendizaje consiente, con solidez y permanencia en los
conocimientos.
La propuesta de ejercicios contribuye al desarrollo de la habilidad resolver
problemas que conducen a ecuaciones lineales correspondientes al capítulo D,
además se tuvo en cuenta para su confección algunos ejercicios con datos reales y
vinculados con la realidad que rodea a este tipo de alumno de sexto grado.
El autor de esta investigación considera como una necesidad la creación del
sistema de ejercicios donde el alumno tenga que transitar por el sistema
operacional de la habilidad resolver problemas, que le permitan resolver las
dificultades existentes y resolver problemas que conducen a una ecuación lineal y
dar cumplimiento al principal objetivo de esta unidad, y del programa.
La variante propuesta para la comprensión y resolución de problemas que
conducen a ecuaciones determina el enfoque sistémico en las habilidades, al
51
determinarse, la habilidad general del sistema, en el modo de actuar necesario para
resolver el problema como expresión de lo que debe saber hacer el alumno con el
contenido que estudia y esto constituye la base para el desarrollo de cada habilidad
básica y elemental y las habilidades generales (intelectuales y docentes) que
conforman las acciones o sistemas de acciones u operaciones derivadas de los
conceptos, propiedades, relaciones y procedimientos concretos, que con su
sistematización dan al alumno la posibilidad de comprender y resolver los
problemas de forma independiente y lograr que los alumnos se apropien de un
grupo de habilidades tales como:
• Localizar datos (observar, leer, preguntar, etc.)
• Interpretar la información (comprender e interpretar tablas, gráficos)
• Concretar y aplicar (planificar, argumentar, obtener, etc.)
• Recomponer (elaborar un modelo nuevo)
• Inventar, crear.
Sistema de ejercicios 1.
1. Expresa con variable la designación matemática que tienen estas palabras que a
menudo puedes encontrar en un texto.
a) Un número ----------------------
b) El doble de ese número ----------------------
c) La mitad de ese número -----------------------
d) El cuadrado de ese número -----------------------
e) Si ese número es par -------------------------------
f) Si ese número es impar -----------------------
g) La raíz cuadrada de un número -----------------------------
2. Exprese con variables las siguientes situaciones:
a) La empresa de gas licuado de Ciudad Habana triplicó el nivel de sus servicios
b) La mitad de los alumnos de un aula
c) Una cantidad de piezas aumentada en 60
d) El precio de un artículo disminuido en $ 8,00
3. En las afirmaciones siguientes complete los espacios en blanco.
a) Cuando calculamos el 25% de un número estamos hallando la _________ parte
de ese número.
b) Al determinar la quinta parte de un número es igual que calcular el __________.
c) Las tres quintas partes de un número es el __________.
52
4. Traduce del lenguaje común al algebraico las siguientes situaciones. En el caso
que lo requiera, realiza un modelo.
a) Si un número X es multiplicado por 5 y se le adiciona 3 el resultado es 64.
b) El perímetro de un triángulo equilátero es igual a 63,6 metros.
c) De dos ángulos adyacentes, uno es el quíntuplo del otro.
d) Un rectángulo de perímetro 30,8 dm, uno de los lados es mayor en 3,0 dm que el
otro.
5. Marca con una (x) el inciso que exprese en el lenguaje común la expresión que
aparece a continuación 10y – 6.
___ La décima parte de un número disminuido en seis.
___ Un número disminuido en seis.
___ El décuplo de un número disminuido en seis veces el mismo.
___ El décuplo de un número disminuido en seis.
a) ¿Qué diferencia existe entre la décima parte de un número y el décuplo de un
número?
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a la expresión algebraica:
x – 3 = Y? Argumenta el por qué de la selección.
a) ___ Un número disminuido en tres.
b) ___ Un número ( x ) excede en tres a otro número ( y ).
c) ___ Un número ( y ) excede en tres a otro número ( x ).
d) ___ El número ( x ) es menor que Y en 3.
7. En cada uno de los casos escribe en el lenguaje común la relación existente
entre las variables a y b y compara a y b, llega a una conclusión. Realiza un
esquema que te ayude a interpretar esta relación.
a) a - 4 = b b) a = b + 4 c) a - b = 4
7.1 En cada caso plantea una situación de la vida cotidiana que represente la
relación entre a y b.
8. Juan logró en la prueba de Matemáticas 5 puntos menos que María y Clara tiene
3 veces más puntos que Juan. Si María alcanzó p puntos en la prueba. ¿Cuál de las
expresiones siguientes representa los puntos obtenidos por Clara en la prueba?
A: 5 – 3p B: 3p C: p - 5 D: 3p - 5 E: 3 (p – 5)
9. Si x es la capacidad de litros de agua que tiene un tanque. Representa
algebraicamente:
a) La mitad de la capacidad del tanque.
b) La capacidad del tanque aumentada en 10L.
53
c) Las 3/4 partes de la capacidad del tanque.
10. En un rectángulo cuyo ancho y largo miden a cm y b cm respectivamente,
representa:
a) El largo es el duplo del ancho:
b) El largo excede en 1/4 cm al ancho:
c) El ancho es el 75% del largo:
11. Si un número n es multiplicado por 7 se le adiciona 6, el resultado es 41. ¿Cuál
de las siguientes ecuaciones representa la relación?
a) _ 7n – 6 = 41 c) _ 7n. 6 = 41
b) _ 7n + 6 = 41 d) _ 7(n + 6) = 41
Sistema 2:
1. ¿Cuál es el número que:
a ) Disminuido en 2069 es igual a 510?
b) Multiplicado por 45 es 9045?
c) Su mitad es 1,51? d) Aumentado en 5,78 es 17,38? e) Excede en 15 a 97?
1.1 Escribe como se lee el número que encontraste en cada caso.
2. Una sola de las siguientes alternativas es válida; selecciona en cada caso la
respuesta correcta.
a) ¿Cuál de las ecuaciones dadas representa la siguiente afirmación?
La tercera parte de los alumnos del grupo A superan en seis a los 30 alumnos del
grupo B (X) representa la cantidad de alumnos del grupo
___ X + 6 = 30 ___ 3x - 6 = 30 ___
3x + 6 = 30 ___ 3X-6 = 30
3. La solución de la ecuación 7x – 5x - 3 = 1 es:
4. La solución de la ecuación 3,5x – 2,2+ 1,3x = 2,6 es:
a) _ 0,1 b) _ 1 c) _ 1,2 d) _ 12
5. La solución de la ecuación 11x – 4 – 5x = 2x - 6 + 90 es:
a) _ 2,2 b) _ 2 c) _ 0,2 c) _ 2/10
6. El valor de x en la ecuación 1,4 – 0,7x + 6,0 = x/5 + 8,0 es:
_ 11,6 _ 4 _ 1,26 _ 1
7. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos que se indican en la figura siguiente:
X + 6º X + 15º
X + 9º
54
8. En un triángulo ABC, el ángulo A = 3x - 45º, el ángulo B=A y el ángulo C = x + 9º
a) ¿Cuál es la amplitud de sus ángulos interiores?
b) Clasifica el triángulo según sus ángulos y según sus lados.
9. En la figura siguiente: a ⁄⁄ b y c es una secante Ángulo 2 = 2x + 55º Ángulo1 = x
+ 50º .Calcula las amplitudes de los ángulos 1, 2 y 3
10. Determina la amplitud de dos ángulos consecutivos que forman un ángulo recto
y sus amplitudes están en la razón 7: 8
11. Calcula la amplitud de los siguientes ángulos, si sabes que m es una recta.
m
a =6x b=3x
c= 4x
d = 5x
Sistema 3:
1. Sean dos ángulos m y n alternos entre paralelas, donde <m = 7x - 13°
y < n = 4x + 22º. Calcula el valor de x y las amplitudes de m y n.
2. Si dos ángulos adyacentes están en la razón 5: 7. Determina la amplitud de
dichos ángulos
3. Si dos ángulos 3 y 4 son adyacentes, tales que el < 3 = 3x + 9° y el ángulo
es igual al triple del ángulo 3. Calcula el valor de x y las amplitudes de los
ángulos 3 y
4. En un triángulo ABC, rectángulo en C, sabes que el < B = 6x - 12°y <A= 4x+32°.
Calcula el valor de los ángulos agudos.
5. El ángulo vertical de un triángulo isósceles mide 8x - 32º y la amplitud de uno de
los ángulos de la base es 5x + 25º ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del
triángulo?
6. Si A y B son dos ángulos adyacentes, donde la amplitud de B es igual al 45%
de la suma de ambos ángulos. Calcula la amplitud de cada uno de los ángulos.
a
b
1
2 3
55
7. En un triángulo isósceles, el ángulo vertical representa el 30% de la suma de las
amplitudes de sus ángulos interiores. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de los
ángulos de la base?
8. Si la suma de las amplitudes de dos ángulos alternos entre paralelas,
representan el 40% de la suma de dos ángulos conjugados entre paralelas.
Determina la amplitud de cada uno de los ángulos alternos.
9. En un colegio electoral a las 10:00 a.m. ya habían votado la tercera parte de la
cantidad de sus votantes. Si el colegio tiene 1500 votantes. Exprese con variables la
relación que permite calcular la cantidad de votantes que han ejercido su derecho al
voto.
10. ¿Cuál es el doble del mayor de cinco números impares consecutivos cuya suma
es 85?
11. Soy un número de cuatro dígitos que en el lugar de las unidades tiene el duplo
de cuatro, la mitad de ese duplo aumentado en dos en el lugar de las decenas y la
suma de las cifras que ocupan las unidades y las decenas es la cantidad de
centena que tiene el número.
a) ¿Qué significado tiene la palabra duplo, mitad y aumentado?
b) ¿Cuál es el número?
c) ¿Cuántas centenas tiene el número?
d) Escribe como se lee el número formado.
12. El triplo de los alumnos que practican deporte disminuido en 15 coincide con el
25% de la matrícula de la escuela que es de 240 pioneros. ¿Cuántos pioneros
practican deporte?
13. El perímetro de un triángulo isósceles es de 12 cm. Si se conoce que su lado
base mide 5,2cm. ¿Cuál es la longitud de sus lados?
En un pre-universitario, el doble de los alumnos del grupo 1 de décimo grado
excede en 15 a los 45 del grupo 2, ¿Cuántos alumnos tiene el grupo?
Análisis de los resultados finales. La aplicación de la prueba pedagógica de salida (anexo 6), después de
implementado el sistema de ejercicios en la práctica pedagógica, permitió constatar
el estado de la variable a partir de las dimensiones e indicadores establecidos para
evaluar este aspecto a transformar; sus resultados aparecen reflejados en el
(anexo7).
Al evaluar el primer indicador de la dimensión 1, referido a expresar en el lenguaje
algebraico las condiciones que contienen los enunciados en el lenguaje común,
56
siete alumnos que representan el 46,7% se ubican en la categoría de bien; siete
en la de regular que representan el 46,7%, y el restante en la de mal, para un
6,7%.
El indicador 2 de esta dimensión referido a reconocer procedimientos para resolver
ecuaciones lineales de primer grado que propicien la búsqueda de soluciones en los
problemas que conducen a ecuaciones alcanzaron la categoría de bien nueve
alumnos, que representan el 60%, dos la de regular para un 13,3%, y los cuatro
restantes la de mal, que representan el 26,7%.
Los resultados del indicador 3 de la dimensión 2 referido a aplicar algoritmo que
propicie la búsqueda de soluciones en los problemas que conducen a ecuaciones
se comportó de la siguiente forma: doce alumnos evaluados de bien que
representan el 80%, de regular, tres, para un 20% y ninguno de mal. El indicador 4
de la dimensión 3 que se refiere a si acepta con agrado el estudio de los contenidos
la asignatura Matemática, con énfasis en la solución de problemas que conducen a
ecuaciones, ocho alumnos se ubican en la categoría de bien, que representan el
53,3%, en la de regular, siete, para un 46,7% y ninguno en la de mal.
El indicador 5 de esta dimensión referido a si les gusta resolver ejercicios y
problemas que conducen a ecuaciones cinco alumnos fueron evaluados de bien
que representan el 33,3%, de regular seis para el 40% y los cuatro restantes que
representan el 26,7%, evaluados de mal.
Al tabular los resultados de los indicadores de las tres dimensiones del diagnóstico
final (anexo 7, tabla 1) en la dimensión 1, ocho alumnos alcanzan la categoría de
adecuada, para un 53,3 %, cuatro, la de poco adecuada, para el 26,7%, y tres en la
de inadecuada, para un 20%.
La dimensión 2, en la categoría de adecuada la alcanzan diez, que representan el
66,7%; la de poco adecuada, tres para un 20%, y dos de inadecuada, para un
13,3%. En la dimensión 3, en la categoría de adecuada, nueve, para un 60%; tres,
de poco adecuada, que representan el 20% y los tres restantes, de inadecuada,
para un 20%.
Al analizar los resultados de la medición de los indicadores de las tres dimensiones
que permiten evaluar la variable del cambio educativo: EL proceso de resolución de
problemas que conducen a ecuaciones en los alumnos del sexto grado de la
Escuela Primaria “José Oquendo Díaz”, se obtiene como resultado una evaluación
de adecuada teniendo en cuenta que nueve alumnos, que representan el 60 %, se
encuentran en esta categoría y solo tres, en la de inadecuada, para un 20%.
57
Al comparar los resultados entre el diagnóstico inicial y final de la evaluación de las
dimensiones e indicadores (anexo 7, tabla 2) donde se aprecia que todos los
indicadores afectados avanzan se puede afirmar que el sistema de ejercicios para
favorecer la resolución de problemas que conducen a ecuaciones, a partir de su
puesta en práctica, posibilitó la transformación alcanzada en la preparación de los
alumnos de sexto grado de la Escuela Primaria “José Oquendo Díaz”. (Anexo 8)
El sistema de ejercicios relacionado con la resolución de problemas que conducen a
ecuaciones posibilitó la sistematización de los contenidos referentes al complejo de
materia: trabajo con variable, que se imparte en el grado y proporcionó el
seguimiento del diagnóstico de cada alumno, al corregir sus insuficiencias de
grados presedentes, al mismo tiempo garantizó la fijación, solidez de los
conocimientos y el trabajo con los errores cognitivos; por lo que la propia exigencia
de cada uno de los ejercicios en la concepción de sistema, proporcionó lograr el
objetivo propuesto en esta investigación.
Algo significativo fue también, lograr que cada alumno de la muestra seleccionada
en esta investigación avanzaran en el orden cualitativo y cuantitativo en cada uno
de los indicadores de las tres dimensiones que se mueven en una dirección
positiva, la realidad antes de la intervención en la práctica educativa ha sido
transformada, hubo un cambio educativo, ha habido avance en el aprendizaje de los
alumnos: única intención que se tuvo al elaborar el sistema de ejercicios, de ahí la
efectividad del material docente aplicado con la intervención en la práctica
pedagógica; por otra parte, además, se hizo una contribución a la motivación e
interés por la realización de ejercicios, aspecto que contribuye al desarrollo de las
diferentes habilidades matemáticas a lograr en este grado con lo que se tributó a los
objetivos formativo del modelo de La Educación Primaria, que se deben lograr en el
nivel primario. Estos resultados comparativos entre el diagnóstico inicial y final de la
evaluación de las dimensiones e indicadores aparecen reflejados en el gráfico del
(anexo 8).
Validación y evaluación de la aplicación en la práctica.
Los ejercicios elaborados para encaminar la solución al problema científico
declarado en virtud del cumplir el objetivo propuesto en la presente investigación,
fue sometida a condiciones experimentales en los escolares seleccionados como
muestra durante los meses de marzo a junio del curso escolar 2008 - 2009 en la
docencia que realiza en sexto grado en la escuela primaria. Para evaluar la
efectividad de la propuesta diseñada primeramente se establecieron las
58
dimensiones e indicadores que permiten la medición de la variable del cambio
educativo.
A partir de octubre se realizó la revisión de documentos y la familiarización con los
alumnos. En el mes de marzo se aplicó una encuesta a los escolares, que tuvo
como objetivo constatar la realización de los ejercicios y el nivel de conocimiento
que tienen los escolares acerca de la ejecución del mismo, es decir, qué van a
hacer, cómo lo van a hacer, para qué lo van a hacer, cuándo y dónde se lo van a
controlar.
Dicha encuesta demuestra bajos resultados en los indicadores muestreados. Esta
fue tomada como punto de partida y diagnóstico inicial de los escolares implicados
en la muestra.
En la tercera semana del mes de marzo se aplicó la prueba pedagógica de
entrada, la que se empleó como diagnóstico, que evidenció los resultados según
las dimensiones e indicadores dificultades en cuanto a las habilidades específicas
para la solución de problemas.
Se aplicaron todos los ejercicios que diseñó el autor, y al finalizar el mes de abril se
aplicó la prueba pedagógica final a los escolares de la muestra, la misma demostró
la evolución satisfactoria de los implicados en los indicadores muestreados, como
puede apreciarse en las tablas.
Se considera que los ejercicios aplicados demostraron que la propuesta fue
efectiva para los escolares que fueron sometidos a la misma, aunque no logra
transformar a la totalidad de la muestra en algunos aspectos se logró la
transformación y el objetivo propuesto en la presente investigación.
59
CONCLUSIONES
• El análisis de las concepciones teóricas precedentes acerca del proceso de
resolución de problemas que conducen a ecuaciones; aporta los criterios que
brindan las bases a el autor para facilitar el proceso de resolución de problemas de
este tipo atendiendo al sistema de ejercicios propuestos.
• Los análisis teóricos y empíricos desarrollados permitieron realizar el diagnóstico
del estado del problema investigado e identificar que no se ha realizado un trabajo
sistemático, profundo, coherente y personalizado en la facilitación del proceso de
resolución de problemas que conducen a ecuaciones en los alumnos de sexto
grado, lo que se evidencia en la no utilización de un sistema de ejercicios.
• El sistema de ejercicios, se diseñó teniendo en cuenta la preparación que se
requiere tengan los alumnos sobre la resolución de problemas, en particular los
problemas que conducen a ecuaciones para contribuir a favorecer su aprendizaje
de los alumnos del sexto grado de la Escuela Primaria “José Oquendo Díaz”.
• La aplicación del sistema de ejercicios aumentó la dedicación de los alumnos al
desarrollo del estudio independiente, el nivel de asimilación en los contenidos
estudiados y la actividad emocional positiva hacia el proceso de resolución de
problemas que conducen a ecuaciones, contribuyendo a su aprendizaje en la
asignatura Matemática de la Escuela Primaria “José Oquendo Díaz”
60
RECOMENDACIONES Por la importancia de la temática y la necesidad de que todos alumnos de la
Enseñanza Primaria eleven la calidad del aprendizaje recomendamos aplicar el
sistema de ejercicios encaminada a erradicar la solución de problemas que
conducen a ecuaciones mediante la realización de actividades sistemáticas y
variadas. Además de continuar la validación para conocer con mayor profundidad la
efectividad de la propuesta.
BIBLIOGRAFÍA AFANASIEV, V. G. “Dirección científica de la sociedad”. Editorial Progreso: Moscú, p.
23, 1977.
ÁLVAREZ DE ZAYAS, C. Metodología de la investigación científica. Ed. Pueblo y
Educación: Ciudad de La Habana, 1995.
_________. Hacia una escuela de excelencia. Ed. Academia: La Habana, 1996.
_________. Didáctica. La escuela en la vida. Ed. Pueblo y Educación: Ciudad de La
Habana, 1999.
ARANGO, C y Ballester S. ¿Cómo consolidar los conocimientos matemáticos en los
alumnos?Ed. Pueblo y Educación: Ciudad de la Habana, 1995.
BALLESTER PEDROSO, S. El transcurso de las Líneas Directrices en los Programas
de Matemática y la Planificación de la Enseñanza. Ed. Pueblo y Educación: Ciudad de
La Habana, 2002.
_________. Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo I. Ed. Pueblo y
Educación: La Habana, 1992.
_________. Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo II. Ed. Pueblo y
Educación: La Habana, 2000.
_________. Los ejercicios de nuevo tipo en la enseñanza de la Matemática. La
Habana, Pedagogía 97. _________. Enseñanza de la Matemática y dinámica de grupo. Ed. Academia: La
Habana, 1995.
BLANCO HERNÁNDEZ, Maura. Propuesta metodológica para la formación y
desarrollo de las habilidades definir, fundamentar y demostrar en la unidad de
Geometría Plana de Séptimo Grado. Tesis en opción al título de Máster en Didáctica
de la Matemática. Material en soporte magnético.
BLANCO PÉREZ, Antonio. Filosofía de la educación. Selección de lecturas. Editorial
Pueblo y Educación: Ciudad de la Habana, 2003.
BROWN, S.I. The art of problem posing. Philadelphia: Franklin Institute Press. 1983).
Cuba. Ministerio de Educación. Programa y Orientaciones Metodológicas: 7mo grado.:
Editorial Pueblo y Educación: La Habana, 2004.
CAMPISTROUS L. y C. Rizo: Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial
Pueblo y Educación: Ciudad de La Habana, 1996.
_________. Indicadores e investigación educativa. Instituto Central de Ciencia
Pedagógicas: Ciudad de La Habana, 1993.
CASTELLANO SIMONS, D., y Cols. Aprender y Enseñar en la Escuela. Ed. Pueblo y
Educación: Ciudad de La Habana, 2005.
_________. Estrategias para promover el aprendizaje desarrollador en el contexto
escolar, Universidad Pedagógica “Enrique José Varona”. Material en soporte
electrónico, 2003.
CASTRO RUZ, Fidel. La Educación en Revolución. Instituto Cubano del libro: La
Habana, 1975.
Colectivo de autores. Adolescentes y desarrollo. Editorial Pueblo y Educación: La
Habana, 2002.
Colectivo de autores: Metodología de la enseñanza de la Matemática en la escuela
primaria. Editorial Pueblo y Educación: Ciudad de La Habana. 1992.
DE GUZMÁN, M.: Tendencias innovadoras en educación matemática. Editorial
Olímpica: Buenos Aires, 1992.
DELGADO, J. R. La enseñanza de la Resolución de Problemas Matemáticos. Dos
elementos fundamentales para lograr su eficacia: La estructuración del conocimiento y
el desarrollo de habilidades Generales matemáticas. Tesis Ph. D. ISPJAE. Ciudad
Habana. Cuba, (1999).
DESCARTES, R, Discurso del método. Madrid: Tecnos. México: Sección de
Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN. (1990)
FRIDMAN, L. Como aprender a hacer ejercicios. Moscú: Editorial Progreso, 1987.
GAGNÉ, E. La psicología cognitiva del aprendizaje escolar. Visor: Madrid, 1991.
GALPERIN, P., Introducción a la Psicología, Editorial Pueblo y Educación: Cuba, 1982.
GONZÁLEZ, Freddy. Trascendencia de la Resolución de Problemas de Matemática. En
Paradigma Vol. VIII (2). Venezuela. Diciembre, 1987.
JUNK, W. Conferencias sobre metodología de enseñanza de la Matemática, Tomo I.
Editorial Pueblo y Educación: Ciudad de la Habana, 1979.
–––––.Conferencias sobre Metodología de la Matemática tomo II. Ed. Pueblo y
Educación: Ciudad Habana, 1981.
KILPATRICK, J. Analyzing the solution of word problems in msthematics: An
exploratory study. Unpublished doctoral dissertation, Stanford University, (1988).
KLINGBERG, L. Introducción a la didáctica general. Ed. Pueblo y Educación: La
Habana, 1975.
LABARRERE REYES, Guillermina. Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación: La
Habana, 1988.
LEONTIEV. A. N. Actividad conciencia y personalidad. Editorial Pueblo y Educación: La
Habana. 1982.
LOPEZ JIMENEZ, Eberto. Sistema de ejercicios para la solución de problemas de
proporcionalidad en la escuela primaria. Material docente en opción al titulo académico
de Máster en Ciencias de la Educación con mención en educación primaria.
LÓPEZ GONZÁLEZ, J. A. Metodología de la investigación pedagógica en preguntas y
respuestas. . Ciudad de La Habana. ISPETP “Héctor Pineda Zaldívar”,1998.
MAJMUTOV, M. I. La enseñanza Problémica. Editorial Pueblo y Educación: Ciudad de
La Habana, 1983.
Microsoft Encarta 2008.
Ministerio de Educación. Proyecto de escuela Secundaria Básica. Versión 07. 28 de
abril de 2003.
MÜLLER, Horst. Sobre el desarrollo de capacidades en la resolución independiente de
ejercicios de fundamentación y demostración en la enseñanza de la Matemática, La
Habana: Editado por el I.C.C.P., 1987. _________.Aspectos metodológicos acerca del trabajo con ejercicios en la enseñanza
de la Matemática, La Habana: Editado por el I.C.C.P., 1987.
Nota Editorial. En Educación Matemática. Vol. 4 (3). Grupo Editorial Iberoamérica.
México. Diciembre, 1992.
PALACIO PEÑA, Joaquín. Colección de problemas matemáticos para la vida. Editorial
Pueblo y Educación: Ciudad de La Habana ,2003.
_________."La resolución de problemas en la construcción de esquemas de
razonamiento".Revista Educación Matemática, vol. 3, núm. 1, abril 1991, pp. 59-61.
Partido Comunista de Cuba. Tesis y resoluciones del I Congreso del PCC. Ed. Ciencias
Sociales: La Habana, 1975.
PÉREZ ESQUIVEL, Yisy Bárbara. Sistema de ejercicios para favorecer la resolución de
problemas algebraicos en los estudiantes de Secundaria Básica. Material Docente en
opción al título académico de Máster en Ciencias de la Educación con mención en
Educación Secundaria Básica.
PÉREZ MARTÍN, L. Bermúdez Morris, R., Acosta Cruz, R. M. y Barrera Cabrera, L. M.
La personalidad: su diagnóstico y su desarrollo. Ed. Pueblo y Educación: Ciudad de La
Habana, 2004.
PÉREZ, M. del P, La solución de problemas en Matemática. Dpto. Psicología Básica.
España, 1993.
POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Trillas, México, 1984.
PRESLEY, M. Harris, K.; Marks, M. B., "But good strategy instructors are
constructivists!" . Educational Psychology Review, vol. 4, núm. 1, 1992, pp. 3-31.
Programas Ramales del MINED. Material en soporte digital, 2008.
Programa del Partido Comunista de Cuba. Editora política. La Habana, 1987.
REMIS SOLANA, Sonia. El sistema de ejercicios en las asignaturas del ciclo
lingüístico. Informe de investigación. ISPLE, 1986.
Resolución Ministerial 81. Planes de estudio para la formación del Bachiller Técnico.
Ed. Pueblo y Educación: La Habana, 2006.
RICO MONTERO, Pilar.”Proceso de Enseñanza-Aprendizaje Desarrollador en la
Escuela Primaria”. Editorial Pueblo y Educación: Ciudad de La Habana, 1990
__________. Libro de texto: Matemática 7mo grado Complementario .Editorial Pueblo
y Educación: La Habana, 2003.
__________. Libro de texto: Matemática 7mo grado . Editorial Pueblo y Educación: La
Habana, 1989.
__________. Libro de texto: Matemática 8mogrado. Editorial Pueblo y Educación: La
Habana, 1990.
__________. Libro de texto: Matemática 9mo grado. Editorial Pueblo y Educación: La
Habana, 1991.
__________. Metodología de la investigación educacional I Parte. Editorial Pueblo y
Educación: Ciudad de la Habana, 2001.
__________. Metodología de la investigación educacional. II Parte. Editorial Pueblo y
Educación: Ciudad de la Habana, 2001.
__________. Pedagogía y diversidad. Editorial Abril: La Habana, 2001.
__________. Pensar y crear: estrategia, métodos y programas. Editorial Academia: La
Habana, 1995.
__________. Programa y Orientaciones Metodológicas, 6 to grado. Editorial Pueblo y
Educación: La Habana, 2004.
__________. Programa y Orientaciones Metodológicas, 8 vo grado. Editorial Pueblo y
Educación: La Habana, 2004.
__________. Programa y Orientaciones Metodológicas, 9nogrado. Editorial Pueblo y
Educación: La Habana, 2004.
__________.I Seminario Nacional para Educadores. Juventud Rebelde, 2001.
__________.II Seminario Nacional para Educadores. Juventud Rebelde, 2002.
__________.III Seminario Nacional para Educadores. Juventud Rebelde, 2003.
__________.IV Seminario Nacional para Educadores. Juventud Rebelde, 2004.
__________.Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo I. Editorial
pueblo y Educación: La Habana, 1992.
__________.Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 1996.
__________.V Seminario Nacional para Educadores. Juventud Rebelde, 2005.
__________.VI Seminario Nacional para Educadores. Juventud Rebelde, 2006.
___________La escuela en la vida. Editorial Educación y Desarrollo: La Habana,
1999.
SANTOS TRIGO, Luz M. La resolución de problemas en el aprendizaje de la
Matemática. México: Cuaderno de Investigación n° 28, 1994.
SANTOS, L. M., "Resolución de problemas: el trabajo de Alan Schoenfeld: una
propuesta a considerar en el aprendizaje de las matemáticas". Revista Matemática
Educativa, vol. 4, núm. 2, agosto 1992, pp. 16-24.
Secretaría de Educación Pública, Guión técnico pedagógico para la elaboración del
libro de matemáticas de sexto grado, sep. México, 1993.
Seminario Nacional para educadores. Ed. Pueblo y Educación: La Habana, 2001.
Seminario Nacional para educadores. Ed. Pueblo y Educación: La Habana, 2004.
Seminario Nacional para educadores. Ed. Pueblo y Educación: La Habana, 2005.
Seminario Nacional para educadores. Pueblo y Educación: La Habana, 2006.
SILVESTRE ORAMAS. M. Teoría y Práctica de Elaboración del Libro de Texto. Ed.
Pueblo y Educación: La Habana, 1996.
SIMONS CASTELLANOS, B. Acerca de los resultados científicos., Centro de Estudios
Educacionales: La Habana, 2001.
SCHOENFELD, Alan. Ideas y tendencias en la resolución de problemas. Argentina:
Olimpíada Matemática, 1992.
SCHROEDER, Thomás. Desarrollo de la comprensión en Matemáticas, vía resolución
de problemas Traducción del Inglés al Español, 1993. —Título original: Develoving
Understanding in Mathematics via Problem Solvig. NCTM, Yearbok, 1989.
SCHOENFELD, H. Mathematical Problem Solving. Academic Pr4ess INC: California,
Estados Unidos, 1985.
Tabloide de la MCE. Módulo I, segunda parte. : Ed. Pueblo y Educación: La Habana,
2005.
TALIZINA, N. La formación de la actividad cognoscitiva de los escolares, Ministerio de
Educación Superior, La Habana, 1987.
TORRE GONZÁLEZ, Adnaloy. “Estrategia Metodológica para desarrollar la habilidad
resolver problemas matemáticos”. Tesis en opción al Título Académico de Máster en
Ciencias de la Educación. Camagüey. ISP” José Martí”,2008.
VALLE LIMA, Alberto. “La dirección en educación. Apuntes”. Material en soporte digital.
I.C.C.P: La Habana, 1997.
VALLE LIMA, Alberto. “El sistema de trabajo del docente y del director de escuela. Vías
para su perfeccionamiento. Marco teórico”. Libro en formato electrónico, ICCP: La
Habana, 2006.
VIGOTSKY, L, S. Pensamiento y lenguaje. Ed. Pueblo y Educación: La Habana, 1982.
___________. Historia del desarrollo de las funciones psíquicas superiores. Científico
Técnica: La Habana, 1987.
___________. Aprendizaje, Educación y Desarrollo, Ed. Pueblo y Educación: La
Habana, 1999.
ANEXOS Anexo 1: Precisiones para la comprensión y el control valorativo de las dimensiones e
indicadores que miden la efectividad del material docente propuesto.
Dimensión 1- Generalización conceptual para problemas que conducen a ecuaciones.
Indicadores:
1. Expresar en el lenguaje algebraico las condiciones que contienen los enunciados
en el lenguaje común.
2. Reconocer procedimientos para resolver ecuaciones lineales de primer grado que
propicien la búsqueda de soluciones en los problemas que conducen a ecuaciones.
Dimensión # 2- Concreción de la solución.
Indicador:
3. Aplicar algoritmo que propicie la búsqueda de soluciones en los problemas que
conducen a ecuaciones.
Dimensión #3- Actividad emocional positiva hacia resolver problemas que conducen a
ecuaciones.
Indicadores:
4. Acepta con agrado el estudio de los contenidos la asignatura Matemática, con
énfasis en la solución de problemas que conducen a ecuaciones.
5. Les gusta resolver ejercicios y problemas que conducen a ecuaciones.
Índices y categorías de la dimensión I
Indicador 1
Bien: Si expresa siempre en el lenguaje algebraico las condiciones que contienen los
enunciados en el lenguaje común.
Regular: Si expresa a veces en el lenguaje algebraico las condiciones que contienen
los enunciados en el lenguaje común.
Mal: No expresa en el lenguaje algebraico las condiciones que contienen los
enunciados en el lenguaje común.
Indicador 2
Bien: Reconoce siempre los procedimientos para resolver ecuaciones lineales de
primer grado que propicien la búsqueda de soluciones de los problemas que conducen
a ecuaciones.
Regular: Reconoce a veces los procedimientos para resolver ecuaciones lineales de
primer grado que propicien la búsqueda de soluciones de los problemas que conducen
a ecuaciones.
Mal: No reconoce los procedimientos para resolver ecuaciones lineales de primer grado
que propicien la búsqueda de soluciones en los problemas que conducen a
ecuaciones.
Índices de la dimensión II
Indicador 3
Bien: Siempre aplica correctamente el algoritmo que propicie la búsqueda de
soluciones en los problemas que conducen a ecuaciones.
Regular: En ocasiones aplica correctamente el algoritmo que propicie la búsqueda de
soluciones en los problemas que conducen a ecuaciones.
Mal: Nunca aplica correctamente el algoritmo que propicie la búsqueda de soluciones
en los problemas que conducen a ecuaciones.
Índices de la dimensión III
Indicador 4
Bien: Disfruta el estudio de los conocimientos algebraicos.
Regular: A veces asume con agrado el estudio de los conocimientos algebraicos.
Mal: Nunca los asume con agrado.
Indicador 5
Bien: Siempre se siente estimulado para participar y ejecutar las tareas docentes
relacionadas con los contenidos algebraicos.
Regular: A veces se siente estimulado a trabajar con ellos.
Mal: Nunca se siente estimulado trabajar con ellos.
La dimensión 1 en su conjunto se evaluará de:
Adecuada: Si alcanza la evaluación de 2B ó 1B y 1R.
Poco adecuada: Si alcanza la evaluación de 2R ó 1B y 1M
Inadecuada: Si alcanza la evaluación de 1R y 1M ó 2M
La dimensión 2 en su conjunto se evaluará de:
Adecuada: Si alcanza la evaluación de B.
Poco adecuada: Si alcanza la evaluación de R.
Inadecuada: Si alcanza la evaluación de M
La dimensión 3 en su conjunto se evaluará de:
Adecuada: Si alcanza la evaluación de 2B ó 1B y 1R.
Poco adecuada: Si alcanza la evaluación de 2R ó 1B y 1M
Inadecuada: Si alcanza la evaluación de 2M ó 1R y 1M
La variable que mide el cambio educativo es: El proceso de resolución de problemas
que conducen a ecuaciones en los alumnos de sexo grado, se evalúa de Adecuada,
Poco adecuada e Inadecuada según el resultado obtenido en la evaluación de las
dimensiones, teniendo en cuenta los pares siguientes:
Adecuada: Poco adecuada Inadecuada
A A A A A I PA PA I
A A PA A PA I PA I I
PA PA PA I I I
Anexo 2: Preparación de Asignatura 6to grado. III P Unidad: Ecuaciones 20 h/c. Concepto de ecuación 2 h/c.
Procedimiento de solución de ecuaciones 10 h/c.
Solución de problemas 8 h/c.
Desde la clase 1 hasta la 12 se realizan los ejercicios relacionados a la resolución de
ecuaciones.
Clase 13: Conversión del lenguaje común al algebraico.
Clase 14: Introducción a la solución de problemas.
Clase 15: Solución de problemas.
Clase 16: Ejercitación de solución de problemas.
Clase 17: Ejercitación de solución de problemas.
Clase 18: Ejercitación de solución de problemas.
Clase 19: Ejercitación de solución de problemas.
Clase 20: Ejercitación de solución de problemas.
Clase 1 Asunto: Introducción del concepto de ecuación. Objetivo: Reconocer ecuaciones diferenciándolas de otras expresiones matemáticas. Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, trabajo con L/T. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón…
Clase 2 Asunto: Ejercitación del concepto de ecuación. Objetivo: Reconocer ecuaciones diferenciándolas de otras expresiones matemáticas.… Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Solución de ejercicios, conversación Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón… Clase 3 Asunto: Introducción del procedimiento de solución de ecuaciones. Objetivo: Aplicar el procedimiento de solución de ecuaciones a ejercicios dados… Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, solución de ejercicios Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 4 Asunto: Solución de ecuaciones con la variable en un miembro. Objetivo: Resolver ecuaciones con la variable en un solo miembro… Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, solución de ejercicios. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 5 Asunto: Ejercitación. Objetivo: Resolver ecuaciones con la variable en un solo miembro… Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 6 Asunto: Solución de ecuaciones con fracciones. Objetivo: Resolver ecuaciones con fracciones…. Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, demostración, observación. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 7 Asunto: Ejercitación. Objetivo: Resolver ecuaciones con fracciones…. Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Clase 8 Asunto: Solución de ecuaciones con la variable en los dos miembros. Objetivo: Resolver ecuaciones con la variable en los dos miembros… Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, demostración, observación. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón… Clase 9 Asunto: Ejercitación. Objetivo: Resolver ecuaciones con la variable en los dos miembros… Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 10
Asunto: Solución de ecuaciones con la variable multiplicando y dividiendo Objetivo: Resolver ecuaciones con la variable multiplicando y dividiendo Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, demostración, observación. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 11 Asunto: Ejercitación. Objetivo: Resolver ecuaciones con la variable multiplicando y dividiendo Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 12 Asunto: Ejercitación. Objetivo: Resolver ecuaciones con la variable multiplicando y dividiendo Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 13 Asunto: Conversión del lenguaje común al algebraico. Objetivo: Convertir expresiones en lenguaje común al algebraico Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, demostración, observación. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 14 Asunto: Introducción a la solución de problemas. Objetivo: Solucionar problemas aplicando las ecuaciones… Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, demostración, observación. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 15 Asunto: Solución de problemas. Objetivo: Solucionar problemas aplicando las ecuaciones... Método: Elaboración Conjunta. Procedimientos: Conversación heurística, demostración, observación. Medios de enseñanzas: L/T, pizarrón, tarjetas… Clase 16 Asunto: Ejercitación de solución de problemas. Objetivo: Solucionar problemas aplicando las ecuaciones... Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Clase 17 Asunto: Ejercitación de solución de problemas. Objetivo: Solucionar problemas aplicando las ecuaciones... Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Clase 18 Asunto: Ejercitación de solución de problemas. Objetivo: Solucionar problemas aplicando las ecuaciones...
Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Clase 19 Asunto: Ejercitación de solución de problemas. Objetivo: Solucionar problemas aplicando las ecuaciones... Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Clase 20 Asunto: Ejercitación de solución de problemas. Objetivo: Solucionar problemas aplicando las ecuaciones... Método: Trabajo independiente. Procedimientos: Conversación, solución de ejercicios. Ejercicios para el repaso y la ejercitación diaria: Objetivos a evaluar en la unidad: 1) Concepto de ecuación. 2) Procedimiento de solución de ecuaciones en las diferentes formas que pueden presentarse. 3) Convertir del lenguaje común al algebraico. 4) Solución de problemas.
Anexo 3: Encuesta a estudiantes Objetivo: Obtener información sobre el conocimiento que tienen los alumnos acerca
de la resolución de los problemas que conducen a ecuaciones.
Alumno: Se solicita tú colaboración para el buen desarrollo de una investigación que se
lleva a cabo en tu centro de estudio, por lo que te pedimos que respondas con
sinceridad a las preguntas formuladas.
1. ¿Te resulta agradable el estudio de la Matemática? __Sí __No __A veces.
2. ¿Cuáles son las principales dificultades que posees al solucionar un problema
donde intervienen las variables? Marca con X aquellas en las que presentes mayor
dificultad. .
a) ---Comprender el texto del problema.
b) ---Identificar las palabras claves.
c) ---Realizar la traducción del lenguaje común al algebraico.
d) ---Aplicar el significado de las operaciones.
e) ---Realizar un esquema o esbozar la situación planteada.
f) ---Resolver la ecuación que modela el problema.
g) ---Comprobar el problema resuelto.
3. Cuando resuelves problemas en las clases de Matemática, ¿sientes satisfacción
por realizar las actividades? __Sí __No __A veces
4. ¿Cuando te enfrentas a la resolución de un problema que conduce a una ecuación,
trata de resolverlo solo? __Sí __No __A veces.
5. ¿Te preocupas por mejorar los resultados alcanzados en la resolución de
problemas que conducen a una ecuación? __Sí __No __A veces
6. ¿Consideras que los maestros en las clases de Matemática te motivan y orientan
correctamente para solucionar los problemas que conducen a una ecuación? __Sí
__No __A veces.
“Muchas Gracias”.
Anexo 4: Prueba pedagógica de entrada. Objetivo: Comprobar el conocimiento que poseen los alumnos sobre la resolución de
problemas que conducen a ecuaciones.
Queridos alumnos, a continuación te ofrecemos una serie de preguntas que debes
contestar con la mayor honestidad para evaluar tu estado actual que posee sobre el
trabajo con variables.
1) En cada una de las situaciones siguientes, subrayas las palabras de difícil
comprensión y luego expresa cada una utilizando el lenguaje de las variables:
a) La mitad de un número disminuido en dos.
b) Los alumnos del grupo realizaron la tres cuarta parte de los ejercicios indicados
para la tarea de Matemática.
c) Un número X excede en cinco a otro número Y.
2) Traduce al lenguaje común las expresiones siguientes:
a) 1/4x – 3
b) 10y – 5 = x
2.1 Calcula el valor numérico de la expresión algebraica del inciso a) para x=20.
2.2 Resuelve la ecuación del inciso b) si x=20.
3.- Entre dos equipos de Béisbol de la escuela se anotaron un total 17 carreras. Si las
carreras anotadas por el equipo ganador exceden en 5 a la del equipo perdedor.
¿Cuántas carreras anotaron cada equipo?
Anexo 5: Resultados de la prueba pedagógica inicial por indicadores,
dimensiones y evaluación de la variable.
I-1 I -2 D - 1 I -3 D - 2 I -4 I -5 D - 3 Variable
Tabla 1: Resultados de la prueba inicial por dimensiones.
Tabla 2: Evaluación de la variable por dimensiones. Diagnóstico Inicial.
Adecuada Poco adecuada Inadecuada
cambio
1- R B A B A B B A A
2- R R PA M I M M I I
3- B M PA R PA M M I PA
4- R R PA M I M M I I
5- R M I B A R B A PA
6- B M PA B A R R PA PA
7- M M I B A R R PA PA
8- B M PA R PA R R PA PA
9- R M I M I B M PA I
10- R B A B A B B A A
11- R R PA R PA M B PA PA
12- M M I M I M M I I
13- B M PA R PA M M I I
14- M M I M I M M I I
15- M B PA B A M R I PA
Dimensión 1 Dimensión 2 Dimensión 3 Variable de cambio
A PA I A PA I A PA I A PA I
2 8 5 6 4 5 3 5 7 2 7 6
Cantidad % Cantidad % Cantidad %
2 13,3 7 46,7 6 40
Anexo 6: Prueba pedagógica de salida. Objetivo: Comprobar el conocimiento que poseen los alumnos sobre la resolución de
problemas que conducen a ecuaciones.
Queridos alumnos, a continuación te ofrecemos una serie de preguntas que debes
contestar con la mayor honestidad para evaluar tu estado actual que posee sobre el
trabajo con variables.
1. Expresa en el lenguaje de las variables las siguientes situaciones prácticas
señalando en cada caso el significado de las variables:
a) La tercera parte de los ingresos del país por el concepto del turismo provienen del
polo turístico de varadero.
b) El número de atletas femeninas que participaron en los juegos olímpicos del 2000
excede en 620 a la que participaron en los juegos olímpicos del 1996.
c) El 85% de la población mundial lo constituyen los países pobres.
d) En Cuba en el año 2010 tendremos la quinta parte de la población mayor de 60
años.
2. Traduce al lenguaje común:
3/4X-2
3. En una competencia de Baloncesto efectuada en una escuela deportiva entre los
equipos de 5to y 6to se anotaron un total de 140 canastas, si la canasta anotada
por el equipo de 6to supera en 10 a las anotadas por el equipo de 5to. ¿Cuántas
canastas anotaron cada equipo?
Anexo 8: Resultados de la prueba pedagógica final por indicadores, dimensiones
y evaluación de la variable.
I-1 I-2 D-1 I -3 D-2 I -4 I -5 D-3 Variable de
cambio
1- B B A B A B B A A
2- R B A B A B B A A
Tabla 1: Resultados del aprendizaje de la prueba final por dimensiones.
Dimensión 1 Dimensión 2 Dimensión 3 Variable de cambio
A PA I A PA I A PA I A PA I
8 4 3 10 3 2 9 3 3 9 3 3
3- R B A B A B R A A
4- B B A B A B B A A
5- R R PA B A R R PA PA
6- B B A B A B R A A
7- R M I R I R M I I
8- B R A B A B B A A
9- M B PA B PA R R PA PA
10- B B A B A B B A A
11- R M I B PA R M I I
12- B M PA B A R R A A
13- R B PA B A B M A A
14- R M I R I R M I I
15- B B A R PA R R PA PA
Tabla 2: Evaluación de la variable por dimensiones. Diagnóstico Final
Adecuada Poco adecuada Inadecuada
Cantidad
% Cantidad
% Cantidad
%
9 60 3 20 3 20
Anexo 9: Gráfico comparativo.
0
10
20
30
40
50
60
Adecuado
P Adecuado
I Adecuado
