Problema 5.1 En eldiseo de los vehculos para todo tipo de terreno, es necesario tener en cuenta los tipos de fallas cuando se trata de librar dos distintos obstculos. Una falla es la falla por rozamiento y ocurre cuando el vehculo intenta cruzar un obstculo que hace que el fondo del vehculo toque el suelo. El otro tipo recibe el nombre de falla porcolisin de la defensa delantera y se presenta cuando el vehculo desciende por una zanja y la defensa delantera toca el suelo.Lafigura5.1muestraloscomponentesasociadosal segundotipodefalla. Enellase indica que el ngulo mximo que puede alcanzar un vehculo cuando es el ngulo mximo en que no ocurre la falla por rozamiento satisface la ecuacin:0 cos cos2 + sen E C sen B sen A (5.1.1)Donde:) 5 . 0 cos ) 5 . 0 ( ; tan 5 . 0 ) 5 . 0 ( ; cos ;1 1 1 1 1 + + D h E D sen D h C l B sen l AEncuentre el ngulo para D = 30 pulgadas y D = 55 pulgadas, cuando l = 89 pulgadas, h = 49 pulgadas y 5 . 111Fig. 5.1.1 Falla por colisin de la defensa delanteraSolucin:Sustituyendo los parmetros en la Ec. (5.1.1) tenemos:[ ][ ] 0 5 . 0 cos ) 5 . 0 (cos tan 5 . 0 ) 5 . 0 ( cos cos11 121 1 + + + sen D D hD sen D h sen l sen sen l (5.1.2)Sustituyendo los datos en la Ec. (5.1.2) para D = 30 pulgadas y 11.5 = 0.2007 radianes[ ][ ] 0 30 * 5 . 0 ) 2007 . 0 ( cos ) 30 * 5 . 0 49 ( costan 30 * 5 . 0 ) 2007 . 0 ( ) 30 * 5 . 0 49 ( ) 2007 . 0 ( cos 89 cos ) 2007 . 0 ( 8912 + + + sensen sen sen sen (5.1.3)Usandoel comandofzeroparaencontrar el nguloparaunD=30, delaEc.(5.1.3) tenemos:Para un dimetro de 30 pulgadas>>f=inline('89*sin(0.2007)*sin(x)*cos(x)+ 89*cos(0.2007)*(sin(x)^2)- ((49+0.5*30)*sin(0.2007) - 0.5*30*tan(0.2007))*cos(x) - ((49+0.5*30)*cos(0.2007) - 0.5*30)*sin(x)','x');>> [x,fval,exitflag] = fzero(f,[0,1])x = 0.5789fval = 0exitflag = 1El valor del ngulo es de x = 0.5789 radianes equivalente a 33.1789 gradosSustituyendo los datos en la Ec. (5.1.2) para D = 55 pulgadas:[ ][ ] 0 55 * 5 . 0 ) 2007 . 0 ( cos ) 55 * 5 . 0 49 ( costan 55 * 5 . 0 ) 2007 . 0 ( ) 55 * 5 . 0 49 ( ) 2007 . 0 ( cos 89 cos ) 2007 . 0 ( 8912 + + + sensen sen sen sen (5.1.4)Usandoel comandofzeroparaencontrar el nguloparaunD=55, delaEc.(5.1.4) tenemos:Para un dimetro de 55 pulgadas>>f=inline('89*sin(0.2007)*sin(x)*cos(x)+ 89*cos(0.2007)*(sin(x)^2) ((49+0.5*55)*sin(0.2007) - 0.5*55*tan(0.2007))*cos(x) - ((49+0.5*55)*cos(0.2007)- 0.5*55)*sin(x)','x');>> [x,fval,exitflag] = fzero(f,[0,1])x = 0.5755fval = -7.1054e-015exitflag = 1El valor del ngulo es de x = 0 .5755 radianes equivalente a 32.9722 grados.Para los dos tipos de llantas el ngulo vale aproximadamente 33 grados.Problema 5.2 Empleando las leyes de Kirchhoff, se obtuvieron las siguientes ecuaciones lineales para el circuito mostrado en la figura 5.2.1.Figura 5.2.1 Circuito elctrico de ramas(5.21)Donde: i son las corrientes de rama,Ilas corrientes de las fuentes y R los valores de las resistencias.Si el valor delasfuentesesA I A I A IC B A4 , 6 , 2 yel delasresistencias 22 1R R; ; 38 4 R R ; 56 5 R R ; 49 7 R R 63R.Obtener las nueve corrientes de rama por el mtodo de eliminacin de Gauss.Solucin:00000 00009 9 7 7 6 66 6 3 3 5 58 8 5 5 4 43 3 2 2 1 19 6 5 87 6 3 22 13 1 5 44 8 + + + + + + + + + i R i R i Ri R i R i Ri R i R i Ri R i R i Ri i i i Ii i i I iI i ii i I i iI i iCBBAASustituyendo los datos en el sistema (5.2.1) tenemos:0 4 4 50 5 5 60 3 5 30 6 2 2466229 7 66 5 38 5 43 2 19 8 6 57 6 3 22 15 4 3 18 4 + + + + + + + + + i i ii i ii i ii i ii i i ii i i ii ii i i ii i (5.2.2)Escribiendo el sistema (5.22) en forma matricial tenemos:111111111111]1

4 0 4 5 0 0 0 0 00 0 0 5 5 0 6 0 00 3 0 0 5 3 0 0 00 0 0 0 0 0 6 2 21 1 0 1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 1 1 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0A111111111111]1

000046622B (5.2.3)Escribiendo los datos del sistema (5.2.3) y usando el comando \ (Mtodo de eliminacin de Gauss) tenemos:>> A = [000-100010;-10-1110000; 1 -1 0000000; 01 1001 -100; 00 00 -1 -10 -1 -1; 22-600 0000; 00 03 -5 0030; 00 605-5000; 00 000 540-4];>> B = [2; -2; 6; -6; -4; 0; 0; 0; 0];>> corrientes_i = A\Bcorrientes_i =2.3761 -3.6239 -0.4160 -0.56360.52370.02451.98471.43642.0153Las corrientes de rama son:A i A i A i A iA i A i A i A i A i0153 . 2 ; 4364 . 1 ; 9847 . 1 ; 0245 . 0; 5237 . 0 ; 5636 . 0 ; 4160 . 0 ; 6239 . 3 ; 3761 . 29 8 7 65 4 3 2 1 Problema 5.3Considrese un valle aislado con N1(t) linces que se alimentan exclusivamentedeliebres, delosculeshayunnmeroN2(t) comosemuestraenla figura 5.3.1 .Figura 5.3.1Sistema ecolgico presa-depredadorLatasadecambioenel nmerodepredadores(linces) esproporcional asucambio natural(debido a natalidad y mortalidad), as como a la cantidad de comida disponible (nmero de liebres). Esta relacin se puede expresar matemticamente como:2 11N b N adtdN+ Donde: a y b son constantes. Asimismo, la tasa de cambio de las liebres se puede escribir como:2 12N d N cdtdN+ Donde:cydson constantes.Estesistemadeecuacionessepuedeescribir enforma matricial como:1]1

1]1

1]1

2121NNd cb aNNd tdLa solucin de este sistema de ecuaciones diferenciales es de la forma:t te x c e x ct Nt N2 12 2 1 121) () ( + 1]1

Donde: 1y 2son los valores caractersticos correspondientes a los vectores caractersticosX1yX2delamatrizyC1yC2sonconstantesquedependendelas condiciones iniciales.Obtener los valores caractersticos para las siguientes matrices de coeficientes:1]1

1 25 6A

1]1

1 25 6B 1]1

1 25 5C (5.3.1)Solucin:Escribiendolosdatosenla ventanadecomandosdeMatLabdel sistemade matrices (5.3.1), tenemos:>> A = [65; -2-1];>> valores_caracteristicos = eig(A)valores_caracteristicos = 4 1>> B = [-65; -21];>> valores_caracteristicos = eig(B)valores_caracteristicos =-4-1>> C = [-55; -21]; >> valores_caracteristicos = eig(C)valores_caracteristicos =-2.0000 + 1.0000i-2.0000 - 1.0000iDe la solucin se observa que siambos valores caractersticos 1y 2son positivos, el sistemaecolgicocolapsapueslasexponencialestiendenainfinito. Si ambosvalores caractersticossonnegativos, laspoblacionesseexterminan(decrecenacero). Si los valores caractersticos son complejos conjugados, las poblaciones oscilan pues ) cos () (bt sen i bt e et a t b i a+ +.Problema 5.4La presin requerida para enterrar un objeto grande y pesado en un suelo blando homogneo, que se encuentra sobre una base de suelo duro puede predecirse a partir de la presin necesaria para enterrar objetos ms pequeos en el mismo terreno. Enconcreto, lapresinprequeridaparaenterrar unaplacacircular deradioruna distancia den el suelo blando, donde la base dura se encuentra a una distancia D > d debajo de la superficie, puede aproximarse mediante una ecuacin de la forma:r k e k p3r k12+ (5.4.1)donde k1, k2 y k3 son constantes que, con k2 > 0, que depende de d y de la consistencia del terreno pero no del radio de la placa:.a) Encuentrelosvaloresk1,k2 yk3si sesuponequeunaplacaderadio1pulg. requiere una presin de 10 lb/pulg2 para enterrarse 1 ft en el terreno fangoso; una placacuyoradioesderadio2pulg. requiereunapresinde12lb/pulg2para enterrarse 1 ft y una placa de 3 pulg. de radio requiere una presin de 15 lb/pulg2 paraenterrarseestadistancia(suponiendoqueel lodotieneunaprofundidad mayor que un 1 ft).b) Use los clculos de la parte (a) para predecir el tamao mnimo de la placa circular quesenecesitarparasostener unacargade500lbenesteterreno, conun hundimiento menor a 1 ft.Solucin:a) Al sustituir los valores de r y p en la Ec. (5.4.1) para los tres casos se tiene: 15 3 ) 3 exp(12 2 ) 2 exp(10 ) exp(3 2 13 2 13 2 1 + + +k k kk k kk k k (5.4.2)Lo cual representa un sistema de tres ecuaciones no lineales en las incgnitas k1, k2 y k3.Segeneraunarchivofunctionenel editor deM-FiledeMatLabconel sistemade ecuaciones no lineales (5.4.2) con el nombre de terreno.m y se guarda en Work.%Solucin de un sistema de tres ecuaciones no lineales%Terreno suave y homogneofunction y = terreno1(x)y(1) = x(1)*exp(x(2)) + x(3) - 10;y(2) = x(1)*exp(2*x(2)) + 2*x(3) - 12;y(3) = x(1)*exp(3*x(2)) + 3*x(3) - 15;Escribiendo las instrucciones en la Ventana de comandos para llamar al archivo terreno.m y resolver el sistema (5.4.2) tenemos:>> [x fval] = fsolve ('terreno', [0; 0;0])(Optimization terminated: first-order optimality is less than options.Tolfun.(La optimizacin termin: el ptimo de primer orden es menor que la opcin. Tolerancia de la funcin)x =8.77130.2597 -1.3723fval =1.0e-014 *00.35530.3553Nota: La solucin es correcta k1= 8.7713; k2= 0.2597, k3 = -1.3723Obteniendo la solucin del sistema (5.4.2) mediante el comando solve tenemos:>>[k1,k2,k3] = solve('k1*exp(k2)+k3=10','k1*exp(2*k2)+2*k3=12', 'k1*exp(3*k2)+3*k3=15') k1 =37/4-1/12*33^(1/2) 37/4+1/12*33^(1/2)k2 =log(15/16+1/16*33^(1/2)) log(15/16-1/16*33^(1/2))k3 =3/2-1/2*33^(1/2) 3/2+1/2*33^(1/2) >> K1 = double(k1), K2 = double(k2), K3 = double(k3)K1 =8.77139.7287K2 =0.2597 -0.5474K3 = -1.37234.3723b) Para encontrar el radio de la placa, se tiene que un peso de 500 lb sobre una placa de radio r producir una presin de 500/ r 2, entonces:

r k r k krp3 2 12) exp(500+ o bien: 0500) exp( ) (23 2 1 + rr k r k k r f (5.4.3)Para obtener el valor mnimo de r, se deriva la Ec.(5.4.3): 0] [1000) exp( ) ( '2 23 2 2 1 + rrk r k k k r f (5.4.4)Se tiene entonces, una ecuacin trascendente en la incgnita r, cuya solucin es el radio mnimo.Usando la funcin fzero para calcular las races de laEc. (5.4.4), tenemos:Interesa raices positivas, por lo que se propone X0 = 5>>[x,fval]=fzero('8.7713*0.2597*exp(0.2597*x)-1.3723- (1000*x)/((pi*x^2)^2)',5 )x =3.0322fval =8.8818e-016Para la otra solucin proporcionada por solve tenemos:>>[x,fval]=fzero('9.7287*(-0.5474)*exp(-0.5474*x)+ 4.3723- (1000*x)/((pi*x^2)^2)',5 )x =3.1012fval =4.4409e-016La placa circular requiere un radio mnimo r = 3.0322 pulg.Problema 5.5Un ingeniero est proyectando una carretera, y necesita calcular el volumen de movimiento de tierras en el tramo comprendido entre los puntos kilomtricos 1730 y 1810. Dispone para ello de perfiles transversales cada cinco metros. En cada perfil se han medido con un planmetro las reas de desmonte ADy terrapln AT, tal como se muestra en la tabla siguiente:PuntoKilomtrico (m)rea Desmonte (m2)reaTerrapln (m2)1730 2.51 0.051735 1.32 0.611740 1.12 0.821745 0.85 0.951750 0.63 1.211755 0.05 1.351760 0.00 1.561765 0.00 2.581770 0.00 2.411775 0.25 2.211780 0.56 1.901785 0.85 1.501790 0.94 0.851795 1.57 0.341800 1.83 0.111805 2.61 0.001810 2.57 0.20Calcular el volumen de desmonte VD, el volumen de terrapln VT y el balance de tierras BT.Solucin:El volumen de desmonte y terrapln pueden calcularse como:18101730) ( dx x A VD D; 18101730) ( dx x A VT T y el balance de tierras BT como: T D TV V B

Se crean tres vectores con los datos de la tabla, correspondientes alpunto kilomtrico (PK), rea de desmonte (AD) y rea de terrapln (AT). Como son datos tabulados, se usa el comando trapz para evaluar las integrales dadas:>> pk = 1730: 5: 1810;>> ad = [ 2.51, 1.32, 1.12, 0.85, 0.63, 0.05, 0.00, 0.00, 0.00, 0.25, 0.56, 0.85, 0.94,1.57, 1.83, 2.61, 2.57 ];>> at = [ 0.05, 0.61, 0.82, 0.95, 1.21, 1.35, 1.56, 2.58, 2.41, 2.21, 1.90, 1.50, 0.85, 0.34, 0.11,0.00, 0.20 ];Se calculan las integrales por el mtodo de los trapecios>> vd = trapz(pk,ad)vd = 75.6000>> vt = trapz(pk,at)vt = 92.6250>> bt = vd - vtbt =-17.0250El volumen de desmonte = 75.6 m2El volumen de terrapln = 92.625 m2El balance de tierras = - 17.025 m2Problema 5.6 Calcular el rea encerrada por la cardioide cos 1 + r, as como su longitud de arco.Solucin:MedianteloscomandosMatLab, seobtienelagraficadelacardioidedada, comose muestra en la Fig. 5.6.1.>> theta = 0:0.01:2*pi;>> r = 1 + cos(theta);>> polar(theta,r,'*r')Figura 5.6.1 Grfica de la cardioideEs sabido de Clculo Diferencial e Integral que, si la curva viene dada en coordenadas polares ) (a f r , para los valores correspondientes0ay 1adel parmetro a, en los puntos de corte, el rea viene dada por la integral:102)] ( [21aada a f A

Luego entonces, de la expresin anterior, el rea encerrada por la cardioide viene dada por la integral:

+ 202] cos 1 [21d A Asimismo, para una curva en coordenadas polares de ecuacin de ecuacin ) (a f r , la longitud del arco de curva comprendido entre los puntos relativos a los valores0a a y 1a a , del parmetro, viene dada por la integral:+ 102 2)] ( ' [aadr a r r L Luego entonces,de la expresin anterior,la longitud de lacurva de lacardioideviene dada por la integral:dt t sen t L+ + 202 2)] ( [ )] cos( 1 [Escribiendo los datos en la ventana de comandos de MatLab, tenemos: >> A_cardioide = quad(inline('(1/2)*(1+cos(x)).^2'),0,2*pi)A_cardioide =4.7124>> L_cardioide = quad(inline('sqrt((1-cos(t)).^2+sin(t).^2)'),0,2*pi)L_cardioide =8.0000Problema 5.7 Las reas de la seccin transversal de los ros (A) se necesitan en varias tareas en la ingeniera hidrulica, como pronsticos de inundacin y diseos de presas. A menosquesedispongadedispositivoselectrnicosdesonidoparaobtener perfiles continuosdel fondodel ro, el ingenierodebebasarseenmedicionesdiscretasdela profundidad para calcular A. Un ejemplo de la seccin transversal de un ri se muestra en laFig. 5.7.1. Lospuntospresentanposicionesdondeanclunalanchaysetomaron lecturas de diferentes profundidades. Estimar el rea de la seccin transversal a partir de estos datos.Figura 5.7.1 Seccin transversal de un roSolucin:Escribiendo los datos en dos vectores, para la distancia y para la profundidad y calculando el rea de la seccin transversal mediante el comando trapz, por tratarse de datos tabulados, tenemos:>>distancia = 0:2:20;>>profundidad = [ 0, 1.8, 2, 4, 4, 6, 4, 3.6, 3.4, 2.8, 0 ];>>area_transversal = trapz(distancia, profundidad)area_transversal = 63.2000Problema 5.8Para simular las caractersticas trmicas de los frenos de disco (Ver Fig. 5.8.1), esnecesarioaproximar numricamentelatemperaturaexterior promediadadel rea, T, en el cojn del freno, basndose para ello en la ecuacin:

00) (rrprrpeedr rdr r r TT dondeerrepresenta el radio donde comienza el contacto entre cojn y disco,0r representa el radio exterior de dicho contacto, prepresenta el ngulo subtendido para los cojines del freno del sector y ) (r Tes la temperatura en cada punto del cojn, la cul se obtuvo numricamente al analizar la ecuacin delcalor o difusin. Sift re308 . 0 , ft r 478 . 00 , radianesp7051 . 0 y si las temperaturas dadas en la tabla siguiente se calcularon en varios puntos del disco, obtenga una aproximacin de T.r (ft)) (r T(F) r (ft)) (r T(F) r (ft)) (r T(F)0.308 640 0.376 1034 0.444 12040.325 794 0.393 1064 0.461 12220.342 885 0.410 1114 0.478 12390.359 943 0.427 1152Figura 5.8.1Caractersticas trmicas de un freno de discoSolucin:Se crean dos vectores con los datos de la tablaryTren la Ventana de comandos de MatLab. El primero de ellos corresponde a las distintas distancias al eje del freno de disco en las que se ha medido la temperatura, mientras que dichas temperaturas se almacenan en el segundo vector.>> r = [ 0.308, 0.325, 0.342, 0.359, 0.376, 0.393, 0.410, 0.427, 0.444, 0.461, 0.478 ];>> tr = [ 640, 794, 885, 943, 1034, 1064, 1114, 1152, 1204, 1222, 1239 ];Se calculan el valor de T haciendo las integrales por partes por el mtodo de los trapecios:Obtencin de la integral del numerador de T:>> integral_numerador = trapz(r,r.*tr*0.7051)integral_numerador = 49.7141Obtencin de la integral del denominador de T:>> integral_denominador=trapz(r,r*0.7051)integral_denominador =0.0471>> T = integral_numerador/integral_denominadorT =1.0553e+003Temperatura exterior promediada del rea, T = 1055.3FProblema 5.9 El slido de la Fig. 5.9.1 est acotado por la parte superior del cono que divide el vrtice 2 2 2y x z + y el plano 2 z y tiene la funcin de densidad dada por la funcin:2 2) , , ( y x z y x + .Encontrar el centro de masa de la 5.9.1 Figura 5.9.1 Centro de masa de un conoSolucin:Es conocido que el centro de masa de una regin slida D con la funcin de densidad se halla en

( )

,_

MMMMMMz y xY X Z X Z Y, , , ,donde los momentos alrededor de los planos coordenados son:DY XDZ XDZ YdV z y x z MdV z y x y MdV z y x x M) , , () , , () , , (y la masa es:DdV z y x M ; ) , , ( Observando la Fig. 7.10 para establecer los lmites y evaluar los momentos y la masa se tienen las siguientes integrales: ++ 224422 222 2 2xx y xdx dy dz y x M ++ 224422 222 2 2xx y xZ Ydx dy dz y x x M ++ 224422 222 2 2xx y xZ Xdx dy dz y x y M ++ 224422 222 2 2xx y xY Xdx dy dz y x z MDebido a que los lmites no son escalares no se puede utilizar el comando triplequad. Se calcularn las integrales triple en forma simblica mediante el comando int.>> syms x y z>> % clculo de la masa>> m=double(int(int(int('sqrt(x^2+y^2)',z,sqrt(x.^2+y.^2),2), y,-sqrt(4-x.^2),sqrt(4-x.^2)),x,-2,2))m =8.3776>> % clculo del momento myz>> myz=double(int(int(int('x*sqrt(x^2+y^2)',z,sqrt(x.^2+y.^2),2),y,-sqrt(4-x.^2),sqrt(4-x.^2)),x,-2,2))myz = 0>> % clculo del momento mxz>> mxz=double(int(int(int('y*sqrt(x^2+y^2)',z,sqrt(x.^2+y.^2),2),y,-sqrt(4- x.^2),sqrt(4-x.^2)),x,-2,2))mxz = 0>> % clculo del momento mxy>> mxy=double(int(int(int('z*sqrt(x^2+y^2)',z,sqrt(x.^2+y.^2),2),y,-sqrt(4-x.^2),sqrt(4-x.^2)),x,-2,2))mxy = 13.4041>> centro_de_masa = [myz/m,mxz/m,mxy/m]centro_de_masa = 0 01.6000la ubicacin del centro de masa es:( ) ) 6 . 1 , 0 , 0 ( , , z y xProblema 5.10 Obtener el valor de la siguiente integral triple: + +5 . 15 . 15 . 15 . 15 . 15 . 13 2 3 2 3 2 2 2]809) 149[( dz dy dx z y z x z y xSolucin:La representacin grfica de la funcin en los lmites establecidos se representa en la Fig. 5.10.1.Figura 5.10.1. La funcin presenta un corazn.>> CORAZON = TRIPLEQUAD(INLINE('(X.^2+(9./4).*Y.^2+Z.^2-1).^3-X.^2.*Z.^3-(9./80).*Y.^2.*Z.^3'),-1.5,1.5,-1.5,1.5,-1.5,1.5)CCORAZON =915.4742 UNIDADES DE AMORProblema5.11Enunproceso metalrgico,seha observadoquepara lograrun buen resultado, la aleacin procedente del horno de fundicin debe ser colada a una temperatura superior a los 1,000C. Si la aleacin se extrae del horno a una temperatura de 1,300C y a partir de ese momento se enfra segn la Ley de enfriamiento de Newton: ] ) ( [ ) ( T t u k t udtd (5.11.1)donde:u(t)es la temperatura de la aleacin conforme avanza el tiempo.K es una constante que depende de los materiales de la aleacin ( k = 0.1567 ).T es la temperatura ambiente ( T= 35C ).Determine si se obtendr un buen colado, tomando en consideracin que el proceso dura 1.5 minutos. Emplee el mtodo de Runge-Kutta de 4 y 5orden.Solucin:Resolviendo la Ec. (5.11.1) directamente en la Ventana de comandos de MatLab mediante inline con el comando ode45para el intervalo [1,1.5] con 3 pasos tenemos:SE REQUIEREN LAS DOS VARIABLES T,Y (EN ESTE CASO T SE MULTIPLICA POR CERO)>>[T Y]=ODE45(INLINE('- 0.1567*(Y-35)+0*T'),[0:0.5:1.5],1300)Tiempo (minutos)Temperatura de colado (C)00.50001.00001.50001300.01204.81117.01036.1Grficamente tenemos (Ver Fig. 5.11.1):>>PLOT(T,Y(:,1),'OK')Figura 5.11.1 La ecuacin tiene comportamiento linealSeobtieneunbuencoladoyaquealos1.5minutossetieneunatemperaturade 1,036.1C, que es superior a los 1,000 C requerida.Problema 5.12 La ecuacin diferencial que caracteriza el comportamiento de la corriente i(t) del circuito elctrico ilustrado en la Fig. 5.12.1 es: 0 ; ) ( t iLRt w senLAt d i d (5.12.1) Figura 5.12.1 Circuito elctricoDonde A es un voltaje constante, R es la resistencia,L la inductancia, i(t) es la corriente con respecto al tiempo t.Obtener la solucin numrica de la Ec. (5.12.1) y comparar los resultados con la solucin analtica para los siguientes valores:s t s t s t A i s rad w R H Af01 . 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; / 38 ; 10 ; 1 L ; V 1150 0 Solucin:Sustituyendolosdatos yresolviendolaEc. (5.12.1) directamenteenlaVentanade comandos de MatLab mediante inline con el comando ode45para el intervalo [0,1] con h = 0.01 s. y las condiciones iniciales i(0) = 0 tenemos:>>[T I] = ODE45(INLINE('115*SIN(38*T)-10*Y',[0:0.01:1],0)TIEMPO (SEGUNDOS)YI(T) SOLUCINANALTICA00.010000.208800.20880.02000.03000.04000.0500...0.96000.95000.96000.97000.98000.99001.00000.77931.59122.49733.3385...0.4394-0.6681-1.6742-2.4413-2.8656-2.8801-2.48220.77891.59162.49743.3365...0.4405-0.6642-1.6740-2.4450-2.8671-2.8802-2.4823Grficamente tenemos (Ver Fig. 5.12.2):>>PLOT(T,I(:,1),'OK')Figura 5.12.2 Comportamiento grfico del circuito elctrico>> PRETTY(DSOLVE('DY=115*SIN(38*T)-10*Y','Y(0)=0')) 21855752185------ COS(38 T) + ---- SIN(38 T)+ ---- EXP(-10 T)772 772 772Graficando la solucin analtica, tenemos:>> X = 0: 0.01: 1;>>Y=-2185/772.*COS(38.*X)+575/772*SIN(38.*X)+2185/772.*EXP(-10.*X);>> PLOT(X,Y) El mtododeRunge-Kuttaproporcionalamismalasolucinquelasolucinenforma analtica, cuya grfica se muestra en la Fig. 5.12.2Problema 5.13. En la figura, se muestra un sistema de tres masas. Los desplazamientos de estas tres masas satisfacen las ecuaciones dadas por:) ( ) (0 ) () (3 3 3 2'3 2' '3 3 2 23 2 2 2 1'2 1' '2 2 1 1'1 11 2 2 1 1'1 1' '1 1t F y K K y B y M y Ky K y K K y B y M y K y Bt F y K y K y B y M + + + + + + + + + + (5.13.1) Sistema de masas-resortesLas constantes y condicionales iniciales son:) ( 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 () / , ( 1 . 0 ); , ( 0 ) ( , 1 ) (; ) , ( 1 ; ) / , tan ( 1'3 3'2 2'1 12 1 3 13 2 123 2 1iniciales s condicione y y y y y ys kg iento amortiguam de es coeficient B B Newton fuerza t F t Fkg masa M M M s kgm resortes los de tes cons K K K Resuelva el sistema de ecuaciones (5.13.1) para0 t 30 seg y h = 0.1Solucin:Definimos'3 6'2 5'1 4, , y y y y y y y El sistema de tres ecuaciones diferenciales (5.13.1) se puede escribir como un sistema de seis ecuaciones diferenciales de primer orden, de la manera siguiente:] ) ( [1] ) ( [1] [13 3 3 2 6 2 2 23'63 2 2 2 1 5 1 1 1 4 12'51 2 2 5 1 1 1 4 11'46'35'24'1F y K K y B y KMyy K y K K y B y K y BMyF y K y B y K y BMyy yy yy y+ + + + + + + + (5.13.2)Se genera un programa M-File para resolver el sistema (5.13.2) y se guarda en el rea de trabajo Work con el nombre de sistema6.m% SISTEMA DE SEIS ECUACIONES DIFERENCIALES DEL SISTEMA DE %MASAS RESORTESFUNCTION DY = SISTEMA6(T,Y)DY = ZEROS(6,1); %VECTOR COLUMNADY(1) = Y(4);DY(2) = Y(5);DY(3) = Y(6);DY(4) = -0.1*Y(4) - Y(1) + 0.1*Y(5) + Y(2) + 1;DY(5) = 0.1*Y(4) + Y(1) - 0.1*Y(5) - 2*Y(2) + Y(3);DY(6) = Y(2) - 0.1*Y(6) - 2*Y(3);Se ejecuta el programasistema6.mpara encontrar la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales (5.13.2)>> [T,Y] = ODE45(@SISTEMA6, [0 30],[0 0 0 0 0 0]);Graficando la solucin numrica anterior se tiene la figura (5.13.1):>>PLOT( T,Y(:,1),'PB', T,Y(:,2),'DK', T,Y(:,3), '.R', T,Y(:,4), '+M', T,Y(:,5),'*G', T,Y(:,6),'.-B')>> XLABEL('TIEMPO T')>> YLABEL('SOLUCIN Y')>> LEGEND('Y_1','Y_2','Y_3','Y_4','Y_5','Y_6')Figura 5.13.1 Comportamiento grfico del sistema masa-resortes